CN107238829A - 一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法，首先将阵列流形和空间相关矩阵表示为两个圆环阵各自阵列流形和空间相关矩阵的组合形式，然后利用分块矩阵求逆公式得到空间相关矩阵逆矩阵，并结合循环矩阵性质将最优权值向量分解为有限阶子分量叠加的形式，由此进一步将最优超指向性波束、最大指向性因子和总误差敏感度函数分别分解为各阶特征波束及其指向性因子和误差敏感度函数叠加的形式，其中随阶数升高对应的特征波束的误差敏感度函数变大，稳健性变差。依据实际情况确定适用的最高阶数，通过舍去对误差敏感的高阶项并保留稳健的低阶项，合成得到最终的超指向性结果。

Description

一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法
技术领域
本发明属于声学阵列信号处理和声呐技术等领域，涉及波束形成方法，特别是涉及一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法，特别是涉及一种稳健超指向性波束形成方法，适用于双层圆环形阵列的低信噪比目标检测以及目标方位的高分辨率估计，。
背景技术
超指向性波束形成方法可以在不改变阵列尺寸的条件下获得更好的角度分辨率、更高的方位估计精度和更显著的噪声抑制能力，在声呐、雷达和语音信号处理等领域具有广阔的应用前景。然而，超指向性对误差较敏感，其在理论上的优异性能在实际中不易获得。如何改善稳健性，是实现超指向性的关键，而建立一个不涉及任何近似假设的精确数学模型，从而提供一种稳健可行的超指向性实施方法，就显得十分重要。圆环形阵列具有阵型简单，没有左右舷模糊且能够在全周向范围内形成基本恒定的波束等优点，在很多领域都有大量应用，而关于该类型阵列超指向性的研究也引起了人们广泛的关注。
文献1“Theoretical and practical solutions for high-ordersuperdirectivity of circular sensor arrays，IEEE Trans Industrial Electronics，vol.60(1)，2013，pp.203-209”公开了一种特征波束分解与综合的模型，给出了圆环阵的精确闭式解，但只适用于单层圆环阵。
文献2“Uniform concentric circular arrays with frequency-invariantcharacteristics-theory，design，adaptive beamforming and DOA estimation，IEEETrans.Signal Process.，vol.55(1)，2007，pp.165-177”公开了一种针对多层同心圆环阵的宽带波束形成方法，其利用相位模态理论，将频率相关项进行了分离，得到了频率不变响应波束图。然而，该方法需要进行近似计算，引入了模型误差，难以得到精确的超指向性模型。
发明内容
要解决的技术问题
为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法，解决现有技术适用范围有限和不够精确的不足。
技术方案
一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：以双层圆环阵的阵列流形向量P表示两层圆环阵各自阵列流形：
所述P1＝[p1，0，p1，1，…，p1，M-1]T为第1层圆环阵阵列流形；
所述P2＝[p2，0，p2，1，…，p2，M-1]T为第2层圆环阵阵列流形；
其中：k＝-k[sinθcosφ，sinθsinφ，cosθ]T，r1，m＝[a1sinθm cosφm，a1sinθm sinφm，a1cosθm]T，r2，m＝[a2sinθm cos(φm+δ)，a2sinθmsin(φm+δ)，a2cosθm+h]T，a1和a2分别表示第1和第2层圆环阵的半径，θm和φm分别表示第m个阵元所在位置的垂直俯仰角和水平方位角，θ和φ分别表示平面波入射的垂直俯仰角和水平方位角，δ为第1和第2层圆环阵相同序号阵元所在位置方位角的差值，h为第2层圆环阵在z轴上的坐标值；波数k＝2π/λ，λ为波长，φm＝mβ，β＝2π/M，下标“1”和“2”分别表示第1和第2层圆环阵，下标“m”表示第m个阵元，两层圆环阵的阵元数均为M，双层圆环阵总阵元数为2M，(·)T表示转置；
以空间相关矩阵ρn表示空间相关矩阵的组合形式为：
所述矩阵ρ11和ρ22分别是第1和第2层圆环阵各自的空间相关矩阵，其维度均为M×M，元素依次为：
ρ11，m，n＝ρ11，s＝sinc(k·d1s)
ρ22，m，n＝ρ22，s＝sinc(k·d2s)
其中：d1s＝2a1sin(sβ/2)，d2s＝2a2sin(sβ/2)，s＝|m-n|；
所述矩阵ρ12和ρ21是由第1层和第2层圆环阵相互之间的空间相关矩阵，其维度均为M×M，元素为：
ρ12，m，n＝ρ12，s＝ρ21，m，n＝ρ21，s＝sinc(k·d3s)
其中：
所述矩阵ρ11、ρ22、ρ12和ρ21均是循环矩阵，其特征值分别为：
以上特征值都是实数且满足对称关系λm＝λM-m；
步骤2：利用分块矩阵求逆公式将空间相关矩阵ρn的逆矩阵表示为如下形式：
其中：
步骤3：计算最优权值向量
其中：
vm＝M-1/2[1，eimβ，…，ei(M-1)mβ]T
归一化参数(θ0，φ0)为设定的波束指向方向，(·)H表示共轭转置，(·)*表示求共轭；
步骤4：将最优权值向量代入波束形成公式得到超指向性波束，并进一步将其分解为：
其中：
最优指向性因子为：
误差敏感度函数为：
其中：
和分别为第m阶模态波束及其指向性因子和误差敏感度函数；步骤5：将模态波束及其指向性因子和误差敏感度函数进行组合叠加：
其中阵元数M为奇数；
当阵元数M为偶数时，组合叠加形式为：
其中Bm、Dm和Tm分别为第m阶特征波束及其指向性因子和误差敏感度函数；
步骤6：舍去大于最大阶数N的特征波束，由公式和分别得到最终超指向性波束及其指向性因子和误差敏感度函数，其中α＝1/DF。
有益效果
本发明提出的一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法，首先将阵列流形和空间相关矩阵表示为两个圆环阵各自阵列流形和空间相关矩阵的组合形式，然后利用分块矩阵求逆公式得到空间相关矩阵逆矩阵，并结合循环矩阵性质将最优权值向量分解为有限阶子分量叠加的形式，由此进一步将最优超指向性波束、最大指向性因子和总误差敏感度函数分别分解为各阶特征波束及其指向性因子和误差敏感度函数叠加的形式，其中随阶数升高对应的特征波束的误差敏感度函数变大，稳健性变差。依据实际情况确定适用的最高阶数，通过舍去对误差敏感的高阶项并保留稳健的低阶项，合成得到最终的超指向性结果。
有益效果体现在：
1.本发明公开的方法将最优超指向性波束、最大指向性因子和总误差敏感度函数分别分解为各阶特征波束及其指向性因子和误差敏感度函数叠加的形式，将文献1公开的特征波束分解与综合模型拓展到双层圆环阵，扩大了适用范围。
本发明公开的方法通过先分解后综合的方式获得超指向性结果，其过程不需要任何近似假设，不存在模型误差，比文献2公开的方法更精确。
附图说明
图1是本发明方法所用的双层圆环形阵列示意图。
图2是本发明方法得到各阶特征波束指向性因子和不同最高阶数时的总指向性指数。图2(a)各阶特征波束指向性因子，图2(b)不同最高阶数时的总指向性指数。
图3是本发明方法得到各阶特征波束误差敏感度函数和不同最高阶数时的总误差敏感度函数。图3(a)各阶特征波束误差敏感度函数，图3(b)不同最高阶数时的总误差敏感度函数。
图4是理论和实际特征波束。图4(a)是第0～2阶理论和实际特征波束，图4(b)是第3阶理论和实际特征波束，图4(c)是第4阶理论和实际特征波束。
图5是不同方法得到的实际三维波束。图5(a)是本发明方法得到的实际三维波束，图5(b)是常规方法得到的实际三维波束，图5(c)是MVDR方法得到的实际三维波束。
具体实施方式
现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：
本实施例针对双层圆环阵提出了一种稳健超指向性波束形成方法，利用分块矩阵求逆公式和循环矩阵的性质，将最优超指向性波束、最大指向性因子和总误差敏感度函数分别表示为各阶特征波束及其指向性因子和误差敏感度函数叠加的形式。具体实施例如下：
1.将双层圆环阵的阵列流形向量P和空间相关矩阵ρn分别表示成两层圆环阵各自阵列流形和空间相关矩阵的组合形式，如下所示：
其中P1＝[p1，0，p1，1…，p1，M-1]T为第1层圆环阵阵列流形，P2＝[p2，0，p2，1…，p2，M-1]T为第2层圆环阵阵列流形，k＝-k[sinθcosφ，sinθsinφ，cosθ]T，r1，m＝[a1sinθm cosφm，a1sinθm sinφm，a1cosθm]Tr2，m＝[a2sinθm cos(φm+δ)，a2sinθm sin(φm+δ)，a2cosθm+h]T，a1和a2分别表示第1和第2层圆环阵的半径，θm和φm分别表示第m个阵元所在位置的垂直俯仰角和水平方位角，θ和φ分别表示平面波入射的垂直俯仰角和水平方位角，δ为第1和第2层圆环阵相同序号阵元所在位置方位角的差值，h为第2层圆环阵在z轴上的坐标值。波数k＝2π/λ，λ为波长，φm＝mβ，β＝2π/M，下标“1”和“2”分别表示第1和第2层圆环阵，下标“m”表示第m个阵元，两层圆环阵的阵元数均为M，双层圆环阵总阵元数为2M，(·)T表示转置。
所述矩阵ρ11和ρ22分别是第1和第2层圆环阵各自的空间相关矩阵，其维度均为M×M，元素依次为：
ρ11，m，n＝ρ11，s＝sinc(k·d1s) (3)
ρ22，m，n＝ρ22，s＝sinc(k·d2s) (4)
其中d1s＝2a1sin(sβ/2)，d2s＝2a2sin(sβ/2)，s＝|m-n|。
所述矩阵ρ12和ρ21是由第1层和第2层圆环阵相互之间的空间相关矩阵，其维度均为M×M，元素为：
ρ12，m，n＝ρ12，s＝ρ21，m，n＝ρ21，s＝sinc(k·d3s) (5)
其中
所述矩阵ρ11、ρ22、ρ12和ρ21均是循环矩阵，其特征值分别为：
以上特征值都是实数且满足对称关系λm＝λM-m。
参照图1。后文均以下面所示的双层圆环阵为研究对象进行仿真计算：每层圆环阵的阵元数为M＝8，a1＝1m，a2＝0.5m，h＝0.5m，δ＝20°。
2.利用分块矩阵求逆公式将空间相关矩阵ρn的逆矩阵表示为如下形式：
其中
3.将最优权值向量表示为如下形式：
其中
vm＝M-1/2[1，eimβ，…，ei(M-1)mβ]T (11)
归一化参数(θ0，φ0)为设定的波束指向方向，(·)H表示共轭转置，(·)*表示求共轭。
4.将最优权值向量代入波束形成公式：
得到超指向性波束，并进一步将其分解为：
其中
将最优指向性因子表示为：
将误差敏感度函数表示为：
其中
和分别为第m阶模态波束及其指向性因子和误差敏感度函数。
5.将模态波束及其指向性因子和误差敏感度函数进行如下组合叠加：
其中阵元数M为奇数。当阵元数M为偶数时，组合叠加形式如下：
其中Bm、Dm和Tm分别为第m阶特征波束及其指向性因子和误差敏感度函数。
参照图2(a)和图3(a)。仿真参数为：(θ0，φ0)＝(90°，180°)，声速c＝1500m/s。由式(27)和(28)中对应的Dm和Tm表达式计算得到的各阶特征波束的指向性因子和误差敏感度函数分别如图2(a)和图3(a)所示。由图可知，频率越低，各阶特征波束的指向性因子趋于一个常值，而误差敏感度函数则越来越大，意味着稳健性越来越差。在较低频率范围内(图中对应小于800Hz的范围)，各阶特征波束指向性因子随阶数升高而变大，第0～3阶特征波束的误差敏感度函数也随阶数的升高而变大，而第4阶特征波束的误差敏感度函数则与第3阶的相近。
6.根据实际情况确定最大阶数N，舍去大于N的特征波束，由公式 和分别得到最终超指向性波束及其指向性因子和误差敏感度函数，其中α＝1/DF。
参照图2(b)、图3(b)、图4和图5。仿真参数为：(θ0，φ0)＝(90°，180°)，频率f＝200Hz，声速c＝1500m/s，实际阵列流形的元素为其中和分别为第层圆环阵第m号阵元的幅度和相位误差。假设和是独立高斯分布的零均值随机变量，且与频率和方向都无关，两者的方差分别以和表示，仿真中假设
图4给出了理论和实际的特征波束，其中第0～2阶实际特征波束与理论特征波束吻合得较好，没有发生畸变，显示了不错的稳健性，相比之下，第3和第4阶实际特征波束均发生了畸变，并且畸变的程度相差不大。由此可知，最大阶数N应选为2，即应舍去第3和4阶实际特征波束，仅用第0～2阶实际特征波束合成最终超指向性波束。利用公式得到的实际三维超指向性波束如图5(a)所示，相应的指向性指数和误差敏感度函数可由公式和计算或由图2(b)和图3(b)得到，其值分别为8.86dB和12.59dB，注意利用图3(b)计算误差敏感度函数时，需将得到的值乘以所选的最高阶数对应的α2才能得到上述结果。为便于比较，常规方法和MVDR方法得到的实际三维波束分别如图5(b)和图5(c)所示，其中常规方法波束虽然稳健性较好(误差敏感度函数为-12.04dB)，但指向性指数太低，仅为1.57dB，而MVDR方法的波束虽然理论上具有12.30dB的指向性指数，但其误差敏感度函数达到了36.53dB，稳健性太差，实际三维波束已无法获得指向性。

Claims (1)

1.一种双层圆环阵稳健超指向性波束形成方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：以双层圆环阵的阵列流形向量P表示两层圆环阵各自阵列流形：
<mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow>
所述P1＝[p1,0,p1,1,...,p1,M-1]T为第1层圆环阵阵列流形；
所述P2＝[p2,0,p2,1,...,p2,M-1]T为第2层圆环阵阵列流形；
其中：k＝-k[sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ]T，r1,m＝[a1sinθmcosφm,a1sinθmsinφm,a1cosθm]T，r2,m＝[a2sinθmcos(φm+δ),a2sinθmsin(φm+δ),a2cosθm+h]T，a1和a2分别表示第1和第2层圆环阵的半径，θm和φm分别表示第m个阵元所在位置的垂直俯仰角和水平方位角，θ和φ分别表示平面波入射的垂直俯仰角和水平方位角，δ为第1和第2层圆环阵相同序号阵元所在位置方位角的差值，h为第2层圆环阵在z轴上的坐标值；波数k＝2π/λ，λ为波长，φm＝mβ，β＝2π/M，下标“1”和“2”分别表示第1和第2层圆环阵，下标“m”表示第m个阵元，两层圆环阵的阵元数均为M，双层圆环阵总阵元数为2M，(·)T表示转置；
以空间相关矩阵ρn表示空间相关矩阵的组合形式为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>12</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>21</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>22</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow>
所述矩阵ρ11和ρ22分别是第1和第2层圆环阵各自的空间相关矩阵，其维度均为M×M，元素依次为：
ρ11,m,n＝ρ11,s＝sinc(k·d1s)
ρ22,m,n＝ρ22,s＝sinc(k·d2s)
其中：d1s＝2a1sin(sβ/2)，d2s＝2a2sin(sβ/2)，s＝|m-n|；
所述矩阵ρ12和ρ21是由第1层和第2层圆环阵相互之间的空间相关矩阵，其维度均为M×M，元素为：
ρ12,m,n＝ρ12,s＝ρ21,m,n＝ρ21,s＝sinc(k·d3s)
其中：
所述矩阵ρ11、ρ22、ρ12和ρ21均是循环矩阵，其特征值分别为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msup> </mrow>
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以上特征值都是实数且满足对称关系λm＝λM-m；
步骤2：利用分块矩阵求逆公式将空间相关矩阵ρn的逆矩阵表示为如下形式：
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其中：
步骤3：计算最优权值向量
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>p</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>11</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>12</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>21</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>22</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>11</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>12</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>21</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>22</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>m</mi> </msub> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>m</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>m</mi> </msub> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>m</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>21</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>m</mi> </msub> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>m</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>m</mi> </msub> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>m</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中：
vm＝M-1/2[1，eimβ,...,ei(M-1)mβ]T
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow>
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>21</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow>
归一化参数(θ0,φ0)为设定的波束指向方向，(·)H表示共轭转置，(·)*表示求共轭；
步骤4：将最优权值向量代入波束形成公式得到超指向性波束，并进一步将其分解为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>p</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>21</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mover> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>21</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>m</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mi>M</mi> </msqrt> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 2
<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>m</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mi>M</mi> </msqrt> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
最优指向性因子为：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>DF</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>|</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>22</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>|</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>Re</mi> <mo>{</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mn>12</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mfrac> <msubsup> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
误差敏感度函数为：
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其中：
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和分别为第m阶模态波束及其指向性因子和误差敏感度函数；
步骤5：将模态波束及其指向性因子和误差敏感度函数进行组合叠加：
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其中阵元数M为奇数；
当阵元数M为偶数时，组合叠加形式为：
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其中Bm、Dm和Tm分别为第m阶特征波束及其指向性因子和误差敏感度函数；
步骤6：舍去大于最大阶数N的特征波束，由公式和分别得到最终超指向性波束及其指向性因子和误差敏感度函数，其中α＝1/DF。
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