CN106682293A - 稀疏波束图综合设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的稀疏波束图综合设计方法，具体为：步骤1、在实际阵列信号系统中，依据设计要求，建立以p范数(0<p<2)为稀疏约束的权值优化目标模型，并依据要求设置主瓣宽度，纹波宽度以及旁瓣限制的约束条件；步骤2、待步骤1完成后，针对该非凸优化模型，采用交替方法乘子法来迭代求出稀疏权值系数w；步骤3、利用步骤2得到的稀疏权值系数w并结合计算机仿真软件按照设计要求作出波束图本发明稀疏波束图综合设计方法，解决了现有技术中存在的局限性和不精确性，并且降低了实际阵列系统的复杂度以及实际应用的成本。

Description

稀疏波束图综合设计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理方法技术领域，具体涉及一种稀疏波束图综合设计方法。

背景技术

近年来，阵列信号处理技术在无线通信领域应用广泛，其中一个重要部分就是波束形成技术，其实质是通过对各阵元加权进行空域滤波，来达到增强期望信号及抑制干扰的目的。

波束图综合设计技术是阵列信号处理领域的关键技术，已广泛应用于雷达、声呐、电子监视及地震探测等领域。当期望来波方向估计不精确或不明确时，就可以通过控制辐射波束图的主瓣波束宽度和响应纹波来提高估计的鲁棒性。传统的波束图合成方法并不能完全任意的设计旁瓣下界或者仅仅能应用在均匀间隔的阵列中，抑或不能精确的控制波束合成要求。另外，对于波束合成，要尽可能使用少量天线，来减轻重量、节省成本以及减少阵列系统的复杂度。因此，稀疏波束图综合设计技术在实际应用中有很多优势，克服了传统合成方法的缺点，可以精确设计任意旁瓣要求并且减少了实际应用的成本。

发明内容

本发明的目的在于提供一种稀疏波束图综合设计方法，解决了现有技术中存在的局限性和不精确性，并且降低了实际阵列系统的复杂度及实际应用的成本。

本发明所采用的技术方案是，稀疏波束图综合设计方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1、在实际阵列信号系统中，依据设计要求，建立以p范数0<p<2为稀疏约束的权值优化目标模型，并依据要求设置主瓣宽度，纹波宽度以及旁瓣限制的约束条件；

步骤2、待步骤1完成后，针对得到的非凸优化模型，采用交替方法乘子法来迭代求出稀疏权值系数w；

步骤3、利用步骤2得到的稀疏权值系数w并结合计算机内的仿真软件，按照设计要求作出波束图。

本发明的特点还在于：

步骤1具体按照以下方法实施：

对于一维阵列，有N个传感器，则在角度θ方向上的波束模式具体如下：

p(θ)＝w^Ha(θ) (1)；

在式(1)中：w＝[w₁ w₂,…w_N]^T为权值向量，a(θ)＝[a₁(θ),…,a_N(θ)]^T为导向矢量；

设定将主瓣区域均匀划分为M个角度，其宽度为：{θ₁,…,θ_m}，m＝1,…,M，则主瓣纹波宽度约束具体为：

1-ε≤|w^Ha(θ_m)|²≤1+ε (2)；

在式(2)中：ε为纹波系数；

同理，设定将旁瓣区域被均匀划分为S个角度，其宽度为s＝1,…,S，则旁瓣上界约束具体如下：

式(3)中，η为上界系数；

建立如下稀疏约束的权重优化目标模型，具体如下：

步骤2具体按照以下步骤实施：

步骤2.1、根据ADMM算法，引入辅助变量u_m,v_s，则式(4)变形为如下形式：

构造如下的拉格朗日函数：

其中ρ是迭代步长，是拉格朗日乘子，分别为取复数实部和虚部；

步骤2.2、进行优化处理，具体按照以下步骤实施：

步骤①、固定w(t)，由如下算法求解出v_s,u_m，具体算法如下：

将式(6)简化为如下形式：

在式(7)中：

将式(7)用复数形式表示为如下形式：

在式(9)中：

显然，式(9)能分解为M+S个子问题来求解，具体如下：

和

对式(12)进行分解，设定式(12)的最小值点在|u_m|²＝μ处，μ是区间[1-ε,1+ε]处的常数，则目标函数表示为如下形式：

在式(14)中：(·)^*是满足KKT条件的平衡点；

式(14)表明最优点u_m与x_m同相位且幅值为即：

将式(15)代入式(14)中，则将式(12)优化为如下形式：

式(16)的解具体如下：

将式(17)代入式(15)，则得到如下形式：

同理，得到式(13)的解具体如下：

步骤②、固定u_m(t+1),v_s(t+1)，由如下算法求解出w：

进一步的得到：式(20)的矩阵表示为如下形式：

在式(22)中：

引入辅助变量z，以求解式(22)，令z＝w，则得到如下形式：

根据式(24)，构造拉格朗日函数：

应用ADMM算法求解式(25)，具体按照以下步骤实施：

步骤I、固定w(t),λ_r(t),λ_i(t)，利用如下算法求解出z：

式(26)中：

进一步，式(26)等价于如下的最小二乘问题：

在式(28)中：I为单位阵；

则得到：

步骤II、待步骤I完成后，固定z(t+1),λ_r(t),λ_i(t)，利用如下算法求解出w：

在式(30)中：

式(30)能分离为N个子问题：

在式(31)中：w＝[w₁,w₂…,w_N]^T,在式(31)最小时，w_n与有相同的相位，即β_n，则w_n能表示为如下形式：

式(32)中，h_n是w_n的幅值，根据w_n的幅值大小h_n，即能得到式(31)的最优点，则能将式(31)简化为如下形式：

式(33)中，是的幅值；

由于S(h_n)在上分别单调递增和递减，则S(h_n)的全局最小值出现在上，即式(33)等价于如下形式：

判断S(h_n)在上的凹凸性，并分别对S(h_n)求1阶导、2阶导，3阶导：

对p分三种情况讨论式(34)的最小值点：

第一种情况：1<p≤2；

时，故S(h_n)是凸的，并且 所以S(h_n)在区间有唯一解，使用二分法对式(35)求零点，即为S(h_n)的最小值点；

第二种情况：p＝1；

当p＝1时，式(34)等价于如下算法：

则S(h_n)的最小值点为：

第三种情况：0<p<1；

0<p<1时故是单增的，S(h_n)的凹凸性取决于的符号，记的解如下：

当S(h_n)是凹的，故S(h_n)的最小值点在0或之间；当既可能是正的也可能是负的，所以要分和两个区间讨论，具体分别如下：

在上，S(h_n)是凹的，故S(h_n)的最小值点在0或之间；

在上,S(h_n)是凸的，且若S(h_n)是单增的，故上的局部最小值点若使用二分法求取上的局部最小值点；

显然，S(h_n)的全局最小值点通过比较和上的局部最小值而获得；

步骤III、固定z,w，利用如下算法求解出λ：

λ(t+1)＝λ(t)+ρ(w-z) (41)；

循环迭代步骤I、步骤II及步骤III，直到z,w,λ收敛。

步骤③、固定u_m(t+1),v_s(t+1),w，利用如下算法求解出λ_m,κ_s：

λ_m(t+1)＝λ_m+ρ(u_m-w^Ha(θ_m)) (42)；

步骤2.3、经步骤2.2中的步骤①、步骤②及步骤③循环迭代一定次数，直到u_m,v_s,w,λ_m,κ_s收敛，即得到稀疏权值系数w。

本发明的有益效果在于：

(1)本发明稀疏波束图综合设计方法有效克服了现有技术存在的局限性和不精确性，并且降低了实际阵列系统的复杂度。

(2)本发明稀疏波束图综合设计方法，能精确设计任意旁瓣要求。

(3)本发明稀疏波束图综合设计方法减少了实际应用的成本。

(4)本发明稀疏波束图综合设计方法，非常适合在阵列信号处理中推广使用。

附图说明

图1是在41个均匀间隔分布非对称的阵列系统中稀疏16个传感器的仿真波束图；

图2是图1波束图主瓣区间的放大图；

图3是在41个非均匀间隔对称阵列系统中稀疏14个传感器的仿真波束图；

图4是图3波束图主瓣区间的放大图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明稀疏波束图综合设计方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1、在实际阵列信号系统中，依据设计要求，建立以p范数(0<p<2)为稀疏约束的权值优化目标模型，并依据要求设置主瓣宽度，纹波宽度以及旁瓣限制的约束条件，具体按照以下方法实施：

对于一维阵列，有N个传感器，则在角度θ方向上的波束模式具体如下：

p(θ)＝w^Ha(θ) (1)；

在式(1)中：w＝[w₁ w₂,…w_N]^T为权值向量，a(θ)＝[a₁(θ),…,a_N(θ)]^T为导向矢量；

设定将主瓣区域均匀划分为M个角度，其宽度为：{θ₁,…,θ_m}，m＝1,…,M，则主瓣纹波宽度约束具体为：

1-ε≤|w^Ha(θ_m)|²≤1+ε (2)；

在式(2)中：ε为纹波系数；

同理，设定将旁瓣区域被均匀划分为S个角度，其宽度为s＝1,…,S，则旁瓣上界约束具体如下：

式(3)中，η为上界系数；

建立如下稀疏约束的权重优化目标模型，具体如下：

步骤2、待步骤1完成后，针对得到的非凸优化模型，采用交替方法乘子法来迭代求出稀疏权值系数w，具体按照以下步骤实施：

步骤2.1、根据ADMM算法，引入辅助变量u_m,v_s，则式(4)变形为如下形式：

构造如下的拉格朗日函数：

其中ρ是迭代步长，是拉格朗日乘子，分别为取复数实部和虚部；

步骤2.2、进行优化处理，具体按照以下步骤实施：

步骤①、固定w(t)，由如下算法求解出v_s,u_m，具体算法如下：

将式(6)简化为如下形式：

在式(7)中：

将式(7)用复数形式表示为如下形式：

在式(9)中：

显然，式(9)能分解为M+S个子问题来求解，具体如下：

和

对式(12)进行分解，设定式(12)的最小值点在|u_m|²＝μ处，μ是区间[1-ε,1+ε]处的常数，则目标函数表示为如下形式：

在式(14)中：(·)*是满足KKT条件的平衡点；

式(14)表明最优点u_m与x_m同相位且幅值为即：

将式(15)代入式(14)中，则将式(12)优化为如下形式：

式(16)的解具体如下：

将式(17)代入式(15)，则得到如下形式：

同理，得到式(13)的解具体如下：

步骤②、固定u_m(t+1),v_s(t+1)，由如下算法求解出w：

进一步的得到：式(20)的矩阵表示为如下形式：

在式(22)中：

引入辅助变量z，以求解式(22)，令z＝w，则得到如下形式：

根据式(24)，构造拉格朗日函数：

应用ADMM算法求解式(25)，具体按照以下步骤实施：

步骤I、固定w(t),λ_r(t),λ_i(t)，利用如下算法求解出z：

式(26)中：

进一步，式(26)等价于如下的最小二乘问题：

在式(28)中：I为单位阵；

则得到：

步骤II、待步骤I完成后，固定z(t+1),λ_r(t),λ_i(t)，利用如下算法求解出w：

在式(30)中：

式(30)能分离为N个子问题：

在式(31)中：w＝[w₁,w₂…,w_N]^T,在式(31)最小时，w_n与有相同的相位，即β_n，则w_n能表示为如下形式：

式(32)中，h_n是w_n的幅值，根据w_n的幅值大小h_n，即能得到式(31)的最优点，则能将式(31)简化为如下形式：

式(33)中，是的幅值；

由于S(h_n)在上分别单调递增和递减，则S(h_n)的全局最小值出现在上，即式(33)等价于如下形式：

判断S(h_n)在上的凹凸性，并分别对S(h_n)求1阶导、2阶导，3阶导：

对p分三种情况讨论式(34)的最小值点：

第一种情况：1<p≤2；

时，故S(h_n)是凸的，并且 所以S(h_n)在区间有唯一解，使用二分法对式(35)求零点，即为S(h_n)的最小值点；

第二种情况：p＝1；

当p＝1时，式(34)等价于如下算法：

则S(h_n)的最小值点为：

第三种情况：0<p<1；

0<p<1时故是单增的，S(h_n)的凹凸性取决于的符号，记的解如下：

当S(h_n)是凹的，故S(h_n)的最小值点在0或之间；当既可能是正的也可能是负的，所以要分和两个区间讨论，具体分别如下：

在上，S(h_n)是凹的，故S(h_n)的最小值点在0或之间；

在上,S(h_n)是凸的，且若S(h_n)是单增的，故上的局部最小值点若使用二分法求取上的局部最小值点；

显然，S(h_n)的全局最小值点通过比较和上的局部最小值而获得；

步骤III、固定z,w，利用如下算法求解出λ：

λ(t+1)＝λ(t)+ρ(w-z) (41)；

循环迭代步骤I、步骤II及步骤III，直到z,w,λ收敛。

步骤③、固定u_m(t+1),v_s(t+1),w，利用如下算法求解出λ_m,κ_s：

λ_m(t+1)＝λ_m+ρ(u_m-w^Ha(θ_m)) (42)；

步骤2.3、经步骤2.2中的步骤①、步骤②及步骤③循环迭代一定次数，直到u_m,v_s,w,λ_m,κ_s收敛，即得到稀疏权值系数w。

步骤3、利用步骤2得到的稀疏权值系数w并结合计算机内的仿真软件，按照设计要求作出波束图。

实施例

有由41个非均匀间隔分布的传感器组成的阵列系统，设计要求为：主瓣宽度[-20，20]，纹波系数ε＝0.1，主瓣波纹宽度区间为[-0.4576 0.4139]db,旁瓣宽度[-90 -25]∪[25 90]，上界系数η＝-30db；

建立稀疏约束的权值优化模型：

根据ADMM算法，引入辅助变量u_m,v_s，分步骤①、步骤②及步骤③循环优化：

步骤①、固定w(t)，求解出v_s,u_m；

步骤②、固定u_m(t+1),v_s(t+1)，求解出w；

引入辅助变量z，令z＝w；

步骤I、固定w(t),λ_r(t),λ_i(t)，求解出z；

步骤II、固定z(t+1),λ_r(t),λ_i(t)，求解出w；

步骤III、固定z,w，求λ；

循环迭代步骤I、步骤II及步骤III，直到z,w,λ收敛；

步骤③、固定u_m(t+1),v_s(t+1),w，求λ_m,κ_s；

将步骤①、步骤②及步骤③循环迭代一定次数，直到u_m,v_s,w,λ_m,κ_s收敛，即得到所求取的稀疏权值系数w；

最后利用计算机仿真软件按照设计要求作出波束图；

仿真结果如图1、图2、图3及4所示，图1是在41个均匀间隔分布非对称的阵列系统中稀疏16个传感器的仿真波束图，图2是图1波束图主瓣区间的放大图，由图1和图2结合可以看出：主瓣纹波宽度满足设计要求[-0.4576 0.1439]db区间内。图3是在41个非均匀间隔对称阵列系统中稀疏14个传感器的仿真波束图，图4是图3波束图主瓣区间的放大图，由图3和图4可以看出：主瓣纹波宽度满足设计要求[-0.4576 0.1439]db区间内。

本发明稀疏波束图综合设计方法，解决了现有技术中存在的局限性和不精确性，并且降低了实际阵列系统的复杂度及实际应用的成本。

Claims (3)

1.稀疏波束图综合设计方法，其特征在于，具体按照以下方法实施：

步骤1、在实际阵列信号系统中，依据设计要求，建立以p范数0<p<2为稀疏约束的权值优化目标模型，并依据要求设置主瓣宽度，纹波宽度以及旁瓣限制的约束条件；

步骤2、待步骤1完成后，针对得到的非凸优化模型，采用交替方法乘子法来迭代求出稀疏权值系数w；

步骤3、利用步骤2得到的稀疏权值系数w并结合计算机内的仿真软件，按照设计要求作出波束图。

2.根据权利要求1所述的稀疏波束图综合设计方法，其特征在于，所述步骤1具体按照以下方法实施：

对于一维阵列，有N个传感器，则在角度θ方向上的波束模式具体如下：

p(θ)＝w^Ha(θ) (1)；

在式(1)中：w＝[w₁ w₂,…w_N]^T为权值向量，a(θ)＝[a₁(θ),…,a_N(θ)]^T为导向矢量；

设定将主瓣区域均匀划分为M个角度，其宽度为：{θ₁,…,θ_m}，m＝1,…,M，则主瓣纹波宽度约束具体为：

1-ε≤|w^Ha(θ_m)|²≤1+ε (2)；

在式(2)中：ε为纹波系数；

同理，设定将旁瓣区域被均匀划分为S个角度，其宽度为则旁瓣上界约束具体如下：

${\left|w^{H}a\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_s\right)\right|}^2\&le;\mathrm{\&eta;}---\left(3\right);$

式(3)中，η为上界系数；

建立如下稀疏约束的权重优化目标模型，具体如下：

$\begin{array}{cc}\underset{w}{\min }& \left|\right|w|{|}^p\\ s.t& 1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;{\left|w^{H}a\left({\mathrm{\&theta;}}_m\right)\right|}^2\&le;1+\mathrm{\&epsiv;},m=1,\mathrm{...},M\\ & {\left|w^{H}a\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_s\right)\right|}^2\&le;\mathrm{\&eta;},s=1,\mathrm{...},S\end{array}---\left(4\right).$

3.根据权利要求1所述的稀疏波束图综合设计方法，其特征在于，所述步骤2具体按照以下步骤实施：

步骤2.1、根据ADMM算法，引入辅助变量u_m,v_s，则式(4)变形为如下形式：

$\begin{array}{cc}\underset{w}{\min }& \left|\right|w|{|}^p\\ s.t& 1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;{\left|w^{H}a\left({\mathrm{\&theta;}}_m\right)\right|}^2\&le;1+\mathrm{\&epsiv;},m=1,\mathrm{...},M\\ & {\left|w^{H}a\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_s\right)\right|}^2\&le;\mathrm{\&eta;},s=1,\mathrm{...},S\\ & u_m=w^{H}a\left({\mathrm{\&theta;}}_m\right),m=1,\mathrm{...},M\\ & v_s=w^{H}a\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_s\right),s=1,\mathrm{...},S\end{array}---\left(5\right);$

构造如下的拉格朗日函数：

其中ρ是迭代步长，是拉格朗日乘子，分别为取复数实部和虚部；

步骤2.2、进行优化处理，具体按照以下步骤实施：

步骤①、固定由如下算法求解出v_s,u_m，具体算法如下：

$\begin{array}{c}\{u_m(t+1),v_s(t+1)\}=\arg \min L(w,u_m,v_s,{\mathrm{\&lambda;}}_m^i,{\mathrm{\&lambda;}}_m^r,{\mathrm{\&kappa;}}_s^i,{\mathrm{\&kappa;}}_s^r)\\ \begin{array}{cc}s.t& 1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;{\left|u_m\right|}^2\&le;1+\mathrm{\&epsiv;},m=1,\mathrm{...},M\\ & {\left|v_s\right|}^2\&le;\mathrm{\&eta;},s=1,\mathrm{...},S\end{array}\end{array}---\left(6\right);$

将式(6)简化为如下形式：

在式(7)中：

将式(7)用复数形式表示为如下形式：

$\begin{array}{cc}\underset{u_m,v_s}{\min }& \underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}{\left|u_m-x_m\right|}^2+\underset{s=1}{\overset{S}{\&Sigma;}}{\left|v_s-y_s\right|}^2\\ s.t& 1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;{\left|u_m\right|}^2\&le;1+\mathrm{\&epsiv;},m=1,\mathrm{...},M\\ & {\left|v_s\right|}^2\&le;\mathrm{\&eta;},s=1,\mathrm{...},S\end{array}---\left(9\right);$

在式(9)中：

$x_m=x_m^r+\sqrt{-1}{x}_m^i,m=1,...,M---\left(10\right);$

$y_s=y_s^r+\sqrt{-1}{y}_s^i,s=1,...,S---\left(11\right);$

显然，式(9)能分解为M+S个子问题来求解，具体如下：

$\begin{array}{cc}\underset{u_m}{\min }& {\left|u_m-x_m\right|}^2\\ s.t& 1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;{\left|u_m\right|}^2\&le;1+\mathrm{\&epsiv;}\end{array}---\left(12\right);$

和 $\begin{array}{cc}\underset{v_s}{\min }& \underset{s=1}{\overset{S}{\&Sigma;}}{\left|v_s-y_s\right|}^2\\ s.t& {\left|v_s\right|}^2\&le;\mathrm{\&eta;}\end{array}---\left(13\right);$

对式(12)进行分解，设定式(12)的最小值点在|u_m|²＝μ处，μ是区间[1-ε,1+ε]处的常数，则目标函数表示为如下形式：

${\left|u_m-x_m\right|}^2=\mathrm{\&mu;}-u_m^{*}{x}_m-u_m{x}_m^{*}+{\left|x_m\right|}^2---\left(14\right);$

在式(14)中：(·)^*是满足KKT条件的平衡点；

式(14)表明最优点u_m与x_m同相位且幅值为即：

$u_m=\frac{\sqrt{\mathrm{\&mu;}}}{\left|x_m\right|}{x}_m---\left(15\right);$

将式(15)代入式(14)中，则将式(12)优化为如下形式：

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\&mu;}}{\min }& {(\sqrt{\mathrm{\&mu;}}-|x_m\left|\right)}^2\\ s.t& 1-\mathrm{\&epsiv;}\&le;\mathrm{\&mu;}\&le;1+\mathrm{\&epsiv;}\end{array}---\left(16\right);$

式(16)的解具体如下：

将式(17)代入式(15)，则得到如下形式：

同理，得到式(13)的解具体如下：

步骤②、固定u_m(t+1),v_s(t+1)，由如下算法求解出w：

$\begin{array}{cc}\underset{w}{\min }& \left|\right|w|{|}^p+\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}{|b_m-w^{H}a\left({\mathrm{\&theta;}}_m\right)|}^2+\underset{s=1}{\overset{S}{\&Sigma;}}\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}|g_s-w^{H}a\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_s\right)|\end{array}---\left(20\right);$

$b_m=u_m+\frac{1}{\mathrm{\&rho;}}({\mathrm{\&lambda;}}_m^r+\sqrt{-1}{\mathrm{\&lambda;}}_m^i),g_s=u_s+\frac{1}{\mathrm{\&rho;}}({\mathrm{\&kappa;}}_s^r+\sqrt{-1}{\mathrm{\&kappa;}}_s^i)---\left(21\right);$

进一步的得到：式(20)的矩阵表示为如下形式：

$\begin{array}{cc}\underset{w}{min}& \left|\right|w|{|}^p+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}||b^H-w^{H}A|{|}^2\end{array}---\left(22\right);$

在式(22)中：

$b={\&lsqb;b_1...b_m{g}_1...g_s\&rsqb;}^H,A=\&lsqb;a\left({\mathrm{\&theta;}}_1\right)...a\left({\mathrm{\&theta;}}_M\right)a\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_1\right)...a\left(\stackrel{-}{{\mathrm{\&theta;}}_S}\right)\&rsqb;---\left(23\right);$

引入辅助变量z，以求解式(22)，令z＝w，则得到如下形式：

$\begin{array}{cc}\underset{w}{min}& \left|\right|w|{|}^p+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}||b^H-z^{H}A|{|}^2\\ s.t& z=w\end{array}---\left(24\right);$

根据式(24)，构造拉格朗日函数：

应用ADMM算法求解式(25)，具体按照以下步骤实施：

步骤I、固定w(t),λ_r(t),λ_i(t)，利用如下算法求解出z：

$\begin{array}{cc}\underset{z}{min}& \frac{\mathrm{\&rho;}}{2}\left|\right|b^H-z^{H}A|{|}^2+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}||\tilde{z}-z|{|}^2\end{array}---\left(26\right);$

式(26)中：

进一步，式(26)等价于如下的最小二乘问题：

$\begin{array}{cc}\underset{z}{min}& \left|\right|\tilde{b}-\tilde{A}z|{|}^2\end{array}---\left(28\right);$

在式(28)中：I为单位阵；

则得到：

步骤II、待步骤I完成后，固定z(t+1),λ_r(t),λ_i(t)，利用如下算法求解出w：

$\begin{array}{cc}\underset{w}{min}& \left|\right|w|{|}^p+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}||w-\tilde{w}|{|}^2\end{array}---\left(30\right);$

在式(30)中：

式(30)能分离为N个子问题：

$\begin{array}{cc}\underset{w_n}{min}& {\left|w_n\right|}^p+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}{\left|w_n-{\tilde{w}}_n\right|}^2\end{array}---\left(31\right);$

在式(31)中：w＝[w₁,w₂…,w_N]^T,

在式(31)最小时，w_n与有相同的相位，即β_n，则w_n能表示为如下形式：

$w_n=h_n{e}^{{\mathrm{j\&beta;}}_n},n=1,2,...,N---\left(32\right);$

式(32)中，h_n是w_n的幅值，根据w_n的幅值大小h_n，即能得到式(31)的最优点，则能将式(31)简化为如下形式：

$\begin{array}{cc}\underset{h_n}{min}& S\left(h_n\right)={\left|h_n\right|}^p+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}{\left|h_n-{\tilde{h}}_n\right|}^2,n=1,...,N\end{array}---\left(33\right);$

式(33)中，是的幅值；

由于S(h_n)在上分别单调递增和递减，则S(h_n)的全局最小值出现在上，即式(33)等价于如下形式：

$\begin{array}{cccc}\min & S\left(h_n\right)={h_n}^p+\frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}{2}{(h_n-{\tilde{h}}_n)}^2,& s.t& h_n\&Element;\&lsqb;0,{\tilde{h}}_n\&rsqb;\end{array}---\left(34\right);$

判断S(h_n)在上的凹凸性，并分别对S(h_n)求1阶导、2阶导，3阶导：

$\frac{\&part;S\left(h_n\right)}{\&part;h_n}={{\mathrm{ph}}_n}^{p-1}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}(h_n-{\stackrel{\&OverBar;}{h}}_n)---\left(35\right);$

$\frac{{\&part;}^{2}S\left(h_n\right)}{\&part;{h_n}^2}=p(p-1){h_n}^{p-2}+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}---\left(36\right);$

$\frac{{\&part;}^{3}S\left(h_n\right)}{\&part;{h_n}^3}=p(p-1)(p-2){h_n}^{p-3}---\left(37\right);$

对p分三种情况讨论式(34)的最小值点：

第一种情况：1<p≤2；

时，故S(h_n)是凸的，并且 所以S(h_n)在区间有唯一解，使用二分法对式(35)求零点，即为S(h_n)的最小值点；

第二种情况：p＝1；

当p＝1时，式(34)等价于如下算法：

$\begin{array}{cccc}min& \frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}{2}{(h_n-({\tilde{h}}_n-\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\left)\right)}^2& s.t& h_n\&Element;\&lsqb;0,{\tilde{h}}_n\&rsqb;\end{array}---\left(38\right);$

则S(h_n)的最小值点为：

$h_n=\{\begin{array}{ccc}{\tilde{h}}_n-\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}& if& {\tilde{h}}_n-\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}>0\\ 0& if& {\tilde{h}}_n-\frac{1}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\&le;0\end{array}---\left(39\right);$

第三种情况：0<p<1；

0<p<1时故是单增的，S(h_n)的凹凸性取决于的符号，记的解如下：

${\widetilde{\stackrel{~}{h}}}_n={\left(\frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}{p(1-p)}\right)}^{\frac{1}{p-2}}---\left(40\right);$

当S(h_n)是凹的，故S(h_n)的最小值点在0或之间；当 既可能是正的也可能是负的，所以要分和两个区间讨论，具体分别如下：

在上，S(h_n)是凹的，故S(h_n)的最小值点在0或之间；

在上,S(h_n)是凸的，且若S(h_n)是单增的，故上的局部最小值点若使用二分法求取上的局部最小值点；

显然，S(h_n)的全局最小值点通过比较和上的局部最小值而获得；

步骤III、固定z,w，利用如下算法求解出λ：

λ(t+1)＝λ(t)+ρ(w-z) (41)；

循环迭代步骤I、步骤II及步骤III，直到z,w,λ收敛；

步骤③、固定u_m(t+1),v_s(t+1),w，利用如下算法求解出λ_m,κ_s：

λ_m(t+1)＝λ_m+ρ(u_m-w^Ha(θ_m)) (42)；

${\mathrm{\&kappa;}}_s(t+1)={\mathrm{\&kappa;}}_s+\mathrm{\&rho;}(v_s-w^{H}a({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_s\left)\right)---\left(43\right);$

步骤2.3、经步骤2.2中的步骤①、步骤②及步骤③循环迭代一定次数，直到u_m,v_s,w,λ_m,κ_s收敛，即得到稀疏权值系数w。