CN108170888A - 基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，步骤包括：1)建立通过最小化DRR进行波束图综合设计的目标模型；2)根据罚函数理论，将有约束的目标模型函数式转换为无约束的优化模型；3)构造合理的可微逼近函数对目标模型中不可微部分进行逼近，进而满足基于梯度的无约束优化算法的执行条件；4)利用构造的可微的双曲线函数替换加号函数，得到无约束的光滑模型，于是采用基于梯度的快速的BFGS‑Armijo算法可将模型中的各个变量的值通过微分器和积分器进行求解，最终求解出的波束形成器的加权向量，所设计波束图完全满足工程应用的要求。本发明的方法，逻辑严密，结果精确度高。

Description

基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法

技术领域

本发明属于波束图检测控制技术领域，涉及一种基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法。

背景技术

数字波束形成器技术(DBF)是一种以数字方法来实现波束形成器的技术，由于其在基带上保留了天线阵列单元的全部信息，因而DBF可以采用先进的数字信号处理技术对天线阵列信号进行处理，可显著提高阵列天线的性能。一直以来，数字收发组件高额的成本，限制了DBF技术的普遍应用，但随着近几年电子器件技术、微波组件技术和高速数字处理设备技术的发展，DBF技术在雷达和通信领域的应用中获得越来越广泛的重视。因此在过去几年，传感器阵列的波束图设计技术都是通过对波束形成器加权向量的幅度和相位进行联合控制或者仅通过对其相位进行控制，设计出合乎工程要求的天线方向图。而通过对波束形成器加权向量的幅度和相位进行联合控制设计波束图因其有更多的自由度，所以可以更有效地形成满足实践应用的波束图，但这种技术设计的波束形成器加权向量的幅度动态范围变化很大，这使得功率放大器(如图1所示)无法工作在饱和状态，降低了功率放大器的效率和增加了信号功率的损耗。为了避免此类方法的弊端，仅相位控制的波束图综合设计技术应运而生，因其仅需通过控制有源相控阵天线中的移相器来改变相控阵雷达的波束指向，而其幅度由馈电网络给定，因此这种方法设计的波束形成器加权向量的幅度动态范围为1，保证了功率放大器工作在饱和状态，提高了功率放大器的效率和减小了信号功率的损耗，但通过此方法设计的波束图不一定都能满足实践应用的需要。

因此在实践应用中，为了避免以上两种波束图综合设计方法的缺陷，我们可以选择在设计波束图时减小波束形成器加权向量的动态范围变化。目前存在的方法就是预先设定波束形成器加权向量的动态范围，然后设计优化算法使加权向量的变化范围满足事先预设的动态范围。这种方法的缺陷在于，人为预设的动态范围变化不一定是所设计波束图的加权向量的最小动态范围变化。如果人为预设的加权向量的动态变化范围比实际的动态变化范围大，则会减弱功率放大器的效率，如果人为预设的加权向量的动态变化范围较小，则又无法形成满足实践应用的波束图。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，解决了现有技术中的优化算法很难对提出的模型进行有效求解，难以实现波束图控制，人为预设的动态范围变化不一定是所设计波束图的加权向量的最小动态范围变化的问题。

本发明所采用的技术方案是，一种基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，按照以下步骤实施：

步骤1：建立通过最小化DRR进行波束图综合设计的目标模型；

步骤2：根据罚函数理论，将有约束的目标模型函数式转换为无约束的优化模型；

步骤3：构造合理的可微逼近函数对目标模型中不可微部分进行逼近，进而满足基于梯度的无约束优化算法的执行条件；

步骤4：利用构造的可微的双曲线函数替换加号函数，得到无约束的光滑模型，于是采用基于梯度的快速的BFGS-Armijo算法将模型中的各个变量的值通过微分器和积分器进行求解，最终求解出的波束形成器的加权向量，所设计的波束图完全满足工程应用的要求。

本发明的有益效果是，基于减小波束形成器加权向量的动态范围变化的现实意义，提出了通过最小化DRR进行波束图综合设计的测量方法，进而建立了波束图综合设计的新模型，引入了一个基于罚函数理论和光滑技术相结合的算法，解决了现有技术中的检测方法存在的局限性，并且满足了预先设定的非凸限制的约束要求。

附图说明

图1是本发明方法采用的线性天线阵列(ULA)图；

图2是双曲线函数对加号函数的逼近精度比较图；

图3是本发明求解波束形成器加权向量示意图；

图4是本发明方法设计的波束图；

图5是本发明所设计的加权向量的动态范围变化图；

图6是本发明求解算法的收敛性仿真图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明的方法是通过最小化波束形成器加权向量的动态范围变化(DynamicRange Ratio,DRR)进行波束图综合设计。这种策略的优势在于能够获得波束图加权向量的最优DRR，同时设计出的波束响应逼近于期望响应。但通过最小化DRR进行波束图综合设计所建立的目标模型是一个非凸的分式优化问题(非凸非光滑的非线性优化问题)，而目前存在的优化算法很难对此模型进行求解。为了解决这个问题，本发明引入了基于罚函数理论和光滑技术相结合的算法，即将有约束的目标模型利用罚函数理论建立一个无约束的优化模型，因新建立的模型中存在不可微的部分，因此再引入光滑技术，即利用一个连续可微的函数代替目标模型中不可微的部分，最后利用BFGS算法对无约束的优化模型进行求解，使得求解出的波束形成器加权向量不仅其幅度的动态范围变化最优，并且设计出的波束响应也满足了预先设定的主旁瓣控制要求，所设计的加权向量完全能够满足实际工程需要。

本发明的方法，按照以下步骤实施：

步骤1：建立通过最小化DRR进行波束图综合设计的目标模型，

下面为了描述方便，对步骤过程中出现的各个符号进行说明：向量和矩阵分别用黑体的小写字母和大写字母表示；j表示复数；|·|代表一个复数的模；(·)^H和(·|)^T分别代表一个向量或者一个矩阵的共轭转置和转置；表示一个向量中存在的最大值。

假设x轴上摆放一个由N个相同的各向同性阵元组成的均匀线列阵，阵元间距为d，选择任意一点为参考点，以该参考点为坐标原点，各个天线的位置用采用x_n,n＝1,2,...,N进行表示；现有已知载频为w₀、波长为λ的窄带信号沿着θ角射向该阵列，如图1所示。

一般情况下，对应的波束形成需要对各阵元数据同时进行幅度加权与相移，于是，在窄带状态下，采用一个复数加权代替滤波器，将窄带波束形成器的加权值写成向量形式ω＝[ω₁,ω₂,...,ω_n,...]^T，n＝1,2,…,N,那么窄带波束形成器的设计问题其实就是设计加权向量ω，所设计出的加权向量ω的实现需要通过图1所示的移相器和功率放大器；但很多满足实践应用的波束图所对应的波束形成器加权向量的幅度动态范围变化很大，这使得功率放大器无法工作在饱和状态，降低了功率放大器的效率和增加了信号功率的损耗；因此为了更好地控制波束形成器加权向量的幅度动态变化范围，需要建立一个通过最小化DRR进行波束图综合设计的目标模型。

波束响应是指波束形成器对某方位单位功率平面波信号的响应，表示基阵对不同方位到达信号的复增益；

针对观察视区(-90°,90°)中雷达阵列波束任意指向角θ，θ∈(-90°,90°)，定义阵列波束响应为p(θ)＝ω^Ha(θ)，其对应的波束图则表示为p(θ)＝|ω^Ha(θ)|²，其中，是阵列流形向量，g_n(θ)是单个天线的辐射增益，表示单个移相器(图1)阵内移相量和雷达阵列波束任意指向角θ之间的关系；

首先将观察视区(-90°,90°)离散化，离散化的方位点记作θ_i，i＝1,2,...,I，I是方位点数，则通过最小化波束形成器加权向量的DRR进行波束图综合设计所建立的目标模型为：

其中，ω_n指的是向量ω的1到N个元素中的任意一个元素，U(θ_i)和L(θ_i)分别表示方位点θ_i上的期望阵列波束图的上界和下界；

由于函数式(1)是非凸的分式，所以直接求解函数式(1)较困难，为便于求解，将函数式(1)重写为如下形式：

进一步，引入选择向量e_n＝[0,0,...,1,0,0...]^T，即e_n的第n个元素等于1，其余元素都为0，函数式(2)的优化问题则写为如下等价形式：

其中，p是|ω_n|²的上界，q是|ω_n|²的下界，E_n＝e_ne_n ^T，A(θ_i)＝a(θ_i)a(θ_i)^T。

步骤2：根据罚函数理论，将有约束的目标模型函数式(3)转换为无约束的优化模型，

在目标模型函数式(3)中的不等式引入松弛变量ε_n、α_n、β_i、η_i，则优化问题改写为：

函数式(4)中，σ≥1、C₁≥1、C₂≥1、C₃≥1、C₄≥1均为罚因子，用以调节各个变量在目标函数中的比重；

由KKT条件推知，在最优解处松弛变量的形式表现如下：

将函数式(5)带入函数式(4)中得到如下的无约束优化模型：

将加号函数x₊定义如下：

x₊＝max{x,0} (7)

则将函数式(6)写成如下等价形式：

步骤3：因函数式(8)中的目标函数是非凸非光滑的，因此为了更好地求解该问题引入光滑技术，即构造合理的可微逼近函数对目标模型中不可微部分进行逼近，进而满足基于梯度的无约束优化算法的执行条件，即如图3所示，以便各个变量的值能够通过微分器和积分器进行求解，

由于加号函数x₊虽然在x＝0处连续，但其在x＝0处的左导数和右导数不相等，因此加号函数在x＝0处不可微，这也限制了求解未知变量时对微分器的使用，为了克服这一问题，引入了光滑函数，本步骤中采用具有二阶可微的旋转双曲线函数逼近不可微的加号函数；

旋转双曲线函数的具体推导过程及其对加号函数的逼近精度分析如下：

当双曲线的两条渐近线之间的夹角为135°时，将双曲线的两条渐近线逆时针旋转22.5°即得到逼近加号函数的双曲线，在xy直角坐标系中，双曲线的标准形式为：

其中，a，b用于调节双曲线函数的形状；

设旋转角度θ＝22.5°，那么经过旋转后的双曲线函数的形式为：

式中，b是光滑参数，p＝tanθ；

图2是b取不同值时双曲线函数对加号函数的逼近精度仿真结果。从图2看出，当θ保持不变时，光滑参数b越小，a＝btanθ，故a越小，在x＝0处双曲线函数值y→0，从而双曲线函数对加号函数的逼近精度越高。当b＝0.001时，双曲线函数与x₊几乎重合。

根据双曲线函数的特性，双曲线函数具有无穷阶可微性，用其逼近原函数，就能够满足基于梯度的无约束优化算法中目标函数可微的要求，因此可微的目标函数中的变量就能够通过图3所示的微分器和积分器进行求解。

步骤4：利用构造的可微的双曲线函数替换函数式(8)中的加号函数，得到无约束的光滑模型，于是采用基于梯度的快速的BFGS-Armijo算法可将模型中的各个变量的值通过如图3所示的微分器和积分器进行求解，

将函数式(10)带入函数式(8)中得到一个无约束的光滑模型：

在函数式(11)中，

则目标函数f(ω,p,q)的梯度为：

函数式(13)中，

G_1n＝G(ω^HE_nω-p,b),G_2n＝G(q-ω^HE_nω,b) (18)

G_3i＝G(ω^HA(θ_i)ω-U(θ_i),b),G_4i＝G(L(θ_i)-ω^HA(θ_i)ω,b) (19)

针对函数式(11)，本步骤选择采用基于Armijo非精确线搜索准则的BFGS算法对各个变量进行求解，(Armijo是现有技术中一种求解步长的算法，在此不详细论述)，求解函数式(11)的具体步骤为：

4.1)初始化：β∈(0,1)，σ∈(0,0.5)，t₀＝(ω₀,p₀,q₀)，终止误差0≤ε＜＜1，初始对称正定阵B₀＝I，I为单位阵；令k:＝0；

4.2)利用函数式(13)计算

如果||g_k||≤ε，则停止计算，输出t_k作为近似极小点；否则转步骤4.3)；

4.3)解线性方程组B_kd＝-g_k，求解d_k；

4.4)设m_k是满足下列不等式的最小非负整数m，则有：

令t_k+1＝t_k+α_kd_k；

4.5)利用函数式(20)更新B_k：

函数式(20)中，s_k＝t_k+1-t_k,y_k＝g_k+1-g_k；

4.6)令k:＝k+1，转步骤4.2)重新进行循环，直到k等于预先设定的迭代次数M再退出循环，得到函数式(11)中的各个变量的最终结果，具体求解过程如图3所示。

经过上述的四个大步骤，最终求解出的波束形成器的加权向量不仅幅度动态范围最小，而且设计的波束图也满足工程实践应用的要求。

实施例

由20根天线组成线性阵列，阵元间隔为信号波长的一半，方位离散化间隔为1°。假设期望阵列波束图如下：主瓣区域为[-40°,40°]，在该区域阵列波束图的上下界分别设定为0.1dB和-0.1dB，旁瓣区域为[-90°,-50°]∪[50°,90°]，期望波束旁瓣级的上界设定-25dB，过渡带为10°。

其它的参数设为C₁＝5,C₂＝1,C₃＝5,C₄＝1,σ＝10，光滑参数b＝5×10^-7，通过基于Armijo非精确线搜索准则的BFGS算法迭代可求得波束形成器加权向量ω。以此设计出的阵列波束图和加权向量的幅度动态范围变化分别如图4和图5所示。图6显示了利用本发明方法求解的目标函数的收敛性。从图4中明显看出，所设计的波束响应逼近期望响应，从图5中看出波束形成器的加权向量的幅度变化范围为5.062。

Claims (6)

1.一种基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，其特征在于，按照以下步骤实施：

步骤1：建立通过最小化DRR进行波束图综合设计的目标模型；

步骤2：根据罚函数理论，将有约束的目标模型函数式转换为无约束的优化模型；

步骤3：构造合理的可微逼近函数对目标模型中不可微部分进行逼近，进而满足基于梯度的无约束优化算法的执行条件；

步骤4：利用构造的可微的双曲线函数替换加号函数，得到无约束的光滑模型，于是采用基于梯度的快速的BFGS-Armijo算法将模型中的各个变量的值通过微分器和积分器进行求解，最终求解出的波束形成器的加权向量，所设计的波束图完全满足工程应用的要求。

2.根据权利要求1所述的基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，其特征在于：所述的步骤1中，具体过程是：

假设x轴上摆放一个由N个相同的各向同性阵元组成的均匀线列阵，阵元间距为d，选择任意一点为参考点，以该参考点为坐标原点，各个天线的位置采用x_n,n＝1,2,...,N进行表示；现有已知载频为w₀、波长为λ的窄带信号沿着θ角射向该阵列，

针对观察视区(-90°,90°)中雷达阵列波束任意指向角θ，θ∈(-90°,90°)，定义阵列波束响应为p(θ)＝ω^Ha(θ)，其对应的波束图则表示为p(θ)＝|ω^Ha(θ)|²，其中，是阵列流形向量，g_n(θ)是单个天线的辐射增益，表示单个移相器阵内移相量和雷达阵列波束任意指向角θ之间的关系；

首先将观察视区(-90°,90°)离散化，离散化的方位点记作θ_i，i＝1,2,...,I，I是方位点数，则通过最小化波束形成器加权向量的DRR进行波束图综合设计所建立的目标模型为：

其中，ω_n指的是向量ω的1到N个元素中的任意一个元素，U(θ_i)和L(θ_i)分别表示方位点θ_i上的期望阵列波束图的上界和下界；

将函数式(1)重写为如下形式：

引入选择向量e_n＝[0,0,...,1,0,0...]^T，即e_n的第n个元素等于1，其余元素都为0，函数式(2)的优化问题则写为如下等价形式：

其中，p是|ω_n|²的上界，q是|ω_n|²的下界，E_n＝e_ne_n ^T，A(θ_i)＝a(θ_i)a(θ_i)^T。

3.根据权利要求2所述的基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，其特征在于：所述的步骤2中，具体过程是：

在目标模型函数式(3)中的不等式引入松弛变量ε_n、α_n、β_i、η_i，则优化问题改写为：

函数式(4)中，σ≥1,C₁≥1,C₂≥1,C₃≥1,C₄≥1均为罚因子；

由KKT条件推知，在最优解处松弛变量的形式表现如下：

将函数式(5)带入函数式(4)中得到如下的无约束优化模型：

将加号函数x₊定义如下：

x₊＝max{x,0} (7)

则将函数式(6)写成如下等价形式：

4.根据权利要求1所述的基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，其特征在于：所述的步骤3中，具体过程是：

采用具有二阶可微的旋转双曲线函数逼近不可微的加号函数，旋转双曲线函数的具体推导过程及其对加号函数的逼近精度分析如下：

当双曲线的两条渐近线之间的夹角为135°时，将双曲线的两条渐近线逆时针旋转22.5°即得到逼近加号函数的双曲线，在xy直角坐标系中，双曲线的标准形式为：

其中，a，b用于调节双曲线函数的形状；

设旋转角度θ＝22.5°，那么经过旋转后的双曲线函数的形式为：

式中，b是光滑参数，p＝tanθ。

5.根据权利要求4所述的基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，其特征在于：所述的步骤4中，具体过程是：

采用基于梯度的快速的BFGS-Armijo算法进行求解，

将函数式(10)带入函数式(8)中得到一个无约束的光滑模型：

在函数式(11)中，

则目标函数f(ω,p,q)的梯度为：

函数式(13)中，

G_1n＝G(ω^HE_nω-p,b),G_2n＝G(q-ω^HE_nω,b) (18)

G_3i＝G(ω^HA(θ_i)ω-U(θ_i),b),G_4i＝G(L(θ_i)-ω^HA(θ_i)ω,b) (19)

针对函数式(11)，本步骤选择采用基于Armijo非精确线搜索准则的BFGS算法对各个变量进行求解。

6.根据权利要求5所述的基于最小化加权向量动态范围的波束图综合设计方法，其特征在于：所述的步骤4中，求解函数式(11)的具体步骤为：

4.1)初始化：β∈(0,1)，σ∈(0,0.5)，t₀＝(ω₀,p₀,q₀)，终止误差0≤ε＜＜1，初始对称正定阵B₀＝I，I为单位阵；令k:＝0；

4.2)利用函数式(13)计算

如果||g_k||≤ε，则停止计算，输出t_k作为近似极小点；否则转步骤4.3)；

4.3)解线性方程组B_kd＝-g_k，求解d_k；

4.4)设m_k是满足下列不等式的最小非负整数m，则有：

令t_k+1＝t_k+α_kd_k；

4.5)利用函数式(20)更新B_k：

函数式(20)中，s_k＝t_k+1-t_k,y_k＝g_k+1-g_k；

4.6)令k:＝k+1，转步骤4.2)重新进行循环，直到k等于预先设定的迭代次数M再退出循环，得到函数式(11)中的各个变量的最终结果。