CN109062274A - 一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，该方法包括如下步骤：首先建立包含转子动不平衡和位移传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型；然后设计基于并联式复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制算法；最后根据复变量系统函数的双频Bode图设计同频和倍频振动力矩抑制器参数，保证闭环系统稳定性前提下实现强陀螺效应磁轴承系统振动力矩抑制。本发明采用并联式有限维重复控制克服了串联式在非谐波频率处信号放大、相位滞后而引起系统稳定性变差等缺点；利用复变量系统函数双频Bode图设计控制器参数，降低强陀螺效应下参数设计的复杂性；此外，充分考虑功放系统低通特性的影响，提高振动力矩抑制精度。

Description

一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法

技术领域

本发明属于磁轴承系统主动振动控制领域，具体涉及一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，用于包含转子不平衡和传感器谐波噪声的强陀螺效应磁轴承系统振动力矩抑制。

背景技术

磁轴承相对于传统的机械轴承、油膜轴承及滑动轴承，具有无机械接触、无磨损、长寿命和高精度等优点，最突出的是磁轴承可以调节自身刚度系数和阻尼系数，实现主动振动控制。通过主动振动控制，对磁悬浮转子施加控制力，使转子绕其几何轴转动，实现高精度控制；也可以实现磁悬浮转子绕惯性轴旋转，消除对外界振动的传递。磁轴承系统主动振动控制不仅可以提高磁轴承系统性能，而且对提高系统可靠性、降低磁轴承承载要求等方法都有着重大意义。

由于加工安装误差、材质不均匀、电子元器件非线性等机械与电气非理想特性，磁轴承系统存在着转子不平衡、位移传感器谐波噪声等振动源，从而使磁轴承系统对外传递出振动。转子不平衡包括静不平衡和动不平衡，静不平衡主要是转子的惯性轴相对于几何轴的偏移，即惯性轴中心与几何轴中心的间距，从而产生振动力；动不平衡是惯性轴相对于几何轴的偏移，即惯性轴与几何轴间的夹角，从而产生振动力矩。目前磁轴承主动振动控制多集中于转子静不平衡引起的振动力抑制，而对动不平衡引起的振动力矩抑制研究较少。陀螺效应是磁轴承系统固有特性，转子转速越高，陀螺效应越明显，对系统稳定性影响越严重，甚至会引起转子失稳。因此，高转速下的强陀螺效应更进一步加剧了磁轴承振动力矩抑制的难度。

转子动不平衡和位移传感器谐波噪声不仅会产生转速同频振动力矩，还会引起倍频振动力矩。对于永磁偏置混合磁轴承系统，两类振动源引起的振动力矩可分为电流刚度力矩和位移刚度力矩。目前通常是在谐波电流控制的基础上再进行位移刚度力矩的补偿，从而实现谐波振动力矩抑制。然而这类方法在进行位移刚度力矩补偿时，需要重新利用滤波器提取位移同频信号，增加计算量；同时还需要另外考虑磁轴承功放系统的低通特性引起的位移刚度力矩补偿误差。

磁轴承振动控制多采用重复控制算法，但是其抑制振动精度和系统稳定性与低通滤波器的截止频率设计有很大关系。低通滤波器的截止频率越高，对倍频分量抑制效果越好，但系统的稳定性越差。另外，磁轴承系统谐波振动力矩主要分布于转频相关的前几较低倍频分量处，只需要控制前几个倍频振动力矩即可。因此需要设计有限维重复控制来实现磁轴承系统振动力矩高精度抑制。为了实现对周期性干扰信号的抑制，通常将有限维重复控制与原系统控制器串联。然而磁轴承控制系统原控制器是以磁悬浮转子为被控对象，以磁悬浮转子位移为被控量，主要实现转子的稳定悬浮。为了实现磁轴承系统振动力矩抑制，需要以轴承力矩为被控量，无法采用通用的插入式串联有限维重复控制。此外，串联式有限维重复控制在非倍频处信号的幅值增益不为零，影响磁轴承系统振动力矩抑制精度；并且在非倍频处存在一定的相位滞后，对闭环系统的稳定影响较大。因此，需要改进有限维重复控制的形式，在保证闭环系统稳定性前提下实现高精度振动力矩抑制。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，发明一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，采用并联式复变量有限维重复控制器与原磁轴承控制器并联的方式构成复合控制器，根据复变量系统函数的双频Bode图进行控制器参数设计，在保证强陀螺效应磁轴承系统闭环稳定性的基础上实现高精度振动力矩抑制。

本发明解决上述的技术问题采用的技术方案是：一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，首先建立包含转子动不平衡和位移传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型；然后设计基于并联式复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制算法；最后根据复变量系统函数的双频Bode图分别设计同频和倍频振动力矩抑制器参数，在保证闭环系统稳定的前提下实现磁轴承系统振动力矩抑制。本发明的具体步骤如下：

(1)建立含转子动不平衡和位移传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型

根据陀螺技术方程可得包含转子动不平衡和传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型为：

式中J_rr和J_p分别为磁悬浮转子的赤道转动惯量和极转动惯量；Ω为磁悬浮转子转速；γ_I和η_I分别为磁悬浮转子绕x轴和y轴方向的转动在广义坐标系下的表示；l_m和l_s分别表示径向磁轴承中心和传感器检测中心到广义坐标系原点O的距离；k_h和k_i分别为磁轴承系统的位移刚度系数和电流刚度系数；k_s和k_ad分别为位移传感器放大倍数和AD采样系数；G_w(s)为功放系统的传递函数；G_dis(s)和G_cr(s)分别为分散控制传递函数和交叉反馈传递函数；和分别为x轴和y轴方向上的动不平衡量；h_srγ和h_srη分别为x轴和y轴转动方向上的位移传感器谐波噪声。

定义复系数变量，令：

式中j表示复数单位；c_I、和h_src分别表示磁悬浮转子复系数转动位移、动不平衡和传感器谐波噪声。

因此，磁悬浮转子转动系统改写成复系数形式为：

式中G_c(s)＝G_dis(s)+jG_cr(s)为磁悬浮转子转动系统的等效复系数控制器

以转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src为振动源输入，复系数广义力矩M_c可表示为：

式中，S_co(s)为磁悬浮转子转动系统的灵敏度函数。

由上式可以看出，转子动不平衡只引起同频振动力矩；位移传感器谐波噪声h_src不仅引起同频振动力矩，还引起倍频振动力矩。另外，从振动力矩产生途径分析，转子动不平衡不仅引起位移刚度力矩，还引起电流刚度力矩；位移传感器谐波噪声h_src只引起电流刚度力矩。

(2)设计基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制算法

磁轴承振动力矩抑制的目的是使转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src引起的位移刚度力矩和电流刚度力矩之和为零。因此本发明通过位移传感器输出和线圈电流i_c构建振动力矩M_c′，以振动力矩为控制目标，设计并联式复变量有限维重复控制器G_fc(s)，构成G_fc(s)与原转动系统控制器G_c(s)并联的复合控制器，最终将G_fc(s)与G_c(s)输出相叠加，以实现强陀螺效应磁轴承系统振动力矩抑制。

(3)设计复变量有限维重复控制器参数及分析系统稳定性

并联式复变量有限维重复控制器G_fc(s)参数设计关键是选取各阶有限维重复控制器G_fc,k(s)(k＝1,…,n)中的收敛系数τ_c,k和补偿环节Q_c,k(s)。对于并联式有限维重复控制，任意倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)(k＝1,…,n)都是在前(k-1)阶并联式有限维重复控制器基础上进行参数设计。当k＝1时，控制系统为原磁轴承控制系统；当k＞1时，控制系统包含前(k-1)倍频振动力矩抑制器。

定义复变量系统函数H_k-1(s)为：

根据复变量系统函数H_k-1(s)的双频Bode图判断收敛系数τ_c,k的正负号；然后根据τ_c,k的正负号设计补偿环节Q_c,k(s)，使补偿后的复变量系统函数H_k-1(s)Q_c,k(s)在s＝±jkΩ处满足：

式中arg(·)表示求幅角；l为整数。

本发明的原理是：转子动不平衡和位移传感器谐波噪声是引起磁轴承系统产生振动力矩的两个主要因素。转子动不平衡只引起同频振动力矩，而位移传感器谐波噪声不仅引起同频振动力矩，还引起倍频振动力矩。磁轴承振动力矩抑制的目的是使转子动不平衡和位移传感器谐波噪声引起的位移刚度力矩和电流刚度力矩之和为零。因此，磁轴承系统振动力抑制不仅要实现同频振动力抑制，还要实现高倍频振动力抑制。另外，磁轴承系统振动力矩信号频谱主要集中于转频相关的几个较低倍频处，只要消除主要的低倍频处振动力矩，就可实现高精度振动力矩抑制。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明采用并联式有限维重复控制与原磁轴承转动系统控制器相并联形成复合控制器，克服了传统串联式有限维重复控制放大非倍频处信号、在非倍频处存在相位滞后而引起系统稳定性变差等问题；

(2)本发明设计复变量有限维重复控制实现磁轴承振动力矩抑制，根据复变量系统函数的双频Bode图进行控制器参数设计和系统稳定性分析，降低了强陀螺效应磁轴承振动力矩抑制器参数设计难的问题；

(3)本发明利用双频Bode图进行控制器参数设计时引入系统函数，充分考虑了高速下磁轴承系统功放低通特性引起的幅值衰减与相位滞后对振动力矩抑制精度的影响。

附图说明

图1为本发明一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法的实现流程图；

图2为磁轴承控制系统结构示意图；

图3为含转子动不平衡和位移传感器谐波噪声的磁轴承转动系统等效复系数原理图；

图4为基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩控制原理图；

图5为基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩控制等效原理图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体的实施步骤对本发明做进一步说明。

如图1所示，本发明一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，其实现过程是：首先建立包含转子不平衡和位移传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型；然后设计基于并联式复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制算法；最后根据复变量系统函数的双频Bode图设计复变量有限维重复控制器的参数，在保证强陀螺效应磁轴承闭环系统稳定的前提下实现高精度振动力矩抑制。本发明具体实施步骤如下：

(1)建立含转子动不平衡和位移传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型

如图2所示，根据陀螺技术方程可得包含转子动不平衡和传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型为：

式中J_rr和J_p分别为磁悬浮转子的赤道转动惯量和极转动惯量；Ω为磁悬浮转子转速；γ_I和η_I分别为磁悬浮转子绕x轴和y轴方向的转动在广义坐标系下的表示；l_m和l_s分别表示径向磁轴承中心和传感器检测中心到广义坐标系原点O的距离；k_h和k_i分别为磁轴承系统的位移刚度系数和电流刚度系数；k_s和k_ad分别为位移传感器放大倍数和AD采样系数；为功放系统的传递函数；k_w和ω_m分别为功放系统的开环放大倍数和截止角频率；G_dis(s)和G_cr(s)分别为分散控制传递函数和交叉反馈传递函数；和分别为x轴和y轴方向上的动不平衡量，分别表示为：

式中θ和ψ分别为磁悬浮转子动不平衡量的幅值和初始相位。由式(2)可以，转子动不平衡只包含转子转频同频分量。

式(1)中h_srγ和h_srη分别为x轴和y轴转动方向上的位移传感器谐波噪声，分别表示为：

式中h_srax、h_srbx、h_sray和h_srby分别为ax、bx、ay和by四个通道的位移传感器谐波噪声分量；s_ai和s_bi分别为A、B两端传感器谐波噪声的第i倍频分量的幅值；ξ_asi和ξ_bsi分别为传感器谐波噪声的第i倍频分量的初始相位；n为正整数，表示倍频数。由式(4)可知，位移传感器谐波噪声不仅包含转子转频同频成分，还包括倍频成分。

定义复系数变量，令：

式中j表示复数单位；c_I、和h_src分别表示磁悬浮转子复系数转动位移、动不平衡和传感器谐波噪声。

因此，式(1)表示的磁悬浮转子转动系统改写成复系数形式为：

式中G_c(s)＝[G_dis(s)+jG_cr(s)]为磁悬浮转子转动系统的等效复系数控制器

则含转子动不平衡和位移传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统等效复系数原理图如图3所示。由图3可知，以转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src为振动源输入，复系数广义力矩M_c可表示为：

式中，S_co(s)为磁悬浮转子转动系统的灵敏度函数，且表示为：

式中P_c(s)为转动子系统对象传递函数，表示为：

由式(7)可以看出，转子动不平衡只引起同频振动力矩；位移传感器谐波噪声h_src不仅引起同频振动力矩，还引起倍频振动力矩。另外，从振动力矩产生途径分析，转子动不平衡不仅引起位移刚度力矩，还引起电流刚度力矩；位移传感器谐波噪声h_src只引起电流刚度力矩。

(2)设计基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制算法

磁轴承振动力矩抑制的目的是使转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src引起的位移刚度力矩和电流刚度力矩之和为零。因此本发明通过位移传感器输出和线圈电流i_c构建振动力矩M′_c，以振动力矩为控制目标，设计并联式复变量有限维重复控制器G_fc(s)，构成G_fc(s)与原转动系统控制器G_c(s)并联的复合控制器，将G_fc(s)与G_c(s)输出相叠加，实现强陀螺效应磁轴承振动力矩抑制，其原理框图如图4所示。

图4中，复变量有限维重复控制器G_fc(s)的表达式为：

式中τ_c,k为第k阶有限维重复控制器G_fc,k(s)的收敛系数，决定着闭环系统的稳定性；Q_c,k(s)为第k阶G_fc,k(s)的补偿环节，通常为超前校正环节或者比例环节。

为了便于系统性能分析和有限维重复控制器G_fc(s)参数设计，将图4的振动力矩抑制原理框图等效为以转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src为输入，振动力矩为输出的控制原理图，如图5所示。

由图5可知，此时磁轴承振动力矩M_c(s)为：

式中T_c(s)为整个转动系统加入振动力矩抑制后的系统特征多项式，表示为：

由式(12)可知：

式中，1≤k≤n。因此只要保证加入振动力矩控制器G_fc(s)后闭环系统的稳定性，就能实现磁轴承系统前n倍频振动力矩抑制。

(3)设计复变量有限维重复控制器参数及分析系统稳定性

闭环系统稳定性关键是设计G_fc(s)中各阶有限维重复控制器G_fc,k(s)的收敛系数τ_c,k和补偿环节Q_c,k(s)。本发明将依次研究同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)和倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)(k＝2,…,n)的参数设计：

①同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)参数设计

由图5可得，加入同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)后，闭环系统的特征多项式为：

式中T₀(s)为原磁轴承转动系统的特征多项式。

将式(17)代入式(15)可得闭环系统的特征方程为：

(s²+Ω²)T₀(s)+τ_c,1G_w(s)Q_c,1(s)(s+Ω)²＝0 (18)

由式(18)可知，闭环系统的特征根s是关于收敛系数τ_c,1的连续函数。根据闭环系统根轨迹的性质，根轨迹起始于开环极点，即τ_c,1＝0的根轨迹点；终止于开环零点，即τ_c,1＝∞时的根轨迹点。

当τ_c,1＝0时，式(18)表示的特征方程为：

(s²+Ω²)T₀(s)＝0 (19)

由式(19)可知，系统的根轨迹起始点除了原闭环系统的特征根外，还有G_fc,1(s)加入后引入的一对虚轴上的极点s＝±jΩ。

由于加入同频振动力矩抑制前闭环系统是稳定的，所以T₀(s)的特征根都位于复平面的左半平面。另外，s是关于收敛系数τ_c,1的连续函数，当τ_c,1→0时，由T₀(s)特征根出发的特征根仍位于复平面的左半平面，而G_fc,1(s)引入的特征根应该位于以s＝±jΩ为中心的邻域内。因此，闭环系统的稳定性取决于以s＝±jΩ为中心邻域内的特征根分布情况。

为了分析τ_c,1→0，以s＝±jΩ为中心邻域内的特征根分布情况，分别讨论τ_c,1为正数和负数两种情况：

当τ_c,1＞0时，τ_c,1→0⁺，式(18)两边对τ_c,1求偏导可得：

当τ_c,1＝0，s＝±jΩ时，由式(20)可得：

式中，H₀(s)为复变量系统函数且表示为：

为了保证加入同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)后闭环系统的稳定性，式(21)幅角应该满足：

式中arg(·)表示求幅角，l为整数。

因此，为了保证闭环系统的稳定性，需要选取合适的补偿环节Q_c,1(s)，使补偿后的系统函数H₀(s)Q_c,1(s)在s＝±jΩ处应该满足：

由式(16)和式(22)可知，磁轴承转动系统的系统函数H₀(s)为复系数传递函数。由于复系数传递函数的正负频率特性曲线关于零频率点是不对称的，因此补偿环节Q_c,1(s)参数设计及闭环系统的稳定性分析需要全面考虑正负频率Bode图，即双频Bode图。

同理，当τ_c,1＜0时，τ_c,1→0-时，应该选取合适的补偿环节Q_c,1(s)，使补偿后的系统函数H₀(s)Q_c,1(s)在s＝±jΩ处应该满足：

综上所述，同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)参数设计步骤：首先根据复变量系统函数H₀(s)双频Bode图判断收敛系数τ_c,1的正负号；然后根据τ_c,1的正负号设计补偿环节Q_c,₁(s)，使补偿后的复变量系统函数满足式(24)或式(25)的相位条件。

由式(22)可知，振动力矩抑制参数设计时考虑到了功放系统G_w(s)的频率特性对振动力矩控制的影响，避免了功放低通特性引起的振动力矩抑制精度随着转子转速升高而降低的问题。

②倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)参数设计

倍频振动力矩抑制实质上是倍频电流控制。对于并联式有限维重复控制，任意高倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)(k＝2,…,n)都是在前(k-1)阶并联式有限维重复控制器基础上进行参数设计。此时，含任意前(k-1)倍频振动力矩抑制的磁轴承复变量系统函数为：

因此，任意第k(2≤k≤n)倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)参数设计的步骤是：首先根据复变量系统函数H_k-1(s)的双频Bode图相频特性确定收敛系数τ_c,k的正负号；然后设计补偿环节Q_c,k(s)，使补偿后的系统函数在s＝±jkΩ满足：

因此，在同频和倍频振动力矩抑制器参数设计保证闭环系统稳定前提下，最终实现磁轴承系统振动力矩抑制。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本专业领域技术人员公知的现有技术。

Claims (3)

1.一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)建立含转子动不平衡和位移传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统动力学模型包含转子动不平衡和传感器谐波噪声的磁悬浮转子转动系统复系数动力学模型为：

式中J_rr和J_p分别为磁悬浮转子的赤道转动惯量和极转动惯量；Ω为磁悬浮转子转速；l_m和l_s分别表示径向磁轴承中心和传感器检测中心到广义坐标系原点O的距离；k_h和k_i分别为磁轴承系统的位移刚度系数和电流刚度系数；k_s和k_ad分别为位移传感器放大倍数和AD采样系数；G_w(s)为功放系统的传递函数；G_c(s)为磁悬浮转子转动系统的等效复系数控制器；c_I、δ_cI和h_src分别表示磁悬浮转子复系数转动位移、动不平衡和传感器谐波噪声；

以转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src为振动源输入，复系数广义力矩M_c可表示为：

式中，S_co(s)为磁悬浮转子转动系统的灵敏度函数；

(2)设计基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制算法

转子动不平衡只引起同频振动力矩，位移传感器谐波噪声h_src不仅引起同频振动力矩，还引起倍频振动力矩；另外，从振动力矩产生途径分析，转子动不平衡不仅引起位移刚度力矩，还引起电流刚度力矩，位移传感器谐波噪声h_src只引起电流刚度力矩；磁轴承振动力矩抑制的目的是使转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src引起的位移刚度力矩和电流刚度力矩之和为零；因此本发明通过位移传感器输出和线圈电流i_c构建振动力矩M′_c，以振动力矩为控制目标，设计并联式复变量有限维重复控制器G_fc(s)，构成G_fc(s)与原转动系统控制器G_c(s)并联的复合控制器，最终将G_fc(s)与G_c(s)输出相叠加，实现磁轴承系统振动力矩抑制；

(3)设计复变量有限维重复控制器参数及分析系统稳定性

并联式复变量有限维重复控制器G_fc(s)参数设计关键是选取G_fc,k(s)(k＝1,…,n)中的收敛系数τ_c,k和补偿环节Q_c,k(s)；根据复变量系统函数H_k-1(s)的双频Bode图判断收敛系数τ_c,_k的正负号；然后根据收敛系统τ_c,k的正负号设计补偿环节Q_c,k(s)以保证闭环系统的稳定性，使补偿后的复变量系统函数H_k-1(s)Q_c,k(s)在s＝±jkΩ处满足：

式中arg(·)表示求幅角；l为整数。

2.根据权利要求1所述的一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，其特征在于：步骤(2)提出的基于并联式复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制算法：转子动不平衡和位移传感器谐波噪声引起的磁轴承振动力矩不仅包含与转子转速同频成分，还包含倍频成分；振动力矩信号频谱主要集中于转速相关的最初几个较低倍频处，只需要消除主要的低倍频成分所带来的系统振动，就可实现高精度振动抑制效果；磁轴承振动力矩抑制的目的就是使转子动不平衡和位移传感器谐波噪声h_src产生的振动力矩之和为零；本发明通过位移传感器输出和线圈电流i_c构建振动力矩M′_c，以振动力矩为控制目标，设计并联式复变量有限维重复控制器G_fc(s)，构成G_fc(s)与原转动系统控制器G_c(s)并联的复合控制器，最终将G_fc(s)与G_c(s)输出相叠加，使转子动不平衡与位移传感器谐波噪声产生的振动力矩之和为零，从而实现磁轴承系统振动力矩抑制；

并联式复变量有限维重复控制器G_fc(s)的表达式为：

式中n为有限维重复控制器阶数，由振动力矩抑制精度决定；τ_c,k为第k阶有限维重复控制器G_fc,k(s)的收敛系数，决定着闭环系统的稳定性；Q_c,k(s)为补偿环节，通常为超前校正环节或者比例环节；

加入并联式有限维重复控制器G_fc(s)后，磁轴承振动力矩M_c(s)为：

式中，T_c(s)为整个转动系统加入振动力矩抑制后的系统特征多项式，表示为：

式中，P_c(s)为转动子系统对象传递函数；

由闭环系统特征多项式T_c(s)可知：

式中，1≤k≤n；因此只要保证加入振动力矩控制器G_fc(s)后闭环系统的稳定性，就能实现磁轴承系统前n倍频振动力矩抑制。

3.根据权利要求1所述的一种基于复变量有限维重复控制的磁轴承振动力矩抑制方法，其特征在于：所述步骤(3)复变量有限维重复控制器的参数设计及系统稳定性分析：磁轴承转动系统的系统函数H_k-1(s)为复系数传递函数，复系数传递函数的正负频率特性曲线关于零频率点是不对称的，控制器参数设计及闭环系统的稳定性分析需要全面考虑双频Bode图；本发明根据复变量系统函数的双频Bode图，对各阶有限维重复控制器参数分别设计，在保证强陀螺效应磁轴承系统稳定性的前提下实现振动力矩抑制；

各阶有限维重复控制器G_fc,k(s)(k＝1,…,n)参数设计关键是选取收敛系数τ_c,k和补偿环节Q_c,k(s)，本发明将依次研究同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)和倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)(k＝2,…,n)的参数设计；

(1)同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)参数设计

加入同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)后，闭环系统的特征多项式为：

式中为原磁轴承转动系统特征多项式；

将G_fc,1(s)的表达式代入特征多项式，可得闭环系统的特征方程为：

(s²+Ω²)T₀(s)+τ_c,1G_w(s)Q_c,1(s)(s+Ω)²＝0

由上式可知，闭环系统的特征根s是关于收敛系数τ_c,1的连续函数；根据闭环系统根轨迹的性质，根轨迹起始于开环极点，即τ_c,1＝0的根轨迹点；终止于开环零点，即τ_c,1＝∞时的根轨迹点；

当τ_c,1＝0时，闭环系统特征方程为：

(s²+Ω²)T₀(s)＝0

由上式可知，系统的根轨迹起始点除了原闭环系统的特征根外，还有G_fc,1(s)加入后引入的一对虚轴上的极点s＝±jΩ；

由于加入同频振动力矩抑制前闭环系统是稳定的，所以T₀(s)的特征根都位于复平面的左半平面；另外，s是关于收敛系数τ_c,1的连续函数，当τ_c,1→0时，由T₀(s)特征根出发的特征根仍位于复平面的左半平面，而G_fc,1(s)引入的特征根应该位于以s＝±jΩ为中心的邻域内；因此，闭环系统的稳定性取决于以s＝±jΩ为中心邻域内的特征根分布情况；

为了分析τ_c,1→0，以s＝±jΩ为中心邻域内的特征根分布情况，分别讨论τ_c,1为正数和负数两种情况：

当τ_c,1＞0时，τ_c,1→0⁺，特征方程两边对τ_c,1求偏导可得：

当τ_c,1＝0，s＝±jΩ时，由上式可得：

式中，为复变量系统函数；

为了保证加入同频振动力矩抑制器G_fc,1(s)后闭环系统的稳定性，上式幅角应该满足：

式中arg(·)表示求幅角，l为整数；

因此，为了保证闭环系统的稳定性，需要选取合适的补偿环节Q_c,1(s)，使补偿后的系统函数H₀(s)Q_c,1(s)在s＝±jΩ处应该满足：

磁轴承转动系统的系统函数H₀(s)为复系数传递函数，由于复系数传递函数的正负频率特性曲线关于零频率点是不对称的，因此补偿环节Q_c,1(s)参数设计及闭环系统的稳定性分析需要全面考虑正负频率Bode图，即双频Bode图；

同理，当τ_c,1＜0时，τ_c,1→0^-时，应该选取合适的补偿环节Q_c,1(s)，使补偿后的系统函数H₀(s)Q_c,1(s)在s＝±jΩ处应该满足：

(2)倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)参数设计

倍频振动力矩抑制实质上是倍频电流抑制，对于并联式有限维重复控制，任意高倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)(k＝2,…,n)都是在前(k-1)阶并联式有限维重复控制器基础上进行参数设计的；此时，含任意前(k-1)倍频振动力矩抑制的磁轴承系统函数为：

因此，任意第k(2≤k≤n)倍频振动力矩抑制器G_fc,k(s)参数设计的步骤是：首先根据复变量系统函数H_k-1(s)的双频Bode图相频特性确定收敛系数τ_c,k的正负号；然后设计补偿环节Q_c,k(s)，使补偿后的系统函数H_k-1(s)Q_c,k(s)在s＝±jkΩ满足：

因此，在同频和高倍频振动力矩抑制器参数设计保证闭环系统稳定前提下，最终实现强陀螺效应磁轴承系统振动力矩抑制。