CN108710286A - 基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法，包括：建立强陀螺效应下磁悬浮转子系统不平衡振动动力学模型；基于磁悬浮转子系统在径向扭转方向的动力学模型，设计磁悬浮转子系统的同频振动分层控制方法；通过对磁悬浮转子系统控制通道的正负频率特进行分析，给出临界涡动失稳转速的解析表达式，以得到低速和高速情况的临界失稳转速；对临界转速以下和临界转速以上的磁悬浮转子系统的稳定性进行分析，通过调节同频陷波器的相角使磁悬浮转子系统在全转速范围内稳定悬浮。本发明提出的这种同频振动力矩分层控制方法，简化了系统稳定性分析的复杂度和陷波器的设计，对磁轴承飞轮系统的振动抑制具有重要参考意义。

Description

基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法

技术领域

本发明属于航天控制技术领域，特别涉及一种新型复合分层同频振动力矩控制方法，即基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法。

背景技术

近年来，飞轮大多采用无摩擦磨损和无润滑的磁轴承支承，可以从根本上解决飞轮支承系统的寿命和可靠性问题。这种支承方法还可以通过主动控制方法抑制不平衡扰动，使得飞轮的高精度控制成为可能。为了减小飞轮质量和体积，磁悬浮转子通常被设计成扁平结构，因而存在非常严重的陀螺效应。由于强陀螺效应，系统的涡动模态会随着转速的变化出现频率分叉，给磁悬浮转子系统的控制算法设计增加很大的难度。此外，转子质量的不平衡也会引起同频振动干扰，这种干扰不可避免地会影响控制性能，甚至会危及系统的稳定性。如何在系统稳定悬浮的基础上抑制同频振动干扰成为一个具有挑战性的问题。

同频振动的控制方法已经广泛应用于磁悬浮转子系统，如构造干扰观测器来估计和补偿振动干扰、采用最小均方(LMS)算法对位移信号进行陷波处理、利用陷波器抑制同频振动以及用于主动振动控制的复合前馈补偿方法。控制方法大致可以分为两种：一种是不平衡补偿方法，通过消除转子位移中的同频干扰，迫使转子围绕几何轴旋转。另一种方法是通过消除同频力和电流使转子绕其惯性轴旋转，称为自动平衡方法。此外，同频振动的控制方法还有迭代搜索法，基于模型的自适应控制方法以及基于不平衡量识别的自动平衡法等。对比上述几种控制方法，基于陷波器的同频振动抑制方法较为简单实用，是实际工程中常用的方法。

对于具有陀螺效应的磁悬浮转子耦合系统，不仅要解决电磁吸力型系统固有的不稳定，还要解决由于强陀螺效应引起的涡动模态失稳问题。工程中常采用分散PID控制器来控制系统的稳定性，但是该方法只能保证低转速下系统的稳定性。高速时，PID控制器中的积分项会引起系统涡动模态的进动失稳，系统中的其他滞后环节会引起章动失稳，所以仅采用经典PID控制不足以保证磁悬浮转子耦合系统在全转速范围内的稳定悬浮。虽目前已有文章提出采用分散PID加交叉解耦控制器的方法来抑制同频振动力矩，但在全转速范围内均采用交叉解耦控制器，会降低整个系统的稳定性，同时也增加了设计陷波器的难度。

发明内容

为克服现有的磁悬浮转子系统同频振动控制方法的不足，提出一种基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法，在临界失稳转速节点两侧分别采用分散PID控制器和包含分散PID控制器以及交叉解耦控制器的复合控制方法保证磁悬浮转子系统的稳定悬浮，并嵌入陷波器算法对系统的同频力矩进行控制，实现对强陀螺效应下磁悬浮转子系统的同频振动力矩的抑制。

本发明所公开的基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法，可用于抑制陀螺效应下的磁悬浮转子系统的同频振动力矩。其深入分析不平衡振动的来源，基于磁悬浮飞轮径在向扭转方向上的动力学方程建立完整的不平衡振动动力学模型，提出一种基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法。然后通过分析磁悬浮转子系统控制通道的正负频率特性，求解复数域下涡动模态临界失稳转速的解析表达式。在此基础上对磁悬浮系统的稳定性及抑制性能进行分类讨论。

本发明公开的基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法，具体可包括以下步骤：：

1)建立强陀螺效应下磁悬浮转子系统不平衡振动动力学模型；

2)基于磁悬浮转子系统在径向扭转方向的动力学模型，设计磁悬浮转子系统的同频振动分层控制方法；

3)通过对磁悬浮转子系统控制通道的正负频率特进行分析，给出临界涡动失稳转速的解析表达式，以得到低速和高速情况的临界失稳转速；

4)对临界转速以下和临界转速以上的磁悬浮转子系统的稳定性进行分析，通过调节同频陷波器的相角使磁悬浮转子系统在全转速范围内稳定悬浮。

优选的，所述步骤1)建立的强陀螺效应下磁悬浮转子系统不平衡振动动力学方程为：

其中，

式中，J_x、J_y分别是转子在径向x和y方向的转动惯量，J_z是转子在z方向的转动惯量；Ω是转子的转速，α和β表示在几何坐标系下径向扭转α和β方向的两个角位移；p_x和p_y表示径向扭转α和β方向的电磁力矩；p_dx和p_dy表示径向扭转α和β方向的同频振动力矩；ε_d表示几何轴O_G和惯性轴O_I之间的离心率；χ_d分别表示α和β方向的离心率的初始相位角；t表示时间；k_iz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，k_sz表示轴向磁轴承的位移刚度系数，r_m表示从转子几何中心到传感器中心的距离，i_α表示径向扭转α方向的电流，i_β表示径向扭转β方向的电流。

优选的，所述步骤2)磁悬浮转子系统的同频振动分层控制方法具体包括：

构建具有强陀螺效应的磁悬浮转子控制系统在径向扭转方向的动力学模型，其表达示为：

式中，g_b(s)和g_cr(s)分别表示分散PID和交叉解耦控制器的传递函数；g_a(s)和g_s(s)分别表示功率放大器和传感器的传递函数；r_m表示从转子几何中心到传感器中心的距离，k_iz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，k_sz表示轴向磁轴承的位移刚度系数；

引入变量η进行系统重构，η＝β+jα，j表示虚数单位1，j²＝-1，将原双输入双输出系统等效为单输入单输出复系数系统，包括：

将式(7)乘以j再加上式(8)，得微分方程式(9)：

对该微分方程在零初始条件下做Laplace变换可以得到：

式中，s表示频域(s域)中的复数，J_r表示赤道转动惯量；

由于转子为轴对称结构，J_x＝J_y＝J_r，式(10)在复数域下等效为单输入单输出系统，其控制对象和控制通道为：

G(s)＝g_a(s)g_s(s)[g_b(s)+jg_cr(s)] (12)

重构后系统的闭环传递函数等效为式(13)：

式中，g_b(s)和g_cr(s)分别表示分散PID和交叉解耦控制器的传递函数；g_a(s)和g_s(s)分别表示功率放大器和传感器的传递函数。

优选的，采用的分层振动控制方法为：在飞轮低速运转时，通过分散PID控制器使系统稳定悬浮，并利用复数陷波器实现磁悬浮转子系统的同频振动力矩抑制；在飞轮高速运转时，在分散PID器的基础上加入交叉解耦控制器来解决强陀螺效应引起的涡动模态失稳问题，且在加入交叉解耦控制器后，系统处于解耦状态，复系数陷波器简化为实数陷波器；

其中，用于抑制同频振动力矩的复系数陷波器表示为：

式中，N^*(s)表示N(s)的共轭函数。

优选的，所述步骤3)中，当转速的范围满足临界失稳转速的解析表达式时，磁悬浮转子系统稳定悬浮，临界失稳转速的解析表达式为：

max{Ω_n+0,Ω_p+0}≤Ω≤min{Ω_n-0,Ω_p-0} (20)

其中，

式中，k为整数(k＝0,±1，±2……)；Ω_n±k是章动临界稳定转速，Ω_p±k是进动临界稳定转速；ω_n±k表示章动临界稳定频率，ω_p±k表示进动临界稳定频率；i_n±k表示章动临界稳定频率对应的幅值，i_p±k表示进动临界稳定频率对应的幅值。

优选的，在所述步骤4)中：

对临界转速以下的磁悬浮转子系统的稳定性分析如下：

转子转速在临界转速以下时，控制通道中采用分散PID控制器来实现系统的稳定悬浮，复系数陷波器以四个实系数陷波器形式作用在控制通道的闭环回路中，，将原不对称系统转换为共轭对称系统，系统稳定的范围为：

对临界转速以下的磁悬浮转子系统的稳定性分析如下：

转子转速在临界转速以上时，控制通道中采用分散PID加交叉解耦控制器的复合控制方法来保证磁悬浮系统能够稳定悬浮，复数陷波器简化为只有两个实数陷波器组成的实部形式，系统稳定的范围为:

式中，θ₁和θ₂分别表示两个陷波器的稳定调节相位，arg[S(jΩ)]表示灵敏度函数S(s)在转子速度为Ω时的相位；

通过调节合适的相角使磁悬浮转子闭环系统稳定悬浮。

综上可见，本发明所公开的基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法，可用于抑制具有强陀螺效应的磁悬浮转子系统在径向扭转方向上的同频振动力矩。其基于物理定律建立磁悬浮飞轮在径向扭转方向上的不平衡振动动力学模型。飞轮低速运转时，通过分散PID控制器使系统稳定悬浮，并利用复数陷波器实现磁悬浮转子系统的同频振动力矩抑制；飞轮高速运转时，需要在分散PID器的基础上加入交叉解耦控制器来解决强陀螺效应引起的涡动模态失稳问题。此时，系统处于解耦状态，复系数陷波器可简化为实数陷波器。通过分析控制通道频率特性得用以区分低速和高速情况的临界失稳转速，从而对复数域下磁悬浮转子系统的稳定性以及同频振动抑制性能进行分类讨论和分层实现。

本发明提出的基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法，简化了系统稳定性分析的复杂度和陷波器的设计，对磁轴承飞轮系统的振动抑制具有重要参考意义。

附图说明

图1强陀螺效应下磁悬浮转子系统几何轴与惯性轴不共面示意图；

图2磁悬浮飞轮控制系统框图(双输入双输出系统)；

图3磁悬浮飞轮控制系统框图(单输入单输出复系数系统)；

图4复系数陷波器的虚部环节在实数域中采用交叉解耦方式示意图；

图5控制通道中仅采用分散PID控制器的控制示意图；

图6控制通道中采用分散PID加交叉解耦控制器的复合控制示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案进行详细说明。

步骤一、建立强陀螺效应下磁悬浮转子系统不平衡振动动力学模型

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子系统在径向扭转方向的动力学模型(即成不平衡振动动力学模型)可以表示为：

式中，J_x、J_y分别是转子在径向x和y方向的转动惯量，J_z是转子在z方向的转动惯量；Ω是转子的转速，α和β表示在几何坐标系下径向扭转α和β方向的两个角位移；p_x和p_y表示径向扭转α和β方向的电磁力矩；p_dx和p_dy表示径向扭转α和β方向的同频振动力矩。

在磁悬浮飞轮中，同频振动源主要是转子质量的不平衡，包括引起同频振动力的静不平衡以及引起同频振动力矩的动不平衡。动不平衡由转子惯性轴与几何轴不重合导致，即图1所示的几何轴与惯性轴不共面。惯性轴与几何轴的关系可以表示为：

α_i＝α+ε_d cos(Ωt+χ_d) (3)

β_i＝β+ε_d sin(Ωt+χ_d) (4)

式中，α_i和β_i表示在惯性坐标系下径向扭转α和β方向的角位移；ε_d表示几何轴O_G和惯性轴O_I之间的离心率；χ_d分别表示α和β方向的离心率的初始相位角；t表示时间。

从而得到，电磁力矩和同频振动力矩可以表示为：

式中，k_iz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，k_sz表示轴向磁轴承的位移刚度系数，r_m表示从转子几何中心到传感器中心的距离；i_α表示径向扭转α方向的电流，i_β表示径向扭转α方向的电流。

其中，式(5)为电磁力矩在额定工作点采用泰勒级数进行线性化得到的结果；式(3)和式(4)说明了转子轴和几何轴不重合，从而导致了式(6)中的同频振动力矩，现有技术均有相关推导式。

步骤二、设计磁悬浮转子系统的振动控制方法

为了让磁悬浮转子系统稳定悬浮，一般对每一路电磁系统采用PID控制器进行分散控制。然而，由于磁悬浮飞轮转子通常被设计为扁平结构，因而具有强烈的陀螺效应，会引起系统涡动模态的进动和章动失稳。为了抑制陀螺效应，通常采用交叉解耦加分散PID控制器的复合控制方法。磁悬浮飞轮控制系统框图如图2所示，具有强陀螺效应的磁悬浮转子系统在径向扭转方向的动力学模型可以表示为：

式中，r_m表示从转子几何中心到传感器中心的距离,k_iz表示轴向磁轴承的电流刚度系数,k_sz表示轴向磁轴承的位移刚度系数。

需要说明的是，图2实质上为式(7)和式(8)建立的控制系统框图，图2的控制系统框图也可以通过其回路的代数计算验证；式(7)和式(8)是根据实际系统通过物理知识(如牛顿定律)推导所得。通过定义一个新变量η进行系统重构，原双输入双输出系统可等效为一个如图3所示的单输入单输出复系数系统。具体引入的系统重构方法如下：

对于磁悬浮转子系统的转动运动而言，α超前β90度，由此可定义变量η＝β+jα。其中，j表示虚数单位1，j²＝-1。考虑到原动力学方程(7)和(8)的反对称性，故将式(7)乘以j再加上式(8)，得微分方程式(9)：

对该微分方程在零初始条件下做Laplace变换可以得到：

式中，s表示频域(s域)中的复数，J_r表示赤道转动惯量。

由于转子为轴对称结构，所以有J_x＝J_y＝J_r，式(10)在复数域下可等效为一个单输入单输出系统，其控制对象和控制通道为：

G(s)＝g_a(s)g_s(s)[g_b(s)+jg_cr(s)] (12)

重构后系统的闭环传递函数可以等效为式(13)：

式中，g_b(s)和g_cr(s)分别表示分散PID和交叉解耦控制器的传递函数；g_a(s)和g_s(s)分别表示功率放大器和传感器的传递函数。

由此，图3即为图2中的双输入双输出系统通过变量重构得到的复系数单输入单输出系统。其中，α_r和β_r分别表示在几何坐标系下转子角位移α和β的参照值；η_r为复数域下转子角位移的参照值，η_r＝α_r+β_r；Θ_η为不平衡扰动。

由于全转速内均采用分散PID加交叉解耦控制会浪费资源，降低系统的稳定性，本发明采用分层振动控制方式，具体表现为：低速时，陀螺效应不明显，仅采用PID控制器即可保证系统稳定悬浮，并嵌入复系数陷波器抑制系统的同频振动力矩；高速时，陀螺效应明显，需在分散PID控制器的基础上加入交叉解耦控制器以保证系统的稳定性。加入交叉解耦控制器后，系统径向扭转方向的α和β轴等效于解耦状态，复系数陷波器可简化为仅有实数部分的陷波器。图4中，α_e和β_e分别表示径向扭转α和β方向角位移的误差值，为给定参照值α_r和β_r与系统输出α和β的负反馈的差值；α_e和β_e分别表示误差值通过陷波器后的输出值。复系数陷波器的虚部环节在实数域中采用交叉解耦方式实现，其中：

式中，N^*(s)表示N(s)的共轭函数。

步骤三、涡动模态临界失稳转速的求解

假设闭环系统临界稳定，此时有s＝jω。将s＝jω代入式(13)，得到临界稳定条件：

定义G_n(jω)＝g_a(jω)g_s(jω)[g_b(jω)+jg_cr(w)]为控制通道的正频率特性。章动模式下，涡动与转子转动方向同向，ω>0。根据式(16)所示的临界稳定条件，可知：闭环系统临界稳定时，式(16)等号右边等于一个实数。此时,正频率特性的相频曲线穿越kπ线，该穿越频率ω_n±k，k为整数，k＝0,±1，±2，......反映了章动临界稳定的频率。该穿越频率对应的幅值为：

求解式(17)可以得到不同穿越频率ω_n±k处的转速为:

定义G_p(jω)＝g_a(jω)g_s(jω)[g_b(jω)+jg_cr(w)]为控制通道的负频率特性。进动模式下，涡动与转子转动方向反向，ω<0。同理可得，穿越频率ω_p±k处的转速为：

式中，i_n±k表示章动临界稳定频率对应的幅值，i_p±k表示进动临界稳定频率对应的幅值。

需要说明的是，负频率特性的表达式和正频率特性的表达式的等式右侧是一样的，但是是这在两种情况下的定义：第一种章动情况ω>0，控制通道的正频率特性G_n(jω)；第二种进动情况ω<0，控制通道的负频率特性G_p(jω)。

综上，转速范围为Ω∈(Ω_n+0,Ω_n-0)时，章动稳定；转速范围为Ω∈(Ω_p+0,Ω_p-0)时，进动稳定。所以，当转速的范围满足不等式(20)时，磁悬浮转子系统稳定悬浮，不等式(20)表示如下：

max{Ω_n+0,Ω_p+0}≤Ω≤min{Ω_n-0,Ω_p-0} (20)

需要说明的是，这里的涡动模态临界失稳转速就是界定低速和高速的节点，即通过式(20)的转速就可以界定低速和高速。

步骤四、低速情况下磁悬浮转子系统的稳定性分析

转子转速在临界转速以下时，控制通道中仅采用分散PID控制器来实现系统的稳定悬浮，如图5所示。复系数陷波器以四个实系数陷波器形式作用在控制通道的闭环回路中，将原不对称系统转换为共轭对称系统。此时，复数域下的磁悬浮转子系统可以表示为:

通过系统重构等效为如图3所示的单输入单输出系统，其控制对象H(s)和控制通道G(s)分别为：

G(s)＝g_a(s)g_s(s)g_b(s) (23)

低速情况下施加同频振动控制的闭环特征方程可以简化为:

从η_e(s)到Θ_η(s)的传递函数为：

由控制理论的基本定义可以得到等效系统的闭环特征方程(即式(25)右侧表达式的分母)为:

q(s)＝1+λ[N₁(s)+jN₂(s)]+G(s)H(s) (26)

为了评价闭环系统对扰动的敏感能力，定义灵敏度函数为：

灵敏度对应的闭环特征方程为:

q(s)＝s²+Ω²+λ[scosθ₁+Ωsinθ₁+j(scosθ₂+Ωsinθ₂)]S(s)＝0 (28)

式中，θ₁和θ₂分别表示两个同频陷波器的稳定调节相位。

将临界稳定的必要条件s＝jΩ代入(28)，并在λ＝0处求导，可以得到：

的幅角可以表示为：

闭环反馈控制系统稳定的充分条件是特征方程的所有根均位于s平面的左半平面，即式(30)需满足如下条件：

将式(30)代入式(31)中，可以得到稳定性条件为：

式中，arg[S(jΩ)]表示灵敏度函数S(s)在转子速度为Ω时的相位。

由式(32)可知可以通过调节合适的相角，使磁悬浮转子闭环系统稳定悬浮。

步骤五、高速情况下磁悬浮转子系统的稳定性分析

转子转速在临界转速以上时，控制通道中采用分散PID加交叉解耦控制器的复合控制方法以保证磁悬浮系统能够稳定悬浮，如图6所示。交叉解耦控制器用于解决高速运行时系统涡动模态的进动和章动失稳的问题。此时，系统径向扭转方向α和β相当于解耦状态，复数陷波器可以简化为只有两个实数陷波器组成的实部形式。该控制方法下的系统可以描述为：

将该系统等效为图3中所示的单输入单输出反馈控制系统，其控制对象和控制通道可以分别描述为:

G(s)＝g_a(s)g_s(s)[g_b(s)+g_cr(s)] (35)

系统的闭环特征方程为：

从η_e(s)到Θ_η(s)的传递函数为:

整个控制系统的闭环特征方程为：

q(s)＝1+λN₁(s)+G(s)H(s) (38)

将灵敏度定义式(27)代入(38)，闭环特征方程可以改写为:

q(s)＝s²+Ω²+λ(scosθ₁+Ωsinθ₁)S(s) (39)

将闭环系统稳定的严格条件s＝jΩ代入(39)，在λ＝0处求导得：

幅角的表达式为:

基于稳定性理论，需要保证式(41)所涉及的幅角范围位于左半平面：

将式(41)代入式(42)中，可以得到磁悬浮转子系统的稳定性条件为：

其中，arg[S(jΩ)]表示灵敏度函数S(s)在转子速度为Ω时的相位。

由式(43)可知，当转子转速达到相对很高时，陷波器不再需要补偿相位进行调整，就能保证整个闭环系统的稳定悬浮，这种选择大大降低了陷波器设计的难度。

尽管以上结合附图对本发明的实施方案进行了描述，但本发明并不局限于上述的具体实施方案和应用领域，上述的具体实施方案仅仅是示意性的、指导性的，而不是限制性的。本领域的普通技术人员在本说明书的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围的情况下，还可以做出很多种的形式，这些均属于本发明保护之列。

Claims (6)

1.基于交叉解耦陷波器的同频振动力矩分层控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立强陀螺效应下磁悬浮转子系统不平衡振动动力学模型；

2)基于磁悬浮转子系统在径向扭转方向的动力学模型，设计磁悬浮转子系统的同频振动分层控制方法；

3)通过对磁悬浮转子系统控制通道的正负频率特进行分析，给出临界涡动失稳转速的解析表达式，以得到低速和高速情况的临界失稳转速；

4)对临界转速以下和临界转速以上的磁悬浮转子系统的稳定性进行分析，通过调节同频陷波器的相角使磁悬浮转子系统在全转速范围内稳定悬浮。

2.根据权利要求1所述的同频振动力矩分层控制方法，其特征在于，所述步骤1)建立的强陀螺效应下磁悬浮转子系统不平衡振动动力学方程为：

其中，

式中，J_x、J_y分别是转子在径向x和y方向的转动惯量，J_z是转子在z方向的转动惯量；Ω是转子的转速，α和β表示在几何坐标系下径向扭转α和β方向的两个角位移；p_x和p_y表示径向扭转α和β方向的电磁力矩；p_dx和p_dy表示径向扭转α和β方向的同频振动力矩；ε_d表示几何轴O_G和惯性轴O_I之间的离心率；χ_d分别表示α和β方向的离心率的初始相位角；t表示时间；k_iz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，k_sz表示轴向磁轴承的位移刚度系数，r_m表示从转子几何中心到传感器中心的距离，i_α表示径向扭转α方向的电流，i_β表示径向扭转β方向的电流。

3.根据权利要求2所述的同频振动力矩分层控制方法，其特征在于，所述步骤2)磁悬浮转子系统的同频振动分层控制方法具体包括：

构建具有强陀螺效应的磁悬浮转子控制系统在径向扭转方向的动力学模型，其表达示为：

式中，g_b(s)和g_cr(s)分别表示分散PID和交叉解耦控制器的传递函数；g_a(s)和g_s(s)分别表示功率放大器和传感器的传递函数；r_m表示从转子几何中心到传感器中心的距离，k_iz表示轴向磁轴承的电流刚度系数，k_sz表示轴向磁轴承的位移刚度系数；

引入变量η进行系统重构，η＝β+jα，j表示虚数单位1，j²＝-1，将原双输入双输出系统等效为单输入单输出复系数系统，包括：

将式(7)乘以j再加上式(8)，得微分方程式(9)：

对该微分方程在零初始条件下做Laplace变换可以得到：

式中，s表示频域(s域)中的复数，J_r表示赤道转动惯量；

由于转子为轴对称结构，J_x＝J_y＝J_r，式(10)在复数域下等效为单输入单输出系统，其控制对象和控制通道为：

G(s)＝g_a(s)g_s(s)[g_b(s)+jg_cr(s)] (12)

重构后系统的闭环传递函数等效为式(13)：

式中，g_b(s)和g_cr(s)分别表示分散PID和交叉解耦控制器的传递函数；g_a(s)和g_s(s)分别表示功率放大器和传感器的传递函数。

4.根据权利要求3所述的同频振动力矩分层控制方法，其特征在于，

采用的分层振动控制方法为：在飞轮低速运转时，通过分散PID控制器使系统稳定悬浮，并利用复数陷波器实现磁悬浮转子系统的同频振动力矩抑制；在飞轮高速运转时，在分散PID器的基础上加入交叉解耦控制器来解决强陀螺效应引起的涡动模态失稳问题，且在加入交叉解耦控制器后，系统处于解耦状态，复系数陷波器简化为实数陷波器；

其中，用于抑制同频振动力矩的复系数陷波器表示为：

式中，N^*(s)表示N(s)的共轭函数。

5.根据权利要求4所述的同频振动力矩分层控制方法，其特征在于，所述步骤3)中，当转速的范围满足临界失稳转速的解析表达式时，磁悬浮转子系统稳定悬浮，临界失稳转速的解析表达式为：

max{Ω_n+0,Ω_p+0}≤Ω≤min{Ω_n-0,Ω_p-0}(20)

其中，

式中，k为整数(k＝0,±1，±2……)；Ω_n±k是章动临界稳定转速，Ω_p±k是进动临界稳定转速；ω_n±k表示章动临界稳定频率，ω_p±k表示进动临界稳定频率；i_n±k表示章动临界稳定频率对应的幅值，i_p±k表示进动临界稳定频率对应的幅值。

6.根据权利要求5所述的同频振动力矩分层控制方法，其特征在于，所述步骤4)中，对临界转速以下的磁悬浮转子系统的稳定性分析如下：

转子转速在临界转速以下时，控制通道中采用分散PID控制器来实现系统的稳定悬浮，复系数陷波器以四个实系数陷波器形式作用在控制通道的闭环回路中，，将原不对称系统转换为共轭对称系统，系统稳定的范围为：

对临界转速以下的磁悬浮转子系统的稳定性分析如下：

转子转速在临界转速以上时，控制通道中采用分散PID加交叉解耦控制器的复合控制方法来保证磁悬浮系统能够稳定悬浮，复数陷波器简化为只有两个实数陷波器组成的实部形式，系统稳定的范围为:

式中，θ₁和θ₂分别表示两个陷波器的稳定调节相位，arg[S(jΩ)]表示灵敏度函数S(s)在转子速度为Ω时的相位；

通过调节合适的相角使磁悬浮转子闭环系统稳定悬浮。