CN103903609A - 一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法，针对均匀圆环形阵列提出一种简单而精确的恒定束宽波束形成器设计方法。该方法利用循环矩阵的特性，给出了圆环阵最小平方误差波束图综合问题的精确解，并将最终合成的波束以及最小平方误差简单地表示为子分量叠加之和。当期望波束转换为适当形式时，可得到恒定束宽波束形成器权值向量的闭式表达式。本发明克服了现有技术操作复杂和不够精确的不足：最优解精确地表示为子分量的叠加和，且有闭式的表达式。

Description

一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法

技术领域

本发明属于一种波束形成器设计方法，涉及一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法，适用于圆环形阵列的宽带目标检测以及宽带目标方位估计，属于水声学、阵列信号处理和声纳技术等领域。

背景技术

圆环形阵列由于阵型简单，没有左右舷模糊且能够在全周向范围内形成基本恒定的波束，因此在声纳、雷达、通信以及语音工程等领域应用广泛。关于该阵列的信号处理方法也是层出不穷，其中宽带波束形成方法更是受到了极大的关注。

由于常规阵列输出的波束是随频率变化的，尤其当信号从主瓣其它方向入射时，不同频率信号频谱就会发生畸变，好像进行了低通滤波一样，不利于后续处理。为解决这一问题，需要设计恒定束宽波束形成器，即波束不随频率改变，特别是保证主瓣在给定的带宽内恒定不变。此类方法已经提出很多，主要基于两类思想：（1）利用波束形成中频率和孔径的关系，通过改变阵列的有效孔径使得不同频率对应的波束恒定不变，典型的有文献1“Constant beamwidth receiving arrays for broad band sonar systems,Acustica,1970,vol.23(1),p.21-26”公开的组合阵方法，但该方法要求阵形严格满足扩展结构，基阵尺寸较大，需要阵元数目多。（2）在某种准则下使得需要合成的波束与期望波束逼近，例如文献2“任意结构阵列宽带恒定束宽波束形成新方法,声学学报,2001,vol.26(1),p.55-58”公开的Bessel级数方法以及文献3“基于二阶锥规划的任意传感器阵列时域恒定束宽波束形成,声学学报,2005,vol.30(4),p.309-316”公开的凸优化方法。虽然这类方法很多都适用于任意阵型，但它们未能充分利用圆环形阵列的特性，没有给出精确解析解。文献4“On the design of digital broadband beamformer foruniform circular array with frequency invariant characteristics,IEEE InternationalSymposium on Circuits and Systems(ISCAS),2002,vol.1,p.I-693-I-696”专门针对圆环阵公开了一种简单的恒定束宽波束形成方法，基本原理是利用相位模态理论，将不随频率改变的量分离出来，然后拟合期望波束，得到所需要的恒定束宽波束。该方法虽然简单，但相位模态理论涉及空域采样和级数截断，得到的最终结果不是精确的。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法，解决现有技术操作复杂和不够精确的不足。

技术方案

一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：确定期望波束为水平范围内的二维波束，由圆环形阵列在参考频率理论计算得到，其表达式为：

其中M为阵元个数，(·)^*表示求共轭，p_s(ka,φ)为第s个阵元接收到的从方向φ入射的单位幅度平面波信号，ω_m(k_ra_r)为给定的期望权值向量元素，且需满足

m＝1,2,…,M/2-1；

所述

式中：

a_r为参考圆环形阵列的半径，k_r＝2π/λ_r，λ_r表示参考入射平面波的波长,φ_s＝sβ，β＝2π/M；

所述 $E_m(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{ism\β}}\·p_s(\mathrm{ka},\mathrm{\φ});$

步骤2：计算期望波束与合成波束的最小均方误差： $\mathrm{\δ}\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|{\mathrm{\ω}}_m\left(k_r{a}_r\right)\right|}^2[{\widehat{\mathrm{\λ}}}_m\left(k_r{a}_r\right)-{\left|{\widehat{\mathrm{\λ}}}_m\right|}^2/{\mathrm{\λ}}_m\left(\mathrm{ka}\right)],$ 其中：

和λ_m分别为循环矩阵ρ在参考频率k_ra_r和所要计算频率ka时的特征值，

为循环矩阵

的特征值，满足关系

λ_m＝λ_M-m和

所述 ${\widehat{\mathrm{\λ}}}_m\left(k_r{a}_r\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_s\left(k_r{a}_r\right)e^{\mathrm{ism\β}},{\mathrm{\ρ}}_s\left(k_r{a}_r\right)=J_0(k_r\·{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{sr}});$

所述 ${\mathrm{\λ}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_s\left(\mathrm{ka}\right)e^{\mathrm{ism\β}},{\mathrm{\ρ}}_s\left(\mathrm{ka}\right)=J_0(k\·{\mathrm{\Δr}}_s);$

所述 ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_m=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}}_s{e}^{\mathrm{ism\β}},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}}_s=J_0\left(\sqrt{{\left(k_r{a}_r\right)}^2+{\left(\mathrm{ka}\right)}^2-{2k}_r{a}_r\·\mathrm{ka}\·\cos \left(\mathrm{s\β}\right)}\right);$

式中：J₀(·)是第0阶柱形Bessel函数，Δr_sr＝2a_rsin(sβ/2)和Δr_s＝2asin(sβ/2)分别是参考圆环阵和所要研究的圆环阵各自第m和m'个传感器之间的距离，s＝|m-m′|；

步骤3：计算恒定束宽波束形成器在确定的频带范围内的权值向量，权值向量的第m个元素表达式为：

${\mathrm{\ω}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\frac{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m}{\mathrm{\ω}}_m\left(k_r{a}_r\right)$

构成权值向量为ω＝[ω₀,ω₁,…,ω_M-1]^T，上标T表示转置；

步骤4：根据权值向量的不同形式，采用以下两种方法合成最终波束：

1、直接计算： $B(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})={\mathrm{\ω}}^{H}E(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_m^{*}{E}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})$

2、阵元域计算： $B(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})=w^{H}P(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_m^{*}{P}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})$

其中w＝Vω，V＝[v₀,v₁,…,v_M-1]，P(ka,φ)＝[p₀(ka,φ),p₁(ka,φ),…,p_M-1(ka,φ)]^T为阵列流形向量，v_m＝M^-1/2[1 e^imβ…e^i(M-1)mβ]^T为循环矩阵特征向量且满足关系ka在波束的频率范围内取值，该频率范围根据设计精度，由步骤2得到的最小均方误差曲线δ(ka)确定。

有益效果

本发明提出的一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法，针对均匀圆环形阵列提出一种简单而精确的恒定束宽波束形成器设计方法。该方法利用循环矩阵的特性，给出了圆环阵最小平方误差波束图综合问题的精确解，并将最终合成的波束以及最小平方误差简单地表示为子分量叠加之和。当期望波束转换为适当形式时，可得到恒定束宽波束形成器权值向量的闭式表达式。本发明克服了现有技术操作复杂和不够精确的不足：最优解精确地表示为子分量的叠加和，且有闭式的表达式。

有益效果体现在：

1.本发明无需太大的阵列孔径，阵元数也不要求很多，比文献1的方法简单。

2.本发明给出了使合成波束与期望波束的平方误差最小的精确解，在原理上未作任何近似，没有人为地引入其它误差，比文献4的模态域方法更精确更可靠。

3.当期望波束变换为适当形式，本发明得到了恒定束宽波束形成器权值向量以及最终误差的闭式表达式，而其它文献均难以得到这样的结果。

附图说明

图1：圆环形阵列示意图。

图2：期望波束图。

图3：期望波束与合成波束的最小平方误差随频率的变化关系。

图4：合成的恒定束宽宽带波束图之波束图随频率的变化。

图5：合成的恒定束宽宽带波束图之叠加显示。

图6：常规和合成的恒定束宽波束的指向性指数。

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

本发明适用于均匀圆环形阵列的恒定束宽波束形成器设计方法，给出了均匀圆环阵的最小平方误差波束图综合问题的精确解，并将期望波束转换为适当形式，得到了恒定束宽波束形成器权值向量的闭式表达式。其过程为：

（1）给定期望波束。由于圆环形阵列更多关注的是水平面内波束形成的性能，所以期望波束仅取为水平范围内的二维波束。期望波束由圆环形阵列在参考频率理论计算得到，其表达式为：

$B_d(k_r{a}_r,\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_m^{*}\left(k_r{a}_r\right)E_m(k_r{a}_r,\mathrm{\φ})---\left(1\right)$

其中M为阵元个数，(·)^*表示求共轭，p_s(φ)为第m个阵元接收到的从方向φ入射的单位幅度平面波信号，表达式为：

$p_s\left(\mathrm{\φ}\right)e^{-i{k}_r,a_r\cos (\mathrm{\φ}-{\mathrm{\φ}}_s)},---\left(2\right)$ 式中

a_r为参考圆环形阵列的半径，k_r＝2π/λ_r，λ_r表示参考入射平面波的波长。另外有：

$E_m\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{ism\β}}\·p_s\left(\mathrm{\φ}\right),---\left(3\right)$

β＝2π/M,φ_s＝sβ。ω_m(k_ra_r)为给定的期望权值向量元素，且需满足 ${\mathrm{\ω}}_{M-m}={(-1)}^m{\mathrm{\ω}}_m^{*}(m=\mathrm{1,2},...,M/2-1).$

（2）计算最小平方误差随频率变化的关系，以根据所需要的合成精度确定适用的频带范围。期望波束与合成波束的最小平方误差为：

$\mathrm{\δ}\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|{\mathrm{\ω}}_m\left(k_r{a}_r\right)\right|}^2[{\widehat{\mathrm{\λ}}}_m\left(k_r{a}_r\right)-{\left|{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_m\right|}^2/{\mathrm{\λ}}_m\left(\mathrm{ka}\right)]---\left(4\right)$

其中

和λ_m分别为循环矩阵ρ在参考频率k_ra_r和所要计算频率ka时的特征值，为循环矩阵的特征值，均满足关系

λ_m=λ_M-m和

计算式依次为：

${\widehat{\mathrm{\λ}}}_m\left(k_r{a}_r\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_s(k_r-a_r)e^{\mathrm{ism\β}},{\mathrm{\ρ}}_s\left(k_r{a}_r\right)=J_0(k_r\·{\mathrm{\Δr}}_{\mathrm{sr}}),---\left(5\right)$

${\mathrm{\λ}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_s\left(\mathrm{ka}\right)e^{\mathrm{ism\β}},{\mathrm{\ρ}}_s\left(\mathrm{ka}\right)=J_0(k\·{\mathrm{\Δr}}_s),---\left(6\right)$

${\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_m=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}}_s{e}^{\mathrm{ism\β}},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}}_s=J_0\left(\sqrt{{\left(k_r{a}_r\right)}^2+{\left(\mathrm{ka}\right)}^2-{2k}_r{a}_r\·\mathrm{ka}\·\cos \left(\mathrm{s\β}\right)}\right),---\left(7\right)$

式中J₀(·)是第0阶柱形Bessel函数，Δr_sr＝2a_rsin(sβ/2)和Δr_s＝2asin(sβ/2)分别是参考圆环阵和所要研究的圆环阵各自第m和m'个传感器之间的距离，s＝|m-m′|。

（3）计算恒定束宽波束形成器在确定的频带范围内的权值向量。权值向量第m个元素的表达式为：

${\mathrm{\ω}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\frac{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_m}{{\mathrm{\λ}}_m}{\mathrm{\ω}}_m\left(k_r{a}_r\right)---\left(8\right)$

权值向量为ω＝[ω₀,ω₁,…,ω_M-1]^T，上标T表示转置。

（4）合成最终波束，根据权值向量的不同形式，分为以下两种情况：

a）直接计算式为：

$B(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})={\mathrm{\ω}}^{H}E(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_m^{*}{E}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})---\left(9\right)$

其中E＝[E₀,E₁,,…E_M-1]^T，上标H表示共轭转置；

b）阵元域计算式为：

$B(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})=w^{H}P(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_m^{*}{P}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\φ})---\left(10\right)$

其中w＝Vω，V＝[v₀,v₁,…,v_M-1]，P(ka,φ)＝[p₀(ka,φ),p₁(ka,φ),…,p_M-1(ka,φ)]^T为阵列流形向量，v_m＝M^-1/2[1 e^imβ…e^i(M-1)mβ]^T为循环矩阵特征向量且满足关系

ka在波束的频率范围内取值，该频率范围根据设计精度，由步骤2得到的最小均方误差曲线δ(ka)确定。

注意，a）和b）两种方法合成的结果是一致的，而第一种方法较简单，第二种方法更利于实际操作。

具体实施例如下：

（1）参照图1和2。该圆环形阵列包含M个均匀分布的阵元。由于圆环形阵列更多关注的是水平面内波束形成的性能，所以期望波束仅取为水平范围内的二维波束。期望波束由圆环形阵列在参考频率理论计算得到，其表达式为：

$B_d(k_r{a}_r,\mathrm{\φ})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_m^{*}\left(k_r{a}_r\right)E_m(k_r{a}_r,\mathrm{\φ})---\left(11\right)$

其中M为阵元个数，(·)^*表示求共轭，p_s(φ)为第m个阵元接收到的从方向φ入射的单位幅度平面波信号，表达式为：

$p_s\left(\mathrm{\φ}\right)e^{-i{k}_r,a_r\cos (\mathrm{\φ}-{\mathrm{\φ}}_s)},---\left(12\right)$ 式中

a_r为参考圆环形阵列的半径，k_r＝2π/λ_r，λ_r表示参考入射平面波的波长。另外有：

$E_m\left(\mathrm{\φ}\right)=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{ism\β}}\·p_s\left(\mathrm{\φ}\right),---\left(13\right)$

β＝2π/M,φ_s＝sβ。ω_m(k_ra_r)为给定的期望权值向量元素，且需满足 ${\mathrm{\ω}}_{M-m}={(-1)}^m{\mathrm{\ω}}_m^{*}(m=\mathrm{1,2},...,M/2-1).$

假设期望波束由16元均匀圆环阵计算得到，参考频率为k_ra_r＝3，其权值向量元素ω₀～ω₈列于表1，注意其它元素由关系

直接得到。由式（11）得到的期望波束图的主要特征是旁瓣级均低于-20dB，且有线性递减的趋势。

表1

ω0

ω1

ω2

ω3

ω4

ω5

ω6

ω7

ω8

-0.0721

-0.0548i

-0.0365

0.0538i

0.1129

-0.3079i

-0.9794

4.2747i

25.9878

（2）参照图3。计算最小均方误差随频率变化的关系，以根据所需要的合成精度确定适用的频带范围。

期望波束与设计波束的平方误差表示为δ＝B_d(φ)-B(φ),B_d(φ)-B(φ),符号〈·〉表示 $<x,y>=\frac{1}{2\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}x\left(\mathrm{\&phi;}\right)\&CenterDot;y^{*}\left(\mathrm{\&phi;}\right)\mathrm{d\&phi;}.$ 进一步推导得到：

$\mathrm{\&delta;}\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|{\mathrm{\&omega;}}_m\left(k_r{a}_r\right)\right|}^2[{\widehat{\mathrm{\&lambda;}}}_m\left(k_r{a}_r\right)-{\left|{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_m\right|}^2/{\mathrm{\&lambda;}}_m\left(\mathrm{ka}\right)]---\left(14\right)$

其中

和λ_m分别为循环矩阵ρ在参考频率k_ra_r和所要计算频率ka时的特征值，

为循环矩阵

的特征值，均满足关系

λ_m＝λ_M-m和

计算式依次为：

${\widehat{\mathrm{\&lambda;}}}_m\left(k_r{a}_r\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_s(k_r-a_r)e^{\mathrm{ism\&beta;}},{\mathrm{\&rho;}}_s\left(k_r{a}_r\right)=J_0(k_r\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{sr}}),---\left(15\right)$

${\mathrm{\&lambda;}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_s\left(\mathrm{ka}\right)e^{\mathrm{ism\&beta;}},{\mathrm{\&rho;}}_s\left(\mathrm{ka}\right)=J_0(k\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_s),---\left(16\right)$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_m=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}_s{e}^{\mathrm{ism\&beta;}},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}_s=J_0\left(\sqrt{{\left(k_r{a}_r\right)}^2+{\left(\mathrm{ka}\right)}^2-{2k}_r{a}_r\&CenterDot;\mathrm{ka}\&CenterDot;\cos \left(\mathrm{s\&beta;}\right)}\right),---\left(17\right)$

式中J₀(·)是第0阶柱形Bessel函数，Δr_sr＝2a_rsin(sβ/2)和Δr_s＝2asin(sβ/2)分别是参考圆环阵和所要研究的圆环阵各自第m和m'个传感器之间的距离，s＝|m-m′|。由式（14）知，平方误差只取决于期望权值向量和相关循环矩阵的特征值，并且等于M个子误差之和。

由式（14）计算得到的最小平方误差随频率变化曲线在ka＝3处有一极小值，意味着此时合成波束与期望波束完全重合。在极小值的右侧，误差随频率升高而变大，左侧则相反。如果要保证合成的误差不超过10lg(δ)＝-40dB，则合适的频带范围为ka∈[1,6]。

（3）计算恒定束宽波束形成器在确定的频带范围内的权值向量。权值向量第m个元素的表达式为：

${\mathrm{\&omega;}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_m}{{\mathrm{\&lambda;}}_m}{\mathrm{\&omega;}}_m\left(k_r{a}_r\right)---\left(18\right)$

权值向量为ω＝[ω₀,ω₁,…,ω_M-1]^T，上标T表示转置。

（4）合成最终波束，根据权值向量的不同形式，分为以下两种情况：

a）直接计算式为：

$B(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})={\mathrm{\&omega;}}^{H}E(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_m^{*}{E}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})---\left(19\right)$

其中E＝[E₀,E₁,…,E_M-1]^T，上标H表示共轭转置；

b）阵元域计算式为：

$B(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})=w^{H}P(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_m^{*}{P}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})---\left(20\right)$

其中w＝Vω，V＝[v₀,v₁,…,v_M-1]，P(ka,φ)＝[p₀(ka,φ),p₁(ka,φ),…,p_M-1(ka,φ)]^T为阵列流形向量，v_m＝M^-1/2[1 e^imβ…e^i(M-1)mβ]^T为循环矩阵特征向量且满足关系ka在波束的频率范围内取值，该频率范围根据设计精度，由步骤2得到的最小均方误差曲线δ(ka)确定。

注意，a）和b）两种方法合成的结果是一致的，而第一种方法较简单，第二种方法更利于实际操作。

参照图4和图5以及图6。考虑16元均匀圆环阵，由式（19）合成的波束与期望波束都吻合得很好，它们的波束宽度是恒定的，尤其是主瓣区域。值得强调的是，这里得到的恒定束宽波束是所有能得到的波束中与期望波束的平方误差最小的。另外，恒定束宽波束的指向性指数均在12dB左右，在给定的频率范围内远大于常规方法。这意味着本发明得到了具有超指向性的恒定束宽波束，对于提高系统的目标检测概率和分辨力具有重要意义。

Claims (1)

1.一种圆环形阵列恒定束宽波束形成器设计方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：确定期望波束为水平范围内的二维波束，由圆环形阵列在参考频率理论计算得到，其表达式为：

其中M为阵元个数，(·)^*表示求共轭，p_s(ka,φ)为第s个阵元接收到的从方向φ入射的单位幅度平面波信号，ω_m(k_ra_r)为给定的期望权值向量元素，且需满足

m＝1,2,…,M/2-1；

所述

式中：

a_r为参考圆环形阵列的半径，k_r＝2π/λ_r，λ_r表示参考入射平面波的波长,φ_s＝sβ，β＝2π/M；

所述 $E_m(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})=\frac{1}{\sqrt{M}}\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^{-\mathrm{ism\&beta;}}\&CenterDot;p_s(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;});$

步骤2：计算期望波束与合成波束的最小均方误差： $\mathrm{\&delta;}\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|{\mathrm{\&omega;}}_m\left(k_r{a}_r\right)\right|}^2[{\widehat{\mathrm{\&lambda;}}}_m\left(k_r{a}_r\right)-{\left|{\widehat{\mathrm{\&lambda;}}}_m\right|}^2/{\mathrm{\&lambda;}}_m\left(\mathrm{ka}\right)],$ 其中：和λ_m分别为循环矩阵ρ在参考频率k_ra_r和所要计算频率ka时的特征值，

为循环矩阵

的特征值，满足关系λ_m＝λ_M-m和

所述 ${\widehat{\mathrm{\&lambda;}}}_m\left(k_r{a}_r\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_s\left(k_r{a}_r\right)e^{\mathrm{ism\&beta;}},{\mathrm{\&rho;}}_s\left(k_r{a}_r\right)=J_0(k_r\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_{\mathrm{sr}});$

所述 ${\mathrm{\&lambda;}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&rho;}}_s\left(\mathrm{ka}\right)e^{\mathrm{ism\&beta;}},{\mathrm{\&rho;}}_s\left(\mathrm{ka}\right)=J_0(k\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;r}}_s);$

所述 ${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_m=\underset{s=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}_s{e}^{\mathrm{ism\&beta;}},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}_s=J_0\left(\sqrt{{\left(k_r{a}_r\right)}^2+{\left(\mathrm{ka}\right)}^2-{2k}_r{a}_r\&CenterDot;\mathrm{ka}\&CenterDot;\cos \left(\mathrm{s\&beta;}\right)}\right);$

式中：J₀(·)是第0阶柱形Bessel函数，Δr_sr＝2a_rsin(sβ/2)和Δr_s＝2asin(sβ/2)分别是参考圆环阵和所要研究的圆环阵各自第m和m'个传感器之间的距离，s＝|m-m′|；

步骤3：计算恒定束宽波束形成器在确定的频带范围内的权值向量，权值向量的第m个元素表达式为：

${\mathrm{\&omega;}}_m\left(\mathrm{ka}\right)=\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&lambda;}}}_m}{{\mathrm{\&lambda;}}_m}{\mathrm{\&omega;}}_m\left(k_r{a}_r\right)$

构成权值向量为ω＝[ω₀,ω₁,…,ω_M-1]^T，上标T表示转置；

步骤4：根据权值向量的不同形式，采用以下两种方法合成最终波束：

1、直接计算： $B(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})={\mathrm{\&omega;}}^{H}E(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_m^{*}{E}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})$

2、阵元域计算： $B(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})=w^{H}P(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_m^{*}{P}_m(\mathrm{ka},\mathrm{\&phi;})$

其中w＝Vω，V＝[v₀,v₁,…,v_M-1]，P(ka,φ)＝[p₀(ka,φ),p₁(ka,φ),…,p_M-1(ka,φ)]^T为阵列流形向量，v_m＝M^-1/2[1 e^imβ…e^i(M-1)mβ]^T为循环矩阵特征向量且满足关系

ka在波束的频率范围内取值，该频率范围根据设计精度，由步骤2得到的最小均方误差曲线δ(ka)确定。

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