CN113704998A - 一种基于交替方向乘子法的波束形成方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于信号处理技术领域，涉及一种基于交替方向乘子法的波束形成方法。本发明考虑了具有旁瓣控制的系数阵列波束形成问题，通过设计权向量的l₁范数量化了天线阵列的稀疏性。在对阵列结构作了稀疏性处理的基础上，通过改变旁瓣区域中幅度响应的约束，来实现对波束的旁瓣控制，在考虑了主瓣区域的幅度响应的抖动约束后，提出了一个非凸的优化问题。最后通过引入辅助变量和交替方向乘子法的算法框架，将原非凸的优化模型，分解为若干可解的凸优化子问题，迭代求解得到权向量及相关的辅助变量值。本发明可以实现波束的旁瓣控制和稀疏化，并且算法迭代步数少，收敛速度快，可以快速得到权向量的稀疏性结果。

Description

一种基于交替方向乘子法的波束形成方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，具体的说是涉及一种基于交替方向乘子法的波束形成方法。

背景技术

近年来对于波束形成问题的研究引起了国内外专家学者越来越多的重视，波束形成问题的目标是设计一个天线阵列的权向量，使得天线阵列的波束方向图满足预设的某些要求。波束形成技术被广泛应用与雷达、声纳、无线通信、麦克风阵列，电子侦听以及地震勘探等领域，并在这些领域中发挥着重要的作用。

在进行阵列波束形成时，有采用权向量的l₁范数作为目标函数的方法。众所周知，向量的l₀范数可以提供一个稀疏的结果，但求解向量l₀范数的优化问题是一个非凸的问题。l₁范数是l₀范数的一个凸问题逼近，使得问题更加容易求解。在阵列的排布对称时，可以利用对称阵列的导向矢量实部相同，虚部相反的条件，把对阵列波束图的约束都转换成实约束，通过求解优化问题，求得阵列波束图和阵列的稀疏解。此方法局限于对称阵列的波束形成，在面对非对称阵列时该方法失效。

为了解决主瓣约束中的双面二次约束的非凸问题，有采用交替方向乘子法，将主瓣和旁瓣问题分离开交替迭代求解的方法。该方法采用权向量的l_p范数作为优化问题的目标函数，比起l₁范数具有更强的稀疏性。此外，因为通过交替方向乘子法将问题分割，所以不需要对称阵列的前提，此方法也可以处理非对称阵列下的波束形成问题。但是此方法在求解波束形成问题时，需要两层嵌套迭代，算法效率较低，运算量较大。

发明内容

本发明提供了一种基于交替方向乘子法的快速波束形成方法，实现阵列波束方向图的控制和阵列的稀疏化。相对上述的波束形成优化方法，本发明在波束形成时，可以实现波束的旁瓣控制和稀疏化，并且算法迭代步数少，收敛速度快，可以快速得到权向量的稀疏性结果。

为了便于理解，对本发明采用的技术作如下说明：

在进行阵列波束形成时，考虑一个有N个阵元的线性天线阵列，每个阵元的位置已知，在远场情况下，阵列在θ方向上的波束方向图可以表示为

w^Ha(θ)

其中，w＝[w₁...w_N]^T是每个阵元的归一化权值向量，a(θ)＝[a₁(θ)...a_N(θ)]^T是θ方向上的导向矢量，a(θ)中的第n个阵元表示为

其中l_n是第n个阵元与参考阵元之间的距离。

在传统波束形成中，平顶波束设计的目标为：在波束的主瓣区域，波束图的幅度响应的上下界设定在一定纹波范围内，用公式表示为：1-ε≤|w^HA_m|²≤1+ε,m＝1,...,M₀，ε表示纹波项，A_m＝[a(θ₁),…,a(θ_M0)]是阵列在主瓣方向上的导向矢量，M₀是主瓣区域采样点个数。在波束的旁瓣区域，波束图的幅度响应小于某一定值，用公式表示为：|w^HA_s|²≤τ,s＝1,...,S₀，

是阵列在旁瓣方向上的导向矢量，S₀是旁瓣区域采样点个数。

因为波束主瓣区域的约束，是一个双面二次约束，它的下界1-ε≤|w^HA_m|²是非凸的，并且由于关于权向量w的所有约束都是w的函数，它们是彼此耦合的，因此这个问题难以被求解。

为解决上述问题，本发明的技术方案为：

设计一种优化问题的模型，在原问题的基础上，增加了波束的低旁瓣控制，并且在已知阵列结构的前提下，对阵列进行了稀疏化处理。通过交替方向乘子法，将难以求解的问题分离开，划分成多个各自可解的子问题，通过迭代求解，最终得到满足要求的权向量。过程包括以下步骤：

S1、考虑阵列的稀疏性设计以及期望波束的设计，构造问题的优化模型为：

s.t.1-ε≤|w^HA_m|²≤1+ε,m＝1,...,M₀

|w^HA_s|²≤τ,t_L≤τ≤t_H,s＝1,...,S₀

其中,目标函数中的α是常数，用权向量的l₁范数实现阵列稀疏性的设计，ε表示主瓣纹波项，τ是旁瓣归一化电平最大值，在区间[t_L,t_H]内求得最小值。约束分别为主瓣和旁瓣的波束图约束，期望得到的波束的方向图为主瓣区域在纹波内变化，旁瓣区域低于算法设计的最大值。

S2、根据上述优化模型，构造辅助变量：

u_m＝w^Ha(θ_m),m＝1,...,M₀和

s＝1,...,S₀并代入S1中的模型中：

s.t.u_m＝w^HA_m,m＝1,...,M₀

v_s＝w^HA_s,s＝1,...,S₀

1-ε≤|u_m|²≤1+ε

|v_s|²≤τ,t_L≤τ≤t_H

上述模型中，彼此耦合的关于权向量的非凸约束和凸约束已经分离开，可以利用ADMM算法框架求解。

构建上述优化问题的增广拉格朗日函数为：

s.t.1-ε≤|u_m|²≤1+ε,m＝1,…,M₀

|v_s|²≤τ,t_L≤τ≤t_H,s＝1,…,S₀

其中，u＝[u₁,…,u_M0]，v＝[v₁,…,v_S0]，A_m＝[a(θ₁),…,a(θ_M0)]，

λ和κ分别是u和v对应的对偶变量，ρ₁和ρ₂为常数，是u和v对应的惩罚项系数。

基于ADMM算法框架，我们按{u,v,τ,w,λ,κ}步骤对上述优化问题迭代求解。

S3、按照{u,v,τ,w,λ,κ}的顺序分解为多个子问题迭代求解：

(1)求解u在第k+1次迭代过程中的子问题用公式表示为：

s.t.1-ε≤|u_m|²≤1+ε,m＝1,…,M₀

(2)求解τ和v在第k+1次迭代过程中的子问题用公式表示为：

s.t.|v_s|²≤τ,t_L≤τ≤t_H,s＝1,…,S₀

(3)求解w在第k+1次迭代过程中的子问题用公式表示为：

(4)λ和κ在第k+1此迭代过程中的显式解表示为：

λ^k+1＝λ^k+ρ₁(u^k+1-w(k+1)^HA_m)

κ^k+1＝κ^k+ρ₂(v^k+1-w(k+1)^HA_s)

S4、迭代更新权向量的值，直到

和

小于某一设定值，认为算法收敛或迭代次数达到设定的最大值，迭代终止。此时的权向量为满足约束要求的目标权向量。基于权向量即可实现波束形成。

本发明的有益效果为，基于交替方向乘子法，提出了一种兼顾旁瓣控制和阵列稀疏化处理的优化模型并用交替方向乘子法求解，相对于对称阵列l₁范数优化法、基于交替方向乘子的l_p范数优化法，可以实现波束的旁瓣控制和稀疏化，并且算法迭代步数少，收敛速度快，可以快速得到权向量的稀疏性结果。

附图说明

图1本发明实现过程的流程图；

图2两种方法对比的阵列波束图；

图3两种方法对比的ADMM的收敛曲线；

具体实施方式

下面将结合附图和实施例，对本发明的技术方案进行进一步说明。

实施例1

本实施例的目的是在相同的阵列结构下，旁瓣约束给定时，对不同的稀疏性波束形成方法进行对比，验证发明的方法可以实现精准的波束形成结果，并且可以得到快速的收敛结果。本实施例中的旁瓣参数设定为t_L＝-30dB t_H＝-30dB。

实施例的波束形成实施方法如附图1所示。本发明种的方法和采用l_p范数的波束形成方法的波束图结果如附图2所示，通过对照实验可以看出，本发明中的方法和对照方法同样满足波束图的约束。两种方法的波束图与期望波束的误差关于迭代次数变化的曲线，如附图3所示。可以看出本发明中的方法在极小牺牲阵列稀疏性的前提下，相较于对照实验中的方法，极大的提高了收敛速度，节约了时间成本。

Claims (1)

1.一种基于交替方向乘子法的波束形成方法，设定发射天线的空间阵列排布已知，基于阵列的阵列导向矢量构建优化问题，并用交替方向乘子法进行求解，包括以下步骤：

S1、考虑阵列的稀疏性设计以及期望波束的设计，构造问题的优化模型为：

s.t.1-ε≤|w^HA_m|²≤1+ε,m＝1,...,M₀

|w^HA_s|²≤τ,t_L≤τ≤t_H,s＝1,...,S₀

其中，w＝[w₁...w_N]^T是每个阵元的归一化权值向量，定义a(θ)＝[a₁(θ)...a_N(θ)]^T是θ方向上的导向矢量，a(θ)中的第n个阵元表示为

其中l_n是第n个阵元与参考阵元之间的距离，

是阵列在主瓣方向上的导向矢量，M₀是主瓣区域采样点个数，

是阵列在旁瓣方向上的导向矢量，S₀是旁瓣区域采样点个数；α是常数，用权向量的l₁范数实现阵列稀疏性的设计，ε表示主瓣纹波项，τ是旁瓣归一化电平最大值，在区间[t_L,t_H]内求得最小值，约束分别为主瓣和旁瓣的波束图约束，即期望得到的波束的方向图，主瓣区域在纹波内变化，旁瓣区域低于算法设计的最大值；

S2、根据上述优化模型，构造辅助变量：

u_m＝w^Ha(θ_m),m＝1,...,M₀和

并代入S1中的模型里：

s.t.u_m＝w^HA_m,m＝1,...,M₀

v_s＝w^HA_s,s＝1,...,S₀

1-ε≤|u_m|²≤1+ε

|v_s|²≤τ,t_L≤τ≤t_H

上述模型中，彼此耦合的关于权向量的非凸约束和凸约束已经分离开，利用ADMM算法框架求解；

构建上述优化问题的增广拉格朗日函数为：

s.t.1-ε≤|u_m|²≤1+ε,m＝1,…,M₀

|v_s|²≤τ,t_L≤t≤t_H,s＝1,…,S₀

其中，

λ和κ分别是u和v对应的对偶变量，ρ₁和ρ₂为常数，是u和v对应的惩罚项系数；

S3、按照{u,v,τ,w,λ,κ}的顺序分解为多个子问题迭代求解：

(1)求解u在第k+1次迭代过程中的子问题用公式表示为：

s.t.1-ε≤|u_m|²≤1+ε,m＝1,…,M₀

(2)求解τ和v在第k+1次迭代过程中的子问题用公式表示为：

s.t.|v_s|²≤τ,t_L≤τ≤t_H,s＝1,…,S₀

(3)求解w在第k+1次迭代过程中的子问题用公式表示为：

(4)λ和κ在第k+1此迭代过程中的显式解表示为：

λ^k+1＝λ^k+ρ₁(u^k+1-w(k+1)^HA_m)

κ^k+1＝κ^k+ρ₂(v^k+1-w(k+1)^HA_s)

S4、迭代更新权向量的值，直到e_m＝||u-w^HA_m||_∞和e_s＝||u-w^HA_s||_∞小于设定值，认为算法收敛或迭代次数达到设定的最大值，迭代终止，此时的权向量为满足约束要求的目标权向量，基于权向量即可实现波束形成。

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