CN104331565B - 轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学建模方法及控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学建模方法及控制方法，所述动力学建模方法包括：步骤S100，建立磁悬浮轴承‑转子‑基础耦合系统的物理模型；步骤S200，分别对轴承‑转子‑基础耦合系统所涉及的轴承、转子、基础进行假设；步骤S300，确定轴承‑转子‑基础耦合系统的自由度；步骤S400，对轴承‑转子‑基础耦合系统进行受力分析以建立该系统的动力学方程；步骤S500，根据动力学方程建立动力学模型；在模型中，考虑了磁悬浮转子的类型、磁悬浮转子的放置方式、基础运动的方向等因素的影响，提高了磁悬浮转子系统模型的准确性。

Description

轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学建模方法及控制方法

技术领域

本发明涉及一种轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学建模方法及控制方法。

背景技术

随着磁悬浮技术的发展，在越来越多的方面得到应用，比如车载飞轮电磁、潜艇减振降噪、风能发电等。应用在这些场合的磁力轴承的基础本身也在运动，而目前通常建立的磁悬浮转子轴承系统动力学模型，都假设两端的轴承座是不运动的，而实际上磁力轴承支座(基础)与大地之间通常是非刚性连接，它们之间的运动相互耦合、相互影响，从而在结构和动力学上构成了轴承-转子-基础耦合系统。由于机器的安装质量和长期的振动将导致轴承座与定子基础之间的松动，当机器高速旋转时所产生的较大的不平衡力超过了轴承座的重力时，轴承座将被周期抬起，产生巨大振动，并会导致转子静碰摩，所以，研究轴承-转子-基础系统的动力学行为具有重要意义。目前关于轴承-转子-基础系统的动力学模型研究中，主要是针对滑动轴承和滚动轴承等常规机械轴承，因此，针对磁力轴承支承的刚性转子系统的建模方法以及利用该建模方法的控制系统还不多见。

发明内容

本发明的目的在于提供一种存在基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统动力学建模方法，用于解决现有的磁悬浮转子系统动力学模型建立方法假设基础支承刚度无穷大而造成的模型误差较大的技术问题。

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种基于基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学建模方法，包括如下步骤：

步骤S100，建立磁悬浮轴承-转子-基础耦合系统的物理模型；步骤S200，分别对轴承-转子-基础耦合系统所涉及的轴承、转子、基础进行假设；步骤S300，确定轴承-转子-基础耦合系统的自由度；步骤S400，对轴承-转子-基础耦合系统进行受力分析以建立该系统的动力学方程；步骤S500，根据动力学方程建立动力学模型。

进一步，所述步骤S100中建立磁悬浮轴承-转子-基础耦合系统的物理模型的方法包括：步骤S110，构建轴承-转子-基础耦合系统的建模平台，即，设轴承座是固定在一基础上，在左、右径向轴承两处分别安装有用于分别测量其径向位移的位移传感器；步骤S120，建立坐标系，即建立系统的绝对坐标系o'-x'y'z'和与转子固连的坐标系o-xyz。

进一步，所述步骤S200中分别对轴承-转子-基础耦合系统所涉及的轴承、转子、基础进行假设的方法包括：

对所述轴承进行假设，即设轴向磁力轴承的推力盘为刚性，推力盘的不平衡量始终位于一个平面内，并对轴承的轴颈集中质量处理；对所述转子进行假设，即仅考虑转子的弯曲振动；以及对所述基础进行假设，即设所述基础为刚性，则该基础仅有横向、垂向的平动。

进一步，所述步骤S300中确定轴承-转子-基础耦合系统的自由度的方法包括：根据步骤S200中的相应假设，将轴承-转子-基础耦合系统定义为一个6自由度系统，即转子质心C沿x’轴、y’轴的平动、绕x’轴、y’轴的转动，以及基础沿x’轴、y’轴的平动。

进一步，所述步骤S400中对轴承-转子-基础耦合系统进行受力分析以建立该系统的动力学方程的方法包括：

步骤S410，以绝对坐标系的原点o’为零势能参考位置，计算转子的势能；步骤S420，计算转子的动能；步骤S430，计算基础沿着x’轴和y’轴的速度；步骤S440，计算出推力盘上的质量不平衡所产生的动能；步骤S450，根据所述势能、动能、x’轴和y’轴的速度以及推力盘上的质量不平衡所产生的动能Tu利用拉格朗日方程获得动力学方程。

进一步，所述动力学方程：

其中，M为质量矩阵，即

式中，m为转子质量，m_u为推力盘的不平衡质量，l_u为轴向磁力轴承到质心的距离，M'为基础质量,Jr为转子绕着x轴、y轴的转动惯量；

设所述不平衡质量m_u忽略不计，即

G为陀螺矩阵，即

式中，Ja为转子绕着z轴的转动惯量；

K为刚度矩阵，即

式中，K_ch、K_cv分别是基础与大地之间的横向和垂向支承刚度，k_frh、k_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度，k_flh、k_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度；

f_g为常数矩阵，即

式中，g为重力加速度；

F_u为推力盘上的质量不平衡m_u对转子产生的力矩阵，即

式中，r_u为不平衡质量质心到推力盘几何中心p的距离，Ω为转子的旋转角速度，t为时间；

B_r为轴向磁力轴承产生的电磁力对应的系数矩阵，即

式中，l_bl、l_br分别为左、右磁力轴承到转子质心C的距离；

F_ext为外界作用力矩阵，即

式中，U、V为基础对转子在x’轴、y’轴方向产生的作用力；

F_r为磁力轴承对转子产生的电磁力矩阵，即

式中，q为转子质心与基础质心的运动矢量，即q＝(x γ y ψ u v)'；

x、y表示转子质心沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移,u、v为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移；

式F_r中，k_ixl、k_iyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_ixr、k_iyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_δxl、k_δyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，k_δxr、k_δyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，K_IB为电流系数矩阵，I_B为电流矩阵，K_B为位移系数矩阵，X_B左、右磁力轴承处转子的位移矩阵。

进一步，所述步骤S500中根据动力学方程建立动力学模型的方法包括：获得的所述轴类磁悬浮刚性转子系统中功率放大器的微分方程、控制器的微分方程以及位移传感器的微分方程，并将上述方程与动力学方程获得所述动力学模型。

进一步，所述功率放大器的微分方程为

式中，A_a为功放的增益，T_a为功放的衰减时间常数，U_out为功率放大器的输入信号；

所述位移传感器的微分方程为

式中，q_B＝(x_bA y_bA x_bB y_bB u v)'为左右磁力轴承处转子的位移与基础的位移矢量，x_bA、y_bA分别为转子在左径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，x_bB、y_bB分别为转子在右径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，u、v分别为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移。L_SB是由于位移传感器和磁力轴承非共点安装而引入的耦合矩阵，A_s为位移位移传感器的增益，T_s为位移位移传感器的衰减时间常数，U_s为反馈信号；

所述控制器的微分方程为

式中，K_p、K_i、K_d分别为控制器的比例、积分、微分系数，T_d为控制器微分环节的衰减时间常数，U_e为控制器的输入信号；以及

所述动力学模型为

进一步，所述步骤S450中还包括：根据所述动力学方程建立左、右磁力轴承处转子位移的运动子方程，建立运动子方程的方法包括如下步骤：

步骤S461，假设转子在x’轴、y’轴、z’轴三个坐标方向均产生了位移量；步骤S462，将相应位移量带入所述动力学方程，以获得所述运动子方程。

又一方面，本发明在上述动力学建模方法的基础上还提供了一种基于基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统的控制方法，包括：

建立轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学模型，即

式中，M为质量矩阵，即

式中，m为转子质量，m_u为推力盘的不平衡质量，l_u为轴向磁力轴承到质心的距离，M'为基础质量,Jr为转子绕着x轴、y轴的转动惯量；

设所述不平衡质量m_u忽略不计，，即

G为陀螺矩阵，即

式中，Ja为转子绕着z轴的转动惯量；

K为刚度矩阵，即

式中，K_ch、K_cv分别是基础与大地之间的横向和垂向支承刚度，k_frh、k_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度，k_flh、k_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度；

f_g为常数矩阵，即

式中，g为重力加速度；

F_u为推力盘上的质量不平衡m_u对转子产生的力矩阵，即，

式中，r_u为不平衡质量质心到推力盘几何中心p的距离，Ω为转子的旋转角速度，t为时间；

B_r为磁力轴承产生的电磁力对应的系数矩阵，即

式中，l_bl、l_br分别为左、右磁力轴承到转子质心C的距离；

F_ext为外界作用力矩阵，即

式中，U、V为基础相对转子在x’轴、y’轴方向产生的作用力；

F_r为磁力轴承对转子产生的电磁力矩阵，即

式中，q为转子质心与基础质心的运动矢量，即q＝(x γ y ψ u v)'；

x、y表示转子质心沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移,u、v为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移；

式F_r中，k_ixl、k_iyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_ixr、k_iyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_δxl、k_δyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，k_δxr、k_δyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，K_IB为电流系数矩阵，I_B为电流矩阵，K_B为位移系数矩阵，X_B左、右磁力轴承处转子的位移矩阵。

A_a为功放的增益，T_a为功放的衰减时间常数，U_out为所述轴类磁悬浮刚性转子系统中功率放大器的输入信号；q_B＝(x_bA y_bA x_bB y_bB u v)'为轴承处转子的位移与基础的位移矢量，其中，x_bA、y_bA分别为转子在左径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，x_bB、y_bB分别为转子在右径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，u、v分别为为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移；

L_SB是由于位移传感器和磁力轴承非共点安装而引入的耦合矩阵，A_s为位移位移传感器的增益，T_s为位移位移传感器的衰减时间常数，U_s为反馈信号；K_p、K_i、K_d分别为控制器的比例、积分、微分系数，T_d为所述轴类磁悬浮刚性转子系统中控制器微分环节的衰减时间常数，U_e为控制器的输入信号。

本发明的有益效果是，本发明提供了动力学建模方法以及基于基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统的控制方法，在模型中，考虑了磁悬浮转子的类型、磁悬浮转子的放置方式、基础运动的方向等因素的影响，提高了磁悬浮转子系统模型的准确性。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

图1为本发明的动力学建模方法的流程图；

图2为本发明的5自由度磁悬浮轴承-转子系统物理模型；

图3为建立磁悬浮轴承-转子-基础耦合系统的物理模型的流程图；

图4为本发明建立的磁力轴承-转子-基础系统的物理模型；

图5为绝对坐标系o'-x'y'z'和与转子固连的坐标系o-xyz以及与转子的关系示意图；

图6为磁力轴承-转子系统受力分析图；

图7为推力盘上的质量不平衡图；

图8径向磁力轴承处坐标变换示意图；

图9为轴类磁悬浮转子控制系统框图。

图中：左径向磁力轴承1、轴向磁力轴承2、电机3、右径向磁力轴承4、转子5、左边的位移传感器0、右边的位移传感器6。

具体实施方式

现在结合附图对本发明作进一步详细的说明。这些附图均为简化的示意图，仅以示意方式说明本发明的基本结构，因此其仅显示与本发明有关的构成。

本发明将存在基础运动的磁悬浮转子系统按照耦合关系可分为转子、磁力轴承、基础三个子系统，拉格朗日方程是关于多个广义坐标的二阶常微分方程。采用这一方法列写方程时，不必取隔离体，即不需要把轴承、转子、基础分别从系统里隔离出来去分析，同时也不必考虑各个隔离体约束反力。

它建立方程时有一定的格式。首先选取独立的广义坐标，然后写出广义坐标总的功能表达式，其次写出广义力，最后列出拉格朗日方程。

本发明是假设轴承座固定在一个大质量的刚体基础上，基础与地面为弹性连接，形成一个转子--轴承--基础系统。通过所建立的考虑基础运动的磁悬浮转子动力学模型，分析不同的基础激励下磁悬浮转子的复模态以及振动响应。

实施例1

图1为本发明的动力学建模方法的流程图。

如图1所示，步骤S100，建立磁悬浮轴承-转子-基础耦合系统的物理模型。

图2为本发明的5自由度磁悬浮轴承-转子系统物理模型。

如图2所示，左径向磁力轴承1可表示LMB，轴向磁力轴承2可表示为AMB，电机3可表示为MOT，右径向磁力轴承4可表示为RMB。

图3为建立磁悬浮轴承-转子-基础耦合系统的物理模型的流程图。

如图3所示，步骤S110，构建轴承-转子-基础耦合系统的建模平台，即，设轴承座是固定在一基础上，在左、右磁力轴承处分别安装有用于测量其径向位移的位移传感器。

图4为本发明建立的磁力轴承-转子-基础系统的物理模型。

具体的，通常建立的转子轴承系统，两端的轴承座是不运动的。而实际上基础(磁力轴承支座)与大地之间通常是非刚性连接，它们之间的运动相互耦合、相互影响，从而在结构和动力学上构成了轴承-转子-基础耦合系统。因此，本发明假设轴承座是固定在一个大质量的刚体基础上，基础与地面之间采用弹簧阻尼系统连接，考虑到左径向磁力轴承1，右径向磁力轴承4以及轴向磁力轴承2对转子起到的都是支承作用，因此也可采用弹簧阻尼系统来描述它们。

其中，z轴重合于转子的几何中心轴线，坐标原点o与转子的质心C重合，K_ch，K_cv分别是磁力轴承支座(基础)与大地之间的横向和垂向支承刚度；C_ch、C_cv分别是磁力轴承支座(基础)与大地之间的横向和垂向支承阻尼；k_flh、k_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度；k_frh、k_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度；c_flh、c_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承阻尼；c_frh、c_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承阻尼；f_xl、f_yl为左磁力轴承对转子的作用力，f_xr、f_yr为右磁力轴承对转子的作用力；u、v分别是基础垂直方向、水平方向的位移；M'为基础质量，m为转子质量。

图5为绝对坐标系o'-x'y'z'和与转子固连的坐标系o-xyz以及与转子的关系示意图。

步骤S120，建立坐标系，即建立系统的绝对坐标系o'-x'y'z'和与转子固连的转子坐标系o-xyz。其中，转子固连的含义是该坐标系跟随转子运动。

两个坐标系的名称和方向如图5所示。

这里定义，x’轴为横轴和y’轴为垂直轴，z’轴为纵轴。

所述步骤S200中分别对轴承-转子-基础耦合系统所涉及的轴承、转子、基础进行假设。

即结合工程实际，对磁力轴承的基座(基础)作如下假设：

基础扭转和弯曲是微小的，假设基础本身是刚性的；以及基础只有横向、垂向的平动，沿z’轴的平动、绕x’轴、y’轴、z’轴的转动均忽略不计。

对转子作如下假设：

只考虑转子的弯曲振动，忽略扭转和轴向振动的影响。柔性轴沿轴向的刚度很大，轴向的变形忽略不计；

对所述轴承进行假设：

轴承的轴颈作为集中质量处理。假设磁悬浮转子系统安装在磁力轴承支座(基础)质心上，一是便于分析，二是考虑到基础质心比基础其它地方振动相对稳定。以及圆盘为刚性，圆盘的不平衡量始终位于一个平面内。

所述步骤S300中确定轴承-转子-基础耦合系统的自由度的方法。

即根据步骤S200中的相应假设，将轴承-转子-基础耦合系统定义为一个6自由度系统，即转子质心C沿x’轴、y’轴的平动、绕x’轴、y’轴的转动，以及基础沿x’轴、y’轴的平动。

具体的，根据振动理论，系统自由度是指完全描述系统在任何时刻与任何位置所需要的独立坐标的个数。根据步骤S200中的假设，则磁力轴承的基座(基础)为一个二自由度模型；磁悬浮刚性转子在空间有6个自由度，分别为沿x’轴、y’轴、z’轴的平动以及绕x’轴、y’轴、z’轴的转动，其中绕z’轴的转动不需控制，因此磁悬浮刚性转子是一个5自由度系统。

磁悬浮转子系统安装在基础上，在基础质心任意激励下，磁悬浮转子系统将在竖直，水平和旋转方向上产生振动，由于转子的径向运动和轴向运动能够近似正交，故本发明主要考虑转子在径向方向的动力学模型，即本发明中的基于基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统是一个6自由度系统，分别为磁悬浮刚性转子沿x’轴、y’轴的平动、绕x’轴、y’轴的转动，基础沿x’轴、y’轴的平动。

所述步骤S400中对轴承-转子-基础耦合系统进行受力分析以建立该系统的动力学方程。

先对轴承-转子-基础耦合系统进行受力分析。

图6为磁力轴承-转子系统受力分析图。

具体的，本发明采用分析力学的方法，从系统的总体来推导系统的动力学模型。它采用广义坐标来确定系统的位置，用动量、功这些纯代数量来描述系统的运动量与相互作用，并用拉格朗日方程来描述系统的运动规律。将图4中磁力轴承-转子系统分离出来进行受力分析，受力分析图如图6所示。

图6中，左磁力轴承1，右磁力轴承2，左边的位移传感器0，右边的位移传感器6，分别测量左、右磁力轴承的径向位移，l_bl、l_br分别为左、右磁力轴承到转子质心C的距离，l_sl、l_sr分别为左、右传感器到转子质心的距离，x_l、y_l、x_r、y_r为左、右传感器处转子的径向位移输出，l_u为轴向磁力轴承到质心的距离，f_u为轴向磁力轴承转子上的质量不平衡所产生的离心力，为转子绕z轴的角度，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移，Ωt为传感器检测出的转角(Ω为转子的旋转角速度)，f_z为测得的轴向力，β为所测推力盘上的不平衡量产生的惯性离心力的初始相位。左边的位移传感器定义为SL，右边的位移传感器定义为SS。

在上述受力分析的基础上，建立该系统的动力学方程的方法包括：

步骤S410，以绝对坐标系的原点o’为零势能参考位置，计算转子的势能。

步骤S420，计算转子的动能。

步骤S430，计算基础沿着x’轴和y’轴的速度。

步骤S440，计算出推力盘上的质量不平衡所产生的动能。

步骤S450，根据所述势能、动能、x’轴和y’轴方向的速度以及推力盘上的质量不平衡所产生的动能Tu利用拉格朗日方程获得动力学方程。

建立动力学模型的具体方法如下：

由于磁力轴承的支承阻尼较小，为方便分析，忽略阻尼作用。以绝对坐标系的原点o’为零势能参考位置，则转子系统的势能为：

式(1)中，x、y表示转子m沿着x’和y’方向的平动位移，u、v表示基础沿着横轴和垂直轴方向的平动位移。

转子系统的动能为：T＝T_K+T_R+T_U，分别为系统平动T_K、转动动能T_R和推力盘上的质量不平衡所产生的动能T_U，其中

式(2)中，表示对转子m沿着横轴的平动位移x求导，即得到转子m沿着横轴的平动速度，表示对转子m沿着垂直轴的相对平动位移y-u求导，得到转子m沿着垂直轴的平动速度，分别表示对基础M'沿着横轴及垂直轴的平动位移u、v分别求导，得到基础M'沿着横轴和垂直轴的速度。

式(3)中，J_r为转子绕着x轴、y轴、J_a为转子绕z轴的转动惯量，为转子m绕z轴的角度，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移。推力盘上的质量不平衡分布如图5所示。

图7为推力盘上的质量不平衡图。

如图7所示，在式(4)中，m_u为不平衡质量，r_u为不平衡质量质心到推力盘几何中心g的距离，u_x、u_y分别为推力盘(推力盘其实就是图2中的轴向磁力轴承的定子，因为轴向磁力轴承也通常叫做推力轴承，所以它的定子通常也叫做推力盘。)处转子几何中心相对于绝对坐标系的x’轴和y’轴的位移，由图4、图5的几何关系可得：

u_x＝x+l_uγ

u_y＝y-l_uψ

带入(4)式，从而可得：

令q＝(x γ y ψ u v)'(q为转子质心与基础质心的运动矢量)，利用拉格朗日方程：得到：

式(3-6)中：

式中，m为转子质量，m_u为推力盘的不平衡质量，l_u为轴向磁力轴承到质心的距离，M'为基础质量,Jr为转子绕着x轴、y轴的转动惯量。

若推力盘已平衡，即推力盘的加工精度以及动平衡做的比较好，它的质量m_u相对于转子质量m和基础质量M'就很小，此时则推力盘上的不平衡质量m_u忽略不计，即

G为陀螺矩阵，即

式中，Ja为转子绕着z轴的转动惯量。

K为刚度矩阵，即

式中，K_ch、K_cv分别是基础与大地之间的横向和垂向支承刚度，k_frh、k_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度，k_flh、k_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度。

f_g为常数矩阵，即

式中，g为重力加速度。

F_u为推力盘上的质量不平衡m_u对转子产生的力矩阵，即

式中，r_u为不平衡质量质心到推力盘几何中心p的距离，Ω为转子的旋转角速度，t为时间；

B_r为轴向磁力轴承产生的电磁力对应的系数矩阵，即

式中，l_bl、l_br分别为左、右磁力轴承到转子质心C的距离。

F_ext为外界作用力矩阵，即

式中，U、V为基础对转子在x’轴、y’轴方向产生的作用力。

F_r为磁力轴承对转子产生的电磁力矩阵，即

式中，q为转子质心与基础质心的运动矢量，即q＝(x γ y ψ u v)'。

x、y表示转子质心沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移，u、v为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移；

式F_r中，k_ixl、k_iyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_ixr、k_iyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_δxl、k_δyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，k_δxr、k_δyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，K_IB为电流系数矩阵，I_B为电流矩阵，K_B为位移系数矩阵，X_B左、右磁力轴承处转子的位移矩阵；以及式中质量矩阵M为非对称矩阵，陀螺矩阵G为反对称矩阵，刚度矩阵K为对称矩阵。

图8径向磁力轴承处坐标变换示意图。

进一步，由于式(6)为考虑了基础在x’轴、y’轴方向平动的磁悬浮轴承-转子-基础系统的动力学方程。由于仅考虑了基础在两个方向上的平动，因此，可认为式(6)是关于磁悬浮轴承-转子-基础系统质心处位移的动力学方程，而在磁悬浮转子系统中，能够直接测量的是左、右磁力轴承处的位移，所以建立左、右磁力轴承处转子位移的运动方程，须进行如下的坐标变换，如图8所示。不失一般性，假设x’轴、y’轴、z’三个坐标方向均产生了位移。

步骤S461，假设转子在x’轴、y’轴、z’轴三个坐标方向均产生了位移量。

当γ，ψ很小时，tgγ＝γ，tgψ＝ψ。上式变为：

步骤S462，将相应位移量带入所述动力学方程，以获得所述运动子方程。

具体的，要建立左、右磁力轴承处转子位移的运动方程，只需将式(7)代入式(6)便可得。

图9为轴类磁悬浮转子控制系统框图。

如图9所示，所述步骤S500中根据动力学方程建立动力学模型。

本步骤主要是根据动力学方程确定控制目标，进而建立动力学模型。

磁悬浮转子系统的动力学方程式(6)中F_r中的控制电流i_A、i_B受制于磁力轴承的控制方式，与控制系统有关，因此需研究控制系统的微分方程。

建立功率放大器的微分方程。

功率放大器的传递函数可简化为一阶惯性环节：

式(8)中：A_a为功放的增益，T_a为功放的衰减时间常数。将(8)式进行拉氏反变换，可得其微分方程为：

建立位移传感器的微分方程。

位移传感器的传递函数也可简化为一阶惯性环节：

式中：A_s为位移传感器的增益；T_s为位移传感器的衰减时间常数。将(10)式进行拉氏反变换，可得其微分方程为：

其中，q_B＝(x_bA y_bA x_bB y_bB u v)'为轴承处转子的位移与基础的位移矢量，x_bA、y_bA分别为转子在左径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，x_bB、y_bB分别为转子在右径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，u、v分别为基础沿着x’、y’轴方向的平动位移；L_SB是由于位移传感器和磁力轴承非共点安装而引入的耦合矩阵，因为在实际的测量过程中，传感器测量的是转子表面的位移，这与转子质心之间的位移存在偏差。

建立控制器的微分方程

对于PID控制的控制器，其传递函数为：

K_p、K_i、K_d分别为控制器的比例、积分、微分系数，T_d为控制器微分环节的衰减时间常数，其相应的微分方程为：

把(6)、(9)、(11)、(12)式组合起来就是模拟PID控制的磁悬浮轴承-转子-基础系统的机电耦合动力学模型。

实施例2

在实施例1基础上的一种基于基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统的控制方法，包括：

建立轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学模型，即

式中，M为质量矩阵，即

式中，m为转子质量，m_u为推力盘的不平衡质量，l_u为轴向磁力轴承到质心的距离，M'为基础质量,Jr为转子绕着x轴、y轴的转动惯量。

若推力盘已平衡，即推力盘的加工精度以及动平衡做的比较好，它的质量m_u相对于转子质量m和基础质量M'就很小，此时则推力盘上的不平衡质量m_u忽略不计，即

G为陀螺矩阵，即

式中，Ja为转子绕着z轴的转动惯量。

K为刚度矩阵，即

式中，K_ch、K_cv分别是基础与大地之间的横向和垂向支承刚度，k_frh、k_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度，k_flh、k_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度。

f_g为常数矩阵，即

式中，g为重力加速度。

F_u为推力盘上的质量不平衡mu对转子产生的力矩阵，即，

式中，r_u为不平衡质量质心到推力盘几何中心p的距离，Ω为转子的旋转角速度，t为时间。

B_r为磁力轴承产生的电磁力对应的系数矩阵，即

式中，l_bl、l_br分别为左、右磁力轴承到转子质心C的距离。

F_ext为外界作用力矩阵，即

式中，U、V为基础相对转子在x’轴、y’轴方向产生的作用力。

F_r为磁力轴承对转子产生的电磁力矩阵，即

式中，q为转子质心与基础质心的运动矢量，即q＝(x γ y ψ u v)'；

x、y表示转子质心沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移，u、v为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移。

式F_r中，k_ixl、k_iyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_ixr、k_iyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_δxl、k_δyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，k_δxr、k_δyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，K_IB为电流系数矩阵，I_B为电流矩阵，K_B为位移系数矩阵，X_B左、右磁力轴承处转子的位移矩阵。

A_a为功放的增益，T_a为功放的衰减时间常数，U_out为所述轴类磁悬浮刚性转子系统中功率放大器的输入信号；q_B＝(x_bA y_bA x_bB y_bB u v)'为轴承处转子的位移与基础的位移矢量，其中，x_bA、y_bA分别为转子在左径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，x_bB、y_bB分别为转子在右径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，u、v分别为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移。

L_SB是由于位移传感器和磁力轴承非共点安装而引入的耦合矩阵，A_s为位移位移传感器的增益，T_s为位移位移传感器的衰减时间常数，U_s为反馈信号；K_p、K_i、K_d分别为控制器的比例、积分、微分系数，T_d为所述轴类磁悬浮刚性转子系统中控制器微分环节的衰减时间常数，U_e为控制器的输入信号。

以上述依据本发明的理想实施例为启示，通过上述的说明内容，相关工作人员完全可以在不偏离本项发明技术思想的范围内，进行多样的变更以及修改。本项发明的技术性范围并不局限于说明书上的内容，必须要根据权利要求范围来确定其技术性范围。

Claims (4)

1.一种基于基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学建模方法，包括如下步骤：

步骤S100，建立磁悬浮轴承-转子-基础耦合系统的物理模型；

步骤S200，分别对轴承-转子-基础耦合系统所涉及的轴承、转子、基础进行假设；

步骤S300，确定轴承-转子-基础耦合系统的自由度；

步骤S400，对轴承-转子-基础耦合系统进行受力分析以建立该系统的动力学方程；

步骤S500，根据动力学方程建立动力学模型；

所述步骤S100中建立磁悬浮轴承-转子-基础耦合系统的物理模型的方法包括：

步骤S110，构建轴承-转子-基础耦合系统的建模平台，即，设轴承座是固定在一基础上，在左、右径向轴承两处分别安装有用于测量其径向位移的位移传感器；

步骤S120，建立坐标系，即建立系统的绝对坐标系o'-x'y'z'和与转子固连的转子坐标系o-xyz；

所述步骤S200中分别对轴承-转子-基础耦合系统所涉及的轴承、转子、基础进行假设的方法包括：

对所述轴承进行假设，即设轴向磁力轴承的推力盘为刚性，推力盘的不平衡量始终位于一个平面内，并对轴承的轴颈集中质量处理；

对所述转子进行假设，即仅考虑转子的弯曲振动；以及对所述基础进行假设，即设所述基础为刚性，则该基础仅有横向、垂向的平动；

所述步骤S300中确定轴承-转子-基础耦合系统的自由度的方法包括：

根据步骤S200中的相应假设，将轴承-转子-基础耦合系统定义为一个6自由度系统，即转子质心C沿x’轴、y’轴的平动、绕x’轴、y’轴的转动，以及基础沿x’轴、y’轴的平动；

所述步骤S400中对轴承-转子-基础耦合系统进行受力分析以建立该系统的动力学方程的方法包括：

步骤S410，以绝对坐标系的原点o’为零势能参考位置，计算转子的势能；

步骤S420，计算转子的动能；

步骤S430，计算基础沿着x’轴和y’轴的速度；

步骤S440，计算出推力盘上的质量不平衡所产生的动能；

步骤S450，根据所述势能、动能、x’轴和y’轴的速度以及推力盘上的质量不平衡所产生的动能Tu利用拉格朗日方程获得动力学方程；

所述动力学方程：

其中，M为质量矩阵，即

式中，m为转子质量，m_u为推力盘的不平衡质量，l_u为轴向磁力轴承到质心的距离，M'为基础质量,Jr为转子绕着x轴、y轴的转动惯量；

设所述不平衡质量m_u忽略不计，即

G为陀螺矩阵，即

式中，Ja为转子绕着z轴的转动惯量；

K为刚度矩阵，即

式中，K_ch、K_cv分别是基础与大地之间的横向和垂向支承刚度，k_frh、k_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度，k_flh、k_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度；

f_g为常数矩阵，即

式中，g为重力加速度；

F_u为推力盘上的质量不平衡m_u对转子产生的力矩阵，即

式中，r_u为不平衡质量质心到推力盘几何中心p的距离，Ω为转子的旋转角速度，t为时间；

B_r为轴向磁力轴承产生的电磁力对应的系数矩阵，即

式中，l_bl、l_br分别为左、右磁力轴承到转子质心C的距离；

F_ext为外界作用力矩阵，即

式中，U、V为基础对转子在x’轴、y’轴方向产生的作用力；

F_r为磁力轴承对转子产生的电磁力矩阵，即

式中，q为转子质心与基础质心的运动矢量，即q＝(x γ y ψ u v)'；

x、y表示转子质心沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移，u、v为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移；

式F_r中，k_ixl、k_iyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_ixr、k_iyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_δxl、k_δyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，k_δxr、k_δyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，K_IB为电流系数矩阵，I_B为电流矩阵，K_B为位移系数矩阵，X_B左、右磁力轴承处转子的位移矩阵；

所述步骤S500中根据动力学方程建立动力学模型的方法包括：

获得的所述轴类磁悬浮刚性转子系统中功率放大器的微分方程、控制器的 微分方程以及位移传感器的微分方程，并将上述方程与动力学方程获得所述动力学模型。

2.根据权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，

所述功率放大器的微分方程为

式中，A_a为功放的增益，T_a为功放的衰减时间常数，U_out为功率放大器的输入信号；

所述位移传感器的微分方程为

式中，q_B＝(x_bA y_bA x_bB y_bB u v)'为左、右磁力轴承处转子的位移与基础的位移矢量，x_bA、y_bA分别为转子在左径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，x_bB、y_bB分别为转子在右径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，u、v分别为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，L_SB是由于位移传感器和磁力轴承非共点安装而引入的耦合矩阵，A_s为位移位移传感器的增益，T_s为位移位移传感器的衰减时间常数，U_s为反馈信号；

所述控制器的微分方程为

式中，K_p、K_i、K_d分别为控制器的比例、积分、微分系数，T_d为控制器微分环节的衰减时间常数，U_e为控制器的输入信号；以及

所述动力学模型为

3.根据权利要求2所述的动力学建模方法，其特征在于，所述步骤S450中还包括：根据所述动力学方程建立左、右磁力轴承处转子位移的运动子方程，建立运动子方程的方法包括如下步骤：

步骤S461，假设转子在x’轴、y’轴、z’轴三个坐标方向均产生了位移量；

步骤S462，将相应位移量带入所述动力学方程，以获得所述运动子方程。

4.一种基于基础运动的轴类磁悬浮刚性转子系统的控制方法，其特征在于，包括：

建立轴类磁悬浮刚性转子系统的动力学模型，即

式中，M为质量矩阵，即

式中，m为转子质量，m_u为推力盘的不平衡质量，l_u为轴向磁力轴承到质心的距离，M'为基础质量,Jr为转子绕着x轴、y轴的转动惯量；

设所述不平衡质量m_u忽略不计，即

G为陀螺矩阵，即

式中，Ja为转子绕着z轴的转动惯量；

K为刚度矩阵，即

式中，K_ch、K_cv分别是基础与大地之间的横向和垂向支承刚度，k_frh、k_frv分别是右磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度，k_flh、k_flv分别是左磁力轴承与基础之间的横向和垂向支承刚度；

f_g为常数矩阵，即

式中，g为重力加速度；

F_u为推力盘上的质量不平衡m_u对转子产生的力矩阵，即，

式中，r_u为不平衡质量质心到推力盘几何中心p的距离，Ω为转子的旋转角速度，t为时间；

B_r为磁力轴承产生的电磁力对应的系数矩阵，即

式中，l_bl、l_br分别为左、右磁力轴承到转子质心C的距离；

F_ext为外界作用力矩阵，即

式中，U、V为基础相对转子在x轴、y轴方向产生的作用力；

F_r为磁力轴承对转子产生的电磁力矩阵，即

式中，q为转子质心与基础质心的运动矢量，即q＝(x γ y ψ u v)'；

x、y表示转子质心沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，γ、ψ分别为z轴在x’o’z’和y’o’z’平面上的投影线与z’轴的夹角，即为转子质心绕着x’轴和y’轴的转动位移,u、v为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移；

式F_r中，k_ixl、k_iyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_ixr、k_iyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的电流系数，k_δxl、k_δyl分别为左径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，k_δxr、k_δyr分别为右径向磁力轴承产生的电磁力在x’轴、y’轴方向的位移系数，K_IB为电流系数矩阵，I_B为电流矩阵，K_B为位移系数矩阵，X_B左、右磁力轴承处转子的位移矩阵；

A_a为功放的增益，T_a为功放的衰减时间常数，U_out为所述轴类磁悬浮刚性转子系统中功率放大器的输入信号；q_B＝(x_bA y_bA x_bB y_bB u v)'为左、右磁力轴承处转子的位移与基础的位移矢量，x_bA、y_bA分别为转子在左径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，x_bB、y_bB分别为转子在右径向磁力轴承处沿着x’轴和y’轴方向的平动位移，u、v分别为基础沿着x’轴和y’轴方向的平动位移；

L_SB是由于位移传感器和磁力轴承非共点安装而引入的耦合矩阵，A_s为位移位移传感器的增益，T_s为位移位移传感器的衰减时间常数，U_s为反馈信号；K_p、K_i、K_d分别为控制器的比例、积分、微分系数，T_d为所述轴类磁悬浮刚性转子系统中控制器微分环节的衰减时间常数，U_e为控制器的输入信号。