CN111553095A - 基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制方法 - Google Patents

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CN111553095A CN202010516353.2A CN202010516353A CN111553095A CN 111553095 A CN111553095 A CN 111553095A CN 202010516353 A CN202010516353 A CN 202010516353A CN 111553095 A CN111553095 A CN 111553095A
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Abstract

本发明公开了一种基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制方法，首先给出时间调制阵列优化模型，在峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣方位角指向的约束条件下，通过优化各个阵元的激励幅相和开关的导通时间，实现指定方向辐射场强最大的目标函数。然后在保证可行解空间不变的前提下，将最初的多维非线性模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题分别求解。对于副瓣抑制模型，可以直接用凸优化问题求解；对于边带抑制模型，通过泰勒展开后转化为序列二阶锥问题求解，最终得到最优方向图。本发明利用凸优化局部最优解即全局最优解的优势，将原始非凸优化模型转化为凸优化模型，在确保最优解的同时收敛速度快，降低了寻优时间。

Description

基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制方法
技术领域
本发明属于天线阵列方向图综合的技术领域，具体涉及一种基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制方法。
背景技术
阵列天线是雷达系统的重要组成部分。现代战争中严苛的环境对于阵列天线的设计要求越来越严格。传统的阵列天线理论在设计上常常会遇到诸多难点。例如，为实现超低副瓣方向图，将会使单元的激励幅度动态比很大，导致馈电网络设计困难甚至不可行。为此，在相控阵的基础上增加时间维度产生了时间调制阵列。时间加权等效于在各个频率处的幅相加权，摆脱了传统阵列天线对幅相加权的依赖。时间调制阵列天线以其扫描方式灵活、可实现多波束和超低副瓣方向图等优势，已经被广泛应用于雷达、无线通信、导航等领域。
通过控制阵元工作时序虽然可以实现副瓣抑制，但是射频开关周期性的通断带来了频域上的谐波辐射(边带辐射)。由于时间天线阵列谐波能量较高会导致天线辐射效率下降，所以边带抑制问题成为时间调制阵列所要应对的关键技术问题，也是当前的研究重点。
针对时间调制阵列边带辐射问题，当前学者主要研究方向为多波束方向图综合和边带抑制两类。对于多波束方向图综合，主要思想是在相同的开关时序和阵元激励幅相条件下，实现基波和各次谐波处不同指向的方向图，从而充分利用边带资源。对于时间调制边带抑制，其目的是降低边带辐射以提高天线系统的辐射效率。时间调制边带抑制模型是一个多维非线性模型，无法用解析法求解。当前学者主要采用遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法、入侵杂草算法等优化方法求解激励幅相和工作时序。但是这一类种群智能算法容易陷入局部最优解，收敛速度慢，寻优效率低。所以如何合理建立边带抑制优化模型，利用合理的手段缩小可行域，通过适当的算法保证得到最优解的同时兼顾算法收敛速度是目前的研究难点。
发明内容
本发明所要解决的主要技术问题是：针对带有包括峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣方位角指向多重约束条件的时间调制阵列边带抑制问题，在保证可行解寻优空间不变的情况下，通过松弛凸优化将多维非凸优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个模型。对于边带抑制非凸模型，利用泰勒展开转化为序列二阶锥算法求解。在确保最优解的同时收敛速度快，降低了寻优时间。
发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明从实际应用出发，提出了一种基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制算法。与现有方法相比能够在保证获得最优解的同时提高算法收敛速度，降低寻优时间。
技术方案：为实现上述目的，本发明创造采用的技术方案的工作原理及工作过程为：
本发明给出了时间调制线阵模型，包括峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣方位角指向多重约束，以主辐射方向场强最大位目标函数建立优化模型。在保证可行解空间不变的前提下，利用松弛凸优化将原始多维非线性优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个模型。对于副瓣抑制这一凸问题，直接利用Mosek求解器求解。对于边带抑制这一非凸问题，利用泰勒展开将其转化为序列二阶锥问题求解。由于凸优化的局部最优解即为全局最优解的特点，保证了得到的最优方向图的准确性。
一种基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制方法，包括以下步骤：
(1)建立多重约束条件下时间调制阵列优化模型；
(2)采用松弛凸优化将优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题；
(3)求解基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制，即求解副瓣抑制和边带抑制两个问题。
进一步的，步骤(1)的具体方法为：建立优化模型，包括设定峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣方位角指向约束条件，优化的目标函数：
以指定方向主辐射场强最大为优化目标，建立的优化模型如下：
Figure BDA0002530254170000021
s.t.PSLL≤μ
PSBL≤α
|W0|sinc(πτmax)≤|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
IlbU0≤|W0|≤U0
Figure BDA0002530254170000022
其中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure BDA0002530254170000023
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，PSLL为峰值副瓣电平，PSBL为峰值边带电平，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限。
进一步的，步骤(2)的具体方法为：利用松弛凸优化将原始多维非线性优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题；首先对于副瓣抑制问题，新的优化模型表示为：
Figure BDA0002530254170000031
Figure BDA0002530254170000032
对于边带抑制问题，新的优化模型表示为：
Figure BDA0002530254170000033
s.t.max(|F1(θ)|≤s) θ∈Ωtotal
|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
|W1|≥|W0|sinc(πτmax)
其中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure BDA0002530254170000034
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，s为引入的松弛变量，F1(θ)为第一边带辐射场强，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限，F0(θ)为中心频率辐射场强，θ为方位角，Ωs和Ωtotal分别为副瓣辐射区域和整个辐射区域。
根据权利要求1或3所述的所述的基于序列二阶锥算法的时间调制边带抑制方法，其特征在于：步骤2中，利用松弛凸优化将多维非线性优化问题转换为副瓣抑制和边带抑制两个问题的具体方法包括以下步骤：
(2-1)已知|·|≥Re(·)，通过取实部运算代替取绝对值运算，优化模型转化为：
Figure BDA0002530254170000041
Figure BDA0002530254170000042
其中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure BDA0002530254170000043
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，F1(θ)为第一边带辐射场强，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限，F0(θ)为中心频率辐射场强，Ωs和Ωtotal分别为副瓣辐射区域和整个辐射区域，峰值副瓣电平
Figure BDA0002530254170000044
峰值边带电平
Figure BDA0002530254170000045
(2-2)对于旁瓣抑制问题，是一个标准的凸优化问题，分解为：
Figure BDA0002530254170000046
Figure BDA0002530254170000047
Figure BDA0002530254170000048
|W0|≤U0
Re(W0)≥IlbU0
(2-3)根据中心频率处复激励W0与导通时长τn的关系
Figure BDA0002530254170000049
其中In和αn分别为激励幅度和相位，在求解旁瓣抑制问题得到W0的条件下，取各个阵元导通时长的最值得到τmax和τmin，为进一步抑制边带电平，将最初优化模型中限定PSBL水平的约束转化为一阶边带辐射最小化的优化目标，将边带抑制问题分解为：
Figure BDA0002530254170000051
s.t.|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
Re(W1)≥|W0|sinc(πτmax)
(2-4)将可行域进行不等式约束的放宽，引入松弛变量s，将边带抑制问题转化为
Figure BDA0002530254170000052
s.t.max(|F1(θ)|≤s) θ∈Ωtotal
|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
|W1|≥|W0|sinc(πτmax)
这仍然是一个非凸问题。
进一步的，步骤(3)的具体方法为：副瓣抑制模型为凸问题，通过Mosek求解器求出W0，在解出W0的条件下，通过泰勒展开将未知量线性化，利用泰勒展开序列二阶锥算法迭代求解边带抑制模型。
进一步的，基于序列二阶锥时间调制阵列边带抑制求解步骤为：
(3-1)利用Mosek求解器求解副瓣抑制这一凸问题，得到优化后的中心频率复激励W0＝[w10,w20,…wn0…,wN0]T,其中wn0为第n个阵元在中心频率处的复激励；
(3-2)边带电平抑制，迭代初始化：当i＝0，令
Figure BDA0002530254170000053
其中，i为迭代次数，
Figure BDA0002530254170000054
为第n个阵元导通时刻初始值，
Figure BDA0002530254170000055
为M阶泰勒展开式，
Figure BDA0002530254170000056
为增量初始值；
(3-3)当未达到最大迭代次数Q或20log(si-1/si)＞0.01时，si表示第i次迭代得到的边带电平，通过泰勒展开将非凸问题转化为二阶锥问题，重复以下步骤：
iv.令i＝i+1，计算在第i次迭代下边带抑制的二阶锥问题；
v.由优化得到的
Figure BDA0002530254170000057
更新
Figure BDA0002530254170000058
其中，
Figure BDA0002530254170000059
为第i次迭代的增量，
Figure BDA00025302541700000510
为第i次迭代中第n个阵元导通时长下限，
Figure BDA0002530254170000061
为第i次迭代中第n个阵元导通时刻，
Figure BDA0002530254170000062
为第i次迭代中第n个阵元导通时长；
vi.继续步骤i；
(3-4)结束循环迭代，计算静态激励幅度、相位，开关导通时刻和持续时间；
(3-5)显示最优方向图。
进一步的，利用泰勒展开将边带抑制问题转化为二阶锥问题的方法为：
对于等静态激励幅度情况下，将fn表示为
Figure BDA0002530254170000063
其中δn是一个增量，|δn|≤a，0＜a＜0.16，将指数函数通过M阶泰勒级数展开，在第i次迭代中第一边带场强表示为：
Figure BDA0002530254170000064
其中，θ为方位角，αn为第n个阵元激励幅度，N为阵元个数，τn为第n个阵元导通时长，β＝2π/λ，λ为波长，d为阵元间距，M为泰勒展开阶数，虚数j2＝-1；将上式带入边带抑制优化模型，即将原优化模型转化为二阶锥问题；
对于非等幅激励情况下，非等福激励的时间调制阵列第一边带场强表示为：
Figure BDA0002530254170000065
其中，bn和tn分别为第n个阵元导通时长下限和导通时刻；
将其进行高阶泰勒展开，得到第i次迭代中第一边带场强：
Figure BDA0002530254170000066
设定迭代起点
Figure BDA0002530254170000067
令
Figure BDA0002530254170000068
则表达式转化为：
Figure BDA0002530254170000069
其中，TM(δn)表示泰勒展开余式，M为泰勒展开阶数；
将上式带入边带抑制优化模型，即将原优化模型转化为二阶锥问题。
该发明创造的发明点为：
1、传统方法对于时间调制阵列边带抑制这一多维非线性优化问题，采用群体智能类算法容易陷入局部最优，无法保证解的最优性。基于以上考虑提出一种松弛凸优化思路，将最初的优化模型分解副瓣抑制和边带抑制两个模型分别求解。根据凸优化局部最优解即为全局最优解的优点，保证了解的准确性；
2、对于时间调制阵列边带抑制这一非凸问题，利用泰勒展开，将其转化为序列二阶锥问题求解。算法收敛速度快，优化效率高。
有益效果：本发明提供的基于序列二阶锥的时间调制阵列边带抑制方法，与现有技术相比，具有以下优势：
1.本发明提出了一种基于序列二阶锥的时间调制阵列边带抑制方法，该方法所完成的主要任务是在考虑峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣方位角指向约束条件下，以主辐射场强最大化为优化目标，通过优化阵元的静态激励和开关工作时序来实现边带抑制的目的。
该发明的优点是保证所得的解是最优解的同时收敛速度快，寻优效率高。产生该优点的原因是本发明采用了松弛凸优化，在保证可行解空间不变的前提下，将原始多维非线性优化问题转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题分别求解。对于边带抑制这一非凸问题，通过泰勒展开转化为序列二阶锥问题迭代求解。算法充分发挥了凸优化局部最优解即为全局最优解和收敛速度快的特点。
2.与现有技术相比，本发明提出的基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制方法，不仅保证了所得最优解的准确性，而且算法收敛速度快，寻优效率高。
附图说明
图1为时间调制线阵示意图。
图2为松弛凸优化后可行域示意图。
图3为序列二阶锥算法边带抑制求解流程图。
图4为16阵元均匀阵列与切比雪夫阵列方向图。
图5为16阵元序列二阶锥算法优化得到的时间调制阵列方向图。
图6为序列二阶锥算法得到的开关工作时序。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作更进一步的说明。
本发明为一种基于和声搜索算法的稀布线阵栅瓣抑制方法，包括如下步骤：
(1)建立阵列优化模型，包括设定峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣方位角指向约束条件，优化的目标函数：
以指定方向主辐射场强最大为优化目标，建立的优化模型如下：
Figure BDA0002530254170000081
s.t.PSLL≤μ
PSBL≤α
|W0|sinc(πτmax)≤|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
IlbU0≤|W0|≤U0
Figure BDA0002530254170000082
其中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure BDA0002530254170000083
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，PSLL为峰值副瓣电平，PSBL为峰值边带电平，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限。
(2)采用松弛凸优化将优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题。已知|·|≥Re(·)，因此可以通过取实部运算代替取绝对值运算，从而缩小求解空间，提高求解效率。优化模型转化为：
Figure BDA0002530254170000084
Figure BDA0002530254170000085
其中Ωs和Ωtotal分别为副瓣辐射区域和整个辐射区域，峰值副瓣电平
Figure BDA0002530254170000086
峰值边带电平
Figure BDA0002530254170000087
F0(θ)和F1(θ)分别为中心频率和第一边带处的辐射场强。
对于旁瓣抑制问题，是一个标准的凸优化问题，分解为：
Figure BDA0002530254170000091
Figure BDA0002530254170000092
Figure BDA0002530254170000093
|W0|≤U0
Re(W0)≥IlbU0
根据中心频率处复激励W0与导通时长τn的关系
Figure BDA0002530254170000094
其中In和αn分别为激励幅度和相位，在求解旁瓣抑制问题得到W0的条件下，取各个阵元导通时长的最值得到τmax和τmin，为进一步抑制边带电平，将最初优化模型中限定PSBL水平的约束转化为一阶边带辐射最小化的优化目标，边带抑制问题分解为：
Figure BDA0002530254170000095
s.t.|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
Re(W1)≥|W0|sinc(πτmax)
将可行域进行不等式约束的放宽，引入松弛变量s，将边带抑制问题转化为
Figure BDA0002530254170000096
s.t.max(|F1(θ)|≤s) θ∈Ωtotal
|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
|W1|≥|W0|sinc(πτmax)
这仍然是一个非凸问题。
(3)利用Mosek求解器求解副瓣抑制这一凸问题，得到优化后的中心频率复激励W0。
(4)边带电平抑制，迭代初始化：当i＝0，令
Figure BDA0002530254170000097
(5)通过泰勒展开将非凸问题转化为二阶锥问题。重复已下步骤：
i.令i＝i+1，计算在第i次迭代下边带抑制的二阶锥问题。
ii.由优化得到的
Figure BDA0002530254170000098
更新
Figure BDA0002530254170000099
iii.继续步骤i.
(6)当达到最大迭代次数或20log(si-1/si)＜0.01时，结束循环迭代。计算静态激励幅度、相位，开关导通时刻和持续时间并显示最优方向图。
下面结合附图对本发明的结构及工作过程做进一步说明。
实施例1
根据下述实施例，可以更好的理解本发明。然而，本领域的技术人员容易理解，实施例所描述的具体的物料配比、工艺条件及其结果仅用于说明本发明，而不应当也不会限制权利要求书中所详细描述的本发明。
1、建立多重约束条件下时间调制线阵模型
考虑一孔径为L的时间调制线阵，阵列上稀布分布了N个阵元，如图1所示，xi表示第i个阵元的位置。
对于该时间调制线阵模型，假设所有阵元相同且无方向性，只考虑方位角θ方向上的方向图特性。则阵列方向图可以表示为方位角θ和时间t的函数，可简化为如下形式：
Figure BDA0002530254170000101
其中f0为信号中心频率，N为阵元个数，In为阵元激励幅度，αn为激励相位，Un(t)为周期为TP的开关函数，β＝2π/λ，λ为波长，d为阵元间距。
将Un(t)傅里叶级数展开系数带入(1)式，则中心频率处辐射场强F0(θ)和第一边带处辐射场强F1(θ)可分别表示为：
Figure BDA0002530254170000102
Figure BDA0002530254170000103
其中τn为阵元导通时长，tn为阵元导通时刻，fp为时间调制频率，时间调制周期Tp＝1/fp。
对于图1所示时间调制线阵，优化的约束条件包括峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣指向约束。该时间调制线阵优化模型可用下式描述：
Figure BDA0002530254170000111
式中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure BDA0002530254170000112
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限，PSLL和PSBL分别为峰值旁瓣电平和峰值边带电平，表达式如下：
Figure BDA0002530254170000113
Figure BDA0002530254170000114
2、采用松弛凸优化将优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题
对于原始优化模型(4)这样的多维非线性优化模型，通常的处理方法是利用群体智能算法求解。但是此类算法容易陷入局部最优，算法收敛速度慢，寻优效率低。为避免此类处理方法的局限性，在保证可行解寻空间不变的情况下，通过适当的方法将约束条件松弛化，最终将优化模型(4)转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题分别求解。因为此方法的主要思想是松弛化约束条件得到凸优化模型，故将其命名为松弛凸优化。
已知|·|≥Re(·)，通过取实部运算代替取绝对值运算将优化模型转化为：
Figure BDA0002530254170000121
对于旁瓣抑制问题是一个标准的凸优化问题，可以分解为：
Figure BDA0002530254170000122
根据中心频率处复激励W0与导通时长τn的关系
Figure BDA0002530254170000123
其中In和αn分别为激励幅度和相位，在求解旁瓣抑制问题得到W0的条件下，取各个阵元导通时长的最值得到τmax和τmin，为进一步抑制边带电平，将最初优化模型中限定PSBL水平的约束转化为一阶边带辐射最小化的优化目标，边带抑制问题分解为：
Figure BDA0002530254170000124
将(9)中的可行域进行不等式约束的放宽，并引入松弛变量s，将边带抑制问题转化为
Figure BDA0002530254170000125
对比模型(9)与模型(10)，两种情况下可行域W1如图2所示。其中，式(9)的可行域为S，非凸集合；式(10)的可行域为虚线区域S0，凸集；引入上下边界变量ai和bi，令ai＝|wi0sinc(πτi,max)|,bi＝|wi0sinc(πτi,min)|，wi0是第i个阵元在中心频率处的复激励，τi,max和τi,min分别为第i个阵元导通时长的最大值和最小值。凸集S0∈S，随着ai的减小，可行域S0逐渐增大为S。当ai变为0时，对于第一边带等效激励矢量W1中的第i个元素wi来说，其可行域S0化为原始问题的可行域S，这一元素的解是原始问题的全局最优解。因此，由基于凸优化的数学模型式(10)求得的解其自身的全局最优解，是原始模型(9)的局部最优解。
上述给出了松弛凸优化的基本思路，并证明了松弛凸优化的正确性。
3、基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制
基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制的核心在于利用泰勒级数展开将模型(10)这一非凸模型转化为序列二阶锥问题后求解。下面详细介绍算法思路。
对于副瓣抑制优化模型(8)，这是一个凸优化问题，可以直接利用Mosek求解器求解出中心频率处的复激励W0。
对于边带抑制优化模型(10),可以分两种情况讨论。
i.对于等静态激励幅度情况下，将fn表示为
Figure BDA0002530254170000131
其中δn是一个非常小的增量，|δn|≤a，0＜a＜0.16，将指数函数通过M阶泰勒级数展开，在第i次迭代中第一边带场强可以表示为：
Figure BDA0002530254170000132
将上式带入边带抑制优化模型，即将原优化模型转化为二阶锥问题。
ii.对于非等幅激励情况下，非等福激励的时间调制阵列第一边带场强可以表示为：
Figure BDA0002530254170000133
将其进行高阶泰勒展开，可以得到：
Figure BDA0002530254170000134
设定迭代起点
Figure BDA0002530254170000141
令
Figure BDA0002530254170000142
则表达式转化为：
Figure BDA0002530254170000143
将上式带入边带抑制优化模型，即将原优化模型转化为二阶锥问题。
实施例2仿真结果
考虑一个时间调制线阵模型。相关参数设置如下：16阵元按λ/2间距均匀排布，信号中心频率f0＝5GHz，主辐射方位角θM＝0°，PSLL＝-30dB，波长0.06m，角度采样间隔0.2°，第一零点带宽FNBW＝21.61°，时间调制周期Tp＝1MHz，导通时间τn在[0.01Tp,Tp]，激励幅度下限Il＝0.5，泰勒展开参数a＝0.16，最大迭代次数Q＝50。
(1)序列二阶锥算法与相位均匀加权阵列、切比雪阵列对比
为说明序列二阶锥算法在副瓣抑制水平、激励动态幅度比等方面的优势，在相关参数设定相同的情况下将序列二阶锥算法与传统相控均匀阵列、切比雪夫阵列对比。图4给出了相位均匀加权阵列和切比雪夫方向图对比。图5给出了序列二阶锥算法优化后得到的时间调制阵列方向图，包括中心频率、第一边带和第二边带。
表1.阵元时间调制阵列与等幅相位均匀加权阵列、切比雪夫阵列性能对比
Figure BDA0002530254170000144
表1给出了相关参数的具体数值对比结果。采用基于泰勒展开的序列二阶锥算法优化阵元时序，其PSLL保持在-30dB以下，PSBL在-19.7dB以下。通过对比发现基于PS调制的时间阵列相比传统等幅激励、相位均匀加权的线阵虽然主瓣宽度有所展宽，但PSLL下降了接近17dB。时间调制阵列在保持与切比雪夫阵相同主瓣宽度、PSLL的情况下，降低了系统的DRR。时间调制阵列由于将一部分能量转化为了边带电平，方向性系数相比传统方法有所降低，但是差别也很小。图6给出了经过序列二阶锥算法优化得到的开关时序。
(2)序列二阶锥算法与松弛凸优化、PSO算法对比
为了证明序列二阶锥算法综合时间调制阵列方向图性能的优越性和计算的高效性，表2比较了基于泰勒展开的序列二阶锥算法与松弛凸优化算法、PSO算法在优化同一个16元均匀排布线阵的时序后方向图的性能和计算时间。对比发现，序列二阶锥算法相比松弛凸优化算法对边带有明显的抑制作用，相比PSO算法，序列二阶锥算法能获得更低的边带电平且耗时大大减少。基于泰勒级数展开的序列二阶锥算法将边带抑制问题化为迭代的二阶锥问题，最大程度地利用了凸问题的性质，从而得到解的最优性和收敛时间的平衡。
表2序列二阶锥算法与松弛凸优化、PSO算法对比
Figure BDA0002530254170000151
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制方法，其特征在于：包括以下步骤：
(1)建立多重约束条件下时间调制阵列优化模型；
(2)采用松弛凸优化将优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题；
(3)求解基于序列二阶锥算法的时间调制阵列边带抑制，即求解副瓣抑制和边带抑制两个问题。
2.根据权利要求1所述的基于序列二阶锥算法的时间调制边带抑制方法，其特征在于：步骤(1)的具体方法为：建立优化模型，包括设定峰值副瓣电平、峰值边带电平、激励最大幅度、主瓣方位角指向约束条件，优化的目标函数：
以指定方向主辐射场强最大为优化目标，建立的优化模型如下：
Figure FDA0002530254160000011
s.t.PSLL≤μ
PSBL≤α
|W0|sinc(πτmax)≤|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
IlbU0≤|W0|≤U0
Figure FDA0002530254160000012
其中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure FDA0002530254160000013
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，PSLL为峰值副瓣电平，PSBL为峰值边带电平，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限。
3.根据权利要求1所述的基于序列二阶锥算法的时间调制边带抑制方法，其特征在于：步骤(2)的具体方法为：利用松弛凸优化将原始多维非线性优化模型转化为副瓣抑制和边带抑制两个问题；首先对于副瓣抑制问题，新的优化模型表示为：
Figure FDA0002530254160000014
Figure FDA0002530254160000015
对于边带抑制问题，新的优化模型表示为：
Figure FDA0002530254160000021
s
s.t.max(|F1(θ)|≤s)θ∈Ωtotal
|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
|W1|≥|W0|sinc(πτmax)
其中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure FDA0002530254160000022
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，s为引入的松弛变量，F1(θ)为第一边带辐射场强，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限，F0(θ)为中心频率辐射场强，θ为方位角，Ωs和Ωtotal分别为副瓣辐射区域和整个辐射区域。
4.根据权利要求1或3所述的所述的基于序列二阶锥算法的时间调制边带抑制方法，其特征在于：步骤2中，利用松弛凸优化将多维非线性优化问题转换为副瓣抑制和边带抑制两个问题的具体方法包括以下步骤：
(2-1)已知|·|≥Re(·)，通过取实部运算代替取绝对值运算，优化模型转化为：
Figure FDA0002530254160000023
Figure FDA0002530254160000024
其中，W0为中心频率处的复激励，W1为第一边带处的复激励，
Figure FDA0002530254160000025
为主辐射方向导向矢量，μ和α分别为最大副瓣电平和最大边带电平约束，τmax和τmin分别为最大和最小导通时长，U0为单位列向量，F1(θ)为第一边带辐射场强，Il为激励幅度下限，b为导通时长下限，F0(θ)为中心频率辐射场强，Ωs和Ωtotal分别为副瓣辐射区域和整个辐射区域，峰值副瓣电平
Figure FDA0002530254160000031
峰值边带电平
Figure FDA0002530254160000032
(2-2)对于旁瓣抑制问题，是一个标准的凸优化问题，分解为：
Figure FDA0002530254160000033
Figure FDA0002530254160000034
Figure FDA0002530254160000035
|W0|≤U0
Re(W0)≥IlbU0
(2-3)根据中心频率处复激励W0与导通时长τn的关系
Figure FDA0002530254160000036
其中In和αn分别为激励幅度和相位，在求解旁瓣抑制问题得到W0的条件下，取各个阵元导通时长的最值得到τmax和τmin，为进一步抑制边带电平，将最初优化模型中限定PSBL水平的约束转化为一阶边带辐射最小化的优化目标，将边带抑制问题分解为：
Figure FDA0002530254160000037
s.t.|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
Re(W1)≥|W0|sinc(πτmax)
(2-4)将可行域进行不等式约束的放宽，引入松弛变量s，将边带抑制问题转化为
Figure FDA0002530254160000038
s
s.t.max(|F1(θ)|≤s)θ∈Ωtotal
|W1|≤|W0|sinc(πτmin)
|W1|≥|W0|sinc(πτmax)
这仍然是一个非凸问题。
5.根据权利要求1所述的基于序列二阶锥算法的时间调制边带抑制方法，其特征在于：步骤(3)的具体方法为：副瓣抑制模型为凸问题，通过Mosek求解器求出W0，在解出W0的条件下，通过泰勒展开将未知量线性化，利用泰勒展开序列二阶锥算法迭代求解边带抑制模型。
6.根据权利要求1或5所述的所述的基于序列二阶锥算法的时间调制边带抑制方法，其特征在于：基于序列二阶锥时间调制阵列边带抑制求解步骤为：
(3-1)利用Mosek求解器求解副瓣抑制这一凸问题，得到优化后的中心频率复激励W0＝[w10,w20,…wn0…,wN0]T,其中wn0为第n个阵元在中心频率处的复激励；
(3-2)边带电平抑制，迭代初始化：当i＝0，令
Figure FDA0002530254160000041
其中，i为迭代次数，
Figure FDA0002530254160000042
为第n个阵元导通时刻初始值，
Figure FDA0002530254160000043
为M阶泰勒展开式，
Figure FDA0002530254160000044
为增量初始值；
(3-3)当未达到最大迭代次数Q或20log(si-1/si)＞0.01时，si表示第i次迭代得到的边带电平，通过泰勒展开将非凸问题转化为二阶锥问题，重复以下步骤：
i.令i＝i+1，计算在第i次迭代下边带抑制的二阶锥问题；
ii.由优化得到的
Figure FDA0002530254160000045
更新
Figure FDA0002530254160000046
其中，
Figure FDA0002530254160000047
为第i次迭代的增量，
Figure FDA0002530254160000048
为第i次迭代中第n个阵元导通时长下限，
Figure FDA0002530254160000049
为第i次迭代中第n个阵元导通时刻，
Figure FDA00025302541600000410
为第i次迭代中第n个阵元导通时长；
iii.继续步骤i；
(3-4)结束循环迭代，计算静态激励幅度、相位，开关导通时刻和持续时间；
(3-5)显示最优方向图。
7.根据权利要求6所述的基于序列二阶锥算法的时间调制边带抑制方法，其特征在于：利用泰勒展开将边带抑制问题转化为二阶锥问题的方法为：
对于等静态激励幅度情况下，将fn表示为
Figure FDA00025302541600000411
其中δn是一个增量，|δn|≤a，0＜a＜0.16，将指数函数通过M阶泰勒级数展开，在第i次迭代中第一边带场强表示为：
Figure FDA0002530254160000051
其中，θ为方位角，αn为第n个阵元激励幅度，N为阵元个数，τn为第n个阵元导通时长，β＝2π/λ，λ为波长，d为阵元间距，M为泰勒展开阶数，虚数j2＝-1；将上式带入边带抑制优化模型，即将原优化模型转化为二阶锥问题；
对于非等幅激励情况下，非等福激励的时间调制阵列第一边带场强表示为：
Figure FDA0002530254160000052
其中，bn和tn分别为第n个阵元导通时长下限和导通时刻；
将其进行高阶泰勒展开，得到第i次迭代中第一边带场强：
Figure FDA0002530254160000053
设定迭代起点
Figure FDA0002530254160000054
令
Figure FDA0002530254160000055
则表达式转化为：
Figure FDA0002530254160000056
其中，TM(δn)表示泰勒展开余式，M为泰勒展开阶数；
将上式带入边带抑制优化模型，即将原优化模型转化为二阶锥问题。
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