CN107844052B - 基于并联式有限维重复控制的磁轴承系统谐波电流抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于并联式有限维重复控制的两自由度磁轴承系统谐波电流抑制方法。该方法包括如下步骤：首先建立包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声的两自由度磁轴承转子动力学模型；然后以功放系统为被控对象，以线圈电流为被控变量，利用并联式FDRC设计磁轴承系统谐波电流抑制；最后设计并联式FDRC控制器参数，并分析系统稳定性，在保证闭环系统稳定的前提下实现两自由度磁轴承系统谐波电流抑制。本发明可以根据谐波电流抑制精度要求合理选择FDRC的阶数，克服了传统重复控制中低通滤波器对抑制精度与系统稳定性的影响；控制器参数设计时直接考虑功放低通特性对谐波电流抑制精度影响，不需要对功放系统另外设计补偿环节。

Description

基于并联式有限维重复控制的磁轴承系统谐波电流抑制方法

技术领域

本发明属于磁轴承系统主动振动控制领域，具体涉及一种基于并联式有限维重复控制的磁轴承系统谐波电流抑制方法，用于包含转子不平衡和传感器谐波噪声的两自由度磁轴承系统谐波电流抑制。

背景技术

随着未来高分辨率对地观测、深空探测、星间激光通信等超高分辨率卫星的发展，超静超稳与敏捷机动成为衡量卫星平台性能的两项重要指标。越来越高的分辨率指标对卫星平台的指向精度和姿态稳定度要求越来越高，从而对星上振动源越来越敏感。高速旋转的惯性执行机构引起的低幅高频振动是卫星平台的主要振动来源，成为“超静超稳”平台发展的主要瓶颈。磁悬浮惯性执行机构采用磁轴承支承，使得磁悬浮转子无接触高速旋转，自身的振动状态良好。此外，还可以改变自身的刚度系数和阻尼系数，进行主动振动，从而实现磁悬浮转子绕其惯性主轴旋转，从根本上解决惯性执行机构引起的高频振动，实现零振动。

根据控制目标分类，主动振动控制算法可分为零位移控制、零电流控制和零振动控制三类。零位移控制目标是使磁悬浮转子绕几何轴旋转，以提高旋转精度，适合对转子旋转精度要求很高的场合。因此，该类方法不适合应用在磁悬浮惯性执行机构。零电流控制就是忽略位移传感器信号中振动相关信号，从而抑制多谐波电流。对于纯电磁力的磁轴承系统而言，由于轴承力只与线圈电流有关，衰减谐波电流即可使磁悬浮转子绕惯性轴旋转，即零电流控制等同于零振动控制。但是永磁偏置混合磁轴承的轴承力不仅与线圈电流有关，还与转子位移有关。然而电流刚度力在磁轴承系统总磁力中占有较大比例，抑制谐波电流能抑制大部分谐波振动。

磁轴承谐波电流抑制通常采用最小二乘算法、状态观测器和重复控制等方法。重复控制由于设计简单，易于实现，最近被广泛研究。然而重复控制器的加入使得闭环系统引入了无穷多个虚极点，影响系统稳定性。为了改善闭环系统稳定性通常内嵌低通滤波器，使得在低通截止频率范围内的有限个虚极点起作用。因此，重复控制抑制多谐波电流的效果与低通滤波器有大关系。随着转子转速的升高，算法对高频振动的抑制能力随之下降。振动测试实验表明磁轴承系统谐波电流主要分布于转频相关的前几阶倍频处，因此只需要有限维重复控制器抑制前几阶谐波电流就能满足系统要求。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，发明一种基于并联式有限维重复控制的磁轴承系统谐波电流抑制，利用并联式FDRC实现谐波电流抑制，在参数设计时充分考虑功放低通特性的影响。

本发明解决上述的技术问题采用的技术方案是：一种基于并联式有限维重复控制的磁轴承系统谐波电流抑制方法，包括以下步骤：

(1)建立含转子不平衡和位移传感器谐波噪声的两自由度磁轴承转子动力学模型

对于两自由度磁轴承系统，x轴和y轴两通道相互解耦，若x轴和y轴的位移刚度系数和电流刚度系数相同，当磁悬浮转子在平衡位置附近运动时，包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声的两自由度磁轴承转子动力学模型为：

式(1)中m为磁悬浮转子的质量；k_i和k_h分别为磁轴承系统的电流刚度系数和位移刚度系数；x_I和y_I分别为磁悬浮转子惯性中心在x轴和y轴方向的位移；δ_x和δ_y分别为x轴和y轴方向的转子不平衡分量；k_s为位移传感器放大倍数；d_x和d_y分别为x轴和y轴方向的位移传感器谐波噪声分量；k_ad为AD采样系数；G_c(s)和G_w(s)分别为磁轴承控制器和功率放大器的传递函数；

磁轴承系统x轴和y轴方向的谐波电流i_cx和i_cy与转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)之间的关系为：

T_o(s)＝1-k_hP(s)+k_adk_sk_iG_w(s)G_dis(s)P(s) (3)

式(2)(3)中

为磁悬浮转子自身对象特性函数；T_o(s)为原闭环系统的特征多项式；

(2)基于并联式FDRC磁轴承谐波电流抑制设计

将磁轴承功率放大器作为被控对象，转子不平衡和位移传感器谐波噪声引起的系统扰动等效为功放系统的干扰电流，磁轴承线圈电流采样值作为并联式FDRC控制器输入，FDRC输出u_ix与原磁轴承控制器G_c(s)输出叠加后作为功放系统输入，以实现磁轴承谐波电流抑制；

(3)并联式FDRC参数设计

并联式FDRC参数设计是确定各阶FDRC的收敛系数τ_k和补偿环节Q_k(s)，磁轴承系统谐波电流抑制各阶FDRC控制器参数设计步骤包括：首先根据系统函数H_ix,n-1(s)(1≤n≤N)相频特性曲线判断收敛系数τ_n(1≤n≤N)的正负号；然后根据τ_n的符号设计补偿环节Q_n(s)使H_ix,n-1(jω)Q_n(jω)在ω＝nΩ处满足能够保证闭环系统稳定的相角条件，其中，N为并联式FDRC控制器的总阶数，Ω为磁悬浮转子转频。

基于上述，步骤(2)提出的基于并联式FDRC磁轴承谐波电流抑制设计为：

并联式FDRC控制器G_fdx(s)表示为：

式(4)中τ_k为第k阶FDRC收敛系数，可正可负；Q_k(s)为第k阶FDRC的补偿环节；N为FDRC的阶数；G_f,k(s)为基本的FDRC表示为：

式(5)中Ω为磁悬浮转子的转频；

加入并联式FDRC后磁轴承闭环系统的灵敏度函数S_xn(s)为：

式(6)中S_xo(s)为原磁轴承系统的灵敏度函数，

G_ex(s)为等效主控制器。

基于上述，加入FDRC谐波电流抑制前后系统灵敏度衰减函数B_x(s)为：

灵敏度衰减函数B_x(s)需要满足：

式(7)(8)中k≤N。

基于上述，所述步骤(3)中并联式FDRC参数设计为：

1)一阶FDRC控制器G_fdx,1(s)＝τ₁G_f,1(s)Q₁(s)的参数设计：

加入G_fdx,1(s)后磁轴承系统闭环系统的特征多项式为：

T_x,1(s)＝1+G_w(s)G_ex(s)+G_w(s)G_fdx,1(s) (9)

令

为原磁轴承系统特征多项式，与T_o(s)等效；

将G_fdx,1(s)＝τ₁G_f,1(s)Q₁(s)代入(9)式，闭环系统特征方程等效为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)+τ₁G_w(s)Q₁(s)(s+Ω)²＝0 (10)

根据闭环根轨迹的性质，根轨迹起始于开环极点，即τ₁＝0时的根轨迹点；终止于开环零点，即τ₁＝∞时的根轨迹点；

当τ₁＝0时，闭环特征方程为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)＝0 (11)

当τ₁＞0时，τ₁→0⁺，闭环特征方程两边对τ₁求偏导可得：

当τ₁＝0，s＝jΩ时，由上式可得：

式(13)中

为原系统函数；

其中，式(13)中的幅角需要满足：

式(14)中arg(·)表示求幅角；l为整数；

补偿后的系统函数H_ix,0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：

当τ₁＜0时，表示一阶FDRC输出与原磁轴承控制器输出相减；令τ′₁＝-τ₁，则原闭环系统特征方程等效为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)-τ′₁G_w(s)Q₁(s)(s+Ω)²＝0 (16)

当τ₁＜0时，τ₁→0^-，使补偿后的系统函数H_ix,0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：

2)高阶FDRC控制器G_fdx,n(s)＝τ_nG_f,n(s)Q_n(s)的参数设计：

当闭环系统已加入前(n-1)阶谐波电流抑制且系统稳定，加入任意n(2≤n≤N)阶谐波电流抑制FDRC控制器

此时闭环系统的特征方程为：

T_x,n(s)＝T_x,n-1(s)+G_w(s)G_fdx,n(s) (18)

式(18)中T_x,n-1(s)为含前(n-1)阶谐波电流抑制的磁轴承闭环系统特征多项式，表示为：

根据一阶FDRC控制器收敛系数和补偿环节设计原则，任意第n阶FDRC控制器的补偿环节Q_n(s)设计满足相位条件：

式(20)中H_ix,n-1(s)为含前(n-1)阶谐波电流抑制的磁轴承闭环系统的系统函数，表示为：

磁轴承系统谐波电流抑制各阶FDRC控制器参数设计归纳为：首先根据系统函数H_ix,n-1(s)(1≤n≤N)相频特性曲线判断收敛系数τ_n(1≤n≤N)的正负号；然后根据τ_n的符号设计Q_n(s)使H_ix,n-1(jω)Q_n(jω)在ω＝nΩ处满足能够保证闭环系统稳定的相角条件。

本发明与现有技术相比的优点在于：

1)本发明利用并联式FDRC实现谐波电流抑制，可以根据谐波电流抑制精度要求合理选择FDRC的阶数N，克服了传统重复控制中低通滤波器对抑制精度与系统稳定性的影响。

2)本发明并联式FDRC参数设计时直接将功放低通特性对谐波电流抑制精度影响考虑进去，不需要对功放系统另外设计补偿环节。

附图说明

图1为本发明一种基于有限维重复控制的磁轴承多谐波振动抑制方法的实现流程图。

图2为含转子不平衡和位移传感器谐波噪声的磁轴承控制系统原理图。

图3为基于并联式FDRC的磁轴承谐波电流抑制原理图。

图4为基于并联式FDRC的磁轴承谐波电流抑制等效原理图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体的实施步骤对本发明做进一步说明。

如图1所示，本发明一种基于有限维重复控制的磁轴承多谐波振动抑制方法，其实现过程是：首先建立包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承系统动力学模型；然后基于并联式FDRC设计磁轴承谐波电流抑制算法；最后根据闭环根轨迹特点，设计各阶FDRC控制器参数，并且分析磁轴承谐波电流抑制闭环系统的稳定性。本发明具体实施步骤如下：

(1)建立含转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承转子动力学模型

对于两自由度磁轴承系统，x轴和y轴两通道相互解耦，且假设x轴和y轴的位移刚度系数和电流刚度系数相同。当磁悬浮转子在平衡位置附近运动时，其线性化的动力学方程为：

式(1)中m为磁悬浮转子的质量；k_i和k_h分别为磁轴承系统的电流刚度系数和位移刚度系数；i_cx和i_cy分别为x轴和y轴磁轴承线圈控制电流；x_I和y_I分别为磁悬浮转子惯性中心在x轴和y轴方向的位移；x_g和y_g分别为磁悬浮转子几何中心在x轴和y轴方向的位移。

由于转子不平衡的影响，转子惯性中心与几何中心不重合，两者之间关系为：

式(2)中δ_x和δ_y分别为x轴和y轴方向的转子不平衡分量，且表示为：

式(3)中λ和

分别为转子不平衡量的幅值和相位；Ω为磁悬浮转子的转频。

磁轴承控制器是以位移传感器测量的磁悬浮转子几何中心位移为变量，然而受位移传感器多谐波噪声(Sensor Runout)的影响，传感器输出的几何中心位移与实际几何中心位移存在偏差，两者之间关系为：

式(4)中x_s和y_s分别为x轴和y轴方向的位移传感器输出；k_s为位移传感器放大倍数；d_x和d_y分别为x轴和y轴方向的位移传感器多谐波噪声(Sensor Runout)分量，且表示为：

式(5)中σ_k和ξ_k分别为位移传感器多谐波噪声(Sensor Runout)第k次谐波分量的幅值和相位；N为谐波次数。

磁轴承控制器根据位移传感器输出信号与期望位置的偏差计算得到指令电流，经功放系统驱动使得磁轴承线圈产生控制电流。通常期望位置设置为零，因此x轴和y轴线圈电流i_cx和i_cy分别表示为：

式(6)中k_ad为AD采样系数；G_c(s)和G_w(s)分别为控制器和功率放大器的传递函数，分别表示为：

式(7)(8)中k_P，k_I和k_D分别为PID控制器的比例系数、积分系数和微分系数；k_w和ω_w分别为功放系统的放大倍数和截止角频率。

因此，包含转子不平衡和位移传感器多谐波噪声(Sensor Runout)的两自由度磁轴承系统动力学模型为：

根据图2的原理框图可知，磁轴承系统谐波电流与转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)之间的关系为：

T_o(s)＝1-k_hP(s)+k_adk_sk_iG_w(s)G_dis(s)P(s) (11)

式(10)(11)中

为磁悬浮转子自身对象特性函数；T_o(s)为原闭环系统的特征多项式。

由式(9)和式(10)可以看出，两自由度磁轴承系统x轴和y轴的的谐波电流产生原因和存在形式是相同的。因此，可以以x轴为例设计谐波电流抑制算法，y轴与x轴设计原则相同。

(2)基于并联式FDRC磁轴承谐波电流抑制设计

磁轴承系统谐波电流抑制目的就是使线圈电流为零，不产生电流刚度力。因此，本发明采用一种并联式FDRC与原磁轴承控制器并联的复合控制器实现谐波电流抑制。以磁轴承功放系统为被控对象，将磁轴承线圈电流采样值i_cx作为并联式FDRC控制器G_fdx(s)输入，将FDRC输出u_ix与原磁轴承控制器G_c(s)输出叠加后作为功放系统输入，以实现谐波电流抑制。并联式FDRC控制器G_fdx(s)表示为：

式(12)中τ_k为第k阶FDRC收敛系数，可正可负，决定着谐波电流抑制收敛速度与闭环系统的稳定性；Q_k(s)为第k阶FDRC补偿环节，保证闭环系统稳定性，提高系统稳定裕度；N为FDRC的阶数；G_f,k(s)为基本的FDRC且表示为：

式(13)中Ω为磁悬浮转子的转频。

为了便于设计和分析磁轴承系统谐波电流抑制控制器，将磁轴承功率放大器作为被控对象，磁轴承线圈电流作为被控变量，转子系统和原控制器等效为主控制器，并将转子不平衡和位移传感器谐波噪声(Sensor Runout)引起的系统扰动等效为功放系统的电流扰动。基于并联式FDRC的磁轴承谐波电流抑制等效原理图如图4所示，图中G_ex(s)和d_ix(s)分别为等效主控制器和功放系统干扰，且分别表示为：

d_ix(s)＝-k_adG_w(s)G_c(s)[k_sδ_x(s)+d_x(s)] (15)

因此，加入并联式FDRC后磁轴承闭环系统的灵敏度函数S_xn(s)为：

式(14)--(16)中S_xo(s)为原磁轴承系统的灵敏度函数，且

对比可知，加入FDRC谐波电流抑制前后系统灵敏度衰减函数B_x(s)为：

若实现前N阶谐波电流的抑制，灵敏度衰减函数B_x(s)需要满足：

式(18)中k≤N。由于Ω＜＜ω_w，功放系统可等效为比例环节，所以G_fdx(s)在ω＝kΩ处的幅值增益为无穷大，式(18)得到满足。因此只要保证闭环系统的稳定性，FDRC的加入能够有效地抑制磁轴承系统前N阶谐波电流。

(3)并联式FDRC参数设计及闭环系统稳定性分析

并联式FDRC参数设计实际上是确定各阶FDRC的收敛系数τ_k和补偿环节Q_k(s)，在保证闭环系统稳定性的前提下实现谐波电流抑制。各阶FDRC参数设计可以依次实现，首先分析一阶FDRC控制器G_fdx,1(s)＝τ₁G_f,1(s)Q₁(s)的参数设计。

加入G_fdx,1(s)后闭环系统的特征多项式为：

T_x,1(s)＝1+G_w(s)G_ex(s)+G_w(s)G_fdx,1(s) (19)

令

为原磁轴承系统特征多项式，与T_o(s)等效。

将G_fdx,1(s)＝τ₁G_f,1(s)Q₁(s)代入式(19)，则闭环系统特征方程可等效为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)+τ₁G_w(s)Q₁(s)(s+Ω)²＝0 (20)

因此，加入一阶FDRC控制器后闭环系统的特征根是关于τ₁的连续性函数。根据闭环根轨迹的性质，根轨迹起始于开环极点，即τ₁＝0时的根轨迹点；终止于开环零点，即τ₁＝∞时的根轨迹点。

当τ₁＝0时，式(20)改写为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)＝0 (21)

由式(21)可知，闭环系统的根轨迹点为原闭环系统的特征根，外加FDRC引入的一对虚轴极点s＝±jΩ。由于加入FDRC前闭环系统是稳定的，即T_x,0(s)的特征根都位于复平面的左半平面。考虑到s是随τ₁连续性变化，所以τ₁→0时，由FDRC引入的特征根应该位于s＝±jΩ为中心的邻域内，而其他特征根仍位于复平面的左半平面。

为了分析τ₁→0时，以s＝±jΩ为中心的邻域内特征根分布情况，分别讨论τ₁为正数和负数两种情况：

当τ₁＞0时，τ₁→0⁺，式(20)两边对τ₁求偏导可得：

当τ₁＝0，s＝jΩ时，根据式(22)可得：

式(23)中H_ix,0(s)为原系统函数且定义为：

为了保证由一阶FDRC控制器引入的特征根位于复平面的左半平面，式(23)的幅角需要满足：

式(25)中arg(·)表示求幅角；l为整数。因此需要选择合适的补偿环节Q₁(s)，使补偿后的系统函数H_ix,0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：

当τ₁＜0时，表示一阶FDRC输出与原磁轴承控制器输出相减。令τ′₁＝-τ₁，则式(20)表示的闭环系统特征方程可等效为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)-τ′₁G_w(s)Q₁(s)(s+Ω)²＝0 (27)

因此同理可得，当τ₁＜0时，τ₁→0^-，需要选择合适的补偿环节Q₁(s)，使补偿后的系统函数H_ix,0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：

当闭环系统已加入前(n-1)阶谐波电流抑制且系统稳定，加入任意n(2≤n≤N)阶谐波电流抑制FDRC控制器

此时闭环系统的特征方程为：

T_x,n(s)＝T_x,n-1(s)+G_w(s)G_fdx,n(s) (29)

式(29)中T_x,n-1(s)为含前(n-1)阶谐波电流抑制的磁轴承闭环系统特征多项式，且表示为：

根据一阶FDRC控制器收敛系数和补偿环节设计原则，同理可知任意第n阶FDRC控制器的补偿环节Q_n(s)设计应该满足相位条件：

式(31)中H_ix,n-1(s)为含前(n-1)阶谐波电流抑制的磁轴承闭环系统的系统函数，表示为：

综上所述，磁轴承系统谐波电流抑制各阶FDRC控制器参数设计步骤可归纳为：首先根据系统函数H_ix,n-1(s)(1≤n≤N)相频特性曲线判断收敛系数τ_n(1≤n≤N)的正负号；然后根据τ_n的符号设计Q_n(s)使H_ix,n-1(jω)Q_n(jω)在ω＝nΩ处满足能够保证闭环系统稳定的相角条件。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本专业领域技术人员公知的现有技术。

最后应当说明的是:以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制；尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者对部分技术特征进行等同替换；而不脱离本发明技术方案的精神，其均应涵盖在本发明请求保护的技术方案范围当中。

Claims (1)

1.一种基于并联式有限维重复控制的磁轴承系统谐波电流抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)建立含转子不平衡和位移传感器谐波噪声的两自由度磁轴承转子动力学模型

对于两自由度磁轴承系统，x轴和y轴两通道相互解耦，若x轴和y轴的位移刚度系数和电流刚度系数相同，当磁悬浮转子在平衡位置附近运动时，包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声的两自由度磁轴承转子动力学模型为：

式(1)中m为磁悬浮转子的质量；k_i和k_h分别为磁轴承系统的电流刚度系数和位移刚度系数；x_I和y_I分别为磁悬浮转子惯性中心在x轴和y轴方向的位移；δ_x和δ_y分别为x轴和y轴方向的转子不平衡分量；k_s为位移传感器放大倍数；d_x和d_y分别为x轴和y轴方向的位移传感器谐波噪声分量；k_ad为AD采样系数；G_c(s)和G_w(s)分别为磁轴承控制器和功率放大器的传递函数；

磁轴承系统x轴和y轴方向的谐波电流i_cx和i_cy与转子不平衡和位移传感器谐波噪声之间的关系为：

T_o(s)＝1-k_hP(s)+k_adk_sk_iG_w(s)G_dis(s)P(s) (3)

式(2)(3)中

为磁悬浮转子自身对象特性函数；T_o(s)为原闭环系统的特征多项式；

(2)基于并联式FDRC磁轴承谐波电流抑制设计

将磁轴承功率放大器作为被控对象，转子不平衡和位移传感器谐波噪声引起的系统扰动等效为功放系统的干扰电流，磁轴承线圈电流采样值作为并联式FDRC控制器输入，FDRC输出u_ix与原磁轴承控制器G_c(s)输出叠加后作为功放系统输入，以实现磁轴承谐波电流抑制；

基于并联式FDRC磁轴承谐波电流抑制设计为：

并联式FDRC控制器G_fdx(s)表示为：

式(4)中τ_k为第k阶FDRC收敛系数，可正可负；Q_k(s)为第k阶FDRC的补偿环节；N为FDRC的阶数；G_f,k(s)为基本的FDRC表示为：

式(5)中Ω为磁悬浮转子的转频；

加入并联式FDRC后磁轴承闭环系统的灵敏度函数S_xn(s)为：

式(6)中S_xo(s)为原磁轴承系统的灵敏度函数，S_xo(s)＝T_o ^-1(s)；G_ex(s)为等效主控制器

加入FDRC谐波电流抑制前后系统灵敏度衰减函数B_x(s)为：

(3)并联式FDRC参数设计

并联式FDRC参数设计是确定各阶FDRC的收敛系数τ_k和补偿环节Q_k(s)，磁轴承系统谐波电流抑制各阶FDRC控制器参数设计步骤包括：首先根据系统函数H_ix,n-1(s)相频特性曲线判断收敛系数τ_n的正负号；然后根据τ_n的符号设计补偿环节Q_n(s)使H_ix,n-1(jω)Q_n(jω)在ω＝nΩ处满足能够保证闭环系统稳定的相角条件，其中，N为并联式FDRC控制器的总阶数，Ω为磁悬浮转子转频，1≤n≤N；

并联式FDRC参数设计为：

1)一阶FDRC控制器G_fdx,1(s)＝τ₁G_f,1(s)Q₁(s)的参数设计：

加入G_fdx,1(s)后磁轴承系统闭环系统的特征多项式为：

T_x,1(s)＝1+G_w(s)G_ex(s)+G_w(s)G_fdx,1(s) (8)

令

为原磁轴承系统特征多项式，与T_o(s)等效；

将G_fdx,1(s)＝τ₁G_f,1(s)Q₁(s)代入(8)式，闭环系统特征方程等效为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)+τ₁G_w(s)Q₁(s)(s+Ω)²＝0 (9)

根据闭环根轨迹的性质，根轨迹起始于开环极点，即τ₁＝0时的根轨迹点；终止于开环零点，即τ₁＝∞时的根轨迹点；

当τ₁＝0时，闭环特征方程为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)＝0 (10)

当τ₁＞0时，τ₁→0⁺，闭环特征方程两边对τ₁求偏导可得：

当τ₁＝0，s＝jΩ时，由上式可得：

式(12)中

为原系统函数；

其中，式(12)中的幅角需要满足：

式(14)中arg(·)表示求幅角；l为整数；

补偿后的系统函数H_ix,0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：

当τ₁＜0时，表示一阶FDRC输出与原磁轴承控制器输出相减；令τ₁′＝-τ₁，则原闭环系统特征方程等效为：

(s²+Ω²)T_x,0(s)-τ′₁G_w(s)Q₁(s)(s+Ω)²＝0 (15)

当τ₁＜0时，τ₁→0^-，使补偿后的系统函数H_ix,0(s)在s＝jΩ处满足相位条件：

2)高阶FDRC控制器G_fdx,n(s)＝τ_nG_f,n(s)Q_n(s)的参数设计：

当闭环系统已加入前(n-1)阶谐波电流抑制且系统稳定，加入第n阶谐波电流抑制FDRC控制器

2≤n≤N，此时闭环系统的特征方程为：

T_x,n(s)＝T_x,n-1(s)+G_w(s)G_fdx,n(s) (17)

式(17)中T_x,n-1(s)为含前(n-1)阶谐波电流抑制的磁轴承闭环系统特征多项式，表示为：

根据一阶FDRC控制器收敛系数和补偿环节设计原则，第n阶FDRC控制器的补偿环节Q_n(s)设计满足相位条件：

式(19)中H_ix,n-1(s)为含前(n-1)阶谐波电流抑制的磁轴承闭环系统的系统函数，表示为：

磁轴承系统谐波电流抑制各阶FDRC控制器参数设计归纳为：首先根据系统函数H_ix,n-1(s)相频特性曲线判断收敛系数τ_n的正负号；然后根据τ_n的符号设计Q_n(s)使H_ix,n-1(jω)Q_n(jω)在ω＝nΩ处满足能够保证闭环系统稳定的相角条件，其中，1≤n≤N。

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