CN103902830A - 一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法，首先将衡量稳健性的误差敏感度函数表示为各阶特征波束误差敏感度函数之和，通过各阶实际特征波束的表现，估计出最大阶数，进而得到最大误差敏感度函数值，求出白噪声增益约束值。利用偶数阵元的圆环形阵列具有的一些对称性质，将稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法表述成一个较简单的优化问题，结合二阶锥规划算法能够十分容易地计算出最终结果。本发明克服了稳健性参数不易确定和旁瓣级不能有效控制的不足：各阶特征波束误差敏感度函数随阶数升高而变大，最大误差敏感度函数近似等于最高阶特征波束的误差敏感度函数；构造出的优化问题可以在多个指标之间取得最佳的折中。

Description

一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法

技术领域

本发明属于一种波束形成方法，涉及一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法，适用于圆环形阵列的低信噪比目标检测以及目标方位的高分辨率估计，属于水声学、阵列信号处理和声纳技术等领域。 

背景技术

常规波束形成方法对各通道信号进行延时求和处理以提取所需信息，其操作简单，性能稳健，故而得到了广泛的应用。但该方法所能提供的阵增益和空间指向性十分有限，尤其在较低频段更是如此。对于检测低信噪比目标，例如现代化的安静型潜艇，需要扩大阵列孔径才能达到要求，而这样的阵列往往达到几十米甚至上百米，造价昂贵且布放回收十分不便。另外估计目标方位时存在“瑞利限”，难以较好地分辨低频目标。相比之下，超指向性波束形成方法在同等条件下具有更高的阵增益、指向性和空间分辨率，可以显著减小阵列尺寸，且有更好的宽带性能，在声呐、雷达、天线设计、语音信号处理和通信等领域都具有重要意义。文献1“High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis.Proc IEEE,1969,vol.57(2),p.1408～1418”公开了一种超指向性波束形成方法。然而理论上的高性能却很难在实际中获得，主要是因为该方法对误差过于敏感。为提高超指向性的稳健性，人们提出了很多改进方法，但都存在各自的缺点，例如文献2“Covariance matrix estimation errors and diagonal loading in adaptive arrays,IEEE Trans Aerospace Electron Syst,1988,vol.24(4),p.397-401”和文献3“Robust adptive beamforming,IEEE Trans Acoust,Speech,Signal Processing,1987,vol.35(5),p.1365-1376”分别公开的对角加载和白噪声增益约束方法都能较好地改善稳健性，但对角加载量以及白噪声增益约束值都难以根据实际情况准确获得，其直接后果是稳健性仍然不足或者损失过多的指向性，不利于实际应用。文 献4“任意几何形状和阵元指向性的传感器阵列优化波束形成方法,声学学报,2005,vol.30(3),p.264-270”公开了一种基于二阶锥规划（SOCP：Second-Order Cone Programming）的白噪声增益约束方法，能得到较稳健的超指向性结果且旁瓣级（Sidelobe Level：SL）也能控制，但如何根据实际情况准确获得白噪声增益约束值仍然未作讨论。 

对于实际中应用较为广泛的圆环形阵列，文献5“Superdirective receiving arrays for underwater acoustics application,Defense Research Establishment Atlantic,Dartmouth,Nova Scotia,DREA CR/97/444,1997”公开了一种基于相位模态理论的超指向性波束形成方法。然而，实际中空域采样以及级数截断误差使得该方法本身具有难以消除的误差，不能得到超指向性的精确解。文献6“柱体表面圆环阵稳健高增益波束形成的模态域直接优化方法研究,声学学报,2012,vol.37(3),p.308-318”公开了一种模态域的稳健高增益波束形成方法，但仍然具有模态域本身的缺点且相关约束参数同样不易确定。文献7“Theoretical and practical solutions for high-order superdirectivity of circular sensor arrays,IEEE Trans Ind Electron,2013,Vol.60(1),p.203-209”公开了关于圆环形阵列的精确高阶超指向性解，通过一种降秩处理技术获得了不错的超指向性结果，然而其关于稳健性的讨论仍显不足，且未考虑超指向性波束旁瓣过高的问题。 

发明内容

要解决的技术问题 

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法，解决现有技术稳健性参数不易确定和旁瓣级不能有效控制的不足。 

技术方案 

一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法，其特征在于步骤如下： 

步骤1：计算误差敏感度函数

其中：第m阶特征波束的误差敏感度函 数为 $T_m={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m^2}{\left|E_m\left({\mathrm{\θ}}_{0,{\mathrm{\φ}}_0}\right)\right|}^2,{\mathrm{\ϵ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}1,& m=0,M/2,\\ 2,& m=\mathrm{1,2},...M/2-1\end{array}\right.,$ M为阵元个数，且M为偶数； 

所述 $E_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{ism\β}}\·p_s(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}),$

所述p_s(θ,φ)＝e^{-ikasinθcos(φ-φ} _s)．，其中

a为圆环形阵列半径，k＝2π/λ，λ表示入射平面波的波长,φ_s＝sβ，β＝2π/M； 

所述ρ_s＝sinc(k．Δ_rs),Δr_s＝2asin(sβ/2)为第m和m′号阵元间的距离，s＝m-m′，(θ₀,φ₀)是预先设定的指向角，α是用来归一化指向角(θ₀,φ₀)方向波束响应的参数； 

步骤2：估计最大误差敏感度函数

其中N为最大阶数； 

所述 $T_N={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_N}{{\mathrm{\λ}}_N^2}{\left|E_N({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2,$ 参数 $\mathrm{\α}=1/\left[\underset{m=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2\right];$

$\underset{\mathrm{\ω}}{\min }{\mathrm{\ω}}^H{\mathrm{\Λ}}_n\mathrm{\ω},$

s.t.Re{[εοE(θ₀,φ₀)]^Hω}＝1， 

步骤3：求解权值向量ω^H(εοω)≤σ， 

Re{[εοE(θ₀,φ_j)]^Hω}≤δ， 

φ_j∈φ_SL,j＝1,...,N_SL

其中：ω＝[ω₀,ω₁,...,ω_M/2 ^T]为所要求解的向量，Λ_n＝diag{ε₀λ₀,ε₁λ₁,...,ε_M/2λ_M/2}，ε＝[ε₀,ε₁,...,ε_M/2]^T，E＝[E₀,E₁,...,E_M ^/ ₂]^T，符号ο表示Hadamard积，上标T表示转置，上标H表示共轭转置，φ_SL＝[0,φ₀-Δ]∪[φ₀+Δ,2π]，Δ为期望主瓣宽度的一半，σ是误差敏感度函数的上界，且σ＝T_N，δ_j是期望旁瓣级，φ_j是旁瓣区域离散后的N_SL个方位角； 

上述优化问题由二阶锥规划算法计算求解，且求解向量的维数减为(M/2+1)； 

步骤4：由两种方法合成最终波束： 

1、根据公式计算：B(θ,φ)＝Re{ω^Η[εοE(θ,φ)]}； 

2、由以下步骤计算： 

a）由ω构造出其中元素满足 

m＝1,2,...,M/2-1； 

b）求出一般化的权值向量其中V＝[v₀,v₁,...,v_M-1]， 

v_m＝M^-1/2[1e^imβ...e^i(M-1)mβ]^T； 

c）将w代入公式得到最终所需要的波束： 

B(θ,φ)＝w^HP(θ,φ) 

其中P(θ,φ)＝[p₀(θ,φ),p₁(θ,φ),...,p_M-1(θ,φ)]^T为阵列流形向量。 

有益效果 

本发明提出的一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法，首先将衡量稳健性的误差敏感度函数（SF：Sensitivity Function）表示为各阶特征波束误差敏感度函数之和，且随阶数升高误差敏感度函数变大，稳健性变差。通过各阶实际特征波束的表现，估计出最大阶数，进而得到最大误差敏感度函数值，求出白噪声增益约束值。利用偶数阵元的圆环形阵列具有的一些对称性质，可将稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法表述成一个较简单的优化问题，结合二阶锥规划算法能够十分容易地计算出最终结果。本发明利用了下述性质克服了稳健性参数不易确定和旁瓣级不能有效控制的不足：各阶特征波束误差敏感度函数随阶数升高而变大，最大误差敏感度函数近似等于最高阶特征波束的误差敏感度函数；构造出的优化问题可以在多个指标之间取得最佳的折中。 

附图说明

图1：圆环形阵列示意图。 

图2：各阶特征波束的指向性因子和不同最高阶数时的总指向性指数（曲线上的 数字表示相应的阶数）。（a）特征波束的指向性因子；（b）总指向性指数。 

图3：各阶特征波束的误差敏感度函数和不同最高阶数时的总误差敏感度函数（曲线上的数字表示相应的阶数）。（a）特征波束的误差敏感度函数；（b）总误差敏感度函数。 

图4：ka=1.16时第4到6阶的实际（实线）和理论（虚线）特征波束。（a）m=4；（b）m=5；（c）m=6。 

图5：ka=1.68时第5到7阶的实际（实线）和理论（虚线）特征波束。（a）m=5；（b）m=6；（c）m=7。 

图6：文献7方法得到的没有约束的超指向性波束（实线）与常规波束（虚线）的比较。（a）ka=1.16，N=4；（b）ka=1.68，N=5。 

图7：ka=1.16时的实际（实线）和理论（虚线）归一化特征波束。 

（a）没有约束，N=4；（b）有旁瓣和稳健性约束。 

图8：ka=1.68时的实际（实线）和理论（虚线）归一化特征波束。 

（a）没有约束，N=5；（b）有旁瓣和稳健性约束。 

图9：有约束和无约束时的归一化特征波束的误差敏感度函数比较。 

（a）ka=1.16；（b）ka=1.68。 

图10：本发明得到的有约束的超指向性波束（实线）与常规波束（虚线）的比较ka=1.16。 

图11：本发明得到的有约束的超指向性波束（实线）与常规波束（虚线）的比较ka=1.68。 

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述： 

本发明适用于均匀圆环形阵列的稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法，将稳健性 参量分解为子分量，由子分量的表现确定稳健性约束参数，再结合偶数阵元圆环阵的特点构造简单的优化问题，求解后得到符合要求的超指向性结果。其过程为： 

（1）计算误差敏感度函数。利用圆环形阵列的相关性质，将其最优波束形成器的误差敏感度函数表示为各阶特征波束误差敏感度函数之和，即： 

$T=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{T}_m,---\left(1\right)$

其中 

$T_m={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m^2}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2---\left(2\right)$

称为第m阶特征波束的误差敏感度函数，其特征是随阶数m的增加T_m变大，意味着稳健性变差。M为阵元个数，p_s(θ,φ)为第m个阵元接收到的从方向(θ,φ)入射的单位幅度平面波信号，表达式为： 

p_s(θ,φ)＝e-^ikasin^θcos(^φ-^φs)．,（3）其中

a为圆环形阵列半径，k＝2π/λ，λ表示入射平面波的波长。另外有： 

$E_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{ism\β}}\·p_s(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}),---\left(4\right)$

${\mathrm{\ϵ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}1,& m=0,M/2,\\ 2,& m=\mathrm{1,2},...,M/2-1\end{array},---\left(5\right)\right.$

${\mathrm{\λ}}_m=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_s{e}^{\mathrm{ism\β}},---\left(6\right)$

β＝2π/M,φ_s＝sβ，ρ_s＝sinc(k．Δr_s),Δr_s＝2asin(sβ/2)为第m和m′号阵元间的距离，s＝m-m′，(θ₀,φ₀)是预先设定的指向角，α是用来归一化指向角(θ₀,φ₀)方向波束响应的参数。另外，文献7公开了最大指向性因子（DF：Directivity Factor）和最优波束的闭式解为： 

$D=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{D}_m=\underset{m=-0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2,---\left(7\right)$

$B(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{B}_m=\mathrm{\α}\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m}\mathrm{Re}\left\{E_m^{*}({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)E_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\right\}\·---\left(8\right)$

式中B_m称为第m阶特征波束，其指向性因子为D_m。由此可见，误差敏感度函数如同最大指向性因子和最优波束一样，都表示为了各阶特征波束相关参量之和，且都可闭式地表达。 

（2）估计最大误差敏感度函数。各阶特征波束的误差敏感度函数随阶数的升高而变大，并且最终超指向性结果的误差敏感度函数近似等于最高阶特征波束，即： 

$T=\underset{m=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{T}_m\≈T_N,---\left(9\right)$

其中N为选取的最大阶数。稳健性由最高阶特征波束决定，实际中需慎重选取最高阶数。通过实际特征波束与理论特征波束的差异，直接观察出所能获得的最高模态阶数，进而由式： 

$T_N={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m^2}{\left|E_N({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2---\left(10\right)$

计算出最大误差敏感度函数。参数α是随着最高阶数N的改变而变化的，如果与其它方法比较总误差敏感度函数，应使预定指向方向的波束响应无失真，以保证在同一条件下进行对比，因此参数α由下式计算： 

$\mathrm{\α}=1/\left[\underset{m=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2\right].\left(11\right)$

（3）求解权值向量。将稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法表述为一个简单的优化问题为： 

$\underset{\mathrm{\ω}}{\min }{\mathrm{\ω}}^H{\mathrm{\Λ}}_n\mathrm{\ω},$

s.t.Re{[εοE(θ₀,φ₀)]^Hω}＝1, 

ω^H(εω)≤σ,（12） 

Re{[εοE(θ₀,φ_j)]^Hω}≤δ_j, 

(φ_j∈φ_SL,j＝1,...,N_SL). 

其中：ω＝[ω₀,ω₁,...,ω_M/2]^T为所要求解的向量，Λ_n＝diag{ε₀λ₀,ε₁λ₁,...,ε_M/2λ_M/2}，ε＝[ε₀,ε₁,...,ε_M/2]^T，E＝[E₀,E₁,...,E_M/2]^T，符号ο表示Hadamard积，上标T表示转置，上标H表示共轭转置。φ_SL＝[0,φ₀-Δ]∪[φ₀+Δ,2π]，Δ为期望主瓣宽度的一半。σ是误差敏感度函数的上界，且σ＝T_N。δ_j是期望旁瓣级，φ_j是旁瓣区域离散后的N_SL个方位角。上述优化问题由二阶锥规划算法计算求解，且求解向量的维数减为(M/2+1)，近似等于阵元数的一半，计算量得以减小。定义 

$B_m={\mathrm{\ϵ}}_m\mathrm{Re}\left\{{\mathrm{\ω}}_m^{*}{E}_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\right\}---\left(13\right)$

为第m阶广义特征波束，且已归一化。此时指向性因子的表达式变为： 

误差敏感度函数变为： 

$T=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_m{\left|{\mathrm{\ω}}_m\right|}^2=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{T}_m\·---\left(15\right)$

上式中T_m=ε_m|ω_m|²

称为第m阶广义特征波束的误差敏感度函数。 

（4）合成最终波束。有两种方法： 

第一种直接由以下公式计算： 

B(θ,φ)＝Re{ω^Η[εοE(θ,φ)]}.（17） 

第二种包含以下步骤： 

a）由ω构造出

其中元素满足 

${\mathrm{\ω}}_{M-m}={(-1)}^m{\mathrm{\ω}}_m^{*}(m=\mathrm{1,2},...,M/2-1);$

b）求出一般化的权值向量

其中V＝[v₀,v₁,...,v_M-1]， 

v_m＝M^-1/2[1e^imβ...e^i(M-1)mβ]^T； 

c）将w代入公式： 

B(θ,φ)＝w^HP(θ,φ)（18）得到最终所需要的波束，其中P(θ,φ)＝[p₀(θ,φ),p₁(θ,φ),...,p_M-1(θ,φ)]^T称为阵列流形向量。 

具体实施例如下： 

（1）参照图1。考虑半径为a的圆环形传感器阵列，M个阵元均匀分布且M为偶数。利用圆环形阵列的相关性质，将其最优波束形成器的误差敏感度函数表示为各阶特征波束误差敏感度函数之和，即： 

$T=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{T}_m,---\left(19\right)$

其中 

$T_m={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m^2}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2---\left(20\right)$

称为第m阶特征波束的误差敏感度函数，其特征是随阶数m的增加T_m变大，意味着稳健性变差。p_s(θ,φ)为第m个阵元接收到的从方向(θ,φ)入射的单位幅度平面波信号，表达式为： 

p_s(θ,φ)＝e^-ikasinθcos(^φ-^φs)．,（21）其中

a为圆环形阵列半径，k＝2π/λ，λ表示入射平面波的波长。另外有： 

$E_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{ism\β}}\·p_s(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}),---\left(22\right)$

${\mathrm{\ϵ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}1,& m=0,M/2,\\ 2,& m=\mathrm{1,2},...,M/2-1\end{array},---\left(23\right)\right.$

${\mathrm{\λ}}_m=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_s{e}^{\mathrm{ism\β}},---\left(24\right)$

β＝2π/M,φ_m＝mβ，ρ_s＝sinc(k．Δr_s),Δr_s＝2asin(sβ/2)为第m和m'号阵元间的距离，s＝m-m′，(θ₀,φ₀)是预先设定的指向角，α是用来归一化指向角(θ₀,φ₀)方向波束响应 的参数。另外，文献7公开了最大指向性因子（DF：Directivity Factor）和最优波束的闭式解为： 

$D=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{D}_m=\underset{m=-0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2,---\left(25\right)$

$B(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{B}_m=\mathrm{\α}\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m}\mathrm{Re}\left\{E_m^{*}({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)E_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\right\}\·---\left(26\right)$

式中B_m称为第m阶特征波束，其指向性因子为D_m。由此可见，误差敏感度函数如同最大指向性因子和最优波束一样，都表示为了各阶特征波束相关参量之和，且都可闭式地表达。 

参照图2（a）和3（a）。以阵元数为16的均匀圆环形阵列为例，半径a＝0.25m，波束指向(θ₀,φ₀)＝(π/2,π)。不失一般性，设定参数α＝1。研究的频率范围为ka∈[0.3,10]，而感兴趣的范围为ka∈[0.3,2]。利用式（25）计算得到的各阶特征波束指向性因子，在感兴趣的较低频率范围内，随阶数的升高而变大，随频率的升高而下降。由式（20）计算得到的误差敏感度函数随阶数增大而变大，同时随频率的降低而变大，意味着稳健性越来越差。 

（2）参照图2（b）和3（b）。总指向性因子由相应的特征波束指向性因子叠加得到，其变化规律与单阶特征波束类似。N较小时，舍去了更多的高阶特征波束，获得的指向性指数DI＝10lgD(dB)（DI：Directivity Index）有所减小。高阶特征波束的误差敏感度函数在给定的较低频段范围内普遍比低阶大得多，其总误差敏感度函数近似等于最高阶特征波束，即： 

$T=\underset{m=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{T}_m\≈T_N,---\left(27\right)$

由此可见，稳健性由最高阶特征波束决定，只要后者毁坏，最终波束也会受到严重影响，因此实际中需慎重选取最高阶数。通过实际特征波束与理论特征波束的差异，直接观察出所能获得的最高阶数，进而由下式 

$T_N={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_N}{{\mathrm{\λ}}_N^2}{\left|E_N({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2,$

计算出最大误差敏感度函数。参数α是随着最高阶数N的改变而变化的，如果与其它方法比较总误差敏感度函数，应使预定指向方向的波束响应无失真，以保证在同一条件下进行对比，因此参数α由下式计算： 

$\mathrm{\α}=1/\left[\underset{m=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2\right];$

实验均匀圆环形阵列由16个各向同性的水听器组成，半径为0.25m。在消声水池测量得到实际阵列流形向量，进而利用式（26）得到最高为8阶的实际特征波束。不失一般性，这里仅以水平方向特征波束为例进行说明。 

参照图4和5。这里同样选取参数α＝1，即得到的特征波束没有归一化。当ka=1.16时，阶数小于6的实际特征波束与理论特征波束吻合得很好，而较高阶数的实际特征波束都受到了误差的影响，并且影响的程度随阶数的升高而显著变大，这与上文中对误差敏感度函数的分析是一致的。为简单起见，第0到3阶以及第7和第8阶特征波束没有给出。这个现象说明，该实验阵列存在的误差不能被阶数大于5的特征波束容忍，可推知此时所能允许的最大误差敏感度函数近似等于65.2dB。基于此，其它频率对应的最大特征波束的阶数也可以直接得到，例如当ka=1.68时，最大阶数近似为6，大于6阶的特征波束都被误差毁坏了。这里第0到4和第8阶特征波束未显示于图中。 

参照图6。按照文献7的降秩处理方法，通过舍去对误差敏感的高阶特征波束得到稳健的超指向性波束。与常规波束相比，两个频率下的超指向性波束具有更窄的半功率波束宽度（HPBW：Half-Power BeamWidth），只是旁瓣级都在-6dB和-8dB左右，有点偏高，需要进一步降低。 

（3）求解权值向量。将稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法表述为一个简单的优化问题为： 

$\underset{\mathrm{\ω}}{\min }{\mathrm{\ω}}^H{\mathrm{\Λ}}_n\mathrm{\ω},$

s.t.Re{[εοE(θ₀,φ₀)]^Hω}＝1, 

ω^H(εοω)≤σ,（30） 

Re{[εE(θ₀,φ_j)]^Hω}≤δ_j, 

(φ_j∈φ_SL,j＝1,...,N_SL). 

其中：ω＝[ω₀,ω₁,...,ω_M/2]^T为所要求解的向量，Λ_n＝diag{ε₀λ₀,ε₁λ₁,...,ε_M/2λ_M/2}，ε＝[ε₀,ε₁,...,ε_M/₂]^T，E＝[E₀,E₁,...,E_M/₂]^T，符号ο表示Hadamard积，上标T表示转置，上标H表示共轭转置。φ_SL＝[0,φ₀-Δ]∪[φ₀+Δ,2π]，Δ为期望主瓣宽度的一半。σ是误差敏感度函数的上界，且σ＝T_N。δ_j是期望旁瓣级，φ_j是旁瓣区域离散后的N_SL个方位角。式（30）中的解由二阶锥规划算法计算求解，且求解向量的维数减为(M/2+1)，近似等于阵元数的一半，计算量得以减小，效率要比文献4和6的方法高。定义 

$B_m={\mathrm{\ϵ}}_m\mathrm{Re}\left\{{\mathrm{\ω}}_m^{*}{E}_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\right\}---\left(31\right)$ （31）为第m阶广义特征波束，且已归一化。此时指向性因子的表达式变为： 

误差敏感度函数变为： 

$T=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_m{\left|{\mathrm{\ω}}_m\right|}^2=\underset{m=0}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}{T}_m\·---\left(33\right)$

上式中T_m=ε_m|ω_m|²

称为第m阶广义特征波束的误差敏感度函数，因此总误差敏感度函数仍是广义特征波束误差敏感度函数之和，这和本发明前文所述的结论一致。然而当权值向量不是最优值时，这样的结论不适用于指向性因子，如式（32）所示。 

据前文分析知，最大误差敏感度函数应小于等于65.2dB。保守起见，这里选取 ka=1.16时第4阶特征波束的误差敏感度函数值45.7dB作为最大上界。因为这个值是当α＝1时求得的，所以式（30）中误差敏感度函数的上界为σ＝α²．10^45.7/10，其中参数α会随着最大阶数N的不同而改变以保证指向方向的波束响应无失真，由式（29）计算得到。相关参数列于表1。 

表1相关参数 

ka=1.16	ka=1.68
		α0.0613(N=4)	0.0482(N=5)
139.5σ	86.2
		Δ(°)40	30
δj(dB)-10	-10

参照图7～9。这里利用式（26）计算得到的特征波束已经归一化。由于参数α不为1，相比于图4和5中α＝1时的对应特征波束，归一化后特征波束的幅度成比例地减小了。由式（31）得到的有旁瓣级和稳健性约束的广义特征波束的幅度与无约束特征波束的幅度具有较大差异。对误差较敏感的高阶广义特征波束的幅度都被自动地减小到可以被忽略的程度，所以它们对最终波束的影响被降到最低。相比之下，低阶的广义特征波束的幅度几乎和没有约束时的相同，所以稳健性能够得到保障。由式（20）和（34）计算得到的广义特征波束的误差敏感度函数也说明了这一点：高阶的误差敏感度函数都减小了，低阶的与无约束时的基本一致。 

（4）合成最终波束。有两种方法： 

第一种直接由以下公式计算： 

B(θ,φ)＝Re{ω^Η[εοE(θ,φ)]}.（35） 

第二种包含以下步骤： 

a）由ω构造出

其中元素满足 

(m＝1,2,...,M/2-1)； 

b）求出一般化的权值向量

其中V＝[v₀,v₁,...,v_M-1]， 

v_m＝M^-1/2[1e^imβ...e^i(M-1)mβ]^T； 

c）将w代入公式： 

B(θ,φ)＝w^HP(θ,φ)（36）得到最终所需要的波束，其中P(θ,φ)＝[p₀(θ,φ),p₁(θ,φ),...,p_M-1(θ,φ)]^T称为阵列流形向量。 

注意，两种方法得到的结果一样，而第一种方法较简单，第二种方法更利于实际操作。 

参照表2、图10和图11。超指向性波束具有比常规波束更高的指向性指数和更窄的半功率波束宽度。与没有约束的超指向性波束相比，由式（35）计算得到的有约束的超指向性波束的半功率波束宽度虽然宽了点，但旁瓣级都很好地保证在期望值-10dB以下，并且指向性指数没有太大的变化。因此，相对于直接的降秩处理，本发明能够更灵活地获得符合不同要求的超指向性波束。 

表2实际超指向性波束和常规波束的性能指标 

。

Claims (1)

1.一种圆环形阵列稳健旁瓣控制超指向性波束形成方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：计算误差敏感度函数

其中：第m阶特征波束的误差敏感度函数为 $T_m={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m^2}{\left|E_m\left({\mathrm{\θ}}_{0,{\mathrm{\φ}}_0}\right)\right|}^2,{\mathrm{\ϵ}}_m=\left\{\begin{array}{cc}1,& m=0,M/2,\\ 2,& m=\mathrm{1,2},...M/2-1\end{array}\right.,$ M为阵元个数，且M为偶数；

所述 $E_m(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{ism\β}}\·p_s(\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}),$

所述p_s(θ,φ)＝e-^ikasinθcos(^φ-φ _s)，其中

a为圆环形阵列半径，k＝2π/λ，λ表示入射平面波的波长,φ_s＝sβ，β＝2π/M；

所述

ρ_s＝sinc(k．Δr_s),Δr_s＝2asin(sβ/2)为第m和m'号阵元间的距离，s＝m-m′，(θ₀,φ₀)是预先设定的指向角，α是用来归一化指向角(θ₀,φ₀)方向波束响应的参数；

步骤2：估计最大误差敏感度函数

其中N为最大阶数；

所述 $T_N={\mathrm{\α}}^2\frac{{\mathrm{\ϵ}}_N}{{\mathrm{\λ}}_N^2}{\left|E_N({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2,$ 参数 $\mathrm{\α}=1/\left[\underset{m=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|E_m({\mathrm{\θ}}_0,{\mathrm{\φ}}_0)\right|}^2\right];$

$\underset{\mathrm{\ω}}{\min }{\mathrm{\ω}}^H{\mathrm{\Λ}}_n\mathrm{\ω},$

s.t.Re{[εοE(θ0,φ0)]^Hω}＝1，

步骤3：求解权值向量ω^H(εοω)≤σ，

Re{[εοE(θ₀0,φ_j)]^Hω}≤δ，

φ_j∈φ_SL,j＝1,...,N_SL

其中：ω＝[ω₀,ω₁,...,ω_M/2 ^T]为所要求解的向量，Λ_n＝diag{ε₀λ₀,ε₁λ₁,...,ε_M/2λ_M/2}，ε＝[ε₀,ε₁,...,ε_M/₂]^T，E＝[E₀,E₁,...,E_M/₂]^T，符号ο表示Hadamard积，上标T表示转置，上标H表示共轭转置，φ_SL＝[0,φ₀-Δ]∪[φ₀+Δ,2π]，Δ为期望主瓣宽度的一半，σ是误差敏感度函数的上界，且σ＝T_N，δ_j是期望旁瓣级，φ_j是旁瓣区域离散后的N_SL个方位角；

上述优化问题由二阶锥规划算法计算求解，且求解向量的维数减为(M/2+1)；

步骤4：由两种方法合成最终波束：

1、根据公式计算：B(θ,φ)＝Re{ω^Η[εοE(θ,φ)]}；

2、由以下步骤计算：

a）由ω构造出

其中元素满足

m＝1,2,...M/2-1；

b）求出一般化的权值向量

其中V＝[v₀,v₁,...,v_M-1]，v_m＝M^-1/2[1e^imβ...e^i(M-1)mβ]^T；

c）将w代入公式得到最终所需要的波束：

B(θ,φ)＝w^HP(θ,φ)

其中P(θ,φ)＝[p₀(θ,φ),p₁(θ,φ),...,p_M-1(θ,φ)]^T为阵列流形向量。

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