CN114637202A

CN114637202A - 基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制方法

Info

Publication number: CN114637202A
Application number: CN202210248450.7A
Authority: CN
Inventors: 祝长生; 李翁衡
Original assignee: Zhejiang University ZJU
Current assignee: Zhejiang University ZJU
Priority date: 2022-03-14
Filing date: 2022-03-14
Publication date: 2022-06-17

Abstract

本发明公开了一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制方法，该方法首先建立线性自抗扰控制器的数学模型，线性自抗扰控制器的主要组成部分为线性扩张状态观测器和线性控制律；然后在标准LMS算法输出信号的正余弦分量中引入相位偏移角θ，得到相位偏移LMS算法；最后使用相位偏移LMS算法补偿扰动观测值，加入扰动补偿后，线性扩张状态观测器能准确估计与转速同频率的正弦扰动，同时通过线性控制律能够实现对同频振动的抑制。本发明能够有效抑制柔性转子系统包括刚体平动和锥动临界、一阶和二阶等多阶弯曲临界转速在内的全转速范围的同频振动。

Description

基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制方法

技术领域

本发明有关于电磁轴承–柔性转子系统振动控制领域，具体涉及一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统在跨越刚体平动和锥动临界、一阶和二阶等弯曲临界区的同频振动抑制方法。

背景技术

由于机械加工误差、材料不均匀等原因，转子必然存在不平衡，因此在旋转过程中产生了与转速同步的不平衡激励力。不平衡激励力的幅值与转速的平方成正比，在高转速的柔性转子上，不平衡力将严重影响转子的运行。电磁轴承通过可控的电磁力实现对转子的稳定悬浮，并可以设计控制算法来实时抑制转子不平衡激励力的振动，具有无摩擦、效率高、使用寿命长、维护成本低等优势，在高速旋转装备上获得了广泛的应用。

目前，电磁轴承刚性转子系统同频不平衡振动控制方法主要有自动平衡和不平衡补偿。自动平衡遵循“最小控制力”的原则，其原理是在控制器中使用一个同频陷波器来消除同频电流，转子将因自对中效应围绕其惯性轴旋转，但是该方法控制下的转子系统仍会因不平衡力而产生位移，使得旋转精度受限。不平衡补偿遵循“最小位移”原则，其原理是增大控制器输出电流，使得有额外的一部分电流专门用于抵消转子的不平衡力，转子将围绕其几何轴旋转，该方法控制下的转子系统位移小，旋转精度高。

现有技术主要有通过对不平衡力进行建模，在旋转过程中识别不平衡力的模型参数的方法和通过插入一个可变极性的自适应陷波器，在全转速范围内抑制同频振动的方法。现有技术有以下问题：(1)对不平衡力建模的方法需要准确的不平衡力数学计算模型，并且补偿算法的迭代搜索速度过度依赖于系统辨识算法本身。(2)插入自适应陷波器的方法需要在跨越刚体临界转速前后需要进行极性切换或步长因子的调整，目的是改变算法的输出相位以适配跨越刚体临界转速后系统的相位特征，但在转子高速运行时对算法的相位进行调整具有极高的危险性。(3)上述不平衡补偿的方法主要应用在刚性转子，对于柔性转子，因存在转速高、振动大、扰动复杂、转子变形等问题，原有补偿方案对跨越各阶弯曲临界转速后的柔性转子不适用。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制方法，采用观测扰动的方法获得转子系统不平衡力，然后进行准确地补偿。该方法能够有效抑制包括刚体平动和锥动临界、一阶弯曲和二阶弯曲临界等多阶弯曲临界转速在内的全转速范围的振动。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：建立线性自抗扰控制器的数学模型

所述线性自抗扰控制器的主要组成部分为线性扩张状态观测器和线性控制律；对于电磁轴承柔性转子系统，系统的内部动态是未知的，其运行时还会受到包括不平衡力在内的扰动。将系统未知内部动态和扰动统称为总扰动，将总扰动作为第3个状态变量，线性扩张状态观测器的状态方程为：

其中，状态向量z＝[z₁ z₂ z₃]^T，z₁,z₂,z₃分别为柔性转子位移，柔性转子位移的导数，扰动的观测值，矩阵的上标T表示转置；

C＝[1 0 0]，b₀为线性自抗扰控制器的控制增益；u为线性自抗扰控制器的输入；y为柔性转子位移的真实值，

为柔性转子位移的观测值；L为线性扩张状态观测器的增益矩阵；

将线性扩张状态观测器特征方程的所有极点均配置到同一个位置(–ω_o,0)上，求解得到增益矩阵L＝[3ω_o 3ω_o ² ω_o ³]^T，ω_o为线性扩张状态观测器带宽；

所述线性控制律的设计为u＝[k_p(Ref–z₁)–k_dz₂–z₃]/b₀，其中，Ref为电磁轴承柔性转子系统位移控制的参考值；k_p＝ω_c ²，k_d＝2ω_c，ω_c为线性自抗扰控制器带宽。

步骤2：在标准LMS算法输出信号的正余弦分量中引入相位偏移角θ，得到相位偏移最小二乘(Least Mean Square,简称LMS)算法，第k步到第k+1步的输出信号的迭代表达式为：

y(k)＝w₁(k)sin(ω_rk+θ)+w₂(k)cos(ω_rk+θ)

w₁(k+1)＝w₁(k)+2UX(k)sin(ω_rk)

w₂(k+1)＝w₂(k)+2UX(k)cos(ω_rk)

其中，X(k)为第k步的输入信号，y(k)为第k步的输出信号，w₁和w₂为权重系数，ω_r为中心频率，U为步长；权重系数的计算方式同标准LMS算法；相位偏移LMS算法引入相位偏移角将会对输出信号的相位产生影响。

步骤3：基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制

针对步骤1中线性扩张状态观测器对高转速频率的正弦扰动不能准确估计的问题，使用相位偏移LMS算法补偿扰动观测值，所述相位偏移LMS算法的输入信号为线性扩张状态观测器中扰动观测值的导数，其输出信号作为扰动补偿插入到扰动观测值中，加入扰动补偿后，线性扩张状态观测器能准确估计与转速同频率的正弦扰动，同时通过线性控制律能够实现对同频振动的抑制。

进一步地，在建立线性自抗扰控制器的数学模型前，建立电磁轴承柔性转子系统的动力学模型，具体为：

因柔性转子沿轴向变化的刚度和质量使其具有无限个自由度，故采用有限元的方法进行建模。在柔性转子轴向上设n个节点，将电磁轴承的电磁力视为广义外力，即电磁轴承的电磁力是转子在电磁轴承节点所受的外力。不平衡力也看作转子在刚性圆盘节点所受的外力。用有限元方法建模电磁轴承柔性转子系统在恒定转速下的动力学方程为：

其中，M、D、G、K分别为4n×4n维的质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺矩阵和刚度矩阵；Ω为转速，F_MAG为4n×1维电磁轴承的电磁力向量，F_u为4n×1维不平衡力向量，G_m为4n×1维重力向量，q为广义位移向量；

电磁轴承的电磁力是线圈电流i和位移向量q的非线性函数；在工作点(q₀,i₀)附近进行线性展开，得到电磁轴承的电磁力的线性化表达式为：

F_MAG＝F_MAG,0+K_i(i–i₀)+K_x(q–q₀)

其中，F_MAG,0为工作点(q₀,i₀)的电磁力，K_i为电磁轴承的电流刚度系数矩阵，K_x为电磁轴承的位移刚度系数矩阵；一般情况下，F_MAG,0刚好与重力向量G_m平衡；

在刚性圆盘节点，水平方向和垂直方向不平衡力F_ux和F_uy的表达式为：

其中，e为偏心距，m为圆盘质量，t为时刻，

为偏心角。

进一步地，所述相位偏移LMS算法中的输出信号中引入相位偏移角θ，设定相位偏移角为–90°，使得在柔性转子的全转速范围内，相位偏移LMS算法输出信号的相位与实际不平衡力的相位差均落在–90°到90°之间，达到扰动补偿和同频振动抑制的效果。

进一步地，所述相位偏移LMS算法的连续域传递函数H_θ(s)为：

其中，s为拉普拉斯算子，T_z为采样时间；

将线性扩张状态观测器的扰动估计方程改为：

电磁轴承柔性转子系统的不平衡力向量到扰动估计误差的传递函数H_e(s)为：

其中，L＝[β₁ β₂ β₃]^T＝[3ω_o 3ω_o ² ω_o ³]^T；

所述相位偏移LMS算法使传递函数H_e(s)在运行频率处有一个零点，因此扰动估计误差被缩减至0。

本发明的基本原理：对于电磁轴承柔性转子系统，与转速同频率的不平衡力会增大转子振动，必须对该振动进行抑制。通过建立电磁轴承柔性转子系统的动力学模型、线性自抗扰控制器的数学模型和相位偏移LMS算法，提出一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制方法。线性自抗扰控制器内部的线性扩张状态观测器可将转子未知动态特征和不平衡力等扰动观测出来，但线性扩张状态观测器在观测高转速频率正弦扰动时会有滞后现象，本发明用相位偏移LMS算法提取出扰动中的同频量，以扰动观测项为补偿对象进行补偿。加入扰动补偿后的线性扩张状态观测器能准确估计与转速同频率的正弦扰动，同时通过线性控制律能够实现对包括刚体平动和锥动临界、一阶和二阶等弯曲临界在内的转速区同频振动的抑制。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)为了避免现有技术在转子跨越刚体临界时需要切换极性的问题，本发明提出一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同频振动抑制方法，能使线性扩张状态观测器准确观测同频正弦扰动、准确控制转子系统的振动，不需要切换极性。

(2)本发明的同频振动抑制方法适用于电磁轴承柔性转子系统，其运行转速包括刚体平动和锥动临界、一阶和二阶等弯曲临界在内的全转速范围。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为线性自抗扰控制器框图；

图3为LMS算法框图；

图4为不平衡力到扰动估计误差的频率特性图；

图5为插入相位偏移LMS算法的线性扩张状态观测器框图；

图6为有无扰动补偿的扰动估计误差频率特性图；

图7为相位偏移LMS算法的相位图。

具体实施方式

为了更好的理解本申请的技术方案，下面结合附图对本申请实施例进行详细描述。

应当明确，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本申请保护的范围。

在本申请实施例中使用的术语是仅仅出于描述特定实施例的目的，而非旨在限制本申请。在本申请实施例和所附权利要求书中所使用的单数形式的“一种”、“所述”和“该”也旨在包括多数形式，除非上下文清楚地表示其他含义。

如图1所示，一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统同步振动抑制方法的实施过程是：首先建立线性自抗扰控制器数学模型和相位偏移LMS算法模型，然后设计一种基于扰动补偿的电磁轴承柔性转子系统在包括刚体平动和锥动临界、一阶和二阶等弯曲临界在内的转速区同步振动抑制方法。

步骤1：在建立线性自抗扰控制器的数学模型前，建立电磁轴承柔性转子系统的动力学模型。以一个带有多个刚性圆盘的电磁轴承柔性转子系统为例，质量和刚度是沿轴向是变化的，对这个系统的动力学进行分析，需要求解关于时间和空间的偏微分方程，因此通常采用离散化的方法进行建模。在转子上设n个节点，将电磁轴承(Active MagneticBearing,AMB)的电磁力作为广义外力来看待，认为电磁轴承的电磁力是转子在电磁轴承节点所受的外力，只需将其叠加到电磁轴承的节点即可，同理，将不平衡力看作柔性转子在刚性盘节点所受的外力。

用轴单元模型可以得到电磁轴承柔性转子系统在恒定转速下的动力学方程为：

其中，M、D、G、K分别为4n×4n维质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺矩阵和刚度矩阵。Ω为转速，F_MAG为4n×1维电磁轴承的电磁力向量，F_u为4n×1维不平衡激励力向量，G_m为4n×1维重力向量，q为广义位移向量。

电磁轴承的电磁力是线圈电流i和转子位移q的非线性函数。为方便分析，在工作点(q₀，i₀)附近进行线性展开，得到电磁轴承的电磁力的线性化表达式为：

F_MAG＝F_MAG,0+K_i(i–i₀)+K_x(q–q₀)

其中，F_MAG,0为工作点(q₀，i₀)的电磁力，i为控制电流向量，K_i为电磁轴承的电流刚度系数矩阵，K_x为电磁轴承的位移刚度系数矩阵。一般情况下，F_MAG,0刚好与重力向量G_m平衡。

在刚性圆盘节点，水平和垂直方向不平衡力的表达式为：

其中，e为偏心距，m为圆盘质量，

为偏心角。

电磁轴承柔性转子系统是一个多输入多输出系统。为了利用多输入多输出系统的分析方法，电磁轴承柔性转子系统的动力学方程用状态空间方程表述为：

其中，

C_s＝[C_mO],

T_s为电磁轴承的位置矩阵，C_m为传感器输出矩阵。

然后建立线性自抗扰控制器模型。在自抗扰思想中，系统在运行时受到内部未建模动态构成的“内扰”和外部扰动构成的“外扰”，即使对象模型未知，也可以通过扰动观测器将其观测出来，然后在控制器中对扰动进行补偿，即可降低扰动对系统的影响。线性自抗扰控制器的结构主要组成部分为线性扩张状态观测器及线性控制律，如图2所示。

二阶被控对象可以用以下的微分方程来描述：

其中，y为位移，a₁和a₀为模型信息，ω为外部扰动力，b为被控对象的系统控制增益，u为控制输入。

因模型信息未知，定义扰动项表达式为：

该扰动项包含了模型信息和外部扰动力，称为总扰动。为了观测扰动，将扰动作为第3个状态变量，线性扩张状态观测器的状态方程为：

其中，

C＝[1 0 0]

经过参数化，把线性扩张状态观测器的特征方程极点配置到同一个位置(–ω_o，0)上，可解得增益矩阵L＝[3ω_o 3ω_o ² ω_o ³]^T，ω_o为观测器带宽。

线性控制率的设计为u＝[k_p(Ref–z₁)–k_dz₂–z₃]/b₀。其中，Ref为电磁轴承柔性转子系统位移控制的参考值。k_p＝ω_c ²，k_d＝2ω_c，ω_c为控制器带宽。

步骤2：标准LMS算法的结构如图3所示，其第k步到第k+1步的迭代表达式为：

y(k)＝w₁(k)sin(ω_rk)+w₂(k)cos(ω_rk),

w₁(k+1)＝w₁(k)+2u_x(k)sin(ω_rk),

w₂(k+1)＝w₂(k)+2u_x(k)cos(ω_rk)

其中，x为输入，y为输出，w₁和w₂为权重系数，ω_r为算法的中心频率，u为步长。

对离散表达式作Z变换，得到标准LMS算法的传递函数为：

该算法具有极点z＝e^jωrTz，说明在算法中心频率处的增益为无穷大，其中T_z为采样时间。基于标准LMS算法的结构，在算法输出信息的正余弦分量中引入相位偏移角θ，其迭代表达式为：

y(k)＝w₁(k)sin(ω_rk+θ)+w₂(k)cos(ω_rk+θ)

权重系数的计算方式同标准LMS算法。该算法称为相位偏移LMS算法，引入相位偏移角将会对输出信号的相位产生影响。

步骤3：设计基于扰动补偿的同频振动抑制方法

步骤1建立的线性扩张状态观测器对高频率的正弦扰动不能准确估计。不平衡力到扰动估计误差的频率特性如图4所示。随着频率增大，扰动估计误差逐渐增大，相位滞后。针对此问题，本发明采用一种基于扰动补偿的方法，使用相位偏移LMS算法跟踪同频振动信号并插入到扰动观测值中作为扰动补偿，使扩张状态观测器能准确估计高频率正弦扰动，其原理框图如图5所示。

步骤2建立的相位偏移LMS算法模型的连续域传递函数为：

嵌入LMS算法后，线性扩张状态观测器的扰动估计项方程改为：

不平衡力向量到扰动估计误差的传递函数为：

其中，L＝[β₁ β₂ β₃]^T。该传递函数将在相位偏移LMS算法的中心频率处增加一个零点，使扰动估计误差在该频率处为0。如图6所示，此时中心频率设置为100Hz。因此，加入扰动补偿后，扰动估计能准确跟踪不平衡力向量。扩张状态观测器得到准确的扰动估计后，在线性控制率部分中对该扰动估计进行控制，即可降低同频振动。

以上过程称为基于扰动补偿的同频振动抑制，其有效的条件为相位偏移LMS算法的输出信号与不平衡力向量的相位差在–90°到90°之间。不平衡力向量与线性扩张状态观测器中扰动观测项的增量的相位差在0～15Hz区间内大于90°，在大于15Hz区间内小于90°。因此，与不平衡力向量的相位对比，无相位偏移角的标准LMS算法输出信号在0～15Hz区间的相位大于90°，使得该区间内标准LMS算法不能有效补偿扰动，如图7所示。本发明采用相位偏移的方法，通过引入–90°相位偏移角，使得相位偏移LMS算法输出信号在柔性转子整个旋转区间的相位均落在–90°到90°的区间内。因此在柔性转子系统在包括了刚体平动和锥动临界、一阶和二阶等弯曲临界在内的整个旋转区间里，相位偏移LMS算法均能有效地补偿扰动。

还需要说明的是，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、商品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、商品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、商品或者设备中还存在另外的相同要素。

上述对本说明书特定实施例进行了描述。其它实施例在所附权利要求书的范围内。在一些情况下，在权利要求书中记载的动作或步骤可以按照不同于实施例中的顺序来执行并且仍然可以实现期望的结果。另外，在附图中描绘的过程不一定要求示出的特定顺序或者连续顺序才能实现期望的结果。在某些实施方式中，多任务处理和并行处理也是可以的或者可能是有利的。

在本说明书一个或多个实施例使用的术语是仅仅出于描述特定实施例的目的，而非旨在限制本说明书一个或多个实施例。在本说明书一个或多个实施例和所附权利要求书中所使用的单数形式的“一种”、“所述”和“该”也旨在包括多数形式，除非上下文清楚地表示其他含义。还应当理解，本文中使用的术语“和/或”是指并包含一个或多个相关联的列出项目的任何或所有可能组合。

应当理解，尽管在本说明书一个或多个实施例可能采用术语第一、第二、第三等来描述各种信息，但这些信息不应限于这些术语。这些术语仅用来将同一类型的信息彼此区分开。例如，在不脱离本说明书一个或多个实施例范围的情况下，第一信息也可以被称为第二信息，类似地，第二信息也可以被称为第一信息。取决于语境，如在此所使用的词语“如果”可以被解释成为“在……时”或“当……时”或“响应于确定”。

以上所述仅为本说明书一个或多个实施例的较佳实施例而已，并不用以限制本说明书一个或多个实施例，凡在本说明书一个或多个实施例的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本说明书一个或多个实施例保护的范围之内。