CN107728118B - 无需拟合协方差矩阵的低旁瓣发射波束图设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种无需拟合协方差矩阵的低旁瓣发射波束图设计方法，涉及MIMO雷达技术领域，本发明采用一种基于交替方向乘子法，引入辅助变量来实现变量分离，将原有的大量非凸限制转换成可求解问题，运用ADMM思想迭代求解，从而确定参数，得出理想探测波形，并尽可能降低旁瓣值，本发明由于采用一步法直接获得具有恒模特性的MIMO雷达探测信号，同时最小化旁瓣水平，并同时在解决非凸限制时发挥了很大的优势；另外，本发明可以获得具有更低旁瓣的发射波束图，这大大降低了信号相关的干扰、杂波等干扰的影响，从而大大提高了雷达的抗信号相关噪声性能，这是其他方法所不能达到的。

Description

无需拟合协方差矩阵的低旁瓣发射波束图设计方法

技术领域

本发明涉及MIMO雷达技术领域，尤其是一种发射波束图设计方法。

背景技术

MIMO雷达系统分为两类：分布式MIMO雷达系统和集中式MIMO雷达系统，对于分布式MIMO雷达系统而言其天线在空间中分散布置，因此每一个天线对目标都有不同的关注点，这种系统结构提高了MIMO雷达系统的空间多样性；而集中式MIMO雷达系统，天线在空间中等间隔分布，所有天线探测的都是目标的同一个层面，虽然这种结构无法提高对目标探测的空间多样性但其可以提高对目标探测的分辨率；另外，MIMO雷达目标探测个数是相控阵雷达系统的T倍(T是天线个数)，但相控阵雷达系统可以有很好的(非常窄的)波束图，类似于相控阵雷达设计具有指向性的发射波束图。

为了提高MIMO雷达的探测效率以及分辨率，在MIMO雷达工作时通常希望探测功率集中于关心的区域(目标的潜在区域)。传统相控阵雷达系统每个天线发射的是完全相关的探测信号，这使得其发射信号的协方差矩阵是一个秩为一的矩阵，发射波束具有很好的指向性(主要集中于与阵列垂直的方向)。然而，传统的MIMO雷达要求每个天线传输的是相互正交的探测信号，这使得雷达在空间中各个方向具有相同的探测功率，发射波束不具有指向性。因此，在MIMO雷达探测信号功率一定的情况下，设计同相控阵雷达一样具有很好的指向性的发射波束图，可以大大提高MIMO雷达的探测性能以及分辨率；另一方面，发射具有低旁瓣的探测信号可以大大降低雷达的截获概率。MIMO雷达发射波束图设计主要思想是利用探测信号之间的相关性，通过设计探测信号的协方差矩阵R来获得期望的发射波束图。

现有的MIMO雷达发射波束图设计技术大多都基于两步法：第一步计算探测信号的协方差矩阵R，此步骤中最常用的准则有两种，匹配准则和旁瓣最小化准则；第二步利用第一步的协方差矩阵计算雷达的探测信号。由于整个设计基于两个独立的步骤，因此这种方法存在误差累积，且计算过程发杂。另外，R的设计有两个约束：第一要求正定，因为R是雷达的探测信号的协方差矩阵，第二要求R的对角线元素的值相等，为了保证功率放大器的工作效率，要求雷达的每个发射天线等功率发射信号。

在MIMO雷达发射波束图优化设计方面，最初由美国密西根理工大学的DanielR.Fuhrmann教授(IEEE Fellow)提出，该方法第一步基于匹配准则，并利用了内点法获得探测信号的协方差矩阵，第二步利用获得的协方差矩阵结合二进制相移键控(BPSK)波形获得所需的雷达探测信号。最典型的方法当属瑞典乌普萨拉大学的P.Stoica教授(IEEEFellow)和美国佛罗里达州大学Jan.Li教授(IEEE Fellow)提出的基于半定二次规划(SQP)的方法，该方法第一步分别考虑了匹配准则和最小化旁瓣水平准则下利用半定二次规划来优化协方差矩阵，第二步是在基于第一步获得的协方差矩阵，利用循环算法合成MIMO雷达所需的探测信号。以上这些两步法可以获得较好的发射波束，但是两步法过程繁琐，且存在一定的误差累积。近来Sadjad Imani等人提出了基于匹配准则，利用半定松弛(SDR)的方法直接获得MIMO雷达探测信号，但是该方法利用的是近似(松弛)手段，因此效果也并不理想。

以上提到的MIMO雷达发射波束图设计方法都存在较大的误差累积，旁瓣水平都较高，并且计算过程繁琐，这使得这些方法在实际应用中有很多缺陷，因此在低旁瓣准则下，直接设计具有恒模特性的雷达探测信号，可以对提高雷达的探测效率以及分辨率并降低截获概率

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种直接的、恒模的、具有更低旁瓣的发射波束图设计方法，解决了现有两步法技术中存在的误差累积，降低了算法的复杂性，并且满足了非凸限制(恒模)的约束要求。

本发明所采用的技术方案是，一种基于交替方向乘子法(alternating directionmethod of multipliers，ADMM)，引入辅助变量来实现变量分离，将原有的大量非凸限制转换成可求解问题，运用ADMM思想迭代求解，从而确定参数，得出理想探测波形，并尽可能降低旁瓣值。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：

步骤1、设MIMO雷达系统配备T个发射天线，目标方向角为θ，x_t(n)为第t个天线第n时刻发射的离散时间基带信号，其中，t＝1,2,…,T，n＝1,2,…,N，N表示采样点数，则目标接收到的信号为：

其中：

公式(1)中f₀是载波频率，

其中d为相邻两个天线之间的距离，c为光速，(·)^T，(·)^H分别代表转置和共轭转置；

步骤2、根据式(1)得探测信号在目标方向θ处的功率为：

P(θ)＝a(θ)^HRa(θ) (3)

式(3)中P(θ),

为MIMO雷达的发射波束图，R＝E{x(n)x^H(n)}为探测信号的协方差矩阵，E{·}表示期望，式(3)改写为：

其中，x＝[x₁(1),x₁(2),…,x₁(N),x₂(1),x₂(2),…,x₂(N),…x_t(1),x_t(2),…,x_t(N),…,x_T(N)]^H，是一个TN维的向量，

表示kron积，I表示单位阵，探测信号满足|x(i)|＝1，其中i＝1,2,...,TN；

步骤3、利用步骤2的协方差矩阵R求取雷达探测波形

首先将

的角度区域离散化并分为主瓣方向θ_m和旁瓣方向θ_s,即主瓣方向共M个点，旁瓣方向共S个点，设计具有恒模特性的雷达探测信号，并建立如下最小旁瓣函数模型：

其中

将A(θ_m)简写为A_m，A(θ_s)简写为A_s，引入主瓣水平下界ε和旁瓣水平上界η，将(5)式等价为：

利用ADMM方法，首先将目标函数

取log(·)以分离变量ε和η，得到：

引入辅助变量：

公式(7)等价为：

依据式(8)建立如下增广的拉格朗日函数：

其中λ_s和μ_m均为拉格朗日乘子，ρ是步长因子，令：

并配方得：

利用ADMM通过如下步骤来迭代更新{x,ε,η,y_s,λ_s,z_m,μ_m}：

将{ε,η,y_s,λ_s,z_m,μ_m}视为常量，确定x，则公式(10)变为关于x的函数：

令

P＝M+S，简化(11)得：

b表示变量x的相位，是一个变量，利用增广的拉格朗日乘子法，首先建立如下增广拉格朗日方程：

其中，κ和ρ_x分别是拉格朗日乘子和步长因子，通过如下步骤迭代更新{x,κ,b}：

步骤3.1、将{λ,b}视为常量，更新x，令

则

令

式(14)简化为：

式(15)为一个最小二乘问题，具有解析解：

步骤3.2、将{x,κ}视为常量，更新b，令

则

式(16)简化为：

因此可得：

angle(·)表示相角；

步骤3.3、将{x,b}视为常量，更新κ，则

κ:＝κ+ρ(e^jb-x) (18)

迭代更新步骤3.1到步骤3.3，直至满足收敛条件

其中，

可获得x；

步骤4、将{x,λ_s,μ_m}视为常量，令

更新y_s,η,z_m,ε：

从式(19)可以看出，y_s和z_m分别与η和ε相互耦合，且一旦η和ε确定，y_s,z_m即可由下式分别确定：

步骤4.1、更新η,y_s

将y_s带入(19)式并简化可得：

式(22)为关于η的分段函数，定义

为

的升序排列，式(22)表述为：

式(23)中f(η)是关于

的复杂的非凸函数，引入替换变量

则式(23)等价为：

在第k个分段函数f_k(μ)，

上，将f_k(μ)对μ求导得：

由

可知

为凸函数，解得每一个分段函数的极值点后，在所有S个分段函数的极值点

中选取一个函数值最小的对应的μ，即式(22)的最优值η，获得η后带入公式(20)可得y_s；

步骤4.2：更新ε，z_m

同理，将(21)代入(19)式，并简化可得：

式(28)同式(22)，均是分段函数，式(28)为关于ε的凸函数，令

是

的升序排列，并将(21)式代入(28)可得：

f(ε)在区间

上是凸函数，解得每一个分段函数的极值点后，在所有M个分段函数的极值点

中选取一个函数值最小的对应的ε，即式(22)的最优值，获得ε后带入(21)可得z_m；

步骤5：更新拉格朗日乘子λ_s和μ_m：

步骤6：重复步骤3-步骤5，直到达到收敛条件，收敛条件为||x(t+1)-x(t)||≤10^-6。

本发明的有益效果是由于采用一步法直接获得具有恒模特性的MIMO雷达探测信号，同时最小化旁瓣水平，并同时在解决非凸限制时发挥了很大的优势；另外，本发明可以获得具有更低旁瓣的发射波束图，这大大降低了信号相关的干扰、杂波等干扰的影响，从而大大提高了雷达的抗信号相关噪声性能，这是其他方法所不能达到的。

附图说明

图1是本发明集中式MIMO雷达线性天线阵列(ULA)图。

图2是本发明实验MIMO雷达发射波束图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

图1是本发明集中式MIMO雷达线性天线阵列(ULA)图。

本发明技术方案包含如下步骤：

步骤1、设MIMO雷达系统配备T个发射天线，目标方向角为θ，x_t(n)为第t个天线第n时刻发射的离散时间基带信号，其中，t＝1,2,…,T，n＝1,2,…,N，N表示采样点数，则目标接收到的信号为：

其中：

公式(1)中f₀是载波频率，

其中d为相邻两个天线之间的距离，c为光速，(·)^T，(·)^H分别代表转置和共轭转置；

步骤2、根据式(1)得探测信号在目标方向θ处的功率为：

P(θ)＝a(θ)^HRa(θ) (3)

式(3)中P(θ),

为MIMO雷达的发射波束图，R＝E{x(n)x^H(n)}为探测信号的协方差矩阵，E{·}表示期望，式(3)改写为：

其中，x＝[x₁(1),x₁(2),…,x₁(N),x₂(1),x₂(2),…,x₂(N),…x_t(1),x_t(2),…,x_t(N),…,x_T(N)]^H，是一个TN维的向量，

表示kron积，I表示单位阵，探测信号满足|x(i)|＝1，其中i＝1,2,...,TN；

步骤3、利用步骤2的协方差矩阵R求取雷达探测波形

首先将

的角度区域离散化并分为主瓣方向θ_m和旁瓣方向θ_s,即主瓣方向共M个点，旁瓣方向共S个点，设计具有恒模特性的雷达探测信号，并建立如下最小旁瓣函数模型：

其中

将A(θ_m)简写为A_m，A(θ_s)简写为A_s，引入主瓣水平下界ε和旁瓣水平上界η，将(5)式等价为：

利用ADMM方法，首先将目标函数

取log(·)以分离变量ε和η，得到：

引入辅助变量：

公式(7)等价为：

依据式(8)建立如下增广的拉格朗日函数：

其中λ_s和μ_m均为拉格朗日乘子，ρ是步长因子，令：

并配方得：

利用ADMM通过如下步骤来迭代更新{x,ε,η,y_s,λ_s,z_m,μ_m}：

将{ε,η,y_s,λ_s,z_m,μ_m}视为常量，确定x，则公式(10)变为关于x的函数：

令

P＝M+S，简化(11)得：

b表示变量x的相位，是一个变量，利用增广的拉格朗日乘子法，首先建立如下增广拉格朗日方程：

其中，κ和ρ_x分别是拉格朗日乘子和步长因子，通过如下步骤迭代更新{x,κ,b}：

步骤3.1、将{λ,b}视为常量，更新x，令

则

令

式(14)简化为：

式(15)为一个最小二乘问题，具有解析解：

步骤3.2、将{x，κ}视为常量，更新b，令

则

式(16)简化为：

因此可得：

angle(·)表示相角；

步骤3.3、将{x，b}视为常量，更新κ，则

κ：＝κ+ρ(e^jb-x) (18)

迭代更新步骤3.1到步骤3.3，直至满足收敛条件

其中，

可获得x；

步骤4、将{x，λ_s，μ_m}视为常量，令

更新y_s，η，z_m，ε：

从式(19)可以看出，y_s和z_m分别与η和ε相互耦合，且一旦η和ε确定，y_s，z_m即可由下式分别确定：

步骤4.1、更新η，y_s

将y_s带入(19)式并简化可得：

式(22)为关于η的分段函数，定义

为

的升序排列，式(22)表述为：

式(23)中f(η)是关于

的复杂的非凸函数，引入替换变量

则式(23)等价为：

在第k个分段函数f_k(μ)，

上，将f_k(μ)对μ求导得：

由

可知

为凸函数，因为f_k(μ)的最小值点必定在

处取得，因此，解得每一个分段函数的极值点后，在所有S个分段函数的极值点

中选取一个函数值最小的对应的μ，即式(22)的最优值η，获得η后带入公式(20)可得y_s；

步骤4.2：更新ε，z_m

同理，将(21)代入(19)式，并简化可得：

式(28)同式(22)，均是分段函数，式(28)为关于ε的凸函数，令

是

的升序排列，并将(21)式代入(28)可得：

f(ε)在区间

上是凸函数，因此必定存在一点ε_k使得f_k(ε)极值小值点在，解得每一个分段函数的极值点后，在所有M个分段函数的极值点

中选取一个函数值最小的对应的ε，即式(22)的最优值，获得ε后带入(21)可得z_m；

步骤5：更新拉格朗日乘子λ_s和μ_m：

步骤6：重复步骤3-步骤5，直到达到收敛条件，收敛条件为||x(t+1)-x(t)||≤10^-6。

本发明的算法流程如下：

输入：随机初始化

(上标表示迭代次数)，设定内部迭代收敛条件

外部迭代次数K＝5000：

k＝0；

步骤一：循环开始：

k＝k+1；

i＝0；

内部迭代：

a)

b)

c)

d)进行判断，当

则结束内部迭代，输出x^k＝xⁱ⁺¹，否则跳转至步骤a)。

步骤二：更新

获得η^k后带入(20)可得

更新

获得ε^k后带入(21)可得

步骤三：按照(18)式更新拉格朗日乘子

和

步骤四：判断，如果||x^k+1-x^k||≤10^-6，则结束迭代，输出x^k+1，否则跳转至步骤一继续迭代。

输出：雷达探测信号x

本实施例取一个具有10个发射天线的均匀阵列，阵元间隔为半波长。假定目标方向为θ₀＝0°，主瓣宽度为8°，过渡带宽为8°，探测信号的长度N＝20，图2给出了采用本发明的无需拟合协方差矩阵的低旁瓣波束设计方法和P.Stoica教授所提出的基于SQP的最小旁瓣方法，从图2中可以看出，设计波束相比P.Stoica教授所提出的最小旁瓣方法具有更低旁瓣(低1dB)。

Claims (1)

1.一种无需拟合协方差矩阵的低旁瓣发射波束图设计方法，其特征在于包括下述步骤：

步骤1、设MIMO雷达系统配备T个发射天线，目标方向角为θ，x_t(n)为第t个天线第n时刻发射的离散时间基带信号，其中，t＝1,2,…,T，n＝1,2,…,N，N表示采样点数，则目标接收到的信号为：

其中：

公式(1)中f₀是载波频率，

其中d为相邻两个天线之间的距离，c为光速，(·)^T，(·)^H分别代表转置和共轭转置；

步骤2、根据式(1)得探测信号在目标方向θ处的功率为：

P(θ)＝a(θ)^HRa(θ) (3)

式(3)中

为MIMO雷达的发射波束图，R＝E{x(n)x^H(n)}为探测信号的协方差矩阵，E{·}表示期望，式(3)改写为：

其中，x＝[x₁(1),x₁(2),…,x₁(N),x₂(1),x₂(2),…,x₂(N),…x_t(1),x_t(2),…,x_t(N),…,x_T(N)]^H，是一个TN维的向量，

表示kron积，I表示单位阵，探测信号满足|x(i)|＝1，其中i＝1,2,...,TN；

步骤3、利用步骤2的协方差矩阵R求取雷达探测波形

首先将

的角度区域离散化并分为主瓣方向θ_m和旁瓣方向θ_s,即主瓣方向共M个点，旁瓣方向共S个点，设计具有恒模特性的雷达探测信号，并建立如下最小旁瓣函数模型：

其中

将A(θ_m)简写为A_m，A(θ_s)简写为A_s，||·||²表示欧氏范数，引入主瓣水平下界ε和旁瓣水平上界η，将(5)式等价为：

利用ADMM方法，首先将目标函数

取log(·)以分离变量ε和η，得到：

引入辅助变量：

公式(7)等价为：

依据式(8)建立如下增广的拉格朗日函数：

其中λ_s和μ_m均为拉格朗日乘子，ρ是步长因子，令：

并配方得：

利用ADMM通过如下步骤来迭代更新{x,ε,η,y_s,λ_s,z_m,μ_m}：

将{ε,η,y_s,λ_s,z_m,μ_m}视为常量，确定x，则公式(10)变为关于x的函数：

令

简化(11)得：

b表示变量x的相位，是一个变量，利用增广的拉格朗日乘子法，首先建立如下增广拉格朗日方程：

其中，κ和ρ_x分别是拉格朗日乘子和步长因子，通过如下步骤迭代更新{x,κ,b}：

步骤3.1、将{κ,b}视为常量，更新x，令

则

令

式(14)简化为：

式(15)为一个最小二乘问题，具有解析解：

步骤3.2、将{x,κ}视为常量，更新b，令

则

式(16)简化为：

因此可得：

angle(·)表示相角；

步骤3.3、将{x,b}视为常量，更新κ，则

κ:＝κ+ρ(e^jb-x) (18)

迭代更新步骤3.1到步骤3.3，直至满足收敛条件

其中，

可获得x；

步骤4、将{x,λ_s,μ_m}视为常量，令

更新y_s,η,z_m,ε：

从式(19)可以看出，y_s和z_m分别与η和ε相互耦合，且一旦η和ε确定，y_s,z_m即可由下式分别确定：

步骤4.1、更新η,y_s

将y_s带入(19)式并简化可得：

式(22)为关于η的分段函数，定义

为

的升序排列，式(22)表述为：

式(23)中f(η)是关于

的复杂的非凸函数，引入替换变量

则式(23)等价为：

在第k个分段函数f_k(μ)，

上，将f_k(μ)对μ求导得：

由

可知

为凸函数，解得每一个分段函数的极值点后，在所有S个分段函数的极值点

中选取一个函数值最小的对应的μ，即式(22)的最优值η，获得η后带入公式(20)可得y_s；

步骤4.2：更新ε，z_m

同理，将(21)代入(19)式，并简化可得：

式(28)同式(22)，均是分段函数，式(28)为关于ε的凸函数，令

是

的升序排列，并将(21)式代入(28)可得：

f(ε)在区间

上是凸函数，解得每一个分段函数的极值点后，在所有M个分段函数的极值点

中选取一个函数值最小的对应的ε，即式(22)的最优值，获得ε后带入(21)可得z_m；

步骤5：更新拉格朗日乘子λ_s和μ_m：

步骤6：重复步骤3-步骤5，直到达到收敛条件，收敛条件为||x(t+1)-x(t)||≤10^-6。

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