CN107102554A - 一种磁悬浮球形飞轮不平衡振动抑制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种磁悬浮球形飞轮不平衡振动抑制方法。根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁轴承‑转子动力学方程，基于达朗伯原理，得到转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰力、转子质心偏移几何轴引起的偏心距对转子的干扰力以及悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩对转子的干扰力。将三种干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈抑制方法对三种干扰力进行抑制。本发明可有效提高磁轴承‑转子系统不平衡振动的控制精度。

Description

一种磁悬浮球形飞轮不平衡振动抑制方法
技术领域
本发明涉及一种磁悬浮球形飞轮不平衡振动抑制方法，适用于转子为球形结构的磁悬浮球形飞轮的不平衡振动控制。
背景技术
机械轴承存在摩擦磨损以及不平衡振动等问题，无法满足航天器姿态控制系统高精度和长寿命的需求。磁悬浮飞轮采用磁轴承进行无接触悬浮支承，消除了机械轴承的摩擦磨损，具有主动振动控制及抑制功能，能够满足航天器姿态控制系统高精度长寿命的需求。现有磁悬浮飞轮磁极气隙均为柱壳状、锥壳状或薄壁状，转子偏转状态下，磁极气隙形状改变，气隙内磁密不均匀，造成转子表面磁力按一定梯度分布，产生偏转负力矩，降低了磁悬浮飞轮的悬浮精度和控制精度。申请专利201510813055.9一种内转子磁悬浮球面陀螺飞轮提出了一种球形转子结构的磁悬浮陀螺飞轮，飞轮采用球形结构转子，并通过球面磁极磁轴承支承，能够有效避免非球形转子存在的气隙形变问题，克服磁拉偏负力矩，提高了磁悬浮陀螺飞轮的悬浮精度和控制精度。
由于转子实际加工装配精度和材料质量均匀性等原因，转子存在一定的不平衡量，高速旋转时，不平衡量会引起转子较大振动，降低转子悬浮精度。针对转子不平衡振动，对引起转子振动的干扰源进行分析，建立对应的磁轴承-转子动力学模型，并得到转子所受干扰力的表达式，通过相应的控制方法对转子干扰力进行抑制，从而达到抑制转子不平衡振动的效果。分析转子干扰源，并建立对应的磁轴承-转子动力学模型，作为抑制转子不平衡振动的关键步骤，对抑制转子不平衡振动具有重要意义。现有磁悬浮飞轮不平衡振动抑制方法中，少数方法只考虑转子质心不在转子几何轴上引起的偏心距对转子的干扰，并建立对应的磁轴承-转子动力学模型。而大多数方法是将转子偏心距忽略，仅考虑转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰，建立磁轴承-转子动力学模型，并在此基础上采用相应的控制方法抑制转子振动。磁悬浮球形飞轮为球形转子结构，受转子加工精度限制，转子质心偏离转子球心，造成转子存在偏心距，由于径/轴向磁轴承存在漏磁，偏转磁轴承边缘处磁密不均匀，若忽略转子偏心矩，转子不绕几何轴旋转，转子会受到干扰力的影响，同时会降低定子气隙的均匀性，降低磁悬浮球形飞轮控制精度，因此偏心距不可忽略。另外，由于转子自身质量分布均匀性无法保证，转子存在不平衡质量，导致转子惯性轴偏离几何轴，引起不平衡质量矩，造成转子不平衡振动，因此，要同时考虑转子质心偏离转子球心引起的偏心矩和转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰。同时，由于偏心距的存在，悬浮力过转子质心而不过球心造成偏转负力矩，干扰转子运动，降低了飞轮的控制精度和悬浮精度，所以，综合考虑偏心矩、不平衡质量矩和偏转负力矩三种干扰源，建立对应的磁轴承-转子动力学模型，对转子不平衡振动进行抑制，提高磁悬浮球形飞轮的控制精度和悬浮精度。
发明内容
本发明的技术解决问题是：针对具有球形转子的磁悬浮球形飞轮不平衡振动，提出了一种磁悬浮球形飞轮不平衡振动抑制方法，将干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈抑制方法对三种干扰力进行抑制。
本发明的技术解决方案为：根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁轴承-转子动力学方程，基于达朗伯原理，得到转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰力、转子质心偏移几何轴引起的偏心距对转子的干扰力以及悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩对转子的干扰力。将三种干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈抑制方法对三种干扰力进行抑制，具体包括以下步骤：
1、根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁悬浮球形飞轮磁轴承-转子动力学方程为：
化简得
将转子各悬浮通道的电磁力线性化后得到：
化简得Fm＝Khqm+KiI
其中，
M＝[m Jy m Jx m]、q＝[x β y -α z]T、
F＝[fx py fy -px fz]T分别为质量阵、陀螺阵、广义坐标和广义力；Fm＝[fx py fy pxfz]T为磁轴承作用在转子上的电磁力和力矩；Kh＝diag[khx 0khy 0khz]为磁轴承位移刚度阵，khx、khy、khz分别表示转子沿X、Y、Z轴平动的位移刚度；qm＝[xm 0 ym 0 zm]T为磁轴承坐标系下转子位移，xm、ym、zm分别表示磁轴承坐标系下转子在X、Y、Z轴方向的位移；
Ki＝diag[kix kiβ kiy kiα kiz]为磁轴承电流刚度阵，kix、kiy、kiz分别表示磁轴承控制转子沿X、Y、Z轴平动的电流刚度，kiα、kiβ分别表示磁轴承控制转子绕X、Y轴偏转的电流刚度；I＝[ix iβ iy iα iz]T为磁轴承控制电流阵，ix、iy、iz分别表示控制转子沿X、Y、Z轴平动的电流，iα、iβ分别表示控制转子绕X、Y轴偏转的电流；转子的质量为m，转子沿X、Y和Z轴的位移分别为x、y和z，转子绕X、Y轴的角位移分别为α、β，转子绕Z轴的角速率为ω，磁轴承作用在转子几何中心上的合力和合力矩分别为fx、fy、fz和Px、Py，转子绕X、Y和Z轴的转动惯量分别为Jx、Jy和Jz。
2、基于达朗伯原理，得到转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰力。
设转子顶端为A端，A端去重面内有不平衡质量矩ga＝mar，其中ma为A端去重面内不平衡质量，r为去重半径。
忽略外界干扰，根据达朗伯原理可列出下列五个方程：
其中Fax、Fay、Faz分别表示转子A端所受的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，Fgx、Fgy分别表示转子惯性力在X、Y轴的分量，分别表示转子不平衡质量矩引起的干扰力在在X、Y轴的分量，Fl表示偏转磁轴承在飞轮转子上的作用力，Mgx、Mgy分别表示惯性力对固结于飞轮赤道平面内X轴和Y轴的惯性力偶矩，R表示偏转磁轴承线圈安装半径，lan表示转子A端去重面到转子中心平面的距离。
3、由于飞轮转子为关于惯性轴对称结构，惯性力为零，即Fgx＝Fgy＝0，所以由不平衡质量矩对转子的干扰力为：
设转子底端为B端，同理B端不平衡质量矩为gb＝mbr，其中mb为转子B端去重面内不平衡质量，r为去重半径，则转子B端不平衡质量矩对转子的干扰力为：
其中，Fbx、Fby、Fbz分别表示转子B端所受的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，lbn表示转子B端去重面到转子中心平面的距离。
4、为了保证磁悬浮球形飞轮定子气隙的均匀性，考虑转子质心偏移几何轴引起的偏心距，得到偏心距对转子的干扰力为：
其中Fux1、Fuy1、Fuz1表示偏心距对转子的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，em表示飞轮转子的偏心距，Φ为偏心距的相位，ρ为偏心距与磁轴承中心平面夹角。
5、考虑悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩，并得到由此引起的干扰力为：
即：
其中Fux2、Fuy2、Fuz2表示偏转负力矩对转子的干扰力在X、Y、Z轴上的分量。
6、综合考虑上述三种干扰力，将干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈抑制方法对三种干扰力进行抑制。
转子-磁轴承转换矩阵为E，传感器到XOY平面的垂直距离为la，传感器到XOZ平面的水平距离为l，则转子-传感器转换矩阵Ts为：
通过计算得到干扰力矩的数值，由控制器对干扰力矩进行前馈补偿，实现对转子不平衡振动的抑制。根据前馈控制完全补偿条件可得：
式中，Gf(s)、Gu(s)、Gp(s)分别表示不平衡质量矩、偏心距以及偏转负力矩的前馈传递矩阵，Gw(s)表示功放。
根据上式可得：
上式属于稳态全补偿，在控制上容易实现。
上述方案的原理是：
磁悬浮球形飞轮采用球形转子结构，转子偏转状态下，气隙形状不会发生改变，避免了磁拉偏力矩的产生，提高了磁悬浮球形飞轮的悬浮精度和控制精度。但是受转子加工精度限制，转子形心与转子球心偏离，导致转子存在偏心距，造成转子不平衡振动。同时，由于转子质量均匀性无法保证，导致转子存在不平衡质量，产生不平衡质量矩，造成转子不平衡振动。另外，由于转子存在偏心距，悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩，也会造成转子不平衡振动。因此，要综合考虑偏心距、不平衡质量矩和偏转负力矩对转子的干扰，建立相应的磁轴承-转子动力学模型。在此基础上，将干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈控制对三种干扰力造成的转子不平衡振动进行抑制。
本发明与现有技术相比的优点在于：(1)在考虑转子形心偏离转子球心造成的偏心距和转子惯性轴偏移几何轴造成的不平衡质量矩这两种干扰源的基础上，增加考虑了悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩对转子的干扰力。(2)建立转子-磁轴承转换矩阵、转子-传感器转换矩阵，将转子坐标系下的转子位移量分别转换为磁轴承坐标系下转子位移量和传感器坐标系下转子位移量，并将两位移量分别补偿磁轴承位移刚度和作用到系统控制器中。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为磁轴承-转子动力学模型；
图3为本发明前馈控制结构框图。
附图标记说明：1为轴向磁轴承，2为径向磁轴承，3为球形转子，4为永磁体，5为轴向传感器，6为绕组，7为转子几何轴，8为转子惯性轴。
具体实施方式
如图1所示，在具体实施过程中，本发明的具体实施步骤如下：
1、根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁悬浮球形飞轮磁轴承-转子动力学方程为：
化简得
将转子各悬浮通道的电磁力线性化后得到：
化简得Fm＝Khqm+KiI
其中，
M＝[m Jy m Jx m]、q＝[x β y -α z]T、
F＝[fx py fy -px fz]T分别为质量阵、陀螺阵、广义坐标和广义力；Fm＝[fx py fy pxfz]T为磁轴承作用在转子上的电磁力和力矩；Kh＝diag[khx 0 khy 0 khz]为磁轴承位移刚度阵，khx、khy、khz分别表示转子沿X、Y、Z轴平动的位移刚度；qm＝[xm 0 ym 0 zm]T为磁轴承坐标系下转子位移，xm、ym、zm分别表示磁轴承坐标系下转子在X、Y、Z轴方向的位移；Ki＝diag[kixkiβ kiy kiα kiz]为磁轴承电流刚度阵，kix、kiy、kiz分别表示磁轴承控制转子沿X、Y、Z轴平动的电流刚度，kiα、kiβ分别表示磁轴承控制转子绕X、Y轴偏转的电流刚度；I＝[ix iβ iy iαiz]T为磁轴承控制电流阵，ix、iy、iz分别表示控制转子沿X、Y、Z轴平动的电流，iα、iβ分别表示控制转子绕X、Y轴偏转的电流；如图2所示，转子的质量为m，转子沿X、Y和Z轴的位移分别为x、y和z，转子绕X、Y轴的角位移分别为α、β，转子绕Z轴的角速率为ω，磁轴承作用在转子几何中心上的合力和合力矩分别为fx、fy、fz和Px、Py，转子绕X、Y和Z轴的转动惯量分别为Jx、Jy和Jz。
2、基于达朗伯原理，得到转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰力。
设转子顶端为A端，A端去重面内有不平衡质量矩ga＝mar，其中ma为A端去重面内不平衡质量，r为去重半径。
忽略外界干扰，根据达朗伯原理可列出下列五个方程：
其中Fax、Fay、Faz分别表示转子A端所受的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，Fgx、Fgy分别表示转子惯性力在X、Y轴的分量，分别表示转子不平衡质量矩引起的干扰力在在X、Y轴的分量，Fl表示偏转磁轴承在飞轮转子上的作用力，Mgx、Mgy分别表示惯性力对固结于飞轮赤道平面内X轴和Y轴的惯性力偶矩，R表示偏转磁轴承线圈安装半径，lan表示转子A端去重面到转子中心平面的距离。
3、由于飞轮转子为关于惯性轴对称结构，惯性力为零，即Fgx＝Fgy＝0，所以由不平衡质量矩对转子的干扰力为：
设转子底端为B端，同理B端不平衡质量矩为gb＝mbr，其中mb为转子B端去重面内不平衡质量，r为去重半径，则转子B端不平衡质量矩对转子的干扰力为：
其中Fbx、Fby、Fbz分别表示转子B端所受的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，lbn表示转子B端去重面到转子中心平面的距离。
4、为了保证磁悬浮球形飞轮定子气隙的均匀性，考虑转子质心偏移几何轴引起的偏心距，得到偏心距对转子的干扰力为：
其中Fux1、Fuy1、Fuz1表示偏心距对转子的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，em表示飞轮转子的偏心距，Φ为偏心距的相位，ρ为偏心距与磁轴承中心平面夹角。
5、考虑悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩，并得到由此引起的干扰力为：
即：
其中Fux2、Fuy2、Fuz2表示偏转负力矩对转子的干扰力在X、Y、Z轴上的分量。
6、综合考虑上述三种干扰力，将干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈抑制方法对三种干扰力进行抑制。
转子-磁轴承转换矩阵为E，传感器到XOY平面的垂直距离为la，传感器到XOZ平面的水平距离为l，则转子-传感器转换矩阵Ts为：
通过计算得到干扰力矩的数值，由控制器对干扰力矩进行前馈补偿，实现对转子不平衡振动的抑制。根据前馈控制完全补偿条件可得：
式中，Gf(s)、Gu(s)、Gp(s)分别表示不平衡质量矩、偏心距以及偏转负力矩的前馈传递矩阵，Gw(s)表示功放。
根据上式可得：
上式属于稳态全补偿，在控制上容易实现，可得干扰力矩作用下的转子控制方框图如图3所示，其中Gc(s)表示控制器，G0(s)表示转子，ks表示传感器系数。
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。本发明的上述实施例是对方案的说明而不能用于限制本发明，与本发明有保护范围相当的含义和范围内的任何改变，都应认为是包括在本发明保护的范围内。

Claims (1)

1.一种磁悬浮球形飞轮不平衡振动抑制方法，其特征在于：根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁轴承-转子动力学方程，基于达朗伯原理，得到转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰力、转子质心偏移几何轴引起的偏心距对转子的干扰力以及悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩对转子的干扰力；将三种干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈抑制方法对三种干扰力进行抑制，具体包括以下步骤：
(1)根据牛顿第二定律和陀螺技术方程建立磁悬浮球形飞轮磁轴承-转子动力学方程为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>m</mi> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>y</mi> </msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>x</mi> </msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
化简得：
<mrow> <mi>M</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>;</mo> </mrow>
将转子各悬浮通道的电磁力线性化后得到：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>h</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>-</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>h</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>h</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>i</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
化简得：
Fm＝Khqm+KiI
其中，
质量阵M、陀螺阵q、广义坐标G和广义力F分别为：
M＝[m Jy m Jx m]；
q＝[x β y -α z]T；
<mrow> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>J</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>;</mo> </mrow>
F＝[fx py fy -px fz]T；
磁轴承作用在转子上的电磁力和力矩Fm＝[fx py fy px fz]T；
磁轴承位移刚度阵Kh＝diag[khx 0 khy 0 khz]；
khx、khy、khz分别表示转子沿X、Y、Z轴平动的位移刚度；
qm＝[xm 0 ym 0 zm]T为磁轴承坐标系下转子位移，xm、ym、zm分别表示磁轴承坐标系下转子在X、Y、Z轴方向的位移；
Ki＝diag[kix kiβ kiy kiα kiz]为磁轴承电流刚度阵，
kix、kiy、kiz分别表示磁轴承控制转子沿X、Y、Z轴平动的电流刚度，
kiα、kiβ分别表示磁轴承控制转子绕X、Y轴偏转的电流刚度；
I＝[ix iβ iy iα iz]T为磁轴承控制电流阵，
ix、iy、iz分别表示控制转子沿X、Y、Z轴平动的电流，
iα、iβ分别表示控制转子绕X、Y轴偏转的电流；
转子的质量为m，转子沿X、Y和Z轴的位移分别为x、y和z，转子绕X、Y轴的角位移分别为α、β，转子绕Z轴的角速率为ω，磁轴承作用在转子几何中心上的合力和合力矩分别为fx、fy、fz和Px、Py，转子绕X、Y和Z轴的转动惯量分别为Jx、Jy和Jz。
(2)基于达朗伯原理，得到转子惯性轴偏离几何轴引起的不平衡质量矩对转子的干扰力。
设转子顶端为A端，A端去重面内有不平衡质量矩ga＝mar，其中ma为A端去重面内不平衡质量，r为去重半径。
忽略外界干扰，根据达朗伯原理可列出下列五个方程：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>ag</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>ag</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>ag</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <msub> <mi>ag</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中Fax、Fay、Faz分别表示转子A端所受的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，
Fgx、Fgy分别表示转子惯性力在X、Y轴的分量，Fagax、Fagay分别表示转子不平衡质量矩引起的干扰力在在X、Y轴的分量，Fl表示偏转磁轴承在飞轮转子上的作用力，Mgx、Mgy分别表示惯性力对固结于飞轮赤道平面内X轴和Y轴的惯性力偶矩，R表示偏转磁轴承线圈安装半径，lan表示转子A端去重面到转子中心平面的距离。
由于飞轮转子为关于惯性轴对称结构，惯性力为零，即Fgx＝Fgy＝0，所以不平衡质量矩对转子的干扰力为：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
设转子底端为B端，同理B端不平衡质量矩为gb＝mbr，其中mb为转子B端去重面内不平衡质量，r为去重半径，则转子B端不平衡质量矩对转子的干扰力为：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>g</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中，Fbx、Fby、Fbz分别表示转子B端所受的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，lbn表示转子B端去重面到转子中心平面的距离。
(3)为了保证磁悬浮球形飞轮定子气隙的均匀性，考虑转子质心偏移几何轴引起的偏心距，得到偏心距对转子的干扰力为：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mi>m&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&amp;rho;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中Fux1、Fuy1、Fuz1表示偏心距对转子的干扰力在X、Y、Z轴上的分量，em表示飞轮转子的偏心距，Φ为偏心距的相位，ρ为偏心距与磁轴承中心平面夹角。
(4)考虑悬浮力过转子形心而不过质心造成的偏转负力矩，并得到由此引起的干扰力为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
即：
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其中Fux2、Fuy2、Fuz2表示偏转负力矩对转子的干扰力在X、Y、Z轴上的分量。
(5)综合考虑上述三种干扰力，将干扰力作用下的转子位移量通过转换矩阵分别转换为传感器坐标系下的位移量和磁轴承坐标系下的位移量，并将两种位移量分别作用到控制器和磁轴承中，采用前馈抑制方法对三种干扰力进行抑制。
转子-磁轴承转换矩阵为E，传感器到XOY平面的垂直距离为la，传感器到XOZ平面的水平距离为l，则转子-传感器转换矩阵Ts为：
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通过计算得到干扰力矩的数值，由控制器对干扰力矩进行前馈补偿，实现对转子不平衡振动的抑制。根据前馈控制完全补偿条件可得：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
式中，Gf(s)、Gu(s)、Gp(s)分别表示不平衡质量矩、偏心距以及偏转负力矩的前馈传递矩阵，Gw(s)表示功放。根据上式可得：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>G</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>G</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mi>G</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
上式属于稳态全补偿，在控制上容易实现。
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