CN109976403B - 多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法及系统，包括依次连接在一起的并联相移陷波器、磁悬浮控制器、磁轴承转子，其中，并联相移陷波器的信号提取点放在磁悬浮控制器的输入端，并联相移陷波器的信号插入点放在位移误差信号处，发明针对磁悬浮转子，考虑转子质量不平衡和传感器振动的影响，建立包含谐波扰动的磁悬浮转子动力学模型，通过并联不同相移的多个陷波器有效抑制变转速频率下谐波电流的不同频率扰动分量，进而有效抑制谐波振动，同时保证系统的闭环稳定性，并对磁悬浮‑转子系统变速情况下的谐波抑制问题具有参考意义。

Description

多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法及系统

技术领域

本发明涉及一种不同相位的多陷波器并联的磁悬浮转子控制系统，从而获得全转速范围内优越的谐波电流抑制效果，进而有效抑制谐波振动。本发明属于磁悬浮-转子系统谐波振动抑制领域。

背景技术

磁悬浮飞轮转子由于具有非接触、低功耗、长寿命等优点，成为卫星稳定性研究的热点。为了获得超高精度的卫星姿态控制性能，非常有必要尽可能地减少磁悬浮转子不需要的振动力。电磁轴承-转子系统中不需要的振动力主要是由谐波电流引起的，这是磁悬浮转子系统中普遍存在的问题，它对系统稳定性和性能下降构成了潜在的威胁。谐波电流包含同步电流和多频电流。质量不平衡是主要的振源，并将在控制系统中引入同步电流。考虑到敏感表面的圆度误差和非理想的电磁特性，传感器振动会产生同步的多频电流。

为了控制振动，谐波电流的抑制的方法也在被不断提出。然而方法大多针对固定频率的多频振动控制，由于磁悬浮转子的转速变化范围很大，不能满足实际运行的需要。在电磁轴承振动主动控制的应用中也发现了一些现代控制算法，但是大多数现代控制方法都是基于模型的。数学模型的准确性是保证系统性能良好的关键。然而，获取被控对象模型并不是一件容易的事情，在实践中的应用受到了一定的限制。

在闭环系统中加入陷波器的方法对于振动抑制问题的解决有很大意义，例如之前提出了一种相移陷波器来并联基线磁悬浮控制器，该陷波器在抑制同步电流的同时，保证了系统在整个速度范围内的稳定性。通常都采用多陷波器抑制谐波电流，但是，多陷波器具有相同的结构和参数，在整个转速范围内不能保证闭环稳定性。由于不同的谐波在较宽的速度范围内交叉，当陷波器插入到基线系统中时，不可避免地会影响闭环稳定性。在全转速范围内有效抑制谐波振动同时保证系统的全局稳定性，是磁轴承转子振动控制系统中的很有挑战性的一个问题。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法及系统，通过并联不同相移的多个陷波器有效抑制变转速频率下谐波电流的不同频率扰动分量，进而获得高效的抑制谐波振动性能，同时保证系统的闭环稳定性。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法，通过引入不同的移相的多个陷波器并联来抑制磁悬浮-转子系统在时变转速频率下谐波电流的不同频率扰动分量，从而在全转速范围内有效抑制谐波振动。

具体包括以下骤：

步骤1)，采集转子转速、谐波的直流分量，考虑转子质量不平衡和传感器振动，建立包含谐波扰动的磁悬浮转子动力学模型；

步骤2)，搭建带有以并行模式连接的多个相移陷波器的闭环控制系统，明确相移陷波器的插入方式；

步骤21)，设计用于消除时变转速频率下控制电流中同频扰动分量的相移陷波器。

传统的陷波器通常具有如下的传递函数形式：

其中，N(s)为传统陷波器的传递函数，s为拉普拉斯算子，Ω表示转子转速，ε是相移陷波器的增益系数，它影响着算法的收敛速度。

步骤22)，在传统陷波器的基础上引入调节相位φ，构成相移陷波器，表示如下：

多相移陷波器并联表示为：

等价形式为：

其中，N_ms(s)表示多相移陷波器并联的传递函数，n表示谐波次数，调节相位φ在时变转速频率下进行自我调节以保证整个闭环系统的稳定性，从而达到消除时变转速频率下控制电流中同频扰动分量的效果；

步骤3)，根据步骤2得到的相移陷波器设计具有相同相移的多个并联相移陷波器；

步骤4)，根据步骤2)搭建的闭环控制系统，对谐波电流抑制闭环系统进行稳定性分析，确定不同相位并联的多陷波器下整个系统的稳定条件；

步骤5)，根据步骤2)、步骤3)和步骤4)，利用有多个不同相位并联的相移滤波器对谐波电流进行有效抑制：

并行模式下不同相位并联的相移滤波器的抑制性能显示如下：

其中，N_p(s)表示灵敏度函数，s表示拉普拉斯算子，ε表示相移陷波器的增益系数，N_md(s)表示并联相移陷波器的传递函数，Ω表示转子转速，n表示谐波次数，j表示虚部单位，

具有并行模式不同相位并联的相移滤波器的闭环系统中从e(s)到x_d(s)的传递函数表示为：

将整个系统的特征方程表示为：

其中，G_Nd(s)表示从e(s)到x_d(s)的传递函数，G_c(s)表示磁悬浮控制器，P(s)表示磁悬浮转子，q(s)表示整个系统的特征方程，

在ε＝0的情况下，根是s＝±jΩ,±j2Ω,...,±jnΩ，在虚轴附近的根应该配置在左半复平面，对ε求导，满足下列式中所示的所有条件，以使整个系统是稳定的：

根据上式求导可推导出在全转速范围内不同频率下系统稳定的条件为：

根据基本磁悬浮控制系统的灵敏度函数的相角变化，对不同频率的转速进行分段处理，从而在各转速段选取满足上述稳定性条件的相移陷波器的调节相位值。

优选的：所述步骤1)中的建立包含谐波扰动的磁悬浮转子动力学模型过程如下：

位移传感器检测到的真实信号表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

y_s(t)＝y(t)+y_d(t)

其中，x_s(t)和y_s(t)表示x和y方向位移传感器检测到的真实信号，x(t)和y(t)是x和y方向几何中心的位移信号，x_d(t)和y_d(t)是x和y方向谐波扰动，用傅里叶分解的方法描述为：

其中，x_d0和y_d0是x和y方向谐波的直流分量，n是谐波次数，a_xi，b_xi，a_yi和b_yi是x和y方向第i倍频谐波的傅里叶系数，Ω是转子转速，t表示时间变量；

根据牛顿第二定律，径向磁力轴承-转子系统的磁悬浮转子动力学模型为：

其中，

和

表示磁悬浮转子x和y方向的所受的力，k_x和k_y为x和y方向的位移刚度参数，k_ix和k_iy为x和y方向的当前刚度参数，m为转子质量，η和

为不平衡质量的偏心和相位，i_x(t)和i_y(t)为x和y方向的磁轴承电流，t为时间变量。

优选的：步骤3)中通过具有相同相移的多个并联相移陷波器稳定闭环系统的方法：

将闭环系统特征方程写为：

1+G_c(s)P(s)＝0

通过步骤二明确多个并联具有相同相移的陷波器在闭环系统中的表达形式，因此进一步推导出插入陷波器后系统的特征方程为：

其中，s表示拉普拉斯算子，n表示谐波次数，j表示虚部单位。

对于移相来说稳定条件为：

也就是说，移相同时满足以下条件：

-90°≤arg[S(jΩ)]+φ≤90°

优选的：步骤4)中不同相位并联的多陷波器，其传递函数表达如下：

它的等价形式为：

其中，N_md(s)表示不同相位并联的多陷波器的传递函数，n表示第几次谐波，φ_i是第i倍频的相位。

一种多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制系统，包括依次连接在一起的并联相移陷波器N_md(s)、磁悬浮控制器G_c(s)、磁轴承转子P(s)，其中，并联相移陷波器N_md(s)的信号提取点放在磁悬浮控制器G_c(s)的输入端，并联相移陷波器N_md(s)的信号插入点放在位移误差信号处，参考位移信号x^*(t)和位移传感器检测到的位移信号x_s(t)得到位移误差信号，参考位移信号x^*(t)、位移误差信号、以及并联相移陷波器N_md(s)的信号进入到磁悬浮控制器G_c(s)，磁悬浮控制器G_c(s)产生控制信号对磁轴承转子P(s)、扰动信号x_d(s)进行控制，位移传感器检测到转子的位移信号x_s(t)；

并联相移陷波器N_md(s)中：

不同相位并联的多陷波器传递函数如下：

它的等价形式为：

并行模式下不同陷波器的抑制性能显示如下：

其中，

具有并行模式不同相位的多陷波器的闭环系统中从e(s)到x_d(s)的传递函数表示为：

将整个系统的特征方程表示为：

在ε＝0的情况下，根是s＝±jΩ，±j2Ω，...，±jnΩ，在虚轴附近的根应该配置在左半复平面上，对ε求导，满足下列式中所示的所有条件，以使整个系统是稳定的：

根据上式求导可推导出在全转速范围内不同频率下系统稳定的条件为：

其中：N_p(s)表示灵敏度函数，s表示拉普拉斯算子，ε表示相移陷波器的增益系数，N_md(s)表示并联相移陷波器的传递函数，Ω表示转子转速，n表示谐波次数，j表示虚部单位。

优选的：位移传感器检测到的真实信号表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

y_s(t)＝y(t)+y_d(t)

其中，x_s(t)和y_s(t)表示x和y方向位移传感器检测到的真实信号，x(t)和y(t)是x和y方向几何中心的位移信号，x_d(t)和y_d(t)是x和y方向谐波扰动，用傅里叶分解的方法描述为：

其中，x_d0和y_d0是x和y方向谐波的直流分量，n是谐波次数，a_xi，b_xi，a_yi和b_yi是x和y方向第i倍频谐波的傅里叶系数，Ω是转子转速，t表示时间变量。

优选的：磁轴承转子P(s)的磁悬浮转子动力学模型为：

其中，

和

表示磁悬浮转子x和y方向的所受的力，k_x和k_y为x和y方向的位移刚度参数，

和

为x和y方向的当前刚度参数，m为转子质量，η和

为不平衡质量的偏心和相位，i_x(t)和i_y(t)为x和y方向的磁轴承电流，t为时间变量。

本发明相比现有技术，具有以下有益效果：

1.本发明提出一种通过并联不同相位多个陷波器的磁悬浮转子振动谐波抑制方法，其主要控制思想是对于不同频率的扰动分量设计不同的相位补偿，在达到谐波电流有效抑制的同时，对于不同的相位能够确保整个系统的稳定性，从而实现全转速范围内的谐波电流抑制，来有效抑制谐波振动。

2.本发明提出的谐波振动抑制主要有两个优势。首先，通过在磁悬浮控制系统中插入多个并联的不同相位陷波器，以获得全转速范围内优越的谐波振动抑制效果。其次，在不同的频率分段采用不同的相角补偿以满足系统稳定条件，从而保证整个系统的全局稳定性。

3.为了保证系统的稳定性，需要多个不同的换挡阶段，以满足文权利要求5中所述的相应条件。这样，即使灵敏度函数过了一个严重的斜率，并且需要消除高倍频分量，每个补偿相角也可以被调整到一个适当的值，并保持系统的稳定。

附图说明

图1为基本磁悬浮控制系统框图；

图2为带有相移陷波器的磁悬浮控制系统框图；

图3为带有不同相位陷波器并联的磁悬浮控制系统框图；

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

一种多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法，研究对象磁悬浮转子是由两个径向磁力轴承和一个3自由度轴向磁力轴承悬浮在一起的。前者用来控制转子的两个径向平移运动。三自由度磁力轴承用于两种径向旋转运动。由于平动运动和转动运动是解耦的，因此主要研究径向平动运动的多重振动力抑制问题。其主要控制思想包含两个方面，一方面利用不同相位并联的陷波器在全转速范围内抑制同频电流扰动；另一方面在不同的频率分段采用不同的相角补偿保证系统的全局稳定性。通过引入不同的移相的多个陷波器并联来抑制磁悬浮-转子系统在时变转速频率下谐波电流的不同频率扰动分量，从而在全转速范围内有效抑制谐波振动。针对磁悬浮转子，考虑转子质量不平衡和传感器振动的影响，建立包含谐波扰动的磁悬浮转子动力学模型，通过并联不同相移的多个陷波器有效抑制变转速频率下谐波电流的不同频率扰动分量，进而有效抑制谐波振动，同时保证系统的闭环稳定性，并对磁悬浮-转子系统变速情况下的谐波抑制问题具有参考意义。

步骤一、考虑转子质量不平衡和传感器振动的影响，建立包含谐波扰动的磁悬浮转子动力学模型。

考虑到质量不平衡和传感器振动对转子动力学的影响。

位移传感器检测到的真实信号x_s(t)和y_s(t)可以表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

y_s(t)＝y(t)+y_d(t)

其中x(t)和y(t)是x和y方向几何中心的位移信号，x_d(t)和y_d(t)是谐波扰动，可以用傅里叶分解的方法更详细地描述为：

其中Ω是转子的转速，x_d0和y_d0是谐波的直流分量，n是谐波次数，a_xi，b_xi，a_yi和b_yi是第i倍频谐波的傅里叶系数。从式中可以看出，位移信号含有相当大的谐波。

根据牛顿第二定律，径向磁力轴承-转子系统可以建模为：

其中k_x和k_y为x和y方向的位移刚度参数，k_ix和k_iy为当前刚度参数，m为转子质量，η和

为不平衡质量的偏心和相位。

结合图1，质量不平衡和传感器振动会在控制电流中引入一些谐波分量。因此，为了减小电磁轴承-转子系统中不需要的振动力，必须考虑谐波电流的抑制。

步骤二、搭建并联的多个相移陷波器的闭环控制系统，明确相移陷波器的插入方式。

首先，设计用于消除时变转速频率下控制电流中同频扰动分量的相移陷波器。

传统的陷波器通常具有如下的传递函数形式：

其中，s为拉普拉斯算子，Ω表示磁悬浮飞轮转子的转速，ε是相移陷波器的增益系数，它影响着算法的收敛速度。

然而，考虑磁悬浮转子需要在较宽的转速范围内工作，不平衡振动抑制算法的稳定性范围很宽，并且与转子转速自适应变化。而传统陷波器将会在虚轴部分引入极点，因此传统陷波器仅仅可以在一段转速范围内消除某个频率的扰动分量。为了克服变转速情况下的潜在失稳特性，让陷波器可以在全转速范围内维持整个系统的稳定性，本发明在传统陷波器的基础上引入调节相位φ，构成相移陷波器，表示如下：

多陷波器并联可表示为：

等价形式为：

其中，调节相位φ在时变转速频率下进行自我调节以保证整个闭环系统的稳定性，从而达到消除时变转速频率下控制电流中同频扰动分量的效果。

其次，在基本磁悬浮控制系统中插入相移陷波器，得到带有相移陷波器的控制系统框图。

实施例中，基本磁悬浮控制系统主要包括磁悬浮控制器，功率放大器和磁轴承转子。

步骤三、明确插入多陷波器后系统的稳定条件。

通过图2磁轴承控制框图，可以将闭环系统特征方程写为：

1+G_c(s)P(s)＝0

通过步骤二可以明确多个并联具有相同相移的陷波器在闭环系统中的表达形式，因此进一步推导出插入陷波器后系统的特征方程为：

对于一些移相来说稳定条件为：

也就是说，移相同时满足以下条件：

-90°≤arg[S(jΩ)]+φ≤90°

基本磁悬浮控制系统如图1所示，x^*(t)是参考位移信号，x_s(t)为位移传感器检测到的位移信号，x_d(s)为扰动信号，G_c(s)为磁悬浮控制器，相移陷波器N_ms(s)的信号提取点放在磁悬浮控制器G_c(s)的输入端，相移陷波器N_ms(s)的信号插入点放在位移误差信号处，得到带有多个相移陷波器并联的悬浮控制系统框图如图2所示。也就是说，信号提取点位于信号插入点之后，相移陷波器与磁悬浮控制器串联，在这种信号处理顺序下，控制电流中的谐波扰动能够被有效消除。

步骤四、设计一种基于不同相位并联的多陷波器的闭环控制系统。

从步骤三闭环系统稳定条件可以看出，相同相位的多个陷波器并联并不能实现全转速范围内的稳定从而不能在全转速范围进行有效的谐波电流抑制，因此设计不同相位并联的多陷波器，其传递函数表达如下：

可以推导出它的等价形式为：

其中n表示第几次谐波，φ_i是第i倍频的相位，可以看出在不同频率下采取了不同的相位补偿。

步骤五、对插入不同相位陷波器并联的控制系统进行抑制性能分析及稳定性分析，确定不同相位的稳定性条件。

并行模式下不同陷波器的抑制性能显示如下：

其中，

具有并行模式不同相位的多陷波器的闭环系统中从e(s)到x_d(s)的传递函数可以表示为：

将整个系统的特征方程表示为：

从上述特征方程中可以看出，在ε＝0的情况下，根可以是s＝±jΩ，±j2Ω，...，±jnΩ。为了确保所有的闭环极点都有负实部，从而使整个系统稳定，在虚轴附近的根应该配置在左半复平面上。因此，让我们对ε求导，满足下列式中所示的所有条件，以使整个系统是稳定的：

根据上式求导可推导出在全转速范围内不同频率下系统稳定的条件为：

根据基本磁悬浮控制系统的灵敏度函数的相角变化，对不同频率的转速进行分段处理，从而在各转速段选取满足上述稳定性条件的相移陷波器的调节相位值。

一种多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制系统，如图3所示，包括依次连接在一起的并联相移陷波器N_md(s)、磁悬浮控制器G_c(s)、磁轴承转子P(s)，其中，并联相移陷波器N_md(s)的信号提取点放在磁悬浮控制器G_c(s)的输入端，并联相移陷波器N_md(s)的信号插入点放在位移误差信号处，参考位移信号x^*(t)和位移传感器检测到的位移信号x_s(t)得到位移误差信号，参考位移信号x^*(t)、位移误差信号、以及并联相移陷波器N_md(s)的信号进入到磁悬浮控制器G_c(s)，磁悬浮控制器G_c(s)产生控制信号对磁轴承转子P(s)、扰动信号x_d(s)进行控制，位移传感器检测到转子的位移信号x_s(t)。其中，x^*(t)是参考位移信号，x_s(t)为位移传感器检测到的位移信号，x_d(s)为扰动信号，G_c(s)为磁悬浮控制器，相移陷波器N_md(s)的信号提取点放在磁悬浮控制器G_c(s)的输入端，相移陷波器N_md(s)的信号插入点放在位移误差信号处。通过图3所示的磁悬浮转子谐波振动控制系统，能够以较高精度获得全转速范围内谐波振动的抑制效果同时保证系统的稳定性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1)，采集转子转速、谐波的直流分量，考虑转子质量不平衡和传感器振动，建立包含谐波扰动的磁悬浮转子动力学模型；

建立包含谐波扰动的磁悬浮转子动力学模型过程如下：

位移传感器检测到的真实信号表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

y_s(t)＝y(t)+y_d(t)

其中，x_s(t)表示x方向位移传感器检测到的真实信号，y_s(t)表示y方向位移传感器检测到的真实信号，x(t)是x方向几何中心的位移信号，y(t)是y方向几何中心的位移信号，x_d(t)是x方向谐波扰动，y_d(t)是y方向谐波扰动，用傅里叶分解的方法描述为：

其中，x_d0是x方向谐波的直流分量，y_d0是y方向谐波的直流分量，n是谐波次数，a_xi是x方向第i倍频谐波的傅里叶正弦系数，b_xi是x方向第i倍频谐波的傅里叶余弦系数，a_yi是y方向第i倍频谐波的傅里叶正弦系数，b_yi是y方向第i倍频谐波的傅里叶余弦系数，Ω是转子转速，t表示时间变量；

根据牛顿第二定律，径向磁力轴承-转子系统的磁悬浮转子动力学模型为：

其中，

表示磁悬浮转子x方向的所受的力，

表示磁悬浮转子y方向的所受的力，k_x为x方向的位移刚度参数，k_y为y方向的位移刚度参数，k_ix为x方向的当前刚度参数，k_iy为y方向的当前刚度参数，m为转子质量，η为不平衡质量的偏心，ξ为不平衡质量的相位，i_x(t)为x方向的磁轴承电流，i_y(t)为y方向的磁轴承电流，t为时间变量；

步骤2)，搭建带有以并行模式连接的多个相移陷波器的闭环控制系统，明确相移陷波器的插入方式；

步骤21)，设计用于消除时变转速频率下控制电流中同频扰动分量的相移陷波器；

传统的陷波器具有如下的传递函数形式：

其中，N(s)为传统陷波器的传递函数，s为拉普拉斯算子，Ω表示转子转速，ε是相移陷波器的增益系数；

步骤22)，在传统陷波器的基础上引入调节相位φ，构成相移陷波器，表示如下：

多相移陷波器并联表示为：

等价形式为：

其中，N_ms(s)表示并联的多相移陷波器，n表示谐波次数，调节相位φ在时变转速频率下进行自我调节以保证整个闭环系统的稳定性，从而达到消除时变转速频率下控制电流中同频扰动分量的效果；

步骤3)，根据步骤2)得到的相移陷波器设计具有相同相移的多个并联相移陷波器，稳定闭环系统；

步骤4)，根据步骤2)搭建的闭环控制系统，对谐波电流抑制闭环系统进行稳定性分析，确定不同相位并联的多陷波器下整个系统的稳定条件；

相同相位的多个陷波器并联并不能实现全转速范围内的稳定从而不能在全转速范围进行有效的谐波电流抑制，因此设计不同相位并联的多陷波器，其传递函数表达如下：

它的等价形式为：

其中，N_md(s)表示并联相移陷波器的传递函数，φ_i是第i倍频的相位；

步骤5)，根据步骤2)、步骤3)和步骤4)，利用有多个不同相位并联的相移滤波器对谐波电流进行有效抑制：

并行模式下不同相位并联的相移滤波器的抑制性能显示如下：

其中，k＝1，2，...，n-1，n，N_p(s)表示灵敏度函数，s表示拉普拉斯算子，ε表示相移陷波器的增益系数，N_md(s)表示并联相移陷波器的传递函数，Ω表示转子转速，j表示虚数单位，

具有并行模式不同相位并联的相移滤波器的闭环系统中从e(s)到x_d(s)的传递函数表示为：

将整个系统的特征方程表示为：

其中，G_Nd(s)表示闭环系统中从e(s)到x_d(s)的传递函数，G_c(s)表示磁悬浮控制器，P(s)表示磁轴承转子，q(s)表示整个系统的特征方程，

在ε＝0的情况下，根是s＝±jΩ，±j2Ω，...，±jnΩ，在虚轴附近的根应该配置在左半复平面，对ε求导，满足下列式中所示的所有条件，以使整个系统是稳定的：

根据上式求导可推导出在全转速范围内不同频率下系统稳定的条件为：

根据基本磁悬浮控制系统的灵敏度函数的相角变化，对不同频率的转速进行分段处理，从而在各转速段选取满足上述稳定性条件的相移陷波器的调节相位值。

2.根据权利要求1所述多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法，其特征在于：步骤3) 中通过具有相同相移的多个并联相移陷波器稳定闭环系统的方法：

将闭环系统特征方程写为：

1+G_c(s)P(s)＝0

通过步骤2)明确多个并联具有相同相移的陷波器在闭环系统中的表达形式，因此进一步推导出插入陷波器后系统的特征方程为：

其中，s表示拉普拉斯算子，n表示谐波次数；

对于移相来说稳定条件为：

也就是说，移相同时满足以下条件：

-90°≤arg[S(jΩ)]+φ≤90°。

3.一种基于权利要求1所述的多陷波器并联的磁悬浮转子振动谐波抑制方法的抑制系统，其特征在于：包括依次连接在一起的并联相移陷波器N_md(s)、磁悬浮控制器G_c(s)、磁轴承转子P(s)，其中，并联相移陷波器N_md(s)的信号提取点放在磁悬浮控制器G_c(s)的输入端，并联相移陷波器N_md(s)的信号插入点放在位移误差信号处，参考位移信号x^*(t)和位移传感器检测到的位移信号x_s(t)得到位移误差信号，参考位移信号x^*(t)、位移误差信号、以及并联相移陷波器N_md(s)的信号进入到磁悬浮控制器G_c(s)，磁悬浮控制器G_c(s)产生控制信号对磁轴承转子P(s)、扰动信号x_d(s)进行控制，位移传感器检测到转子的位移信号x_s(t)；

并联相移陷波器N_md(s)中：

不同相位并联的多陷波器传递函数如下：

它的等价形式为：

并行模式下不同陷波器的抑制性能显示如下：

其中，

具有并行模式不同相位的多陷波器的闭环系统中从e(s)到x_d(s)的传递函数表示为：

将整个系统的特征方程表示为：

在ε＝0的情况下，根是s＝±jΩ，±j2Ω，...，±jnΩ，在虚轴附近的根应该配置在左半复平面上，对ε求导，满足下列式中所示的所有条件，以使整个系统是稳定的：

根据上式求导可推导出在全转速范围内不同频率下系统稳定的条件为：

其中：N_p(s)表示灵敏度函数，s表示拉普拉斯算子，ε表示相移陷波器的增益系数，N_md(s)表示并联相移陷波器的传递函数，Ω表示转子转速，j表示虚部单位。

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