CN105159342A - 一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，该方法针对磁悬浮控制力矩陀螺，首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，然后设计了一种基于相移滤波器的谐波电流抑制方法，根据不同转速选择不同相移，从而保证系统的稳定性。本发明能对磁悬浮转子中磁轴承线圈电流的谐波分量进行抑制，适用于存在质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子系统谐波电流抑制。

Description

一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮转子谐波电流抑制的技术领域，具体涉及一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，用于对磁悬浮控制力矩陀螺转子系统中的谐波电流进行抑制，为磁悬浮控制力矩陀螺在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。

背景技术

随着我国航空航天事业的不断深化，对卫星平台的指向精度和稳定度要求越来越高。磁悬浮控制力矩陀螺采用磁轴承支承，具有无摩擦、长寿命、主动振动可控等优点，是实现“超静”卫星平台的理想执行机构之一。

磁悬浮控制力矩陀螺依据支承转子的磁轴承主动控制自由度个数，可以分为全主动磁悬浮控制力矩陀螺和主被动磁悬浮控制力矩陀螺。主被动磁悬浮控制力矩陀螺的部分自由度由主动磁轴承控制，较全主动磁悬浮控制力矩陀螺来说，具有低功耗、结构紧凑、体积小等优点。虽然磁悬浮控制力矩陀螺无摩擦，但是仍然存在高频振动，影响卫星平台的指向精度和稳定度。磁悬浮控制力矩陀螺的高频振动主要由转子不平衡和传感器谐波引起，不仅会导致同频振动，还会造成倍频振动，合称为谐波振动。其中转子不平衡量是主要振动源，由转子质量的不平衡引起。由于传感器检测面的圆度误差、材质不理想、电磁特性不均匀等原因，位移传感器信号中存在同频和倍频成分，即传感器谐波。随着转速的上升，当倍频成分接近转子的框架或壳体的固有模态时，会引起共振，振动幅值会急剧增加，严重影响超静卫星平台的高精度性能。

谐波振动抑制可以分为零电流、零位移和零振动三类，其中零电流可以用最少的计算量和功耗抑制大部分的振动，本发明对磁悬浮转子进行谐波电流视为扰动进行谐波电流抑制，实现零电流。现有技术主要针对单一频率的干扰进行抑制，对于谐波扰动抑制研究相对较少，如重复控制器、陷波器等。其中，陷波器以其简单、实用等特点，在磁悬浮转子振动控制中得到广泛应用。针对单一频率的振动抑制，在传统陷波器基础上提出了通用陷波器，即通过引入矩阵来确保系统的稳定性。对于多个频率的振动抑制，可以采用多频率陷波器，考虑到转速对倍频补偿精度的影响，采用自适应梯度算法辨识出各个频率，实现了对转子倍频成分的高精度补偿，但是没有考虑陷波器对系统稳定性的影响，并且该方法需要根据不同频率调整系数的取值。现有陷波器技术有以下不足：(1)采用陷波器抑制谐波电流只适合较高转速，陷波器的引入不能保证在不同转速下系统的稳定性。(2)需要调整多个参数以保证系统稳定性。

发明内容

本发明的目的为：克服现有技术的不足，提供一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，在传统滤波器基础上引入相移，根据不同转速调整相移，保证系统在不同转速下的稳定性。

本发明采用的技术方案为：一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，包括以下步骤：

步骤(1)、建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

主被动磁悬浮控制力矩陀螺转子主动磁轴承控制转子径向两自由度实现悬浮，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成。X通道轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力。被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度，x为转子几何中心的位移。

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流。

对于含有质量不平衡的转子系统，有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝lcos(Ωt+θ)

其中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速。

在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，传感器实际测得的位移可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可写为：

$x_d\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{c}_{i}sin(i\mathrm{\Ω}t+{\mathrm{\θ}}_i)$

其中，c_i是传感器谐波系数的幅值，θ_i是传感器谐波系数的相位，n为传感器谐波的最高次数。

将i_x、X、Θ_x、x_d依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，不仅导致线圈电流中存在与转速同频的基频成分，还存在倍频成分。线圈电流中的同频和倍频成分合称为谐波电流。谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，并通过磁轴承直接传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度，需要加以抑制。

步骤(2)、设计基于并联相移滤波器的谐波电流抑制方法

谐波电流中所含谐波成分是转子转速的整数倍，而陷波器能对特定频率进行滤除，因此采用自适应陷波器对所需要抑制的频率成分进行抑制，该抑制方法在传统陷波器基础上引入相移，根据不同转速调整相移，保证转子系统在不同转速下的稳定性。以电流作为自适应相移陷波器的输入，陷波器的输出反馈至功放的输入端。相移陷波器的核心是带有相移的滤波器，并联多个带有相移的滤波器对不同频率成分的谐波电流进行提取和抑制。

进一步的，所述的步骤(2)带有相移的滤波器传递函数可写为：

$N\left(s\right)=\frac{scos\mathrm{\θ}-\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\mathrm{\Ω}}^2}$

其中，θ为相移，对于要滤除的不同频率成分的谐波电流，并联相应频率成分的带有相移的滤波器，多个频率下带有相移的滤波器N_f(s)可写为：

$N_f\left(s\right)=\frac{scos\mathrm{\θ}-\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\mathrm{\Ω}}^2}+\frac{scos\mathrm{\θ}-2\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\left(2\mathrm{\Ω}\right)}^2}+...+\frac{scos\mathrm{\θ}-k\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\left(k\mathrm{\Ω}\right)}^2}$

其中，k为所考虑的频率成分的最高次数，定义灵敏度函数：

$S\left(s\right)=\frac{G_w\left(s\right)}{1-G_w\left(s\right)G\left(s\right)}=\frac{G_w\left(s\right)-K_h{G}_w\left(s\right)P\left(s\right)}{1-K_{h}P\left(s\right)+K_i{K}_{s}P\left(s\right)G_c\left(s\right)G_w\left(s\right)}$

其中，G(s)为磁轴承转子被控对象P(s)和控制器G_c(s)的等效控制器，K_h＝K_er+K_pr，在转速为Ω时，为使转子系统稳定，需满足：

-90°＜arg[S(jΩ)]+θ＜90°。

本发明基本原理：对磁悬浮控制力矩陀螺来讲，高频振动会降低卫星平台的指向精度和稳定度，必须加以抑制。其中，振动的主要来源是质量不平衡和传感器谐波。本发明针对谐波电流进行抑制，从而减小谐波振动。由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致控制电流和中含有谐波，即谐波电流，从而使磁悬浮控制力矩陀螺中含有谐波振动。通过建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，分析谐波电流的频率成分，提出一种基于相移陷波器的谐波电流抑制方法。在传统陷波器基础上引入相移，根据不同转速调整相移，保证系统在不同转速下的稳定性。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提出的基于并联相移滤波器的谐波电流抑制方法，对灵敏度函数进行相位补偿，根据不同转速选择合适的相移，从而保证系统在不同转速下的稳定性，且在不同转速下仅需对相移这一参数进行调整。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为主被动磁悬浮转子系统结构示意图；

图3为传感器谐波示意图；

图4为X通道磁轴承控制系统框图；

图5为Y通道磁轴承控制系统框图；

图6为X通道等效控制系统原理框图；

图7为带有相移的自适应滤波器；

图8为X通道带有相移陷波器的谐波电流抑制框图；

图9为Y通道带有相移陷波器的谐波电流抑制框图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法的实施过程是：首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，然后设计一种基于并联相移滤波器的谐波电流抑制方法。

(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮控制力矩陀螺依据支承转子的磁轴承主动控制自由度个数，可以分为全主动磁悬浮控制力矩陀螺和主被动磁悬浮控制力矩陀螺。如图2所示，主被动磁悬浮控制力矩陀螺转子主动磁轴承控制转子径向两自由度实现悬浮，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。

主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成。以X通道为例，轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力。被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度，x为转子几何中心的位移。

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er和K_i分别为主动磁轴承位移刚度和电流刚度，i_x为功放输出电流。

对于含有质量不平衡的转子系统，有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝lcos(Ωt+θ)

其中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速。

在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀等因素的影响，传感器谐波不可避免，如图3所示，传感器实际测得的位移可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可写为：

$x_d\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{c}_{i}sin(i\mathrm{\Ω}t+{\mathrm{\θ}}_i)$

其中，c_i是传感器谐波系数的幅值，θ_i是传感器谐波系数的相位，n为传感器谐波的最高次数。

将i_x、X、Θ_x、x_d依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，图4为X通道磁轴承控制系统框图，磁轴承控制系统由控制器G_c(s)、功率放大器G_w(s)、转子系统组成P(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节。

相应的，图5为Y通道磁轴承控制系统框图，Y通道的电流可写为：

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

其中，Θ_y(t)＝lsin(Ωt+θ)， $y_d\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{c}_i\cos (i\mathrm{\Ω}t+{\mathrm{\θ}}_i).$

由上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，不仅导致电流中存在与转速同频的基频成分，还存在倍频成分。控制电流的同频和倍频成分合称为谐波电流。谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，并通过磁轴承直接传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度，需要加以抑制。

(2)设计一种基于并联相移滤波器的谐波电流抑制方法

针对步骤(1)控制电流中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种相移陷波器对谐波电流进行抑制。相移陷波器的核心是带有相移的滤波器，并联多个带有相移的滤波器对不同频率成分的谐波电流进行提取和抑制，同时通过引入相移保证系统在不同转速下的稳定性。

以X通道为例，为抑制多谐波电流，以控制电流i_x(s)作为自适应陷波器N_f(s)的输入，将原系统动力学模型转换为以功率放大器为被控对象的形式。相应的，将sensorrunoutx_d(s)和转子不平衡Θ_x(s)等效为功率放大器的扰动d_x(s)，将磁轴承转子被控对象P(s)和控制器G_c(s)转换为等效控制器G(s)，如图6所示。其中， K_h＝K_er+K_pr。可以看出，等效干扰d_x(s)中包含频率为Ω的整数倍的正弦量，因此可以采用陷波频率随转速变化的自适应陷波器对其滤除。本发明采用带有相移的自适应陷波器以保证系统在全转速范围内的稳定性，陷波器的核心是滤波器N(s)，通过并联多个滤波器可对不同频率进行提取，将提取出的相应频率成分量扣除，即构成陷波器。带有相移的自适应滤波器，如图7所示，其传递函数可写为：

$N\left(s\right)=\frac{scos\mathrm{\θ}-\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\mathrm{\Ω}}^2}$

对于要滤除的不同频率成分的谐波电流，并联相应频率成分的带有相移的滤波器，则带有相移的自适应陷波器的谐波电流抑制框图如图8所示，ε是反馈系数，决定了自适应陷波器的收敛速度和陷波带宽。多个频率下带有相移的滤波器N_f(s)可写为：

$N_f\left(s\right)=\frac{scos\mathrm{\θ}-\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\mathrm{\Ω}}^2}+\frac{scos\mathrm{\θ}-2\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\left(2\mathrm{\Ω}\right)}^2}+...+\frac{scos\mathrm{\θ}-k\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\left(k\mathrm{\Ω}\right)}^2}$

其中，k为所考虑的频率成分的最高次数。以等效扰动d(s)作为输入，电流i(s)为输出，对应的传递函数可写为：

$\begin{array}{c}\frac{i_x\left(s\right)}{d_x\left(s\right)}=\frac{G_w\left(s\right)}{1+G\left(s\right)G_w\left(s\right)+{\mathrm{\ϵN}}_f\left(s\right)G_w\left(s\right)}\\ =\frac{G_w\left(s\right)-K_h{G}_w\left(s\right)P\left(s\right)}{1-K_{h}P\left(s\right)+K_i{K}_{s}P\left(s\right)G_c\left(s\right)G_w\left(s\right)+{\mathrm{\ϵN}}_f\left(s\right)\[G_w\left(s\right)-K_h{G}_w\left(s\right)P\left(s\right)\]}\end{array}$

由上式得，

$\begin{array}{c}\underset{s\→j\mathrm{\Ω}}{\lim }{i}_x\left(s\right)=0\\ \underset{s\→j2\mathrm{\Ω}}{\lim }{i}_x\left(s\right)=0\\ .\\ .\\ .\\ \underset{s\→jk\mathrm{\Ω}}{\lim }{i}_x\left(s\right)=0\end{array}$

由上式可以看出，该陷波器对所考虑的电流对应的频率成分均有抑制作用。系统的闭环特征方程为：

1-K_hP(s)+K_iK_sP(s)G_c(s)G_w(s)+εN_f(s)[G_w(s)-K_hG_w(s)P(s)]＝0

定义灵敏度函数：

$S\left(s\right)=\frac{G_w\left(s\right)}{1-G_w\left(s\right)G\left(s\right)}=\frac{G_w\left(s\right)-K_h{G}_w\left(s\right)P\left(s\right)}{1-K_{h}P\left(s\right)+K_i{K}_{s}P\left(s\right)G_c\left(s\right)G_w\left(s\right)}$

在原系统稳定的前提下，S(s)的极点都在左半平面内，得：

(s²+Ω²)[s²+(2Ω)²]…[s²+(kΩ)²]+εS(s)M(s)＝0

其中，

M(s)＝(scosθ-Ωsinθ){[s²+(2Ω)²][s²+(3Ω)²]…[s²+(kΩ)²]}

+(scosθ-2Ωsinθ){(s²+Ω²)[s²+(3Ω)²]…[s²+(kΩ)²]}

+…+(scosθ-kΩsinθ){(s²+Ω²)(s²+(2Ω)²)…[s²+(k-1)²Ω²]}

当ε＝0时，s＝jΩ,j2Ω,…,jkΩ，因此，当ε→0时，根轨迹趋于s＝jΩ,j2Ω,…,jkΩ，此时根轨迹趋于左半平面才能保证系统稳定。因此，将上式看作ε的函数，为保证系统稳定，需满足：

其中，arg[·]表示幅角。在转速Ω下，在ε＝0处求偏导，得：

${\frac{\∂s}{\∂\mathrm{\ϵ}}|}_{\mathrm{\ϵ}=0}=\frac{j}{2}(jcos\mathrm{\θ}-sin\mathrm{\θ})S\left(j\mathrm{\Ω}\right)$

则为使系统稳定，需满足：

-90°＜arg[S(jΩ)]+θ＜90°

综上所述，为使并联陷波器后的系统稳定，只需选择合适的θ，使灵敏度函数满足上式，从而保证在不同转速下谐波电流抑制的有效性和稳定性。

同理可得Y通道谐波电流抑制方法，如图9所示，并联多个带有相移的滤波器对不同频率成分的电流进行提取和抑制。由于两通道解耦且对称，两通道的灵敏度函数相同，选择同样的θ即可保证系统的稳定性。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (2)

1.一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤(1)、建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

主被动磁悬浮控制力矩陀螺转子主动磁轴承控制转子径向两自由度实现悬浮，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮，主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成，X通道轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力，被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度，x为转子几何中心的位移；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

对于含有质量不平衡的转子系统，有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝lcos(Ωt+θ)

其中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速；

在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可写为：

$x_d\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{c}_{i}sin(i\mathrm{\Ω}t+{\mathrm{\θ}}_i)$

其中，c_i是传感器谐波系数的幅值，θ_i是传感器谐波系数的相位，n为传感器谐波的最高次数；

将i_x、X、Θ_x、x_d依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节；

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，不仅导致线圈电流中存在与转速同频的基频成分，还存在倍频成分，线圈电流中的同频和倍频成分合称为谐波电流，谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，并通过磁轴承直接传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度，需要加以抑制；

步骤(2)、设计基于并联相移滤波器的谐波电流抑制方法

谐波电流中所含谐波成分是转子转速的整数倍，而陷波器能对特定频率进行滤除，因此采用自适应陷波器对所需要抑制的频率成分进行抑制，该抑制方法在传统滤波器基础上引入相移，根据不同转速调整相移，保证转子系统在不同转速下的稳定性，以电流作为自适应相移陷波器的输入，陷波器的输出反馈至功放的输入端，相移陷波器的核心是带有相移的滤波器，并联多个带有相移的滤波器对不同频率成分的谐波电流进行提取和抑制。

2.根据权利要求1所述的一种基于并联相移滤波器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，其特征在于：所述的步骤(2)带有相移的滤波器传递函数可写为：

$N\left(s\right)=\frac{scos\mathrm{\θ}-\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\mathrm{\Ω}}^2}$

其中，θ为相移，对于要滤除的不同频率成分的谐波电流，并联相应频率成分的带有相移的滤波器，多个频率下带有相移的滤波器N_f(s)可写为：

$N_f\left(s\right)=\frac{scos\mathrm{\θ}-\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\mathrm{\Ω}}^2}+\frac{scos\mathrm{\θ}-2\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\left(2\mathrm{\Ω}\right)}^2}+...+\frac{scos\mathrm{\θ}-k\mathrm{\Ω}sin\mathrm{\θ}}{s^2+{\left(k\mathrm{\Ω}\right)}^2}$

其中，k为所考虑的频率成分的最高次数，定义灵敏度函数：

$S\left(s\right)=\frac{G_w\left(s\right)}{1-G_w\left(s\right)G\left(s\right)}=\frac{G_w\left(s\right)-K_h{G}_w\left(s\right)P\left(s\right)}{1-K_{h}P\left(s\right)+K_i{K}_{s}P\left(s\right)G_c\left(s\right)G_w\left(s\right)}$

其中，G(s)为磁轴承转子被控对象P(s)和控制器G_c(s)的等效控制器，K_h＝K_er+K_pr，在转速为Ω时，为使转子系统稳定，需满足：

-90°<arg[S(jΩ)]+θ<90°。