CN111708278B - 一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法，首先建立含有不平衡量的磁悬浮转子系统动力学模型，分析了高速转子的不平衡特性，介绍了其工作原理，利用转子位移传感器输出的径向X、Y两通道位移信号彼此正交的特性，施加不平衡量到电流的前馈校正来自适应地补偿磁悬浮转子系统残余的位移刚度力。本发明同时引入算法对两通道进行实时补偿，减小了运算量，提高了系统的动态特性。此外，在消除同频电流的同时，抵消了高速时功放低通特性带来的不利影响，能实现同频振动力的高精度抑制。

Description

一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮转子同频振动力抑制的技术领域，具体涉及一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法，由于高速下功放低通特性使系统存在较严重的幅值衰减和相位滞后，因此本发明可以补偿功放低通特性的影响，对磁悬浮转子系统中的同频振动力进行高精度抑制，为磁悬浮控制力矩陀螺在敏捷机动卫星和大型空间站上的应用提供相应的技术支持。

背景技术

控制力矩陀螺具有输出力矩大、动态响应好等优点，已经成为大型卫星平台等航天器进行姿态控制的关键执行机构。传统的机械支撑控制力矩陀螺在高速运行时，转子的不平衡振动会直接通过基座传递到航天器平台导致其发生微抖动，严重影响其控制精度。为了最大程度地消除微抖动，我们必须对转子的不平衡振动进行抑制。而磁悬浮控制力矩陀螺采用磁悬浮技术支承，具有无摩擦、寿命长、阻尼可调等优点，是航天器平台的理想执行机构。

磁悬浮转子在高速运转时，将会产生振幅与转子转速的平方成正比，频率与转子转速相同的同频振动力。它主要由两部分组成，一部分是由于位移信号中的同频成分通过控制系统产生的同频电流刚度力，另一部分是磁轴承控制系统中的残余的同频位移刚度力。为了实现航天器高精度姿态控制，我们必须采取措施抑制转子的不平衡振动。人们通常利用动平衡技术在物理上消除转子的质量不平衡，限制其在很小的一个范围内。使用时间的增加、工作环境的不同及转子材料的性能变化都会给转子带来新的不平衡质量，这使得最初的动平衡效果大打折扣。

磁轴承振动控制领域解决不平衡振动主要有两类方法：第一种不平衡补偿是指通过增大控制电流来产生与转子自身不平衡振动力大小相等、方向相反的不平衡补偿力从而减小转子位移的振幅，并使转子绕几何轴旋转。这种方式功耗较大，且磁轴承定子会向基座传递较大的不平衡振动力。第二种自动平衡控制是在位移信号进入控制器之前，通过滤波或加入补偿信号的方法来消除位移信号中的振荡，控制转子在磁间隙内绕其惯性主轴旋转，实现轴承力最小补偿,从而从根源上消除转子的不平衡振动。

自动平衡控制最常采用的方法是同频电流消除法，通过消除磁轴承功放的同频电流，有效抑制了转子的不平衡振动。但这是以衰减控制电流中的同频分量为控制目标，而非抑制转子不平衡振动力。由于位移刚度力的存在，仅仅是同频电流的控制并不能完全消除不平衡振动力。

发明内容

本发明的目的为：克服现有技术的不足，发明一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法，考虑到高速下功放环节具有幅值衰减和相位滞后的低通特性，利用最小均方差算法，使输出的前馈补偿量自适应产生补偿位移刚度力的控制电流，实现了磁悬浮转子系统同频振动力的高精度补偿。

本发明采用的技术方案为：一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法，包括如下步骤：

步骤(1)建立含有不平衡量的磁悬浮转子系统动力学模型

设转子中心面为Π，径向磁轴承A、B的中心面分别为Π₁、Π₂磁轴承A、B定子中心的连线与转子中心面Π交于点N；点O、O₁、O₂分别是转子几何轴g与转子中心面Π、磁轴承A中心面Π₁、磁轴承B中心面Π₂的交点，点C、C₁、C₂分别是转子中心惯性轴I与面转子中心面Π、磁轴承A中心面Π₁、磁轴承B中心面Π₂的交点；过点C作平行于转子几何轴g的辅助线，与面Π₁、Π₂的交点分别记作O₁ ^*和O₂ ^*，两组位移传感器对称分布于转子圆盘的两端；因为转子为对称结构，根据坐标系NXYZ，在X方向上对其进行同频振动力抑制的分析和研究，

由牛顿第二定律可知，在X方向上有：

式中m为转子质量，x_h为转子在X方向上的位移，

表示转子在X方向上的加速度，f_x为磁轴承在X方向上的磁轴承力；

由虚位移法解出磁轴承力是关于控制电流和转子位移的二元二次函数，具有在平衡中心点局部范围线性化的特征，假设径向通道具有相同的磁力参数，采用泰勒展开得到近似线性方程：

f_x≈k_i·i_x[x_h+Θ_x(t)]+k_h·(x_h+Θ_x(t))

式中k_i和k_h分别为标称电流刚度和标称位移刚度，t为时间，Θ_x(t)表示与转速同频的不平衡扰动量，i_x[x_h+Θ_x(t)]为X方向上不平衡量经过功率放大器产生的控制电流，磁轴承控制系统中电流刚度力和位移刚度力均含有同频成分；

步骤(2)基于最小均方差前馈补偿算法针对磁悬浮转子同频振动力进行抑制

首先通过陷波频率等于转频的陷波器去除掉反馈位移信号的同频成分，使得输出控制电流不产生同频电流刚度力；然后根据磁悬浮转子的特性，X和Y方向的位移传感器信号彼此正交，因此将X和Y方向，即X和Y这两个通道的位移信号作为输入而引入到算法当中，输出相应的两个补偿信号则分别作用于X和Y通道，减小运算量，又考虑了X、Y通道的功放低通特性；利用最小均方差算法进行自适应调节从而输出前馈补偿量，前馈补偿量通过功放环节产生相应的控制电流，控制电流作用于磁悬浮转子系统用于补偿残余的位移刚度力，从而更加精确地对两个通道的同频振动力进行抑制。

进一步的所述的步骤(2)中基于最小均方差前馈补偿算法为：

根据磁轴承力的线性表达式，对X、Y两通道的轴承力进行拉普拉斯变换，*(s)表示*的时间连续域形式，可得：

式中，f_x和f_y分别为磁轴承在X、Y通道处的合力，i_x(s)、i_y(s)、h_x(s)、h_y(s)分别为X、Y通道的控制电流和转子位移的拉普拉斯变换；

若要完全消除同频轴承力，根据拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系，将时域变换为频域，令s＝jw，则有：

式中，j为虚数单位，w为转子频率；

将两通道轴承力的表达式代入到上式方程组中得到抵消同频位移刚度力的实际输出补偿电流：

式中，x、y分别为两通道位移信号中提取出来的同频成分；k_s为位移传感器增益；

抵消系统中残余同频位移刚度力的期望补偿电流i_x(jw)、i_y(jw)表示为：

式中，r₁、r₂为前馈补偿量，G_w(jw)为功率放大器在转子频率处的传递函数；

将功放环节G_w(jw)的频率特性表示为：

式中，k_w为功放环节的增益系数，θ_w为功放环节的相位滞后角；k_w随w的增大而减小，θ_w随w的增大而增大；

设在最小均方差算法中在k个采样点处输入的权值为W_k＝[w_1k,w_2k]^T，则有：

式中r₁(k)、x(k)分别表示第k个采样点处X通道的前馈补偿量和位移，r₂(k)、y(k)分别表示第k个采样点处Y通道的前馈补偿量和位移，w_1k、w_2k表示第k个采样点处分别作用于两个通道的权值系数；

将前馈补偿量r₁(k)、r₂(k)的表达式代入期望补偿电流i_x(jw)、i_y(jw)的表达式中，*(z)表示*的时间离散域形式，得：

式中I_x(k)、I_y(k)分别为两通道第k个采样点处产生的实际电流，G_w(z)为功率放大器传递函数的离散域形式，U_k＝[x(k),y(k)]^T和V_k＝[y(k),-x(k)]^T均表示第k个采样点处取值集合；

令e₁(k)、e₂(k)分别为第k个采样点处产生的实际电流I_x(k)、I_y(k)与期望补偿电流i_x(k)、i_y(k)的差值：

式中i_x(k)、i_y(k)分别表示第k个采样点处的期望补偿电流；

令

联立差值e₁(k)、e₂(k)和实际电流I_x(k)、I_y(k)的表达式，得出J的数学期望为：

E[J]为权系数W_k的二次型函数，具有碗状形曲面，通过不断地调节W_k以寻找碗的底部，求得E[J]的最小值，即能输出补偿电流抵消同频位移刚度力，实现同频振动力的抑制。

本发明的基本原理为：磁悬浮控制力矩陀螺采用磁悬浮轴承支承，同频振动会通过磁轴承传递给航天器基座，严重影响航天器平台的成像质量。而同频振动的主要来源是转子的质量不平衡。而当转子高速运转时，功放环节将会产生幅值衰减和相位滞后，影响系统的动态特性，严重时会导致系统失稳。本发明针对同频振动力进行抑制，减小功放低通特性的影响。通过建立含有不平衡量的磁悬浮转子系统动力学模型，分析了同频振动力的产生，一种基于最小均方差前馈补偿算法的磁悬浮转子同频振动力抑制方法，利用转子位移传感器输出的径向X、Y两通道位移信号彼此正交的特性，施加不平衡量到电流的前馈校正来自适应地补偿磁悬浮转子系统残余的位移刚度力。该方法能够补偿高速下功放的低通特性，并最终实现同频振动的高精度抑制。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明为了能同时对径向X、Y两通道进行同频振动力的高精度抑制，本发明提出一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法，将最小均方差算法引入到控制系统中，通过将位移信号中的同频成分与提取出的同频电流成分作差，自适应地输出能够补偿同频位移刚度力的补偿电流，可以实现质量不平衡下同频振动力的高精度抑制；

(2)本发明将磁轴承控制系统中的功放环节引入到最小均方差算法的闭环中，功放在高速下产生的幅值衰减和相位滞后等低通特性将会通过算法的闭环进行自适应地调节和补偿，最终能够实现同频振动力的高精度抑制。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为磁悬浮转子结构示意图；

图3为两通道自适应最小均方差算法结构框图；

图4为两通道自适应最小均方差算法原理框图。

附图标记说明：1为磁悬浮转子，2为径向位移传感器，3为径向磁轴承，4为惯性轴，5为几何轴。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

如图1所示，本发明一种基于最小均方差前馈补偿算法的磁悬浮转子同频振动力抑制方法的实施过程如下：首先建立含有不平衡量的磁悬浮转子系统动力学模型，分析同频振动力的来源，设计出一种基于最小均方差前馈补偿算法的磁悬浮转子同频振动力抑制方法。

步骤(1)建立含有不平衡量的磁悬浮转子系统动力学模型

设转子中心面为Π，径向磁轴承A、B的中心面分别为Π₁、Π₂磁轴承A、B定子中心的连线与转子中心面Π交于点N；点O、O₁、O₂分别是转子几何轴g与转子中心面Π、磁轴承A中心面Π₁、磁轴承B中心面Π₂的交点，点C、C₁、C₂分别是转子中心惯性轴I与面转子中心面Π、磁轴承A中心面Π₁、磁轴承B中心面Π₂的交点；过点C作平行于几何轴g的辅助线，与面Π₁、Π₂的交点分别记作O₁ ^*和O₂ ^*，两组位移传感器对称分布于转子圆盘的两端；因为转子为对称结构，根据坐标系NXYZ，在X方向上对其进行同频振动力抑制的分析和研究，

由牛顿第二定律可知，在X方向上有：

式中m为转子质量，x_h为转子在X方向上的位移，

表示转子在X方向上的加速度，f_x为磁轴承在X方向上的磁轴承力；

由虚位移法解出磁轴承力是关于控制电流和转子位移的二元二次函数，具有在平衡中心点局部范围线性化的特征，假设径向通道具有相同的磁力参数，采用泰勒展开，忽略高阶小量，近似为线性方程：

f_x≈k_i·i_x[x_h+Θ_x(t)]+k_h·(x_h+Θ_x(t))

式中k_i和k_h分别为标称电流刚度和标称位移刚度，t为时间，Θ_x(t)表示与转速同频的不平衡扰动量，i_x[x_h+Θ_x(t)]为X方向上不平衡量经过功率放大器产生的控制电流，磁轴承控制系统中电流刚度力和位移刚度力均含有同频成分；

(2)设计一种基于最小均方差前馈补偿算法针对磁悬浮转子同频振动力进行抑制

如图3所示，根据磁悬浮转子的特性，X和Y方向的位移传感器信号彼此正交，可以将这两个通道的位移信号通过陷波频率为转频的常规陷波器将同频位移信号x和y提取出来并作为输入而引入到自适应最小均方差算法当中，则陷波器输出的d_x和d_y位移信号不含同频成分，经过功放输出相应的电流信号也不含同频成分，故同频电流刚度力被消除；若要消除同频位移刚度力，则需要将功放输出的控制电流I_x和I_y经过带通频率为转频的常规带通滤波器提取出同频补偿电流，该同频补偿电流用于补偿参与的位移刚度力；将此同频补偿电流与同频位移信号共同输入至自适应最小均方差算法，算法内部调节因子将会根据闭环系统同频位移刚度力为零的条件进行自适应调节，输出相应的两个前馈补偿信号r₁和r₂分别作用于X和Y通道，前馈补偿量由功放环节产生相应的控制电流，控制电流作用于磁悬浮转子系统用于补偿残余的位移刚度力，从而更加精确地对两个通道的同频振动力进行抑制。

1、前馈补偿信号分析

根据磁轴承力的线性表达式，对X、Y两通道的轴承力进行拉普拉斯变换，*(s)表示*的时间连续域形式，可得：

式中，f_x和f_y分别为磁轴承在X、Y通道处的合力，i_x(s)、i_y(s)、h_x(s)、h_y(s)分别为X、Y通道的控制电流和转子位移的拉普拉斯变换；

图3中x、y分别为两通道位移信号中提取出来的同频成分，d_x、d_y则为两通道不含同频成分的位移信号，G_c(s)、G_w(s)、G_p(s)分别为系统控制器、功放环节、转子系统的传递函数的拉普拉斯变换。根据拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系，将时域变换为频域，令s＝jw，即有下述方程组成立：

式中，j为虚数单位，w为转子频率，k_s为位移传感器增益；

控制器G_c(s)将输出不含同频成分的控制信号，则同频电流刚度力被消除。而残余的同频位移刚度力需要通过最小均方差前馈补偿算法来消除。若要完全消除同频轴承力，则有：

将两通道轴承力的表达式代入到上式方程组中得到抵消同频位移刚度力的实际输出补偿电流：

式中，x、y分别为两通道位移信号中提取出来的同频成分；k_s为位移传感器增益；

根据位移传感器X、Y两通道输出位移信号具有幅值相等，相角相差90°的特性，令：

式中A为幅值，θ为相角；

图3中，r₁、r₂为前馈补偿量，经过功放环节将产生用来抵消系统中残余同频位移刚度力的期望补偿电流i_x(jw)、i_y(jw)可表示为：

式中，r₁、r₂为前馈补偿量，G_w(jw)为功率放大器在转子频率处的传递函数；

可将功放环节G_w(jw)的频率特性表示为：

式中，k_w为功放环节的增益系数，θ_w为功放环节的相位滞后角；k_w随w的增大而减小，θ_w随w的增大而增大；

若此时期望补偿电流i_x(jw)、i_y(jw)等于实际输出电流I_x(jw)、I_y(jw)，则能求出前馈补偿量；将传感器输出的同频位移表达式和功放环节的频率特性表达式代入到实际输出电流表达式中可得前馈补偿量为：

为了将系统通过计算机实现，现将连续域转换为离散域。假设系统的采样间隔为T，上式可离散化为：

此时有：

式中k_i、k_h、k_s为常量，*(kT)为*在第kT时刻的取值，由于功放环节未知，即k_w、θ_w为未知量。x(kT)、y(kT)可以通过对传感器检测出来的位移信号进行滤波后得出。为了得到前馈补偿量r₁、r₂，核心就是要求出v₁、v₂；

2、最小均方差算法分析

设在最小均方差算法中在k个采样点处输入的权值为W_k＝[w_1k,w_2k]^T，根据图4，则有：

式中r₁(k)、x(k)分别表示第k个采样点处X通道的前馈补偿量和位移，r₂(k)、y(k)分别表示第k个采样点处Y通道的前馈补偿量和位移，w_1k、w_2k表示第k个采样点处分别作用于两个通道的权值系数；

将前馈补偿量r₁(k)、r₂(k)的表达式代入期望补偿电流i_x(jw)、i_y(jw)的表达式中，*(z)表示*的时间离散域形式，得：

式中I_x(k)、I_y(k)分别为两通道第k个采样点处产生的实际电流，G_w(z)为功率放大器传递函数的离散域形式，U_k＝[x(k),y(k)]^T和V_k＝[y(k),-x(k)]^T均表示第k个采样点处取值集合；

令e₁(k)、e₂(k)分别为第k个采样点处产生的实际电流I_x(k)、I_y(k)与期望补偿电流i_x(k)、i_y(k)的差值：

式中i_x(k)、i_y(k)分别表示第k个采样点处的期望补偿电流；

令

联立差值e₁(k)、e₂(k)和实际电流I_x(k)、I_y(k)的表达式，得出J的数学期望为：

E[J]为权系数W_k的二次型函数，具有碗状形曲面，通过不断地调节W_k以寻找碗的底部，求得E[J]的最小值。

3、收敛性分析

基于最速下降梯度搜索：

W_k+1＝W_k-ε·▽J

式中ε＞0为正常数，是W_k调节法则中的收敛因子，可以调节上式的收敛速度，W_k+1为第k+1个采样点处的权值；

此外，将▽J表示J相对于W_k的复数梯度，由下式给出：

利用最速下降法迭代，可以得出W_k的迭代公式：

由于G_w(z)未知，故用估计模型

代替。上式能被改写为：

将I_x(k)、I_y(k)、e₁(k)、e₂(k)的表达式代入上式可得：

式中，I为单位矩阵；

对上式等号两侧同时求数学期望：

E[W_k+1]＝(I-εQ)E[W_k]+εP

式中

显然存在

故：

式中

若P有界，则当(I-4εR)的谱半径小于1时，则E[W_k]收敛。设R的最大特征根为λ_max，要使(I-4εR)的谱半径小于1，则必须满足R为正定阵，即满足收敛因子

忽略噪声，有：

若

与G_w(z)的相位差不超过

则最小均方差算法将对足够小的收敛因子ε收敛，对于功放环节相位滞后不超过

的系统，可令

W_k的迭代公式可以转化为：

通过调整收敛因子ε，算法就能够自适应地实现调节因子收敛，输出前馈信号，进而产生补偿同频位移刚度力的电流，实现同频振动力的高精度抑制。

综上所述，本发明可以作为一种基于最小均方差前馈补偿算法的磁悬浮转子同频振动力抑制方法，可在转子高速运行下功放环节幅值衰减和相位滞后较严重的情况，对同频位移刚度力进行补偿，最终能实现磁悬浮转子系统同频振动力的高精度抑制。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (2)

1.一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤(1)建立含有不平衡量的磁悬浮转子系统动力学模型

设转子中心面为Π，径向磁轴承A、B的中心面分别为Π₁、Π₂磁轴承A、B定子中心的连线与转子中心面Π交于点N；点O、O₁、O₂分别是转子几何轴g与转子中心面Π、磁轴承A中心面Π₁、磁轴承B中心面Π₂的交点，点C、C₁、C₂分别是转子中心惯性轴I与转子中心面Π、磁轴承A中心面Π₁、磁轴承B中心面Π₂的交点；过点C作平行于转子几何轴g的辅助线，与面Π₁、Π₂的交点分别记作O₁ ^*和O₂ ^*，两组位移传感器对称分布于转子圆盘的两端；因为转子为对称结构，根据坐标系NXYZ，在X方向上对其进行同频振动力抑制的分析和研究，

由牛顿第二定律可知，在X方向上有：

式中m为转子质量，x_h为转子在X方向上的位移，

表示转子在X方向上的加速度，f_x为磁轴承在X方向上的磁轴承力；

由虚位移法解出磁轴承力是关于控制电流和转子位移的二元二次函数，具有在平衡中心点局部范围线性化的特征，假设径向通道具有相同的磁力参数，采用泰勒展开得到近似线性方程：

f_x≈k_i·i_x[x_h+Θ_x(t)]+k_h·(x_h+Θ_x(t))

式中k_i和k_h分别为标称电流刚度和标称位移刚度，t为时间，Θ_x(t)表示与转速同频的不平衡扰动量，i_x[x_h+Θ_x(t)]为X方向上不平衡量经过功率放大器产生的控制电流，磁轴承控制系统中电流刚度力和位移刚度力均含有同频成分；

步骤(2)基于最小均方差前馈补偿算法针对磁悬浮转子同频振动力进行抑制

首先通过陷波频率等于转频的陷波器去除掉反馈位移信号的同频成分，使得输出控制电流不产生同频电流刚度力；然后根据磁悬浮转子的特性，X和Y方向的位移传感器信号彼此正交，因此将X和Y方向，即X和Y这两个通道的位移信号作为输入而引入到算法当中，输出相应的两个补偿信号则分别作用于X和Y通道，减小运算量，又考虑了X、Y通道的功放低通特性；利用最小均方差算法进行自适应调节从而输出前馈补偿量，前馈补偿量通过功放环节产生相应的控制电流，控制电流作用于磁悬浮转子系统用于补偿残余的位移刚度力，从而更加精确地对两个通道的同频振动力进行抑制。

2.根据权利要求1所述的一种基于最小均方差前馈补偿算法的同频振动力抑制方法，其特征在于：所述的步骤(2)中基于最小均方差前馈补偿算法为：

根据磁轴承力的线性表达式，对X、Y两通道的轴承力进行拉普拉斯变换，*(s)表示*的时间连续域形式，可得：

式中，f_x和f_y分别为磁轴承在X、Y通道处的合力，i_x(s)、i_y(s)、h_x(s)、h_y(s)分别为X、Y通道的控制电流和转子位移的拉普拉斯变换；

若要完全消除同频轴承力，根据拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系，将时域变换为频域，令s＝jw，则有：

式中，j为虚数单位，w为转子频率；

将两通道轴承力的表达式代入到上式方程组中得到抵消同频位移刚度力的实际输出补偿电流：

式中，x、y分别为两通道位移信号中提取出来的同频成分；k_s为位移传感器增益；

抵消系统中残余同频位移刚度力的期望补偿电流i_x(jw)、i_y(jw)表示为：

式中，r₁、r₂为前馈补偿量，G_w(jw)为功率放大器在转子频率处的传递函数；

将功放环节G_w(jw)的频率特性表示为：

式中，k_w为功放环节的增益系数，θ_w为功放环节的相位滞后角；k_w随w的增大而减小，θ_w随w的增大而增大；

设在最小均方差算法中在k个采样点处输入的权值为W_k＝[w_1k,w_2k]^T，则有：

式中r₁(k)、x(k)分别表示第k个采样点处X通道的前馈补偿量和位移，r₂(k)、y(k)分别表示第k个采样点处Y通道的前馈补偿量和位移，w_1k、w_2k表示第k个采样点处分别作用于两个通道的权值系数；

将前馈补偿量r₁(k)、r₂(k)的表达式代入期望补偿电流i_x(jw)、i_y(jw)的表达式中，*(z)表示*的时间离散域形式，得：

式中I_x(k)、I_y(k)分别为两通道第k个采样点处产生的实际电流，G_w(z)为功率放大器传递函数的离散域形式，U_k＝[x(k),y(k)]^T和V_k＝[y(k),-x(k)]^T均表示第k个采样点处取值集合；

令e₁(k)、e₂(k)分别为第k个采样点处产生的实际电流I_x(k)、I_y(k)与期望补偿电流i_x(k)、i_y(k)的差值：

式中i_x(k)、i_y(k)分别表示第k个采样点处的期望补偿电流；

令

联立差值e₁(k)、e₂(k)和实际电流I_x(k)、I_y(k)的表达式，得出J的数学期望为：

E[J]为权系数W_k的二次型函数，具有碗状形曲面，通过不断地调节W_k以寻找碗的底部，求得E[J]的最小值，即能输出补偿电流抵消同频位移刚度力，实现同频振动力的抑制。

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