CN110045607B - 一种交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的同频振动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明所公开的一种交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的同频振动控制方法，针对强陀螺效应磁悬浮转子系统中由转子质量不平衡引起的同频振动，建立具有同频振动的交叉耦合反对称系统的动力学模型，此模型以通式形式给出；设计基于交叉解耦陷波器的同频振动控制方法，并对嵌入振动算法后的双输入双输出系统进行稳定性分析；采用复系数变换将双输入双输出系统转换为复系数单输入单输出系统，并证明变换前后系统稳定条件的等价性。本发明可以用于具有陀螺效应的一种交叉耦合反对称系统，不仅可以有效地抑制由转子不平衡引起的同频振动，而且可以更为简便地对系统的稳定性进行分析。

Description

一种交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的同频振动控制方法

技术领域

本发明属于磁悬浮转子振动抑制研究领域。特别涉及一种交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的同频振动控制方法。

背景技术

旋转机械作为国家工业关键设备，广泛地应用于工业、航空航天及医学等领域。为响应国家产业升级、节能减排的需求，对旋转机械的高性能指标提出了迫切要求。传统机械轴承通常存在机械摩擦及磨损，噪声大，且需要额外的隔振器进行振动控制，增加了系统的硬件负担。相比于传统轴承，磁轴承通过磁力支承转子，因而磁悬浮转子系统具有无接触摩擦、无磨损、无需润滑的特点，可以实现旋转机械的高速运转。此外，磁悬浮转子系统还具有可调节刚度和阻尼的优点，从而使得主动控制成为可能，极大地提高了转子系统的控制精度。由于加工精度、材质不均匀、转子部件缺损等问题造成转子质量不平衡，导致转子的同频振动。振动会严重影响旋转设备的安全运行及使用寿命，所以对磁悬浮转子系统的同频振动控制显得尤为重要。

由于一些磁悬浮系统的极转动惯量大于赤道转动惯量，转子在高速旋转过程中通常具有显著的陀螺效应。陀螺效应导致控制对象存在耦合特性，因而具有陀螺效应的磁悬浮转子系统属于多输入多输出交叉耦合反对称系统，且这类系统在实际旋转机械中也广泛存在。同频振动控制方法通常用于旋转机械，现有的振动控制方法多集中于单输入单输出的磁悬浮转子系统的研究，通常忽略了磁轴承结构引起的陀螺效应对系统的影响。例如，公开号为CN107807533A的发明专利“基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法”，公开号为CN108710286A的发明专利“基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法”，它们是针对特定的对象，即特定的磁悬浮转子系统，不具有通用性。此外，考虑到磁悬浮系统是开环不稳定的，嵌入额外的振动控制算法会影响系统稳定性，陀螺效应更是加剧了系统的不稳定。目前很多振动控制方法及稳定性分析方法已经被设计用于各种特定的磁悬浮系统，但这些方法的可扩展性和普遍性受到了很大的限制。

因此，将同频振动控制方法拓展到一种具有交叉耦合反对称特性的磁悬浮转子系统是非常有意义的，也是工程实践中迫切需要解决的问题。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明针对更为普遍的一种具有陀螺效应的多输入多输出交叉耦合反对称系统，提出一种针对交叉耦合反对称磁悬浮转子系统(简称交叉耦合反对称系统或磁悬浮转子系统)的同频振动控制方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案为：

首先建立通用形式的具有同频振动的交叉耦合反对称系统的动力学模型，设计基于陷波器的同频振动控制方法，同时引入复系数变换将双输入双输出系统简化为复系数单输入单输出系统，并证明变换前后系统稳定性条件的等价性，给出基于复系数频率特性的稳定性分析方法。

本发明公开的一种交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的同频振动控制方法，具体包括以下步骤：

一种交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的同频振动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统通用形式的动力学模型；

2)基于交叉解耦陷波器的振动控制方法，设计所述交叉耦合反对称系统的同频振动抑制方法，并嵌入交叉耦合反对称磁悬浮转子系统；

3)对嵌入同频振动抑制算法后的双输入双输出交叉耦合反对称系统进行稳定性分析，并给出系统稳定的充要条件；

4)引入复系数变换将双输入双输出的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统系统转换为复系数的单输入单输出的等效系统；

5)进一步给出复系数单输入单输出系统的稳定性充要条件，并证明变换前后系统稳定条件的等价性；

所述步骤1)中，通用形式的动力学模型表示如下：

其中，G₀(s)表示具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的开环传递函数；K₀(s)表示未嵌入同频振动抑制算法时的原前向控制通的传递矩阵；M_b和M_cr构成交叉解耦控制器，用于补偿系统存在耦合的问题；M_d为磁悬浮转子系统的其他剩余组成部分；P_d和P_cr为矩阵P(s)的构成元素；P(s)为定义的具有交叉耦合反对称特性的控制对象，即具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统，其表示为：

所述步骤2)具体包括：

由N₁(s)和N₂(s)构成交叉解耦陷波器，嵌入同频振动抑制算法后的前向控制通的传递矩阵K(s)表示为：

其中，λ₁和λ₂表示陷波器的增益，σ₁和σ₂表示陷波器的相移角，Ω表示转子转速，s表示复数域中的自变量；

嵌入同频振动抑制算法后，交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的开环传递函数G(s)为：

其中，

所述步骤3)中，具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子控制系统稳定的充要条件为：

enc_D(g₁(s),-1)＝n₀ (16)

其中，enc_D(g₁(s),-1)表示当s沿着D形围线顺时针变化时，g₁(s)的运动轨迹逆时针包围(-1,j0)点的圈数；对于每个给定s值而言，开环传递矩阵G(s)为具有2个特征值的复数矩阵，其特征值为关于自变量s的函数g₁(s),g₂(s)；n₀为特征函数g₁(s)在右半平面上的极点数；特征函数{g₁(s),g₂(s)}需满足等式det(g₁(s)-G(s))＝0，即g₁(s)＝v₁(s)+jv₂(s)，其中j表示虚数单位1，且有j²＝-1；

所述步骤4)中，引入复系数变换，将原双输入双输出系统转换为等效的复系数单输入单输出系统，其开环传递函数表示为：

其中，

和

分别为等效前向控制通道及对象的传递函数。、

优选的，所述步骤5)具体包括：

根据Nyquist稳定性判断准则，复系数单输入单输出系统稳定的充要条件为：

由于

式(16)和式(20)是等价的，即复系数变换前后系统稳定条件具有等价性；由此，可根据式(20)给出的基于复系数特性的稳定性充要条件分析交叉耦合反对称系统的稳定性。

通过本发明所述的控制方法对交叉耦合反对称的磁悬浮转子系统的同频振动进行有效抑制，与现有的针对特定磁悬浮转子系统的振动控制方法相比，优点在于：

(1)将同频振动控制方法拓展到某一类对象，提出一种具有同频振动的交叉耦合反对称系统的动力学模型，并给出该模型的通式，不局限于特定的对象，使之能够广泛适用于多种结构的磁悬浮转子系统，因而控制方法具有普遍适用性和扩展性。

(2)设计一种基于陷波器同频振动控制方法，该方法涉及交叉解耦技术，在实现振动抑制的同时有效地解决了转子高速旋转时产生的陀螺效应问题；

(3)通过复系数变换，将双输入双输出系统简化为复系数单输入单输出系统，并证明变换前后系统稳定条件的等价性，给出基于复系数频率特性的稳定性分析方法。

附图说明

图1交叉耦合反对称系统的结构框图；

图2基于陷波器的交叉耦合反对称系统控制框图；

图3等效的复系数单输入单输出控制框图。

具体实施方式

下面结合附图1至3及具体实施例对本发明的技术方案进行详细说明。

步骤一、建立一种具有同频振动的交叉耦合反对称系统的通用形式动力学模型

结合图1所示，定义P(s)为具有同频振动的交叉耦合反对称特性的控制对象，即交叉耦合反对称磁悬浮转子系统，其通式形式可以表示为：

式中，s表示复数域中的自变量，P_d和P_cr为矩阵P(s)的元素，没有特定含义，仅用于描述P(s)的交叉耦合反对称特性的表现形式。

假定ξ＝[β α]^T为控制对象P(s)的状态变量，γ＝[γ₁ γ₂]^T为控制对象P(s)的输入，Ψ＝[Ψ₁ Ψ₂]^T为控制对象P(s)的输出，其性质和表现形式为线性定常系统，可以表示为如下二阶微分方程：

其中，T(D),U(D),V(D),W(D)均为微分算子D的多项式，d表示同频振动，需要说明的是，同频振动实际上包括同频振动力和同频振动力矩，本发明不局限于对同频振动力或力矩的控制。

在零初始条件下对式(2)做拉普拉斯变换，得到：

其中，T(s),U(s),V(s),W(s)均为微分算子s的多项式。

于是，控制对象P(s)的传递函数矩阵可以表示为：

由此，磁悬浮转子系统的前向控制通道的传递矩阵可以表示为：

其中，M_b和M_cr构成了交叉解耦控制器，用于补偿磁悬浮转子系统存在耦合的问题；M_d为磁悬浮转子系统的其他剩余组成部分，如功率放大器和传感器等；且有M_b1＝M_b2＝M_b,M_cr1＝M_cr2＝M_cr，M_d1＝M_d2＝M_d。前向通道指从参考值ψ_r1，ψ_r2到控制对象输入γ₁,γ₂的通路。由式(5)可以看出，前向控制通道也表现为反对称的结构。

上述式(1)为磁悬浮转子的通用形式动力学模型，式(5)为等价于式(1)的传递函数矩阵形式，式(1)和式(5)组成了磁悬浮转子系统的通用形式传递函数矩阵，其中，传递函数矩阵形式是为了方便后续推导。由此，具有同频振动的交叉耦合反对称系统的磁悬浮转子的开环传递函数G₀(s)为：

步骤二、设计基于交叉解耦陷波器的同频振动控制方法

对于交叉耦合反对称系统，通常采用图2中所示的交叉解耦陷波器(同频振动抑制)，其形式如下：

其中，λ₁和λ₂表示陷波器的增益，σ₁和σ₂表示陷波器的相移角，Ω表示转子转速，s表示复数域中的自变量。

根据图2所示的交叉耦合反对称系统的同频振动控制框图，嵌入同频振动抑制算法的前向控制通的传递矩阵可以表示为：

其中，

由式(9)可见，嵌入同频振动抑制算法后的前向控制通的传递矩阵依然表现为反对称的结构。为了减小公式推导复杂度，将式(9)简化为：

其中，

因此，整个系统的开环传递函数可以表示为：

其中，

由式(11)可见，对于每个给定s值而言，开环传递矩阵G(s)为具有2个特征值的复数矩阵，其特征值为关于自变量s的函数g₁(s),g₂(s)。

步骤三、对步骤二中讨论的双输入双输出交叉耦合反对称系统进行稳定性分析

根据多变量控制系统的特征轨迹及相关理论，可知开环传递矩阵G(s)的特征函数{g₁(s),g₂(s)}需满足如下等式：

det(g_i(s)-G(s))＝0,i＝1,2 (12)

将式(11)代入式(12)，可得：

g_1,2(s)＝v₁(s)±jv₂(s) (13)

考虑到2×2矩阵G(s)的特征函数的零极点与其Smith-McMillan零极点相同，于是可以假定特征函数g₁(s),g₂(s)在右半平面上的极点数均为n₀。在实际系统中K(s)和P(s)均不存在零极点的条件下，系统稳定需满足以下条件：

由式(13)可以发现，g₁(s)和g₂(s)的Nyquist曲线关于实轴对称，且旋转方向一致，于是有：

因此，一种具有同频振动的交叉耦合反对称系统稳定的充要条件为：

enc_D(g₁(s),-1)＝n₀ (16)

其中，enc_D(g₁(s),-1)表示当s沿着D形围线顺时针变化时，g₁(s)的运动轨迹逆时针包围(-1,j0)点的圈数，其中，j为虚数单位，有j²＝-1；j0表示0与j相乘，实际含义对应复数域坐标系上的实轴。

但对于多输入多输出的一种交叉耦合反对称系统，基于多变量频率的稳定性判断方法大大增加了系统运算及稳定性分析的复杂度。

步骤四、运用复系数变换将步骤二中讨论的双输入双输出系统转换为复系数单输入单输出系统，并证明变换前后系统稳定条件的等价性

引入复系数变换

为复系数变换后的参考输入量，

可将双输入双输出系统转换为如图3所示的复系数单输入单输出系统。等效的前向控制通道和控制对象可以分别表示为：

其中，

N(s)＝N₁(s)+jN₂(s)

于是，等效的复系数单输入单输出系统的开环传递函数可以表示为：

假定M_d(s)和M_b(s)+jM_cr(s)在右半平面均不存在极点，复系数系统开环传递函数

在右半平面的极点个数为

和1+N₁(s)+jN₂(s)＝0在右半平面的零点个数和n₀。根据Nyquist稳定性判断准则，复系数单输入单输出系统稳定的充要条件为：

将式(11)中的子式v₁,v₂代入式(13)，可计算得：

结合式(20)和式(21)可以发现，复系数单输入单输出系统稳定条件(20)与多输入多输出系统稳定条件(16)等价，即复系数变换前后系统稳定具有等价性。由于磁悬浮转子系统为开环不稳定系统，系统的稳定性是控制算法是否可行的首要前提，所以有必要在对嵌入控制算法的系统进行稳定性分析。

具有同频振动的交叉耦合反对称系统为双输入双输出系统，即需要通过多变量的稳定性分析方法判断系统的稳定性；涉及多变量的方法比较复杂，计算量大。本发明通过证明复系数变换前后系统稳定具有等价性，提出一种基于复系数的稳定性分析方法；通过对等效单输入单输出系统稳定性的分析，即可判断多输入多输出系统的稳定性，大大减小了计算量。因此，根据变换后的复系数单输入单输出系统能够更为简便直观地判断多输入多输出交叉耦合反对称系统稳定性。

尽管以上结合附图对本发明的实施方案进行了描述，但本发明并不局限于上述的具体实施方案和应用领域，上述的具体实施方案仅仅是示意性的、指导性的，而不是限制性的。本领域的普通技术人员在本说明书的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围的情况下，还可以做出很多种的形式，这些均属于本发明保护之列。

Claims (1)

1.一种交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的同频振动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统通用形式的动力学模型；

2)基于交叉解耦陷波器的振动控制方法，设计所述交叉耦合反对称系统的同频振动抑制方法，并嵌入交叉耦合反对称磁悬浮转子系统；

3)对嵌入同频振动抑制算法后的双输入双输出交叉耦合反对称系统进行稳定性分析，并给出系统稳定的充要条件；

4)引入复系数变换将双输入双输出的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统系统转换为复系数的单输入单输出的等效系统；

5)进一步给出复系数单输入单输出系统的稳定性充要条件，并证明变换前后系统稳定条件的等价性；

所述步骤1)中，通用形式的动力学模型表示如下：

其中，G₀(s)表示具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的开环传递函数；K₀(s)表示未嵌入同频振动抑制算法时的原前向控制通的传递矩阵；M_b和M_cr构成交叉解耦控制器，用于补偿系统存在耦合的问题；M_d为磁悬浮转子系统的其他剩余组成部分；P_d和P_cr为矩阵P(s)的构成元素；P(s)为定义的具有交叉耦合反对称特性的控制对象，即具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子系统，其表示为：

所述步骤2)具体包括：

由N₁(s)和N₂(s)构成交叉解耦陷波器，嵌入同频振动抑制算法后的前向控制通的传递矩阵K(s)表示为：

其中，λ₁和λ₂表示陷波器的增益，σ₁和σ₂表示陷波器的相移角，Ω表示转子转速，s表示复数域中的自变量；

嵌入同频振动抑制算法后，交叉耦合反对称磁悬浮转子系统的开环传递函数G(s)为：

其中，

所述步骤3)中，具有同频振动的交叉耦合反对称磁悬浮转子控制系统稳定的充要条件为：

enc_D(g₁(s),-1)＝n₀ (16)

其中，enc_D(g₁(s),-1)表示当s沿着D形围线顺时针变化时，g₁(s)的运动轨迹逆时针包围(-1,j0)点的圈数；对于每个给定s值而言，开环传递矩阵G(s)为具有2个特征值的复数矩阵，其特征值为关于自变量s的函数g₁(s),g₂(s)；n₀为特征函数g₁(s)在右半平面上的极点数；特征函数{g₁(s),g₂(s)}需满足等式det(g₁(s)-G(s))＝0，即g₁(s)＝υ₁(s)+jυ₂(s)，其中j表示虚数单位1，且有j²＝-1；

所述步骤4)中，引入复系数变换，将原双输入双输出系统转换为等效的复系数单输入单输出系统，其开环传递函数表示为：

其中，

和

分别为等效前向控制通道及对象的传递函数；

所述步骤5)具体包括：

根据Nyquist稳定性判断准则，复系数单输入单输出系统稳定的充要条件为：

由于

式(16)和式(20)是等价的，即复系数变换前后系统稳定条件具有等价性；

由此，可根据式(20)给出的基于复系数特性的稳定性充要条件分析交叉耦合反对称系统的稳定性。

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