CN115038012B - 基于admm的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法 - Google Patents

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CN115038012B CN202210957514.0A CN202210957514A CN115038012B CN 115038012 B CN115038012 B CN 115038012B CN 202210957514 A CN202210957514 A CN 202210957514A CN 115038012 B CN115038012 B CN 115038012B
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Abstract

本发明公开了基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，包括：构建波束设计模型：以麦克风阵列权向量的二范数最小为目标函数来最大化阵列鲁棒性；第一约束条件为：设计波束图目标方向的无失真约束；第二约束条件为：设计波束图与目标波束图的主瓣部分之差约束在给定的第一误差内；第三约束条件为：将设计波束图的旁瓣区域划分为若干均匀分布的角，各旁瓣分别约束在给定的第二误差内；采用交替方向乘子法迭代求解波束设计模型，获得最优的麦克风阵列权向量；利用最优的麦克风阵列权向量获得设计波束图。本发明方法可获得性能指标优且主瓣频率不变性保持良好的波束图，且相对现有的内点法求解，本发明所采用求解方法的运算速度显著加快。

Description

基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法
技术领域
本发明属于麦克风技术领域，尤其涉及基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法。
背景技术
麦克风阵列波束形成，是旨在从接收到的嘈杂信号中提取感兴趣的信号的一种空间滤波器。目前已研究出许多麦克风阵列波束形成的方法，最经典的方法之一是延迟求和（Delay and Sum, DS）波束形成法，但是，该波束形成器与频率有关，波束宽度与频率成反比，因此DS波束形成器在处理低频噪声和干扰方面效果不佳，此外，噪声在整个频谱上不均匀衰减，这会产生一些干扰伪影。然而，为音频、通信和声纳系统等实际应用设计频率不变（Frequency-Invariant, FI）宽带波束形成器非常重要，因为这样的波束形成器可恢复感兴趣的信号，同时减少波束形成造成的一些伪影。
FI波束形成的经典方法有基于约束优化、解析解和相干子空间方法。近年来，也发展了许多新的宽带FI波束形成技术，如嵌套阵列、窄带分解波束形成、差分波束形成、模态波束形成。其中差分波束形成技术引起了人们的广泛关注，差分麦克风阵列（DifferentialMicrophone Arrays, DMAs）是一种特殊阵列，它的麦克风排列更加密集，这使得它处理信号的方式可以近似为测量声压场的空间导数，并且可以在给定数量的麦克风下实现最大方向增益。理论上，DMA具有频率不变的波束图，这对于宽带信号处理非常理想。但DMAs在设计所需的波束图时缺乏灵活性，更严重的问题是很难控制不必要的白噪声放大，尤其是在低频或高阶DMAs中，这使得在实际系统中应用DMAs具有很大的挑战性。
最近，一种新的STFT域（短时傅立叶变换域）DMA设计方法被提出，该方法不需要对两个相邻麦克风的信号进行物理区分，而是基于理想DMAs波束图的特性，直接在STFT域设计DMAs，是一种非常灵活的DMAs波束图设计方法。但是需要使用更多的麦克风（比DMAs阶数加1还要多），然而更多的麦克风数将在更高的频率下产生额外的零陷，并导致设计波束图与实际波束图之间的偏差很大，阵列鲁棒性不好。麦克风阵列的白噪声增益（White NoiseGain, WNG）可以用来评估鲁棒性，因此，改善鲁棒性可以转化为控制白噪声放大的问题。在最大限度地提高方向性因子（Directivity Factor, DF）的同时，提高麦克风阵列鲁棒性的方法可以归纳为以下三类。第一类是考虑约束性优化问题，把对WNG的约束纳入波束成形器的设计过程。第二种是结合超指向波束形成器（Superdirective Beamformer），但这种方法不能保证DF的性能。第三种是假设麦克风的误差偏差、噪声场和传声器的增益和位置是已知的，显然，这种方法在实践中很难实现。
发明内容
本发明的目的是解决背景技术中存在的问题，提供基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法。
本发明的技术方案如下：
基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，包括：
构建波束设计模型，包括目标函数和约束条件；所述目标函数为麦克风阵列权向量的二范数最小；所述约束条件包括第一约束条件、第二约束条件、第三约束条件；第一约束条件为：设计波束图目标方向的无失真约束；第二约束条件为：设计波束图与目标波束图的主瓣部分之差约束在给定的第一误差范围内；第三约束条件为：将设计波束图的旁瓣区域划分为若干均匀分布的角，各旁瓣分别约束在给定的第二误差范围内；
采用交替方向乘子法迭代求解波束设计模型，获得最优的麦克风阵列权向量；
利用最优的麦克风阵列权向量获得设计波束图。
在一些具体实施方式中，目标波束图采用差分麦克风阵列波束图，进一步地采用二阶超心型差分麦克风阵列波束图。
在一些具体实施方式中，所构建的波束设计模型如下：
Figure 448864DEST_PATH_IMAGE001
；
Figure 370552DEST_PATH_IMAGE002
表示麦克风阵列权向量
Figure 917071DEST_PATH_IMAGE003
的二范数最小；
Figure 201816DEST_PATH_IMAGE004
为第一约束条件；
Figure 212497DEST_PATH_IMAGE005
为第二约束条件；
Figure 367404DEST_PATH_IMAGE006
为第三约束条件；
其中，
Figure 463536DEST_PATH_IMAGE007
表示共轭转置运算符；
Figure 112823DEST_PATH_IMAGE008
表示方向角
Figure 243590DEST_PATH_IMAGE009
的信号的导向矢量；
Figure 569398DEST_PATH_IMAGE010
表示主瓣角度
Figure 887247DEST_PATH_IMAGE011
信号的导向矢量，
Figure 402542DEST_PATH_IMAGE011
表示第m个主瓣角度，m=1,2,...M，M表示主瓣角度数量；
Figure 387815DEST_PATH_IMAGE012
表示旁瓣角度
Figure 214603DEST_PATH_IMAGE013
信号的转向矢量，
Figure 19748DEST_PATH_IMAGE013
表示第s个旁瓣角度，s=1,2,...S，S表示旁瓣角度数；
Figure 260105DEST_PATH_IMAGE014
表示目标波束图的主瓣部分；
Figure 99885DEST_PATH_IMAGE015
表示第一误差；
Figure 580545DEST_PATH_IMAGE016
表示第二误差。
在一些具体实施方式中，采用交替方向乘子法迭代求解波束设计模型，具体包括：
第一步，引入辅助变量
Figure 263199DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 792400DEST_PATH_IMAGE018
，采用辅助变量重新表达波束设计模型，消除第二约束条件和第三约束条件间的耦合，其中，
Figure 933357DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 522602DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure 302339DEST_PATH_IMAGE021
和
Figure 884499DEST_PATH_IMAGE022
分别表示目标波束图和设计波束图的主瓣部分,
Figure 948139DEST_PATH_IMAGE023
表示设计波束图的旁瓣部分；
第二步，求解新的波束设计模型表示为增广拉格朗日函数，利用交替方向乘子法迭代求解该增广拉格朗日函数；
第二步进一步包括：
S100：初始化参数
Figure 708284DEST_PATH_IMAGE024
，其中，
Figure 975318DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 367028DEST_PATH_IMAGE026
表示第m个主瓣角度，m=1,2,...M，M表示主瓣角度数量；
Figure 35906DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 966953DEST_PATH_IMAGE028
表示第s个旁瓣角度，s=1,2,...S，S表示旁瓣角度数；
Figure 721283DEST_PATH_IMAGE029
为麦克风阵列权向量，u1、u2、u3均为缩放因子，ρ1、ρ2、ρ3为迭代步长，上标(t)表示为迭代到第t代，t=0时表示迭代初始值；
S200：利用当前的
Figure 910825DEST_PATH_IMAGE030
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 434210DEST_PATH_IMAGE031
；
S300：利用当前的
Figure 598475DEST_PATH_IMAGE032
，将增广拉格朗日函数分解为S个子问题分别求解
Figure 777783DEST_PATH_IMAGE033
，并获得
Figure 318486DEST_PATH_IMAGE034
；
S400：利用当前的
Figure 883329DEST_PATH_IMAGE035
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 484074DEST_PATH_IMAGE036
；
S500：利用当前的
Figure 885100DEST_PATH_IMAGE037
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 229493DEST_PATH_IMAGE038
；
S600：利用当前的
Figure 648842DEST_PATH_IMAGE039
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 358172DEST_PATH_IMAGE040
；
S700：利用当前的
Figure 495761DEST_PATH_IMAGE041
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 378267DEST_PATH_IMAGE042
；
S800：重复迭代S200~S600，直至满足预设的终止条件；当迭代终止，输出当前的权向量
Figure 730751DEST_PATH_IMAGE029
。
进一步的，步骤S200中，通过求解下式问题来更新
Figure 610982DEST_PATH_IMAGE043
：
Figure 48917DEST_PATH_IMAGE044
；
其中，
Figure 922064DEST_PATH_IMAGE045
，
Figure 129054DEST_PATH_IMAGE046
表示主瓣角度
Figure 242504DEST_PATH_IMAGE047
信号的转向矢量，
Figure 105417DEST_PATH_IMAGE047
表示第m个主瓣角度，m=1,2,...M，M表示主瓣角度数量；
Figure 329725DEST_PATH_IMAGE048
，
Figure 843752DEST_PATH_IMAGE049
表示目标波束图的主瓣部分；ε表示第一误差。
进一步的，步骤S300中，通过令S依次取1、2、…S，再依次求解下式更新
Figure 862524DEST_PATH_IMAGE050
：
Figure 275050DEST_PATH_IMAGE051
；
其中，
Figure 240732DEST_PATH_IMAGE052
表示旁瓣角度
Figure 561597DEST_PATH_IMAGE053
信号的转向矢量，
Figure 16849DEST_PATH_IMAGE053
表示第s个旁瓣角度，s=1,2,...S，S表示旁瓣角度数；
Figure 843903DEST_PATH_IMAGE054
表示第二误差。
进一步的，步骤S400中，通过求解下式问题来更新
Figure 410014DEST_PATH_IMAGE055
：
Figure 768140DEST_PATH_IMAGE056
；
其中，
Figure 394293DEST_PATH_IMAGE057
，
Figure 640467DEST_PATH_IMAGE058
表示主瓣角度
Figure 10268DEST_PATH_IMAGE047
信号的转向矢量；
Figure 353393DEST_PATH_IMAGE059
，
Figure 88131DEST_PATH_IMAGE060
表示目标波束图的主瓣部分；
Figure 696967DEST_PATH_IMAGE061
，
Figure 604880DEST_PATH_IMAGE062
表示旁瓣角度
Figure 802512DEST_PATH_IMAGE053
信号的转向矢量；I表示N维单位矩阵；ε表示第一误差，
Figure 770468DEST_PATH_IMAGE054
表示第二误差。
进一步的，步骤S500中，通过求解下式来更新
Figure 866600DEST_PATH_IMAGE063
：
Figure 515887DEST_PATH_IMAGE064
；
其中，
Figure 381075DEST_PATH_IMAGE065
，
Figure 706883DEST_PATH_IMAGE058
表示主瓣角度
Figure 290311DEST_PATH_IMAGE047
信号的转向矢量；
Figure 743289DEST_PATH_IMAGE059
，
Figure 462984DEST_PATH_IMAGE060
表示目标波束图的主瓣部分；ε表示第一误差，
Figure 772742DEST_PATH_IMAGE054
表示第二误差。
进一步的，步骤S600中，通过求解下式来更新
Figure 843467DEST_PATH_IMAGE066
：
Figure 21507DEST_PATH_IMAGE067
；
其中，
Figure 48238DEST_PATH_IMAGE068
，
Figure 528898DEST_PATH_IMAGE062
表示旁瓣角度
Figure 24601DEST_PATH_IMAGE053
信号的转向矢量；ε表示第一误差，
Figure 616119DEST_PATH_IMAGE054
表示第二误差。
进一步的，步骤S700中，通过求解下式来更新
Figure 310406DEST_PATH_IMAGE069
；
Figure 432075DEST_PATH_IMAGE070
；
其中，
Figure 149495DEST_PATH_IMAGE071
表示方向角
Figure 544705DEST_PATH_IMAGE072
的信号的转向矢量；I表示N维单位矩阵；ε表示第一误差，
Figure 546028DEST_PATH_IMAGE054
表示第二误差。
本发明的特点和有益效果如下：
本发明以麦克风阵列权向量的二范数最小为目标函数以最大化阵列鲁棒性，以设计波束图主瓣逼近目标波束图主瓣且旁瓣精准控制在给定范围内为约束条件，将优化问题的约束分解为多个优化子问题的约束，再对每个优化子问题分别求解。采用交替方向乘子法进行求解，所求解波束图可达到麦克风阵列波束响应鲁棒频率不变的效果。
考虑到差分麦克风阵列波束图本身不随频率变化的特点，因此在具体实施方式中，以差分麦克风阵列波束图作为目标波束图；考虑到白噪声增益（White Noise Gain,WNG）和方向因子（Directivity Factor, DF）的性能指标，差分麦克风阵列波束图优选二阶超心型差分麦克风阵列波束图。
通过分别采用内点法和本发明求解方法仿真求解所构建的模型，求解结果表明：内点法和本发明求解方法所求解的波束图，其白噪声增益和方向因子性能指标均优于目标波束图，而且主瓣频率不变性均保持的很好。此外内点法和本发明求解方法所求解的波束图的白噪声增益和方向因子性能指标，在低频段差距不大，在高频段本发明求解方法的白噪声增益和方向因子性能指标效果更优。而且本发明求解方法的运算速度明显更快。
附图说明
图1为仿真实验中设计的目标波束图；
图2为二阶超心型差分波束形成和二阶差分最小范数波束形成的白噪声增益对比曲线；
图3为二阶超心型差分波束形成和二阶差分最小范数波束形成的方向因子对比曲线；
图4为仿真实验中内点法求解的所有频率点的波束响应与角度关系曲线的叠加；
图5为仿真实验中内点法的求解结果在三维视角下的波束响应与角度、频率的关系图；
图6为图5所示关系图的俯视图；
图7为仿真实验中内点法求解结果、二阶超心型差分波束形成和二阶差分最小范数波束形成的白噪声增益对比曲线；
图8为仿真实验中内点法求解结果、二阶超心型差分波束形成和二阶差分最小范数波束形成的方向因子对比曲线；
图9为仿真实验中本发明方法求解的所有频率点的波束响应与角度关系曲线的叠加；
图10为仿真实验中本发明方法求解结果在三维视角下的波束响应与角度、频率的关系图；
图11为图10所示关系图的俯视图；
图12为仿真实验中本发明方法和内点法求解结果的白噪声增益对比曲线；
图13为仿真实验中本发明方法和内点法求解结果的方向因子对比曲线；
图14为仿真实验中目标函数的收敛曲线；
图15为仿真实验中方向因子性能指标的收敛曲线；
图16为仿真实验中白噪声增益性能指标的收敛曲线；
图17为仿真实验中残余误差error1的收敛曲线；
图18为仿真实验中残余误差error2的收敛曲线；
图19为仿真实验中残余误差error3的收敛曲线。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图对本发明具体实施方式进行详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施方式仅仅用以解释本发明，并不限定本发明。此外，下面所描述的具体实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
为便于理解，下面将对本发明具体实施过程及所涉及的技术原理进行详细描述。
一、构建波束设计模型
假设一声波为平面波，传播速度为c=340m/s，入射在阵元间距为L的N元线性阵元阵列上，假设所有麦克风阵元都在水平面上，参考阵元与笛卡尔坐标系的原点重合，用Ln(n=1...N)表示相对于阵列参考点的第n个阵元的坐标位置。阵列的源信号方向由方位角
Figure 306173DEST_PATH_IMAGE073
表示，方位角从x轴逆时针测量，即
Figure 573206DEST_PATH_IMAGE074
开始。假设信号从
Figure 959057DEST_PATH_IMAGE074
入射在麦克风阵列上，长度N的导向矢量
Figure 627936DEST_PATH_IMAGE075
为：
Figure 621300DEST_PATH_IMAGE076
（1）
式（1）中：e表示自然对数；j表示虚数单位；
Figure 313312DEST_PATH_IMAGE073
表示方位角，
Figure 50324DEST_PATH_IMAGE073
∈[0°,360°]；
λ表示声波波长，λ=c/f，f表示声波频率；
Figure 573709DEST_PATH_IMAGE077
表示转置运算符。
麦克风阵列方位角
Figure 190504DEST_PATH_IMAGE073
下的波束响应p(
Figure 369813DEST_PATH_IMAGE073
)表示为：
Figure 644937DEST_PATH_IMAGE078
（2）
式（2）中，
Figure 475358DEST_PATH_IMAGE079
为阵列的权向量；
Figure 810525DEST_PATH_IMAGE080
表示共轭转置运算符。
本具体实施方式中以传统二阶超心型差分麦克风阵列波束图为目标波束图
Figure 477129DEST_PATH_IMAGE081
，其表达式如下：
Figure 555944DEST_PATH_IMAGE082
（3）
截取目标波束图
Figure 240872DEST_PATH_IMAGE081
的主瓣部分
Figure 12519DEST_PATH_IMAGE083
：
Figure 900840DEST_PATH_IMAGE084
（4）
式（4）中，
Figure 783346DEST_PATH_IMAGE073
m表示主瓣角度，m表示主瓣角度编号，m=1,2,...M。
使设计波束图的主瓣部分逼近目标波束图的主瓣部分，即将主瓣波束区域的振幅响应范围应用为：
Figure 135830DEST_PATH_IMAGE085
（5）
式（5）中，ε表示误差项。
将设计波束图的旁瓣区域划分为S个均匀分布的角，记为
Figure 203012DEST_PATH_IMAGE086
，将这S个旁瓣分别约束在给定误差范围内，即：
Figure 640946DEST_PATH_IMAGE087
（6）
式（5）中，s=1,2,...S，
Figure 248514DEST_PATH_IMAGE088
表示误差项。
同时，设计的麦克风阵列波束响应在目标方向（0度方向）存在无失真约束，即：
Figure 721084DEST_PATH_IMAGE089
（7）
引入阵列权向量的2范数作为波束设计模型的目标函数，并以式（5）~（7）为约束条件，构建如下波束设计模型：
Figure 697447DEST_PATH_IMAGE092
（8）
见式（8），式中关于阵列权向量
Figure 921755DEST_PATH_IMAGE093
的所有约束都是相互耦合的，因为它们都是权向量
Figure 983252DEST_PATH_IMAGE093
的函数，这些约束导致难以求解。本发明则还提供了一种可行的求解方法来解决上述问题，并且求得的权向量
Figure 267603DEST_PATH_IMAGE093
能使阵列波束响应的主瓣和旁瓣分别满足式（5）和（6）的约束。
二、求解波束设计模型
本发明采用非相关交替方向乘子法求解上述问题：引入两个辅助变量来重新表述式（8）的问题，并且把式（6）约束转化为S个子约束问题，从而在交替方向乘子法（ADMM）的框架下以交替方式求解重新表述的问题，且每个子约束问题都可用闭式解有效地求解。详细的求解过程如下：
第一步，引入辅助变量
Figure 872939DEST_PATH_IMAGE095
和
Figure 838621DEST_PATH_IMAGE097
消除式（8）中约束间的耦合。
Figure 207155DEST_PATH_IMAGE099
（9）
Figure 396828DEST_PATH_IMAGE101
（10）
将式（8）重新表示为：
Figure 296650DEST_PATH_IMAGE103
（11）
式（11）中，
Figure 800444DEST_PATH_IMAGE105
，
Figure 102112DEST_PATH_IMAGE107
，
Figure 462687DEST_PATH_IMAGE109
。
第二步，利用交替方向乘子法求解式（11），其增广拉格朗日函数表示如下：
Figure 36756DEST_PATH_IMAGE111
（12）
式（12）中：
Figure 406558DEST_PATH_IMAGE113
，
Figure 234837DEST_PATH_IMAGE115
，I表示N维单位矩阵，u1、u2、u3均为缩放因子，
Figure 31891DEST_PATH_IMAGE117
，
Figure 640727DEST_PATH_IMAGE119
，
Figure 1170DEST_PATH_IMAGE121
；ρ1、ρ2、ρ3为迭代步长，
Figure 11851DEST_PATH_IMAGE123
,
Figure 979807DEST_PATH_IMAGE125
、
Figure 13623DEST_PATH_IMAGE127
。
利用交替方向乘子法迭代求解式（11）时，以
Figure 912177DEST_PATH_IMAGE129
为输入，权向量
Figure 777365DEST_PATH_IMAGE093
为输出，根据求解出的权向量
Figure 916222DEST_PATH_IMAGE093
即可设计出波束图。求解的具体步骤如下：
S100：初始化：迭代次数用t表示，最大迭代次数设为Tmax；初始化参数
Figure 499651DEST_PATH_IMAGE131
，参数一般初始化为0或经验值。
S200：利用当前的V2 (t)、w(t)、u1 (t)、u2 (t)、u3 (t)来更新V1 (t+1)。
更新V1 (t+1)可转化为求解式（13）所示问题：
Figure 687049DEST_PATH_IMAGE133
（13）
上标t和t+1分别表示迭代更新前后。
对式（13）简化：
Figure 672323DEST_PATH_IMAGE135
（14）
求解式（14）得：
Figure 169032DEST_PATH_IMAGE137
（15）
S300：利用当前的V1 (t)、w(t)、u1 (t)、u2 (t)、u3 (t)来更新V2 (t+1)。
更新V2 (t+1)即求解如下问题：
Figure 239756DEST_PATH_IMAGE139
（16）
对式（16）简化：
Figure 293163DEST_PATH_IMAGE141
（17）
求解式（17）问题可转化为求解S个子问题，将第s个子问题表示为：
Figure 257577DEST_PATH_IMAGE143
（18）
求解式（18）得：
Figure 738237DEST_PATH_IMAGE145
（19）
令s依次取1、2、…S，再依次利用式（19）计算相应的
Figure 968361DEST_PATH_IMAGE147
。
S400：利用当前的
Figure 825459DEST_PATH_IMAGE149
更新
Figure 519745DEST_PATH_IMAGE151
。
更新
Figure 358257DEST_PATH_IMAGE151
即求解如下问题：
Figure 522348DEST_PATH_IMAGE153
（20）
求解式（20）得到：
Figure 42191DEST_PATH_IMAGE155
（21）
S500：利用当前的
Figure 528667DEST_PATH_IMAGE157
更新
Figure 803659DEST_PATH_IMAGE159
。
更新
Figure 195326DEST_PATH_IMAGE160
即求解如下问题：
Figure 394227DEST_PATH_IMAGE162
（22）
化简式（22）得到：
Figure 735209DEST_PATH_IMAGE164
（23）
求解式（23）得：
Figure 994152DEST_PATH_IMAGE166
（24）
利用式（24）更新
Figure 935432DEST_PATH_IMAGE160
。
S600：利用当前的
Figure 672444DEST_PATH_IMAGE168
更新
Figure 445097DEST_PATH_IMAGE170
。
更新
Figure 874941DEST_PATH_IMAGE171
即求解如下问题：
Figure 975621DEST_PATH_IMAGE173
（25）
化简式（25）得到：
Figure 516324DEST_PATH_IMAGE175
（26）
求解式（26）得：
Figure 159795DEST_PATH_IMAGE177
（27）
利用公式（27）更新
Figure 432644DEST_PATH_IMAGE171
。
S700：利用当前的
Figure 161566DEST_PATH_IMAGE179
更新
Figure 240381DEST_PATH_IMAGE181
。
更新
Figure 931168DEST_PATH_IMAGE181
即求解如下问题：
Figure 437236DEST_PATH_IMAGE183
（28）
化简式（28）为：
Figure 591137DEST_PATH_IMAGE185
（29）
求解式（29）得：
Figure 473642DEST_PATH_IMAGE187
（30）
利用公式（30）更新
Figure 826126DEST_PATH_IMAGE181
。
S800：重复迭代S200~S600，直至满足终止条件；当迭代终止，输出当前的权向量w。
本具体实施方式中终止条件见式（31）：
Figure 955625DEST_PATH_IMAGE189
（31）
式（31）中，error1、error2、error3为三个残余误差；式中参数均为当次迭代完成后的最新值。
三、仿真实验
本仿真实验中选取声音频率范围为200 Hz ~6000Hz，麦克风数量为10个，即阵元数N=10，麦克风阵列波束图旁瓣精准控制到-20dB以下。先设计目标波束图：截取二阶超心型差分波束图的主瓣作为目标波束图的主瓣，目标波束图的旁瓣直接控制在-20dB。见图1，所示为目标波束图的波束响应与角度的关系曲线，角度范围为-180度~180度。
下面将对比二阶超心型差分波束形成和二阶差分最小范数波束形成（Minimum-norm Beamformers，MN）的性能。见图2，所示为二阶超心型差分波束形成和MN的白噪声增益（WNG）对比曲线，该图中将“二阶超心型差分波束形成”简记为“二阶超心型”，将“二阶差分最小范数波束形成”简记为“最小二范数”。图中横坐标表示频率范围，纵坐标表示白噪声增益，单位dB。从图2可以看出，MN的白噪声增益性能要高于二阶超心型差分波束形成，这是由于最小二范数方法本质是最大化白噪声增益，这两种方法的白噪声增益在给定频率范围内都小于2dB。
见图3，所示为二阶超心型差分波束形成和MN的方向因子（DF）对比曲线，图中横坐标表示频率范围，纵坐标表示方向因子，单位dB。从图3可以看出，MN的方向因子性能低于二阶超心型差分波束形成，这两种方法的方向因子在给定频率范围内都小于10dB。
传统方法较常使用内点法求解式（11）数学模型，本仿真试验采用传统内点法求解。阵元间距取1cm，频率范围取200 Hz ~6000Hz，仿真结果如图4~8。图4为内点法求解的所有频率点的波束响应与角度关系曲线的叠加，可以看到主瓣部分所有频率点几乎完全重合，且主瓣宽度与目标波束图一致，旁瓣也均满足设计要求，都在-20dB以下。图5为内点法的求解结果在三维视角下的波束响应与角度、频率的关系曲线，可以看到频率范围在200Hz~1500Hz时，波束图的旁瓣有较深的零陷，频率范围在1500 Hz ~6000Hz时，波束图的旁瓣接近一个平面，主瓣频率不变性效果很好。图6为图5所示关系图的俯视图，图中横坐标为角度范围，纵坐标为频率范围，可更直观的看到主瓣的频率不变性情况和旁瓣零陷情况。
图7为内点法求解结果、二阶超心型差分波束形成、二阶差分最小范数波束形成的白噪声增益对比。从图中可以看出，内点法求解结果的白噪声增益要优于其他两种方法，并且在低频段内点法的白噪声增益明显更优，但随着频率升高，内点法与其他两种方法的白噪声增益差距越来越小。这是由于内点法求解得到的波束图的旁瓣在低频段存在很深的零陷。图8为内点法求解结果、二阶超心型差分波束形成、二阶差分最小范数波束形成的方向因子对比。从图中可以看出，内点法的方向因子性能优于另外两种方法，并且随着频率升高，内点法与其他两种方法的方向因子差距越来越大。
使用本发明方法求解式（11）的数学模型，仿真结果见图9~13。图9为本发明方法求解的所有频率点的波束响应与角度关系曲线的叠加，可以看到主瓣部分所有频率点几乎完全重合，且主瓣宽度与目标波束图一致。旁瓣也都满足设计要求，都在-20dB以下，但是相比图4，图9的旁瓣在所有频点都有很深的零陷。图10为本发明方法的求解结果在三维视角下的波束响应与角度、频率的关系曲线，可以更加直观看到波束图在各个频率较深的零陷，主瓣频率不变性效果很好。图11为图10所示关系曲线的俯视图，图中横坐标表示角度范围，纵坐标表示频率范围，可以看到相比图6，本发明方法在低频段主瓣旁瓣不变性效果优于内点法。
图12为本发明方法（图中简记为“ADMM”）和内点法求解结果的白噪声增益性能对比曲线，可以看出本发明方法的白噪声增益性能优于内点法，在低频段内点法的白噪声增益效果和本发明方法相差不大，但随着频率升高，差距越来越大。这是由于内点法求解所得波束图的旁瓣只在低频段存在很深的零陷。而本发明方法求解所得波束图的旁瓣全频段都存在很深的零陷。图13为本发明方法和内点法求解结果的方向因子对比曲线，可以看到这两种方法的方向因子性能相差不大。
对本发明利用ADMM求解模型的可行性进行分析，见图14~16。仿真实验中选取声音频率范围为200Hz ~6000Hz，麦克风数量分别为8、9、10个，麦克风阵列波束图旁瓣精准控制到-20dB以下。在该仿真条件下获取目标函数的收敛曲线，见图14，可以看到目标函数在ADMM算法下是收敛的，迭代100代左右时开始收敛，收敛速度很快。该仿真条件下获取方向因子性能指标的收敛曲线，见图15，可以看到方向因子性能指标在迭代100代左右时开始收敛，收敛速度很快。在该仿真条件下获取白噪声增益性能指标的收敛曲线，见图16，可以看出白噪声增益性能指标在迭代300代左右时开始收敛，收敛速度相对方向因子较慢。本发明模型存在三个残余误差error1、error2、error3，对应的收敛曲线分别见图17~19，这三个残余误差都收敛到给定限度以下。并且所有指标的收敛性随着麦克风数的增加而提高。由图14~19可以看出，采用ADMM算法求解本发明模型是可行的。
上述实施例所述是用以具体说明本发明，文中虽通过特定的术语进行说明，但不能以此限定本发明的保护范围，熟悉此技术领域的人士可在了解本发明的精神与原则后对其进行变更或修改而达到等效目的，而此等效变更和修改，皆应涵盖于权利要求范围所界定范畴内。

Claims (9)

1.基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是，包括：
构建波束设计模型，包括目标函数和约束条件；所述目标函数为麦克风阵列权向量的二范数最小以最大化阵列鲁棒性；所述约束条件包括第一约束条件、第二约束条件、第三约束条件；第一约束条件为：设计波束图目标方向的无失真约束；第二约束条件为：设计波束图与目标波束图的主瓣部分之差约束在给定的第一误差范围内；第三约束条件为：将设计波束图的旁瓣区域划分为若干均匀分布的角，各旁瓣分别约束在给定的第二误差范围内；
采用交替方向乘子法迭代求解波束设计模型，获得最优的麦克风阵列权向量；
利用最优的麦克风阵列权向量获得设计波束图；
所构建的波束设计模型如下：
Figure 133202DEST_PATH_IMAGE001
；
Figure 971714DEST_PATH_IMAGE002
表示麦克风阵列权向量
Figure 751451DEST_PATH_IMAGE003
的二范数最小；
Figure 146660DEST_PATH_IMAGE004
为第一约束条件；
Figure 898715DEST_PATH_IMAGE005
为第二约束条件；
Figure 721178DEST_PATH_IMAGE006
为第三约束条件；
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE007
表示共轭转置运算符；
Figure 988211DEST_PATH_IMAGE008
表示方向角
Figure DEST_PATH_IMAGE009
的信号的转向矢量；
Figure 887246DEST_PATH_IMAGE010
表示主瓣角度
Figure DEST_PATH_IMAGE011
信号的转向矢量，
Figure 493807DEST_PATH_IMAGE011
表示第m个主瓣角度，m=1,2,...M，M表示主瓣角度数量；
Figure 487171DEST_PATH_IMAGE012
表示旁瓣角度
Figure DEST_PATH_IMAGE013
信号的转向矢量，
Figure 241501DEST_PATH_IMAGE013
表示第s个旁瓣角度，s=1,2,...S，S表示旁瓣角度数；
Figure 431042DEST_PATH_IMAGE014
表示目标波束图的主瓣部分；
Figure DEST_PATH_IMAGE015
表示第一误差；
Figure 954428DEST_PATH_IMAGE016
表示第二误差。
2.如权利要求1所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
所述目标波束图采用差分麦克风阵列波束图。
3.如权利要求1所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
所述采用交替方向乘子法迭代求解波束设计模型，具体包括：
第一步，引入辅助变量
Figure DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 56376DEST_PATH_IMAGE018
，采用辅助变量重新表达波束设计模型，消除第二约束条件和第三约束条件间的耦合，其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE019
，
Figure 298001DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure DEST_PATH_IMAGE021
和
Figure 527120DEST_PATH_IMAGE022
分别表示目标波束图和设计波束图的主瓣部分,
Figure DEST_PATH_IMAGE023
表示设计波束图的旁瓣部分；
第二步，求解新的波束设计模型表示为增广拉格朗日函数，利用交替方向乘子法迭代求解该增广拉格朗日函数；
第二步进一步包括：
S100：初始化参数
Figure 905011DEST_PATH_IMAGE024
，其中，
Figure 505757DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 906782DEST_PATH_IMAGE026
表示第m个主瓣角度，m=1,2,...M，M表示主瓣角度数量；
Figure 251176DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 483574DEST_PATH_IMAGE028
表示第s个旁瓣角度，s=1,2,...S，S表示旁瓣角度数；
Figure 442172DEST_PATH_IMAGE029
为麦克风阵列权向量，u1、u2、u3均为缩放因子，ρ1、ρ2、ρ3为迭代步长，上标(t)表示为迭代到第t代，t=0时表示迭代初始值；
S200：利用当前的
Figure 392810DEST_PATH_IMAGE030
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 275316DEST_PATH_IMAGE031
；
S300：利用当前的
Figure 627800DEST_PATH_IMAGE032
，将增广拉格朗日函数分解为S个子问题分别求解
Figure 508031DEST_PATH_IMAGE033
，并获得
Figure 945966DEST_PATH_IMAGE034
；
S400：利用当前的
Figure 632162DEST_PATH_IMAGE035
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 839152DEST_PATH_IMAGE036
；
S500：利用当前的
Figure 641017DEST_PATH_IMAGE037
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 566248DEST_PATH_IMAGE038
；
S600：利用当前的
Figure 790556DEST_PATH_IMAGE039
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 55315DEST_PATH_IMAGE040
；
S700：利用当前的
Figure 74087DEST_PATH_IMAGE041
，求解增广拉格朗日函数更新
Figure 486614DEST_PATH_IMAGE042
；
S800：重复迭代S200~S600，直至满足预设的终止条件；当迭代终止，输出当前的权向量
Figure 701563DEST_PATH_IMAGE029
。
4.如权利要求3所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
步骤S200中，通过求解下式问题来更新
Figure 883146DEST_PATH_IMAGE044
：
Figure 338398DEST_PATH_IMAGE046
；
其中，
Figure 972642DEST_PATH_IMAGE048
，
Figure 476435DEST_PATH_IMAGE050
表示主瓣角度
Figure 778104DEST_PATH_IMAGE052
信号的转向矢量，
Figure 404257DEST_PATH_IMAGE052
表示第m个主瓣角度，m=1,2,...M，M表示主瓣角度数量；
Figure 525797DEST_PATH_IMAGE054
，
Figure 584014DEST_PATH_IMAGE056
表示目标波束图的主瓣部分；ε表示第一误差。
5.如权利要求3所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
步骤S300中，通过令S依次取1、2、…S，再依次求解下式更新
Figure 740189DEST_PATH_IMAGE058
：
Figure 537243DEST_PATH_IMAGE060
；
其中，
Figure 146079DEST_PATH_IMAGE062
表示旁瓣角度
Figure 991675DEST_PATH_IMAGE064
信号的转向矢量，
Figure 2357DEST_PATH_IMAGE064
表示第s个旁瓣角度，s=1,2,...S，S表示旁瓣角度数；
Figure 970313DEST_PATH_IMAGE066
表示第二误差。
6.如权利要求3所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
步骤S400中，通过求解下式问题来更新
Figure 253395DEST_PATH_IMAGE068
：
Figure 964999DEST_PATH_IMAGE070
；
其中，
Figure 830187DEST_PATH_IMAGE072
，
Figure 969045DEST_PATH_IMAGE074
表示主瓣角度
Figure 490156DEST_PATH_IMAGE052
信号的转向矢量；
Figure 5451DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 725145DEST_PATH_IMAGE078
表示目标波束图的主瓣部分；
Figure 34904DEST_PATH_IMAGE080
，
Figure 794043DEST_PATH_IMAGE082
表示旁瓣角度
Figure 847450DEST_PATH_IMAGE064
信号的转向矢量；I表示N维单位矩阵；ε表示第一误差，
Figure 687230DEST_PATH_IMAGE066
表示第二误差。
7.如权利要求3所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
步骤S500中，通过求解下式来更新
Figure 167890DEST_PATH_IMAGE084
：
Figure 663593DEST_PATH_IMAGE086
；
其中，
Figure 255112DEST_PATH_IMAGE088
，
Figure 949398DEST_PATH_IMAGE074
表示主瓣角度
Figure 53489DEST_PATH_IMAGE052
信号的转向矢量；
Figure 833227DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 228436DEST_PATH_IMAGE078
表示目标波束图的主瓣部分；ε表示第一误差，
Figure 42808DEST_PATH_IMAGE066
表示第二误差。
8.如权利要求3所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
步骤S600中，通过求解下式来更新
Figure 802954DEST_PATH_IMAGE090
：
Figure 69987DEST_PATH_IMAGE092
；
其中，
Figure 957303DEST_PATH_IMAGE094
，
Figure 626181DEST_PATH_IMAGE082
表示旁瓣角度
Figure 619545DEST_PATH_IMAGE064
信号的转向矢量；ε表示第一误差，
Figure 311558DEST_PATH_IMAGE066
表示第二误差。
9.如权利要求3所述的基于ADMM的麦克风阵列鲁棒频率不变波束形成方法，其特征是：
步骤S700中，通过求解下式来更新
Figure 48569DEST_PATH_IMAGE096
；
Figure 571955DEST_PATH_IMAGE098
；
其中，
Figure 188750DEST_PATH_IMAGE100
表示方向角
Figure 430375DEST_PATH_IMAGE102
的信号的转向矢量；I表示N维单位矩阵；ε表示第一误差，
Figure 705499DEST_PATH_IMAGE066
表示第二误差。
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