CN106873655A - 一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动抑制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于有限维重复控制(Finite Dimensional Repetitive Control,FDRC)的磁轴承系统多谐波振动抑制方法，该方法包括如下步骤：首先建立包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声Sensor Runout的两自由度磁轴承系统转子动力学模型；其次利用线圈电流和位移传感器信号构建振动力，并作为一阶FDRC的被控变量，实现同频振动力抑制；然后设计并联式FDRC实现高阶次谐波振动力抑制，最终实现两自由度磁轴承系统谐波振动抑制。本发明能够克服了传统重复控制中低通滤波器对振动抑制精度与系统稳定性的影响；克服了功放低通特性对振动抑制精度的影响，且不需要再对功放系统另外设计补偿环节；可以根据系统振动力要求合理选择FDRC的阶数，减小计算量。
Description
技术领域
本发明属于磁轴承系统主动振动控制领域，具体涉及一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动抑制方法，用于包含转子不平衡和传感器谐波噪声(SensorRunout)的两自由度磁轴承系统多谐波振动力抑制。
背景技术
随着超高分辨率对地观测、天文观测、星间激光通信等超高分辨率卫星的发展，“超静超稳”与敏捷机动成为衡量卫星平台性能的两项重要指标。越来越高的分辨率指标对卫星平台的指向精度和姿态稳定度要求越来越高，对卫星平台的振动越来越敏感。然而高速旋转的惯性执行机构引起的高频低幅振动是卫星平台的主要振动源，严重制约着“超静超稳”卫星平台的发展。磁悬浮惯性执行机构采用磁轴承支承，具有主动振动抑制的优点，可以从根本上消除高速转子的高频振动。
由于加工安装误差、材质不均匀、电子元器件非线性等机械与电气非理想特性，磁悬浮惯性执行机构存在着转子不平衡、Sensor Runout等振动源，从而传递出多谐波振动。按照振动产生途径，永磁偏置混合磁轴承的磁悬浮惯性执行机构振动力可分为电流刚度力和永磁刚度力。因而，目前通常是在谐波电流抑制的基础上再进行位移刚度力的补偿，从而实现谐波振动抑制。然而这类方法在进行位移刚度力补偿时，需要重新利用滤波器提取位移同频信号，增加计算量；同时还需要另外考虑磁轴承功放系统的低通特性引起的位移刚度力补偿误差。
另一方面，磁轴承多谐波振动抑制多采用重复控制算法，但是其抑制多谐波振动效果、系统稳定性与低通滤波器的截止频率设计有很大关系。低通滤波器的截止频率越高，对高频谐波分量抑制效果越好，但系统的稳定性越差；反之，系统稳定性越好，但高频谐波分量抑制能力越差。同时，重复控制在一定程度上可能放大非谐波频率处的噪声。磁轴承系统谐波振动力主要分布于转频相关的前几阶倍频处，因此只需要抑制前几阶谐波振动力即可实现磁轴承系统多谐波振动抑制。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，发明一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动抑制，将振动力分解为同频分量和高次谐波分量，分别利用并联式FDRC进行抑制，最终实现磁轴承系统多谐波振动力抑制。
本发明解决上述的技术问题采用的技术方案是：一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动抑制方法，首先建立包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(SensorRunout)的磁轴承系统动力学模型，将振动力分解为同频分量和高次谐波分量两部分；其次利用线圈电流和位移传感器信号构造振动力，设计一阶FDRC实现同频振动力抑制；然后设计并联式FDRC抑制高阶次谐波振动力，最终实现磁轴承系统多谐波振动抑制。本发明的具体步骤如下：
(1)建立含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的磁轴承转子动力学模型
对于两自由度磁轴承系统，x轴和y轴两通道相互解耦。假设x轴和y轴的位移刚度系数和电流刚度系数相同，包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承转子动力学模型为：
式中，m为磁悬浮转子的质量；ki和kh分别为磁轴承系统的电流刚度系数和位移刚度系数；xI和yI分别为磁悬浮转子惯性中心在x轴和y轴方向的位移；δx和δy分别为转子不平衡量在x轴和y轴方向的分量；dx和dy分别为位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)在x轴和y轴方向的分量；kad为AD采样系数；ks为位移传感器放大倍数；Gc(s)和Gw(s)分别为磁轴承控制器和功率放大器的传递函数。
因此，磁轴承振动力与转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)之间关系为：
To(s)＝1-khP(s)+kadkskiGw(s)Gdis(s)P(s)
式中为磁轴承系统传递函数；To(s)为原闭环系统特征多项式。
由于磁悬浮转子x轴和y轴的动力学是相互解耦的，因此可以以x轴为例进行谐波振动力抑制设计，y轴振动力抑制设计与x轴相同。
(2)基于并联式FDRC的磁轴承系统多谐波振动力抑制设计
将磁轴承系统多谐波振动力抑制分解为同频振动力抑制和高阶次谐波振动力抑制；利用线圈电流和位移传感器输出构造振动力fx，并将其作为一阶FDRCGsx1(s)的输入，实现同频振动力抑制；以线圈电流为被控变量，利用高阶次并联式Gfix(s)实现高阶次谐波振动力抑制；最终将Gfix(s)和Gsx1(s)的输出与原磁轴承控制器Gc(s)输出进行叠加，实现多谐波振动力抑制。
(3)同频振动力抑制参数设计
同频振动力抑制参数设计实际上是确定Gsx1(s)的收敛系数τsx和补偿环节Qsx(s)。根据磁轴承系统原系统函数频率特性曲线确定一阶FDRC收敛系数τsx的正负号；然后根据τsx的符号设计Qsx(s)使H0(s)Qsx(s)满足相位条件：
式中arg(·)表示求幅角；l为整数；Ω为磁悬浮转子转频。
(4)高阶次谐波振动力抑制参数设计
高阶次谐波振动力抑制实际上是在步骤(3)的基础上实现高阶次谐波电流抑制，并且各阶FDRC的参数设计依次进行。对于任意第n,(2≤n≤k)阶谐波电流抑制参数设计的步骤是：首先根据Hn-1(s)相频特性确定τx,n的符号；然后设计补偿环节Qx,n(s)满足相位条件：
式中Hn-1(s)为含Gsx1(s)和任意前(n-1)阶谐波电流抑制的系统函数。
本发明的原理是：转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)是磁轴承系统的两个主要振动源，两者产生振动的频率分量是不相同的。转子不平衡只引起同频振动力，且包括电流刚度力和位移刚度力；而位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)不仅引起同频振动力，还引起高阶次谐波振动力，但只是电流刚度力。因此，磁轴承系统多谐波振动力抑制不仅要实现同频振动力抑制，还要实现高阶次谐波振动力抑制。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明将磁轴承系统多谐波振动力抑制分解为同频振动力抑制和高阶次谐波振动力抑制，不需要再重新提取转子不平衡同频分量进行位移刚度力补偿，减小计算量；
(2)本发明设计一阶FDRC实现同频振动力抑制时直接将功放系统考虑进去，克服了功放低通特性对振动抑制精度的影响，不需要再对功放系统另外设计补偿环节；
(3)本发明利用并联式FDRC实现高阶次谐波振动力抑制，可以根据系统振动力要求合理选择FDRC的阶数，克服了传统重复控制中低通滤波器对振动抑制精度与系统稳定性的影响。
附图说明
图1为本发明一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动抑制方法的实现流程图；
图2为含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的磁轴承系统原理图；
图3为基于并联式FDRC的磁轴承多谐波振动力抑制原理框图；
图4为基于并联式FDRC的磁轴承多谐波振动力抑制等效原理图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体的实施步骤对本发明做进一步说明。
如图1所示，本发明一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动抑制方法，其实现过程是：首先建立包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承转子动力学模型，分析磁轴承系统多谐波振动存在形式；其次设计一阶FDRC实现同频振动力抑制；然后设计并联式FDRC实现高阶次谐波振动力抑制，最终实现磁轴承系统多谐波振动力抑制。本发明具体实施步骤如下：
(1)建立含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承转子动力学模型
对于两自由度磁轴承系统，x轴和y轴两通道相互解耦。假设x轴和y轴的位移刚度系数和电流刚度系数相同，当磁悬浮转子在平衡位置附近运动时，其线性化的动力学方程为：
式中，m为磁悬浮转子的质量；ki和kh分别为磁轴承系统的电流刚度系数和位移刚度系数；icx和icy分别为x轴和y轴磁轴承线圈控制电流；xI和yI分别为磁悬浮转子惯性中心在x轴和y轴方向的位移；xg和yg分别为磁悬浮转子几何中心在x轴和y轴方向的位移。
由于转子不平衡的影响，使得转子惯性中心与几何中心不重合，转子惯性中心位移和几何中心位移之间的关系为：
式中，δx和δy分别为x轴和y轴方向的转子不平衡分量，且表示为：
式中，λ和分别为转子不平衡量的幅值和相位；Ω为磁悬浮转子转频。
磁轴承控制器是以位移传感器测量的磁悬浮转子几何中心位移为变量，然而受位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的影响，传感器输出的几何中心位移与实际几何中心位移存在偏差，两者之间的关系为：
式中，xs和ys分别为x轴和y轴方向的位移传感器信号；ks为位移传感器放大倍数；dx和dy分别为x轴和y轴方向的位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)分量，且表示为：
式中，σi和ξi分别为位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)第i次谐波分量的幅值和相位；k为谐波次数。
磁轴承控制器根据位移传感器输出信号计算得到指令电流，经功放系统驱动使得磁轴承线圈产生控制电流，因此x轴和y轴的控制电流icx和icy分别表示为：
式中kad为AD采样系数；Gc(s)和Gw(s)分别为控制器和功率放大器的传递函数，且分别表示为：
式中kP，kI和kD分别为PID控制器的比例系数、积分系数和微分系数；kw和ωw分别为功放系统的放大倍数和截止角频率。
因此，包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承转子动力学模型为：
根据图2的原理框图可知，磁轴承系统振动力与转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)之间的关系为：
To(s)＝1-khP(s)+kadkskiGw(s)Gdis(s)P(s) (11)
式中为磁轴承系统传递函数；To(s)为原闭环系统特征多项式。
由式(10)可以看出，x轴和y轴的振动力产生途径和存在形式是相同的，且两轴是相互解耦的，因此可以以x轴为例进行谐波振动力抑制设计，y轴振动力抑制设计相同。
(2)基于并联式FDRC磁轴承谐波振动抑制设计
将式(10)中fx分解为同频振动力fx1和高阶次谐波振动力fxm可得：
fx＝fx1+fxm (12)
式中dx1＝σ1cos(ωt+ξ1)和分别为位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的同频分量和高阶次谐波分量。
由式(13)可以看出，磁轴承系统同频振动力主要由位移传感器谐波噪声(SensorRunout)同频分量和转子不平衡引起，且不仅包含电流刚度力，还包含由转子不平衡引起的位移刚度力；由式(14)可以看出磁轴承的高阶次谐波振动力只是由位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)引起，但只包含电流刚度力。因此，磁轴承系统多谐波振动力抑制可分解为同频振动力fx1抑制和高阶次谐波振动力fxm抑制，且高阶次谐波振动力抑制也就是高阶次谐波电流抑制。
磁轴承系统谐波振动力抑制原理图如图3所示。利用线圈电流和位移传感器输出构造振动力fx，并将其作为一阶FDRCGsx1(s)输入，实现同频振动力抑制；以线圈电流为被控变量，利用高阶次并联式Gfix(s)实现高阶次谐波电流抑制；最终将Gsx1(s)和Gfix(s)的输出与原磁轴承控制器Gc(s)输出进行叠加，实现多谐波振动力抑制。Gsx1(s)和Gfix(s)的表达式分别为：
Gsx1(s)＝τsxGf,1(s)Qsx(s) (15)
式中τsx和τx,i(i＝2,…,k)分别为各阶次FDRC的收敛系数，决定着闭环系统的稳定性；Qsx(s)和Qx,i(s)(i＝2,…,k)分别为各阶次FDRC的补偿环节，通常为超前校正环节或者比例环节；Gf,i(s)(i＝1,…,k)表示为：
为了便于分析系统性能和FDRC控制器参数设计，将图3的多谐波振动抑制原理框图等效为以转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)为输入，振动力为输出的原理框图，如图4所示。则此时振动力输出为：
式中Tx(s)为加入多谐波振动抑制后的系统特征多项式，表示为：
Tx(s)＝To(s)+Gw(s)Gfix(s)+kiGw(s)Gsx1(s) (19)
由式(18)可知：
式中，1≤i≤k。因此只要保证闭环系统的稳定性，就能实现磁轴承系统前k阶谐波振动抑制。闭环系统稳定性关键是设计同频振动力抑制Gsx1(s)和高阶次谐波振动力抑制Gfix(s)的收敛系数τsx和τx,i、校正环节Qsx(s)和Qx,i(s)，步骤(3)和步骤(4)将做详细研究。
(3)同频振动力抑制参数设计
如图3所示，利用位移传感器输出的磁悬浮转子几何中心位移和线圈电流信号构造轴承力，并将其作为一阶FDRC输入，Gsx1(s)输出与原磁轴承控制器输出叠加，实现同频振动力抑制。加入Gsx1(s)后闭环系统的特征多项式为：
Tx1(s)＝To(s)+kiGw(s)Gsx1(s) (21)
将式(15)代入式(21)可得闭环系统特征方程：
(s2+Ω2)To(s)+τsxkiGw(s)Qsx(s)(s+Ω)2＝0 (22)
则闭环系统的特征根s是关于τsx的连续性函数。根据根轨迹的性质，根轨迹起始于开环极点，即τsx＝0时的根轨迹点；终止于开环零点，即τsx＝∞时的根轨迹点。
当τsx＝0时，式(22)改写为：
(s2+Ω2)T0(s)＝0 (23)
由式(23)可知，闭环系统的根轨迹点为原闭环系统的特征根，外加FDRC引入的一对虚轴上的极点s＝±jΩ。由于加入FDRC前闭环系统是稳定的，即T0(s)的特征根都位于复平面的左半平面。考虑到s是随τsx连续性变化的，所以τsx→0时，由于FDRC引入的特征根应该位于s＝±jΩ为中心的邻域内，而其他特征根仍位于复平面的左半平面。
为了分析τsx→0时，以s＝±jΩ为中心的邻域内特征根分布情况，分别讨论τsx为正数和负数两种情况：
当τsx＞0时，τsx→0+，式(22)两边对τsx求偏导可得：
当τsx＝0，s＝jΩ时，根据式(24)可得：
式中，H0(s)为系统函数且定义为：
为了保证加入FDRC后的闭环系统稳定性，式(25)的幅角需要满足：
式中，arg(·)表示求幅角；l为整数。因此需要选择合适的补偿环节Qsx(s)，使补偿后的系统函数H0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：
同理，当τsx＜0时，τsx→0-，需要选择合适的补偿环节Qsx(s)，使补偿后的系统函数H0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：
因此，一阶FDRC同频振动力抑制参数设计步骤首先根据系统函数H0(s)相频特性曲线判断τsx的正负号；然后根据τsx的符号设计Qsx(s)使H0(s)Qsx(s)满足式(29)或式(30)的相位条件。由式(26)可知，同频振动力抑制时考虑到了功放系统低通特性对振动力抑制的影响。
(4)高阶次谐波振动力抑制参数设计
并联式FDRC高阶次谐波振动力抑制实际上就是高阶次谐波电流抑制，因此直接将线圈电流作为Gfix(s)的输入，将其输出与原控制器叠加。Gfix(s)参数设计是在Gsx1(s)设计的基础上进行，且任意第n,(2≤n≤k)阶谐波电流抑制参数设计在第(n-1)阶参数设计基础上进行。当n＝2时，磁轴承系统只包含同频振动力抑制；当n＞2时，磁轴承系统包含同频振动力抑制和前(n-1)阶谐波电流抑制。
含Gsx1(s)和任意前(n-1)阶谐波电流抑制的磁轴承系统函数为：
式中
因此，任意第n,(2≤n≤k)阶谐波电流抑制参数设计的步骤是：首先根据Hn-1(s)的相频特性，确定τx,n的符号；然后设计补偿环节Qx,n(s)满足：
因此，同频振动抑制和高阶次谐波电流抑制参数设计都使得闭环系统稳定，最终实现磁轴承系统多谐波振动抑制。
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本专业领域技术人员公知的现有技术。
Claims (3)
1.一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：
(1)建立含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承转子动力学模型
对于两自由度磁轴承系统，x轴和y轴两通道相互解耦，假设x轴和y轴的位移刚度系数和电流刚度系数相同，则包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的磁轴承系统转子动力学模型为：
式中，m为磁悬浮转子的质量；ki和kh分别为磁轴承系统的电流刚度系数和位移刚度系数；xI和yI分别为磁悬浮转子惯性中心在x轴和y轴方向的位移；δx和δy分别为转子不平衡量在x轴和y轴方向的分量；dx和dy分别为位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)在x轴和y轴方向的分量；kad为AD采样系数；ks为位移传感器放大倍数；Gc(s)和Gw(s)分别为磁轴承控制器和功率放大器的传递函数；
因此，磁轴承系统多谐波振动力与转子不平衡和位移传感器谐波噪声(SensorRunout)之间的关系为：
To(s)＝1-khP(s)+kadkskiGw(s)Gdis(s)P(s)
式中为磁轴承系统传递函数；To(s)为原闭环系统特征多项式；
由于磁悬浮转子x轴和y轴的动力学是相互解耦的，因此可以以x轴为例进行谐波振动力抑制设计，y轴振动力抑制设计与x轴相同；
(2)基于并联式FDRC的磁轴承系统多谐波振动力抑制设计
将磁轴承系统多谐波振动力分解为同频振动力和高阶次谐波振动力：利用线圈电流和位移传感器输出构造振动力fx，并将其作为一阶FDRCGsx1(s)的输入，实现同频振动力抑制；以线圈电流为被控变量，利用高阶次并联式Gfix(s)实现高阶次谐波振动力抑制；最终将Gfix(s)和Gsx1(s)的输出与原磁轴承控制器Gc(s)输出进行叠加，实现多谐波振动力抑制；
(3)同频振动力抑制参数设计
同频振动力抑制参数设计实际上是确定Gsx1(s)的收敛系数τsx和补偿环节Qsx(s)，根据磁轴承系统原系统函数频率特性曲线确定一阶FDRC收敛系数τsx的正负号；然后根据τsx的符号设计Qsx(s)使H0(s)Qsx(s)满足相位条件：
式中arg(·)表示求幅角；l为整数；Ω为磁悬浮转子转频；
(4)高阶次谐波振动力抑制参数设计
高阶次谐波振动力抑制实际上是在步骤(3)的基础上实现高阶次谐波电流抑制，并且各阶FDRC的参数设计依次进行，对于任意第n阶谐波电流抑制参数设计的步骤是：首先根据Hn-1(s)相频特性确定τx,n的符号，其中，n满足2≤n≤k；然后设计补偿环节Qx,n(s)满足相位条件：
式中Hn-1(s)为含Gsx1(s)和任意前(n-1)阶谐波电流抑制的系统函数。
2.根据权利要求1所述的一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动力抑制方法，其特征在于：步骤(2)提出的基于并联式FDRC磁轴承多谐波振动力抑制将磁轴承振动力按同频分量和高阶次谐波分量进行分解，并分别进行抑制，
将步骤(1)中的fx分解为同频振动力fx1和高阶次谐波振动力fxm：
fx＝fx1+fxm
fx1＝To -1(s)[(kh-kikadksGw(s)Gc(s))δx-kikadGw(s)Gc(s)dx1]
fxm＝-kikadTo -1(s)Gw(s)Gc(s)dxm
式中dx1＝σ1 cos(ωt+ξ1)和分别为位移传感器谐波噪声(SensorRunout)同频分量和高阶次谐波分量；
由同频振动力fx1表达式可以看出：磁轴承系统同频振动力主要由位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)同频分量和转子不平衡引起，且包含电流刚度力和由转子不平衡引起的位移刚度力；由高阶次谐波振动力fxm表达式可以看出：磁轴承系统高阶次谐波振动力由位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)引起，且只是电流刚度力；因此，磁轴承系统多谐波振动力抑制可分解为同频振动力fx1抑制和高阶次谐波振动力fxm抑制，且高阶次谐波振动力抑制实际上是高阶次谐波电流抑制；利用线圈电流和位移传感器输出构造振动力fx，并将其作为一阶FDRCGsx1(s)的输入，实现同频振动力抑制；以线圈电流为被控变量，利用高阶次并联式Gfix(s)实现高阶次谐波电流抑制；最终将Gsx1(s)和Gfix(s)的输出与原磁轴承控制器Gc(s)输出进行叠加，实现多谐波振动力抑制；
Gsx1(s)和Gfix(s)表达式分别为：
Gsx1(s)＝τsxGf,1(s)Qsx(s)
式中τsx和τx,i(i＝2,…,k)分别为各阶次FDRC的收敛系数，决定着闭环系统的稳定性；Qsx(s)和Qx,i(s)(i＝2,…,k)分别为各阶次FDRC补偿环节，通常为超前校正环节或者比例环节；k为FDRC的阶数，由磁轴承系统谐波振动力的频率成分和抑制精度决定；Gf,i(s)表示为：
式中Ω为磁悬浮转子的转频；
磁轴承系统加入Gsx1(s)和Gfix(s)后振动力输出为：
式中Tx(s)为加入多谐波振动抑制后的系统特征多项式，并且表示为：
Tx(s)＝To(s)+Gw(s)Gfix(s)+kiGw(s)Gsx1(s)
由上式可知：
式中1≤i≤k，因此只要保证闭环系统的稳定性，就能实现磁轴承系统前k阶谐波振动抑制。
3.根据权利要求1所述的一种基于有限维重复控制的磁轴承系统多谐波振动力抑制方法，其特征在于：所述步骤(3)中一阶FDRC实现同频力振动抑制：利用位移传感器输出的磁悬浮转子几何中心位移和线圈电流信号构造轴承力，并将其作为一阶FDRCGsx1(s)的输入，Gsx1(s)输出与原磁轴承控制器输出叠加，实现同频振动力抑制；利用磁轴承系统的系统函数进行FDRC参数设计，并且在参数设计时充分考虑了磁轴承功放低通特性对振动力抑制效果的影响，不需要再另外设计补偿环节；
加入Gsx1(s)后闭环系统的特征多项式为：
Tx1(s)＝To(s)+kiGw(s)Gsx1(s)
将Gsx1(s)的表达式代入上式可得闭环系统特征方程为：
(s2+Ω2)To(s)+τsxkiGw(s)Qsx(s)(s+Ω)2＝0
因此，闭环系统的特征根s是关于τsx的连续性函数；根据根轨迹的性质，根轨迹起始于开环极点，即τsx＝0时的根轨迹点；终止于开环零点，即τsx＝∞时的根轨迹点；
当τsx＝0时，特征方程改写为：
(s2+Ω2)T0(s)＝0
由上式可知，闭环系统的根轨迹点为原闭环系统的特征根，外加FDRC引入的一对虚轴上极点s＝±jΩ；由于加入FDRC前闭环系统是稳定的，即T0(s)的特征根都位于复平面的左半平面，考虑到s是随τsx连续性变化的，所以τsx→0时，由于FDRC引入的特征根应该位于s＝±jΩ为中心的邻域内，而其他特征根仍位于复平面的左半平面；
为了分析τsx→0时，以s＝±jΩ为中心的邻域内特征根分布情况，分别讨论τsx为正数和负数两种情况：
当τsx＞0时，τsx→0+，特征方程式两边对τsx求偏导可得：
当τsx＝0，s＝jΩ时，由上式可得：
式中为系统函数；
为了保证加入FDRC后闭环系统的稳定性，上式的幅角需要满足：
式中arg(·)表示求幅角；l为整数；
因此需要选择合适的补偿环节Qsx(s)，使补偿后的系统函数H0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：
同理，当τsx＜0时，τsx→0-，需要选择合适的补偿环节Qsx(s)，使补偿后的系统函数H0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：
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