CN1851719A - 一种判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法 - Google Patents

Abstract

一种判定磁悬浮转子系统稳定性的方法，通过建立磁悬浮转子系统的径向转动运动动力学微分方程模型，采用复数变换将实系数两变量方程转化为复系数单变量形式，得到单变量等效系统，然后绘制等效复系数系统开环传递函数的双频Bode图，利用推广的经典频率域稳定性判据判定转子进动和章动的稳定性，为设计提高系统稳定性的校正环节提供必要条件。本发明将多变量系统转化为等效单变量系统，从而可以沿用经典的单变量控制理论进行稳定性分析，相对通常的多变量方法如状态空间分析方法等，不仅非常直观，而且具有良好的鲁棒性，因而更适合实际系统的应用。

Description

一种判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法

技术领域

本发明涉及一种磁悬浮转子系统稳定性判定方法，可以用于磁悬浮转子系统径向转动模态的稳定性分析，以及判断磁悬浮转子的进动和章动是否稳定。

背景技术

相对于传统的机械滚珠轴承，磁轴承具有无接触、刚度和阻尼主动可控等突出优点，因而没有摩擦和磨损，也无需润滑、允许转子高速旋转、振动小、支承精度高，特别适合于超净环境设备、高转速设备和要求低振动，高精度，长寿命的航天设备。目前，基于磁轴承的磁悬浮转子系统已经在离心机、高精度数控车床、透平机、储能飞轮，以及磁悬浮飞轮和磁悬浮控制力矩陀螺等航天器姿态控制执行机构中得到日益广泛的应用，并且有取代机械轴承的趋势。

在设计磁悬浮转子系统的过程中，判定系统的稳定性是其中的关键步骤。只有了解磁悬浮转子系统在整个转速范围内不同转速下的运动稳定性，才能设计有效的控制器，提高和保障系统的稳定性。由于磁悬浮转子系统的轴向运动和径向平动均可解耦为单自由度运动，且稳定性与转速无关，而径向两自由度转动在转子自转时存在陀螺耦合，稳定性与转速密切相关，因而判定径向转动的稳定性是磁悬浮转子系统稳定性问题的难点和关键。陀螺耦合使径向转动模态分化为进动和章动，所以判定径向转动稳定性可以进一步归结为判定不同转速时转子进动和章动的稳定性。

陀螺耦合的存在使磁悬浮转子系统的径向转动子系统成为实数域内不可解耦的两变量系统，目前通常采用适于多变量系统的状态空间分析方法进行稳定性分析和判定。但状态空间方法过分依赖系统模型和数学分析，不具备经典控制理论的直观性和鲁棒性，不便于实际应用。对于陀螺耦合较弱的磁悬浮转子系统，可以忽略陀螺耦合而近似应用经典单变量控制理论进行分析，但这种近似处理方法不适用于具有强陀螺耦合效应的磁悬浮转子系统。

发明内容

本发明的技术解决问题：克服现有技术的不足，提供一种具有良好的鲁棒性、直观及适合实际系统的一种判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法。

本发明的技术解决方案是：一种判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特点在于包括下列步骤：

(1)建立闭环转子动力学微分方程模型

定义转子坐标系oxyz，o点位于转子质心，x和y轴沿转子径向且只跟随转子的径向转动而不跟随自转，z轴沿转子轴向。根据磁悬浮转子系统的参数，代入下式得到转子径向转动运动的动力学微分方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_y\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}-H\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-2k_h{l}_m^2\mathrm{\β}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w{g}_c\mathrm{\β}+p_{\mathrm{dy}}\\ J_x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+H\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-2k_h{l}_m^2\mathrm{\α}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w{g}_c\mathrm{\α}+p_{\mathrm{dx}}\end{array}\right.$

上式中卡尔丹角α、β表示转子径向相对定子绕x，y轴转动的角位移，J_x＝J_y和J_z分别为转子径向和轴向的转动惯量，H＝J_zΩ＝2πJ_zF_r为转子角动量，Ω(单位rad/s)和F_r(单位Hz)为转子转速，p_dx和p_dy为转子径向的扰动力矩，k_i和k_h为磁轴承的位移刚度和电流刚度，k_s为磁轴承位移传感器灵敏度，l_m和ls分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的距离，g_c和g_w为控制器和功放的输入-输出变换算子，即有 $L\left[g_c\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_c\left(s\right),$ $L\left[g_w\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_w\left(s\right).$ 这里L表示拉氏变换，s为算子，g_c(s)和g_w(s)为控制器和功放的传递函数。

(2)将实系数两变量方程转化为复系数单变量形式

引入虚数单位j，令J_rr＝J_x＝J_y，φ＝α+jβ，p_d＝p_dx+jp_dy，将微分方程组的第一式乘以j再加到第二式，将实系数两变量模型变换为如下的复系数单变量形式：

再做拉氏变换得到：

利用上式将原系统等效为一个复系数单变量的单位反馈系统，其等效被控对象和等效控制通道传递函数分别为：

$g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2}$

g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_sg_w(s)g_c(s)

等效开环传递函数和特征方程分别为：

$g_{\mathrm{OL}}\left(s\right)=\frac{2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w\left(s\right)g_c\left(s\right)}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2}$

1+g_OL(s)＝0

(3)开环正实部极点数即Q值计算

类似于经典频率域稳定性判据，应用本发明判定磁悬浮转子径向转动稳定性时首先要知道开环系统的正实部极点数。由于g_ceff(s)各环节均为最小相位环节，因而g_OL(s)的正实部极点只可能来自g_oeff(s)。令 $J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2=0,$ 解出开环极点：

其中 $H_0={2l}_m\sqrt{2J_{\mathrm{rr}}{k}_h},$ 对应的转子转速为 $F_{r0}=l_m\sqrt{2J_{\mathrm{rr}}{k}_h}/\left({\mathrm{\πJ}}_z\right).$ 用Q表示开环正实部极点数，根据上式，只要知道转子转速F_r，则F_r＜F_r0时Q＝1，而F_r＞F_r0时Q＝0。

(4)绘制等效复系数单变量系统的双频Bode图

经典控制理论中的Bode图仅包括实系数传递函数的幅频特性L(ω)和相频特性φ(ω)。对于复系数传递函数g_OL(s)，由于负频率特性g_OL(-jω)与正频率特性g_OL(jω)不对称，因而复系数传递函数的Bode图除了g_OL(jω)的L(ω)和φ(ω)之外，还要包括g_OL(-jω)的幅频特性L(-ω)和相频特性φ(-ω)。分别称g_OL(-jω)和g_OL(jω)Bode图为负频Bode图和正频Bode图，并统称为g_OL(jω)双频Bode图。

分别令s＝jω和s＝-jω，在ω＞0区域绘制g_OL((-jω)和g_OL(jω)的Bode图，包括幅频特性L(-ω)和L(ω)，以及相频特性φ(-ω)和φ(ω)，得到复系数单变量系统g_OL(s)的双频Bode图。

(5)径向转动运动稳定性判定

以复系数单变量系统的双频Bode图稳定性判据为：用L_N+和L_P+分别表示L(-ω)＞0和L(ω)＞0的ω区间，N_n+和N_n-表示φ(-ω)在L_N+正穿越和负穿越(2k+1)π线的次数，N_p+和N_p-表示φ(ω)在L_P+正穿越和负穿越(2k+1)π线的次数，k＝0，1，2...，N为总穿越次数即N＝N_n++N_p+-N_n--N_p-，Z表示闭环系统正实部极点数，则总有Z＝Q-N≥0，且闭环系统稳定的充要条件是Z＝0。

(6)进动和章动稳定性判定

若F_r＞F_r0且系统不稳定，还可以进一步区分是进动不稳定还是章动不稳定。以复系数单变量系统的双频Bode图稳定性判据为：将g_OL(s)双频Bode图分为ω＜ω_lh的低频段和ω＞ω_lh的高频段，ω_lh为F_r＝0Hz时特征方程根的虚部绝对值。定义低频段的总穿越次数和正实部闭环极点数为N_l和Z_l，高频段的相应值为N_h和Z_h。在低频段和高频段分别应用双频Bode图稳定性判据，若低频段Z_l＝-N_l＝1，则进动不稳定；若高频段Z_h＝-N_h＝1则章动不稳定。

本发明与现有技术相比的优点在于：通过将原系统等效为一个复系数单变量系统，从而可以沿用经典的单变量控制理论进行稳定性分析，同时也继承了经典控制理论具有的直观性和鲁棒性的优点，更适合于实际系统的应用。本发明同时还可以推广用于其他支承方式的对称转子系统。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明的磁悬浮闭环转子系统及坐标系定义；

图3为本发明等效复系数单变量系统框图；

图4为本发明不同转速下等效系统的开环极点(F_r＝0～400Hz)；

图5为本发明磁悬浮转子系统转动模态双频Bode图(F_r＝0Hz)；

图6为本发明磁悬浮转子系统转动模态双频Bode图(F_r＝80Hz)；

图7为本发明磁悬浮转子系统转动模态双频Bode图(F_r＝160Hz)；

图8为本发明磁悬浮转子系统转动模态双频Bode图(F_r＝240Hz)；

图9为本发明磁悬浮转子系统转动模态双频Bode图(F_r＝400Hz)。

具体实施方式

结合一种磁悬浮控制力矩陀螺所用的磁悬浮高速转子系统介绍本发明的内容。

稳定性判定的流程图如图1所示，首先建立磁悬浮转子系统的径向转动运动动力学微分方程模型，采用复数变换将实系数两变量方程转化为复系数单变量形式，得到复系数单变量等效系统，然后绘制等效复系数系统开环传递函数的双频Bode图，利用频率域稳定性判据判定径向转动运动的稳定性，如果稳定，则转子进动和章动都稳定，否则进一步判定是进动不稳定还是章动不稳定。

磁悬浮转子系统如图2所示，该系统由位移传感器、控制器、功放、电磁铁和转子构成，图中只画出转子A、B两端y方向的磁轴承，x方向与之类似。磁轴承每个自由度都由位移传感器测量该自由度上的转子位移，如果转子不在给定的零位上，则误差信号通过磁轴承控制器按照既定控制律运算后，由功放输出相应的控制电流，驱动磁轴承电磁铁产生适当的磁力吸引转子回复到给定位置上。图中u₀表示对应功放输入的偏置电压。

等效复系数单变量系统框图如图3所示，其中 $g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2}$ 和

g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_sg_w(s)g_c(s)分别为等效被控对象和等效器的传递函数，p_d和分别为扰动输入和系统输出。

F_r＝0～400Hz时系统等效的复系数单变量系统的开环极点如图4所示，其中“×”号表示极点。由于等效对象中的刚度项为负，所以开环极点的虚部均为正值，极点均处于复平面的上半部。F_r0＝115Hz，F_r＜F_r0时开环极点为两个关于虚轴对称的复数，F_r＞F_r0后为两个纯虚数，虚部分别随转速升高而降低和升高。因此F_r＜F_r0时Q＝1，而F_r＞F_r0时Q＝0。

在ω＞0区域分别绘制g_OL(-jω)和g_OL(jω)的Bode图，其中ω＝2πf，得到磁悬浮转子系统的双频Bode图，如图5～图9所示，对应的转速分别为F_r＝0、80、160、240和400Hz。图中横轴为频率f(单位Hz)，上图为幅频特性，纵轴为对数增益(单位dB)，下图为相频特性，纵轴为相角(单位“°”)。相频特性中每个箭头表示半次穿越，向上为正穿越，向下为负穿越，二者之差的一半即总穿越次数N值。用L_N+和L_P+分别表示负频率和正频率幅频特性中增益高于0dB的频率区域，对图5～图9说明如下：

a)F_r＝0Hz时(图5)，Q＝1，N＝1-1-0.5-0.5＝1，Z＝1-1＝0，系统稳定。

b)F_r＝80Hz时(图6)，Q＝1，N＝1-1-0.5-0.5＝1，Z＝1-1＝0，稳定系统。

c)F_r＝160Hz时(图7)，Q＝0，N＝1+1-0.5-1.5＝0，Z＝0-0＝0，系统稳定。

d)F_r＝240Hz时(图8)，Q＝0，N＝1+1-0.5-2.5＝-1，Z＝0-(-1)＝1，系统不稳定。采用判据进一步考查低频段特性和高频段特性，二者的频率分界为f_lh＝ω_lh/(2π)＝95Hz。其中低频段特性上，N_l＝1+1-0.5-1.5＝0，Zl＝0，而高频段频率特性上，N_h＝0+0-0-1＝-1，Z_h＝1，因而是章动不稳定。

e)F_r＝400Hz时(图9)，Q＝0，N＝0+0-0.5-1.5＝-2，Z＝0-(-2)＝2，系统不稳定。采用判据进一步考查低频段特性和高频段特性，其中低频段特性上，N_l＝0+0-0.5-0.5＝-1，Z_l＝1，而高频段频率特性上，N_h＝0+0-0-1＝-1，Z_h＝1，因而进动和章动均不稳定。

基于双频Bode图的稳定性分析结果表明，F_r＝0、80、160Hz时系统稳定，F_r＝240时章动不稳定，而F_r＝400Hz时进动和章动均不稳定。

利用该磁悬浮控制力矩陀螺的磁悬浮转子系统进行了考查进动和章动稳定性的实验。实验时磁悬浮转子系统从F_r＝0Hz时开始升速。系统在低速时稳定，但升速到F_r＝175Hz时发生章动失稳。采用校正环节补偿高频滞后(但不影响低频特性)之后，系统重新恢复稳定。继续升高转子转速，系统在F_r＝250Hz时出现进动失稳。实验结果表明，未做补偿的磁悬浮转子系统在F_r＞175Hz后章动不稳定，而F_r＞250Hz后进动和章均不稳定。实验结果验证了本发明能正确判定磁悬浮转子系统径向转动的稳定性。

Claims (7)

1、一种判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特征在于包括下列步骤：

(1)建立磁悬浮转子系统的径向转动运动动力学微分方程模型

$\left\{\begin{array}{c}{J}_y\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}-H\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-2k_h{l}_m^2\mathrm{\β}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w{g}_c\mathrm{\β}+p_{\mathrm{dy}}\\ J_x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+H\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-2k_h{l}_m^2\mathrm{\α}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w{g}_c\mathrm{\α}+p_{\mathrm{dx}}\end{array}\right.$

上式中卡尔丹角α、β表示转子径向相对定子绕x，y轴转动的角位移，J_x＝J_y和J_z分别为转子径向和轴向的转动惯量，H＝J_zΩ＝2πJ_zF_r为转子角动量，Ω和F_r为转子转速，p_dx和p_dy为转子径向的扰动力矩，k_i和k_h为磁轴承的位移刚度和电流刚度，k_s为磁轴承位移传感器灵敏度，l_m和l_s分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的距离，g_c和g_w为控制器和功放的输入-输出变换算子，即有 $L\left[g_w\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_w\left(s\right),$ L表示拉氏变换，s为算子，g_c(s)和g_w(s)为控制器和功放的传递函数；

(2)采用复数变换将步骤(1)中的实系数两变量方程转化为复系数单变量形式，得到复系数单变量等效系统

其中等效开环传递函数和特征方程分别为：

$g_{\mathrm{OL}}\left(s\right)=\frac{2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w\left(s\right)g_c\left(s\right)}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2}$

1+g_OL(s)＝0

(3)开环正实部极点即Q值的计算；

(4)绘制等效复系数系统开环传递函数的双频Bode图；

(5)以复系数单变量系统的双频Bode图稳定性判据为依据，进行径向转动运动的稳定性；

(6)以复系数单变量系统的双频Bode图稳定性判据为依据，进行进动和章动稳定性的判断。

2、根据权利要求1所述的判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特征在于：所述的步骤(1)建立磁悬浮转子系统的径向转动运动动力学微分方程模型的方法如下：

定义转子坐标系oxyz，o点位于转子质心，x和y轴沿转子径向且只跟随转子的径向转动而不跟随自转，z轴沿转子轴向，根据磁悬浮转子系统的参数，代入下式得到转子径向转动运动的动力学微分方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_y\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}-H\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-2k_h{l}_m^2\mathrm{\β}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w{g}_c\mathrm{\β}+p_{\mathrm{dy}}\\ J_x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+H\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-2k_h{l}_m^2\mathrm{\α}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w{g}_c\mathrm{\α}+p_{\mathrm{dx}}\end{array}\right.$

3、根据权利要求1所述的判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特征在于：所述的步骤(2)采用复数变换将实系数两变量方程转化为复系数单变量形式，得到复系数单变量等效系统的方法如下：

引入虚数单位j，令J_rr＝J_x＝J_y，φ＝α+jβ，p_d＝p_dx+jp_dy，将微分方程组的第一式乘以j再加到第二式，将实系数两变量模型变换为如下的复系数单变量形式：

再做拉氏变换得到：

利用上式将原系统等效为一个复系数单变量的单位反馈系统，其等效被控对象和等效控制通道传递函数分别为：

$g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2}$

g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_sg_w(s)g_c(s)

等效开环传递函数和特征方程分别为：

$g_{\mathrm{OL}}\left(s\right)=\frac{2l_m{l}_s{k}_i{k}_s{g}_w\left(s\right)g_c\left(s\right)}{J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2}$

1+g_OL(s)＝0

4、根据权利要求1所述的判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特征在于：所述的步骤(3)的开环正实部极点数即Q值计算方法为：令 $J_{\mathrm{rr}}{s}^2-\mathrm{jHs}-2k_h{l}_m^2=0,$ 解出开环极点：

其中角动量 $H_0={2l}_m\sqrt{2J_{\mathrm{rr}}{k}_h},$ 对应的转子转速为 $F_{r0}=l_m\sqrt{2J_{\mathrm{rr}}{k}_h}/\left(\mathrm{\π}{J}_z\right).$ 用Q表示开环正实部极点数，转子转速F_r≤F_r0时Q＝1，而F_r＞F_r0时Q＝0。

5、根据权利要求1所述的判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特征在于：所述的步骤(4)绘制等效复系数系统开环传递函数的双频Bode图的方法：分别令s＝jω和s＝-jω，在ω＞0区域绘制g_OL(-jω)和g_OL(jω)的Bode图，包括幅频特性L(-ω)和L(ω)，以及相频特性φ(-ω)和φ(ω)，得到复系数单变量系统g_OL(s)的双频Bode图。

6、根据权利要求1所述的判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特征在于：所述的步骤(5)径向转动运动的稳定性的方法是：以复系数单变量系统的双频Bode图稳定性判据为：用L_N+和L_P+分别表示L(-ω)＞0和L(ω)＞0的ω区间，N_n+和N_n-表示φ(-ω)在L_N+正穿越和负穿越(2k+1)π线的次数，N_p+和N_p-表示φ(ω)在L_P+正穿越和负穿越(2k+1)π线的次数，k＝0，1，2…，N为总穿越次数即N＝N_n++N_p+-N_n--N_p-，Z表示闭环系统正实部极点数，则总有Z＝Q-N≥0，且闭环系统稳定的充要条件是Z＝0。

7、根据权利要求1所述的判定磁悬浮转子系统径向转动稳定性的方法，其特征在于：所述的步骤(6)进动和章动稳定性判定方法：将g_OL(s)双频Bode图分为ω＜ω_lh的低频段和ω＞ω_lh的高频段，ω_lh为F_r＝0Hz时特征方程根的虚部绝对值，定义低频段的总穿越次数和正实部闭环极点数为N_l和Z_l，高频段的相应值为N_h和Z_h；在低频段和高频段分别应用双频Bode图稳定性判据，若低频段Z_l＝-N_l＝1，则进动不稳定；若高频段Z_h＝-N_h＝1则章动不稳定。

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