CN101369014B - 应用于多输入多输出雷达的双边约束自适应波束形成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种应用于多输入多输出(MIMO)雷达的双边约束自适应波束形成方法，对发射信号和接收信号均进行约束。首先记录多次发射信号数据，并对相应的回波信号进行采样，将记录的发射信号数据和对回波信号采样得到的所有向量分别按列排成数据矩阵，然后利用双迭代方法计算波束形成所需的最优权向量，最后用计算出的最优权进行波束形成。本发明克服了传统自适应波束形成方法应用于MIMO雷达需要很大的样本数及计算量大的缺点。与传统的自适应波束形成方法相比，所得天线阵列方向图具有更低的旁瓣和更好的波束保形能力。采用本发明的方法对MIMO雷达接收数据进行空域滤波后进行动目标多普勒频率检测，其性能也要优于传统自适应波束形成方法。

Description

应用于多输入多输出雷达的双边约束自适应波束形成方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理技术领域，具体说是对多输入多输出(multiple-transmitmultiple-receive，以下简称MIMO)雷达发射信号以及接收回波的过程同时约束加权，进行收发综合波束形成，用于动目标检测和波达方向(DOA)估计。

背景技术

雷达系统理论在过去的50年时间里得到了突飞猛进的发展，当今世界上先进的雷达已经能够进行多波束形成，从而同时扫描整个观测空间。近些年来，MIMO天线系统在通讯系统中的应用，较之单天线系统大大提高了通讯系统的性能。受此启发，人们将多输入多输出的原理引入雷达领域，便产生了一个新的研究方向——MIMO雷达。MIMO雷达利用天线阵列不同阵元间发射信号的非相关性来提高雷达系统的性能，这就要求发射天线阵列不同阵元发射的信号是相互正交的，通常由正交相位编码信号来实现。

目标雷达截面积(RCS)起伏一直是影响传统雷达性能的重要因素之一，理论和试验结果都表明：当目标姿态角有1毫弧度的变化，就可以引起接收回波功率10-25dB的变化，从而导致雷达性能的严重下降。MIMO雷达充分利用了多天线在地域上的广泛分布，以及发射信号的多样性，使得各接收天线信号之间相互独立以获得分集增益，包括空间分集(Spatialdiversity)、谱分集(spectral diversity)以及频率分集(frequency diversity)等等，因此有效地克服了目标RCS起伏对雷达检测性能的影响，并且提高了系统自由度的利用率，从而提高了雷达对目标的探测能力、杂波抑制能力、目标参数估计精度及目标识别能力等。

波束形成作为阵列信号处理学科中最重要的一项工作之一，被广泛应用于雷达，声纳，地震勘探，射电天文学，移动通讯以及医学成像等诸多领域。所谓波束形成，就是对阵列的输出作加权求和，从而在特定方向形成主波束用来接收有用的期望信号，并能抑制来自其他方向的干扰信号，它是一个空域滤波系统。若根据雷达工作环境或雷达工作方式的变化，快速地改变空域滤波所需要的权矢量，使其具有自适应能力，称之为自适应波束形成。在自适应波束形成技术中，经常采用线性约束最小方差(LCMV)方法，它在保证对期望信号方向增益一定值的条件下，计算最优权矢量，使阵列输出功率最小，从而使干扰和噪声的方差最小。MIMO雷达同样可以使用LCMV方法进行波束形成。但LCMV方法需要较多的训练样本数，计算量也比较大，且计算量随着收发天线数的增加而快速增长。同样，现有的其他自适应波束形成方法用于MIMO雷达波束形成时，也会出现类似的问题。

发明内容

针对现有自适应波束形成方法应用于MIMO雷达时存在很大的不足，即需要较多的样本数和计算量大的缺陷，本发明提出了一种双边约束自适应波束形成方法，在本方法中，收发约束最优权是用双迭代的方法计算出的，从而大大降低了所需的样本数和计算量。

本发明中，MIMO雷达的发射信号是空时编码信号，天线阵列各阵元发射的信号相互正交，可以进行收发联合波束形成，基于上述特点提出了一种双边约束自适应波束形成方法，对发射和接收信号均进行了约束。为了更好的介绍此方法，先描述一下MIMO雷达信号模型。图1为MIMO雷达天线阵列结构图，其中包含M个任意位置的发射天线，N个任意位置的接收天线。令x_m口[x_m，y_m]^T，y_n□[x_n，y_n]^T分别表示第m(m＝1，...，M)个发射天线和第n(n＝1，...，N)个接收天线的坐标矢量。目标方位角为θ，假设整个观测过程中目标相对于雷达是静止不动的(即先不考虑目标的多普勒频移)，则MIMO雷达接收回波信号可以表示为：

y(t)＝αA(θ)s(t)+w(t)(1)

式中α表示回波信号幅度增益；s(t)＝[s₁(t)，s₂(t)，...，s_M(t)]^T和w(t)＝[w₁(t)，w₂(t)，...，w_N(t)]^T分别为t时刻发射信号矢量和接收噪声矢量，其中上标^T表示矩阵或向量的转置；

其第n行m列的元素为[A(θ)]_nm＝exp(-jk^T(θ)(x_m+y_n))；a_r(θ)和a_t(θ)分别为接收和发射导向矢量；

表示a_t(θ)的转置；k(θ)＝(2π/λ)[sinθ，cosθ]^T，其中λ是发射信号波长。若存在P个目标，则接收回波信号为：

$y\left(t\right)=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{p}A\left({\mathrm{\θ}}_p\right)s\left(t\right)+w\left(t\right)---\left(2\right)$

基于以上对MIMO雷达回波信号的描述，本发明的技术方案可以概括为：首先记录多次发射信号数据，并对相应的回波信号进行采样，将记录的发射信号数据和对回波信号采样得到的所有向量分别按列排成数据矩阵，然后利用双迭代方法计算波束形成所需的最优权向量，最后用计算出的最优权进行波束形成。具体实现过程如下：

(1)对接收到的K(K≥max{M，N})次回波信号进行采样，并且将对同一次回波信号采样得到的所有向量按列排成一个数据矩阵，可以得到K个数据矩阵；

(2)记录下同时刻的发射信号数据，也按照步骤(1)中的方法排成K个数据矩阵；

(3)用每次回波信号的采样数据矩阵乘以相应的发射信号数据矩阵的伪逆，并记录下每次相乘所得的结果；

(4)运用步骤(3)所得的结果，利用双迭代方法计算最优权；

(5)利用步骤(4)计算出来的最优权进行波束形成。

本发明与现有技术相比具有以下特点：

1、传统自适应波束形成方法虽然能够实现收发联合自适应波束形成，但是所需要的样本数比较大。例如若MIMO雷达发射和接收天线数目分别为M和N，使用LCMV方法进行自适应波束形成时，若要满足自适应性能损失不超过3dB，则至少需要2MN个独立同分布的样本。本发明的方法将收发联合变为发射接收级联的形式进行自适应波束形成，其中用双迭代的方法计算最优权向量，从而可以大大降低所需要的样本数，样本数只需不小于max{M，N}即可有效地工作，max{□}表示取括号中大的那个数。如图9(a)所示。图9(a)是采用10个收发共用均匀线阵(即M＝N＝10，样本数为40时)所得方向图，可以看出，在小样本的条件下，本发明的方法依然能有效地工作并在干扰处形成凹口滤除干扰，图中箭头所指方向就是干扰方向。而此时LCMV方法所需样本数至少为200，因此不能正常工作。

2、传统自适应波束形成方法运算量比较大，例如LCMV方法，若MIMO雷达收发天线数分别为N和M，则协方差矩阵求逆运算的计算复杂度为O(M³N³)，计算量在M³N³的阶数上，随收发天线数目的增加而快速增长。而本发明使用迭代联合自适应方法，只需有限的几步迭代即可实现收敛，每步迭代的计算复杂度仅为O(M³+N³)，计算量在M³+N³的阶数上，可以有效的降低计算量。图6为相邻两次迭代所得权向量的绝对误差随迭代次数的变化曲线，可以看出经过几次迭代本方法即可收敛。

3、与传统的自适应波束形成方法(LCMV)比较，采用本发明的自适应方法所得天线阵列方向图具有更低的旁瓣和更好的波束保形能力。如图7所示。图中箭头所指方向就是干扰方向。

4、较传统自适应波束形成方法，例如LCMV方法，采用本发明的方法对回波信号空域滤波后的动目标多普勒频率检测性能更好。如图8(a)、图8(b)所示，其中图8(a)是采用本发明得到的，图8(b)采用LCMV方法得到，可以看出虽然这两种方法均能够有效地估计出目标的多普勒频率，但是采用本发明的方法所得的剩余杂波噪声功率要低。

附图说明

图1是MIMO雷达收发天线阵列结构图

图2是本发明的双边约束自适应波束形成方法流程图

图3是本发明中数据处理流程图

图4是本发明中所采用的双迭代方法流程图

图5是大样本数(样本数为500)时，采用本发明的方法所得天线阵列发射、接收以及收发综合方向图

图6是大样本数时，本发明中的双迭代方法相邻两次迭代权向量之间的绝对误差随迭代次数的变化曲线，即方法收敛曲线

图7是大样本数时，采用本发明的方法和采用LCMV方法所得天线阵列方向图的比较图

图8(a)是大样本数时，采用本发明的方法对接收信号进行空域滤波后所得动目标的多普勒频率估计图；图8(b)是大样本时，采用LCMV方法对接收信号进行空域滤波后所得动目标的多普勒频率估计图

图9(a)、图9(b)、图9(c)、图9(d)为小样本数(样本数为40)时，用本发明方法经过10次迭代运算后的数据处理结果，其中图9(a)为天线阵列方向图，图9(b)为迭代方法收敛曲线，图9(c)为对信号和干扰的方位角以及功率的联合估图，图9(d)为对接收信号空域滤波后对动目标多普勒频率的检测结果

具体实施方式

下面参照附图说明本发明的方法实施过程。

根据图2和图3，本发明的双边约束自适应波束形成方法和数据处理流程如下：

1.对K次回波信号进行观测，采样，选取K≥M＝N＝10。将对同一次回波信号采样得到的所有向量按列排成一个数据矩阵，可以得到K个数据矩阵，根据式(1)，这K个矩阵可以表示成：

Y_k＝αA(θ)S_k+W_kk＝1，2，...，K    (3)

假设对每次回波信号都进行了L次采样，则Y_k＝[y_k[1]，y_k[2]，...，y_k[L]]_N×L为第k次回波的采样数据矩阵，α_k表示回波信号幅度增益，θ为目标方位角，其中a_r(θ)和a_t(θ)分别为接收和发射导向矢量，

表示a_t(θ)的转置，上标^T表示矩阵或向量转置，S_k＝[s_k[1]，s_k[2]，...，s_k[L]]_M×L是对应第k次回波的发射信号数据矩阵，其中M为发射通道的数目，W_k＝[w_k[1]，w_k[2]，...，w_k[L]]_N×L为噪声数据矩阵；

2.用每次回波信号的采样数据矩阵乘以相应的发射信号数据矩阵的伪逆，并记录下每次相乘所得的结果。由于MIMO雷达各发射天线所发射的信号相互正交，所以矩阵S_k是行满秩的，故有：

其中I_M为M维单位矩阵，

代表伪逆。于是由(3)式可得：

3.利用双迭代方法计算最优权。下面介绍本发明的双边约束自适应波束形成方法和双迭代方法：

用权向量u和v对式(4)进行加权，加权后的输出为：

其中上标^H表示矩阵或向量的共轭转置。由于A(θ)＝a_r(θ)a_t ^T(θ)，带入式(5)中可得：

于是本发明的双边约束自适应波束形成方法表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{u,v}{\min }\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left|u^H{\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right|\\ s.t.u^H{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)=1\\ a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right)v=1\end{array}\right.---\left(7\right)$

用拉格朗日乘子法求出式(7)的解，首先将式(7)转化为无约束代价函数

$f(u,v,{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left|u^H{\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right|}^2+{\mathrm{\λ}}_1[u^H{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)-1]+{\mathrm{\λ}}_2[a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right)v-1]---\left(8\right)$

其中λ₁和λ₂为拉格朗日乘子，分别令f(u，v，λ₁，λ₂)关于u和v的偏导数为零：

$\frac{\∂f(u,v,{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)}{\∂u}=0---\left(9\right)$

$\frac{\∂f(u,v,{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)}{\∂v}=0---\left(10\right)$

由式(9)、(10)可解出最优权u和v：

$u=\frac{{\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right)}^H\right)}^{-1}{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)}{a_r^H\left(\mathrm{\θ}\right){\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right)}^H\right)}^{-1}{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)}---\left(11\right)$

$v=\frac{{\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right)}^H\right)}^{-1}{a}_t^{*}\left(\mathrm{\θ}\right)}{a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right){\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right)}^H\right)}^{-1}{a}_t^{*}\left(\mathrm{\θ}\right)}---\left(12\right)$

其中上标^*表示矩阵或向量内的所有元素取复共轭。

本发明用双迭代的方法求最优权u和v，如图4所示，具体流程如下：

1)给定v一个初值，在本文仿真中取v的初值为发射导向矢量：v₍₀₎＝a_t(θ)，k＝0迭代次数i＝0；

2)将v₍₀₎代入式(7)求出u₍₁₎；

3)将u₍₁₎再代入式(8)求出v₍₁₎；

4)判断不等式‖v₍₁₎-v₍₀₎‖＜ε(0＜ε＜＜1)是否成立，若成立则迭代运算完成，输出最优权u和v；

5)若不等式不成立，则令v₍₁₎＝a_t(θ)，k＝1，迭代次数i＝1；重复步骤2)、3)得到v₍₂₎，判断不等式‖v₍₂₎-v₍₁₎||＜ε(0＜ε＜＜1)是否成立；

6)若仍不成立，则令k＝k+1，此时迭代次数为i＝k+1，重复以上步骤1)、2)、3)，直到不等式‖v_((k+1+1)-v_(k+1)‖＜ε(0＜ε＜＜1)成立为止。输出u和v。

此双迭代方法的收敛曲线如图6所示。

4.利用求出的最优权向量u和v进行自适应波束形成。图5为经过5次迭代后所得天线阵列方向图，图中箭头所指方向为干扰方向，可以看出在目标所在位置60度处形成主瓣，且本方法可以自适应地调节收发波束对干扰进行分工抑制，充分利用了系统的自由度。

仿真试验对比：

为了进一步说明本发明的双边约束自适应波束形成方法较传统自适应波束形成方法(如LCMV方法)的优越性，做如下两个仿真试验。

系统模型：采用收发共用天线，天线数为10，等距线阵分布，间距为半个发射信号波长。目标所在方位角为60度，多普勒频率为-100Hz，接收信噪比SNR＝0dB；另有11个干扰，其干噪比INR＝20dB；噪声功率为0dB。

试验一：大样本数的情况。样本数为500个，图5、图6、图7、图8(a)、图8(b)为经过5次迭代后的数据处理结果。图5为天线阵列方向图，可以看出采用收发同时波束可以自适应地调整收发波束使之对干扰进行分工抑制，有效地利用了系统的自由度。图6为双迭代方法收敛曲线，经过有限的几步迭代即可收敛，从而较之传统自适应波束形成方法有效地降低了运算量。图7为本文方法与LCMV方法所得天线阵列方向图的比较图，图中箭头所指方向为干扰方向，可以看出采用本发明方法所得方向图具有更低的旁瓣和更好的波束保形能力。图8(a)为采用本发明方法对接收信号进行空域滤波后所得到的目标多普勒频率估计，图8(b)为采用LCMV方法对接收信号进行空域滤波后所得到的目标多普勒频率估计，可以看出采用本发明方法在准确地估计出目标多普勒频率(-100Hz)的同时，剩余杂波噪声功率要比采用LCMV方法低，这与采用本文方法可以形成较低的旁瓣电平有关。

试验二：小样本数的情况。样本数为40个。注意：由于此时样本数太少(40＜2MN＝200)，故LCMV方法已经不能正常工作，而本文方法依然可以有效工作。图9(a)、图9(b)、图9

(c)、图9(d)为经过10次迭代运算后的数据处理结果。图9(a)为天线阵列方向图，图中箭头所指方向为干扰方向，可以看出本发明方法依然能在干扰处形成凹口滤除干扰。图9

(b)为迭代方法收敛曲线。从图中可以看出曲线收敛很快，仅用几步迭代就收敛了，大大降低了运算量。图9(c)为对信号和干扰的方位角以及功率的联合估计。虽然小样本数的情况下对功率的估计有一定的失真，并出现了一些伪峰，但是对目标信号(60度方向)功率的估计还是比较准确的。图9(d)为采用本文方法对接收信号空域滤波后对动目标多普勒频率的检测结果，可以看出在样本数较小的情况下本文方法依然能准确地估计出目标的多普勒频率。

Claims (4)

1.一种应用于多输入多输出雷达的双边约束自适应波束形成方法，其特征是：对发射信号和接收信号均进行约束；首先记录多次发射信号数据，对相应的回波信号进行采样，将记录的发射信号数据和对回波信号采样得到的所有向量分别按列排成数据矩阵；然后利用双迭代方法计算波束形成所需的最优权向量；对阵列的输出作加权求和，从而在特定方向形成主波束，用来接收有用的期望信号，抑制来自其他方向的干扰信号，即完成波束形成；具体实现过程如下：

1)对接收到的K次回波信号进行采样，并且将同一次回波信号采样得到的所有向量按列排成一个数据矩阵，可以得到K个数据矩阵；

2)记录同时刻的发射信号数据，按照步骤1)的方法排成K个数据矩阵；

3)用每次回波信号的采样数据矩阵乘以相应的发射信号数据矩阵的伪逆，并记录下每次相乘所得的结果；

4)运用步骤3)的结果，利用双迭代方法计算最优权；

5)利用步骤4)计算出来的最优权进行波束形成。

2.根据权利要求1所述的应用于多输入多输出雷达的双边约束自适应波束形成方法，其特征是：用最优权向量对接收信号和发射信号均进行约束，计算最优权向量的具体过程如下：

{1}将K个回波信号数据矩阵表示为：

$Y_k={\mathrm{\α}}_k{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right)S_k+W_k$ k＝1，2，...，K        (1)

假设对每次回波信号都进行了L次采样，则Y_k＝[y_k[1]，y_k[2]，...，y_k[L]]_N×L为第k次回波的采样数据矩阵，其中N代表接收通道的数目，α_k表示回波信号幅度增益，θ为目标方位角，a_r(θ)和a_t(θ)分别为目标相对于接收和发射阵列的导向矢量，

表示a_t(θ)的转置，上标^T表示矩阵或向量转置，S_k＝[s_k[1]，s_k[2]，...，s_k[L]]_M×L是对应第k次回波的发射信号数据矩阵，其中M为发射通道的数目，W_k＝[w_k[1]，w_k[2]，...，w_k[L]]_N×L代表噪声数据矩阵；

{2}采样数据矩阵分别乘以相应的发射信号数据矩阵的伪逆

k＝1，2，...，K       (2)

式中上标

代表伪逆；

{3}双边约束加权自适应波束形成的代价函数表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{u,v}{\min }\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left|u^H{\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right|\\ s.t.u^H{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)=1\\ a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right)v=1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中上标^H表示矩阵或向量的共轭转置；

{4}利用拉格朗日乘子法求式(3)的解，首先将式(3)转化为无约束代价函数

$f(u,v,{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left|u^H{\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right|}^2+{\mathrm{\λ}}_1[u^H{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)-1]+{\mathrm{\λ}}_2[a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right)v-1]---\left(4\right)$

其中λ₁和λ₂为拉格朗日乘子，然后分别令f(u，v，λ₁，λ₂)关于u和v的偏导数为零：

$\frac{\∂f(u,v,{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)}{\∂u}=0---\left(5\right)$

$\frac{\∂f(u,v,{\mathrm{\λ}}_1,{\mathrm{\λ}}_2)}{\∂v}=0---\left(6\right)$

{5}由式(5)、式(6)可以解出最优权：

$u=\frac{{\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right)}^H\right)}^{-1}{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)}{a_r^H\left(\mathrm{\θ}\right){\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_{k}v\right)}^H\right)}^{-1}{a}_r\left(\mathrm{\θ}\right)}---\left(7\right)$

$v=\frac{{\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right)}^H\right)}^{-1}{a}_t^{*}\left(\mathrm{\θ}\right)}{a_t^T\left(\mathrm{\θ}\right){\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right){\left({\stackrel{\‾}{Y}}_k^{H}u\right)}^H\right)}^{-1}{a}_t^{*}\left(\mathrm{\θ}\right)}---\left(8\right)$

式中上标^*表示矩阵或向量内的所有元素取复共轭，u和v表示最优权。

3.根据权利要求2所述的应用于多输入多输出雷达的双边约束自适应波束形成方法，其特征是：用双迭代方法计算最优权向量u和v的过程如下：

[1]给定v一个初值，在此取v的初值为发射导向矢量：v₍₀₎＝a_t(θ)，k＝0迭代次数i＝0；

[2]将v₍₀₎代入式(7)求出u₍₁₎；

[3]将u₍₁₎再代入式(8)求出v₍₁₎；

[4]判断不等式||v₍₁₎-v₍₀₎||＜ε(0＜ε＜＜1)是否成立，若成立则迭代运算完成，输出最优权u和v；

[5]若不等式不成立，则令v₍₁₎＝a_t(θ)，k＝1，迭代次数i＝1；重复步骤[2]和[3]得到v₍₂₎，判断不等式||v₍₂₎-v₍₁₎||＜ε(0＜ε＜＜1)是否成立；

[6]若仍不成立，则令k＝k+1，此时迭代次数为i＝k+1，重复以上步骤[1]、[2]和[3]，直到不等式||v_((k+1)+1)-v_(k+1)||＜ε(0＜ε＜＜1)成立为止。

4.根据权利要求2所述的应用于多输入多输出雷达的双边约束自适应波束形成方法，其特征是：将求解出的最优权向量u和v代入代价函数式(3)中，对阵列的输出进行加权求和，使阵列输出功率最小，从而在特定方向形成主波束用来接收有用的期望信号，并抑制来自其他方向的干扰信号，即完成了波束形成。

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