CN114048431B - 一种基于协方差矩阵重构和admm的波束形成方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于阵列信号处理技术领域，具体涉及一种基于协方差矩阵重构和ADMM的波束形成方法，本发明基于协方差矩阵重构和ADMM算法，来对自适应波束形成进行稳健处理，在不同输入SNR、不同快拍数和导向矢量失配情况下，本发明方法在运动干扰能力、抗导向矢量角度失配性以及抑制干扰能力都大大提高，可减少主瓣偏移和“自消”现象的产生，实现了最大化输出SINR。

Description

一种基于协方差矩阵重构和ADMM的波束形成方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，具体涉及一种基于协方差矩阵重构和ADMM的波束形成方法。

背景技术

自适应波束形成在声呐、雷达、生物科学中、语音信号处理以及医学工程等领域已经得到了广泛应用，是阵列信号处理领域中的研究热点之一。自适应波束形成算法对导向矢量失配的误差非常敏感，即使很小的导向矢量误差，如方向误差、阵列扰动和运动目标等因素，都会使算法性能急剧下降。另外，当训练数据中含有期望信号时，期望信号可能被当作干扰信号，产生自消现象。传统的波束形成算法在干扰处形成的零陷非常窄，如出现阵列扰动时，必然会导致干扰偏离零陷位置，甚至会导致算法完全失效。因此有必要研究增强算法的稳健性来克服上述问题。

增强算法的稳健性大致可以分为两类：一类是基于协方差矩阵的算法：对角加载(Diagnoal Loading,DL)算法、特征空间算法、以及协方差矩阵重构算法(InterferencePlus Noise,IPN)。DL算法就是在协方差矩阵的对角线上加入一个加载因子，从而抑制权向量中的噪声，但是最优加载因子的选取很难确定。特征空间算法是通过求解协方差矩阵的特征值，并对其进行划分，大特征值对应的导向矢量张成的是期望信号加干扰信号的子空间，小特征值对应导的向矢量张成的则是噪声子空间。再将存在误差的期望信号向期望信号加干扰信号的子空间进行投影，进而消除误差。另一类是对导向矢量进行优化，通常采用CVX工具包，连续二次约束二次规划(Successive Quadratically Constrained QuadraticProgramming,QCQP)技术和半正定松弛技术(Semidefinite Relaxation,SDR)求解。但是这些技术在实际应用中计算量复杂、耗费时间长、计算复杂度高。

于是，将零陷展宽和ADMM技术应用到波束形成中，能够有效提高系统抗运动干扰能力，同时保证导向矢量不失配，从而为波束形成提供一种新的思路。

发明内容

本发明的目的是针对干扰位置发生扰动和目标导向矢量失配的情况，提供一种基于协方差矩阵重构和ADMM的波束形成方法及系统，该方法对自适应波束形成进行零陷展宽和稳健处理，可减少干扰位置移动造成的性能下降和主瓣偏移和“自消”现象的产生，大大提高算法性能，加强波束形成的鲁棒性。

本发明思路：

首先在波束形成器最大输出功率条件下，设计求解最优导向矢量的优化模型。其次，为了展宽零陷并增强系统抗运动干扰能力，利用阵列输出功率及定义的干扰零陷范围重构协方差矩阵；接着，为了求解关于导向矢量的二次不等式约束问题，本发明利用ADMM对模型进行迭代求解，并在每次迭代中获得导向矢量的具体解。

本发明技术方案如下：

一种基于协方差矩阵重构和ADMM的波束形成方法，其特征在于，基于波束形成模型：

其中，

其中，定义d(θ)为θ方向的相关导向矢量，Θ＝[θ_min,θ_max]表示期望信号在定义的区间内，本文假设失配区间小于Θ且与干扰信号角度分离，

表示Θ的补集。

步骤1：利用下式，选定预设干扰范围，对Capon功率谱密度进行积分，重构干扰协方差矩阵。

其中a(θ)为导向矢量，

为重构前的协方差矩阵，Δδ为所需的零陷范围，干扰区域范围

步骤2：对步骤1中的协方差矩阵进行特征分解，选取最小的特征值的平方做为噪声功率，利用下式，重构干扰加噪声的协方差矩阵。

其中，

为噪声功率。

步骤3：基于波束形成模型，利用ADMM求解最优导向矢量。

本步骤进一步包括：

步骤301：计算Ξ和γ，

步骤302：利用下式更新辅助变量h，更新后的h记为hⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的辅助变量；

hⁿ⁺¹＝Ξ^-1γ

步骤303：计算Ω和ξ，

并利用步骤402中公式更新变量a，更新后的a记为aⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的变量；

步骤304：利用下式更新变量z，更新后z的记为zⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的变量；

步骤305：利用下组公式更新变量{s,u,v}，更新后{s,u,v}的记为{sⁿ⁺¹,uⁿ⁺¹,vⁿ⁺¹}，表示经第n次内循环迭代更新后的辅助变量；

uⁿ⁺¹＝uⁿ+(hⁿ⁺¹)^Haⁿ⁺¹-N (23)

vⁿ⁺¹＝vⁿ+hⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹ (24)

步骤306：令迭代次数n＝n+1，重复迭代步骤301～步骤305，直至迭代次数达到预设的最大内循环迭代次数，输出最后的a，再执行步骤4；

步骤4：根据下式，求得最优权矢量，利用最优权矢量对接收信号求和，形成稳健波束。

本发明具有如下优点和有益效果：

本发明基于协方差矩阵重构和ADMM算法，来对自适应波束形成进行稳健处理，在不同输入SNR、不同快拍数和导向矢量失配情况下，本发明方法在运动干扰能力、抗导向矢量角度失配性以及抑制干扰能力都大大提高，可减少主瓣偏移和“自消”现象的产生，实现了最大化输出SINR。

附图说明

图1(a)为INR为10dB时各种算法的波束比较图；

图1(b)为INR为20dB时各种算法的波束比较图；

图1(c)为INR为30dB时各种算法的波束比较图；

图2(a)为估计角度为8°时不同算法的归一化波束比较图；

图2(b)为估计角度为5°时不同算法的归一化波束比较图；

图3(a)为估计角度分别为8°时，仿真实验中不同方法在不同输入SNR下输出SINR分析图；

图3(b)为估计角度分别为5°时，仿真实验中不同方法在不同输入SNR下输出SINR分析图；

图4为仿真实验中不同方法在不同快拍数下输出SINR分析图；

图5为仿真实验中不同方法抗导向矢量角度失配性比较图。

具体实施方式

下面将对本发明实施所基于的相关理论及具体的实施过程进行详细说明，以使本发明的优点和特征能更易于被本领域技术人员理解，从而对本发明的保护范围做出更为清楚明确的界定。

文中涉及运算符号有：(·)^H代表共轭转置运算，(·)^T代表转置运算，E{·}为取期望运算。

(一)信号模型构建

不失一般性，本发明考虑接收端是由N个阵元构成的均匀线性阵列(ULA)，其阵元间距为d，于是窄带波束形成器在k时刻的输出为

y(k)＝w^Hx(k) (1)

其中，w是N×1的加权矢量，(·)^H表示共轭转置，x(k)为阵列接收数据向量，其表示为

其中，A＝[a(θ₀),a(θ₁),…,a(θ_P)]^T为N×(P+1)的阵列流型矩阵，S(k)为信号复包络，P为干扰信号的个数。s₀(k)为期望信号复包络，s_i(k)为干扰信号复包络，a₀(k)和a_i(k)分别为期望信号导向矢量和干扰信号导向矢量，m(k)为噪声矢量。根据ULA，导向矢量可以表示为

a(θ)＝[1,e^{j2πdsinθ/λ},…,e^{j2πd(N-1)sinθ/λ}]^T (3)

假设期望信号、干扰信号和噪声信号皆不相关。则阵列数据协方差矩阵可表示为

其中，E{·}表示统计期望值，

和

分别为期望信号功率、干扰信号功率和噪声功率，I为N维单位矩阵；R_s、R_i和R_i+n分别为期望信号的协方差矩阵、干扰信号的协方差矩阵和干扰加噪声的协方差矩阵。在实际应用中，协方差矩阵R通常由式(5)估计：

于是，根据最小方差无畸变响应(MVDR)波束形成器，即

可得最优权值为

(二)问题描述

本发明研究在限制期望信号方向不收敛于干扰信号方向的条件下，通过重构协方差矩阵以加宽干扰的零陷宽度并提高波束的鲁棒性。同时利用ADMM迭代求解出最优的导向矢量，避免导向矢量失配带来的误差，再次提高波束的鲁棒性。最后利用式(7)，设计最优滤波器，达到输出SINR最大化，以抑制干扰信号和噪声。

结合式(1)，阵列的输出功率为

将式(7)代入式(8)，可以得到

其中，导向矢量a是所需的先验知识，通常是不够准确的，必须尽可能少的利用不准确的先验知识在一定的约束下获得准确的导向矢量。

为了强制要求期望方向的导向矢量不收敛于任何干扰信号及其线性组合相关的导向矢量，本发明考虑期望信号导向矢量不收敛于干扰信号及其线性组合的条件下，最大化阵列输出功率，其数学模型如下

其中，

其中，定义d(θ)为θ方向的相关导向矢量，Θ＝[θ_min,θ_max]表示期望信号在定义的区间内，本发明假设失配区间小于Θ且与干扰信号角度分离，

表示Θ的补集。

式(10)中的第一个约束条件限制了Θ范围内的任何角度的导向矢量a，使其均不收敛于干扰信号及其线性组合相关的导向矢量的方向，且不收敛于定义的区间的补集中任何角度及其线性组合相关的导向矢量。换句话说，Δ₀相当于一个边界线，第二个约束条件保证更新后的导向矢量与实际导向矢量具有相同的范数。

(三)协方差矩阵重构

干扰加噪声的协方差矩阵为

其中，

为Capon算法的空间功率谱。

令干扰区域范围

其中，Δδ为所需的零陷范围，则重构的干扰协方差矩阵为

于是，重构的干扰加噪声协方差矩阵如下

其中，

为噪声功率。本发明选

为对

特征分解对应的最小特征值。

(四)导向矢量优化

观察式(10)可知，该优化问题包含了非凸目标函数和非齐次二次不等式约束，是一个二次不等式约束的二次规划问题(Quadratical Constraint QuadraticProgramming,QCQP)。针对该问题，一般情况下利用半正定规划(SemidefiniteProgramming,SDP)技术，将其转化成松弛问题，从一般秩松弛解中找到唯一秩解；然而，SDP方法在每次转化为松弛问题时，必须判定其局部最优解是否满足全局最优解。

对此，本发明利用ADMM通过迭代求解式(10)，并在每一次迭代过程中求得闭合解。ADMM有两个重要且独特的特征。首先，它将一个凸优化约束问题分解成多个较小的子问题，这些子问题的解被协调以找到全局最优解。这种形式的分解协调过程允许并行或分布式处理。其次，它在参数更新过程中提供了优越的收敛性。

首先，针对式(10)中的不等式约束，引入辅助变量z，将其转化为等式约束，即

为了获得式(16)的有效解，引入辅助变量h，且令h＝a，则式(16)转化为

本发明利用ADMM的缩放形式解决式(17)，并根据ADMM框架，引入辅助变量s，u，v，则式(17)的增广拉格朗日函数为

其中，ρ₁,ρ₂,ρ₃＞0为惩罚系数。

一般来说，在ADMM中，原始变量的更新是通过最小化增广拉格朗日乘子获得的，而拉格朗日乘子的更新是通过对偶上升方法获得。基于式(18)，利用ADMM可通过如下循环方式得到封闭解。在第(n+1)次迭代过程中，{a,h,z,s,u,v}的更新分别如下

uⁿ⁺¹＝uⁿ+(hⁿ⁺¹)^Haⁿ⁺¹-N (23)

vⁿ⁺¹＝vⁿ+hⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹ (24)

下面将具体考虑式(19)、式(20)和式(21)的求解。

1)更新h：

对于给定{aⁿ,zⁿ,sⁿ,uⁿ,vⁿ}，h的更新通过求解以下问题来获得

令

式(25)转化为

为了获得式(26)的最小值，本发明对式(26)求解关于h的一阶导，并使得导数为0，则对式(26)中三项分别求导为

令

解得

hⁿ⁺¹＝Ξ^-1γ (30)

其中，Ξ和γ的定义分别如下

2)更新a：

对于给定{hⁿ⁺¹,zⁿ,sⁿ,uⁿ,vⁿ}，a的更新可以通过求解以下问题来获得

同理，式(33)中三项分别求导为

令

即

解得

aⁿ⁺¹＝Ω^-1ξ (38)

其中，Ω和ξ的定义如下

3)更新z：

对于给定{aⁿ⁺¹,hⁿ⁺¹,sⁿ,uⁿ,vⁿ}，z的更新可以通过求解以下问题来获得

对式(41)求导并令其为0，解得

所以

根据上述求解思路，下面给出本发明基于协方差矩阵重构和ADMM的波束形成方法及系统的具体步骤：

S1：利用式(10)强制要求干扰方向的导向矢量不收敛于期望方向，建立波束形成模型。

S2：利用式(14)，选定预设干扰范围，对Capon功率谱密度进行积分，重构干扰协方差矩阵。

S3：对协方差矩阵进行特征分解，选取最小的特征值的平方做为噪声功率，利用式(15)，重构干扰加噪声的协方差矩阵，特征分解基于以下执行：

[V,D]＝eig(Rx)；

DD＝diag(D)；

[DDidx]＝sort(DD,&apos；descend&apos；)；％按从大往小排序特征值

nn＝min(DD)；

S4：根据式(10)，利用ADMM求解最优导向矢量。

本步骤进一步包括：

S401：利用式(31)和式(32)，计算Ξ和γ，利用式(30)更新辅助变量h，更新后的h记为hⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的辅助变量；

S402：利用式(39)和式(40)，计算Ω和ξ，利用式(30)更新变量a，更新后的a记为a^{n +1}，表示经第n次内循环迭代更新后的变量；

S403：利用式(42)更新变量z，更新后z的记为zⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的变量；

S404：利用式(22)～(24)更新变量{s,u,v}，更新后{s,u,v}的记为{sⁿ⁺¹,uⁿ⁺¹,v^{n +1}}，表示经第n次内循环迭代更新后的辅助变量；

S405：令n＝n+1，重复迭代S401～S404，直至迭代次数达到预设的最大内循环迭代次数，输出最后的a，再执行步骤S5；

S5：根据式(7)，求得最优权矢量，利用最优权矢量对接收信号求和，形成稳健波束。

(五)仿真实验

为考察本发明方法的综合性能，将本发明(本发明所提算法)与下列现有方法做对比仿真试验：对角加载(DL)、协方差矩阵求逆(SMI)、协方差矩阵重构、导向矢量估计。实验中阵元数为N＝10，输入SNR＝10dB，两个干扰的预设零陷宽度分别为Δδ₁＝8°和Δδ₂＝5°；假设实际期望方向角度为θ₀＝10°，期望信号采样区域Θ为

干扰信号的实际方位角为θ_i1＝-40°、θ_i2＝70°，干扰信号采样区域为[θ_i1-8°,θ_i1+8°]、[θ_i2-5°,θ_i2+5°]。采样点数均为100，所有结果均由100次独立的蒙特卡洛实验统计获得。

图1(a)、图1(b)、图1(c)为仿真实验中不同方法在不同INR下各种算法的零陷高度及展宽效果。

参见图1(a)、图1(b)、图1(c)，给出了在不同的INR情况下不同算法的波束图比较。首先，从图1(a)中可以看出所有算法均可以在干扰处形成零陷，但是DL法和导向矢量估计的算法没有展宽零陷的效果，并且导向矢量估计的算法没有准确的指向干扰方向70°，无法准确的抑制干扰。而SMI算法、协方差矩阵重构的算法和本发明提出的算法均可以在零陷处进行展宽。从图1(a)、图1(b)、图1(c)可以看出，在不同的INR值下，SMI算法的零陷加深和展宽效果都随着INR的值增大逐渐加深，但是指向的干扰角度发生了偏移；协方差矩阵重构的算法随着INR值越大，零陷的加深效果越好；本发明所提算法在不同的INR值下，零陷加深效果随着INR的增大略有增大，受INR的影响小，且本发明所提算法的零陷加深效果均优于SMI算法和协方差矩阵重构的算法，并且可以精确到所控制的零陷范围。综上可知，本发明算法抗干扰扰动性能优于所有对比算法。

图2(a)、图2(b)为仿真实验中不同方法在存在指向误差时，不同算法的归一化波束图比较；其中，图2(a)、图2(b)的估计角度分别为8°和5°；

在该实验中，当前实际期望方向角度为θ₀＝10°，假设估计的期望方向角度为θ₀＝8°和θ₀＝5°，INR＝10dB。图2(a)、图2(b)给出了在不同失配角度情况时波束图比较。从图2(a)、图2(b)可以看出，当失配角度为8°时，协方差矩阵重构的算法指向8.5°，有一定的矫正效果，但是SMI和DL算法产生“自消”现象，在实际期望信号方向产生零陷；而本发明所提算法主瓣波束指向实际期望角度10°，且旁瓣较低；当失配角度为5°时，导向矢量估计算法和协方差矩阵重构的算法分别指向5.5°和7°，有一定的矫正效果，SMI算法和DL算法在实际期望方向形成零陷；而本发明算法依旧指向实际期望角度10°。综上可知，本发明算法还是很好的提高了抗系统误差的鲁棒性。

图3(a)、图3(b)为仿真实验中不同方法在不同输入SNR下输出SINR分析图，其中，图3(a)、图3(b)的估计角度分别为8°和5°；

图3(a)、图3(b)对比分析了不同输入SNR对输出SINR的影响。可以看出SMI和DL算法无法解决导向矢量失配的问题，所以性能远偏离了理论最优值，导向矢量估计的算法、协方差矩阵重构的算法和本文提出的算法可以进行导向矢量的校正，因此在估计角度为8°和5°时，输出的SNIR性能都比较好，但是由于导向矢量估计的算法单从噪声空间进行投影，因此在高信噪比时，输出的SINR变化较小。在输入SNR大于30dB时，性能急剧恶化，而协方差矩阵重构的算法可以准确的抑制干扰信号，校正失配导向矢量的能力也比导向矢量估计的算法强，故而输出的SINR大于导向矢量估计的算法，本文算法在输入高SNR的情况下，依旧可以准确抑制和加宽干扰零陷，并且主瓣波束依然能够准确指向真实方向，故而输出SINR的值较高。本文提出的算法在低输入SNR的情况下性能较为一般，但是在失配角较大时，对比其他算法性能较为不错。综上可知，本文提出的算法在角度失配和干扰扰动情况下，可保持其稳定性，性能优于其他算法。

图4为仿真实验中不同方法在不同快拍数下输出SINR分析图；

当前实际期望方向角度为θ₀＝10°，估计的期望方向角度为

两个干扰零陷的宽度分别为8°和5°，输入SNR＝30dB。图4给出了输出SINR随快拍数变化情况。由图4可知，本文所提算法明显优于其余对比算法，在低快拍数的情况下，也能输出高SINR，且是最接近理论最优值的。相较于本文提出的算法，协方差矩阵重构的算法在低快拍数时也收敛了，但是与最优理论值的差别较大。导向矢量估计的算法和SMI算法均在快拍数大于30时趋近收敛，导向矢量估计的算法输出SINR高于SMI算法。DL算法受快拍影响较大。

图5为仿真实验中不同方法抗导向矢量角度失配性比较图。

当前实际期望方向角度为θ₀＝10°，输快拍数N＝100，两个干扰零陷的宽度分别为8°和5°，输入SNR＝30dB，失配角度从-8°到8°进行变化，每种快拍数进行100次的独立实验。当失配角度较大时，本算法依旧可以输出接近最优值的SINR。协方差矩阵重构的算法虽然也输出高SINR，当失配角度大于3°时，协方差矩阵重构的算法输出SINR开始下降，在失配角度大于5°时，协方差矩阵重构的算法明显下降。导向矢量估计的算法在未发生角度失配时输出较高的SINR，但是总体在角度失配大于3°时输出SINR就开始明显下降。SMI算法和DL算法完全没有校正导向矢量失配的性能。本文所提算法均可校正导向矢量，并且输出接近最优值的信噪比。

以上所述仅为本发明的实施例，并非因此限制本发明的保护范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于协方差矩阵重构和ADMM的波束形成方法，其特征在于，基于波束形成模型：

其中，

其中，定义d(θ)为θ方向的相关导向矢量，Θ＝[θ_min,θ_max]表示期望信号在定义的区间内，假设失配区间小于Θ且与干扰信号角度分离，

表示Θ的补集；

步骤1：利用下式，选定预设干扰范围，对Capon功率谱密度进行积分，重构干扰协方差矩阵

其中a(θ)为导向矢量，

为重构前的协方差矩阵；

步骤2：对步骤1中的协方差矩阵进行特征分解，选取最小的特征值的平方作为噪声功率，利用下式，重构干扰加噪声的协方差矩阵；

其中，

为噪声功率；

步骤3：基于波束形成模型，利用ADMM求解最优导向矢量；

步骤4：根据下式，求得最优权矢量，利用最优权矢量对接收信号求和，形成稳健波束；

步骤3进一步包括：

步骤301：计算Ξ和γ，

步骤302：利用下式更新辅助变量h，更新后的h记为hⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的辅助变量；

hⁿ⁺¹＝Ξ^-1γ

步骤303：计算Ω和ξ，

并利用步骤302中公式更新变量a，更新后的a记为aⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的变量；

步骤304：利用下式更新变量z，更新后z的记为zⁿ⁺¹，表示经第n次内循环迭代更新后的变量；

步骤305：利用下组公式更新变量{s,u,v}，更新后{s,u,v}的记为{sⁿ⁺¹,uⁿ⁺¹,vⁿ⁺¹}，表示经第n次内循环迭代更新后的辅助变量；

uⁿ⁺¹＝uⁿ+(hⁿ⁺¹)^Haⁿ⁺¹-N(7)

vⁿ⁺¹＝vⁿ+hⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹(8)

步骤306：令迭代次数n＝n+1，重复迭代步骤301～步骤305，直至迭代次数达到预设的最大内循环迭代次数，输出最后的a，再执行步骤4。

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