CN114280544A - 一种基于松弛优化的最小过渡带宽度方向图赋形方法 - Google Patents

Abstract

该发明公开了一种基于松弛优化的最小过渡带宽度方向图赋形方法，属于阵列雷达信号处理领域。本发明采用其他约束代替原本的雷达阵列无法求解的非凸约束，通过引入松弛变量和相依你的约束条件求解出重构系数，从而实现发明目的。本发明不需要通过经验来设置过渡带的宽度，可以通过迭代来生成最小宽度的过渡带；通过较少的迭代次数就可以生成理想的过渡带，收敛比较快；相对于其他需要迭代的方向图综合算法，运行时间较短。

Description

一种基于松弛优化的最小过渡带宽度方向图赋形方法

技术领域

本发明属于阵列雷达信号处理领域，具体地说是一种利用松弛优化的方式，可以不依靠经验地生成带有最小宽度过渡带的赋形方向图方法。

背景技术

天线在日常生活中随处可见，其中，阵列天线凭借其方向性强和高增益的特性在工程应用当中颇受欢迎，且阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在雷达探测、无线通信、地质勘探等诸多军用及民用方面有着广泛的应用。阵列方向图综合在阵列信号处理中也是一个很重要的研究方向，它是一种使用传感器阵列定向发送和接收信号的信号处理技术，对阵列系统的高性能发挥起到重要的作用。近几十年来，国内外对阵列方向图综合的研究一直在进行，并出现了多种有效方法，大体可以分为优化方法和解析方法两大类，而由于凸优化理论的发展，可以针对凸函数最小化的问题求得全局最优解，并且伴随着各种数值求解工具的出现，凸优化方法将更高效且可靠的应用阵列信号处理等各工程领域之中。本发明将松弛思想引入方向图综合中，利用凸优化理论进行最优求解最后得到具有最小过渡带宽度的赋形方向图。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，提出一种基于松弛优化实现最小过渡带宽度的赋形方向图综合方法，来生成理想的方向图。

为实现上述目的，本发明的技术方案为一种基于松弛优化的最小过渡带宽度方向图赋形方法，该方法包括如下步骤：

步骤1：定义N个阵元的均匀线阵雷达，生成的方向图函数为f(θ)＝w^Ha(θ)，其中，上标H表示共轭转置运算，w为方向图的权向量，a(θ)为阵列的导向矢量；主瓣区域的方向图赋形约束为l(θ)≤|f(θ)|²≤u(θ)，θ∈Ω_m，其中l(θ)和u(θ)分别表示主瓣电平的上下界；旁瓣区域的方向图赋形约束为|f(θ)|²≤ρ(θ)，θ∈Ω_s，其中ρ(θ)表示旁瓣电平的上界，Ω_m和Ω_s分别代表主瓣区域以及旁瓣区域，详细的方向图赋形区间示意图可见图2；

步骤2：步骤1中方向图的赋形约束是非凸约束，采用如下方法将步骤1中的非凸约束转化为对

的凸约束：

引入一个长度为2N-1的新导向矢量b(θ)，根据谱分解原理，有

其中r_w是权向量w的自相关函数，上标*表示共轭；

步骤3：设置两个松弛区间Ω_r，1，Ω_r，2，对这两个区间内的方向图施加松弛变量γ(θ)，得到新的松弛约束

上标T表示转置运算，且在Ω_r，1区间上的松弛变量保持单调不减，在Ω_r，2区间内的松弛变量保持单调不增；

步骤4：采用如下目标函数代替过渡带宽度最小化问题；

其中，

上标k代表迭代次数，下标r代表扫描点，∈为一个极小的正数；

步骤5：对步骤4的公式，施加相应的方向图赋形约束，通过CVX工具包进行求解得到理想的r_w，根据谱分解的原理，以r_w的每个元素为系数构造多项式P(e^jθ)，并取其单位圆内的根，记为σ₁，σ₂，…，σ_N-1，再以这一组数为根构造出新的多项式S(e^jθ)，结合步骤2中w与r_w的对应关系重构出此时S(e^jθ)的系数便是权向量w的元素。

进一步的，对所述步骤4中目标函数施加相应的方向图赋形约束后的为：

s.t.

r_w(0)≥0

Dγ≤0

γ(θ)≥0

其中，Dγ≤0表示松弛变量的单调性约束，r_w(·)表示r_w中的元素。

进一步的，所述步骤5中权向量w的重构方法为：

得到r_w后，以r_w的元素为系数构造多项式：

并将其单位圆内的根表示为σ₁，σ₂，…，σ_N-1，根据谱分解原理得到如下关系式：

其中

S(e^jθ)的系数即为权向量w的元素，C为常数。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

本发明不需要通过经验来设置过渡带的宽度，可以通过迭代来生成最小宽度的过渡带；通过较少的迭代次数就可以生成理想的过渡带，收敛比较快；相对于其他需要迭代的方向图综合算法，运行时间较短。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是本发明的方向图赋形区间示意图；

图3是本发明与半正定松弛和谱分解方法在不同条件下生成的方向图；

图4是本发明与半正定松弛和谱分解方法在旁瓣有凹口的条件下生成的方向图；

图5是本发明与半正定松弛和谱分解方法在线性顶赋形的条件下生成的方向图。

具体实施方式

参照图1，本发明的具体实现步骤如下：

步骤1，通过约束权向量的自相关函数r_w进行主瓣和旁瓣区间的方向图赋形。

考虑一个N个阵元的均匀线阵，它的方向图函数表示为：

f(θ)＝w^Ha(θ)

其中w＝[w₀，w₁，…，w_N-1]^T为方向图的权向量，a(θ)＝[1，e^jΦ，…，e^j(N-1)Φ]^T为阵列的导向矢量，参照图2，通过以下步骤实现：

赋形方向图的和旁瓣区间的约束表示为：

l(θ)≤|f(θ)|²≤u(θ)，θ∈Ω_m

|f(θ)|²≤ρ(θ)，θ∈Ω_s

其中l(θ)和u(θ)分别表示主瓣电平的上下界，ρ(θ)表示旁瓣电平的上界，Ω_m和Ω_s分别代表主瓣区域以及旁瓣区域；

步骤2：引入一个长度为2N-1的新的导向矢量：

b(θ)＝[e^-j(N-1)Φ，…，e^-jΦ，1，e^jΦ，…，e^j(N-1)Φ]^T

由谱分解原理得到如下关系式：

其中

r_w＝[r_w(-N+1)，…，r_w(0)，…，r_w(N-1)]^T

表示权向量的自相关函数，将步骤1中对方向图函数的约束转化为对r_w的约束：

这样不仅满足了对幅度响应的约束而且还将非凸约束转化为了凸约束。

此外，由于自相关函数的性质，不难发现：

r_w(0)≥0

步骤3，设定松弛区间Ω_r，1，Ω_r，2并对其进行松弛约束。

设定如图2中所示的松弛区间Ω_r，1，Ω_r，2，并在其中引入松弛变量γ(θ)，且同步骤1中一样的对自相关函数进行约束得到对于松弛区间内方向图的松弛约束：

步骤4，对松弛变量进行单调性约束。

参照图2，根据方向图过渡带的形状通过如下步骤实现单调性约束：

3a)不妨先将γ(θ)离散化：

由过渡带的变化趋势可知，Ω_r，1中的松弛变量应该是单调不减的，Ω_r，2中的松弛变量应该是单调不增的，即满足

其中p＝1，2，…，R₁-1和q＝1，2，…，R₂-1。

3b)为了更直观的表达，且便于操作，将松弛变量表示为：

并且构建一个差分结构矩阵：

其中，

矩阵V的下标R对应看矩阵的列数。

通过矩阵的方式将松弛变量的单调性约束表示为：

Dγ≤0

步骤5，将过渡带宽度最小化问题转化为对松弛变量γ的稀疏优化问题。

4a)由于松弛变量的元素γ(θ)是可以取到0的，松弛变量的0值越多，过渡带宽度就会相应的越窄，所以，将其转化为如下的稀疏优化问题：

4b)看出l₀范数的最小化问题并不是凸优化问题，用l₁范数最小化来替代它，即：

min||γ||₁

为了进一步的强化γ的稀疏性，采用l₁重加权的方法进行迭代求解，再加上之前设计的方向图赋形以及松弛约束得到一个完整的凸优化问题：

s.t.

r_w(0)≥0

Dγ≤0

γ(θ)≥0

进一步通过CVX工具包求得所需的r_w。

利用谱分解原理重构权向量w并画出方向图。

得到r_w后，以r_w的元素为系数构造多项式：

并将其单位圆内的根表示为σ₁，σ₂，…，σ_N-1；根据谱分解原理得到如下关系式：

其中

结合1b)中的谱分解关系式，得到，S(e^jθ)的系数即为权向量w的元素，进而得到设计的方向图。

一.仿真条件及仿真数据处理

1.仿真条件

设置仿真参数如表1所示：

表1仿真参数表

2.仿真数据处理

仿真1，将本发明与半正定松弛和谱分解方法在不同条件下生成的方向图对比。

半正定松弛(Semi-Definite Relaxation，SDR)方法也是通过约束主瓣区域的上下界进行赋形，并且通过构造一个对称半正定矩阵来对方向图的响应进行松弛优化；谱分解(Spectral Factorization，SF)方法是利用谱分解的原理构造出权向量直接画出方向图。

将旁瓣上限电平设为-30dB，主瓣赋形区域设置为[-30°，30°]。第一种情况下，将SDR和SF方法中的过渡带区间设置为[-50°，-30°]以及[30°，50°]；第二种情况下，将SDR和SF方法中的过渡带区间设置为[-40°，-30°]以及[30°，40°]；第三种情况下，将SDR和SF方法中的过渡带区间设置为[-35°，-30°]以及[30°，35°]。对于本发明的仿真则不需要设置过渡带宽度，只需要设定一个较宽的松弛区间，这里设为[-50°，-30°]以及[30°，50°]。仿真结果见图3。在上述的三种不同情况下，三种算法生成的主瓣宽度和运行时间如表2所示。

表2本发明与SDR、SF方法仿真对比

由仿真结果可见，相对于SDR方法和SF方法，本发明生成的主瓣宽度要窄一些，且在同样的我迭代次数下，要比SDR方法运行时间快。

仿真2，主瓣左侧旁瓣上限电平不变，在[-60°,-40°]上加入一个-40dB的凹口，主瓣右侧旁瓣上限电平设为-35dB，主瓣赋形区域为[-20°,30°]，对SDR和SF方法的过渡带宽度设为[-30°,-20°]以及[30°,40°]，其结果如图4所示。同样的，在这种情况下，三种方法的主瓣宽度及运行时间如表3。

表3本发明与SDR、SF方法仿真对比

由仿真结果可见，本发明在相对复杂的条件下依然可以保持良好的效果，生成最小的过渡带宽度。

仿真3，将主瓣赋形区域设为[-30°,30°]，且在这个范围内令其线性的从0dB降为-12dB，旁瓣上限设为-30dB，对于SDR和SF方法的过渡带宽度设为[-40°,-30°]以及[30°,40°]，仿真结果见图5。同样地，表4给出不同方法的过渡带宽度和运行时间。

表4本发明与SDR、SF方法仿真对比

由仿真结果可见，本发明在线性主瓣可以保持良好的效果，生成最小的过渡带宽度。

综上，采用本发明生成的赋形方向图不需要通过经验设定过渡带宽度，可以通过少量迭代生成最小宽度的过渡带。

Claims (3)

1.一种基于松弛优化的最小过渡带宽度方向图赋形方法，该方法包括如下步骤：

步骤1：定义N个阵元的均匀线阵雷达，生成的方向图函数为f(θ)＝w^Ha(θ)，其中，上标H表示共轭转置运算，w为方向图的权向量，a(θ)为阵列的导向矢量；主瓣区域的方向图赋形约束为l(θ)≤|f(θ)|²≤u(θ)，θ∈Ω_m，其中l(θ)和u(θ)分别表示主瓣电平的上下界；旁瓣区域的方向图赋形约束为|f(θ)|²≤ρ(θ)，θ∈Ω_s，其中ρ(θ)表示旁瓣电平的上界，Ω_m和Ω_s分别代表主瓣区域以及旁瓣区域；

步骤2：步骤1中方向图的赋形约束是非凸约束，采用如下方法将步骤1中的非凸约束转化为对

的凸约束：

引入一个长度为2N-1的新导向矢量b(θ)，根据谱分解原理，有

其中r_w是权向量w的自相关函数，上标*表示共轭；

步骤3：设置两个松弛区间Ω_r，1，Ω_r，2，对这两个区间内的方向图施加松弛变量γ(θ)，得到新的松弛约束

上标T表示转置运算，且在Ω_r，1区间上的松弛变量保持单调不减，在Ω_r，2区间内的松弛变量保持单调不增；

步骤4：采用如下目标函数代替过渡带宽度最小化问题；

其中，

上标k代表迭代次数，下标r代表扫描点，ε为一个极小的正数；

步骤5：对步骤4的公式，施加相应的方向图赋形约束，通过CVX工具包进行求解得到理想的r_w，根据谱分解的原理，以r_w的每个元素为系数构造多项式P(e^jθ)，并取其单位圆内的根，记为σ₁，σ₂，…，σ_N-1，再以这一组数为根构造出新的多项式S(e^jθ)，结合步骤2中w与r_w的对应关系重构出此时S(e^jθ)的系数便是权向量w的元素。

2.如权利要求1所述的一种基于松弛优化的最小过渡带宽度方向图赋形方法，其特征在于，对所述步骤4中目标函数施加相应的方向图赋形约束后的为：

r_w(0)≥0

γ(θ)≥0

其中，

表示松弛变量的单调性约束，r_w(·)表示r_w中的元素。

3.如权利要求1所述的一种基于松弛优化的最小过渡带宽度方向图赋形方法，其特征在于，所述步骤5中权向量w的重构方法为：

得到r_w后，以r_w的元素为系数构造多项式：

并将其单位圆内的根表示为σ₁，σ₂，…，σ_N-1，根据谱分解原理得到如下关系式：

其中

S(e^jθ)的系数即为权向量w的元素，C为常数。

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