CN107807533A - 基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法，首先通过复系数代换将磁悬浮转子扭转方向上的双输入双输出耦合控制系统转换为单输入单输出复系数系统，然后将实数域同频陷波器推广应用到该复系数控制系统上，并分析了该系统的稳定性，最后提出了一种复数域下的同频振动力矩控制器转换到实数域下的实现形式。与传统实系数陷波器系统相比，本方法策略简化了实系数系统的运算复杂性，有利于耦合控制系统中的稳定性和鲁棒性分析。
Description
技术领域
本发明属于磁轴承系统主动振动控制技术领域，具体涉及一种基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法。
背景技术
在磁悬浮飞轮系统中，同频振动主要由转子的质量不平衡引起，转子的质量静不平衡导致转子的质心和几何中心的偏差，并引起同频振动力；转子的质量动不平衡导致惯性轴和几何轴不重合，因而在径向扭转方向上引起同频振动力矩。
磁悬浮飞轮转子径向平动方向两轴动力学相互解耦，对于径向平动方向振动力的处理是两个相互解耦的单输入单输出系统。但是，磁悬浮飞轮同频振动力矩表现在径向扭转方向，径向扭转方向的动力学是一个两输入两输出耦合系统，与径向平动方法表现出来的控制系统动力学状态完全不同。在悬浮飞轮转子稳定悬浮控制系统中切入振动力矩控制器后，系统的稳定性必然受到影响，双输入双输出的耦合动力学对转子的稳定性分析将是一个大的挑战。
复数域下的滤波器/陷波器在语音信号处理中已经有了很长时间的应用。复数域下的陷波器，与实数域的陷波器相比略有不同。传统的实系数陷波器只有频率选择能力，没有极性选择能力，例如对50Hz信号，无法区分正负极性。也就是说，这些陷波器不能在正(50Hz)和负(50Hz)极性间作出区别。以一个典型的实系数二阶陷波器为例，正负序列都可以通过陷波器，并不能抑制特定频率处的扰动。也就是说，正负序列不能由这种实系数陷波器直接提取出来。复数域陷波器具有对频率内容和极性选择的双重性能。尽管在主动振动抑制领域采用复系数域下的陷波器研究甚少，但复系数陷波器作为一种可以在复数域中简单运算和分析的形式，在复系数系统中使用起来更为方便。
发明内容
本发明主要针对动不平衡表现出的径向扭转方向耦合振动力矩抑制问题，通过同频陷波器，实现对双输入双输出耦合动力学系统的主动振动控制，即，通过对复系数系统直接设计复数域陷波器，再根据复数域陷波器算子将复数域陷波器转换到实数域中实现和应用，可简化实系数系统的运算复杂性，并有利于耦合控制系统中的稳定性和鲁棒性分析。
为实现上述目的，本发明针对磁悬浮飞轮提出一种基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法，其主要实现思路为：
首先通过复系数代换将原双输入双输出耦合系统表示为单输入单输出复系数系统，并创新性地将实数域同频陷波器推广到复数域内。将复数域下的陷波器引入所变换的等效单输入单输出复系数系统，有效地证明了闭环复系数系统的稳定性。在确闭环系统稳定性的情况下，进一步通过复系数逆变换，提出复数域下的同频振动力矩控制器转换到实数域下的实现形式。具体技术方案如下：
本发明所公开的基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法，包括以下步骤：
一种基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)基于位移传感器系统建立同频振动力矩动力学模型；
2)搭建带有分散PID控制器以及交叉反馈控制器的径向扭转方向控制系统，即双输入双输出耦合动力学控制系统；
3)通过复系数代换将上述双输入双输出耦合动力学控制系统重构为复系数单输入单输出控制系统，即新控制系统；
4)通过复数域同频陷波器对复系数单输入单输出控制系统进行同频振动控制；
5)对复数域同频陷波器进行逆变换，并将复数域同频陷波器的实数域实现方式代入双输入双输出耦合动力学控制系统，得到基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩控制系统；
6)定义不添加复数域同频陷波器的闭环控制系统的灵敏度函数，根据该灵敏度函数求得在全转速范围内添加复数域同频陷波器的稳定调节相位；
7)根据步骤5)得到的基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩控制系统以及步骤6)求得的稳定调节相位，对转子扭转方向进行控制。
作为一种优选方案，步骤5)中，采用基本复系数算子实现复数域陷波器到实数域的逆变换，即在实部信号通道和虚部信号通道中采用交叉解耦的方式使得原本不对称的控制通道具有共轭对称的特性。
作为一种优选方案，所述步骤1)中，根据牛顿第二定律，磁悬浮飞轮转子在径向扭转方向上的动力学方程为：
其中，Jy、Jx和Jz分别表示飞轮绕x轴、y轴和z轴的惯量，Ω为转子的旋转速度，px和py分别是径向扭转方向α和β方向的电磁力矩，pdx和pdy分别是α和β方向的同频振动力矩，并且有：
其中，rm表示从转子几何中心到传感器中心的距离，kiz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，ksz表示轴向磁轴承的位移刚度系数，iα和iβ分别表示α和β方向的控制电流，χd表示α和β方向离心率的初始相位角；
所述步骤2)中，带有分散PID控制器以及交叉反馈控制器的径向扭转方向控制系统可以表示为：
其中，磁悬浮飞轮径向扭转方向两轴的动力学由于转子转速的影响而相互耦合；
所述步骤3)中，定义新的变量η＝β+jα，其中角位移α超前β90度，j是虚数单位1，并且有j2＝-1，将步骤2)中的第一个方程乘以j在加上第二个方程，得到如下的复系数微分方程：
其中，根据磁轴承的对称性设计结构有Jx＝Jy＝Jr；
在零初始条件下对复系数微分方程进行Laplace变换，并得到复系数单输入单输出磁悬浮转子闭环系统动力学方程为：
其中，控制对象和控制通道分别描述为：
G(s)＝ga(s)[gc(s)+jgcr(s)]
复系数单输入单输出控制系统的开环传递函数表示为：
进而得到复系数单输入单输出控制系统的闭环特征方程为：
所述步骤4)中，提取G(s)的输入信号，乘以λ和N(s)后，反相叠加到前级；其中，N(s)为复数域同频陷波器，其形式为：
N(s)＝N1(s)+jN2(s)
并且有：
其中，θ1和θ2分别表示两个实系数同频陷波器N1(s)和N2(s)的稳定调节相位；
引入复系数同频陷波器的复系数单输入单输出控制系统的闭环系统动力学方程为：
引入复系数同频陷波器的复系数单输入单输出控制系统的闭环特征方程为：
所述步骤5)中，通过实数域中的实系数同频陷波器N1(s)和N2(s)来实现复数域中的复系数陷波器N(s)的功能，
其中，N*(s)表示N(s)的共轭函数；
将N(s)＝N1(s)+jN2(s)的实数域实现方式代入原双输入双输出耦合动力学控制系统，其中，复系数虚部环节在实数域中采用交叉解耦的方式来实现。
作为一种优选方案，所述步骤6)中，对不添加复系数同频陷波器的复系数闭环传递系统定义灵敏度函数为：
添加复系数陷波器后，扰动输入Θη(s)到角度误差ηe(s)的传递函数为：
新控制系统的闭环特征方程为：
q(s)＝1+λ[N1(s)+jN2(s)]+G(s)+H(s)＝0
代入N1(s)、N2(s)以及灵敏度函数S(s)的表达式后，得到：
q(s)＝1+λ[scosθ1+Ωsinθ1+j(scosθ2+sinθ2)]+S(s)＝0
为保证闭环系统在工作转速Ω时保持稳定，设：
s＝jΩ
将s＝jΩ代入新控制系统的闭环特征方程中，并在λ＝0处求导：
作为一种优选方案，为使闭环极点均落在s平面的左半平面，位于虚轴上的极点的起始角需要满足：
新控制系统的稳定条件为：
有益效果：
1)应用复数域陷波器解决了经典控制理论中双输入双输出耦合系统的控制难题，实现对双输入双输出耦合动力学系统的主动振动控制；
2)针对耦合系统将传统实数域陷波器应用于复数域中，然后应用复数域分析方法，可以快速设计出耦合系统中的陷波器参数，使得磁悬浮飞轮在全转速下保持稳定；
3)简化了实系数系统的运算复杂性，且有利于分析耦合控制系统的稳定性和鲁棒性。
附图说明
图1为磁悬浮飞轮径向扭转方向控制系统基本框图；
图2为复系数同频控制框图；
图3位复系数同频振动控制框图；
图4为复系数对实数域的转换实现；
图5为基于交叉解耦方法的同频振动力矩控制结构框图；
具体实施方式
下面结合附图和具体实施步骤对本发明进行详细说明。
在磁悬浮飞轮系统中，使用两自由度径向磁轴承控制转子的径向平动，三自由度轴向磁轴承控制转子的轴向平动以及径向扭转运动。其中，两自由度径向磁轴承与三自由度轴向磁轴承相互解耦。由于质量不平衡，转子几何轴和惯性轴不重合，因而在径向扭转方向上引起同频振动力矩，该方向上的动力学问题是一个双输入双输出的耦合系统。
下面研究如何抑制径向扭转方向上的耦合同频振动力矩。
步骤一、建立同频振动力矩动力学模型。
通常来说，在径向扭转方向上，几何轴OG(α,β)和惯性轴OI(αi,βi)不重合，并可以表示为：
其中，εd表示OG和OI之间的离心率，χd表示α和β方向离心率的初始相位角，Ω为转子的旋转速度。可见，磁悬浮飞轮工作时存在着不平衡振动力矩。
根据牛顿第二定律，磁悬浮飞轮转子在径向扭转方向上的动力学方程为：
其中，Jy、Jx和Jz分别表示飞轮绕x轴、y轴和z轴的惯量，px和py分别是径向扭转方向α和β方向的电磁力矩，pdx和pdy分别是α和β方向的同频振动力矩，并且有：
其中，rm表示从转子几何中心到传感器中心的距离，kiz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，ksz表示轴向磁轴承的位移刚度系数，iα和iβ分别表示α和β方向的控制电流。
步骤二、搭建带有分散PID控制器及交叉反馈控制器的径向扭转方向控制系统，即双输入双输出耦合动力学控制系统(简称原控制系统)。
对于磁悬浮转子系统径向扭转方向的稳定控制，通常采用分散PID基本控制器及交叉反馈控制器的复合控制方法，交叉反馈控制器主要用于克服转子高速时陀螺效应引起的章动进动失稳问题。
如图1所示，带有分散PID控制器及交叉反馈控制器的径向扭转方向控制系统中，gc(s)和gcr(s)分别表示分散PID控制器及交叉反馈控制器的传递函数，gs(s)表示位移传感器的传递函数，ga(s)表示功放系统传递函数，Jr表示飞轮绕x轴或y轴的转动惯量(根据磁轴承的对称性设计结构有Jx＝Jy＝Jr)。那么在面临强陀螺效应下的磁悬浮转子径向扭转方向的闭环控制系统动力学方程可以表示如下：
由式(5)可以看出，此磁悬浮飞轮径向扭转方向两轴的动力学由于转子的影响相互耦合。
步骤三、通过复系数代换，将上述双输入双输出耦合动力学控制系统重构为复数域下的下的单输入单输出控制系统。
从磁悬浮飞轮转子的坐标定义中可以看到，对于磁悬浮飞轮转子扭转方向控制，角位移α超前β90度，因此，定义新的变量η＝β+jα，其中j是虚数单位1，并且有j2＝-1。注意步骤二中得到闭环控制系统动力学方程的不对称性，将其中的第一个方程乘以j再加上第二个方程，可以得到如下的复系数微分方程：
该复系数微分方程包括了径向扭转方向带有分散PID控制器gc(s)和交叉反馈控制器gcr(s)的动力学特征。在零初始条件下，对式(6)进行Laplace变换可以得到复系数单输入单输出磁悬浮转子闭环系统动力学方程为：
根据Laplace变换后的复系数微分方程可以等效为一个ηr(s)至η(s)的单输入单输出控制系统，如图2所示，且此复数域下的动力学模型对应的控制对象和控制通道可以分别描述为：
G(s)＝ga(s)[gc(s)+jgcr(s)] (9)
因此，原实数域下的双输入双输出耦合动力学控制系统可以转换为复数域下的单输入单输出控制系统(也称复系数单输入单输出控制系统)。这一转换为磁悬浮转子闭环控制系统使用单变量的频域稳定性理论进行稳定性分析和证明提供了很大的便利。
进一步，复系数单输入单输出控制系统的开环传递函数可以表示为：
复系数单输入单输出控制系统的闭环特征方程为：
即得到：
步骤四：在复数域中应用全转速同频陷波器，实现对复系数单输入单输出控制系统进行同频振动控制。
基于步骤三推导出的复系数单输入单输出磁悬浮转子闭环控制系统动力学方程，设计复数域下的同频振动控制器结构如图3所示，其中，λ为陷波器带宽，N(s)为复系数同频陷波器(又称复数域同频陷波器或复系数同频振动力矩控制器)，并设计为如下形式：
N(s)＝N1(s)+jN2(s) (13)
并且有：
其中，θ1和θ2分别表示两个实系数同频陷波器N1(s)和N2(s)的稳定调节相位。引入全转速同频陷波器后的复系数单输入单输出控制系统(简称新控制系统)的闭环系统动力学方程：
此时，控制通道表示为：
因此，开环传递函数重新写为：
闭环特征方程表示为：
即复数域下新控制系统的闭环特征方程可以推导为：
步骤五、对所设计的复数域同频陷波器进行逆变换，提出一种复数域同频陷波器在实数域下的具体实现方式。
对于复数域同频陷波器来说，最终都要通过逆变换形式将该复数域同频陷波器转换到实数域中，以便于实际工程中应用。通常采用基本复系数算子实现复数域同频陷波器到实数域的逆转换，即在实部信号通道和虚部信号通道中采用交叉解耦的方式使得原本不对称的控制通道具有共轭对称的特性。
一个复系数同频陷波器可以通过两个实系数同频陷波器来实现应用。通过实系数同频陷波器N1(s)和N2(s)可以在实数域中等效实现步骤四中的复系数同频陷波器N(s)，如图4所示。其中，
式中，N*(s)表示N(s)的共轭函数。
因此，对于径向扭转方向的同频振动力矩控制系统，将N(s)＝N1(s)+jN2(s)的实数域实现方式代入图1所示的双输入双输出耦合动力学控制系统中，可以得到实数域同频振动力矩闭环控制系统的系统框图如图5所示。从图5可以看出，对于复系数陷波器，其复系数虚部环节在实数域中采用交叉解耦的方式来实现，有一个虚数单位j就有一个交叉解耦形式，因此，将这种实数域中的共轭同频陷波器(即实数域中N1(s)和N2(s)组成的陷波器)称作交叉解耦陷波器。
步骤六、在全转速范围内分析闭环控制系统的稳定性。
为了评价闭环系统对扰动的敏感能力，对图2所示的不添加复系数同频陷波器的复系数闭环传递系统定义灵敏度函数为：
添加复系数陷波器后，系统控制框图如图3所示。扰动输入Θη(s)到角度误差ηe(s)的传递函数为：
那么新控制系统的闭环特征方程q(s)为：
q(s)＝1+λ[N1(s)+jN2(s)]+G(s)+H(s)＝0 (23)
代入N1(s)、N2(s)以及灵敏度函数S(s)的表达式后，得到：
q(s)＝1+λ[scosθ1+Ωsinθ1+j(scosθ2+sinθ2)]+S(s)＝0 (24)
为了保证闭环系统在工作转速Ω时保持稳定，则应设：
s＝jΩ (25)
将此条件代入式(23)中，并在λ＝0处求导：
进一步可求得：
为了使闭环极点均落在s平面的左半平面，位于虚轴上的极点的起始角需要满足如下条件：
综上可得，新控制系统的稳定条件为：
预先测出不添加复系数陷波器的闭环控制系统的灵敏度函数，即可根据该灵敏度函数求得不同转速下使添加复系数陷波器的闭环控制系统稳定调节相位θ1和θ2。
步骤七、根据基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩控制系统，对转子扭转方向进行控制，即可获得良好的同频振动力矩控抑制效果。
即采用如图5所示的基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩控制系统，并根据步骤六所述的θ1和θ2参数选取方式，对转子扭转方向进行控制，从而获得良好的控制效果。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (5)
1.一种基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩抑制控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)基于位移传感器系统建立同频振动力矩动力学模型；
2)搭建带有分散PID控制器以及交叉反馈控制器的径向扭转方向控制系统，即双输入双输出耦合动力学控制系统；
3)通过复系数代换将上述双输入双输出耦合动力学控制系统重构为复系数单输入单输出控制系统，即新控制系统；
4)通过复数域同频陷波器对复系数单输入单输出控制系统进行同频振动控制；
5)对复数域同频陷波器进行逆变换，并将复数域同频陷波器的实数域实现方式代入双输入双输出耦合动力学控制系统，得到基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩控制系统；
6)定义不添加复数域同频陷波器的闭环控制系统的灵敏度函数，根据该灵敏度函数求得在全转速范围内添加复数域同频陷波器的稳定调节相位；
7)根据步骤5)得到的基于交叉解耦陷波方法的同频振动力矩控制系统以及步骤6)求得的稳定调节相位，对转子扭转方向进行控制。
2.根据权利要求1所述的同频振动力矩抑制控制方法，其特征在于，步骤5)中，采用基本复系数算子实现复数域陷波器到实数域的逆变换，即在实部信号通道和虚部信号通道中采用交叉解耦的方式使得原本不对称的控制通道具有共轭对称的特性。
3.根据权利要求1或2所述的同频振动力矩抑制控制方法，其特征在于，
所述步骤1)中，根据牛顿第二定律，磁悬浮飞轮转子在径向扭转方向上的动力学方程为：
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其中，Jy、Jx和Jz分别表示飞轮绕x轴、y轴和z轴的惯量，Ω为转子的旋转速度，px和py分别是径向扭转方向α和β方向的电磁力矩，pdx和pdy分别是α和β方向的同频振动力矩，并且有：
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</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
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<mi>J</mi>
<mi>x</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
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<mi>J</mi>
<mi>z</mi>
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<mo>)</mo>
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<mi>&epsiv;</mi>
<mi>d</mi>
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<msup>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>2</mn>
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<mi>c</mi>
<mi>o</mi>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>t</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&chi;</mi>
<mi>d</mi>
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<mtr>
<mtd>
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<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
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</mrow>
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<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
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<mi>J</mi>
<mi>y</mi>
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<mo>-</mo>
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<mi>J</mi>
<mi>z</mi>
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<mo>)</mo>
<msub>
<mi>&epsiv;</mi>
<mi>d</mi>
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<msup>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mo>(</mo>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>t</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&chi;</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，rm表示从转子几何中心到传感器中心的距离，kiz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，ksz表示轴向磁轴承的位移刚度系数，iα和iβ分别表示α和β方向的控制电流，χd表示α和β方向离心率的初始相位角；
所述步骤2)中，带有分散PID控制器以及交叉反馈控制器的径向扭转方向控制系统可以表示为：
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<mover>
<mi>&beta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
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<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>k</mi>
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<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
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<mi>&beta;</mi>
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<mn>2</mn>
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<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
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<mi>g</mi>
<mrow>
<mi>c</mi>
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>&Omega;&alpha;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>x</mi>
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<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
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<mi>J</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mover>
<mi>&beta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<msub>
<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>g</mi>
<mi>a</mi>
</msub>
<msub>
<mi>g</mi>
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<mo>&lsqb;</mo>
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<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mi>r</mi>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
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<mi>g</mi>
<mrow>
<mi>c</mi>
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</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>&Omega;&beta;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
其中，磁悬浮飞轮径向扭转方向两轴的动力学由于转子转速的影响而相互耦合；
所述步骤3)中，定义新的变量η＝β+jα，其中角位移α超前β90度，j是虚数单位1，并且有j2＝-1，将步骤2)中的第一个方程乘以j在加上第二个方程，得到如下的复系数微分方程：
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
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<mi>jJ</mi>
<mi>z</mi>
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<mi>&Omega;</mi>
<mover>
<mi>&eta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>k</mi>
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</mrow>
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<msub>
<mi>r</mi>
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<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
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<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<mi>g</mi>
<mi>s</mi>
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<mi>g</mi>
<mi>a</mi>
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<mo>+</mo>
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<mrow>
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<mi>r</mi>
</mrow>
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</mrow>
<msub>
<mi>&eta;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，根据磁轴承的对称性设计结构有Jx＝Jy＝Jr；
在零初始条件下对复系数微分方程进行Laplace变换，并得到复系数单输入单输出磁悬浮转子闭环系统动力学方程为：
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>&eta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>jJ</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>s</mi>
<mi>&eta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
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</mrow>
<mo>-</mo>
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<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<mi>r</mi>
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<mn>2</mn>
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</mrow>
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<mn>2</mn>
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<mi>m</mi>
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<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
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</mrow>
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<msub>
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<mi>s</mi>
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<msub>
<mi>g</mi>
<mi>a</mi>
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<mo>&lsqb;</mo>
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<mi>g</mi>
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</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>jg</mi>
<mrow>
<mi>c</mi>
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<msub>
<mi>&eta;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，控制对象和控制通道分别描述为：
<mrow>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
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<mi>g</mi>
<mi>s</mi>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
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<mi>z</mi>
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<mi>s</mi>
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<mn>2</mn>
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<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
G(s)＝ga(s)[gc(s)+jgcr(s)]
复系数单输入单输出控制系统的开环传递函数表示为：
<mrow>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<mi>s</mi>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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</mrow>
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<mi>g</mi>
<mi>a</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
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<mi>c</mi>
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<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
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<mi>jg</mi>
<mrow>
<mi>c</mi>
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>jJ</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>s</mi>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
进而得到复系数单输入单输出控制系统的闭环特征方程为：
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>jJ</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>s</mi>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<msubsup>
<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<msub>
<mi>g</mi>
<mi>s</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>g</mi>
<mi>a</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
<msub>
<mi>g</mi>
<mi>b</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>jg</mi>
<mrow>
<mi>c</mi>
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>;</mo>
</mrow>
所述步骤4)中，提取G(s)的输入信号，乘以λ和N(s)后，反相叠加到前级；
其中，N(s)为复数域同频陷波器，其形式为：
N(s)＝N1(s)+jN2(s)
并且有：
<mrow>
<msub>
<mi>N</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>scos&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&Omega;sin&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>N</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>scos&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&Omega;sin&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&Omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
其中，θ1和θ2分别表示两个实系数同频陷波器N1(s)和N2(s)的稳定调节相位；
引入复系数同频陷波器的复系数单输入单输出控制系统的闭环系统动力学方程为：
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>&eta;</mi>
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<mo>)</mo>
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<mo>-</mo>
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<mi>jJ</mi>
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<mi>s</mi>
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<mrow>
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</mrow>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>s</mi>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
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<mi>&eta;</mi>
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<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
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<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<mi>g</mi>
<mi>a</mi>
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<mrow>
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<mi>g</mi>
<mi>s</mi>
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<mo>&lsqb;</mo>
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<mi>g</mi>
<mi>c</mi>
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<mo>)</mo>
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<mo>+</mo>
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<mi>c</mi>
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mi>&lambda;</mi>
<mo>&lsqb;</mo>
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<mi>N</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>jN</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mfrac>
<msub>
<mi>&eta;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
引入复系数同频陷波器的复系数单输入单输出控制系统的闭环特征方程为：
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msup>
<mi>s</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
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<mi>jJ</mi>
<mi>z</mi>
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<mi>&Omega;</mi>
<mi>s</mi>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
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<msubsup>
<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
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<msub>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
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</mrow>
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<msub>
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<mi>a</mi>
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<mrow>
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<mi>g</mi>
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</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&lsqb;</mo>
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<mi>g</mi>
<mi>c</mi>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
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<mi>jg</mi>
<mrow>
<mi>c</mi>
<mi>r</mi>
</mrow>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mi>&lambda;</mi>
<mo>&lsqb;</mo>
<msub>
<mi>N</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>jN</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
所述步骤5)中，通过实数域中的实系数同频陷波器N1(s)和N2(s)来实现复数域中的复系数陷波器N(s)的功能，
<mrow>
<msub>
<mi>N</mi>
<mn>1</mn>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
其中，N*(s)表示N(s)的共轭函数；
将N(s)＝N1(s)+jN2(s)的实数域实现方式代入原双输入双输出耦合动力学控制系统，其中，复系数虚部环节在实数域中采用交叉解耦的方式来实现。
4.根据权利要求3所述的同频振动力矩抑制控制方法，其特征在于，
所述步骤6)中，对不添加复系数同频陷波器的复系数闭环传递系统定义灵敏度函数为：
<mrow>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
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<mn>1</mn>
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<mi>H</mi>
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</mrow>
</mfrac>
</mrow>
添加复系数陷波器后，扰动输入Θη(s)到角度误差ηe(s)的传递函数为：
<mrow>
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<mo>+</mo>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
新控制系统的闭环特征方程为：
q(s)＝1+λ[N1(s)+jN2(s)]+G(s)+H(s)＝0
代入N1(s)、N2(s)以及灵敏度函数S(s)的表达式后，得到：
q(s)＝1+λ[scosθ1+Ωsinθ1+j(scosθ2+sinθ2)]+S(s)＝0
为保证闭环系统在工作转速Ω时保持稳定，设：
s＝jΩ
将s＝jΩ代入新控制系统的闭环特征方程中，并在λ＝0处求导：
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>s</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
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<mo>(</mo>
<mi>j</mi>
<mi>&Omega;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mo>.</mo>
</mrow>
5.根据权利要求4所述的同频振动力矩抑制控制方法，其特征在于，
为使闭环极点均落在s平面的左半平面，位于虚轴上的极点的起始角需要满足：
<mrow>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
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</mrow>
新控制系统的稳定条件为：
<mrow>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>3</mn>
<mn>4</mn>
</mfrac>
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<mn>2</mn>
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<mn>2</mn>
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<mo>&rsqb;</mo>
<mo><</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>4</mn>
</mfrac>
<mi>&pi;</mi>
<mo>.</mo>
</mrow>
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