CN106896726B - 一种磁悬浮转子谐波电流抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于并联式二阶重复控制DPSORC(Dual Parallel Structure Digital Second‑order Repetitive Control,DPSRC)的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，然后采用了基于DPSORC的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法。该数字控制器采用了并联式双重内存循环与一个加权因子，连接到磁悬浮转子闭环系统中，提高了系统对于转速不确定性的鲁棒性。本发明中传统一阶重复控制器的相位补偿环节可完全移植到DPSORC中，这为DPSORC的实际使用提供了便捷，使得该控制器具有较好的通用性。本发明能对磁悬浮转子中磁轴承线圈电流的谐波分量进行抑制，适用于存在质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统谐波电流抑制。

Description

一种磁悬浮转子谐波电流抑制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮转子谐波电流抑制的技术领域，具体涉及一种基于并联式二阶重复控制DPSORC(Dual Parallel Structure Digital Second-order RepetitiveControl,DPSRC)的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，用于对磁悬浮控制力矩陀螺转子系统中的谐波电流进行抑制，为磁悬浮控制力矩陀螺在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。

背景技术

磁悬浮控制力矩陀螺CMG(Control Moment Gyroscope，CMG)中的磁轴承采用电磁力使转子悬浮起来。由于轴承转子和定子之间无接触，与机械轴承相比具有下列三方面优点：首先，CMG飞轮转速可以大幅度提高，相同角动量的转子尺寸和质量可以更小，同时可以实现长寿命；其次，可以通过磁轴承控制器对飞轮转子不平衡振动进行主动控制，获得极低的振动噪声；再次，由于CMG框架等效转动惯量与转子支承刚度有关，采用磁轴承支承转子可以通过调低轴承刚度来增大框架等效转动惯量，从而使用相同力矩电机可以获得更高的框架角速率精度，这样就可以提高CMG力矩输出精度，最终提高航天器的指向精度与稳定度。此外，磁轴承在航天器高精度长寿命姿态控制执行机构中已得到广泛应用。因此，基于磁轴承的高精度长寿命大型CMG是我国空间站姿态控制执行机构的理想选择，具有迫切的应用需求。

虽然磁悬浮控制力矩陀螺无摩擦，但是仍然存在高频振动，影响卫星平台的指向精度和稳定度。磁悬浮控制力矩陀螺的高频振动主要由转子不平衡和传感器谐波引起，不仅会导致同频振动，还会造成倍频振动，合称为谐波振动。其中转子不平衡量是主要振动源，由转子质量的不平衡引起。由于传感器检测面的圆度误差、材质不理想、电磁特性不均匀等原因，位移传感器信号中存在同频和倍频成分，即传感器谐波。谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，并通过磁轴承直接传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度。

谐波振动抑制可以分为零电流、零位移和零振动三类，其中零电流可以用最少的计算量和功耗抑制大部分的振动。现有技术主要针对单一频率的干扰进行抑制，对于谐波扰动抑制研究相对较少，主要有并联多陷波器或多个LMS滤波器、重复控制RC算法等。但并联多陷波器不能针对所有振动同时抑制，计算量大，且需要考虑不同滤波器间的收敛速度问题，设计起来比较复杂；而重复控制RC算法则无需并联多个滤波器便可实现对不同频率成分振动的同时抑制。重复控制RC算法是根据内模原理实现系统零静态误差的一种方法，而现有的应用于磁悬浮转子控制系统的重复算法均没有考虑频率波动下以及频率检测不精确情况下，传统一阶RC很难精确抑制谐波信号的问题。

发明内容

本发明的目的为：克服现有技术的不足，提供一种基于并联式二阶重复控制DPSORC的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，通过并联两个内存循环单元以及合适的权重因子，使得系统对于频率不确定以及频率发生波动下依旧可以保持很好的抑制效果。

本发明采用的技术方案为：一种基于并联式二阶重复控制DPSORC的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，包括以下步骤：

步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮转子径向两自由度由主动磁轴承控制，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。Q表示磁轴承定子的几何中心，O表示转子的几何中心，C表示转子的质心。以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值。

针对X通道谐波电流，建模如下：

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：

其中，m表示转子质量，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始相位。

主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成，X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力，被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

对于含有质量不平衡的转子系统，有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝lcos(Ωt+θ)

其中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速；

在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

式中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

式中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节；

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)。

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换。

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)y_d(s)。

步骤(2)设计基于并联式二阶重复控制DPSORC的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法

控制器以“插入”的形式接入原闭环系统，这将极大方便控制器的设计。将线圈谐波电流i_x作为误差信号输入至该二阶重复控制器模块，该模块的输出反馈至原控制系统的功放输入端，该模块的设计主要包括以下两个方面：

①并联式二阶RC算法，根据实际磁悬浮转子系统在特定转速下产生的谐波电流，进行频谱分析，得到谐波电流基频f₀和谐波频率成分；根据系统实际采样频率f_s和基频的比值，得到DPSORC控制器基本循环长度N＝f_s/f₀；对DPSORC进行理论分析，得到其在磁悬浮转子系统上的稳定性判定条件；根据理论分析和稳定性定理，选择合适的权重因子w₂和内模增益系数k_rc。

②相位补偿环节由相位线性超前环节和相位低、中频补偿环节组成；补偿相位大小根据系统函数相频特性及系统稳定性条件得到。DPSORC的相位补偿环节和传统RC相位补偿环节是非常相似的，可进行移植，这大大提高了DPSORC的通用性。

进一步地，所述的步骤(2)谐波电流抑制算法为：

①DPSORC的结构设计

重复控制器RC是基于内模原理来跟踪误差信号的，通过利用前一周期误差信号来校正当前时刻的信号，从而达到消除所有

倍频谐波信号分量的效果。二阶RC则利用前两周期内的误差信号来校正当前时刻的信号，并使用合适的权重因子使系统对于频率波动具有较强的不敏感性。传统二阶RC通过串联两个基本内存循环单元N来达到上述效果，而本发明中的DPSORC则将串联修改为并联式，达到了相同的效果。

DPSORC的传递函数G_drc(z)可以表示为：

其中，

N₂为线性超前相位补偿环节的阶数；Q(z)为使系统鲁棒性提高而引入的低通滤波器；w₂为一可调的权重因子。

②、相位补偿函数的设计

相位补偿函数一般由两部分组成线性超前环节

以及中低频相位校正环节K_f(z)组成。

线性相位超前补偿环节

用来补偿系统高频段相位，其阶数N₂由具体补偿相位大小确定；补偿函数K_f(z)一般设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)q(z)(m＝0,1,2…)

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为：

Z(·)为Tustin变换，变换周期为系统控制周期

系数b根据具体系统选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性。

G₂ ^m(z)为中频段超前补偿，一般表达形式为：

系数a、参数T_a、m根据具体系统选取，使得系统中频段被有效校正。

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件。

采用以上三者相串联的方式，保证了系统的稳定性。

本发明基本原理在于：对于磁悬浮转子来讲，其振动的主要来源是质量不平衡和传感器谐波。本发明针对谐波电流进行抑制，减小谐波振动。由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致控制电流和中含有谐波，即谐波电流，从而使磁悬浮转子系统中含有谐波振动。通过建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，分析谐波电流，提出一种基于并联式二阶重复控制DPSORC数字控制器的谐波电流抑制方法。

该方法重点从以下三个方面进行了论述：根据实际磁悬浮转子系统在特定转速下产生的谐波电流，得到谐波电流基频f₀和谐波频率成分，继而得到DPSORC控制器基本循环长度N＝f_s/f₀；根据DSPORC在磁悬浮转子系统中稳定性判据，选择合适的权重因子w₂和内模增益系数k_rc；设计相应的相位补偿环节，满足系统稳定条件。

本发明与现有技术相比的优点在于：实际系统中由于各种测量误差，以及测量过程中的不可避免的噪声干扰，会造成信号频率发生偏移以及测量的不准确。传统一阶RC对要求频率偏移不超过0.1％，否则会极大削弱其抑制效果；但这个限制明显太小，为了降低RC对于频率偏移和波动的敏感程度，本发明提出一种基于并联式二阶重复控制DPSORC的谐波电流抑制方法，采用两个基本循环单元并联的方式，并引入了一个可变权重因子，拓宽了在谐波频率点处的陷波范围，降低了系统对于频率波动的敏感程度，有效改善了系统在有频率波动情况下的抑制效果。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为主被动磁悬浮转子系统结构示意图；

图3为转子静不平衡示意图；

图4为传感器谐波示意图；

图5为X通道磁轴承控制系统框图；

图6为Y通道磁轴承控制系统框图；

图7为针对X通道改进插入式重复控制器整体系统框图；

图8为针对Y通道改进插入式重复控制器整体系统框图；

图9为DPSORC数字控制器具体结构框图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，一种基于并联式二阶重复控制DPSORC的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法的实施过程是：首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；然后设计一种基于DPSORC的数字控制器进行谐波电流抑制。

步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮转子系统结构示意图如图2所示，主要由永磁体(1)、主动磁轴承(2)和转子(3)组成，其径向两自由度由主动磁轴承控制，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。图3为转子静不平衡示意图，Q表示磁轴承定子的几何中心，O表示转子的几何中心，C表示转子的质心。以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值。针对径向平动自由度X通道，建模如下：

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：

其中，m表示转子质量，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始相位。

主被动磁轴承包括主动磁轴承和被动磁轴承，主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成，X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力，被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

式中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

在实际转子系统中，由于图2中的磁轴承装配不完美、转子测量表面圆度误差和电磁不均匀的影响，会产生如图4所示的传感器谐波，图中，4表示传感器，5表示定子，6表示转子。传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

其中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

磁轴承X方向平动控制系统如图5所示，其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，P(s)为转子系统的传递函数；将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

式中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)。

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

磁轴承Y方向平动控制系统如图6所示，其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，P(s)为转子系统的传递函数。

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换。

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)y_d(s)。

谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，通过磁轴承传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度。因此，对于谐波电流需要采取适当的控制方法加以有效抑制；

步骤(2)设计基于并联式二阶重复控制DPSORC的数字控制器的谐波电流抑制方法

针对步骤(1)线圈电流中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种基于二阶重复控制DPSORC的数字控制器对谐波电流进行抑制。

针对X通道谐波电流，在原X通道闭环系统基础上插入该DPSORC，如图7所示，由X通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_x(s)和D_x(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流i_x(s)，i_x(s)可通过两路不同方式反馈至输入端，一路通过转子系统G_p(s)，另一路则通过A/D转换变为离散信号，之后经过DPSORC数字控制器。图7中DPSORC数字控制器的具体结构框图如图9所示，其中i(z)是X通道谐波电流I_x(s)经过离散化后的电流序列，也即抑制信号；k_rc为该控制器的增益，w₂为一可变的权重因子，N为基本内存循环单元的长度，也即电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为X通道谐波电流中基波频率，f_s为系统采样频率；

为线性相位超前环节，补偿系统的高频段相位，N₂为该相位超前环节的阶数；K_f(z)为在低频段和中频段的一系列相位补偿函数；Q(z)是为增加系统鲁棒性而加入的低通滤波器。

针对Y通道谐波电流，由于X、Y通道解耦，仿照上述X通道抑制方式，Y通道电流抑制具体实施步骤如下：在原Y通道闭环系统基础上插入由A/D采样器、DPSORC数字控制器以及D/A保持器组成的控制系统，如图8所示。由Y通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_y(s)和D_y(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流i_y(s)，i_y(s)可通过两路不同方式反馈至输入端，一路通过转子系统G_p(s)，另一路则通过A/D采样器转换为离散信号，之后进入DPSORC数字控制器。图8中DPSORC数字控制器的具体结构框图如图9所示，

由图9可知，DPSORC的传递函数G_drc(z)可以表示为：

其中，

δ＝w₂；

N₂为线性超前相位补偿环节的阶数；Q(z)为使系统鲁棒性提高而引入的低通滤波器；w₂为一可调的权重因子。

DPSORC数字控制器设计过程如下：

本发明应用的磁悬浮转子系统，在高转速情况下，根据频谱分析可知，转子有效谐波扰动主要表现在同频、二倍频、三倍频、五倍频、七倍频和九倍频。根据实际磁悬浮转子系统在特定转速下产生的谐波电流，得到谐波电流基频f₀和谐波频率成分，继而得到DPSORC控制器基本循环长度N＝f_s/f₀；根据DSPORC在磁悬浮转子系统中稳定性判据，选择合适的权重因子w₂和内模增益系数k_rc；设计相应的相位补偿环节，满足系统稳定条件。

1.稳定性判定准则

定义

为闭环系统的系统函数，其中G_c(z),G_p(z),G_w(z),由G_c(s),G_p(s),G_w(s),通过Tustin变换离散化，变换周期为系统控制周期，即T_s。

由图7、8可知，在未加重复控制器时，其闭环系统灵敏度函数S₀(z)可表示为如下形式：

S₀(z)＝G_c(z)F(z).

对于如图7、8所示的闭环系统，若同时满足下列条件，则闭环系统是渐进稳定的：

条件1：未加重复控制器的灵敏度函数S₀(z)渐进稳定；

条件2：对任意

有：

其中，

条件3：对

有

其中

为相位补偿函数K_f(z)的相位响应，

为系统函数F(z)的相位响应。

对于图9所示系统，系统增益k_rc的取值范围由条件2给定，N₂的取值范围由条件3限定。可首先使得系统满足条件3，之后根据K_f(z)和F(z)得到满足条件2的k_rc。因此，系统参数是可以完全被确定的。

2.相位补偿环节设计：

相位补偿函数一般由两部分组成线性超前环节

以及中低频相位校正环节K_f(z)组成。

线性相位超前补偿环节

用来补偿系统高频段相位，其阶数N₂由具体补偿相位大小确定；补偿函数K_f(z)一般设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)q(z)(m＝0,1,2…)

G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为：

其中，Z(·)为Tustin变换，变换周期为系统控制周期

系数b根据具体系统选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性。

G₂ ^m(z)为中频段超前补偿，一般表达形式为：

其中，系数a、参数T_a、m根据具体系统选取，使得系统中频段被有效校正。

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

其中，系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件。

综上所述，通过串联相位补偿函数和增益系数，可以保证加入算法后系统的稳定性。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于并联式二阶重复控制DPSORC的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤(1)：建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮转子径向两平动自由度由主动磁轴承控制，径向两扭动自由度和轴向平动自由度由安装在转子和定子上的永磁环，即被动磁轴承实现无源稳定悬浮，Q表示磁轴承定子的几何中心，O表示转子的几何中心，C表示转子的质心，以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值；

针对X通道谐波电流，建模如下：

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：

其中，m表示转子质量，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始相位；

主被动磁轴承由主动磁轴承和被动磁轴承组成，因此主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成，X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力，被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；x是转子几何中心O在惯性坐标系下的X通道的位移值；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

对于含有质量不平衡的转子系统，有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝l cos(Ωt+θ)

式中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速；

在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

式中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

式中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节；

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)，且同频电流会在磁轴承非线性作用下会再次转换为倍频电流；

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换；

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换；

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)y_d(s)；

步骤(2)：设计基于并联式二阶重复控制DPSORC的数字控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法

控制器以“插入”的形式接入原闭环系统，这将极大方便控制器的设计，将线圈谐波电流i_x作为误差信号输入至该控制器，该控制器的输出反馈至原控制系统的功放输入端，该控制器的设计包括以下两个方面：

①并联式二阶RC算法，根据实际磁悬浮转子系统在特定转速下产生的谐波电流，进行频谱分析，得到谐波电流基频f₀和谐波频率成分；根据系统实际采样频率f_s和基频的比值，得到DPSORC控制器基本循环长度N＝f_s/f₀；对DPSORC进行理论分析，得到其在磁悬浮转子系统上的稳定性判定条件；根据理论分析和稳定性定理，选择合适的权重因子w₂和内模增益系数k_rc；

②相位补偿环节由相位线性超前环节和相位低、中频补偿环节组成，补偿相位大小根据系统函数相频特性及系统稳定性条件得到，DPSORC的相位补偿环节和传统RC相位补偿环节是非常相似的，可进行移植，这大大提高了DPSORC的通用性；

所述的步骤(2)电流抑制算法为：

①DPSORC的结构设计

重复控制器RC是基于内模原理来跟踪误差信号的，通过利用前一周期误差信号来校正当前时刻的信号，从而达到消除所有n倍频谐波信号分量的效果，

二阶RC则利用前两周期内的误差信号来校正当前时刻的信号，并使用合适的权重因子使系统对于频率波动具有较强的不敏感性，传统二阶RC通过串联两个基本内存循环单元N来达到上述效果，其中的DPSORC则将串联修改为并联式，达到了相同的效果；

DPSORC的传递函数G_drc(z)可以表示为：

其中，

N₂为线性超前相位补偿环节的阶数；Q(z)为使系统鲁棒性提高而引入的低通滤波器；w₂为一可调的权重因子；

②相位补偿函数的设计

相位补偿函数一般由两部分组成线性超前环节

以及中低频相位校正环节K_f(z)组成；

线性相位超前补偿环节

用来补偿系统高频段相位，其阶数N₂由具体补偿相位大小确定；补偿函数K_f(z)一般设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂ ^m(z)G₃(z)q(z)，m＝0,1,2…

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为：

Z(·)为Tustin变换，变换周期为系统控制周期

系数b根据具体系统选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性；

G₂ ^m(z)为中频段超前补偿，一般表达形式为：

系数a、参数T_a、m根据具体系统选取，使得系统中频段被有效校正；

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系数c、参数T_b根据G₂ ^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂ ^m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件；

采用以上三者相串联的方式，保证了系统的稳定性。

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