CN104833959A - 基于目标先验信息的mimo雷达波形优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种MIMO雷达波形优化方法，用于杂波场景下目标先验信息存在条件下改善MIMO雷达系统参数估计性能。其实现方法是，首先构建MIMO雷达信号模型，基于此模型推导未知参数的克拉美罗界(CRB)；基于Trace-Opt准则，最小化CRB的迹，建立波形优化模型；基于对角加载(DL)方法，松弛非线性优化问题为半定规划(SDP)问题，以获得优化问题的高效求解，从而提高系统的参数估计性能。与不相关发射波形以及非先验场景相比，本发明可显著提高系统参数估计性能。

Description

基于目标先验信息的MIMO雷达波形优化方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，更进一步涉及波形优化技术领域的信号依赖噪声环境下基于目标先验信息的MIMO雷达波形优化方法。

背景技术

近年来，多输入多输出(multiple-input multiple-output，MIMO)技术在通信和雷达领域引起了广泛的关注和研究，而波形优化是MIMO雷达的一个重要研究课题。MIMO雷达利用多个天线进行信号发射，并在接收端采用多个天线进行接收，此即所谓的波形分集。根据天线之间距离不同，MIMO雷达分为分布式MIMO雷达和集中式MIMO雷达。前者利用多天线在地域上的广泛分布，使得各接收天线信号之间相互独立以获得分集增益。后者则各个接收天线间距都较近，从而相当于对目标只从一个视角进行观测，使得各个发射接收通道的目标回波是完全相关的，充分利用发射信号的多样性，提高了系统自由度。

根据波形优化问题中优化对象的不同，波形优化可以分为两类方法：(1)仅设计发射波形；(2)发射、接收波形联合设计。对于前者，优化目标为波形协方差矩阵或者雷达模糊函数。而对于后者，可通过联合优化发射接收端来改善系统性能，比如，最大化信号与干扰加噪声比可以提高MIMO雷达的检测性能。

在波形优化方法的研究过程中，之前的许多学者则取得了非常显著的成就。J.Li等研究了点目标场景下基于克拉美罗界的波形设计以改善系统参数估计性能的问题。需要注意的是，此研究成果基于目标回波不会受到杂波干扰的情况。然而，在大多数工程应用中，杂波经常会伴随目标回波进入接收机。而且，在不利用任何先验信息情况下，克拉美罗界为无偏估计提供了一个下界。事实上，在阵列信号处理领域，参数估计时一些先验信息可能是有用的，比如信号的恒模特性等。基于此，一种新的参数估计下界被提出，即所谓的约束克拉美罗界(constrained CRB)。基于以上讨论可知，研究在杂波背景下基于先验信息的波形优化问题是很有现实意义的。

发明内容

本发明目的在于克服上述已有技术不足，提出了一种信号依赖噪声环境下基于目标先验信息的MIMO雷达波形优化方法，该方法通过一种新的对角加载技术解决波形优化问题，以减轻估计误差和参数不确定带来的系统灵敏度问题，从而提高最坏情况下的MIMO雷达波形优化参数估计性能。

基于constrained CRB，本发明提出了在杂波环境下基于感兴趣目标先验信息的MIMO雷达波形优化问题，通过最小化constrained CRB的迹来优化波形协方差矩阵，从而实现杂波环境下MIMO雷达波形优化，进而改善杂波环境下MIMO雷达系统参数估计的性能。由于此问题为关于波形协方差矩阵高度复杂的非线性问题，从而不能利用传统方法快速获得有效求解。针对此问题，本发明利用对角加载方法将此问题松弛为半定规划问题，从而可以获得高效求解，进而可以基于现有硬件技术，实现此方法的工程应用。

本发明基于目标先验信息的MIMO雷达波形优化方法，其包括如下步骤：

步骤一、构建MIMO雷达信号模型 

假设MIMO雷达接收信号为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\θ}\right)a_c\left(\mathrm{\θ}\right)v_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{Sd\θ}+W$

其中，为正比于目标RCS的复幅度，为目标位置参数，K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知；为发射信号矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\mathrm{\τ}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\mathrm{\τ}}_{M_r}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

$v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{M_t}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

其中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量；

设距离环被分为N_C(N_C＞＞NML)个杂波块，MIMO雷达接收信号模型可被重新表示为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)\mathrm{\Φ}+\underset{i=1}{\overset{N_C}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\θ}}_i\right)a_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right)v_c^T\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\mathrm{\Φ}+W$

其中，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量；

定义vec(H_c)为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为 $R_{H_c}=E\left[\mathrm{vec}\left(H_c\right){\mathrm{vec}}^H\left(H_c\right)\right]\≥0;$

步骤二、构建基于CRB的MIMO雷达波形优化模型

考虑带有未知参数此时有β_R＝[β_R,1,β_R,2,…,β_R,K]^T，β_I＝[β_I,1,β_I,2,…,β_I,K]^T， θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T，β_R＝Re(β)，β_I＝Im(β)，则约束CRB(constrained CRB)表示为：

J＝U(U^HFU)^-1U^H

F表示费舍尔信息矩阵，U满足以下两个等式：

G(x)U(x)＝0,U^H(x)U(x)＝I

此时假定是行满秩的，g(x)是关于x的函数，U是g(x)的超平面切线；

矩阵β＝diag(β₁，β₂，…，β_K)的复幅度设为已知，即：

g_i(x)＝β_R,i-1＝0,i＝1,…,K

g_j(x)＝β_I,j-1＝0,j＝K+1,…,2K

可得，G＝[0_2K×K,I_2K×2K]，0_2K×K表示2K×K的零矩阵；相应的零空间U表示为：U＝[I_K×K 0_K×2K]^H；

经过推导，F表示为：

$F=2\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ {-\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& {-\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]$

其中，

$\begin{array}{c}{F}_{12}=\mathrm{diag}\left({\mathrm{\β}}^{*}\right)\{\left({(\stackrel{.}{V}*A)}^H{(I+(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})(V*A)\right)\\ +\left({(V*\stackrel{.}{A})}^H{(I+(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})(V*A)\right)\}\end{array}$

$F_{22}={(V*A)}^H{(I+(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})(V*A)$

R_Φ＝Φ^*Φ^T

A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)],V＝[v(θ₁),v(θ₂),…,v(θ_K)],β＝[β₁,β₂,…,β_K]^T

$\stackrel{.}{A}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right],\stackrel{.}{V}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right]$

在杂波环境下，基于感兴趣目标的先验信息优化MIMO雷达发射波形，此模型可描述如下：在关于WCM的功率约束下，通过优化constrained CRB的相关特性从而优化波形协方差矩阵，在Trace-opt准则下，优化问题描述为：

$\begin{array}{cc}\underset{R_{\mathrm{\Φ}}}{\min }& \mathrm{tr}\left(J\right)\\ s.t.& R_{\mathrm{\Φ}}\≥0\\ & \mathrm{tr}\left(R_{\mathrm{\Φ}}\right)=P\end{array}$

其中，P表示总的发射功率；

步骤三、非线性优化问题的求解

对上式中的非线性函数求解，采用对角加载(DL)技术，将此技术分别应用于R_Φ、可得式中，ε＜＜λ_max(R_Φ),μ＜＜λ_max(R_Hc)为加载因子，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值，通过试验，可设ε＝λ_max(R_Φ)/1000,利用代替优化问题中的R_Φ,得到基于此特性，可推得下述命题：

命题：利用矩阵相关性质以及不等式，优化问题的约束条件可转化为如下线性矩阵不等式(LMI)：

$\mathrm{\αI}\≤{\tilde{R}}_{H_c}-{\tilde{R}}_{H_c}E{\tilde{R}}_{H_c}\≤\mathrm{\βI}$

式中， $E={(I+({\tilde{R}}_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1}){\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1}),\mathrm{\α}=\frac{1}{(\mathrm{LP}+\mathrm{\ϵ}){\mathrm{\λ}}_{\min }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(R_{H_c}\right)},$ $\mathrm{\β}=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ\λ}}_{\max }\left(B\right)+\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)}.$

基于上述命题，非线性波形优化问题可利用引理1松弛为半定规划(SDP)问题；

引理1.假设厄米矩阵 $Z=\left[\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right]$ 的则当且仅当ΔC≥0时，Z≥0，其中，ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补；

基于上述命题以及引理1，波形优化问题可转化为如下SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{X,E}{\min }& \mathrm{tr}\left(X\right)\\ s.t.& \mathrm{\αI}\≤{\tilde{R}}_{H_c}-{\tilde{R}}_{H_c}E{\tilde{R}}_{H_c}\≤\mathrm{\βI}\\ & \left[\begin{array}{cc}X& U\\ U^H& U^H\mathrm{FU}\end{array}\right]\≥0\end{array}$

其中，x为辅助优化变量；

得到最优的E后，可基于最小二乘方法拟合R_Φ，具体可刻画如下：

$\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{\Φ}}=\arg \underset{R_{\mathrm{\Φ}}}{\min }{\left|\right|{(E^{-1}-{\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}-{\tilde{R}}_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1}\left|\right|}_F\\ \begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left(R_{\mathrm{\Φ}}\right)=\mathrm{LP}\end{array}\\ \begin{array}{cc}& R_{\mathrm{\Φ}}\≥0\end{array}\end{array}$

上式可等价表示为如下SDP问题：

$\begin{array}{c}\underset{R_{\mathrm{\Φ}},t}{\min }t\\ s.t.\left[\begin{array}{cc}t& {\mathrm{vec}}^H({\left(E^{-1}{\tilde{R}}_{H_c}\right)}^{-1}-{\tilde{R}}_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})\\ \mathrm{vec}({(E^{-1}-{\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}-{\tilde{R}}_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})& I\end{array}\right]\\ \mathrm{tr}\left(R_{\mathrm{\Φ}}\right)=\mathrm{LP}\\ R_{\mathrm{\Φ}}\≥0\end{array}\≥0$

其中，t是辅助优化变量；

步骤四、通过对步骤三中SDP问题进行求解，得到MIMO雷达发射波形的波形协方差矩阵，然后，通过交替迭代方法对波形协方差矩阵进行逐步分解，最终得到优化后的MIMO雷达发射波形。

本发明的有益效果如下：

第一，针对杂波场景下提高MIMO雷达系统参数估计性能的问题，本发明提出基于先验信息优化发射波形，以提高MIMO雷达系统参数估计性能。与不利用先验信息相比，本方法可显著提高系统参数估计性能。

第二，提出一种基于对角加载技术求解复杂的非线性波形优化问题的方法。基于对角加载方法，可将非线性波形优化问题转化为半正定规划问题，从而可以利用比较成熟的优化工具箱获得高效求解。

附图说明

图1为本发明实现的流程图；

图2为本发明在阵列信噪比为50dB、杂噪比为10dB条件下最佳发射信号波束方向图；

图3为约束CRB随ASNR或CNR的变化表述；

图4为先验场景、非先验场景以及非相关发射波形条件下CRB随ASNR或CNR的变化表述。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述。

如图所示，本发明基于目标先验信息的MIMO雷达波形优化方法的实现过程如下：

1、建立非线性波形优化问题模型

1)构建MIMO雷达信号模型 

假设MIMO雷达接收信号为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+{\∫}_{-\mathrm{\π}}^{\mathrm{\π}}\mathrm{\ρ}\left(\mathrm{\θ}\right)a_c\left(\mathrm{\θ}\right)v_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{Sd\θ}+W$

其中，为正比于目标RCS(雷达横截面)的复幅度，为目标位置参数，两者都需要估计。K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知，为发射信号矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\mathrm{\τ}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\mathrm{\τ}}_{M_r}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

$v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2{\mathrm{\πf}}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{M_t}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$

f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量。

设距离环被分为N_C(N_C＞＞NML)个杂波块，接收信号模型可被重新表示为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)\mathrm{\Φ}+\underset{i=1}{\overset{N_C}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\θ}}_i\right)a_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right)v_c^T\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\mathrm{\Φ}+W$

其中，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量。

为推导方便起见，可定义vec(H_c)可以考虑为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为

2)先验知识条件下的CRB推导

考虑带有未知参数此时有β_R＝[β_R,1,β_R,2,…,β_R,K]^T，β_I＝[β_I,1,β_I,2,…,β_I,K]^T，θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T，β_R＝Re(β)，β_I＝Im(β)，则constrained CRB可以表示为：

J＝U(U^HFU)^-1U^H

F表示费舍尔信息矩阵(FIM)，U满足以下两个等式：

G(x)U(x)＝0,U^H(x)U(x)＝I

此时假定是行满秩的，g(x)是关于x的函数，U是g(x)的超平面切线。

在阵列处理过程中，信号或者感兴趣目标的一些先验信息是可以利用的，例如，发射信号的恒模特性。基于这些事实，一个感兴趣的目标信息可以通过很多方法获得。在本发明中，矩阵β＝diag(β₁，β₂，…，β_K)的复幅度可设为已知，即：

g_i(x)＝β_R,i-1＝0,i＝1,…,K

g_j(x)＝β_I,j-1＝0,j＝K+1,…,2K

我们可以得到，G＝[0_2K×K,I_2K×2K]，0_2K×K表示2K×K的零矩阵。因此，相应的零空间U可以表示为：U＝[I_K×K 0_K×2K]^H。

经过推导，F可以表示为： 

$F=2\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ {-\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& {-\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]$

其中，

$\begin{array}{c}{F}_{12}=\mathrm{diag}\left({\mathrm{\β}}^{*}\right)\{\left({(\stackrel{.}{V}*A)}^H{(I+(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})(V*A)\right)\\ +\left({(V*\stackrel{.}{A})}^H{(I+(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})(V*A)\right)\}\end{array}$

$F_{22}={(V*A)}^H{(I+(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\Φ}}\⊗B^{-1})(V*A)$

R_Φ＝Φ^*Φ^T

A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)],V＝[v(θ₁),v(θ₂),…,v(θ_K)],β＝[β₁,β₂,…,β_K]^T

$\stackrel{.}{A}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂a\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right],\stackrel{.}{V}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& ...& \frac{\∂v\left({\mathrm{\θ}}_K\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_K}\end{array}\right]$

3)波形优化问题的构建

在杂波环境下，基于感兴趣目标的先验信息优化MIMO雷达发射波形，从而提高参数估计性能，此模型可描述如下：在关于WCM的功率约束下，通过优化constrained CRB的相关特性从而优化波形协方差矩阵，在Trace-opt准则下，优化问题可以描述为：

$\begin{array}{cc}\underset{R_{\mathrm{\Φ}}}{\min }& \mathrm{tr}\left(J\right)\\ s.t.& R_{\mathrm{\Φ}}\≥0\\ & \mathrm{tr}\left(R_{\mathrm{\Φ}}\right)=P\end{array}$

其中，P表示总的发射功率。

很明显，CRB矩阵的迹，即上式的目标函数，是一个关于R_S较为复杂的非线性函数，因而使用传统的凸优化方法难以求解。

2.基于对角加载技术的非线性优化问题求解

上述中的非线性函数难以求解，为求解此问题，本发明基于稳健波束形成方法中普遍采用的对角加载(DL)技术，将此技术分别应用于R_Φ、可得 式中，ε＜＜λ_max(R_Φ), $\mathrm{\&mu;}<<{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)$ 就是加载因子，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值，通过试验，可设ε＝λ_max(R_Φ)/1000,利用代替优化问题中的R_Φ,明显的，可以得到基于此特性，本发明可以推得下述命题：

命题：利用矩阵相关性质以及不等式，优化问题的约束条件可转化为如下线性矩阵不等式(LMI)：

$\mathrm{\&alpha;I}\&le;{\tilde{R}}_{H_c}-{\tilde{R}}_{H_c}E{\tilde{R}}_{H_c}\&le;\mathrm{\&beta;I}$

式中， $E={(I+({\tilde{R}}_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1}){\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1}),\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{(\mathrm{LP}+\mathrm{\&epsiv;}){\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(B\right)+\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(R_{H_c}\right)},$ $\mathrm{\&beta;}=\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}_{\max }\left(B\right)+\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)}.$

基于上述命题，非线性波形优化问题可以利用下述引理1松弛为半正定规划(SDP)问题。

引理1.假设厄米矩阵 $Z=\left[\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right]$ 的则当且仅当ΔC≥0时，Z≥0，其中， ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补。

基于上述讨论，波形优化问题可转化为如下SDP问题：

$\begin{array}{cc}\underset{X,E}{\min }& \mathrm{tr}\left(X\right)\\ s.t.& \mathrm{\&alpha;I}\&le;{\tilde{R}}_{H_c}-{\tilde{R}}_{H_c}E{\tilde{R}}_{H_c}\&le;\mathrm{\&beta;I}\\ & \left[\begin{array}{cc}X& U\\ U^H& U^H\mathrm{FU}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0\end{array}$

其中，x为辅助变量。 

3.基于最小二乘方法拟合R_Φ

得到最优的E后，可基于最小二乘方法(LS)拟合R_Φ，具体可刻画如下：

$\begin{array}{c}{R}_{\mathrm{\&Phi;}}=\arg \underset{R_{\mathrm{\&Phi;}}}{\min }{\left|\right|{(E^{-1}-{\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}-{\tilde{R}}_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1}\left|\right|}_F\\ \begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left(R_{\mathrm{\&Phi;}}\right)=\mathrm{LP}\end{array}\\ \begin{array}{cc}& R_{\mathrm{\&Phi;}}\&GreaterEqual;0\end{array}\end{array}$

基于引理1，上述问题可等价表示为如下所示SDP问题：

$\begin{array}{c}\underset{R_{\mathrm{\&Phi;}},t}{\min }t\\ s.t.\left[\begin{array}{cc}t& {\mathrm{vec}}^H({\left(E^{-1}{\tilde{R}}_{H_c}\right)}^{-1}-{\tilde{R}}_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})\\ \mathrm{vec}({(E^{-1}-{\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}-{\tilde{R}}_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})& I\end{array}\right]\\ \mathrm{tr}\left(R_{\mathrm{\&Phi;}}\right)=\mathrm{LP}\\ R_{\mathrm{\&Phi;}}\&GreaterEqual;0\end{array}\&GreaterEqual;0$

其中，t是一个辅助变量。

4、利用成熟的优化工具箱对SDP问题进行高效求解，得到MIMO雷达发射波形的波形协方差矩阵，然后，通过交替迭代方法对波形协方差矩阵进行逐步分解，最终得到优化后的MIMO雷达发射波形。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真条件： 

MIMO雷达是5发5收，利用两个MIMO雷达系统，其天线配置分别是：MIMO雷达(0.5,0.5)、MIMO雷达(2.5,0.5)，这里对每个雷达系统进行标记的数据指的是—发射器和接收器的内子阵间距(以波长为单位)，阵列信噪比的定义为设置为从-10dB到50dB变化，采样点数为256。其中，P为总发射功率，指所附加的白色热噪声的方差，在θ＝0°处有一个目标，杂波的建模使用离散点，其RCS建模为独立同分布的高斯随机变向量，均值为零，方差为并假设相干处理时间内固定。信杂噪比定义为变化范围是10到50dB，在θ＝8°方向有一个强干扰，信噪比为60dB。

图2示出ASNR＝50dB和CNR＝10dB条件下最佳发射信号波束方向图。可以观察到，发射信号波束方向图的峰值位于目标位置周围，这意味着，大部分发射功率聚焦在目标角度，使得参数估计性能得到改善。此外，由于稀疏发射阵列，MIMO雷达(2.5，0.5)会出现栅瓣，如图2(b)所示。

图2刻画了约束CRB随ASNR或CNR的变化趋势。可以看到，随着ASNR的增加，所提方法或不相关波形得到的CRB随ASNR增加而降低，而随着CNR增加而增加。而且，所提方法得到的CRB比不相关波形低很多。此外，由图2(a)或者(b)可以观察到，MIMO(2.5，0.5)的CRB比MIMO雷达(0.5,0.5)的低，这是因为前者的虚拟口径比后者大。

图4表述了先验场景、非先验场景以及非相关发射波形条件下CRB随ASNR或CNR的变化。可以看到，在不考虑ASNR或者CNR时，和非基于先验信息以及非相关发射波形的情况相比，基于先验信息情况下得到的优化发射波形能够更好改善MIMO雷达的参数估计性能。

综上所述，本发明针对杂波场景下提高MIMO雷达系统参数估计性能的问题，提出基于先验知识优化发射波形以改善系统参数估计性能的方法。本发明利用系统可得的先验知识，推导此场景下的未知参数克拉美罗界，而后基于Trace-Opt准则构建波形优化问题。由于此问题是关于优化变量的复杂非线性问题，难以利用传统的优化方法求解。针对此问题，本发明提出一种基于对角加载技术的方法以将此非线性问题松弛为半定规划问题，从而可以获得高效求解。与不利用先验知识的波形优化方法相比较可知，本发明可显著提高系统参数估计性能。基于以上讨论可知，本发明所提方法可为工程应用中通过设计发射波形提高雷达参数估计性能提供坚实的理论与实现依据。

Claims (1)

1.基于目标先验信息的MIMO雷达波形优化方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

步骤一、构建MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达接收信号为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&beta;}}_{k}a\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)S+{\&Integral;}_{-\mathrm{\&pi;}}^{\mathrm{\&pi;}}\mathrm{\&rho;}\left(\mathrm{\&theta;}\right)a_c\left(\mathrm{\&theta;}\right)v_c^T\left(\mathrm{\&theta;}\right)\mathrm{Sd\&theta;}+W$

其中，为正比于目标RCS的复幅度，为目标位置参数，K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知；为发射信号矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$a\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\&pi;}{f}_0{\mathrm{\&tau;}}_1\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\&pi;}{f}_0{\mathrm{\&tau;}}_2\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\&pi;}{f}_0{\mathrm{\&tau;}}_{M_r}\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)}]}^T$

$v\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\&pi;}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_1\mathrm{\&tau;}\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\&pi;}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_2\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\&pi;}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\&tau;}}}_{M_t}\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)}]}^T$

其中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量；

设距离环被分为N_C(N_C>>NML)个杂波块，MIMO雷达接收信号模型可被重新表示为：

$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&beta;}}_{k}a\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\&theta;}}_k\right)\mathrm{\&Phi;}+\underset{i=1}{\overset{N_C}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&rho;}\left({\mathrm{\&theta;}}_i\right)a_c\left({\mathrm{\&theta;}}_i\right)v_c^T\left({\mathrm{\&theta;}}_i\right)\mathrm{\&Phi;}+W$

其中，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C>>M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量；

定义vec(H_c)为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为

步骤二、构建基于CRB的MIMO雷达波形优化模型

考虑带有未知参数此时有β_R＝[β_R,1,β_R,2,…,β_R,K]^T，β_I＝[β_I,1,β_I,2,…,β_I,K]^T，θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T，β_R＝Re(β)，β_I＝Im(β)，则约束CRB(constrained CRB)表示为：

J＝U(U^HFU)^-1U^H

F表示费舍尔信息矩阵，U满足以下两个等式：

G(x)U(x)＝0,U^H(x)U(x)＝I

此时假定是行满秩的，g(x)是关于x的函数，U是g(x)的超平面切线；

矩阵β＝diag(β₁，β₂，…，β_K)的复幅度设为已知，即：

g_i(x)＝β_R,i-1＝0,i＝1,…,K

g_j(x)＝β_I,j-1＝0,j＝K+1,…,2K

可得，G＝[0_2K×K,I_2K×2K]，0_2K×K表示2K×K的零矩阵；相应的零空间U表示为：U＝[I_K×K 0_K×2K]^H；

经过推导，F表示为：

$F=2\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]$

其中，

$\begin{array}{c}{F}_{12}=\mathrm{diag}\left({\mathrm{\&beta;}}^{*}\right)\{\left({(\stackrel{\&CenterDot;}{V}*A)}^H{(I+(R_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})(V*A)\right)\\ +\left({(V*\stackrel{\&CenterDot;}{A})}^H{(I+(R_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})(V*A)\right)\}\end{array}$

$F_{22}={(V*A)}^H{(I+(R_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1})(V*A)$

R_Φ＝Φ^*Φ^T

A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)],V＝[v(θ₁),v(θ₂),…,v(θ_K)],β＝[β₁,β₂,…,β_K]^T

$\stackrel{.}{A}=[\frac{\&PartialD;a\left({\mathrm{\&theta;}}_1\right)}{{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}}_1}...\frac{\&PartialD;a\left({\mathrm{\&theta;}}_K\right)}{{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}}_K}],\stackrel{\&CenterDot;}{V}=[\frac{\&PartialD;v\left({\mathrm{\&theta;}}_1\right)}{{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}}_1}...\frac{\&PartialD;v\left({\mathrm{\&theta;}}_K\right)}{{\&PartialD;\mathrm{\&theta;}}_K}]$

在杂波环境下，基于感兴趣目标的先验信息优化MIMO雷达发射波形，此模型可描述如下：在关于WCM的功率约束下，通过优化constrained CRB的相关特性从而优化波形协方差矩阵，在Trace-opt准则下，优化问题描述为：

其中，P表示总的发射功率；

步骤三、非线性优化问题的求解

对上式中的非线性函数求解，采用对角加载(DL)技术，将此技术分别应用于R_Φ、可得式中，ε<<λ_max(R_Φ), $\mathrm{\&mu;}<<{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)$ 为加载因子，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值，通过试验，可设ε＝λ_max(R_Φ)/1000,利用代替优化问题中的R_Φ,得到基于此特性，可推得下述命题：

命题：利用矩阵相关性质以及不等式，优化问题的约束条件可转化为如下线性矩阵不等式(LMI)：

式中， $E={(I+({\tilde{R}}_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1}){\tilde{R}}_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_{\mathrm{\&Phi;}}\&CircleTimes;B^{-1}),\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{(\mathrm{LP}+\mathrm{\&epsiv;}){\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(B\right)+\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(R_{H_c}\right)},$ $\mathrm{\&beta;}=\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;\&lambda;}}_{\max }\left(B\right)+\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)}.$

基于上述命题，非线性波形优化问题可利用引理1松弛为半定规划(SDP)问题；

引理1.假设厄米矩阵 $Z=\left[\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right]$ 的则当且仅当时，其中，ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补；

基于上述命题以及引理1，波形优化问题可转化为如下SDP问题：

其中，x为辅助优化变量；

得到最优的E后，可基于最小二乘方法拟合R_Φ，具体可刻画如下：

上式可等价表示为如下SDP问题：

其中，t是辅助优化变量；

步骤四、通过对步骤三中SDP问题进行求解，得到MIMO雷达发射波形的波形协方差矩阵，然后，通过交替迭代方法对波形协方差矩阵进行逐步分解，最终得到优化后的MIMO雷达发射波形。