CN104166345A - 一种磁悬浮控制力矩陀螺转子系统解耦和扰动抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种磁悬浮控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope-CMG)转子系统解耦和扰动抑制方法。根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁轴承坐标系下磁悬浮CMG转子系统的动力学方程，基于自抗扰解耦控制原理得到径向四通道解耦模型，再设计各通道自抗扰控制器，从而实现转子系统径向四通道解耦和扰动抑制。与传统的分散PID加交叉反馈解耦控制相比，本发明不仅改善了解耦控制精度，而且提高了系统对外部扰动和参数变化的鲁棒性。本发明属于航天控制技术领域，可应用于磁悬浮CMG的高精度强鲁棒控制。

Description

一种磁悬浮控制力矩陀螺转子系统解耦和扰动抑制方法

技术领域

本发明涉及一种磁悬浮控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope-CMG)转子系统解耦和扰动抑制方法，适用于磁悬浮CMG的高精度强鲁棒控制，属于航天控制的技术领域。

背景技术

磁悬浮CMG因具有无摩擦、低振动、易于实现高精度和长寿命等突出优点而成为空间站、空间机动平台和敏捷机动卫星等航天器姿态控制执行机构的重要发展方向。由于磁悬浮CMG转子系统的精度直接影响整个CMG输出力矩的精度，而磁悬浮CMG转子系统的多变量、非线性且强耦合特性给其高精度控制带来了挑战，因此对磁悬浮CMG转子系统的控制成为对整个MSCMG控制系统的重点和难点。同时，磁悬浮CMG不仅径向二自由度转动之间存在耦合，而且径向同一平动自由度的两通道之间也存在强耦合，因此要实现磁悬浮CMG转子的稳定悬浮和高精度、强鲁棒控制必须实现径向四通道之间的解耦。针对强陀螺效应磁悬浮转子的控制，有分散PID加交叉反馈解耦控制、鲁棒控制和滑模变结构控制等。分散PID加交叉反馈解耦控制虽然可以在一定程度上实现对章动和进动的抑制，但只能实现径向两转动自由度之间的近似线性化解耦，不可能实现磁悬浮转子径向四通道之间的解耦控制；鲁棒控制缺乏明确的物理意义，不可现场调节；滑模变结构控制具有一定的扰动抑制能力，但无法实现磁悬浮转子径向四通道之间的高精度解耦控制。反馈线性化方法虽然理论上能够实现径向四通道之间的精确线性化解耦，但实际解耦控制效果受系统模型精度的影响较大。

根据自抗扰控制器对系统模型及外部扰动的特殊处理方式，不同通道之间的耦合可以看作是一种外部扰动，这样便可以利用扩张状态观测器对耦合作用和外部扰动进行实时估计和补偿，从而实现磁悬浮转子径向四通道之间的解耦和扰动抑制。

发明内容

本发明的技术解决问题是：针对现有方法不能同时实现磁悬浮转子径向四通道高精度解耦和强鲁棒控制的问题，提出了一种基于自抗扰控制器的磁悬浮CMG转子系统解耦和扰动抑制方法。该方法将不同通道之间的耦合可以看作是一种外扰，利用扩张状态观测器对耦合作用进行实时估计和补偿，从而在实现磁悬浮转子径向四通道解耦控制的基础上，有效提高了系统的鲁棒性。

本发明的技术解决方案是：根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁悬浮CMG转子系统的动力学方程，利用自抗扰控制器对系统模型及外部扰动的特殊处理方式，进行磁悬浮转子各通道之间的解耦和扰动抑制，设计单通道自抗扰控制器，构建径向四通道自抗扰解耦闭环控制器，具体包括以下步骤：

1、假设磁悬浮CMG基座和各组件均为刚体，初始时框架的转动轴与刚体的惯性主轴重合，磁悬浮转子为轴对称刚体，其旋转轴与极轴重合，忽略重力作用，并假定磁悬浮转子径向四通道的参数完全对称，即几何中心和质心重合，几何主轴与惯性主轴重合，在框架角速率为零的情况下，磁悬浮转子在转子位置广义坐标系下的动力学模型可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{ax}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{bx}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{ay}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\\ {\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{by}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{ax}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ax}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ax}})}^2}]\\ f_{\mathrm{bx}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{bx}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{bx}})}^2}]\\ f_{\mathrm{ay}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ay}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ay}})}^2}]\\ f_{\mathrm{by}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{by}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{by}})}^2}]\end{array}\right.$

K＝μA_mN²/4，μ为空气磁导率，A_m是磁极表面积，N是径向磁轴承各线圈绕组匝数，I₀是永磁偏置混合轴承提供的“等效”偏置电流(与纯电磁轴承中偏置电流产生的偏置磁场等效)，i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，x₀是径向磁轴承的名义气隙，h_ax、h_bx、h_ay和h_ay是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离，m为转子质量，J_r为转子径向转动惯量，H为转子角动量，α、β为转子位置广义坐标系中的卡尔丹角。

2、基于自抗扰解耦控制原理得到转子径向四通道解耦模型

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{ax}}=k_1{h}_{\mathrm{ax}}+w_1{i}_{\mathrm{ax}}\\ {\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{ay}}=k_2{h}_{\mathrm{ay}}+w_2+i_{\mathrm{ay}}\\ {\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{bx}}=k_3{h}_{\mathrm{ax}}+w_3+i_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\·\·}{h}}_{\mathrm{by}}=k_4{h}_{\mathrm{by}}+w_4+i_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，w₁、w₂、w₃、w₄为除本通道外其他三个通道的耦合和外扰进行的估计值，k₁、k₂、k₃、k₄为四个径向通道位移的比例系数；磁悬浮转子系统便被化为4输入(i_ax，i_ay，i_bx，i_by)4输出(h_ax，h_ay，h_bx，h_by)的无耦合二阶线性系统。

3、设计径向四通道自抗扰解耦控制器

跟踪微分器TD的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{\·}{v}}_2=-\mathrm{Rsat}(A,{\mathrm{\δ}}_1)\end{array}\right.$

式中： $A=v_1-v_0+\frac{v_2\left|v_2\right|}{2R},\mathrm{sat}(A,{\mathrm{\&delta;}}_1)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{sign}\left(A\right),\left|A\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_1\\ A/{\mathrm{\&delta;}}_1,\left|A\right|<{\mathrm{\&delta;}}_1\end{array}\right.,$ v₁(t)为参考输入v₀(t)的跟踪信号，v₂(t)为v₁(t)的微分，从而把v₂(t)作为v₀(t)的“近似微分”，R、δ₁为跟踪微分器可调参数。

扩张状态观测器ESO的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&delta;}}_2)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_2,{\mathrm{\&delta;}}_2)+\mathrm{bu}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_3,{\mathrm{\&delta;}}_2)\end{array}\right.$

式中： $\mathrm{fal}(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{c}{\left|e\right|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sign}\left(e\right),\left|e\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&delta;}\\ e/{\mathrm{\&delta;}}^{1-\mathrm{\&alpha;}},\left|e\right|<\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,$ α₁、α₂、α₃、δ₂、β₁、β₂、β₃为可调参数；三阶ESO是由对象输出y估计对象的状态变量耦合和对象总扰动的实时作用量，即由系统输出y产生3个信号：z₁、z₂、z₃，其中z₁为y的跟踪信号，e为z₁和y之差，z₂(t)为z₁(t)的微分信号，z₃(t)为对系统模型耦合和外扰动的估计。

非线性状态误差反馈控制律NLSEF的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=v_1-z_1\\ e_2=v_2-z_2\\ u_0=k_p\mathrm{fal}(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_4,{\mathrm{\&delta;}}_3)+k_d\mathrm{fal}(e_2,{\mathrm{\&alpha;}}_5,{\mathrm{\&delta;}}_3)\\ u=u_0-\frac{z_3}{b_0}\end{array}\right.$

式中：α₄、α₅、δ₃、b、k_p、k_d为可调参数；e₁为v₁和z₁之差，e₂为v₂和z₂之差，u₀为误差的非线性组合，u为控制输入；通过测量转子在径向轴承A和B处相对于平衡位置沿X轴和Y轴的位移x_am、x_bm、y_am、y_bm，输出转子径向ax、bx、ay、by通道的控制电流i_ax、i_bx、i_ay、i_by。

本发明的原理是：根据自抗扰控制器对系统模型及外扰的特殊处理方式，不同通道之间的耦合可以看作是一种外扰，这样便可以利用扩张状态观测器对耦合作用和扰动进行实时估计及补偿，转子每个通道都用一个扩张状态观测器对来自其余三个通道的耦合和扰动进行估计并补偿，从而实现各通道之间的解耦和扰动抑制。本发明在磁悬浮CMG转子系统动力学方程的基础上，基于自抗扰解耦控制原理得到径向四通道解耦模型，再设计各通道自抗扰控制器，从而实现转子系统径向四通道解耦和扰动抑制。

1、假设磁悬浮CMG基座和各组件均为刚体，初始时框架的转动轴与刚体的惯性主轴重合，磁悬浮转子为轴对称刚体，其旋转轴与极轴重合，忽略重力作用，并假定磁悬浮转子径向四通道的参数完全对称，即几何中心和质心重合，几何主轴与惯性主轴重合，在框架角速率为零的情况下，磁悬浮转子在转子位置广义坐标系下的动力学模型可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{ax}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ax}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ax}})}^2}]\\ f_{\mathrm{bx}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{bx}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{bx}})}^2}]\\ f_{\mathrm{ay}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ay}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ay}})}^2}]\\ f_{\mathrm{by}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{by}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{by}})}^2}]\end{array}\right.$

K＝μA_mN²/4，μ为空气磁导率，A_m是磁极表面积，N是径向磁轴承各线圈绕组匝数，I₀是永磁偏置混合轴承提供的“等效”偏置电流(与纯电磁轴承中偏置电流产生的偏置磁场等效)，i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，x₀是径向磁轴承的名义气隙，h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离，m为转子质量，J_r为转子径向转动惯量，H为转子角动量，α、β为转子位置广义坐标系中的卡尔丹角。

2、基于自抗扰解耦控制原理得到转子径向四通道解耦模型

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}=k_1{h}_{\mathrm{ax}}+w_1{i}_{\mathrm{ax}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}=k_2{h}_{\mathrm{ay}}+w_2+i_{\mathrm{ay}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}=k_3{h}_{\mathrm{ax}}+w_3+i_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}=k_4{h}_{\mathrm{by}}+w_4+i_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

h_ax、h_bx、h_ay和h_ay是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，w₁、w₂、w₃、w₄为除本通道外其他三个通道的耦合和外扰进行的估计值，k₁、k₂、k₃、k₄为四个径向通道位移的比例系数；磁悬浮转子系统便被化为4输入(i_ax，i_ay，i_bx，i_by)4输出(h_ax，h_ay，h_bx，h_by)的无耦合二阶线性系统。

3、设计径向四通道自抗扰解耦控制器

跟踪微分器TD的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2=-\mathrm{Rsat}(A,{\mathrm{\&delta;}}_1)\end{array}\right.$

式中： $A=v_1-v_0+\frac{v_2\left|v_2\right|}{2R},\mathrm{sat}(A,{\mathrm{\&delta;}}_1)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{sign}\left(A\right),\left|A\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_1\\ A/{\mathrm{\&delta;}}_1,\left|A\right|<{\mathrm{\&delta;}}_1\end{array}\right.,$ v₁(t)为参考输入v₀(t)的跟踪信号，v₂(t)为v₁(t)的微分，从而把v₂(t)作为v₀(t)的“近似微分”，R、δ₁为跟踪微分器可调参数。

扩张状态观测器ESO的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&delta;}}_2)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_2,{\mathrm{\&delta;}}_2)+\mathrm{bu}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_3,{\mathrm{\&delta;}}_2)\end{array}\right.$

式中： $\mathrm{fal}(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{c}{\left|e\right|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sign}\left(e\right),\left|e\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&delta;}\\ e/{\mathrm{\&delta;}}^{1-\mathrm{\&alpha;}},\left|e\right|<\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,$ α₁、α₂、α₃、δ₂、β₁、β₂、β₃为可调参数；三阶ESO是由对象输出y估计对象的状态变量耦合和对象总扰动的实时作用量，即由系统输出y产生3个信号：z₁、z₂、z₃，其中z₁为y的跟踪信号，e为z₁和y之差，z₂(t)为z₁(t)的微分信号，z₃(t)为对系统模型耦合和外扰动的估计。

非线性状态误差反馈控制律NLSEF的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=v_1-z_1\\ e_2=v_2-z_2\\ u_0=k_p\mathrm{fal}(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_4,{\mathrm{\&delta;}}_3)+k_d\mathrm{fal}(e_2,{\mathrm{\&alpha;}}_5,{\mathrm{\&delta;}}_3)\\ u=u_0-\frac{z_3}{b_0}\end{array}\right.$

式中：α₄、α₅、δ₃、b、k_p、k_d为可调参数；e₁为v₁和z₁之差，e₂为v₂和z₂之差，u₀为误差的非线性组合，u为控制输入；通过测量转子在径向轴承A和B处相对于平衡位置沿X轴和Y轴的位移x_am、x_bm、y_am、y_bm，输出转子径向ax、bx、ay、by通道的控制电流i_ax、i_bx、i_ay、i_by。

本发明的方案与现有方案相比，主要优点在于：

(1)克服了分散PID加交叉反馈解耦控制不可能实现磁悬浮转子径向四通道之间解耦控制的问题，实现了磁悬浮转子径向四通道之间的高精度解耦控制。

(2)与反馈线性化方法相比，自抗扰控制器不要求被控对象有精确的数学模型，而且能够对系统模型不确定性与外部扰动进行跟踪补偿，具有更强的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为磁轴承与转子示意图；

图3为单通道自抗扰控制器结构图；

图4为本发明方法中的径向四通道自抗扰控制原理图；

图5为随机扰动自抗扰控制器转子径向四通道位移；

图6为随机扰动分散PID加交叉反馈控制器转子径向四通道位移；

图7为随机扰动自抗扰控制器转子径向四通道位移；

图8为随机扰动分散PID加交叉反馈控制器转子径向四通道位移。

具体实施方案

如图1所示，在具体实施过程中，本发明的具体实施步骤如下：

1、假设磁悬浮CMG基座和各组件均为刚体，初始时框架的转动轴与刚体的惯性主轴重合，磁悬浮转子为轴对称刚体，其旋转轴与极轴重合，忽略重力作用，并假定磁悬浮转子径向四通道的参数完全对称，即几何中心和质心重合，几何主轴与惯性主轴重合，在框架角速率为零的情况下，磁悬浮转子在转子位置广义坐标系下的动力学模型可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=f_x=f_{\mathrm{ax}}+f_{\mathrm{bx}}\\ J_r\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}-J_z\mathrm{\&Omega;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=p_y=l_m(f_{\mathrm{ax}}-f_{\mathrm{bx}})\\ m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=f_y=f_{\mathrm{ay}}+f_{\mathrm{by}}\\ J_r\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+J_z\mathrm{\&Omega;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}=p_x=l_m(f_{\mathrm{by}}-f_{\mathrm{ay}})\end{array}\right.$

又磁轴承坐标系[h_ax h_bx h_ay h_by]^T到转子位置广义坐标系[x y α β]^T的坐标变换可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}x=(h_{\mathrm{ax}}+h_{\mathrm{bx}})/2\\ \mathrm{\&beta;}=(h_{\mathrm{ax}}-h_{\mathrm{bx}})/\left({2l}_m\right)\\ y=(h_{\mathrm{ay}}+h_{\mathrm{by}})/2\\ \mathrm{\&alpha;}=(h_{\mathrm{ay}}-h_{\mathrm{by}})/\left({2l}_m\right)\end{array}\right.$

令H＝J_zΩ，磁悬浮转子在磁轴承坐标系下的动力学模型可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{m}{2}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}})=f_{\mathrm{ax}}+f_{\mathrm{bx}}\\ \frac{J_r}{{2l}_m}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}})-\frac{H}{{2l}_m}({\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}})=(f_{\mathrm{ax}}-f_{\mathrm{bx}})l_m\\ \frac{m}{2}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}})=f_{\mathrm{ay}}+f_{\mathrm{by}}\\ \frac{J_r}{{2l}_m}({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}})-\frac{H}{{2l}_m}({\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}})=(f_{\mathrm{by}}-f_{\mathrm{ay}})l_m\end{array}\right.$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{ax}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ax}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ax}})}^2}]\\ f_{\mathrm{bx}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{bx}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{bx}})}^2}]\\ f_{\mathrm{ay}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ay}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ay}})}^2}]\\ f_{\mathrm{by}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{by}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{by}})}^2}]\end{array}\right.$

从磁轴承坐标系下的转子动力学方程可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

式中，K＝μA_mN²/4，μ为空气磁导率，A_m是磁极表面积，N是径向磁轴承各线圈绕组匝数，I₀是永磁偏置混合轴承提供的“等效”偏置电流(与纯电磁轴承中偏置电流产生的偏置磁场等效)，i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，x₀是径向磁轴承的名义气隙，h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离，m为转子质量，J_r为转子径向转动惯量，J_z为转子径向转动惯量，H为转子角动量，α、β为转子位置广义坐标系中的卡尔丹角。

2、磁悬浮转子自抗扰解耦控制

自抗扰控制器中TD的作用是安排过渡过程，并提取其各阶微分信号，即参考输入v₀(t)产生2个输出v₁(t)和v₂(t)，其中v₁(t)为参考输入v₀(t)的跟踪信号，v₂(t)为v₁(t)的微分，从而把v₂(t)作为v₀(t)的“近似微分”。ESO的作用是给出对象状态变量的估计z₁(t)，z₂(t)，以及系统总扰动的实时作用量的估计z₃(t)，而z₃(t)/b的反馈起补偿扰动的作用。用过渡过程与状态估计之间误差e₁，e₂的非线性组合(NLSEF)和总扰动估计量的补偿分量z₃(t)/b来生成控制信号u(t)。

对于形如下式受未知扰动作用的不确定性二阶单输入单输出系统：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=f(x,\stackrel{\&CenterDot;}{x},t)+w\left(t\right)+\mathrm{bu}\left(t\right)$

式中：x(t)、是系统的状态变量；为状态变量构成的未知函数；w(t)为未知外扰；u(t)为控制量。自抗扰控制器是把系统的模型作用当作系统的内扰，与系统的外扰w(t)一起，作为系统的总扰动g(t)，利用ESO中的z₃(t)对g(t)进行估计，分量z₃(t)/b再对g(t)进行反馈补偿。

磁轴承坐标系下的转子动力学方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

基于自抗扰控制理论，转子动力学方程转化为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}=k_1{h}_{\mathrm{ax}}+w_1{i}_{\mathrm{ax}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}=k_2{h}_{\mathrm{ay}}+w_2+i_{\mathrm{ay}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}=k_3{h}_{\mathrm{ax}}+w_3+i_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}=k_4{h}_{\mathrm{by}}+w_4+i_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

上式中每个关于各通道的子式可以视为一个单路自抗扰子系统，利用自抗扰控制器进行控制，扩张状态观测器对相应的w_i(i＝1，2，3，4)进行实时估计并补偿，磁轴承转子系统便被化为4输入(i_ax，i_ay，i_bx，i_by)4输出(h_ax，h_ay，h_bx，h_by)的无耦合二阶线性系统。

3、单通道自抗扰控制器设计

跟踪微分器TD的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2=-\mathrm{Rsat}(A,{\mathrm{\&delta;}}_1)\end{array}\right.$

式中： $A=v_1-v_0+\frac{v_2\left|v_2\right|}{2R},\mathrm{sat}(A,{\mathrm{\&delta;}}_1)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{sign}\left(A\right),\left|A\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_1\\ A/{\mathrm{\&delta;}}_1,\left|A\right|<{\mathrm{\&delta;}}_1\end{array}\right.,$ v₁(t)为参考输入v₀(t)的跟踪信号，v₂(t)为v₁(t)的微分，从而把v₂(t)作为v₀(t)的“近似微分”，R、δ₁为跟踪微分器可调参数。

扩张状态观测器ESO的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&delta;}}_2)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_2,{\mathrm{\&delta;}}_2)+\mathrm{bu}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_3,{\mathrm{\&delta;}}_2)\end{array}\right.$

式中： $\mathrm{fal}(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{c}{\left|e\right|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sign}\left(e\right),\left|e\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&delta;}\\ e/{\mathrm{\&delta;}}^{1-\mathrm{\&alpha;}},\left|e\right|<\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,$ α₁、α₂、α₃、δ₂、β₁、β₂、β₃为可调参数；三阶ESO是由对象输出y估计对象的状态变量耦合和对象总扰动的实时作用量，即由系统输出y产生3个信号：z₁、z₂、z₃，其中z₁为y的跟踪信号，e为z₁和y之差，z₂(t)为z₁(t)的微分信号，z₃(t)为对系统模型耦合和外扰动的估计。

非线性状态误差反馈控制律NLSEF的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=v_1-z_1\\ e_2=v_2-z_2\\ u_0=k_p\mathrm{fal}(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_4,{\mathrm{\&delta;}}_3)+k_d\mathrm{fal}(e_2,{\mathrm{\&alpha;}}_5,{\mathrm{\&delta;}}_3)\\ u=u_0-\frac{z_3}{b_0}\end{array}\right.$

式中：α₄、α₅、δ₃、b、k_p、k_d为可调参数；e₁为v₁和z₁之差，e₂为v₂和z₂之差，u₀为误差的非线性组合，u为控制输入；通过测量转子在径向轴承A和B处相对于平衡位置沿X轴和Y轴的位移x_am、x_bm、y_am、y_bm，输出转子径向ax、bx、ay、by通道的控制电流i_ax、i_bx、i_ay、i_by。。

为了验证解耦控制后的扰动抑制效果，对分散PID加交叉反馈解耦控制和本发明方法进行了对比仿真。仿真中系统参数选择如下：转子质量m＝4.7kg，l_m＝0.04892m，I₀＝0.3791A，J_x＝J_y＝0.0034，J_z＝0.0052，x₀＝0.0001m，真空磁导率u₀＝4π×10^-7N/A²，扰动分别选用随机、正弦。

采用分散PID加交叉反馈控制和本发明方法的扰动抑制对比仿真结果分别如图5、图6、图7、图8所示，横坐标表示时间，单位是s，纵坐标表示磁轴承径向四通道AX、AY、BX、BY的位移，单位是m。

在图5、6中，给转子加[-1，1]Nm的随机干扰力矩，自抗扰控制器抑制扰动在10^-8数量级，而分散PID加交叉反馈控制抑制扰动在10^-5，自抗扰控制器明显优于分散PID加交叉反馈控制。

在图7、8中，给转子加sin5πt Nm的阶跃干扰力矩，自抗扰控制器抑制扰动在10^-14数量级，而分散PID加交叉反馈控制抑制扰动在10^-5，自抗扰控制器明显优于分散PID加交叉反馈控制。

通过随机、正弦俩种扰动抑制效果的比较，说明采用本发明方法很好地实现了转子的扰动抑制。

本发明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种磁悬浮控制力矩陀螺CMG转子系统解耦和扰动抑制方法，其特征在于：根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁悬浮CMG转子系统的动力学方程；根据自抗扰控制器对系统模型及外部扰动的特殊处理方式，不同通道之间的耦合可以看作是一种外部扰动，这样便可以利用扩张状态观测器对耦合作用和外部扰动进行实时估计和补偿，转子每个通道都用一个扩张状态观测器对其余三个通道的耦合和外扰进行估计和补偿，从而实现各通道之间的解耦和扰动抑制，具体包括以下步骤：

(1)磁悬浮CMG转子动力学模型

假设磁悬浮CMG基座和各组件均为刚体，初始时框架的转动轴与刚体的惯性主轴重合，磁悬浮转子为轴对称刚体，其旋转轴与极轴重合，忽略重力作用，并假定磁悬浮转子径向四通道的参数完全对称，即几何中心和质心重合，几何主轴与惯性主轴重合，在框架角速率为零的情况下，磁悬浮转子在转子位置广义坐标系下的动力学模型可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ax}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}=\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}=-\frac{l_m}{J_r}H\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}+(\frac{1}{m}-\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{ay}}+(\frac{1}{m}+\frac{l_m^2}{J_r})f_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{ax}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ax}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ax}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ax}})}^2}]\\ f_{\mathrm{bx}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{bx}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{bx}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{bx}})}^2}]\\ f_{\mathrm{ay}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{ay}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{ay}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{ay}})}^2}]\\ f_{\mathrm{by}}=K[\frac{{(I_0+i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0-h_{\mathrm{by}})}^2}-\frac{{(I_0-i_{\mathrm{by}})}^2}{{(x_0+h_{\mathrm{by}})}^2}]\end{array}\right.$

K＝μA_mN²/4，μ为空气磁导率，A_m是磁极表面积，N是径向磁轴承各线圈绕组匝数，I₀是永磁偏置混合轴承提供的“等效”偏置电流(与纯电磁轴承中偏置电流产生的偏置磁场等效)，i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，x₀是径向磁轴承的名义气隙，h_ax、h_bx、h_ay和h_by是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，l_m表示从磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离，m为转子质量，J_r为转子径向转动惯量，H为转子角动量，α、β为转子位置广义坐标系中的卡尔丹角；

(2)基于自抗扰解耦控制原理得到转子径向四通道解耦模型

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ax}}=k_1{h}_{\mathrm{ax}}+w_1{i}_{\mathrm{ax}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{ay}}=k_2{h}_{\mathrm{ay}}+w_2+i_{\mathrm{ay}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{bx}}=k_3{h}_{\mathrm{ax}}+w_3+i_{\mathrm{bx}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{h}}_{\mathrm{by}}=k_4{h}_{\mathrm{by}}+w_4+i_{\mathrm{by}}\end{array}\right.$

h_ax、h_bx、h_ay和h_ay是磁悬浮转子分别在Ax、Bx、Ay和By方向上的线性位移量，i_ax、i_bx、i_ay和i_by是四个径向通道的绕组电流，w₁、w₂、w₃、w₄为除本通道外其他三个通道的耦合和外扰进行的估计值，k₁、k₂、k₃、k₄为四个径向通道位移的比例系数；磁悬浮转子系统便被化为4输入(i_ax，i_ay，i_bx，i_by)4输出(h_ax，h_ay，h_bx，h_by)的无耦合二阶线性系统；

(3)设计径向四通道自抗扰解耦控制器

跟踪微分器TD的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_1=v_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_2=-\mathrm{Rsat}(A,{\mathrm{\&delta;}}_1)\end{array}\right.$

式中： $A=v_1-v_0+\frac{v_2\left|v_2\right|}{2R},\mathrm{sat}(A,{\mathrm{\&delta;}}_1)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{sign}\left(A\right),\left|A\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&delta;}}_1\\ A/{\mathrm{\&delta;}}_1,\left|A\right|<{\mathrm{\&delta;}}_1\end{array}\right.,$ v₁(t)为参考输入v₀(t)的跟踪信号，v₂(t)为v₁(t)的微分，从而把v₂(t)作为v₀(t)的“近似微分”，R、δ₁为跟踪微分器可调参数；

扩张状态观测器ESO的表达形式为：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&delta;}}_2)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_2,{\mathrm{\&delta;}}_2)+\mathrm{bu}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}(e,{\mathrm{\&alpha;}}_3,{\mathrm{\&delta;}}_2)\end{array}\right.$

式中： $\mathrm{fal}(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{c}{\left|e\right|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sign}\left(e\right),\left|e\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&delta;}\\ e/{\mathrm{\&delta;}}^{1-\mathrm{\&alpha;}},\left|e\right|<\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,$ α₁、α₂、α₃、δ₂、β₁、β₂、β₃为可调参数；三阶ESO是由对象输出y估计对象的状态变量耦合和对象总扰动的实时作用量，即由系统输出y产生3个信号：z₁、z₂、z₃，其中z₁为y的跟踪信号，e为z₁和y之差，z₂(t)为z₁(t)的微分信号，z₃(t)为对系统模型耦合和外扰动的估计；

非线性状态误差反馈控制律NLSEF的表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=v_1-z_1\\ e_2=v_2-z_2\\ u_0=k_p\mathrm{fal}(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_4,{\mathrm{\&delta;}}_3)+k_d\mathrm{fal}(e_2,{\mathrm{\&alpha;}}_5,{\mathrm{\&delta;}}_3)\\ u=u_0-\frac{z_3}{b_0}\end{array}\right.$

式中：α₄、α₅、δ₃、b、k_p、k_d为可调参数；e₁为v₁和z₁之差，e₂为v₂和z₂之差，u₀为误差的非线性组合，u为控制输入；通过测量转子在径向轴承A和B处相对于平衡位置沿X轴和Y轴的位移x_am、x_bm、y_am、y_bm，输出转子径向ax、bx、ay、by通道的控制电流i_ax、i_bx、i_ay、i_by。