CN105467365A - 一种改善mimo雷达doa估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，包括以下几个步骤：设定感兴趣的区域；令波束域加权矩阵的列向量满足对偶特性，保证接收端的信号满足旋转不变性；考虑方向图匹配特性、信号的旋转不变性以及各阵元发射功率相等为约束条件，构建波束域加权矩阵的优化模型；引入辅助变量，利用半正定松弛技术将秩1约束松弛为半正定约束，使用内点法获得松弛问题的最优解，再利用高斯随机化方法对波束域加权矩阵进行求解；在接收端使用ESPRIT算法对目标进行DOA估计。本发明涉及的这种性能良好的MIMO雷达波形设计技术，能够提高接收端的信噪比，可为如何提高MIMO雷达角度估计精度提供重要的理论依据和具体的实现方法。

Description

一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法

技术领域

本发明属于空天目标侦察领域中MIMO雷达的波形设计技术，更具体的讲是涉及一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法。

背景技术

本发明涉及的波形设计方法通过波束域预处理技术设计MIMO雷达发射信号，使其逼近于期望的发射方向图，同时降低方向图旁瓣，将发射能量更好地集中于感兴趣的空域，从而提高接收信号的信噪比。相比于现有方法，目标的DOA估计精度得到了提升。

MIMO雷达与传统相控阵雷达最大的区别在于MIMO雷达具备波形分集的能力，因此可以通过合理设计发射信号，提升MIMO雷达在多个信号处理领域的性能。现有的MIMO雷达大多发射正交波形，能量均匀分布在整个空域范围内，在空间形成全向的方向图，从而实现整个空域的目标侦察。然而，当目标方位集中在较小的空域范围内时，由于正交波形形成方向图的低增益特性，将会导致目标的反射功率减小，降低接收端的信噪比，从而影响目标角度估计精度。

针对集中式MIMO雷达，提高接收端信噪比主要方法是在发射端不使用正交波形，设计部分相关波形将能量聚集在感兴趣的区域内，即形成一定的发射方向图，从而提高接收端的信噪比。传统的MIMO雷达发射方向图设计方法一般包括两个步骤：一是优化发射波形的协方差矩阵，使发射波束接近于期望的方向图；二是根据得到的信号协方差矩阵，求解出实际发射信号。相比发射波形的协方差矩阵优化，第二步骤中波形的求解往往更为困难。为了避免使用昂贵的放大器和模数转换器，通常要求发射信号满足单模或者低的峰均比约束。本发明的特点是采用波束域预处理技术来设计部分相关波形，通过一步求解就可以得到实际发射波形，使其形成所期望的发射方向图，减少发射能量在不感兴趣空域内的损失。

另一方面，现有的DOA估计方法主要有MUSIC、ESPRIT算法等。其中，MUSIC算法具备高分辨特性，但是需要进行谱峰搜索，计算复杂度较高。ESPRIT算法可以获得DOA的闭式解，DOA估计精度高且计算复杂度较低，前提是要求接收信号具备旋转不变性。ESPRIT算法中旋转不变性大多是通过对接收阵列划分子阵来实现的，通常要求接收阵列为均匀线阵。而对于MIMO雷达来说，由于发射端具备波形分集能力，旋转不变性可通过合理的设计发射信号来获得，从而放宽接收阵列为均匀线阵的要求。因此，本发明的另一个特点在于，设计波束域加权矩阵时，既考虑了方向图匹配特性的同时，又考虑使接收端信号满足旋转不变性。

发明内容

本发明针对现有技术存在发射正交波形形成方向图的低增益特性，降低接收端的信噪比，从而影响目标角度估计精度的问题，提出一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法。

本发明的技术方案是：一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，该发射方向图设计方法包括以下步骤：

步骤1：设定期望的发射方向图；

步骤2：令波束域加权矩阵的列向量满足对偶特性，保证接收端的信号满足旋转不变性；

步骤3：根据期望方向图，考虑方向图匹配特性、信号的旋转不变性以及各阵元发射功率相等为约束条件，构建波束域加权矩阵的优化模型W；

步骤4：构造的优化模型为非凸优化问题，利用半正定松弛技术将秩1约束松弛为半正定约束，然后使用内点法获得松弛问题的最优解，在得到松弛问题的最优解后，利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解；

步骤5：通过波束域加权矩阵与正交波形的线性组合得到MIMO雷达的实际发射波形，根据信号的旋转不变性，在接收端使用ESPRIT算法进行DOA估计。

所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，所述步骤1设定期望方向图P_d(θ)的具体方法为：根据方向图的空域角度覆盖范围是包含目标所在方位的一定空域，将整个空域划分为主瓣区域和旁瓣区域 表示主瓣区域内的离散化角度，表示旁瓣区域内的离散化角度。

所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，所述步骤2的具体方法为：为了使接收阵列不受均匀线阵的约束，同时使接收信号满足旋转不变性，令波束加权矩阵的列矢量满足对偶特性，即满足

所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，所述步骤3构建波束域加权矩阵的优化模型W的具体方法为：模型设计准则是在确保M个阵元的发射功率相等，在旁瓣低于一定阈值η的条件下，使得设计波束主瓣逼近期望波束主瓣，即使两者之差最小；该策略通过直接限制旁瓣值来抑制旁瓣，可用于要求旁瓣波动范围较小的应用场景，设计准则可表示为

$\underset{\mathrm{\α},W}{\min }{J}_1=\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)w_k-{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)|}^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)w_k\right|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S.\end{array}$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{\left|w_k\left(j\right)\right|}^2=\frac{P_t}{M},j=1,\mathrm{...},M$

所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，所述步骤4的具体方法为：可把W的优化模型转化成二阶锥规划(Second-orderConeProgramming，SOCP)问题

$\underset{\mathrm{\α},X_k}{\min }\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_l$

$\begin{array}{cc}s.t.& ||\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}2\·tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)X_k\right\}-2{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)\\ {\mathrm{\σ}}_l-1\end{array}||\≤({\mathrm{\σ}}_l+1),{\mathrm{\θ}}_l\∈\mathrm{\Θ},l=1,\mathrm{...},L\end{array}$

$\left|\right|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)X_k\right\}\left|\right|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}diag\left\{X_k\right\}=\frac{P_t}{M}{1}_{M\×1}$

$X_k\≥0,k=1,\mathrm{...},K$

上式中表示矩阵的Frobenius范数；转化为SOCP问题后，就可以内点法进行求解；在得到松弛问题的最优解后，可利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解；所述高斯随机化方法求解波束域加权矩阵包括以下子步骤：

步骤401：给定高斯随机化次数N_g以及最优解

步骤402：若X_opt的秩等于1，则w_k取的主特征向量；若的秩大于1，对其进行特征值分解得然后取复单位圆上的随机向量 $v_k^l(l=1,\mathrm{...},N_g),$ 使得 $w_k^l=U_k{\Σ}_k^{1/2}{v}_k^l;$

步骤403：若不满足 $\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}diag\left\{w_k^l{\left(w_k^l\right)}^H\right\}=P_t/M\×1_{M\×1},$ 则对向量进行尺度变换得到使其满足这一条件；

步骤404：计算优化模型中的目标函数J₁，取使得目标函数最小的作为波束加权矩阵的列矢量。

所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，所述步骤5使用ESPRIT算法进行DOA估计包括以下子步骤：

步骤501：由两个子阵的接收数据r₁、r₂，分别得到两个子阵的协方差矩阵R₁、R₂；

步骤502：对协方差矩阵R₁、R₂矩阵分别进行特征分解，得到两个数据矩阵的信号子空间U_s1、U_s2；

步骤503：令然后对ψ进行特征分解，得到P个特征值，就可以得到对应的P个信号的到达角。

本发明的有益效果是：

1、本发明采用波束域预处理技术，使得实际发射信号为正交波束基的线性组合，相比与传统的方向图设计方法需要两步优化过程，本发明通过一步运算就可以得到实际发射信号；

2、本发明利用对偶的方法构造波束域加权矩阵，保证接收端的信号满足旋转不变性。此时需要求解的加权矩阵的向量数减少了一半，有效降低了计算复杂度；在保证发射方向图与期望方向图逼近的同时，对发射方向图的旁瓣进行了抑制，提高了接收端的信噪比；

3、本发明的目的是在现有研究的基础上，采用波束域预处理技术来逼近期望发射方向图，加入旁瓣抑制约束条件，将能量更有效集中于感兴趣区域内，提高接收端的信噪比，从而改善MIMO雷达的DOA估计性能。

附图说明

图1为MIMO雷达系统结构示意图；

图2为接收端信号处理流程示意图；

图3为本发明的整体方案流程示意图；

图4为本发明的低旁瓣发射方向图；

图5为本发明对目标角度估计的CRB随SNR的变化曲线；

图6为本发明对目标角度估计的均方根误差随SNR的变化曲线；

图7为本发明对目标角度估计的分辨成功概率随SNR的变化曲线。

具体实施方式

实施例1，结合图1-图7，一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，该发射方向图设计方法包括以下步骤：

步骤1：设定期望的发射方向图；设定期望方向图P_d(θ)的具体方法为：根据方向图的空域角度覆盖范围是包含目标所在方位的一定空域，将整个空域划分为主瓣区域和旁瓣区域表示主瓣区域内的离散化角度，表示旁瓣区域内的离散化角度。

步骤2：令波束域加权矩阵的列向量满足对偶特性，保证接收端的信号满足旋转不变性；具体方法为：为了使接收阵列不受均匀线阵的约束，同时使接收信号满足旋转不变性，令波束加权矩阵的列矢量满足对偶特性，即满足

步骤3：根据期望方向图，考虑方向图匹配特性、信号的旋转不变性以及各阵元发射功率相等为约束条件，构建波束域加权矩阵的优化模型W；构建波束域加权矩阵的优化模型W的具体方法为：模型设计准则是在确保M个阵元的发射功率相等，在旁瓣低于一定阈值η的条件下，使得设计波束主瓣逼近期望波束主瓣，即使两者之差最小；该策略通过直接限制旁瓣值来抑制旁瓣，可用于要求旁瓣波动范围较小的应用场景，设计准则可表示为

$\underset{\mathrm{\α},W}{\min }{J}_1=\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)w_k-{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)|}^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)w_k\right|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S.\end{array}$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{\left|w_k\left(j\right)\right|}^2=\frac{P_t}{M},j=1,\mathrm{...},M$

步骤4：构造的优化模型为非凸优化问题，利用半正定松弛技术将秩1约束松弛为半正定约束，然后使用内点法获得松弛问题的最优解，在得到松弛问题的最优解后，利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解；

具体方法为：可把W的优化模型转化成二阶锥规划(Second-orderConeProgramming，SOCP)问题

$\underset{\mathrm{\α},X_k}{\min }\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_l$

$\begin{array}{cc}s.t.& ||\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}2\·tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)X_k\right\}-2{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)\\ {\mathrm{\σ}}_l-1\end{array}||\≤({\mathrm{\σ}}_l+1),{\mathrm{\θ}}_l\∈\mathrm{\Θ},l=1,\mathrm{...},L\end{array}$

$\left|\right|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)X_k\right\}\left|\right|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}diag\left\{X_k\right\}=\frac{P_t}{M}{1}_{M\×1}$

X_k≥0,k＝1,…,K

上式中表示矩阵的Frobenius范数；转化为SOCP问题后，就可以内点法进行求解；在得到松弛问题的最优解后，可利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解；所述高斯随机化方法求解波束域加权矩阵包括以下子步骤：

步骤401：给定高斯随机化次数N_g以及最优解

步骤402：若X_opt的秩等于1，则w_k取的主特征向量；若的秩大于1，对其进行特征值分解得然后取复单位圆上的随机向量 $v_k^l(l=1,\mathrm{...},N_g),$ 使得 $w_k^l=U_k{\Σ}_k^{1/2}{v}_k^l;$

步骤403：若不满足 $\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}diag\left\{w_k^l{\left(w_k^l\right)}^H\right\}=P_t/M\×1_{M\×1},$ 则对向量进行尺度变换得到使其满足这一条件；

步骤404：计算优化模型中的目标函数J₁，取使得目标函数最小的作为波束加权矩阵的列矢量。

步骤5：通过波束域加权矩阵与正交波形的线性组合得到MIMO雷达的实际发射波形，根据信号的旋转不变性，在接收端使用ESPRIT算法进行DOA估计。使用ESPRIT算法进行DOA估计包括以下子步骤：

步骤501：由两个子阵的接收数据r₁、r₂，分别得到两个子阵的协方差矩阵R₁、R₂；

步骤502：对协方差矩阵R₁、R₂矩阵分别进行特征分解，得到两个数据矩阵的信号子空间U_s1、U_s2；

步骤503：令然后对ψ进行特征分解，得到P个特征值，就可以得到对应的P个信号的到达角。

实施例2：结合图1-图7，如图1所示为MIMO雷达系统构，假设发射阵元为M，接收阵元为N的MIMO雷达，阵元间距分别为d_t和d_r，发射阵列和接收阵列距离较近。假设目标位于远场，目标到达阵列的距离远大于阵列孔径，收发阵列对目标的观测角相同。假设空间中感兴趣的区域内共存在P个目标，方位分别为[θ₁,…,θ_P]。

采用正交波形的MIMO雷达发射能量均匀分布在整个空间，然而感兴趣的目标通常集中在较小的空域，全向发射会造成能量浪费。为了将发射能量集中在感兴趣空域减少在不感兴趣空域的辐射能量，这里引入波束加权矩阵W，使发射信号为正交波束基的线性组合(K≤M)，即发射信号为M×K维的波束加权矩阵，w_k∈C^M×1是第k个正交波束的加权矢量。正交波形满足T是脉冲周期，符号和分别表示转置和共轭运算。空间θ方向接收到的信号为：

其中a(θ)为M×1维的发射导向矢量，符号表示共轭转置。假设空间中存在P个目标，考虑目标满足SweilingII起伏模型，即在一个发射脉冲周期内目标的RCS恒定，脉冲与脉冲之间的起伏相互统计独立。经目标反射后，t时刻到达接收阵列的第τ个回波脉冲为

β_p(τ)表示目标回波的复振幅，方差为b(θ_p)为第p个目标的接收导向矢量，n(t,τ)是N×1维的加性复高斯噪声。

在接收端使用进行波形分离，信号处理过程如图2所示。r(t,τ)与K个正交波形匹配滤波后的总输出经矩阵拉直处理后可得

$y\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{p=1}{\overset{P}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_p\left(\mathrm{\τ}\right)\left(W^{H}a\right({\mathrm{\θ}}_p\left)\right)\⊗b\left({\mathrm{\θ}}_p\right)+\tilde{n}\left(\mathrm{\τ}\right)$

其中表示Kronecker积，为KN×1噪声矢量，噪声矢量服从方差为的复高斯过程I_KN表示KN维的单位阵。

如图2所示，MIMO雷达系统在接收端的信号处理模型，先进行匹配滤波，然后对接收数据进行向量化处理，最后对数据进行处理得到目标的角度信息。

如图3所示，本发明一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，包括以下步骤：

步骤1：设定期望的发射方向图。根据方向图的空域角度覆盖范围是包含目标所在方位的一定空域，将整个空域划分为主瓣区域和旁瓣区域 表示主瓣区域内的离散化角度，表示旁瓣区域内的离散化角度。

步骤2：令波束域加权矩阵的列向量满足对偶特性，保证接收端的信号满足旋转不变性。为了使接收阵列不受均匀线阵的约束，同时使接收信号满足旋转不变性，当正交波束基的数目K为偶数，则波束加权矩阵W应满足条件

$\left|a{\left(\mathrm{\θ}\right)}^H{w}_k\right|=\left|a{\left(\mathrm{\θ}\right)}^H{w}_{K/2+k}\right|,\mathrm{\θ}\∈\[-\frac{\mathrm{\π}}{2},\frac{\mathrm{\π}}{2}\],k=1,\mathrm{..},\frac{K}{2}$

为了便于求解W，令波束加权矩阵的列矢量满足对偶特性，即

步骤3：根据期望方向图，考虑方向图匹配特性、信号的旋转不变性以及各阵元发射功率相等为约束条件，构建波束域加权矩阵的优化模型。模型设计准则是在确保M个阵元的发射功率相等，在旁瓣低于一定阈值η的条件下，使得设计波束主瓣逼近期望波束主瓣，即使两者之差最小。该策略通过直接限制旁瓣值来抑制旁瓣，可用于要求旁瓣波动范围较小的应用场景，设计准则可表示为以下优化模型

$\underset{\mathrm{\α},W}{\min }{J}_1=\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)w_k-{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)|}^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)w_k\right|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S\end{array}$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{\left|w_k\left(j\right)\right|}^2=\frac{P_t}{M},j=1,\mathrm{...},M$

步骤4：构造的优化模型为非凸优化问题，利用半正定松弛技术将秩1约束松弛为半正定约束，然后使用内点法获得松弛问题的最优解。在得到松弛问题的最优解后，利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解。引入辅助变量(k＝1,…,K)；根据矩阵迹的性质有 $w_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)w_k=tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)w_k{w}_k^H\right\},$ 则上式可以转化为

$\underset{\mathrm{\α},X_k}{\min }\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{\left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\right\{a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)X_k\}-{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)|}^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\right\{a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)X_k|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S\end{array}$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}daig\left\{X_k\right\}=\frac{P_t}{M}{1}_{M\×1}$

rank(X_k)＝1,k＝1,…,K

其中，表示矩阵的迹，表示矩阵的对角化矢量；由于秩1约束rank(X_k)＝1条件是非凸的，考虑采用半正定松弛秩1约束，令X_k满足半正定条件(X_k≥0)，可将问题转化为凸优化问题

$\underset{\mathrm{\α},X_k}{\min }\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{\left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\right\{a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)X_k\}-{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)|}^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\right\{a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)X_k\left\}\right|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S\end{array}$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}diag\left\{X_k\right\}=\frac{P_t}{M}{1}_{M\×1}$

X_k≥0，k＝1,…,K

转化为凸优化问题后，通过引入一组新变量可把该优化问题转化成二阶锥规划(Second-orderConeProgramming，SOCP)问题

$\underset{\mathrm{\α},X_k}{\min }\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_l$

$\begin{array}{cc}s.t.& ||\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}2\·tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)X_k\right\}-2{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)\\ {\mathrm{\σ}}_l-1\end{array}||\≤({\mathrm{\σ}}_l+1),{\mathrm{\θ}}_l\∈\mathrm{\Θ},l=1,\mathrm{...},L\end{array}$

$\left|\right|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)X_k\right\}\left|\right|\≤\mathrm{\η},{\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},s=1,\mathrm{...},S$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}diag\left\{X_k\right\}=\frac{P_t}{M}{1}_{M\×1}$

X_k≥0,k＝1,…,K

式中表示矩阵的Frobenius范数。转化为SOCP问题后，就可以内点法进行求解。在得到松弛问题的最优解后，可以利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解。高斯随机化方法具体算法步骤如表1所示。

表1基于高斯随机化的波束加权矩阵求解算法

步骤5：通过波束域加权矩阵与正交波形的线性组合得到MIMO雷达的实际发射波形，根据信号的旋转不变性，在接收端使用ESPRIT算法进行DOA估计。ESPRIT算法进行DOA估计具体算法步骤如表2所示。

表2基于ESPRIT的DOA估计算法

DOA估计的克拉美罗界(Cramer–RaoBound，CRB)是到达角的无偏估计方差理论下界。依据MIMO雷达的信号模型，在接收端进行DOA估计的克拉美罗界CRB为

其中，T为快拍数，表示Hadamard积。I_KN为KN维的单位矩阵， $V=\[\left(W^{H}a\right({\mathrm{\θ}}_1\left)\right)\⊗b\left({\mathrm{\θ}}_1\right),\mathrm{...},\left(W^{H}a\right({\mathrm{\θ}}_P\left)\right)\⊗b\left({\mathrm{\θ}}_P\right)\]$ 表示虚拟阵列流型，P为目标个数。G＝SV^HR^-1VS，S为目标反射系数的协方差矩阵，R为接收信号的协方差矩阵。D＝[d(θ₁),…,d(θ_P)]的列矢量可表示为

$\begin{array}{c}d\left(\mathrm{\θ}\right)=\frac{\∂v\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂\mathrm{\θ}}=\frac{\∂\left(W^{H}a\right(\mathrm{\θ}\left)\right)\⊗b\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂\mathrm{\θ}}\\ =W^H{a}^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\⊗b\left(\mathrm{\θ}\right)+W^{H}a\left(\mathrm{\θ}\right)\⊗b^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}$

式中为求导运算， $a^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)=\∂a\left(\mathrm{\θ}\right)/\∂\mathrm{\θ},b^{\′}\left(\mathrm{\θ}\right)=\∂b\left(\mathrm{\θ}\right)/\∂\mathrm{\θ}.$

本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明。

1)仿真条件：

MIMO雷达发射阵列为均匀线阵，阵元数M＝10，阵元间距为λ/2，接收阵元数N＝10，接收阵列为非均匀直线阵，阵元位置随机分布在[0,9]λ/2的范围内。发射总功率P_t＝M，正交波束基个数K＝2。正交波形采用的形式为码长T_p取1024。假设感兴趣的空域为不感兴趣的方向为和内的角度采样点数分别为L＝100，S＝400。

2)仿真实验：

在仿真实验中，针对上述仿真条件，图4给出了传统正交波形、发射波束域波形设计TBD方法(IEEETransactionsonSignalprocessing，2014，62(6)：1490-1500)以及本发明的低旁瓣发射方向图设计的发射方向图比较。参照图4可以看出，正交波形所形成方向图在空间中全向分布。TBD形成的方向图能够将能量聚集在[-10⁰,10⁰]的区域内，但方向图旁瓣高。相比于TBD方法，本发明的发射方向图的旁瓣值得到了得到了有效抑制。

为了验证本文所提方法的DOA估计性能，假设感兴趣空域内存在两个目标，方位分别为θ₁＝-5⁰和θ₂＝5⁰。假设噪声为均值为0，方差的复高斯白噪声。目标散射系数服从零均值，方差为的复高斯分布。接收信噪比区间取[-30,30]dB，间隔为3dB，快拍数取50，采用ESPRIT算法进行DOA估计，进行500次蒙特卡洛试验。图5、图6分别给出了传统正交波形、TBD方法以及本发明DOA估计的CRB与均方根误差。均方根误差(Root-mean-squareError，RMSE)的表达式为 $RMSE=\sqrt{\frac{1}{2Q}\underset{p=1}{\overset{Q}{\Σ}}\[{({\mathrm{\θ}}_1-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{1,q})}^2+{({\mathrm{\θ}}_2-{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{2,q})}^2\]},Q=500,$ 为到达角θ_l(l＝1,2)在第q次蒙特卡洛试验中的估计值。参照图5、6可以看出，正交波形的角度估计性能最差，是因为正交波形有能量浪费在感兴趣的区域之外，使接收信噪比低。TBD方法的DOA估计性能优于正交波形，本发明的DOA估计性能最好。

为验证本文方法区分角度相近目标的性能，假设目标方位位于θ₁＝7⁰和θ₂＝8⁰，对比DOA分辨临近目标的成功概率。当目标角度的估计值和真实值θ_l满足条件时，判定为分辨成功。图7给出了正交波形、TBD方法以及本发明的角度分辨成功概率。参照图7可以看出，正交波形的角度分辨成功概率最低，而本发明采用了方向图旁瓣抑制方法，进一步减少了能量在旁瓣区域的耗散，提高接收端信噪比，使得角度分辨率优于其他两种方法。

Claims (6)

1.一种改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，其特征在于：该发射方向图设计方法包括以下步骤：

步骤1：设定期望的发射方向图；

步骤2：令波束域加权矩阵的列向量满足对偶特性，保证接收端的信号满足旋转不变性；

步骤3：根据期望方向图，考虑方向图匹配特性、信号的旋转不变性以及各阵元发射功率相等为约束条件，构建波束域加权矩阵的优化模型W；

步骤4：构造的优化模型为非凸优化问题，利用半正定松弛技术将秩1约束松弛为半正定约束，然后使用内点法获得松弛问题的最优解，在得到松弛问题的最优解后，利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解；

步骤5：通过波束域加权矩阵与正交波形的线性组合得到MIMO雷达的实际发射波形，根据信号的旋转不变性，在接收端使用ESPRIT算法进行DOA估计。

2.根据权利要求1所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，其特征在于：所述步骤1设定期望方向图P_d(θ)的具体方法为：根据方向图的空域角度覆盖范围是包含目标所在方位的一定空域，将整个空域划分为主瓣区域Θ和旁瓣区域θ_l∈Θ,(l＝1,…,L)表示主瓣区域内的离散化角度，表示旁瓣区域内的离散化角度。

3.根据权利要求1所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，其特征在于：所述步骤2的具体方法为：为了使接收阵列不受均匀线阵的约束，同时使接收信号满足旋转不变性，令波束加权矩阵的列矢量满足对偶特性，即满足

4.根据权利要求1所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，其特征在于，所述步骤3构建波束域加权矩阵的优化模型W的具体方法为：模型设计准则是在确保M个阵元的发射功率相等，在旁瓣低于一定阈值η的条件下，使得设计波束主瓣逼近期望波束主瓣，即使两者之差最小；该策略通过直接限制旁瓣值来抑制旁瓣，可用于要求旁瓣波动范围较小的应用场景，设计准则可表示为

$\underset{\mathrm{\α},W}{min}{J}_1=\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)w_k-{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right){|}^2$

$\begin{array}{ccc}s.t.& \left|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}{w}_k^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)w_k\right|\≤\mathrm{\η},& {\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},\end{array}s=1,...,S.$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}|w_k\left(j\right){|}^2=\frac{P_t}{M},j=1,...,M$

5.根据权利要求1所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，其特征在于：所述步骤4的具体方法为：可把W的优化模型转化成二阶锥规划(Second-orderConeProgramming，SOCP)问题

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\α},X_k}{min}& \underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_l\end{array}$

$\begin{array}{ccc}s.t.& ||\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}2\·tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_l\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_l\right)X_k\right\}-2{\mathrm{\αP}}_d\left({\mathrm{\θ}}_l\right)\\ {\mathrm{\σ}}_l-1\end{array}||\≤({\mathrm{\σ}}_l+1),& {\mathrm{\θ}}_l\∈\mathrm{\Θ},\end{array}l=1,...,L$

$\begin{array}{cc}\left|\right|\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}tr\left\{a\left({\mathrm{\θ}}_s\right)a^H\left({\mathrm{\θ}}_s\right)X_k\right\}\left|\right|\≤\mathrm{\η},& {\mathrm{\θ}}_s\∈\stackrel{\‾}{\mathrm{\Θ}},\end{array}s=1,...,S$

$\underset{k=1}{\overset{K}{\Σ}}diag\left\{X_k\right\}=\frac{P_t}{M}{1}_{M\×1}$

X_k≥0,k＝1,…,K

上式中表示矩阵的Frobenius范数；转化为SOCP问题后，就可以内点法进行求解；在得到松弛问题的最优解后，可利用高斯随机化方法得到原优化问题的最优解；所述高斯随机化方法求解波束域加权矩阵包括以下子步骤：

步骤401：给定高斯随机化次数N_g以及最优解

步骤402：若X_opt的秩等于1，则w_k取的主特征向量；若的秩大于1，对其进行特征值分解得然后取复单位圆上的随机向量 $v_k^l(l=1,...,N_g),$ 使得 $w_k^l=U_k{\mathrm{\Σ}}_k^{1/2}{v}_k^l;$

步骤403：若不满足则对向量进行尺度变换得到使其满足这一条件；

步骤404：计算优化模型中的目标函数J₁，取使得目标函数最小的作为波束加权矩阵的列矢量。

6.根据权利要求1所述的改善MIMO雷达DOA估计性能的低旁瓣发射方向图设计方法，其特征在于，所述步骤5使用ESPRIT算法进行DOA估计包括以下子步骤：

步骤501：由两个子阵的接收数据r₁、r₂，分别得到两个子阵的协方差矩阵R₁、R₂；

步骤502：对协方差矩阵R₁、R₂矩阵分别进行特征分解，得到两个数据矩阵的信号子空间U_s1、U_s2；

步骤503：令然后对ψ进行特征分解，得到P个特征值，就可以得到对应的P个信号的到达角。