CN114326409B - 基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法，首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，然后采用基于DCHR控制器的磁悬浮转子直接振动力抑制方法。其中，DCHR能够快速准确地估计并抑制系统振动力。同时，DCHR使用振动力作为同频输入补偿位移刚度力，使用双频幅度补偿提升谐波检测性能，使用补偿相位角保证系统全转速范围内的稳定性。本发明中的DCHR控制器结构简单，硬件计算负担小，能对磁悬浮转子中的谐波振动力有效抑制，适用于含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统振动力抑制。

Description

基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮转子谐波振动抑制的技术领域，具体涉及一种基于双通道谐波重构DCHR(Dual Channel Harmonic Reconstruction,DCHR)的磁悬浮转子直接振动力抑制方法，用于对磁悬浮控制力矩陀螺转子系统中的多次谐波振动力进行抑制，从而达到抑制高转速下转子谐波振动的目的，为实现在“超精超稳”的卫星平台的运用提供技术支撑。

背景技术

惯性执行机构分为两大类：惯性动量轮和控制力矩陀螺(Control MomentGyroscope,CMG)。控制力矩陀螺具有力矩放大倍数大、动态性能优异和输出力矩精度高的优点，是大型航天器姿态控制系统里的关键执行部件。磁悬浮控制力矩陀螺转子按支撑方式的不同分为机械轴承和磁悬浮轴承两种。后者相较于前者有着明显的优点，主要表现为：首先，转子与定子无摩擦，无润滑，可以使得转子保持在高转速的同时仍保证长寿命；其次，通过电磁线圈电流的改变可使轴承具备可调刚度和阻尼的特性，有效抑制各种激振；再次，可以通过主动控制算法进行主动振动抑制，有着更优秀的减振表现。综上所述，磁悬浮控制力矩陀螺已经成为未来航天器惯性执行机构的理想选择。

根据转子自由度的数量，磁悬浮CMG可以分为主被动磁悬浮CMG和全主动磁悬浮CMG。前者指的是CMG部分自由度由主动磁轴承进行主动控制，而其余部分使用被动磁轴承进行无源稳定悬浮，后者指的是CMG五个自由度(四个径向和一个轴向自由度)全部由主动磁轴承进行控制。尽管在功耗和机构复杂性上，主被动磁轴承CMG更有优势，但是由于五个自由度完全可控，全主动磁轴承CMG控制精度相比主被动磁悬浮CMG大大提高，振动抑制能力也大幅增强。

尽管有着诸多优点，但是磁悬浮控制力矩陀螺仍存在谐波振动问题。磁悬浮转子的额定转速通常可以达到10000rpm以上，因此产生的振动多位于中高频，不同于其他的低频振动，不能通过航天器姿态闭环控制系统进行消除，这严重影响到了航天器的姿态稳定性和星载成像设备的性能。同时，在中高频段卫星存在多个模态，若引发共振，后果不堪设想。产生振动的来源有很多，最主要的扰动源有两个方面：一是转子质量不平衡，二是传感器谐波。

针对磁轴承的振动抑制可分为抑制位移、抑制电流和抑制振动力三种。抑制电流以衰减同频和倍频电流为目标，功耗最小，结构稳定，但是由于负位移刚度力的存在导致同频振动力有残余。而抑制振动力通常都会考虑功放在高速下低通特性的影响，能够实现振动力的完全消除。现有技术多集中在以衰减同频和倍频电流为目标方面，传统方法主要有滤波器、重复控制、自适应控制、干扰观测器和同步旋转坐标变换法等，但由于位移刚度力的存在，对电流的抑制不能完全消除振动，因此针对同频和倍频振动力的直接抑制是需要解决的问题。传统的同步旋转坐标法存在需要两次坐标矩阵变换，硬件计算负担大，同时仅仅依靠较低截止频率的低通滤波器滤除干扰项，动态特性变差等问题。因此，设计一种类似于同步旋转坐标法，利用低通滤波器滤得直流量来构建谐波的新方法就格外重要。

发明内容

本发明的目的为：克服现有技术的不足，提出了一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法，通过设计同频和倍频谐波重构控制器，实现磁悬浮转子在任意定转速下的振动力快速和精确抑制，同时有效降低了系统硬件的计算负担。

本发明采用的技术方案为：一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法，包括以下步骤：

步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的全主动磁悬浮转子动力学模型和转子磁轴承力模型；

本发明的应用对象为五自由度全主动磁轴承转子系统，包含有轴向平动和径向X,Y两个方向的平动与转动。只考虑径向四个自由度，对转子轴向的平动暂不考虑。整个系统包括磁悬浮高速转子、径向磁铁、轴向磁铁、位移传感器、控制器、H桥功率放大器等；

针对径向磁轴承系统，建模如下：

根据陀螺技术方程和牛顿第二定律，磁轴承转子系统径向动力学矩阵方程如下：

其中，M是广义质量矩阵，包含质量和转动惯量参数；G是陀螺矩阵；f是广义力矢量，包含磁轴承合力和力矩；

通常情况下，可认为转子悬浮在平衡位置时仅发生微小的位移运动，并且四个通道的磁轴承参数假设完全相同，因此对非线性磁轴承力方程进行Taylor展开得到近似的线性化方程为：

f_m＝K_ii_m+K_hh_m

其中，K_i和K_h分别为电流刚度系数和位移刚度系数，i_m为径向磁轴承线圈电流，h_m为磁轴承坐标系下转子的几何位移；

控制器使用PID加滤波交叉反馈控制，控制器和功率放大器的传递函数矩阵分别假定为G_c(s)和G_w(s)，则二者的输出信号分别：

u_c＝-G_c(s)u_s

I_w＝-G_w(s)G_c(s)u_s

其中，u_s表示径向传感器输出信号；

将上述方程式联立，解得转子动力学模型方程的矩阵表达式如下：

其中，h_g表示几何轴位移，K_s表示传感器增益系数，表示磁轴承坐标系(m系)、传感器坐标系(s系)和广义坐标系(i系)两两之间位移的坐标变换关系；

在广义坐标系下，定义转子的不平衡质量为：

在传感器坐标系下，传感器谐波误差表示为：

因此，传感器输出信号在位移传感器坐标系下表示为：

综合上述分析，含转子质量不平衡和传感器谐波误差的磁轴承转子系统的动力学方程和广义力如下：

其中，S(s)表示系统灵敏度函数；

根据磁轴承力的不同产生形式可以将广义力分为电流刚度力和位移刚度力如下：

根据磁轴承力的振动频率同样可以将广义力分为同频力f_syn和倍频力f_har：

转子质量不平衡Δh一方面通过磁轴承本身产生位移刚度力，另一方面通过磁轴承控制器和电流刚度系数产生电流刚度力；传感器谐波h_sr则只产生电流刚度力。同时，磁轴承系统的同频振动f_syn与转子质量不平衡和传感器谐波同频分量有关；倍频振动f_har则只与传感器谐波的倍频分量有关。因此，要实现对振动力完全抑制的目标，不仅需要抑制谐波电流，还需要对同频的位移刚度力进行补偿。

步骤(2)：设计基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法；

多个DCHR控制器并联以负反馈的形式接入原闭环系统，采用构建的等效振动力作为同频振动抑制的输入，采用电流作为倍频振动抑制的输入，其输出反馈接入原磁悬浮转子系统的功放输入端，该模块的设计包括如下三个方面：

①双通道谐波重构控制器：根据磁悬浮转子系统X和Y通道方向信号幅值相等，相位相差90°的正交特性，利用一个控制器实现对双通道的谐波重构；使用cos(kΩt)实现与参考信号同频的谐波信号的检测，通过低通滤波器完成直流信号的提取，使用和平方和反正切直接求出谐波的幅值和相位，利用幅值和相位信息完成对谐波的重构；

②通过理论分析和数学证明，使用双频幅度补偿法构造高振幅的双频项，在滤波前剔除双频干扰项，降低低通滤波器的负担，提高谐波的检测性能；添加相位补偿角提高系统的稳定裕度，根据稳定性条件在各个转速范围内给予不同的附加相位角输入，确保了系统全转速内的绝对稳定；

③通过公式推导，根据公式f＝K_ii+K_hx构建等效振动力作为同频振动抑制的输入，有效解决功率放大器在转子高速时的幅值衰减和相位滞后；使用电流作为倍频振动抑制的输入，利用设计的多个控制器实现对1次、3次、5次和7次等阶次谐波的高精度抑制。

所述的步骤(2)振动抑制算法为：

①DCHR：

DCHR的谐波重构过程如下：

其中，f_xd、f_xq分别代表X和Y通道经过余弦相敏检测后的信号，f_{x_d}、f_{x_q}分别表示经过低通滤波器后的提取直流分量，k表示谐波阶次，V_m表示谐波幅值，θ表示谐波的初始相位，Ω表示磁悬浮转子转速；φ表示附加相位角，保证系统全转速范围内的稳定；

②双频幅度补偿环节设计：

为保证低通滤波器的谐波检测效果，提出在滤波器之前构造双频幅度补偿，对高振幅干扰项进行滤除，构造环节如下：

对X和Y通道相敏检测后的信号f_xd、f_xq进行展开如下：

利用低通滤波器的输出f_{x_d}、f_{x_q}，以反馈的形式，分别在X和Y通道构造f_dco、f_qco进行补偿：

f_dco＝-f_{x_d}×cos(2kΩt+2θ)+f_{x_q}×sin(2kΩt+2θ)

f_qco＝-f_{x_d}×sin(2kΩt+2θ)-f_{x_q}×cos(2kΩt+2θ)

③控制器整体实现设计：

分别搭建同频振动抑制和倍频振动抑制的DCHR控制器，使用直接振动力作为同频振动抑制的输入，使用电流作为倍频振动抑制的输入，经控制器后的输出为：

f_tp＝(K_ii_x+K_hx)G_tp

i_bp＝i_xG_bp

其中，G_tp、G_bp为设计的同频和倍频控制器传递函数；

因此，磁悬浮转子系统功放的输出电流为：

-((K_hx+K_ii_x)G_tp+i_xG_bp)G_w-K_sxG_cG_w＝i_x

其中，G_c、G_w分别为PID控制器和功放的传递函数，x为磁轴承转子的几何位移。

本发明基本原理在于：对于磁悬浮转子来讲，其振动的主要来源为质量不平衡和传感器误差。由于质量不平衡和传感器误差的存在，磁悬浮转子系统中含有谐波振动力。通过建立含质量不平衡和传感器误差的磁悬浮转子动力学模型，提出了一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法。

该方法重点从以下三个方面进行了论述：针对实际磁悬浮转子系统在某一固定转速下产生的谐波振动力，对转子谐波来源进行了动力学建模分析；根据转子转速设计了针对固定转速的双通道谐波重构控制器，进而得到基本控制器模型；对双频干扰项进行分析，使用双频幅度补偿法，在LPF之前对高振幅的双频振动进行补偿，提高LPF滤波的性能。

本发明与现有技术相比的优点在于：传统对电流控制的算法，由于位移刚度力的存在，只对电流的抑制不能完全消除振动，因此针对同频和倍频振动力的直接抑制是控制器设计的选择；传统的同步旋转坐标法存在需要两次坐标矩阵变换，硬件计算负担大，同时仅仅依靠较低截止频率的低通滤波器滤除干扰项，动态特性变差等问题，因此，设计一种类似于同步旋转坐标法，利用低通滤波器滤得直流量来构建谐波的新方法就格外重要；最后巧妙利用X和Y方向信号相位相差90°的正交特性，利用一个控制器实现对双通道的谐波重构，有效降低计算复杂度，节省硬件资源。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为磁悬浮转子系统结构示意图，其中，1为主动磁轴承，2为转子，3为转子几何轴，4为转子惯性轴；

图3为磁悬浮转子基本控制系统框图；

图4为转子不平衡示意图；

图5为传感器谐波示意图，其中，5为圆度误差，6为传感器，7为定子；

图6为含质量不平衡和传感器谐波的磁轴承控制系统框图；

图7为DCHR控制器具体结构框图；

图8为DCHR中双频幅度补偿系统框图；

图9为加入DCHR后系统整体实现原理图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法的实施过程是：首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；然后设计一种基于DCHR的控制器进行谐波振动力的抑制。

步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

五自由度全主动磁轴承转子系统，包含有轴向平动和径向X,Y两个方向的平动与转动。只考虑径向四个自由度，对转子轴向的平动暂不考虑。整个系统包括磁悬浮高速转子、径向磁铁、轴向磁铁、位移传感器、控制器、H桥功率放大器等；径向系统结构图如图2所示，其中，径向磁轴承和径向位移传感器分别对称分布于转子A、B两端；转子沿X轴和Y轴的两自由度平动和转动由径向磁轴承和径向位移传感器进行测量控制。一对轴向磁轴承和轴向位移传感器控制着转子沿Z轴(轴向方向)进行测量与控制。图2中，O和C分别对应磁悬浮转子惯性中心和几何中心，N为以磁悬浮转子平面与A、B两端磁轴承定子中心点连线的交点。

在不考虑转子轴向平动下，根据陀螺技术方程和牛顿第二定律，转子径向平动和转动模型为：

其中，Ω是磁悬浮转子绕广义坐标系(i系)中Z轴旋转的角速度；J_x和J_y分别为磁悬浮转子沿x方向和y方向的赤道转动惯量，J_z是极转动惯量；m是磁悬浮转子的质量；f_ax、f_ay、f_bx和f_by分别是径向磁轴承四个通道的磁轴承力；f_x和f_y为转子在x方向和y方向受到的磁轴承合力；l_m表示径向磁轴承中心到i系坐标原点N的距离，M_x和M_y分别为转子在x方向和y方向受到的磁轴承合力矩。

将公式(1)写为矩阵形式，可以得到径向磁轴承系统的动力学矩阵模型：

其中，M是广义质量矩阵，包含质量和转动惯量参数；G是陀螺矩阵；f是广义力矢量，包含磁轴承合力和力矩，三者具体表达式如下：

f＝[f_x M_y f_y M_x]^T

其中，广义力矢量f由磁轴承坐标系(m)系下的轴承力f_m表示：

通常情况下，可认为转子悬浮在平衡位置时仅发生微小的位移运动，并且四个通道的磁轴承参数假设完全相同，因此对非线性磁轴承力方程进行Taylor展开得到近似的线性化方程：

即：f_m＝K_ii_m+K_hh_m

其中，k_i和k_h分别为电流刚度系数和位移刚度系数，i_m为径向磁轴承线圈电流，h_m为磁轴承坐标系下转子的几何位移。

磁轴承坐标系(m系)和广义坐标系(i系)中的位移有如下坐标变换关系：

同理，有传感器坐标系(s系)和广义坐标系(i系)中位移的坐标变换关系：

其中，l_s时径向位移传感器探头到转子质心的距离。

位移传感器输出和输入成线性关系，可由如下公式表示：

其中，u_s表示传感器输出信号，k_s表示传感器增益系数。

磁轴承转子控制系统基本框图如图3所示，其中K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，G_p(s)为转子系统的传递函数；控制器和功放环节的输出信号分别如下：

u_c＝-G_c(s)u_s

I_w＝-G_w(s)G_c(s)u_s

将上述方程式联立，解得转子动力学模型方程的矩阵表达式如下：

磁悬浮转子动力学方程是以磁悬浮转子几何轴位移h_g为变量的。由于质量不平衡和传感器误差等振动源的存在，使用的变量与真值之间存在一定偏差。引起磁悬浮转子振动的原因有两类：(1)转子质量不平衡导致转子惯性轴和几何轴不重合导致偏差，转子动力学方程中的变量基于转子惯性轴位移，进而产生不平衡振动力和力矩；(2)磁轴承控制的变量基于传感器坐标系，位移传感器检测的是转子的几何轴位移，当传感器检测面的中心线与其电性能中心线，传感器电性能中心线与转子几何轴不一致时，会导致谐波振动产生。

磁悬浮转子质量不平衡分为动不平衡和静不平衡两种。静不平衡，指的是转子的质心与几何中心偏离，即C_G和C_I的距离，惯性轴与几何轴的偏移引发了扰动力；动不平衡，指的是转子的惯性轴与几何轴偏转，即二者的夹角σ，惯性轴与几何轴的偏转引发了扰动力矩。如图4所示，当静不平衡和动不平衡同时存在，几何轴与惯性轴既不相交也不平行。因此，磁悬浮转子绕几何轴高速旋转时，定子需要给转子的旋转提供额外的向心力和力矩，其产生的反作用力和力矩作用于磁悬浮控制力矩陀螺的框架系统和基座，进而传递到卫星平台引起振动。

在广义坐标系下，定义转子的不平衡质量为：

其中，和/>表示转子在X轴和Y轴方向的静不平衡分量；/>和/>表示转子在X轴和Y轴方向的动不平衡分量；ε和χ表示静不平衡位移的幅值和初始相位；σ和δ表示动不平衡位移的幅值和初始相位。

转子质量分布不均衡导致的不平衡质量虽然不能够完全消除，但是实际中我们可以使用离线动平衡等方法尽可能的减小。与之相比的是传感器谐波误差，由于在加工转子的过程中，机械精度误差和材料不均匀等因素的影响，位移传感器的检测面会有圆度不理想、材质不均匀和剩磁特性不同等状况，导致位移传感器输出信号带有同频和倍频的谐波干扰，如图5所示。其中，O_s、O_g、O_I分别表示位移传感器的电性能中心、转子系统断面的惯性中心和几何中心；u₀表示磁间隙。

在传感器坐标系下，传感器谐波误差表示为：

其中，h_srax、h_srbx、h_sray和h_srby分别表示X和Y四个通道的传感器谐波分量；s_ax0、s_bx0、s_ay0和s_by0分别表示传感器谐波中的直流分量，i为谐波的次数，该直流分量不产生振动，可由位移调理电路进行消除；s_ai和s_bi分别表示A、B两端传感器谐波第i次谐波分量的幅值，a_si和b_si分别表示第i次谐波分量的初始相位。

因此，传感器输出信号在位移传感器坐标系下表示为：

也正是由于传感器谐波的存在，转子几何轴的位移无法直接得到。

根据上述分析，转子质量不平衡和传感器谐波通过不同的通路进入转子系统，产生同频和倍频的振动力，带有转子质量不平衡和传感器谐波误差的磁轴承系统控制框图如图6所示。其中Δh为转子的不平衡质量，h_sr为传感器谐波误差，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，G_p(s)为转子系统的传递函数。

因此，要实现对振动力的完全抑制，需要同时考虑这两个因素设计主动抑制算法。

含转子质量不平衡和传感器谐波误差的磁轴承转子系统的动力学方程和广义力如下：

其中，S(s)表示系统灵敏度函数：

若以转子不平衡量Δh和传感器谐波误差h_sr为输入，以广义力f为输出，有如下传递函数：

根据磁轴承力的不同产生形式可以将广义力分为电流刚度力和位移刚度力：

根据磁轴承力的振动频率同样可以将广义力分为同频力f_syn和倍频力f_har：

其中，h_syn和h_har分别代表传感器谐波中的同频和倍频分量。

综上所述，转子质量不平衡Δh一方面通过磁轴承本身产生位移刚度力，另一方面通过磁轴承控制器和电流刚度系数产生电流刚度力；传感器谐波h_sr则只产生电流刚度力。同时，磁轴承系统的同频振动f_syn与转子质量不平衡和传感器谐波同频分量有关；倍频振动f_har则只与传感器谐波的倍频分量有关。因此，要实现对振动力完全抑制的目标，不仅需要抑制谐波电流，还需要对同频的位移刚度力进行补偿。

步骤(2)设计一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法

针对步骤(1)磁悬浮转子系统存在谐波振动力这一问题，本发明采用一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子DCHR控制器对谐波振动力进行抑制。

如图7所示，DCHR的谐波重构过程如下：

其中，f_xd、f_xq分别代表X和Y通道经过余弦相敏检测后的信号，f_{x_d}、f_{x_q}分别表示经过低通滤波器后的提取直流分量，k表示谐波阶次，V_m表示谐波幅值，θ表示谐波的初始相位，Ω表示磁悬浮转子转速；φ表示附加相位角，保证系统全转速范围内的稳定。

该方法利用磁轴承转子系统X和Y方向的位移和电流信号相位相差90°的正交特性，利用一个控制器实现对双通道的谐波重构，有效降低计算复杂度，节省硬件资源。无需传统同步旋转坐标法中的坐标变换矩阵和逆矩阵步骤，具体过程为首先利用cos(kΩt+θ)实现对与参考信号同频的谐波信号的检测，然后通过低通滤波器完成直流信号的提取，最后利用和平方和反正切直接求出谐波的幅值和相位，实现对X和Y双通道的谐波重构，大大减少了计算负担，同时检测的精度也得以提升。

其次，由公式可见，相敏检测结果包含两部分：具有相位和幅度信息的直流项与高振幅双频项，必须滤掉干扰项以完成谐波重构。实际中发现，仅依靠较低截止频率的一阶(或二阶)低通滤波器，会对系统施加较高的计算负担，这在现有技术中未见有具体解决方案。因此提出使用双频幅度补偿法，在LPF之前对高振幅的双频振动进行构造补偿，以提高LPF滤波的性能。

推导公式如下：

因此，以f_x通道为例，双频幅度补偿的具体过程如图8所示。其中，f_{x_d}、f_{x_q}分别为f_x和f_y经过LPF后得到的直流量；f_dco、f_qco分别为构造后的双频项，具体公式如下：

f_dco＝-f_{x_d}×cos(2kΩt+2θ)+f_{x_q}×sin(2kΩt+2θ)

f_qco＝-f_{x_d}×sin(2kΩt+2θ)-f_{x_q}×cos(2kΩt+2θ)

最后，整体实现原理图如图9所示。根据公式f＝K_ii+K_hx构建等效振动力作为同频振动抑制的输入，使用电流作为倍频振动抑制的输入，通常情况下设计四个控制器实现对1次、3次、5次和7次谐波的高精度抑制，也可根据实际主导谐波的阶次情况自由增加或减少控制器的数量。以振动力为同频输入，可以克服功放的低通特性，实现振动力的完全补偿，推导过程如下：

-(K_hx+K_ii_x)G_tpG_w-K_sxG_cG_w＝i_x

其中，G_tp为设计的同频控制器传递函数，x为磁轴承转子的几何位移，i_x为磁悬浮转子系统功放的输出电流，f为磁轴承振动力。

此时振动力f为零，实现了对磁轴承转子系统振动力的完全补偿。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型和转子磁轴承力模型；

应用对象为五自由度全主动磁轴承转子系统，包含有轴向平动和径向X,Y两个方向的平动与转动，只考虑径向四个自由度，对转子轴向的平动暂不考虑，整个系统包括磁悬浮高速转子、径向磁铁、轴向磁铁、位移传感器、控制器、H桥功率放大器；

根据陀螺技术方程和牛顿第二定律，磁轴承转子系统径向动力学矩阵方程如下：

其中，M是广义质量矩阵，包含质量和转动惯量参数；h_I是磁悬浮转子惯性轴位移；G是陀螺矩阵；f是广义力矢量，包含磁轴承合力和力矩；

设定转子悬浮在平衡位置时仅发生微小的位移运动，并且四个通道的磁轴承参数假设完全相同，因非线性磁轴承力方程经Taylor展开得到近似的线性化方程为：

f_m＝K_ii_m+K_hh_m

其中，K_i和K_h分别为电流刚度系数和位移刚度系数，i_m为径向磁轴承线圈电流，h_m为磁轴承坐标系下转子的几何位移；

联立上述两个方程，并结合磁轴承转子系统其余组成部分，最终得到含转子质量不平衡和传感器谐波的磁轴承转子系统的动力学方程如下：

其中，G_c(s)和G_w(s)分别为控制器和功率放大器的传递函数矩阵；K_s表示传感器增益系数，表示磁轴承坐标系即m系、传感器坐标系(s系)和广义坐标系即i系两两之间位移的坐标变换关系；Δh为转子的不平衡质量，h_sr为传感器谐波误差；

由磁轴承转子系统动力学方程进一步得到磁轴承力模型如下：

其中，S(s)表示系统灵敏度函数：

根据产生形式的不同，磁轴承力分为电流刚度力f_ii和位移刚度力f_ih如下：

根据振动频率的不同，磁轴承力分为同频力f_syn和倍频力f_har如下：

步骤2：设计基于双通道谐波重构的磁悬浮转子直接振动力抑制方法；

多个双通道谐波重构控制器(DCHR)并联以负反馈的形式接入原闭环系统，采用构建的等效振动力作为同频振动抑制的输入，采用电流作为倍频振动抑制的输入，其输出反馈接入磁悬浮转子系统的功放输入端，该振动力抑制方法的具体实现包括如下三个方面：

(1)双通道谐波重构控制器DCHR：根据磁悬浮转子系统X和Y通道方向信号幅值相等，相位相差90°的正交特性，利用一个控制器实现对双通道的谐波重构；使用cos(kΩt)实现与参考信号同频的谐波信号的检测，通过低通滤波器完成直流信号的提取，使用和平方和反正切直接求出谐波的幅值和相位，利用幅值和相位信息完成对谐波的重构；同时在cos(kΩt)中添加相位补偿角提高系统的稳定裕度，根据稳定性条件在各个转速范围内给予不同的附加相位角输入，确保磁轴承转子系统全转速内的绝对稳定；

(2)双频幅度补偿环节：在DCHR控制器的内部，提出并引入了双频幅度补偿环节，即构造对滤波性能影响较大的双频干扰项，并在滤波前进行剔除，有效降低低通滤波器的负担，提高谐波的检测性能；

(3)DCHR控制器的输入：磁轴承转子系统需要分别设计针对同频和倍频振动力的多个并联DCHR控制器，根据步骤1建模得到的磁轴承力线性化公式f_m＝K_ii_m+K_hh_m，提出构建等效振动力作为同频振动抑制的输入，解决功率放大器在转子高速时的幅值衰减和相位滞后；使用电流作为倍频振动抑制的输入，有效抑制3次、5次和7次等阶次谐波振动力；

所述的步骤2振动力抑制方法为：

①DCHR：

DCHR的谐波重构过程如下：

其中，f_xd、f_xq分别代表X和Y通道经过余弦相敏检测后的信号，f_{x_d}、f_{x_q}分别表示经过低通滤波器后的提取直流分量，φ表示附加相位角，k表示谐波阶次，V_m表示谐波幅值，θ表示谐波的初始相位，Ω表示磁悬浮转子转速；

②双频幅度补偿环节

为保证低通滤波器的谐波检测效果，提出在滤波器之前构造双频幅度补偿，对高振幅干扰项进行滤除，构造环节如下：

对X和Y通道相敏检测后的信号f_xd、f_xq进行展开如下：

利用低通滤波器的输出f_{x_d}、f_{x_q}，以反馈的形式，分别在X和Y通道构造f_dco、f_qco进行补偿：

f_dco＝-f_{x_d}×cos(2kΩt+2θ)+f_{x_q}×sin(2kΩt+2θ)

f_qco＝-f_{x_d}×sin(2kΩt+2θ)-f_{x_q}×cos(2kΩt+2θ)

③DCHR控制器的输入

分别搭建同频振动抑制和倍频振动抑制的DCHR控制器，使用直接振动力作为同频振动抑制的输入，使用电流作为倍频振动抑制的输入，经控制器后的输出为：

f_tp＝(K_ii_x+K_hx)G_tp

i_bp＝i_xG_bp

其中，G_tp、G_bp为设计的同频和倍频控制器传递函数；

磁悬浮转子系统功放的输出电流为：

-((K_hx+K_ii_x)G_tp+i_xG_bp)G_w-K_sxG_cG_w＝i_x

其中，G_c、G_w分别为PID控制器和功放的传递函数，x为磁轴承转子的几何位移。