CN101247097A - 一种设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法 - Google Patents

Abstract

一种设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法，将磁悬浮扁平高速转子系统考虑一阶弹性模态的动力学模型转化为复系数单变量开环传递函数，绘制不同转速时复系数开环传递函数的双频Bode图，计算各转速下弹性模态的相角裕度，根据相角裕度曲线设计弹性自激振动抑制用陷波器的串连级数、中心频率和极点阻尼。本发明基于双频Bode图，提出具有强陀螺效应的磁悬浮扁平高速转子系统抑制一阶弹性自激振动用的陷波器参数设计方法，相对通常的多变量系统设计方法如状态空间分析方法等，不仅具有良好的直观性和鲁棒性，而且可以极小化陷波器对章动稳定性的影响，因而更适合应用于姿控储能飞轮、磁悬浮反作用轮、磁悬浮控制力矩陀螺等实际的磁悬浮高速转子系统中。

Description

一种设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法

技术领域

本发明涉及一种陷波器参数设计方法，可以用于具有强陀螺效应的磁悬浮扁平高速转子系统弹性自激振动抑制用陷波器参数的设计。

背景技术

相对于传统的机械滚珠轴承，磁轴承具有无接触、刚度和阻尼主动可控等突出优点，因而没有摩擦和磨损，也无需润滑、允许转子高速旋转、振动小、支承精度高，特别适合于超净环境设备、高转速设备和要求低振动、高精度、长寿命的航天设备。目前，磁悬浮高速转子系统已经在离心机、高精度数控车床、透平机、储能飞轮，以及磁悬浮飞轮和磁悬浮控制力矩陀螺等民用和航天设备中得到日益广泛的应用，并有取代机械轴承的趋势。

但是，磁悬浮扁平高速转子存在一阶弹性模态不稳定而导致的高频自激振动问题。一方面，扁平圆盘结构降低了转子的低阶弹性模态频率，另一方面，转子额定转速较高，相应要求磁轴承具有较高的控制带宽，两方面因素使转子一阶模态频率靠近磁轴承控制带宽范围，在强陀螺效应、功放非线性和轴承力非线性等因素作用下，转子出现一阶弹性自激振荡，影响了磁悬浮转子系统的正常功能。

磁悬浮转子弹性自激振荡的抑制主要有陷波器校正、LQ控制、LPV控制、H_∞控制等方法，其中在控制通道中串入陷波器是最为有效的方法。但由于自激振荡频率随着转子转速和磁轴承控制律的变化而变化，要在任意转速下保证弹性模态稳定，陷波器参数设计仍然是一个难题。现有技术采用经典Bode图和Nyquist曲线设计陷波器，虽然具有很好的实际效果，但只适用于陀螺效应较弱、可近似解耦为单变量的磁悬浮细长转子系统，而不适用于具有强陀螺效应耦合的磁悬浮扁平高速转子。此外还有采用闭环仿真方法确定陷波器参数的方法，但只是一种试凑，还没有完全实现参数设计，也无法保证稳定裕度。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有方法只能对弱陀螺效应磁悬浮转子系统陷波器参数进行设计的缺陷，提出采用双频Bode图设计具有强陀螺效应的磁悬浮扁平高速转子一阶弹性模态自激振动抑制用陷波器参数，解决了强陀螺效应磁悬浮弹性转子系统的以弹性模态稳定裕度为目标的陷波器参数设计的问题，确保磁悬浮高速转子系统弹性模态的稳定性和稳定裕度。

本发明的技术解决方案是：首先将考虑一阶弹性模态的磁悬浮扁平高速转子系统动力学模型转化为复系数单变量开环传递函数形式，然后绘制不同转速时复系数开环传递函数的双频Bode图，利用双频Bode图计算各转速下弹性模态的相角裕度，最后根据相角裕度设计抑制用陷波器的串连级数、中心频率和极点阻尼。

动力学模型转化为复系数单变量开环传递函数的原理是：根据陀螺技术方程建立磁悬浮扁平高速转子系统考虑一阶弹性模态的径向转动动力学微分方程模型

$\left\{\begin{array}{c}{J}_{1y}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}-H_1\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+J_{2y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_2-H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2-2k_h{l}_m^2\mathrm{\β}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_w{k}_s{g}_c\mathrm{\β}+p_{\mathrm{dy}}\\ J_{1x}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+H_1\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}+J_{2x}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_2+H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2-2k_h{l}_m^2\mathrm{\α}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_w{k}_s{g}_c\mathrm{\α}+p_{\mathrm{dx}}\\ J_{2y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_2-H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2-k_k(\mathrm{\β}-{\mathrm{\β}}_2)-k_v(\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2)=0\\ J_{2x}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_2+H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2-k_k(\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_2)-k_v(\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2)=0\end{array}\right.$

其中k_k和k_v分别为引入的弹簧角刚度和角阻尼系数，α₁、β₁和α₂、β₂分别为转轴和圆盘相对定子的倾角，J_1x＝J_1y、J_2x＝J_2y分别为轴和盘的赤道转动惯量，H₁＝2πJ_1zF_r和H₂＝2πJ_1zF_r分别为轴和盘的角动量，F_r为转子转速，J_1z和J_2z分别为轴和盘的轴向转动惯量，k_s为位移传感器灵敏度，k_w为功放的电流放大倍数，k_i和k_h分别为磁轴承的电流刚度和位移刚度，l_m和l_s分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的水平距离，g_c和g_w分别为PID控制器、进动交叉控制器和功放的输入-输出变换算子，即有 $L\left[g_c\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_c\left(s\right),$ $L\left[g_w\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_w\left(s\right),$ L表示拉氏变换，s为算子，g_c(s)和g_w(s)分别为PID控制器和功放的传递函数，p_dx和p_dy分别为径向x和y自由度的扰动力矩。定义J_1rr＝J_1x＝J_1y、J_2rr＝J_2x＝J_2y、＝α+jβ、₂＝α₂+jβ₂、p_d＝p_dx+jp_dy，j为虚数单位，将微分方程组的第一式乘以j再加到第二式，第三式乘以j再加到第四式，得到

再做拉氏变换，并消去₂(s)得出等效的复系数单变量动力学模型：

令 $g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{1\mathrm{rr}}{s}^2-j{H}_{1}s+\frac{(J_{2\mathrm{rr}}{s}^2-j{H}_{2}s)(k_k+k_{v}s)}{J_{2\mathrm{rr}}{s}^2+(k_v-j{H}_2)s+k_k}-2k_h{l}_m^2}$ 和g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_wk_sg_c(s)分别表示等效控制器和等效被控对象，则系统的复系数开环传递函数为：

                    g_OL(s)＝g_oeff(s)g_ceff(s)

根据上述复系数开环传递函数绘制双频Bode图，包括正频Bode图和负频Bode图，正频Bode图又包括幅频特性L(ω)和相频特性φ(ω)，负频Bode图又包括幅频特性L(-ω)和相频特性φ(-ω)，并且将负频特性对折画到正频率区间。

根据不同转速下的双频Bode图计算各转速下弹性模态的相角裕度：

其中γ_B和γ_F分别为弹性模态后向涡动和前向涡动的相角裕度，f_a为L_B+的左限频率，f_f为L_F+的右限频率，L_B+和L_F+分别为负频和正频特性中L(ω)＞0的高频频段。

根据相角裕度设计陷波器参数的原理是：陷波器的传递函数为 $g_{\mathrm{nf}}\left(s\right)=\frac{s^2+{\mathrm{\ω}}_z^2}{s^2+2{\mathrm{\ζ}}_p{\mathrm{\ω}}_{z}s+{\mathrm{\ω}}_z^2},$ 其中ω_z＝2πf_z，f_z和ζ_p分别是陷波器中心频率和极点阻尼，s为拉氏变换算子。陷波器串连级数n＝int{[max(|γ_B|，|γ_F|)+γ_o]/θ_max+1}，其中γ_o为校正后要求达到的相角裕度，θ_max为单级陷波器所能提供的最大相移，int表示取整。陷波器中心频率f_z＝f_b0，其中f_b0为F_r＝0Hz时L_B+区域中最大幅度对应的频率。陷波器极点阻尼ζ_p由 $g_{\mathrm{OL}}\left(s\right){\left[g_{\mathrm{nf}}\left(s\right)\right]}^n{|}_{F_r=F_{r\max }}=e^{j(\mathrm{\π}+{\mathrm{\γ}}_o)}$ 解出，其中F_rmax为转子最高转速。

本发明与现有技术相比的优点在于：(1)通过将原有的多变量系统等效为一个复系数单变量系统，从而可以沿用经典的单变量控制理论进行稳定性分析和设计，具有更好的直观性，更适用于实际系统；(2)以相角裕度为设计目标，不仅保证弹性模态的稳定性，而且具有一定的鲁棒性；(3)利用陷波器过渡带的幅频衰减特性减小陷波器极点阻尼设计值，可以极小化陷波器对章动稳定性的影响。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为本发明的考虑一阶弹性模态的磁悬浮扁平高速转子机械模型；

图3为本发明F_r＝400Hz时磁悬浮转子系统的双频Bode图；

图4为本发明F_r＝0Hz时磁悬浮转子系统的双频Bode图；

图5为本发明不同转速下的弹性模态的相角裕度；

图6为本发明串入陷波器后磁悬浮转子系统的双频Bode图

具体实施方式

本发明一种设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法，具体实施步骤包括：将磁悬浮扁平高速转子系统考虑一阶弹性模态的动力学模型转化为复系数单变量开环传递函数，绘制不同转速时复系数开环传递函数的双频Bode图，计算各转速下弹性模态的相角裕度，根据相角裕度曲线设计抑制用陷波器的串连级数、中心频率和极点阻尼，如图1所示。

以一种磁悬浮扁平弹性转子系统为例说明本发明方法的具体实施方式，设计目标为转子转速F_r＝0～400Hz下一阶弹性模态相角裕度不低于γ_o＝10°。

(1)将磁悬浮扁平高速转子系统考虑一阶弹性模态的动力学模型转化为复系数开环传递函数：

磁悬浮扁平高速转子高频自激缘于转子一阶弹性模态，振型为圆盘与转轴之间的径向相对转动。只考虑一阶弹性模态，可以将转子模化为刚性转轴和带有中心通孔的刚性圆盘，盘轴之间采用两个正交的弹簧-阻尼器作为弹性连接，如图2所示。规定盘与轴只存在径向的相对转动，根据陀螺技术方程建立磁悬浮扁平高速转子系统考虑一阶弹性模态的径向转动运动动力学微分方程模型：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_{1y}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}-H_1\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+J_{2y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_2-H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2-2k_h{l}_m^2\mathrm{\β}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_w{k}_s{g}_c\mathrm{\β}+p_{\mathrm{dy}}\\ J_{1x}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+H_1\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}+J_{2x}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_2+H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2-2k_h{l}_m^2\mathrm{\α}=-2l_m{l}_s{k}_i{k}_w{k}_s{g}_c\mathrm{\α}+p_{\mathrm{dx}}\\ J_{2y}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_2-H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2-k_k(\mathrm{\β}-{\mathrm{\β}}_2)-k_v(\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2)=0\\ J_{2x}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_2+H_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2-k_k(\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_2)-k_v(\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2)=0\end{array}\right.$

上式中k_k和k_v分别为引入的弹簧角刚度和角阻尼系数，α₁、β₁和α₂、β₂分别为转轴和圆盘相对定子的倾角，J_1x＝J_1y、J_2x＝J_2y分别为轴和盘的赤道转动惯量，H₁＝2πJ_1zF_r和H₂＝2πJ_1zF_r分别为轴和盘的角动量，F_r为转子转速，J_1z和J_2z分别为轴和盘的轴向转动惯量，k_s为位移传感器灵敏度，k_w为功放的电流放大倍数，k_i和k_h分别为磁轴承的电流刚度和位移刚度，l_m和l_s分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的水平距离，g_c和g_w分别为PID控制器、进动交叉控制器和功放的输入-输出变换算子，即有 $L\left[g_c\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_c\left(s\right),$ $L\left[g_w\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\right)\right]=g_w\left(s\right),$ L表示拉氏变换，s为算子，g_c(s)和g_w(s)分别为PID控制器和功放的传递函数，p_dx和p_dy分别为径向x和y自由度的扰动力矩。定义J_1rr＝J_1x＝J_1y、J_2rr＝J_2x＝J_2y、＝α+jβ、₂＝α₂+jβ₂、p_d＝p_dx+jp_dy，j为虚数单位，将微分方程组的第一式乘以j再加到第二式，第三式乘以j再加到第四式，得到

对上式做拉氏变换，并消去₂(s)得出等效的复系数单变量动力学模型

令 $g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{1\mathrm{rr}}{s}^2-j{H}_{1}s+\frac{(J_{2\mathrm{rr}}{s}^2-j{H}_{2}s)(k_k+k_{v}s)}{J_{2\mathrm{rr}}{s}^2+(k_v-j{H}_2)s+k_k}-2k_h{l}_m^2}$ 和g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_wk_sg_c(s)分别表示等效控制器和等效被控对象，则系统的复系数开环传递函数为

g_OL(s)＝g_oeff(s)g_ceff(s)

(2)绘制不同转速时复系数开环传递函数的双频Bode图：

以F_r＝400Hz(即最高转速F_rmax)为例，对应的开环传递函数g_OL(s)|_s＝jω的双频Bode图如图3所示，图中横轴为频率f＝ω/2π(单位Hz)，上图为幅频特性，纵轴为对数增益，单位dB，下图为相频特性，纵轴为相角，单位deg即“°”。实线表示通常的正频Bode图，包括幅频特性L(ω)和相频特性φ(ω)，虚线表示负频Bode图，包括幅频特性L(-ω)和相频特性φ(-ω)，负频特性对折画到正频率区间。相频特性中实线箭头均表示半次穿越，向上为正穿越，向下为负穿越，γ_B和γ_F分别为弹性模态后向涡动和前向涡动的相角裕度，L_B+和L_F+分别表示负频和正频特性中L(ω)＞0的高频频段，f_a为L_B+的左限频率，f_f为L_F+的右限频率。F_r＝0Hz时的双频Bode图如图4所示，其中f_b0＝1117Hz为F_r＝0Hz时L_B+区域中最大幅度对应的频率。其他不同转速时的双频Bode图绘制方法相同不再赘述。

(3)计算各转速下弹性模态的相角裕度：

根据弹性模态的相角裕度的公式

可以计算出各转速下的γ_B和γ_F，γ_B和γ_F与f_a和f_f的关系曲线如图5所示，其中横轴表示不同转速下的f_a和f_f，箭头表示转速增大的方向。

(4)根据相角裕度曲线设计抑制用陷波器参数采用的陷波器传递函数为 $g_{\mathrm{nf}}\left(s\right)=\frac{s^2+{\mathrm{\ω}}_z^2}{s^2+2{\mathrm{\ζ}}_p{\mathrm{\ω}}_{z}s+{\mathrm{\ω}}_z^2},$ 其中ω_z＝2πf_z，f_z和ζ_p分别是陷波器中心频率和极点阻尼。陷波器串连级数n、中心频率f_z和极点阻尼ζ_p的设计过程如下：

a.串连级数n：根据n＝int{[max(|γ_a|，|γ_f|)+γ_o]/θ_max+1}，其中γ_o为校正后要求达到的相角裕度，θ_max为单级陷波器所能提供的最大相移，int表示取整，通常陷波器取θ_max＝70°，已知γ_o＝10°，可取n＝2。

b.中心频率f_z：根据图4，应选f_z＝f_b0＝1117Hz。

c.极点阻尼ζ_p：根据 $g_{\mathrm{OL}}\left(s\right){\left[g_{\mathrm{nf}}\left(s\right)\right]}^n{|}_{F_r=F_{r\max }}=e^{j(\mathrm{\π}+{\mathrm{\γ}}_o)},$ 其中F_rmax＝400Hz为转子最高转速，f_z和n在前面已经确定，利用方程两边关于实部和虚部的恒等关系可以求出ζ_p＝0.1061。校正后F_r＝400Hz时磁悬浮转子系统的双频Bode图如图6所示，其中后向涡动的稳定裕度恰为10°，说明设计结果满足稳定裕度要求。

Claims (5)

1、一种设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法，其特征在于包括下列步骤：

(1)将磁悬浮扁平高速转子系统考虑一阶弹性模态的动力学模型转化为复系数单变量开环传递函数；

(2)绘制不同转速时复系数开环传递函数的双频Bode图；

(3)利用双频Bode图，计算各转速下弹性模态的相角裕度；

(4)最后根据相角裕度设计抑制用陷波器的串连级数、中心频率和极点阻尼。

2、根据权利要求1所述的设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法，其特征在于：所述步骤(1)中的磁悬浮扁平高速转子系统考虑一阶弹性模态的复系数开环传递函数为：

                     g_OL(s)＝g_oeff(s)g_ceff(s)

其中 $g_{\mathrm{oeff}}\left(s\right)=\frac{1}{J_{1\mathrm{rr}}{s}^2-j{H}_{1}s+\frac{(J_{2\mathrm{rr}}{s}^2-j{H}_{2}s)(k_k+k_{v}s)}{J_{2\mathrm{rr}}{s}^2+(k_v-j{H}_2)s+k_k}-2k_h{l}_m^2}$ 和g_ceff(s)＝2l_ml_sk_ik_wk_sg_c(s)分别表示等效控制器和等效被控对象，k_k和k_v分别为转盘和转轴连接部位的等效角刚度和角阻尼系数，J_1x＝J_1y、J_2x＝J_2y分别为轴和盘的赤道转动惯量，H₁＝2πJ_1zF_r和H₂＝2πJ_1zF_r分别为轴和盘的角动量，F_r为转子转速，J_1z和J_2z分别为轴和盘的轴向转动惯量，k_s为位移传感器灵敏度，k_w为功放的电流放大倍数，k_i和k_h分别为磁轴承的电流刚度和位移刚度，l_m和l_s分别为磁轴承和位移传感器到转子中心的水平距离，g_c(s)和g_w(s)分别为PID控制器和功放的传递函数，s为算子。

3、根据权利要求1所述的设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法，其特征在于：所述步骤(2)中的复系数单变量开环传递函数的双频Bode图包括正频Bode图和负频Bode图，正频Bode图包括幅频特性L(ω)和相频特性φ(ω)，负频Bode图包括幅频特性L(-ω)和相频特性φ(-ω)，并且将负频特性对折画到正频率区间。

4、根据权利要求1所述的设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法，其特征在于：所述步骤(3)中的计算各转速下弹性模态的相角裕度的公式为：

其中γ_B和γ_F分别为弹性模态后向涡动和前向涡动的相角裕度，f_a为L_B+的左限频率，f_f为L_F+的右限频率，L_B+和L_F+分别为负频和正频特性中L(ω)＞0的高频频段。

5、根据权利要求1所述的设计磁悬浮扁平高速转子系统陷波器参数的方法，其特征在于：所述步骤(4)中的设计抑制用陷波器的串连级数、中心频率和极点阻尼的方法为：

(1)陷波器串连级数n＝int{[max(|γ_B|，|γ_F|)+γ_o]/θ_max+1}，其中γ_o为校正后要求达到的相角裕度，θ_max为单级陷波器所能提供的最大相移，int表示取整；

(2)陷波器中心频率f_z＝f_b0，其中f_b0为F_r＝0Hz时L_B+区域中最大幅度对应的频率；

(3)陷波器极点阻尼ζ_p由下式解出

$g_{\mathrm{OL}}\left(s\right){\left[g_{\mathrm{nf}}\left(s\right)\right]}^n{|}_{F_r=F_{r\max }}=e^{j(\mathrm{\π}+{\mathrm{\γ}}_o)}$

其中F_rmax为转子最高转速， $g_{\mathrm{nf}}\left(s\right)=\frac{s^2+{\mathrm{\ω}}_z^2}{s^2+2{\mathrm{\ζ}}_p{\mathrm{\ω}}_{z}s+{\mathrm{\ω}}_z^2}$ 为陷波器传递函数，ω_z＝2πf_z，f_z和ζ_p分别是陷波器中心频率和极点阻尼，s为拉氏变换算子。

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