CN106682405A - 基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，通过采用交替方向乘子法(ADMM)，引入辅助变量来实现变量分离，将原有的大量不等式约束限制转换成可求解问题，运用ADMM思想迭代求解，从而确定参数，得出理想波束，即降低旁瓣值。本发明通过对波束旁瓣进行优化，过程中波束形成器的稳健性良好，旁瓣控制而对阵增益产生的副作用较低，而得到的旁瓣值低，方法简单，操作简单，有很好的实用价值。

Description

基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理领域，具体涉及一种基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法。

背景技术

在信号处理问题中，波束图优化设计包括两方面研究内容，一方面是控制波束旁瓣，另一方面是设计波束主瓣响应。近年来这两方面的设计问题越来越受到人们的关注，此类设计问题被称作波束图综合问题，其主要是——期望响应波束设计的问题。

对于旁瓣控制波束设计，一般是固定阵形与噪声场，常规波束形成器的旁瓣是固定的。当它运用在某些形状的基阵时，旁瓣可能会比较高。而对于实际基阵系统，由于单个传感器可能不是各向同性的，各传感器的灵敏度也不太相同。到目前为止，已经出现了大量的旁瓣控制优化波束形成方法，Taylor提出了适用于连续线阵和圆面阵的旁瓣约束方法，该方法约束最大旁瓣高度，并获得远离主瓣方向逐渐下降的旁瓣；Elliott对Taylor方法进行了改进，使旁瓣高度能个别指定。但是，这些方法只适用于特定形状的基阵，且要求各阵元是各向同性的。对于其他形状阵型则不能够获得理想的期望旁瓣。

除了波束旁瓣控制之外，期望响应设计是波束图设计的另一个研究方向。二次规划方法是适用于任意结构基阵的期望响应波束设计方法，其原理是使设计的波束与期望波束的均方误差最小。然而，二次规划方法的一个主要缺点是使用了误差的二范数逼近准则，相当于使设计波束在全方位同时逼近于期望波束，而我们真正关心的只是主瓣波束区域，相当于在旁瓣区域增加了多余的等式约束，造成设计波束与参考波束主瓣区域拟合误差增大。

以上提到的波束图优化设计方法仅仅是对波束主瓣或旁瓣进行优化，既没考虑波束形成器的稳健性，也没考虑由于旁瓣控制而对阵增益产生的副作用，使得这些方法在使用时存在很多缺陷。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，解决了现有响应波束设计方法中旁瓣值过高、稳健性差、对阵增益副作用大的问题。

本发明基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法所采用的技术方案是，通过采用交替方向乘子法(ADMM)，引入辅助变量来实现变量分离，将原有的大量不等式约束限制转换成可求解问题，运用ADMM思想迭代求解，从而确定参数，得出理想波束，即降低旁瓣值，具体包括以下步骤：

步骤1，目标函数构建

假设有M个元素组成的ULA阵列，设a(θ_m)为角度θ_m的导向矢量，则在角度θ_m的波束响应p(θ_m)＝w^Ha(θ_m)，m＝1，2……M，即所求目标函数如公式(1)：

Find w

s.t.||w^Ha(θ_m)||²≤ε,m＝1,…,M (1)

其中，是权值变量，约束条件为限制旁瓣最小；

步骤2，假设到达方向(DOA)的指定目标源角度为θ₀，即限制导向矢量为a(θ₀)的波束响应w^Ha(θ₀)＝1，通过最小化输出功率来获得权值向量其优化问题如公式(2)：

将公式(2)中的复数实数化可等价为公式(3)：

其中，权值向量

引入变量u可实现将公式(3)变量分离，具体如公式(4)：

步骤3，利用拉格朗日乘子形式将有约束条件的目标函数转换成无约束条件函数，从而将各个变量分离，定义增广拉格朗日函数L如公式(5)：

其中，ρ＞0为步长，λ_m为拉格朗日乘子向量；

步骤4，依次求解公式(5)中的变量u_m、ε、λ_m，通过重复迭代使算法收敛，即其中δ＞0时结束。

步骤4中变量的求解具体为：通过步骤3中的公式(5)增广拉格朗日函数L可得公式(6)，

公式(6)可等价为公式(7)：

其中，t为运行次数；

转换成拉格朗日形式，如公式(8)：

由公式(8)可得权值向量如公式(9)：

将带入公式(9)中，可得到

λ＝-(A(θ₀)R^-1A^T(θ₀))^-1(A(θ₀)R^-1d(t)+2c) (10)

将公式(10)代入(9)可求解出

步骤4中变量u_m、ε的求解具体为：通过步骤3中的公式(5)增广拉格朗日函数L可得公式(11)，

由于每个分量之间是独立的，分解成以下形式公式(12)，

其中，向量为

所以u_m(t+1)通过公式(13)可得：

化简即可得公式(14)，

定义变量S为公式(15)，

ε(t+1)可由公式(11)转换求得：

将按升序排列可得序列[||z₁(t)|| … ||z_m(t)||]，则公式

(16)可等价为：

其中，第m个函数可简化成：

其中变量

因此第m个区域的最优值及如下：

取函数值中的最小值即所对应的即为所求的解：

将ε(t+1)代入公式(13)即可求得u_m(t+1)：

步骤4中变量λ_m通过公式(11)和公式(12)可得，

本发明的有益效果是：本发明基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，通过采用交替方向乘子法(ADMM)，引入辅助变量来实现变量分离，将原有的大量不等式约束限制转换成可求解问题，运用ADMM思想迭代求解，从而确定参数，得出理想波束，即降低旁瓣值；通过对波束旁瓣进行优化，过程中波束形成器的稳健性良好，旁瓣控制而对阵增益产生的副作用较低，而得到的旁瓣值低，方法简单，操作简单，有很好的实用价值。

附图说明

图1是本发明基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法的线性天线阵列(ULA)图；

图2是本发明基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法的实验波束图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，通过采用交替方向乘子法(ADMM)，引入辅助变量来实现变量分离，将原有的大量不等式约束限制转换成可求解问题，运用ADMM思想迭代求解，从而确定参数，得出理想波束，即降低旁瓣值，具体包括以下步骤：

步骤1，目标函数构建

假设有M个元素组成的ULA阵列，设a(θ_m)为角度θ_m的导向矢量，则在角度θ_m的波束响应p(θ_m)＝w^Ha(θ_m)，m＝1，2……M，即所求目标函数如公式(1)：

Find w

s.t.||w^Ha(θ_m)||²≤ε,m＝1,…,M (1)

其中，是权值变量，约束条件为限制旁瓣最小；

步骤2，假设到达方向(DOA)的指定目标源角度为θ₀，即限制导向矢量为a(θ₀)的波束响应w^Ha(θ₀)＝1，通过最小化输出功率来获得权值向量其优化问题如公式(2)：

将公式(2)中的复数实数化可等价为公式(3)：

其中，权值向量

引入变量u可实现将公式(3)变量分离，具体如公式(4)：

步骤3，利用拉格朗日乘子形式将有约束条件的目标函数转换成无约束条件函数，从而将各个变量分离，定义增广拉格朗日函数L如公式(5)：

其中，ρ＞0为步长，λ_m为拉格朗日乘子向量；

步骤4，依次求解公式(5)中的变量u_m、ε、λ_m；

步骤4中变量的求解具体为：通过步骤3中的公式(5)增广拉格朗日函数L可得公式(6)，

公式(6)可等价为公式(7)：

其中，t为运行次数；

转换成拉格朗日形式，如公式(8)：

由公式(8)可得权值向量如公式(9)：

将带入公式(9)中，可得到

λ＝-(A(θ₀)R^-1A^T(θ₀))^-1(A(θ₀)R^-1d(t)+2c) (10)

将公式(10)代入(9)可求解出

步骤4中变量u_m、ε的求解具体为：通过步骤3中的公式(5)增广拉格朗日函数L可得公式(11)，

由于每个分量之间是独立的，分解成以下形式公式(12)，

其中，向量为

所以u_m(t+1)通过公式(13)可得：

化简即可得公式(14)，

如图1所示，定义变量S为公式(15)，

ε(t+1)可由公式(11)转换求得：

将按升序排列可得序列[||z₁(t)|| … ||z_m(t)||]，则公式

(16)可等价为：

其中，第m个函数可简化成：

其中变量

因此第m个区域的最优值及如下：

取函数值中的最小值即所对应的即为所求的解：

将ε(t+1)代入公式(13)即可求得u_m(t+1)：

步骤4中变量λ_m通过公式(11)和公式(12)可得，

通过重复迭代依次计算出变量u_m、ε、λ_m；直到算法收敛，即其中δ＞0时，结束。

实施例

本发明实验为一个10阵元的均匀线列阵，阵元间隔为频率f₀对应的半波长；采用本发明设计对应于频率f＝f₀/2、指向θ₀＝0°方向的旁瓣控制波束图，旁瓣区域为[-90°,-15°]∪[15°,90°]，波束旁瓣级设定为-30dB，通过公式(6)-(23)的计算迭代可求得权值向量w；以此计算出的波束图，如图2所示，设计波束达到了所要求的旁瓣控制波束。

本发明通过对波束旁瓣进行优化，过程中波束形成器的稳健性良好，旁瓣控制而对阵增益产生的副作用较低，而得到的旁瓣值低，方法简单，操作简单，有很好的实用价值。

Claims (4)

1.基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，其特征在于，通过采用交替方向乘子法(ADMM)，引入辅助变量来实现变量分离，将原有的大量不等式约束限制转换成可求解问题，运用ADMM思想迭代求解，从而确定参数，得出理想波束，即降低旁瓣值，具体包括以下步骤：

步骤1，目标函数构建

假设有M个元素组成的ULA阵列，设a(θ_m)为角度θ_m的导向矢量，则在角度θ_m的波束响应p(θ_m)＝w^Ha(θ_m)，m＝1，2……M，即所求目标函数如公式(1)：

Find w

s.t.||w^Ha(θ_m)||²≤ε,m＝1,…,M (1)

其中，是权值变量，约束条件为限制旁瓣最小；

步骤2，假设到达方向(DOA)的指定目标源角度为θ₀，即限制导向矢量为a(θ₀)的波束响应w^Ha(θ₀)＝1，通过最小化输出功率来获得权值向量其优化问题如公式(2)：

$\begin{array}{c}\underset{w,\mathrm{\ϵ}}{\min }\mathrm{\ϵ}\\ \begin{array}{cc}s.t.& w^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_0\right)=1,\\ & \left|\right|w^{H}a\left({\mathrm{\θ}}_m\right)|{|}^2\≤\mathrm{\ϵ},m=1,\mathrm{...},M\end{array}\end{array}---\left(2\right)$

将公式(2)中的复数实数化可等价为公式(3)：

$\begin{array}{c}\underset{w,\mathrm{\ϵ}}{\min }\mathrm{\ϵ}\\ \begin{array}{cc}s.t.& A\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\tilde{w}=c,\\ & \left|\right|A\left({\mathrm{\θ}}_m\right)\tilde{w}|{|}^2\≤\mathrm{\ϵ},m=1,\mathrm{...},M\end{array}\end{array}---\left(3\right)$

其中，权值向量

引入变量u可实现将公式(3)变量分离，具体如公式(4)：

$\begin{array}{c}\underset{w,\mathrm{\ϵ}}{\min }\mathrm{\ϵ}\\ \begin{array}{cc}s.t.& A\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\tilde{w}=c,\\ & \left|\right|u_m|{|}^2\≤\mathrm{\ϵ}\\ & u_m=A\left({\mathrm{\θ}}_m\right)\tilde{w},m=1,\mathrm{...},M\end{array}\end{array}---\left(4\right)$

步骤3，利用拉格朗日乘子形式将有约束条件的目标函数转换成无约束条件函数，从而将各个变量分离，定义增广拉格朗日函数L如公式(5)：

$L=\mathrm{\ϵ}+\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_m^T(u_m-A({\mathrm{\θ}}_m\left)\tilde{w}\right)+\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}\frac{\mathrm{\ρ}}{2}\left|\right|u_m-A\left({\mathrm{\θ}}_m\right)\tilde{w}|{|}^2---\left(5\right)$

其中，ρ＞0为步长，λ_m为拉格朗日乘子向量；

步骤4，依次求解公式(5)中的变量u_m、ε、λ_m，通过重复迭代使算法收敛，即其中δ＞0时结束。

2.根据权利要求1所述的基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，其特征在于，所述的步骤4中变量的求解具体为：通过步骤3中的公式(5)增广拉格朗日函数L可得公式(6)，

$\begin{array}{c}\underset{\tilde{w}}{\min }\mathrm{\ϵ}+\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_m^T(u_m-A({\mathrm{\θ}}_m\left)\tilde{w}\right)+\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}\frac{\mathrm{\ρ}}{2}\left|\right|u_m-A\left({\mathrm{\θ}}_m\right)\tilde{w}|{|}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& A\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\tilde{w}=c\end{array}\end{array}---\left(6\right)$

公式(6)可等价为公式(7)：

$\begin{array}{c}\underset{\tilde{w}}{\min }{\tilde{w}}^{T}R\tilde{w}+d^T\left(t\right)\tilde{w}\\ \begin{array}{cc}s.t.& A\left({\mathrm{\θ}}_0\right)\tilde{w}=c\end{array}\end{array}---\left(7\right)$

其中，t为运行次数；

转换成拉格朗日形式，如公式(8)：

$L_1={\tilde{w}}^{T}R\tilde{w}+d^T\left(t\right)\tilde{w}+{\mathrm{\λ}}^T\left(A\right({\mathrm{\θ}}_0)\tilde{w}-c)---\left(8\right)$

由公式(8)可得权值向量如公式(9)：

$\tilde{w}=-\frac{1}{2}{R}^{-1}\left(d\right(t)+A^T({\mathrm{\θ}}_0\left)\mathrm{\λ}\right)---\left(9\right)$

将带入公式(9)中，可得到

λ＝-(A(θ₀)R^-1A^T(θ₀))^-1(A(θ₀)R^-1d(t)+2c) (10)

将公式(10)代入(9)可求解出

3.根据权利要求1所述的基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，其特征在于，所述的步骤4中变量u_m、ε的求解具体为：通过步骤3中的公式(5)增广拉格朗日函数L可得公式(11)，

$\begin{array}{c}\underset{u_m,\mathrm{\ϵ}}{\min }\mathrm{\ϵ}+\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_m^T(u_m-A({\mathrm{\θ}}_m\left)\tilde{w}\right(t+1\left)\right)+\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}\frac{\mathrm{\ρ}}{2}\left|\right|u_m-A\left({\mathrm{\θ}}_m\right)\tilde{w}(t+1)|{|}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|u_m|{|}^2\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}\end{array}---\left(11\right)$

由于每个分量之间是独立的，分解成以下形式公式(12)，

$\begin{array}{c}\underset{u_m}{\min }\frac{\mathrm{\ρ}}{2}\left|\right|u_m-{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)|{|}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|u_m|{|}^2\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}\end{array}---\left(12\right)$

其中，向量为

所以u_m(t+1)通过公式(13)可得：

$u_m(t+1)=\left\{\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)& \left|\right|{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|\≤\sqrt{\mathrm{\ϵ}}\\ \frac{\sqrt{\mathrm{\ϵ}}}{\left|\right|{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|}{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right),& \left|\right|{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|>\sqrt{\mathrm{\ϵ}}\end{array}\right.---\left(13\right)$

化简即可得公式(14)，

$\left|\right|u_m-{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)|{|}^2=\left\{\begin{array}{cc}0& \left|\right|{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|\≤\sqrt{\mathrm{\ϵ}}\\ {(\sqrt{\mathrm{\ϵ}}-{\stackrel{\‾}{u}}_m(t\left)\right)}^2,& \left|\right|{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|>\sqrt{\mathrm{\ϵ}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

定义变量S为公式(15)，

$S(\mathrm{\ϵ},{\stackrel{\‾}{u}}_m(t\left)\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& \left|\right|{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|\≤\sqrt{\mathrm{\ϵ}}\\ 1,& \left|\right|{\stackrel{\‾}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|>\sqrt{\mathrm{\ϵ}}\end{array}\right.---\left(15\right)$

ε(t+1)可由公式(11)转换求得：

$\underset{\mathrm{\ϵ}}{\min }\mathrm{\ϵ}+\frac{\mathrm{\ρ}}{2}\underset{m=1}{\overset{M}{\Σ}}S(\mathrm{\ϵ},{\stackrel{\‾}{u}}_m(t\left)\right){(\sqrt{\mathrm{\ϵ}}-|\left|{\stackrel{\‾}{u}}_m\right(t\left)\right|\left|\right)}^2---\left(16\right)$

将按升序排列可得序列[||z₁(t)|| … ||z_m(t)||]，则公式

(16)可等价为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&epsiv;}+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}S(\mathrm{\&epsiv;},{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_m(t\left)\right){(\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}}-|\left|{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_m\right(t\left)\right|\left|\right)}^2\\ =\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&epsiv;}+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}\underset{m=1}{\overset{M}{\&Sigma;}}{(\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}}-|\left|z_m\right(t\left)\right|\left|\right)}^2,& 0\&le;\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}}<\left|\right|z_1\left(t\right)\left|\right|\\ \mathrm{\&epsiv;}+\frac{\mathrm{\&rho;}}{2}\underset{m=2}{\overset{M}{\&Sigma;}}{(\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}}-|\left|z_m\right(t\left)\right|\left|\right)}^2,& \left|\right|z_1\left(t\right)\left|\right|\&le;\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}}<\left|\right|z_2\left(t\right)\left|\right|\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ \mathrm{\&epsiv;},& \left|\right|z_m\left(t\right)\left|\right|\&le;\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}}\end{array}\right.\end{array}---\left(17\right)$

其中，第m个函数可简化成：

$A_m\mathrm{\&epsiv;}+B_m\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}}+C_m---\left(18\right)$

其中变量

因此第m个区域的最优值及如下：

${\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}}_m=\left\{\begin{array}{cc}\frac{B_m^2}{4A_m^2},& -\frac{B_m}{2A_m}\&Element;\&lsqb;\left|\right|z_{m-1}\left(t\right)\left|\right|,\left|\right|z_m\left(t\right)\left|\right|\&rsqb;\\ \left|\right|z_m\left(t\right)|{|}^2,& 2A_m\left|\right|z_{m-1}\left(t\right)\left|\right|+B_m<0and2A_m\left|\right|z_m\left(t\right)\left|\right|+B_m<0\\ \left|\right|z_{m-1}\left(t\right)|{|}^2,& 2A_m\left|\right|z_{m-1}\left(t\right)\left|\right|+B_m>0and2A_m\left|\right|z_m\left(t\right)\left|\right|+B_m>0\end{array}\right.---\left(19\right)$

${\hat{v}}_m=\left\{\begin{array}{cc}{C}_m-\frac{B_m^2}{4A_m},& -\frac{B_m}{2A_m}\&Element;\&lsqb;\left|\right|z_{m-1}\left(t\right)\left|\right|,\left|\right|z_m\left(t\right)\left|\right|\&rsqb;\\ A_m\left|\right|z_m\left(t\right)|{|}^2+B_m|\left|z_m\left(t\right)\right||+C_m,& 2A_m\left|\right|z_{m-1}\left(t\right)\left|\right|+B_m<0and2A_m\left|\right|z_m\left(t\right)\left|\right|+B_m<0\\ A_m\left|\right|z_{m-1}\left(t\right)|{|}^2+B_m|\left|z_{m-1}\left(t\right)\right||+C_m,& 2A_m\left|\right|z_{m-1}\left(t\right)\left|\right|+B_m>0and2A_m\left|\right|z_m\left(t\right)\left|\right|+B_m>0\end{array}\right.$

取函数值中的最小值即所对应的即为所求的解：

$\mathrm{\&epsiv;}(t+1)={\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}}_i---\left(21\right)$

将ε(t+1)代入公式(13)即可求得u_m(t+1)：

$u_m(t+1)=\left\{\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_m\left(t\right)& \left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|\&le;\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}(t+1)}\\ \frac{\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}(t+1)}}{\left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_m\left(t\right),& \left|\right|{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_m\left(t\right)\left|\right|>>\sqrt{\mathrm{\&epsiv;}(t+1)}\end{array}\right.---\left(22\right).$

4.根据权利要求1所述的基于凸优化的低旁瓣波束图综合设计方法，其特征在于，所述的步骤4中变量λ_m通过公式(11)和公式(12)可得，

${\mathrm{\&lambda;}}_m(t+1)={\mathrm{\&lambda;}}_m\left(t\right)+\mathrm{\&rho;}\left(u_m\right(t+1)-A({\mathrm{\&theta;}}_m\left)\tilde{w}\right(t+1\left)\right)---\left(23\right).$