CN113094904A - 一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法，针对阵列天线波束赋形问题，建立接收信号远场模型，以感兴趣区域的副瓣电平为目标函数，考虑主瓣区间形状控制和输出噪声功率需求，加入主瓣区间电平上下界限制和输出噪声功率约束，建立非凸优化问题，保证了在不增加输出噪声功率的前提下得到期望的波束形状；本发明所采用的一阶迭代凸逼近算法将非凸约束近似为凸上界函数，使得非凸多约束优化问题近似为凸优化问题，易于求解；引入非负松弛变量使得算法收敛速度快，设计自适应变化的惩罚因子减少人为经验的参数调节过程，在保证获得波束方向图期望的主瓣形状前提下，得到的感兴趣区域副瓣电平更低，抑制了该副瓣电平方向的干扰信号。

Description

一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，具体涉及一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化技术。

背景技术

阵列天线广泛的应用于现代雷达、声呐、无线通信等领域。阵列天线的波束赋形技术是指通过设计空域滤波器的复加权系数，得到期望的波束形状，故关于阵列天线波束赋形的优化问题得到了广泛的关注和研究。为了实现对来自空间所需方向有用信号的有效接收以及对其他方向的干扰信号的抑制，期望的波束形状有聚焦波束、宽主瓣波束、低副瓣波束、副瓣置零波束等，因此需要对波束的主瓣电平上下界和副瓣电平上界进行控制约束。此外在实际工程应用中，阵列天线的复加权系数设计需要加入输出滤波器功率的约束，实现有用信号的相干积累和噪声的不相干积累。根据波束赋形的需求得到的数学优化问题通常是非凸的，采用传统的凸优化方法求解该问题是困难的。为了通过设计阵列天线的复加权系数得到期望的波束形状，主要有以下两种方式。

文献“B.Fuchs,Application of convex relaxation to array synthesisproblems,IEEE Trans.Antennas Propag.,vol.62,no.2,pp.634-640,Feb.2014”采用半正定松弛(SemiDefinite Relaxation，SDR)技术最小化副瓣电平，同时考虑主瓣区间电平上下界的约束。然而，该优化问题仅考虑波束的形状，没有考虑实际工程中输出滤波器噪声功率约束，并且需要结合降秩方法使得优化问题满足凸优化的要求，并迭代求解得到满足条件的复加权系数。

文献“J.Liang,X.Fan,H.C.So and D.Zhou,“Array beampattern synthesiswithout specifying lobe level masks,”IEEE Trans.Antennas Propag.,vol.68,no.6,pp.4526-4539,Jun.2020”通过采用交替方向乘子(Alternate Direction Method ofMultipliers，ADMM)算法求解满足不同波束形状需求的波束赋形问题，例如宽主瓣波束赋形。该算法能够将原非凸优化问题分解为多个易于求解的子问题迭代求解，但不能从理论上保证算法的收敛性，并且需要人为经验调节算法中的惩罚因子以得到期望的波束形状。

发明内容

为解决现有技术存在的上述问题，本发明提出一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法。

本发明采用的技术方案为：一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法，包括如下步骤：

S1、建立阵列天线接收信号远场模型；

S2、以感兴趣区域的副瓣电平为目标函数，输出噪声功率和主瓣电平为约束，建立非凸优化问题；

S3、采用一阶迭代凸逼近算法，将非凸约束近似为凸上界函数；

S4、引入非负松弛变量和自适应变化的惩罚因子以保证迭代过程中目标函数的减小趋势，迭代求解优化问题得到阵列天线复加权系数。

进一步的，步骤S2所述目标函数表达式为：

其中，w表示复加权向量，(·)^H表示共轭转置，θ_s,s＝1,2…,S表示感兴趣的副瓣区间离散角度(共S个副瓣角度)，a(θ_s)表示副瓣θ_s方向的导向矢量，|·|表示绝对值；min和max分别表示最小化和最大化；

引入一个上界参数η将目标函数改写为：

输出噪声功率约束表达式为：

w^Hw＝1

主瓣电平约束表达式为：

α(θ_m)≤|w^Ha(θ_m)|²≤β(θ_m),m＝1,2,…,M

其中，θ_m,m＝1,2…,M表示主瓣区间的离散角度(共M个主瓣角度)，a(θ_m)表示主瓣θ_m方向的导向矢量，α(θ_m)和β(θ_m)分别表示主瓣θ_m方向电平的下界和上界；

非凸优化问题为：

进一步的，步骤S3具体为：采用FOICA算法，根据一阶Taylor展开条件，将主瓣电平下界约束和输出噪声功率等式约束近似为凸约束。

进一步的，步骤S4具体为：引入一个非负松弛变量u扩大解空间；引入一个根据松弛变量u进行自适应改变的惩罚因子，保证u单调不增趋于0，并避免人为经验调整参数；采用内点法迭代运算求解，直到满足迭代停止条件，得到最优阵列天线复加权系数。

所述惩罚因子ε₁的迭代表达式为：

其中，(·)^(k)表示第k次迭代的结果，γ₁＜1和γ₂＞1为提前设定的系数。

本发明的有益效果：针对阵列天线波束赋形问题，本发明建立了接收信号远场模型，以感兴趣区域的副瓣电平为目标函数，考虑主瓣区间形状控制和输出噪声功率需求，加入主瓣区间电平上下界限制和输出噪声功率约束，建立非凸优化问题，保证了在不增加输出噪声功率的前提下得到期望的波束形状；相对于原有的求解非凸优化问题的SDR和ADMM算法，本发明所采用的一阶迭代凸逼近(First-Order Iterative Convex Approximation，FOICA)算法将非凸约束近似为凸上界函数，使得非凸多约束优化问题近似为凸优化问题，易于求解；引入的非负松弛变量使得算法收敛速度快，设计自适应变化的惩罚因子可以减少人为经验的参数调节过程，在保证获得波束方向图期望的主瓣形状前提下，得到的感兴趣区域副瓣电平更低，有效抑制该副瓣电平方向的干扰信号。

附图说明

图1为本发明实施例的流程图。

图2为步骤S4的流程图。

图3为本发明实施例1的归一化方向图对比图。

图4为本发明实施例1的复加权系数幅度对比图。

图5为本发明实施例1的复加权系数相位对比图。

图6为本发明实施例2的归一化方向图对比图。

图7为本发明实施例2的零陷深度和时间对比图。

具体实施方式

为便于本领域技术人员理解本发明的技术内容，下面结合附图对本发明内容进一步说明。

如图1所示，本发明提出的一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法，通过以下步骤实现：

S1、建立阵列天线接收信号远场模型。

本实施例中，有N个阵元组成的一维线阵，从θ方向接收的远场回波信号波束函数y(θ)可以表示为：

y(θ)＝|w^Ha(θ)|²

其中，复加权向量w＝[w₁,w₂,…,w_N]^T，(·)^H表示共轭转置，w_n,n＝1,…,N表示第n个阵元的复加权系数；θ方向的导向矢量a(θ)可以表示为：

其中，⊙表示向量对应元素相乘，

g(θ)＝[g₁(θ),g₂(θ),…,g_N(θ)]，g_n(θ),n＝1,2,…,N表示第n个阵元θ方向的辐射系数，当考虑全向天线时，有g_n(θ)＝1,n＝1,2,…,N；

表示不考虑辐射系数的导向矢量，d_n,n＝1,2,…,N表示第n个阵元到参考阵元(例如第一个阵元)的距离，λ＝c/f_c表示中心频率f_c对应的波长，c＝3×10⁸m/s表示光速。

S2、建立目标函数，加入输出噪声功率和主瓣电平约束，满足约束条件的同时最小化目标函数，建立非凸多约束优化问题。

本实施例中，步骤S2通过以下子步骤实现：

S21、建立目标函数；

为了抑制从感兴趣的副瓣方向接收到的干扰信号，本实施例考虑最小化感兴趣区域的副瓣电平，即：

其中，w表示复加权向量，(·)^H表示共轭转置，θ_s,s＝1,2…,S表示感兴趣的副瓣区间离散角度(共S个副瓣角度)，a(θ_s)表示副瓣θ_s方向的导向矢量，|·|表示绝对值；min和max分别表示最小化和最大化。

此外，引入一个上界参数η将目标函数改写为：

S22、计算输出噪声功率约束；

本实施例中考虑高斯白噪声信号n(t)(t表示噪声信号采样时刻)，设输入噪声功率为P_n,in，噪声协方差矩阵R_n表示为：

R_n＝E{n(t)n^H(t)}＝P_n,inΞ

其中，E{·}表示求均值，Ξ表示描述噪声结构的半正定矩阵，在高斯白噪声情况下有Ξ＝I，I表示单位矩阵。

则输出噪声功率P_n,out表示为：

P_n,out＝E{|w^Hn(t)|²}

＝w^HR_nw

＝P_n,inw^Hw

为了不增加输出的噪声功率，有P_n,out＝P_n,in，因此输出噪声功率约束表示为：

w^Hw＝1

S23、计算主瓣电平约束；

在对阵列天线波束赋形时，为约束主瓣区域的形状，加入的主瓣电平约束表示为：

α(θ_m)≤|w^Ha(θ_m)|²≤β(θ_m),m＝1,2,…,M

其中，θ_m,m＝1,2…,M表示主瓣区间的离散角度(共M个主瓣角度)，a(θ_m)表示主瓣θ_m方向的导向矢量，α(θ_m)和β(θ_m)分别表示主瓣θ_m方向电平的下界和上界，是只和θ_m有关的函数，可以根据应用需要人为设定。在实际设置中主要考虑以下三点：

1.当m＝1(只约束主瓣波束指向方向的电平)时，设计聚焦波束；当m∈{1,2,…,M}(∈表示属于，约束多个离散主瓣角度的电平)时，设计宽波束，例如，α(θ_m)＝α,β(θ_m)＝β(α,β表示人为设定的确定的数值)可以设计平顶波束。

2.传统波束形成方法(相位加权

其中，

表述主瓣指向θ₀方向不考虑辐射系数的导向矢量)得到的波束主瓣电平最大，考虑优化后主瓣电平会下降。因此，α(θ_m),β(θ_m)设置的最大值不超过主瓣电平最大值。

3.将主瓣电平设定在一定范围内，方便判断感兴趣区域副瓣电平的深度，即主瓣电平与感兴趣区域副瓣电平的差值。

S24、建立非凸多约束优化问题；

优化问题P₁表示为：

S3、采用一阶迭代凸逼近算法。

本实施例采用一阶迭代凸逼近(FOICA)算法，迭代的求解优化问题P₁。

首先，将优化问题P₁变形为P₂的形式：

其中，R_s＝a(θ_s)a^H(θ_s),s＝1,2,…,S，R_m＝a(θ_m)a^H(θ_m),m＝1,2,…,M。根据非凸约束的定义可知，约束(3)和(4)为非凸约束。

利用一阶泰勒展开条件的凸上界函数，本实施例提出一种一阶迭代凸逼近的算法将优化问题中的非凸约束(3)和(4)近似为凸约束。

以约束(3)为例，约束(3)可以表示为：

α(θ_m)-h(w)≤0

其中，h(w)＝w^HR_mw。

根据Taylor展开条件，h(w)的局部线性化函数表示为：

其中，

表示优化问题P₂的任意一个可行解，

表示求实部，

表示对h(w)求导，o(·)表示正的无穷小量。

由此，可以得到约束(3)的凸上界函数：

在迭代求解优化问题P₂的过程中，假设第(k-1)次迭代后得到了满足优化问题P₂的复加权系数w^(k-1)，则第k次迭代中，非凸约束(3)和(4)可以分别近似为以下凸约束：

因此，采用FOICA算法，在第k次迭代中优化问题可以表示为

S4、引入非负松弛变量和自适应变化的惩罚因子，迭代求解优化问题，得到阵列最优复加权系数。

基于FOICA迭代算法架构，在优化问题

中引入一个非负松弛变量u，扩大解空间；引入一个根据松弛变量u进行自适应改变的惩罚因子，减少人为经验的参数调节过程；采用内点法求解迭代过程中的优化问题

直到满足迭代停止条件；基于FOICA算法求解得到最优阵列天线复加权系数。

如图2所示，在FOICA算法架构下，步骤S4通过以下子步骤实现：

S41、引入松弛变量，扩大解空间；参数初始化；

本实施例中，优化问题

中的约束(4)和约束(5)将优化问题

的解空间限制为w^(k-1)。因此，本发明在优化问题

的约束(4)中引入一个非负松弛变量u扩大解空间，则约束(4)表示为：

其中，非负松弛变量u满足u≥0,u≤u^(k-1)，u^(k-1)表示第(k-1)次迭代得到的u的结果。

S42、自适应更新惩罚因子；内点法求解优化问题；

根据步骤S41，可以将第k次迭代中优化问题

表示为

其中，

为第k次迭代中在目标函数中引入的惩罚因子，并且

是根据下式自适应的改变：

其中，γ₁＜1和γ₂＞1是预设的接近1的系数，例如：γ₁＝0.999,γ₂＝1.001，

表示为第(k-1)次迭代中的惩罚因子，u^(k-2)表示第(k-2)次迭代得到的u的结果。

按照上式自适应的改变

可以保证在迭代过程中u单调不增逐渐趋于0，并且可以避免对惩罚因子依据人为经验调整合适参数。

在每次迭代过程中，凸优化问题

可以采用内点法求得当前迭代的最优解。

S43、判断是否满足预设终止条件，若不满足，回到所述步骤S42；若满足，进入步骤S44；

定义第k次迭代后的残差Δr^(k)为：

Δr^(k)＝|(η′^(k)-η′^(k-1))/η′^(k-1)|

其中，η′^(k-1)表示第(k-1)次迭代后的η′的结果，

为第k次迭代后改善的目标函数。

当残差满足

时，则退出迭代，进入步骤S44。其中，

为预设的最大容忍残差值，例如

当残差小于预设的最大容忍误差时，得到符合约束条件的解。

S44、输出满足迭代停止条件时得到的复加权系数w，作为该阵列天线波束赋形问题最优加权系数。

以下为本发明的两个具体实施例。

实施例1：各向同性均匀线性阵列(Isotropic Uniform Linear Array，IULA)阵元个数为N＝20个，阵元间隔为半波长，阵元辐射系数g_n(θ)＝1，主瓣区间为θ_m＝[15°,25°]，感兴趣的副瓣区域为θ_s＝[-70°,-60°]，主瓣电平上下界约束为α(θ_m)＝7.5dB，β(θ_m)＝8.0dB，自适应改变的惩罚因子

最大容忍误差

γ₁＝0.999,γ₂＝1.001。比较本发明采用的FOICA算法和SDR、ADMM算法，其中，SDR算法中的辅助变量参数δ＝3.95×10^-3，ADMM算法中设置的最大迭代次数为K＝2×10⁴，主瓣和副瓣区域的惩罚因子分别设置为κ＝50,ζ＝10。

图3为采用FOICA、SDR和ADMM三种算法得到的优化复加权系数对应的归一化方向图；图4为采用FOICA、SDR和ADMM三种算法得到的优化复加权系数的幅度分布；图5为采用FOICA、SDR和ADMM三种算法得到的优化复加权系数的相位分布。

归一化的方向图F(θ)表示为：

可以看出，三种方法都满足期望的主瓣区域平顶波束形状，在感兴趣的副瓣区域，本发明提出的FOICA算法得到的该副瓣区域的电平最低，波束赋形效果最好。

实施例2：非各向同性线性随机阵列(Nonisotropic Linear Random Array，NLRA)阵元个数为N＝20个，主瓣考虑一个角度θ_m＝20°，感兴趣的副瓣区域为θ_s＝[-60°,-50°]，主瓣电平上下界约束为α(θ_m)＝-47.43dB，β(θ_m)＝-47.13dB，自适应改变的惩罚因子

最大容忍误差

γ₁＝0.999,γ₂＝1.001，阵元辐射系数函数g_n(θ)表示为：

其中，涉及的辐射源方向和长度参数l_n,ξ_n和阵列间隔d_n的参数设置(d_n,l_n以波长λ为单位，ξ_n以度为单位)如表1所示。

表1

n	d<sub>n</sub>(λ)	l<sub>n</sub>(λ)	ξ<sub>n</sub>(°)	n	d<sub>n</sub>(λ)	l<sub>n</sub>(λ)	ξ<sub>n</sub>(°)
								1	0.00	0.27	-2.70	11	4.92	0.22	4.32
2	0.46	0.29	4.36	12	5.42	0.28	2.63
								3	0.94	0.22	1.83	13	5.88	0.22	3.26
4	1.39	0.21	4.62	14	6.41	0.25	0.73
								5	1.89	0.22	-0.62	15	6.89	0.30	2.93
6	2.42	0.24	4.40	16	7.37	0.24	-1.71
								7	2.93	0.23	-4.92	17	7.89	0.20	-2.77
8	3.39	0.29	1.10	18	8.34	0.22	-1.88
								9	3.85	0.21	3.01	19	8.79	0.24	0.85
10	4.38	0.26	-2.67	20	9.31	0.23	3.30

比较本发明采用的FOICA算法和SDR、ADMM算法，其中，SDR算法中的辅助变量参数δ＝3.8×10^-3，ADMM算法中设置的最大迭代次数为K＝10⁴，主瓣和副瓣区域的惩罚因子分别设置为κ＝18,ζ＝0.1。

图6为采用FOICA、SDR和ADMM三种算法得到的优化复加权系数对应的归一化方向图；图7为采用FOICA、SDR和ADMM三种算法迭代求解过程中的零陷(感兴趣的部分副瓣区域)深度和运行时间对比。图6描述的是描述的是三种算法优化得到的复加权系数根据归一化方向图F(θ)公式得到的方向图结果，三种算法均满足期望的主瓣区域窄波束形状，在感兴趣的副瓣区域，本发明提出的FOICA算法得到的该副瓣区域的电平最低，波束赋形效果最好。图7描述的是三种算法迭代求解过程中的零陷深度和运行时间对比，说明FOICA算法比现有的SDR算法收敛速度快；并且得到的零陷深度比SDR算法得到的零陷深度深26.53dB，比ADMM算法得到的零陷深度深33.34dB，即FOICA算法比现有的SDR、ADMM算法波束赋形效果好。

综上所述，本发明提出的非凸多约束阵列天线波束赋形优化方法，能够满足输出噪声功率约束和主瓣区域形状约束，此外优化得到的复加权系数和现有的求解非凸约束问题的SDR和ADMM算法相比，收敛速度快，得到的感兴趣的副瓣区域的电平更低，有效抑制了从感兴趣的副瓣方向接收的干扰信号。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (4)

1.一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法，包括如下步骤：

S1、建立阵列天线接收信号远场模型；

S2、以感兴趣区域的副瓣电平为目标函数，输出噪声功率和主瓣电平为约束，建立非凸优化问题；

S3、采用一阶迭代凸逼近算法，将非凸约束近似为凸上界函数；

S4、引入非负松弛变量和自适应变化的惩罚因子以保证迭代过程中目标函数的减小趋势，迭代求解优化问题得到阵列天线复加权系数。

2.根据权利要求1所述的一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法，其特征在于，步骤S2所述目标函数表达式为：

其中，w表示复加权向量，(·)^H表示共轭转置，θ_s,s＝1,2…,S表示感兴趣的副瓣区间离散角度(共S个副瓣角度)，a(θ_s)表示副瓣θ_s方向的导向矢量，|·|表示绝对值；min和max分别表示最小化和最大化；

引入一个上界参数η将目标函数改写为：

输出噪声功率约束表达式为：

w^Hw＝1

主瓣电平约束表达式为：

α(θ_m)≤|w^Ha(θ_m)|²≤β(θ_m),m＝1,2,…,M

其中，θ_m,m＝1,2…,M表示主瓣区间的离散角度(共M个主瓣角度)，a(θ_m)表示主瓣θ_m方向的导向矢量，α(θ_m)和β(θ_m)分别表示主瓣θ_m方向电平的下界和上界；

非凸优化问题为：

3.根据权利要求1或2所述的一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法，其特征在于，步骤S3具体为：采用FOICA算法，根据一阶Taylor展开条件，将主瓣电平下界约束和输出噪声功率等式约束近似为凸约束。

4.根据权利要求3所述的一种非凸多约束下的阵列天线波束赋形优化方法，其特征在于，步骤S4具体为：引入一个非负松弛变量u扩大解空间；引入一个根据松弛变量u进行自适应改变的惩罚因子，保证u单调不增趋于0，并避免人为经验调整参数；采用内点法迭代运算求解，直到满足迭代停止条件，得到最优阵列天线复加权系数；

所述惩罚因子ε₁的迭代表达式为：

其中，(·)^(k)表示第k次迭代的结果，γ₁＜1和γ₂＞1为提前设定的系数。

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