CN107797450A - 一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法 - Google Patents

一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，根据欧拉运动学方程，通过对磁悬浮扁平转子系统转动动力学建模分析，建立控制系统参数及转速与转动运动间的关系，利用复系数法，将二自由度转动动力学方程表示为单自由度复变量特征方程，通过变量重构建立阻尼振动频率特征方程，根据章动模态与转子转速同向的特点，获得章动频率与控制系统参数和转速间的解析关系。该方法计算简单，容易实现，可较精确的解算分散PID控制下章动模态频率，提高了章动模态的控制针对性和效率。

Description

一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法
技术领域
本发明涉及磁悬浮扁平转子系统控制的技术领域，具体涉及一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，可用于分散PID控制条件下磁悬浮扁平转子系统的章动频率解析计算。
背景技术
磁悬浮轴承具有无接触、无摩擦、无需润滑、使用寿命长等诸多优点，随着磁悬浮控制技术的日趋成熟，其广泛应用于磁悬浮分子泵、磁悬浮储能飞轮、磁悬浮控制力矩陀螺、磁悬浮高能量密度电机等机构。磁悬浮轴承控制系统通常采用分散PID控制，但是随着磁悬浮转子转速的升高，积分环节和滤波环节的引入使系统的频率特性产生相位滞后，由于强陀螺耦合效应，涡动(进动和章动)模态得不到足够的阻尼而容易造成高速转子的进动或章动失稳，对于数字PID控制，系统的采样频率和运算速度有限造成的控制延时，也是高速旋转时陀螺效应导致系统失稳的主要原因。因此，对转子涡动模态的控制是磁悬浮转子系统高速稳定运行的必要条件。
研究发现，磁悬浮高速转子的涡动具有一定的频率特性。随着转速的升高，转子系统的两个涡动模态出现频率分叉，章动频率随转速同步上升，逐渐趋向于转动惯量比(极转动惯量Jz与赤道转动惯量Je之比)与转速的乘积，进动频率随转速上升而下降，逐渐趋向于零。高速时，章动模态成为影响系统稳定性的主导因素，章动模态的稳定控制决定了磁悬浮转子系统所能达到的最高转速。
目前，国内外研究主要是针对章动模态的定性分析，而对于具有强陀螺效应的高速转子系统在闭环控制条件下的章动频率定量分析缺乏深入的研究。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，利用复系数法，提供一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解算方法，该方法可建立章动频率与控制系统参数和转速间的关系，降低了高速磁悬浮转子由于章动模态突发造成失稳的风险，提高了章动模态抑制的针对性和效率。
本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，包括以下步骤：
(1)根据欧拉运动学方程，建立高速磁悬浮扁平转子转动动力学模型：
式中Jx为x轴方向转动惯量，Jy为y轴方向转动惯量，Jz为z轴方向转动惯量，Ω为转速，α为转子绕x轴的偏转角度，β为转子绕y轴的偏转角度，lm为磁轴承力到质心的距离，fax、fbx、fay、fby为径向四通道ax、ay、bx、by方向的磁轴承力。
(2)对于分散PID磁轴承控制系统，各控制通道等效为控制参数相同的单自由度控制系统，根据磁悬浮转子系统前向控制通道，可将控制电流i与转子位移qs间的频域关系表示为：
i(s)＝-φi(s)qs
式中qs为传感器位置处检测到的转子径向位移，φi(s)是由控制器Gk、功放Ga、传感器放大倍数ks等环节构成的控制增益，其频域关系可表示为φi(s)＝ksGk(s)Ga(s)。
由于磁轴承力可在参考工作点近似线性化为f＝kii+khqh，因此，可将径向四通道ax、ay、bx、by方向的磁轴承力由控制系统参数表示如下：
式中ki为电流刚度，kh为位移刚度，ls为传感器探头到转子质心的距离，表示卷积算子。
(3)回转体结构转子，其x、y轴转动惯量相等，即Jx＝Jy＝Je，令Je为赤道转动惯量，可得系统时域磁悬浮转子转动动力学方程为：
磁悬浮转子转动动力学方程可表示为仅与控制系统参数、转速和转子转动角度相关的函数。
(4)当转速不为零时，转子绕x、y轴的转动运动相互耦合。采用复系数法，对转动变量重构，将二自由度转动动力学方程表示为单自由度复变量形式，原MIMO系统转变为SISO系统，将原转动动力学方程化简为：
(5)对变量重构后的转动动力学方程进行拉普拉斯变换，零初始条件下令s＝jω，则可得求解阻尼振动频率的特征方程为：
式中ω为磁悬浮转子涡动角速度，|φi(jΩ)|为控制算子。
(6)根据阻尼振动频率的特征方程，解得分散PID控制下磁悬浮扁平转子正反两个涡动模态的阻尼振动频率解析解：
其中ω+＞0，ω_＜0。根据章动与转速方向相同的特性，可知章动频率ωn＝ω+。因此，磁悬浮扁平转子系统章动频率解析解可由控制系统参数及转速表示为：
本发明的原理是：磁悬浮轴承控制系统中积分环节和滤波环节的引入使系统的频率特性产生相位滞后，由于强陀螺耦合效应，涡动模态得不到足够的阻尼而容易造成高速转子涡动失稳，在高速状态下，章动模态成为影响磁悬浮转子系统稳定性的主导因素。对于章动模态频率精确解析计算的作用，就是对于章动模态特性有预见性的分析，从而有效的控制章动模态。通过对磁悬浮转子系统转动动力学建模分析，建立控制系统参数及转速与转动运动间的关系，利用复系数法，通过变量重构建立阻尼振动频率特征方程，根据章动模态与转速同向的特点，获得控制系统参数与转速和章动频率间的解析关系。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明首次提出了一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解算方法，该方法计算简单，易于实现，可适用于大多数磁悬浮高速转子的章动模态分析控制场合，提高了章动模态控制方法的针对性及效率。
(2)本发明所采用的方法无需借助任何设备，利用复系数法，结合磁悬浮转子控制系统参数及转速信号就可实现对章动频率的精确解析计算。
附图说明
图1为磁悬浮转子结构控制示意图，其中，1为传感器放大倍数，2为控制器，3为功放，4为扁平转子系统A端传感器探头，5为扁平转子系统A端磁轴承，6位磁悬浮扁平转子，7为扁平转子系统B端磁轴承，8为扁平转子系统B端传感器探头；
图2为本发明的一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法流程图；
图3为转子轴心轨迹图，其中，9代表章动，10代表转速方向。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。
如图1-3所示，本发明一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法的具体步骤如下：
(1)如图1-2所示，本发明针对磁悬浮扁平转子系统在闭环控制条件下，分析转子绕x轴、y轴偏转运动时所受到的由各通道磁轴承控制力产生的控制力矩，根据欧拉运动学方程，建立高速磁悬浮扁平转子转动动力学模型：
式中Jx为x轴方向转动惯量，Jy为y轴方向转动惯量，Jz为z轴方向转动惯量，Ω为转速，α为转子绕x轴的偏转角度，β为转子绕y轴的偏转角度，lm为磁轴承力到质心的距离，fax、fbx、fay、fby为径向四通道ax、ay、bx、by方向的磁轴承力。
(2)如图1所示，其中，1为传感器放大倍数，2为控制器，3为功放，4为扁平转子系统A端传感器探头，5为扁平转子系统A端磁轴承，6位磁悬浮扁平转子，7为扁平转子系统B端磁轴承，8为扁平转子系统B端传感器探头；对于分散PID磁轴承控制系统，各控制通道等效为控制参数相同的单自由度控制系统，控制电流由传感器反馈的转子位移信号引起，根据磁悬浮转子系统前向控制通道，可将控制电流i与转子位移qs间的频域关系表示为：
i(s)＝-φi(s)qs (2)
式中qs为传感器位置处检测到的转子径向位移，φi(s)是由控制器Gk、功放Ga、传感器放大倍数ks等环节构成的控制增益，其频域关系可表示为φi(s)＝ksGk(s)Ga(s)。
选择Gk为工业控制的典型PID算法：
式中kp为比例环节系数，ki为积分环节系数，kd为微分环节系数。
功放环节Ga可等效为典型一阶惯性环节，具体表达形式如下：
式中kw功放环节增益系数，ww功放环节截止频率。
由于磁轴承力可在参考工作点近似线性化为f＝kii+khqh，因此，可将径向四通道ax、ay、bx、by方向的磁轴承力由控制系统参数表示如下：
式中ki为电流刚度，kh为位移刚度，ls为传感器探头到转子质心的距离，表示卷积算子。
(3)对于回转结构转子x、y轴转动惯量相等，即Jx＝Jy＝Je，取Je为赤道转动惯量，将式(5)带入式(1)，可得磁悬浮转子系统时域转动动力学方程为：
磁悬浮转子转动动力学方程可表示为仅与控制系统参数、转速和转子转动角度相关的函数。
(4)根据式(6)可知，当转速不为零时，两个转动之间是相互耦合的。对于磁悬浮转子系统的转动运动，转子绕x轴和y轴的转角α、β可同时表示在复平面上，α(t)超前β(t)90°相位角，定义复变量其中j为虚数单位。可以证明，变量重构并没有改变系统的稳定性。因此，采用复系数法，对变量重构，原MIMO系统转变为SISO系统，将式(6)化简为：
(5)对式(7)进行拉普拉斯变换，零初始条件下令s＝jω，化简上式(7)，则可得求解阻尼振动频率的特征方程为：
式中ω为磁悬浮转子涡动角速度，控制算子|φi(jΩ)|可由控制系统参数及转频表示为：
(6)根据式(8)，解得分散PID控制下磁悬浮扁平转子正反两个涡动模态的阻尼振动频率解析解：
其中ω+＞0，ω_＜0。
如图3所示，存在章动现象的转子轴心轨迹可知，章动9具有与转速同向的特性，可知章动频率ωn＝ω+。其中，10代表转速方向。因此，磁悬浮扁平转子系统章动频率解析解可由控制系统参数及转速表示为：
本发明可以作为一种通用的高速磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，可较精确的解算分散PID控制下章动模态频率，提高了章动模态控制方法的针对性和效率。
本发明中涉及到的本领域公知技术未详细阐述。

Claims (4)

1.一种基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，其特征在于：通过如下步骤实现：
(1)根据欧拉运动学方程，建立高速磁悬浮扁平转子转动动力学模型：
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式中Jx为x轴方向转动惯量，Jy为y轴方向转动惯量，Jz为z轴方向转动惯量，Ω为转速，α为转子绕x轴的偏转角度，β为转子绕y轴的偏转角度，lm为磁轴承力到质心的距离，fax、fbx、fay、fby为径向四通道ax、ay、bx、by方向的磁轴承力；
(2)对于分散PID磁轴承控制系统，各控制通道等效为控制参数相同的单自由度控制系统，根据磁悬浮转子系统前向控制通道，可将控制电流i与转子位移qs间的频域关系表示为：
i(s)＝-φi(s)qs
式中qs为传感器位置处检测到的转子径向位移，φi(s)是由控制器Gk、功放Ga、传感器放大倍数ks等环节构成的控制增益，其频域关系可表示为φi(s)＝ksGk(s)Ga(s)；
由于磁轴承力可在参考工作点近似线性化为f＝kii+khqh，因此，可将径向四通道ax、ay、bx、by方向的磁轴承力由控制系统参数表示如下：
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式中ki为电流刚度，kh为位移刚度，ls为传感器探头到转子质心的距离，表示卷积算子；
(3)回转体结构转子，其x、y轴转动惯量相等，即Jx＝Jy＝Je，令Je为赤道转动惯量，可得系统时域磁悬浮转子转动动力学方程为：
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磁悬浮转子转动动力学方程可表示为仅与控制系统参数、转速和转子转动角度相关的函数；
(4)当转速不为零时，转子绕x、y轴的转动运动相互耦合。采用复系数法，对转动变量重构，将二自由度转动动力学方程表示为单自由度复变量形式，原MIMO系统转变为SISO系统，将原转动动力学方程化简为：
(5)对变量重构后的转动动力学方程进行拉普拉斯变换，零初始条件下令s＝jω，则可得求解阻尼振动频率的特征方程为：
式中ω为磁悬浮转子涡动角速度，|φi(jΩ)|为控制算子；
(6)根据阻尼振动频率的特征方程，解得分散PID控制下磁悬浮扁平转子正反两个涡动模态的阻尼振动频率解析解：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>+</mo> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>J</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>J</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>-</mo> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>J</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>J</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中ω+＞0，ω-＜0，根据章动与转速方向相同的特性，可知章动频率ωn＝ω+，因此，磁悬浮扁平转子系统章动频率解析解可由控制系统参数及转速表示为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>J</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>J</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
2.根据权利要求1所述的基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，其特征在于：所述步骤(2)中选择Gk为工业控制的典型PID算法：
<mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>s</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>s</mi> </mrow>
式中kp为比例环节系数，ki为积分环节系数，kd为微分环节系数；
功放环节Ga可等效为典型一阶惯性环节，具体表达形式如下：
<mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>w</mi> </msub> <mfrac> <msub> <mi>w</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>w</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>
式中kw功放环节增益系数，ww功放环节截止频率。
3.根据权利要求1所述的基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，其特征在于：所述步骤(4)中复系数法，对于磁悬浮转子系统的转动运动，转子绕x轴和y轴的转角α、β可同时表示在复平面上，α(t)超前β(t)90°相位角，定义复变量其中j为虚数单位，系统变量重构可将原MIMO系统转变为SISO系统分析。
4.根据权利要求1所述的基于复系数法的磁悬浮扁平转子系统章动频率解析方法，其特征在于：所述步骤(5)中控制算子|φi(jΩ)|，可由控制系统参数及转频表示为：
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>w</mi> <mi>w</mi> </msub> </mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> </mfrac> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mi>d</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>4</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mi>p</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>w</mi> <mi>w</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </msqrt> <mo>.</mo> </mrow>
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