CN116382065A - AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，构造径向解耦PID控制器，利用对系统稳定性及刚度阻尼特性的要求，给出径向解耦PID控制器参数的初步选取范围；然后，给出径向解耦PID控制器各参数的整定原则，特别是根据系统的径向不平衡振动响应和不平衡控制电流响应随比例和微分系数的变化关系来确定比例和微分系数的整定方法；最后分析轴向运动的动力学特性，给出轴向PID控制器的参数整定依据和整定方法。本发明所设计的径向解耦和轴向PID控制器不仅能够使电磁轴承‑刚性转子系统迅速、稳定地悬浮至平衡位置，还能使转子系统在全转速范围内具有较小的振动响应并在额定转速运行时具有较小的控制电流。

Description

AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法

技术领域

本发明属于电磁轴承控制技术领域，具体是涉及到AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法。

背景技术

电磁轴承(active magnetic bearings,AMBs)具有无需润滑、无需频繁维护、能够进行振动主动控制等优势，已经在高速旋转机械领域得到了广泛应用。然而，由于AMBs提供的电磁力随着转子和磁极表面之间的气隙的增大而减小，AMBs–刚性转子系统是一个具有负刚度特性的开环不稳定系统。为了使AMBs–刚性转子系统稳定运行且具备良好的动态性能，必须设计一个合适的控制器。

PID控制由于其结构简单、调节方便、适用性强等优点，在AMBs–刚性转子系统中得到了广泛应用。如何整定PID控制器的参数，使系统满足稳定性、动态性能及其它性能指标的要求，是PID控制器在实际应用中的关键。然而，目前PID控制器的设计方法均是用于整定分散PID控制参数，并未考虑转子在径向方向上的平动和锥动的耦合。当AMBs–刚性转子系统的两端径向AMBs到质心的距离相差较大时，平动和锥动的耦合较强，难以确定各分散PID参数与转子系统平动和锥动的运动特性之间的变化关系，此时PID参数的整定工作非常困难。除此之外，在实际应用过程中，一般关心AMBs–刚性转子系统能否在不平衡激励下安全可靠地穿越刚体临界转速，以及能否在运行过程中保持较低的能量损耗和发热量，而在现有的PID控制器的设计方法中，参数的整定往往是依据刚度、阻尼或稳定裕度等指标来进行的，显得不够直观明确，且对实际应用场合的指导作用有限。

发明内容

本发明目的在于针对现有技术的不足，提出一种AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，该方法主要用于解决平动锥动强耦合的AMBs–刚性转子系统PID控制器参数的整定问题，使转子系统能够在全转速范围内以较小的振动响应安全可靠地稳定运行的同时，保持较低的能量损耗和发热量。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，该方法包括以下步骤：

(1)基于转子系统稳定性以及刚度阻尼特性的要求，构造径向解耦PID控制器，将径向解耦PID控制参数与转子系统稳定性以及平动锥动的刚度阻尼特性分别关联起来，初步确定PID控制各参数的取值范围；

(2)基于转子系统的径向偏置电流和初步确定的径向解耦PID控制器的比例、微分及积分系数，根据转子系统径向不平衡振动响应和不平衡控制电流响应随径向解耦PID控制器的比例和微分系数的变化关系来进一步调节径向解耦PID控制器的比例和微分系数；

(3)基于转子系统稳定性以及刚度阻尼特性的要求，将轴向PID控制参数与转子系统稳定性以及刚度阻尼特性关联起来，初步确定轴向PID控制参数的取值范围；

(4)基于转子系统的轴向偏置电流和初步确定的轴向PID控制参数，根据转子系统对轴向激励力的轴向振动响应和控制电流响应随轴向PID控制器的比例和微分系数的变化关系来进一步调节轴向PID控制器的比例和微分系数。

进一步地，所述步骤(1)的具体过程如下：

(1.1)构造的径向解耦PID控制器的比例系数矩阵K_Pr2、微分系数矩阵K_Dr2和积分系数矩阵K_Ir2为：

其中，K_ri0＝diag([i_0a i_0b i_0a i_0b])，i_0a和i_0b分别是径向电磁轴承AMB的A端和B端的偏置电流；

是电磁力的变换矩阵，l_a和l_b分别是转子质心到径向AMB的A端和B端的轴向距离；k_iri和k_hri分别是与径向AMBs结构的线圈匝数和磁极截面积相关的参数。

是坐标变换矩阵，l_sa和l_sb分别是转子质心到径向传感器A和径向传感器B的轴向距离；K_Pr3＝diag([k_Prr k_Prt k_Prr k_Prt])，k_Prr和k_Prt分别是径向解耦PID控制器在锥动和平动系统中的比例系数。K_Ir3＝diag([k_Irr k_Irt k_Irr k_Irt])，k_Irr和k_Irt分别是径向解耦PID控制器在锥动和平动系统中的积分系数。K_Dr3＝diag([k_Drr k_Drt k_Drr k_Drt])，k_Drr和k_Drt分别是径向解耦PID控制器在锥动和平动系统中的微分系数。

(1.2)根据转子系统对平动运动的稳定性和刚度阻尼特性的要求，确定径向解耦PID控制器与平动相关的PID系数取值范围为：

其中，m是转子的质量。

根据转子系统对锥动运动的稳定性和刚度阻尼特性的要求，确定径向解耦PID控制器与锥动相关的PID系数取值范围为：

其中，J_r是转子的赤道转动惯量。

进一步地，所述步骤(2)的具体过程如下：

(2.1)径向偏置电流i_0a和i_0b的整定

设定径向静态控制电流不超过对应偏置电流的10％，得到径向偏置电流i_0a和i_0b取值范围为：

其中，g为重力加速度。

(2.2)径向比例和微分系数k_Prt、k_Drt、k_Prr和k_Drr的整定

转子在传感器A和B位置x方向上的径向位移X_sa(s)和X_sb(s)与F_εx1(s)的关系为：

其中，ε和ε_z分别是转子的不平衡质量在径向和轴向的偏移，ω和φ分别是转子绕z轴旋转的角速度和角位移，F_εx1(s)是单位余弦函数f_εx1(t)＝-cosφ＝-cos(ωt+φ₀)的Laplace变换，φ₀是转子的初始角度。

径向AMB-A和-B在x方向上的控制电流I_cxa(s)和I_cxb(s)与F_εx1(s)的关系为：

具体的参数调节方向需要结合转子系统在全转速范围内的径向不平衡振动响应和不平衡控制电流响应的实际情况，以及径向比例及微分系数与不同转速下的不平衡振动响应和不平衡控制电流响应之间的具体关系来确定。

进一步地，所述步骤(3)的具体过程如下：

根据转子系统对轴向运动的稳定性和刚度阻尼特性的要求，确定轴向PID控制参数的取值范围为：

进一步地，所述步骤(4)的具体过程如下：

(4.1)轴向偏置电流i_0z的整定

设定当转子轴向受到与转子重力相等的外部力时，轴向静态控制电流不超过对应偏置电流的40％，得到轴向偏置电流i_0z取值范围为：

(4.2)轴向比例和微分系数k_Pz和k_Dz的整定

转子在轴向方向上的位移Z(s)与F_dz1(s)的关系为：

其中，z_d是转子受到的轴向同频激励位移信号的幅值，F_dz1(s)是单位正弦函数f_dz1(t)＝sin(ωt+φ_0z)的Laplace变换，φ_0z是激励位移信号的初始角度。

轴向AMB的控制电流I_cz(s)与F_dz1(s)的关系为：

具体的参数调节方向需要结合转子系统在全转速范围内的对轴向激励信号的轴向振动响应和控制电流响应的实际情况，以及k_Pz和k_Dz与不同转速下的轴向振动响应和控制电流响应之间的具体关系来确定。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明提出的径向解耦PID控制器的设计方法能够应用到平动锥动强耦合AMBs–刚性转子系统，为目前普遍采用的分散PID控制器在平动锥动强耦合的AMBs–刚性转子系统的应用中所存在的参数整定困难这一问题提出了一种行之有效的解决方案；

(2)本发明基于径向不平衡力形式，具体分析了径向不平衡振动响应和不平衡控制电流响应与径向解耦PID控制器的比例和微分系数之间的关系，保证了AMBs–刚性转子系统能够在径向不平衡力激励下安全可靠地穿越刚体临界转速，并在运行过程中保持较低的能量损耗和发热量；

(3)本发明基于轴向激励力形式，具体分析了转子系统对轴向激励信号的振动响应和控制电流响应与轴向PID控制器的比例和微分系数之间的关系，保证了AMBs–刚性转子系统能够在转速同频的轴向外部激励力作用下能够安全可靠地穿越临界转速，并在运行过程中保持较低的能量损耗和发热量；

(4)本发明提出的径向解耦和轴向PID控制器的设计方法简单直观，目的明确，能够为实际场合下的PID控制器参数的整定过程提供合理正确的指导意见。

附图说明

图1为实施例采用的平动锥动强耦合的AMBs–刚性转子系统的结构图。

图2为不同k_Prt情况下的X_sa(s)/F_εx1(s)和X_sb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图3为不同k_Prr情况下的X_sa(s)/F_εx1(s)和X_sb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图4为不同k_Drt情况下的X_sa(s)/F_εx1(s)和X_sb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图5为不同k_Drr情况下的X_sa(s)/F_εx1(s)和X_sb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图6为不同k_Prt情况下的I_cxa(s)/F_εx1(s)和I_cxb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图7为不同k_Prr情况下的I_cxa(s)/F_εx1(s)和I_cxb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图8为不同k_Drt情况下的I_cxa(s)/F_εx1(s)和I_cxb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图9为不同k_Drr情况下的I_cxa(s)/F_εx1(s)和I_cxb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图10为不同k_Pz和不同k_Dz情况下的Z(s)/F_dz1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图11为不同k_Pz和不同k_Dz情况下的I_cz(s)/F_dz1(s)的幅值随转速的变化关系曲线。

图12为PID参数整定后的AMBs–刚性转子系统在起浮过程中的位移响应曲线。

图13为PID参数整定后的AMBs–刚性转子系统在加速过程中的振动响应曲线。

图14为PID参数整定后的AMBs–刚性转子系统在加速过程中的振动瀑布图。

图15为PID参数整定后的AMBs–刚性转子系统在加速过程中的控制电流响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细说明。

本实施例中采用的平动锥动强耦合的AMBs–刚性转子系统的结构图如图1所示。转子质心的两侧各布置了一组径向传感器和一组径向AMB，分别用于监测和控制转子在径向方向上的四个自由度的运动。转子靠近B端的端面附近布置了一个轴向传感器，转子轴向盘的两侧布置了一对轴向AMB，分别用于监测和控制转子在轴向方向上的运动。

以转子质心C为原点，建立xyz坐标系，其中z方向为转子的轴向方向，x和y方向位于与转子轴向方向垂直的平面内，它们之间相互正交且与水平面的夹角均为45°。设转子质心C到径向AMB-A和-B的轴向距离分别为l_a和l_b，到径向传感器A和B的轴向距离分别为l_sa和l_sb。

根据转子动力学理论，可以得到AMBs–刚性转子系统的运动微分方程为

式中，m是转子质量，z是转子的轴向位移，f_zAMB是轴向AMB的电磁力，f_dz是轴向激励力。M和G分别是径向运动的质量矩阵和陀螺矩阵，q是转子径向运动的广义坐标向量，L是力的变换矩阵，F_rAMB是径向AMBs的电磁力向量，F_G是重力向量，F_ε是不平衡力向量，它们的具体表达式为：

其中，J_r和J_z分别是转子的赤道转动惯量和极转动惯量，θ_x和θ_y分别是转子绕x和y轴转动的角位移，x和y是转子质心C在x和y方向上的位移，ω和φ分别是转子绕z轴旋转的角速度和角位移，f_xa、f_xb、f_ya和f_yb分别是在x和y方向上AMB-A和-B的电磁力，ε和ε_z分别是转子不平衡量在径向和轴向的偏移。

在经过线性化处理后，径向电磁力向量F_rAMB和轴向电磁力f_zAMB可以表示为：

式中，K_ir＝diag([k_ira k_irb k_ira k_irb])是径向电流刚度矩阵，k_ira和k_irb分别是径向AMB-A和-B的电流刚度系数；K_hr＝diag([k_hra k_hrb k_hra k_hrb])是径向位移刚度矩阵，k_hra和k_hrb分别是径向AMB-A和-B的位移刚度系数；I_cr＝[i_cxa i_cxb i_cya i_cyb]^T是径向AMB的控制电流向量，i_cxa、i_cxb、i_cya和i_cyb分别是在x和y方向上的径向AMB-A和-B的控制电流，q_b＝[x_a x_by_a y_b]^T＝L^Tq是转子在AMB处的径向位移向量，x_a、x_b、y_a和y_b分别是在x和y方向上的AMB-A和-B处转子的径向位移。k_iz和k_hz分别是轴向AMB的电流刚度系数和位移刚度系数，i_cz是轴向AMB的控制电流。

k_ira和k_irb、k_hra和k_hrb与径向AMB-A和-B的偏置电流i_0a和i_0b之间存在以下关系：

式中，k_iri和k_hri是与径向AMBs结构相关的参数。

k_iz和k_hz与轴向AMB的偏置电流i_0z之间也存在以下关系：

式中，k_izi和k_hzi是与轴向AMB结构相关的参数。

结合式(1)～(4)，可以得到：

式中，K_ri0＝diag([i_0ai_0bi_0ai_0b])。

下面构造径向解耦PID控制器，分析解耦PID控制下的系统径向运动的动力学特性，并给出解耦PID控制器的比例、微分及积分系数的取值范围，具体实施例及其实施过程如下：

(1)径向解耦PID控制器的构造

构造的解耦PID控制器为：

式中，K_Pr2∈R^4×4、K_Ir2∈R^4×4和K_Dr2∈R^4×4分别是解耦PID控制器的比例、积分和微分系数矩阵。

采用解耦PID控制的转子径向四自由度的运动微分方程为

式中，

若要使系统的平动和锥动解耦，K_D2、K_S2和K_I2都必须是对角阵，为此可以构造K_Pr2、K_Ir2和K_Dr2为：

式中，K_Pr3＝diag([k_Prr k_Prt k_Prr k_Prt])，K_Ir3＝diag([k_Irr k_Irt k_Irr k_Irt])，K_Dr3＝diag([k_Drr k_Drt k_Drr k_Drt])。

结合式(7)和(8)可以得到：

将式(9)展开成四个自由度上的运动方程，可以得到：

(2)解耦PID控制下的系统平动动力学特性的分析

由式(10)可知，在忽略外部力的条件下，转子在x和y方向上平动运动的特征方程为：

ms³+k_irik_Drts²+k_irik_Prts+k_irik_Irt＝0 (11)

由Routh稳定判据可知，若要使系统稳定，应当满足以下条件：

积分系数k_Irt主要决定系统消除静差的速度，相比于k_Prt和k_Drt，它对动力学特性的影响很小。为了方便分析，忽略k_Irt，AMBs的电磁力中仅保留由k_Prt和k_Drt引入的力分量，得到转子在x和y方向上平动运动的特征方程：

ms²+k_irik_Drts+k_irik_Prt＝0 (13)

将式(13)视为一个单自由度振动系统，该振动系统的阻尼比ζ_t和无阻尼固有频率ω_nt为：

为了确保转子的平动运动具有足够的刚度和阻尼，ζ_t和ω_nt需满足：

结合式(12)可以得到k_Prt、k_Drt和k_Irt的取值范围为：

(2)解耦PID控制下的系统锥动动力学特性的分析

令θ＝θ_x+jθ_y，将式(10)中的两个转子锥动运动方程合并为一个以θ为坐标变量的运动微分方程：

在忽略外部力的条件下，转子绕x和y方向的锥动运动的特征方程为：

J_rs³+(k_irik_Drr-jJ_zω)s²+k_irik_Prrs+k_irik_Irr＝0 (18)

由基于复系数Routh稳定判据可知，若要使系统稳定，必须满足以下条件：

由式(19)可知，在解耦PID控制下，当系统高速运行时，由陀螺效应引入的J_zω的值较大，会明显削弱甚至破坏系统的稳定性。因此，为了消除陀螺力矩对转子动力学特性的不利影响，需要引入一个额外的陀螺补偿电流向量I_cg：

式中，

在引入陀螺补偿矩阵后，同样为了方便分析，忽略k_Irr，式(18)被简化为：

J_rs²+k_irik_Drrs+k_irik_Prr＝0 (21)

同理可以确定锥动系统的阻尼比ζ_r和无阻尼固有频率ω_nr为

为了避免转子在较短转速区间之内由于同时穿越平动和锥动两个临界转速造成的振动过大的问题，需要设置k_Prr和k_Drr，使转子的锥动模态频率远离平动模态频率。同时，为了保证转子的锥动运动具备足够的刚度和阻尼，令ζ_r和ω_nr满足：

结合式(19)可以得到k_Prr、k_Drr和k_Irr的取值范围为：

下面说明径向解耦PID控制器的参数整定过程，具体实施例及其实施过程如下：

(1)径向偏置电流i_0a和i_0b的整定

用于补偿转子重力的径向静态控制电流向量I_c0与转子重力向量F_G之间存在以下关系：

k_iriLK_ri0I_c0＝-F_G (25)

式中，I_c0＝[i_cxa0 i_cxb0 i_cya0 i_cyb0]^T。

进一步得到：

令I_c0中的各个元素小于或等于对应AMB的径向偏置电流的10％，可以得到径向偏置电流i_0a和i_0b的取值范围为：

(2)径向比例和微分系数k_Prt、k_Drt、k_Prr和k_Drr的整定

(2.1)径向比例和微分系数与不平衡振动响应之间的关系

忽略积分项，不考虑转子重力和噪声，可以得到转子在x方向上的平动位移x(t)与所受不平衡力f_εx(t)的关系如下：

式中，

不平衡力f_εx(t)可以改写为：

式中，f_εx1(t)＝-cosφ＝-cos(ωt+φ₀)，φ₀是初始角度。

将式(29)代入到式(28)中，并进行Laplace变换，可以得到：

同理，复频域内的转子绕y轴的转动角位移θ_y(s)与F_εx1(s)的关系为：

那么，转子在传感器A和B位置于x方向上的径向位移X_sa(s)和X_sb(s)与F_εx1(s)的关系为：

下面选定一组系数，并判断在该组系数取值附近，单一的径向比例或微分系数值的变化会对系统的不平衡振动响应造成何种影响。取k_Prt＝1000，k_Drt＝2.5，k_Prr＝20，k_Drr＝0.02。在该取值附近，分别调整k_Prt、k_Prr、k_Drt和k_Drr的值，可以得到不同k_Prt、k_Prr、k_Drt以及k_Drr情况下的X_sa(s)/F_εx1(s)和X_sb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线分别如图2至图5所示。

由图2可知，增大k_Prt会导致转子系统在两个传感器位置的振动响应峰值的增大。由图3可知，增大k_Prr会导致转子系统在传感器A处的振动峰值和在传感器B处的锥动临界转速附近的振动幅值略有增大，而在传感器B处的平动临界转速附近的振动幅值减小。由图4可知，增大k_Drt会导致转子系统在传感器A处的振动峰值和在传感器B处的平动临界转速附近的振动幅值减小，而在传感器B处的锥动临界转速附近的振动幅值基本不变。由图5可知，增大k_Drr会导致转子系统在传感器A处的振动峰值和在传感器B处的锥动临界转速附近的振动幅值减小，而在传感器B处的平动临界转速附近的振动幅值基本不变。因此，为了避免转子系统在全转速范围内出现较大的不平衡振动响应峰值，径向比例系数k_Prt和k_Prr不宜过大，径向微分系数k_Drt和k_Drr不宜过小。

在比例和微分系数的实际整定过程中，可以通过传感器检测出转子在传感器A处的全转速范围内的振动峰值以及在传感器B处位于平动临界转速和锥动临界转速附近的振动幅值，判断其中哪些量过大并需要进一步抑制，然后再根据上述分析的k_Prt、k_Prr、k_Drt和k_Drr的值与这些振动幅值之间的关系，判断相关系数的调整方向。

(2.2)径向比例和微分系数与不平衡控制电流响应之间的关系

由式(8)可知，AMB-A和-B于x方向上的径向控制电流I_cxa(s)和I_cxb(s)与F_εx1(s)的关系为：

当径向比例和微分系数的取值在k_Prt＝1000，k_Drt＝2.5，k_Prr＝20，k_Drr＝0.02附近时，分别调整k_Prt、k_Prr、k_Drt和k_Drr的值，可以得到径向不同k_Prt、k_Prr、k_Drt以及k_Drr情况下的I_cxa(s)/F_εx1(s)和I_cxb(s)/F_εx1(s)的幅值随转速的变化关系曲线分别如图6至图9所示。

已知转子的额定转速为12000rpm。由图6可知，增大k_Prt会导致两端AMBs在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值和额定转速下的不平衡控制电流响应幅值增大。由图7可知，增大k_Prr会导致两端AMBs在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值和AMB-B在额定转速下的不平衡控制电流响应幅值增大，而AMB-A在额定转速下的不平衡控制电流响应幅值减小。由图8可知，增大k_Drt会导致AMB-A在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值和AMB-B在平动临界转速附近的不平衡控制电流响应幅值减小，而AMB-B在锥动临界转速附近的不平衡控制电流响应幅值基本不变。由图9可知，增大k_Drr会导致AMB-A在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值略有减小，AMB-B在锥动临界转速附近的不平衡控制电流响应幅值减小，而在平动临界转速附近的不平衡控制电流响应幅值基本不变。除此之外，过大的k_Drt和k_Drr会导致两端AMBs在额定转速下的不平衡控制电流响应幅值明显增大。因此，为了抑制全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值，比例系数k_Prt和k_Prr不宜过大，微分系数k_Drt和k_Drr不宜过小；而为了抑制额定转速下的不平衡控制电流响应幅值，微分系数k_Drt和k_Drr又不宜过大。

为了减小AMBs的功耗和延长设备的使用寿命，可以在保证系统能够以较小的振动安全可靠地穿越临界转速的基础上，根据上述分析得到的两端AMBs在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值以及额定转速下的不平衡控制电流响应幅值与比例和微分系数k_Prt、k_Prr、k_Drt和k_Drr之间的变化关系，适当地调整它们的值，使得转子在全转速范围内的不平衡控制电流响应峰值和额定转速下的不平衡控制电流响应均处于较低水平。

(3)径向积分系数k_Irt和k_Irr的整定

径向积分系数k_Irt和k_Irr的值主要影响系统消除稳态误差的速度，对于系统动态性能的影响较小。因此，可以在整定完比例和微分系数，确保系统具备足够的稳定性和良好的动态性能之后，再对k_Irt和k_Irr进行整定。为了抑制由k_Irt和k_Irr引入的力分量对于系统稳定性和动态性能的影响，应当在确保系统能够在短时间内消除稳态误差的条件下，取尽可能小的k_Irt和k_Irr的值。

下面分析PID控制下的转子系统轴向运动的动力学特性，并给出轴向PID控制器的比例、微分及积分系数的取值范围，具体实施例及其实施过程如下：

PID控制下的轴向控制电流可以表示为：

结合式(5)，可以得到：

在忽略外部激励力的条件下，可以得到系统在z方向上运动的特征方程：

由Routh稳定判据可知，若要使转子系统轴向运动稳定，应当满足以下条件：

为了方便分析，忽略k_Iz，得到转子轴向运动的特征方程为：

将式(40)视为一个单自由度振动系统，该振动系统的阻尼比ζ_z和无阻尼固有频率ω_nz分别为：

为了确保转子的轴向运动具有足够的刚度和阻尼，ζ_z和ω_nz需满足：

结合式(41)和(42)，可以得到k_Pz和k_Dz需满足以下条件：

下面说明轴向PID控制器的参数整定过程，具体实施例及其实施过程如下：

(1)轴向偏置电流i_0z的整定

当转子轴向方向受到与转子重力相等的外力时，轴向静态控制电流i_cz0与转子重力mg之间存在以下关系：

k_izii_0zi_cz0＝mg (44)

进一步得到：

令i_cz0小于或等于轴向AMBs偏置电流的40％，可以得到轴向偏置电流i_0z的取值范围为：

轴向偏置电流i_0z应当在上述范围内取较小值。

(2)轴向比例和微分系数k_Pz和k_Dz的整定

(2.1)轴向比例和微分系数与系统对轴向激励信号的振动响应之间的关系

轴向激励位移信号Δz可以表示为：

Δz＝z_df_dz1(t) (47)

式中，z_d是激励位移信号的幅值，为了方便分析，认为它是一个恒定值。f_dz1(t)＝sin(ωt+φ_0z)，其中φ_0z是激励位移信号的初始角度。

那么，轴向激励力f_dz可表示为：

将式(48)代入到式(37)中，忽略积分项，并对等号两边同时进行Laplace变换，可以得到转子轴向位移Z(s)与单位正弦函数F_dz1(s)的关系为：

当轴向比例和微分系数的取值在k_Pz＝6000，k_Dz＝6附近时，分别调整k_Pz和k_Dz的值，可以得到不同k_Pz和不同k_Dz情况下的Z(s)/F_dz1(s)的幅值随转速的变化关系曲线如图10所示。

由图10可知，增大k_Pz会导致转子系统轴向振动峰值增大，而增大k_Dz会导致转子系统轴向振动峰值减小。因此，为了避免转子系统轴向振动峰值过大，k_Pz不宜取值过大，k_Dz不宜取值过小。

(2.2)转子轴向比例和微分系数与系统对轴向激励信号的控制电流响应之间的关系结合式(36)和式(49)，并忽略积分项，可以得到轴向控制电流I_cz(s)与F_dz1(s)的关系为：

当转子轴向比例和微分系数的取值同样在k_Pz＝6000，k_Dz＝6附近时，分别调整k_Pz和k_Dz的值，可以得到不同k_Pz和不同k_Dz情况下的I_cz(s)/F_dz1(s)的幅值随转速的变化关系曲线如图11所示。

由图11可知，增大k_Pz会导致在转子系统轴向振动峰所在转速附近到额定转速12000rpm的转速范围内，转子系统对轴向激励信号的控制电流响应明显增大，而增大k_Dz会导致在转子系统轴向振动峰所在转速附近，系统对轴向激励信号的控制电流响应减小，而在额定转速附近，系统对轴向激励信号的控制电流响应增大。因此，为了避免转子系统轴向控制电流响应峰值过大，k_Pz不宜取值过大，k_Dz不宜取值过小；为了避免额定转速时的转子系统的轴向控制电流响应过大，k_Dz又不宜取值过大。

(3)轴向积分系数k_Iz的整定

轴向积分系数k_Iz的值主要影响系统在轴向方向上消除稳态误差的速度，对于系统动态性能的影响较小。因此，可以在整定完轴向比例系数k_Pz和微分系数k_Dz，确保系统的轴向运动具备足够的稳定性和良好的动态性能之后，再对k_Iz进行整定。为了抑制由k_Iz引入的力分量对于系统稳定性和动态性能的影响，应当在确保系统能够在短时间内消除稳态误差的条件下，取尽可能小的k_Iz的值。

综合以上分析过程并结合具体实施例，对径向解耦及轴向PID控制器的参数整定方法进行总结如下：

1)根据径向及轴向静态控制电流与偏置电流的相对大小，确定径向及轴向AMBs的偏置电流值为i_0a＝0.8A,i_0b＝0.6A,i_0z＝0.6A；

2)根据转子系统模型参数，计算得到径向解耦及轴向PID控制器的比例、微分和积分系数的取值范围为k_Prt＞710,k_Drt＞1.13,0＜k_Irt＜71316,k_Prr＞8.5,k_Drr＞0.009,0＜k_Irr＜1279,k_Pz＞3432,k_Dz＞2.3,0＜k_Iz＜145263；

3)在2)中径向及轴向比例、微分和积分系数的取值范围内选择一组初始的参数值，具体为k_Prt＝1000,k_Drt＝2.5,k_Irt＝500,k_Prr＝20,k_Drr＝0.02,k_Irr＝10,i_0z＝0.6A,k_Pz＝6000,k_Dz＝6,k_Iz＝3000；

4)为了使转子系统在传感器A和B位置的径向振动和轴向振动峰值进一步减小，同时保持系统在额定转速下控制电流响应处于较低水平，适当调小k_Prt、k_Prr和k_Pz的值，并适当调大k_Drt、k_Drr和k_Dz的值，最终得到它们的值为：k_Prt＝900,k_Drt＝4,k_Prr＝18,k_Drr＝0.032,k_Pz＝5000,k_Dz＝10。

5)在确定完径向及轴向比例和微分系数后，为了在保证转子系统的径向及轴向运动稳定性的同时提升消除稳态误差的速度，适当增大k_Irt、k_Irr和k_Iz的值，最终得到它们的值为：k_Irt＝1000,k_Irr＝15,k_Iz＝5000。

本实施例中的PID参数整定后的平动锥动强耦合AMBs–刚性转子系统在起浮过程中的位移响应曲线如图12所示。可见，转子在径向和轴向方向上均能在较短时间内以较小的超调量起浮至给定位置，并且能够在给定位置处稳定悬浮。

本实施例中的PID参数整定后的五自由度平动锥动强耦合AMBs–刚性转子系统在加速过程中的振动响应曲线和振动瀑布图分别如图13和图14所示。可见，在根据本发明提出的参数整定方法所设计的解耦PID控制器和轴向PID控制器的控制下，在全转速范围内转子与保护轴承碰撞的风险都很小，系统能够安全可靠地穿越平动和锥动临界转速以及轴向的刚体临界转速。

本实施例中的PID参数整定后的平动锥动强耦合AMBs–刚性转子系统在加速过程中的控制电流响应曲线如图15所示。在根据本发明提出的参数整定方法所设计的解耦PID控制器和轴向PID控制器的控制下，系统能够在较小的偏置电流条件下在全转速范围内以及额定转速下实现较小的控制电流响应，保证了功放和线圈的发热量处于较低水平，有利于系统的长期稳定运行。

上述实施例用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

(1)基于转子系统稳定性以及刚度阻尼特性的要求，构造径向解耦PID控制器，将径向解耦PID控制参数与转子系统稳定性以及平动锥动的刚度阻尼特性分别关联起来，初步确定PID控制各参数的取值范围；

(2)基于转子系统的径向偏置电流和初步确定的径向解耦PID控制器的比例、微分及积分系数，根据转子系统径向不平衡振动响应和不平衡控制电流响应随径向解耦PID控制器的比例和微分系数的变化关系来进一步调节径向解耦PID控制器的比例和微分系数；

(3)基于转子系统稳定性以及刚度阻尼特性的要求，将轴向PID控制参数与转子系统稳定性以及刚度阻尼特性关联起来，初步确定轴向PID控制参数的取值范围；

(4)基于转子系统的轴向偏置电流和初步确定的轴向PID控制参数，根据转子系统对轴向激励力的轴向振动响应和控制电流响应随轴向PID控制器的比例和微分系数的变化关系来进一步调节轴向PID控制器的比例和微分系数。

2.根据权利要求1所述的AMBs-刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(1)的具体过程如下：

(1.1)构造的径向解耦PID控制器的比例系数矩阵K_Pr2、微分系数矩阵K_Dr2和积分系数矩阵K_Ir2为：

其中，K_ri0＝diag([i_0a i_0b i_0a i_0b])，i_0a和i_0b分别是径向电磁轴承AMB的A端和B端的偏置电流；

是电磁力的变换矩阵，l_a和l_b分别是转子质心到径向AMB的A端和B端的轴向距离；k_iri和k_hri分别是与径向AMBs结构的线圈匝数和磁极截面积相关的参数。

是坐标变换矩阵，l_sa和l_sb分别是转子质心到径向传感器A和径向传感器B的轴向距离；K_Pr3＝diag([k_Prr k_Prt k_Prr k_Prt])，k_Prr和k_Prt分别是径向解耦PID控制器在锥动和平动系统中的比例系数。K_Ir3＝diag([k_Irr k_Irt k_Irr k_Irt])，k_Irr和k_Irt分别是径向解耦PID控制器在锥动和平动系统中的积分系数。K_Dr3＝diag([k_Drr k_Drt k_Drr k_Drt])，k_Drr和k_Drt分别是径向解耦PID控制器在锥动和平动系统中的微分系数。

(1.2)根据转子系统对平动运动的稳定性和刚度阻尼特性的要求，确定径向解耦PID控制器与平动相关的PID系数取值范围为：

其中，m是转子的质量。

根据转子系统对锥动运动的稳定性和刚度阻尼特性的要求，确定径向解耦PID控制器与锥动相关的PID系数取值范围为：

其中，J_r是转子的赤道转动惯量。

3.根据权利要求1所述的AMBs-刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(2)的具体过程如下：

(2.1)径向偏置电流i_0a和i_0b的整定

设定径向静态控制电流不超过对应偏置电流的10％，得到径向偏置电流i_0a和i_0b取值范围为：

其中，g为重力加速度。

(2.2)径向比例和微分系数k_Prt、k_Drt、k_Prr和k_Drr的整定

转子在传感器A和B位置x方向上的径向位移X_sa(s)和X_sb(s)与F_εx1(s)的关系为：

其中，ε和ε_z分别是转子的不平衡质量在径向和轴向的偏移，ω和φ分别是转子绕z轴旋转的角速度和角位移，F_εx1(s)是单位余弦函数f_εx1(t)＝-cosφ＝-cos(ωt+φ₀)的Laplace变换，φ₀是转子的初始角度。

径向AMB-A和-B在x方向上的控制电流I_cxa(s)和I_cxb(s)与F_εx1(s)的关系为：

具体的参数调节方向需要结合转子系统在全转速范围内的径向不平衡振动响应和不平衡控制电流响应的实际情况，以及径向比例及微分系数与不同转速下的不平衡振动响应和不平衡控制电流响应之间的具体关系来确定。

4.根据权利要求1所述的AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(3)的具体过程如下：

根据转子系统对轴向运动的稳定性和刚度阻尼特性的要求，确定轴向PID控制参数的取值范围为：

5.根据权利要求1所述的AMBs–刚性转子系统径向解耦和轴向PID控制器的设计方法，其特征在于：所述步骤(4)的具体过程如下：

(4.1)轴向偏置电流i_0z的整定

设定当转子轴向受到与转子重力相等的外部力时，轴向静态控制电流不超过对应偏置电流的40％，得到轴向偏置电流i_0z取值范围为：

(4.2)轴向比例和微分系数k_Pz和k_Dz的整定

转子在轴向方向上的位移Z(s)与F_dz1(s)的关系为：

其中，z_d是转子受到的轴向同频激励位移信号的幅值，F_dz1(s)是单位正弦函数f_dz1(t)＝sin(ωt+φ_0z)的Laplace变换，φ_0z是激励位移信号的初始角度。

轴向AMB的控制电流I_cz(s)与F_dz1(s)的关系为：

具体的参数调节方向需要结合转子系统在全转速范围内的对轴向激励信号的轴向振动响应和控制电流响应的实际情况，以及k_Pz和k_Dz与不同转速下的轴向振动响应和控制电流响应之间的具体关系来确定。

Images