CN107703489A - 一种mimo雷达恒模波形和接收机的联合设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供了一种MIMO雷达恒模波形和接收机的联合设计方法，涉及MIMO雷达技术领域，本发明提供一种基于拉格朗日规划神经网络算法的MIMO雷达恒模波形和接收机的联合设计，因为LPNN算法是对MIMO雷达恒模波形的直接求解，因此避免了SDR方法中因摒弃秩为1的条件使得求解的信号不是最优的情况，从而提高了输出SINR比，改善了目标参数的估计能力，本发明能准确地确定目标位置，同时最大限度地抑制干扰，而且相比于SDR方法，本发明在直接求解非凸非线性的问题时发挥了很大的优势，这是其他方法所不能达到的。

Description

一种MIMO雷达恒模波形和接收机的联合设计方法
技术领域
本发明涉及MIMO雷达技术领域，尤其是一种联合设计方法。
背景技术
与传统的相控阵雷达不同，多输入多输出(MIMO)雷达通过同时发射多个波形以提高目标检测、参数估计等多方面的能力，基于天线阵列配置的差异，MIMO雷达可分为集中式MIMO雷达和分布式MIMO雷达。MIMO雷达的性能优越性来自于两个方面：一个是天线阵列的配置，一个是波形分集能力，而多波形设计是实现MIMO雷达波形分集的重要途径，有助于进一步提高MIMO雷达在目标检测、参数估计等方面的能力，因此MIMO雷达的多波形设计问题越来越受到人们的关注。
工程实际应用中为了使雷达发射机能够工作在饱和状态以便发挥其最大效能，同时为避免放大器的非线性使得发射波形失真，通常要求雷达发射波形具有恒定包络。对于MIMO雷达，这一实际要求也不例外，而且由于MIMO雷达包含了多个发射机，每个发射机均可以发射相互独立的波形，因此要求每一路发射波形都满足恒定包络特性。
基于输出信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise Ratio，SINR)研究MIMO雷达的恒模波形设计问题为NP-hard问题，不易得到全局最优解，此外该问题是非凸的、非线性的。目前该问题的求解主要是通过交替优化算法联合设计波形和接收滤波器，其中该算法在对恒模波形设计时，引入了半正定松弛方法(SDR)，SDR方法的原理是通过引入一个秩为1的赫尔米特矩阵变量将关于矢量信号的问题转变成一个关于矩阵信号的问题，同时为了构造一个可通过SDR方法求解的凸优化问题需要摒弃秩为1的非凸约束条件，最后，从求解得到的矩阵信号中恢复矢量信号。显而易见，SDR方法求解得到的是原始问题的近似解，除非有先验信息，否则恢复的矢量信号不是最优。SDR方法使得输出的SINR无法达到最大，而且对干扰的抑制能力和目标的侦测能力也会有所下降，因此有必要寻找一种算法可以基于最大化输出SINR直接求解波形矢量信号，进而提高对目标参数的估计能力。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供一种基于拉格朗日规划神经网络(Lagrange Programming Neural Network，LPNN)算法的MIMO雷达恒模波形和接收机的联合设计，因为LPNN算法是对MIMO雷达恒模波形的直接求解，因此避免了SDR方法中因摒弃秩为1的条件使得求解的信号不是最优的情况，从而提高了输出SINR比，改善了目标参数的估计能力。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：
步骤一、集中式窄带MIMO雷达系统由NT个发射天线和NR个接收天线组成，每一部发射机对应一路发射天线，每个发射机独立地通过全方位发射的方式发射波形，将NT个天线发射的波形记为s(n)，n＝1,2,...,N，N为每一路波形采样后的长度，到达位于方位角θ处的目标的信号为：
at(θ)Ts(n) (1)
其中at(θ)为发射阵列导向矢量；
假设目标的潜在区域中共有K+1个散射点，其中方位角θ0方向的一个散射点为目标，方位角θk方向的散射点为干扰，其中k＝1,2,...,K，且θ0≠θk，则雷达接收机中的信号为所有散射点回波之和，即
其中，x(n)是雷达接收机接收的信号，α0和αk分别为方位角θ0方向的目标的幅度和第k个干扰源的幅度，为接收阵列的导向矢量，
为发射阵列导向矢量，d为两天线之间的距离，λ是波长，v(n)为高斯噪声，服从均值为0，方差为
令x＝[x(1)T,...,x(N)T]T，s＝[s(1)T,...,s(N)T]T，v＝[v(1)T,...,v(N)T]T，则式(2)写为：
其中
步骤二、采用最大化系统输出SINR作为雷达波形设计的准则，将接收机采用的权值记作ω，则经过接收机处理后的雷达信号输出r为：
其中，H为共轭转置；
故系统输出信噪比模型为：
其中，为信噪比，为干扰和噪声之比，E代表期望值，为方差；
由于SINR同时依赖于接收机权值ω以及发射波形s，故为了使SINR最大，联合优化发射波形和接收机权值，故优化问题为：
将式(6)改写为如下形式：
步骤三、将复数形式的优化问题转化为实值形式的优化问题，因为|ωHA(θm)s|2＝|sHAH(θm)ω|2，m＝0,1,...,K，将公式(7)中的复数实数化等价为：
其中，ei＝[0,0,...,1,0,0...]T， 和分别为ω的实部和虚部，基于式(8)，构造增广拉格朗日函数1和增广拉格朗日函数2分别为：
其中，λi,i＝1,...,NTN为拉格朗日乘子，C0是增广拉格朗日常数项，C0大于0；
步骤四、拉格朗日规划神经网络中的变量神经元和拉格朗日神经元λn的暂态行为描述为：
根据式(11)、(12)、(13)更新求解和λi，步骤如下：
式(8)的求解过程为使用公式(14)、(15)和(16)循环迭代更新求解，直至公式(14)、(15)和(16)前后两次迭代值的差值小于10-8，则停止循环迭代。
本发明的有益效果在于能准确地确定目标位置，同时最大限度地抑制干扰，而且相比于SDR方法，本发明避免了SDR方法中因摒弃秩为1的条件使得求解的信号不是最优的情况，从而提高了输出SINR比，改善了目标参数的估计能力，在直接求解非凸非线性的问题时发挥了很大的优势，这是其他方法所不能达到的。
附图说明
图1是本发明求解发射波形和接收滤波器权值图。
图2是本发明MIMO雷达系统输出端的SINR图。
图3是本发明在不同角度上的方向图响应曲线。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
本发明主要构建拉格朗日函数和定义两种神经元，即，变量神经元和拉格朗日神经元。变量神经元的作用是为了找到拉格朗日函数的最优点，也就是满足KKT条件的平衡点，而拉格朗日神经元的作用是驱动轨迹进入可行域，通过拉格朗日函数以及两种神经元的交替作用从而确定参数，得出理想波形和接收滤波器权值，从而最大化输出端的SINR比，改善目标探测性能。
本发明技术方案的详细步骤如下：
步骤一、集中式窄带MIMO雷达系统由NT个发射天线和NR个接收天线组成，每一部发射机对应一路发射天线，每个发射机独立地通过全方位发射的方式发射波形，将NT个天线发射的波形记为s(n)，n＝1,2,...,N，N为每一路波形采样后的长度，到达位于方位角θ处的目标的信号为：
at(θ)Ts(n) (1)
其中at(θ)为发射阵列导向矢量；
假设目标的潜在区域中共有K+1个散射点，其中方位角θ0方向的一个散射点为目标，方位角θk方向的散射点为干扰，其中k＝1,2,...,K，且θ0≠θk，则雷达接收机中的信号为所有散射点回波之和，即
其中，x(n)是雷达接收机接收的信号，α0和αk分别为方位角θ0方向的目标的幅度和第k个干扰源的幅度，为接收阵列的导向矢量，为发射阵列导向矢量，d为两天线之间的距离，λ是波长，v(n)为高斯噪声，服从均值为0，方差为
令x＝[x(1)T,...,x(N)T]T，s＝[s(1)T,...,s(N)T]T，v＝[v(1)T,...,v(N)T]T，则式(2)写为：
其中
步骤二、在雷达目标检测中，SINR的大小对系统检测概率有很大的影响，因此采用最大化系统输出SINR作为雷达波形设计的准则，将接收机采用的权值记作ω，则经过接收机处理后的雷达信号输出r为：
其中，H为共轭转置；
故系统输出信噪比模型为：
其中，为信噪比，为干扰和噪声之比，E代表期望值，为方差；
由于SINR同时依赖于接收机权值ω以及发射波形s，故为了使SINR最大，联合优化发射波形和接收机权值，故优化问题为：
将式(6)改写为如下形式：
步骤三、因为LPNN算法适用于求解实值优化问题，故需要将复数形式的优化问题转化为实值形式的优化问题，因为|ωHA(θm)s|2＝|sHAH(θm)ω|2，m＝0,1,...,K，将公式(7)中的复数实数化等价为：
其中，ei＝[0,0,...,1,0,0...]T， 和分别为ω的实部和虚部，基于式(8)，构造增广拉格朗日函数1和增广拉格朗日函数2分别为：
其中，λi为拉格朗日乘子，i＝1,...,NTN，C0是增广拉格朗日常数项，C0大于0；
步骤四、根据LPNN算法的求解原理，拉格朗日规划神经网络中的变量神经元和拉格朗日神经元λn的暂态行为描述为：
根据式(11)、(12)、(13)更新求解和λi，步骤如下：
式(8)的求解过程是利用式(14)、(15)和(16)循环迭代更新求解，直至公式(14)、(15)和(16)前后两次迭代值的差值小于10-8，则停止循环迭代。
本发明的流程图如图1所示，算法流程如下：
1.初始化：和λn；
2.for t＝1:T；
3.利用式(11)、(12)、(13)求解暂态行为；
4.利用式(14)、(15)、(16)求解新的和λn；
5.end for；
6.输出接收端的beampattern图。
本发明实验由8个发射天线和8个接收天线组成的集中式窄带MIMO雷达系统，阵元间隔为半波长，每一路波形采样后的长度为16。位于0°处的目标功率为20dB，噪声功率为0dB,位于-50°、-10°和10°处的三个干扰的功率为30dB。图1描述的是LPNN算法实现的模拟形式，为了观察神经网络的动态行为，实施例以图1描述的LPNN算法的离散方式求解发射波形和接收滤波器的权值及其拉格朗日乘子，即
其中，k表示迭代次数，ρ表示步长。
通过式(17)、(18)和(19)的迭代计算直到SINR前后两次迭代值的差值小于10-8时算法停止。从图2中看到以本发明的方法求得的SINR达到57.05dB，从图3中看到输出端在不同角度上的方向响应曲线图在三个干扰处形成很深的零陷，因此可以充分抑制干扰，并且可以准确定位出目标所在方向。

Claims (1)

1.一种MIMO雷达恒模波形和接收机的联合设计方法，其特征在于包括下述步骤：
步骤一、集中式窄带MIMO雷达系统由NT个发射天线和NR个接收天线组成，每一部发射机对应一路发射天线，每个发射机独立地通过全方位发射的方式发射波形，将NT个天线发射的波形记为s(n)，n＝1,2,...,N，N为每一路波形采样后的长度，到达位于方位角θ处的目标的信号为：
at(θ)Ts(n) (1)
其中at(θ)为发射阵列导向矢量；
假设目标的潜在区域中共有K+1个散射点，其中方位角θ0方向的一个散射点为目标，方位角θk方向的散射点为干扰，其中k＝1,2,...,K，且θ0≠θk，则雷达接收机中的信号为所有散射点回波之和，即
<mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，x(n)是雷达接收机接收的信号，α0和αk分别为方位角θ0方向的目标的幅度和第k个干扰源的幅度，为接收阵列的导向矢量，为发射阵列导向矢量，d为两天线之间的距离，λ是波长，v(n)为高斯噪声，服从均值为0，方差为
令x＝[x(1)T,...,x(N)T]T，s＝[s(1)T,...,s(N)T]T，v＝[v(1)T,...,v(N)T]T，则式(2)写为：
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其中
步骤二、采用最大化系统输出SINR作为雷达波形设计的准则，将接收机采用的权值记作ω，则经过接收机处理后的雷达信号输出r为：
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其中，H为共轭转置；
故系统输出信噪比模型为：
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其中，为信噪比，为干扰和噪声之比，E代表期望值，为方差；
由于SINR同时依赖于接收机权值ω以及发射波形s，故为了使SINR最大，联合优化发射波形和接收机权值，故优化问题为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <mi>S</mi> <mi>I</mi> <mi>N</mi> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(6)改写为如下形式：
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步骤三、将复数形式的优化问题转化为实值形式的优化问题，因为|ωHA(θm)s|2＝|sHAH(θm)ω|2，m＝0,1,...,K，将公式(7)中的复数实数化等价为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>max</mi> <mrow> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> <mi>N</mi> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> <mi>N</mi> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ei＝[0,0,...,1,0,0...]T，
和分别为ω的实部和虚部，基于式(8)，构造增广拉格朗日函数1和增广拉格朗日函数2分别为：
<mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mn>0</mn> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> <mi>N</mi> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>n</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>C</mi> <mn>0</mn> </msub> <mn>2</mn> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，λi,i＝1,...,NTN为拉格朗日乘子，C0是增广拉格朗日常数项，C0大于0；
步骤四、拉格朗日规划神经网络中的变量神经元和拉格朗日神经元λn的暂态行为描述为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> <mi>N</mi> <mi>R</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>F</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>INR</mi> <mi>k</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>k</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> <mi>N</mi> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>C</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>C</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>E</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>s</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>T</mi> </msub> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据式(11)、(12)、(13)更新求解和λi，步骤如下：
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式(8)的求解过程为使用公式(14)、(15)和(16)循环迭代更新求解，直至公式(14)、(15)和(16)前后两次迭代值的差值小于10-8，则停止循环迭代。
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