CN101908889B - 一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法 - Google Patents

Abstract

一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法，它涉及压缩感知技术领域，具体涉及对块稀疏信号的重构方法。本发明通过初始化块稀疏度k，对每一个块稀疏信号的迭代，找到信号支撑集的一个子集，随着不断迭代，块稀疏度随之增加，最后找到整个源信号x的支撑集，从而达到重构源信号x的目的，本发明采用多次迭代并修正支撑集的思想来重构信号，重构的精度高，与现有的块稀疏度匹配追踪以及正交匹配追踪方法相比，对块稀疏信号的重构概率大，不存在过匹配现象。且本发明不需要以块稀疏度作为先验知识，尤其适用于块稀疏度未知信号重构领域。

Description

一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法

技术领域

本发明涉及压缩感知技术领域，具体涉及对块稀疏信号的重构方法。

背景技术

传统的信号采样理论是基于奈奎斯特采样定理，即：为保证不丢失源信号的信息，实现无失真恢复源信号，采样率至少需要两倍信号带宽。这对于宽带模拟信号的数字化往往需要很高的采样率，增加了物理器件的负担。且对于数据量很大的信号，存储容量和处理速度都受到进一步限制。

压缩感知（Compressed Sensing，CS）是2004年提出的一个全新的信号采样理论，其思想是对稀疏信号能以远低于奈奎斯特采样率的速度对信号进行全局观测，然后通过适当的重构算法从观测信号中重构出源信号。CS理论将传统的对信号的采样转化成了对信息的采样，把采样和压缩结合成一步对信号进行编码，极大地降低信号的采样频率及数据存储和传输代价，显著地降低信号处理时间和计算成本。由于其特殊的性质，CS理论在信源编码、数据挖掘、雷达信号处理、医学信号处理以及图像处理等领域有广泛的应用前景。

目前块稀疏信号的重构方法主要有混合l ₂/l ₁优化（Mixed l ₂/l ₁ Optimization Program, L-OPT）算法，块稀疏匹配追踪（Block-sparse Matching Pursuit, BMP）算法，块稀疏正交匹配追踪（Block-sparse Orthogonal Matching Pursuit, BOMP）算法。L-OPT算法是基于混合型范数的凸优化算法，其复杂度较高；BMP算法和BOMP算法一旦找到匹配原子后便不再改变，所以容易造成过匹配现象，且这些算法都需要块稀疏度K作为先验知识，而在实际中却很难得到块稀疏度K。

发明内容

本发明为了解决现有的块稀疏信号匹配追踪类重构方法存在过匹配现象，并且在未知块稀疏度K时无法重构的问题，提出一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法。

本发明方法的具体过程如下：

采集获得源信号x的观测信号为y，观测信号y表示为y ^T =[y ₁, y ₂, y ₃……, y _m ]，其中m为观测信号y的长度，

步骤一、稀疏信号压缩感知重构过程初始化：设定初始化块稀疏度k，                                                

，K为源信号x的块稀疏度，，初始化测量矩阵

，设定迭代误差err，分块向量Group，分块向量Group如下表示：

其中，d为分块向量Group的子块长度，设定残差初始值r ₀=y，恢复矩阵

，步长step=1，信号支撑集大小S=k，源信号x的重构向量

；

步骤二、计算获得与残差r _l-1最匹配的子空间i _l ，其中r _l-1表示第l-1次迭代产生的残差，i _l 表示第l次迭代的最匹配的子空间，

，具体过程为：

即测量矩阵

每一块的转置与上一次迭代的残差r _l-1进行乘积操作后，对每一块的d个数据分别取绝对值后，再求获得的d个绝对值的平均值，最后从获得的M个平均值中选择最大的S个值的标号赋值给所述最匹配的子空间i _l ，i _l 的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1,2,…,M；

步骤三、将步骤二获得的最匹配的子空间i _l 中对应的测量矩阵

的列向量组成的矩阵

与上一次迭代获得的恢复矩阵

的并集赋值给初始恢复矩阵

：

；

步骤四、计算获得第l次迭代与观测信号y最匹配的子空间t _l ，

，具体过程为：

其中矩阵中j为

的分块标号，为的伪逆矩阵，即矩阵的每一块与观测信号y进行乘积操作后，对每一块的d个数据分别取绝对值后，再将获得的d个绝对值求平均值，最后从获得的多个平均值中选择最大的S个值的标号赋值给所述最匹配的子空间t _l ，t _l 的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1,2,…,M；

步骤五、将步骤四获得的最匹配的子空间t _l 中多个分组号所对应的测量矩阵

中的列向量组成的矩阵

赋值给恢复矩阵

：

；

步骤六、计算本次迭代的残差r _l ：

；

其中

为

的伪逆矩阵；

步骤七、判断

成立与否，其中表示2-范数；

如果成立，则令step= step+1，S= step×S，然后执行步骤八；如果不成立，则直接执行步骤八；

步骤八、令l=l+1，返回执行步骤二，直到迭代次数l大于分组数M，或者残差小于算法迭代误差err时，迭代结束，执行步骤九；

步骤九、输出源信号x的重构向量

，重构向量

为：

，

完成对源信号x的压缩感知重构。

本发明通过初始化块稀疏度k，对每一个块稀疏信号的迭代，找到信号支撑集的一个子集，随着不断迭代，块稀疏度随之增加，最后找到整个源信号x的支撑集，从而达到重构源信号x的目的，本发明采用多次迭代并修正支撑集的思想来重构信号，重构的精度高，与现有的块稀疏度匹配追踪方法以及正交匹配追踪方法相比，对块稀疏信号的重构概率大，不存在过匹配现象。且本发明不需要以块稀疏度作为先验知识，尤其适用于块稀疏度未知信号重构领域。

附图说明

图1为压缩感知基本模型的示意图。图2为观测信号幅度为高斯分布信号的重构概率对比图。图3为观测信号幅度为二值信号的重构概率对比图。

具体实施方式

[0010] 具体实施方式一、结合图1说明本实施方式，一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法，具体过程如下：

采集获得源信号x的观测信号为y，观测信号y表示为y ^T =[y ₁, y ₂, y ₃……, y _m ]，其中m为观测信号y的长度，

步骤一、稀疏信号压缩感知重构过程初始化：设定初始化块稀疏度k，

，K为源信号x的块稀疏度，

，初始化测量矩阵

，设定迭代误差err，分块向量Group

，分块向量Group如下表示：

其中，d为分块向量Group的子块长度，设定残差初始值r ₀=y，恢复矩阵，步长step=1，信号支撑集大小S=k，源信号x的重构向量

；

步骤二、计算获得与残差r _l-1最匹配的子空间i _l ，其中r _l-1表示第l-1次迭代产生的残差，i _l 表示第l次迭代的最匹配的子空间，

，具体过程为：

即测量矩阵

每一块的转置与上一次迭代的残差r _l-1进行乘积操作后，对每一块的d个数据分别取绝对值后，再求获得的d个绝对值的平均值，最后从获得的M个平均值中选择最大的S个值的标号赋值给所述最匹配的子空间i _l ，i _l 的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1,2,…,M；

步骤三、将步骤二获得的最匹配的子空间i _l 中对应的测量矩阵

的列向量组成的矩阵

与上一次迭代获得的恢复矩阵

的并集赋值给初始恢复矩阵

：

；

步骤四、计算获得第l次迭代与观测信号y最匹配的子空间t _l ，

，具体过程为：

其中矩阵

中j为

的分块标号，为

的伪逆矩阵，即矩阵的每一块与观测信号y进行乘积操作后，对每一块的d个数据分别取绝对值后，再将获得的d个绝对值求平均值，最后从获得的多个平均值中选择最大的S个值的标号赋值给所述最匹配的子空间t _l ，t _l 的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1,2,…,M；

步骤五、将步骤四获得的最匹配的子空间t _l 中多个分组号所对应的测量矩阵中的列向量组成的矩阵赋值给恢复矩阵

：

；

步骤六、计算本次迭代的残差r _l ：

；

其中

为的伪逆矩阵；

步骤七、判断

成立与否，其中

表示2-范数；

如果成立，则令step= step+1，S= step×S，然后执行步骤八；如果不成立，则直接执行步骤八；

步骤八、令l=l+1，返回执行步骤二，直到迭代次数l大于分组数M，或者残差小于算法迭代误差err时，迭代结束，执行步骤九；

步骤九、输出源信号x的重构向量，重构向量

为：

，

完成对源信号x的压缩感知重构。

压缩感知处理信号的基本模型如下：

其中：            

表示信号的0-范数，即信号值不为0的个数。为测量矩阵，且m<<N。在拥有了观测信号y和测量矩阵

的情况下，可以用0-范数意义下的优化问题来重构或逼近源信号x。

考虑另外一种类型的稀疏信号-块稀疏信号（Block-sparse Signal），如下所示：

其中N=M×d，x[l],（l=1,…,M）为一子块（Sub-block）。当d=1时，块稀疏退化成公式一所描述的一般意义下的稀疏。如果向量x称为块K稀疏信号，则x[l],（l=1,…,M）至多有K个不为0的欧几里德（Euclidean）范数，定义：

其中                 

所以，向量x称为块K稀疏信号，则满足

。

初始化块稀疏k的选取应该满足

，K为源信号x的真实块稀疏度，一般地，可以选k为较小的值，当k=1时是最安全的选择，k值的大小和算法运行的效率有关，k越大本发明的效率越高。

具体实施方式二、本实施方式是对具体实施方式一的进一步说明，步骤一中初始化块稀疏度k=1，迭代误差err=10^-5，测量矩阵

服从高斯分布。

具体实施方式三、本实施方式是对具体实施方式二的进一步说明，测量矩阵，其中

，

为测量矩阵

的归一化列向量，

，

为原始测量矩阵的列向量，表示2-范数。

具体实施方式四、结合图2和图3说明本实施方式，本实施方式是将本发明方法和混合l ₂/l ₁优化（Mixed l ₂/l ₁ Optimization Program, L-OPT）算法、块稀疏匹配追踪（Block-sparse Matching Pursuit, BMP）算法、块稀疏正交匹配追踪法（Block-sparse Orthogonal Matching Pursuit, BOMP）分别应用于块稀疏信号的重构，并计算每一种方法的重构概率进行对比。

仿真实验按以下步骤进行：

首先、随机产生一个高斯分布测量矩阵

，给定分块向量Group的分组数目M以及块稀疏度K，随机选定K个分块，分别在这K个块上赋值得到所需的仿真观测信号y（幅度采用高斯分布或0-1信号）；

然后、观测信号，利用上述4种重构方法得到重构信号

，若则重构成功；

最后、对每种重构方法运行500次，并计算重构概率。

本实验过程中，观测信号y幅值分别采用高斯分布的信号和0-1的二值信号进行实验。测量矩阵行数m=80，列数N=160，分组数M=20，源信号x的块稀疏度K=1,2,…,12，计算每种算法在不同K值下的重构概率，并绘制重构概率随块稀疏度的变化曲线。实验结果如图2和图3所示所示：图2为观测信号y幅值为高斯分布信号的实验结果，图2中

为曲线1，为本发明的方法的重构概率曲线，为曲线2，为BMP方法的重构概率曲线，

曲线3，为BOMP方法的重构概率曲线，曲线4，为L-OPT方法的重构概率曲线，图3为观测信号y幅值为0-1二值信号的实验结果，图3中

为曲线5，为本发明的方法的重构概率曲线，

为曲线6，为BMP方法的重构概率曲线，

曲线7，为BOMP方法的重构概率曲线，

曲线8，为L-OPT方法的重构概率曲线。

从图2和图3中可见，无论对于哪类块稀疏信号，本发明方法的重构概率比L-OPT方法都有大幅提高；对于幅值为高斯分布的信号，本发明方法略高于BMP和BOMP方法，而对于0-1的二值信号，本发明方法的重构概率有显著提高，因此本发明方法尤其适用于实际中的脉冲、黑白图像类等二值信号。

Claims (3)

1.一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法，其特征在于具体过程如下：

采集获得源信号x的观测信号为y，观测信号y表示为y^T＝[y₁，y₂，y₃……，y_m]，其中m为观测信号y的长度，

步骤一、稀疏信号压缩感知重构过程初始化：设定初始化块稀疏度k，1≤k≤K，K为源信号x的真实块稀疏度，

初始化测量矩阵

设定迭代误差err，分块向量

分块向量Group如下表示：

其中，d为分块向量Group的子块长度，设定残差初始值r₀＝y，恢复矩阵

步长step＝1，信号支撑集大小S＝k，源信号x的重构向量

步骤二、计算获得与残差r_l-1最匹配的子空间i_l，其中r_l-1表示第l-1次迭代产生的残差，i_l表示第l次迭代的最匹配的子空间，l∈{1，2，...，M}，具体过程为：

$i_l=\arg \underset{S}{\max }\left(\mathrm{mean}\left(\right|{\mathrm{\&Phi;}}^T\left[i\right]r_{l-1}\left|\right)\right)$

即测量矩阵Φ每一块的转置与上一次迭代的残差r_l-1进行乘积操作后，对每一块的d个数据分别取绝对值后，再求获得的d个绝对值的平均值，最后从获得的M个平均值中选择最大的S个值的标号赋值给所述最匹配的子空间i_l，i_l的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1，2，...，M；

步骤三、将步骤二获得的最匹配的子空间i_l中对应的测量矩阵Φ的列向量组成的矩阵

与上一次迭代获得的恢复矩阵T_l-1的并集赋值给初始恢复矩阵

${\tilde{T}}_l=T_{l-1}\&cup;{\mathrm{\&Phi;}}_{i_l};$

步骤四、计算获得第l次迭代与观测信号y最匹配的子空间t_l，l∈{1，2，...，M}，具体过程为：

$t_l=\arg \underset{S}{\max }\left(\mathrm{mean}\left(\right|{\mathrm{\&Phi;}}_{{\tilde{T}}_l}^{+}\left[j\right]y\left|\right)\right)$

其中矩阵

中j为

的分块标号， ${\mathrm{\&Phi;}}_{{\tilde{T}}_l}^{+}={\left({\mathrm{\&Phi;}}_{{\tilde{T}}_l}^T{\mathrm{\&Phi;}}_{{\tilde{T}}_l}\right)}^{-1}{\mathrm{\&Phi;}}_{{\tilde{T}}_l}^T$ 为

的伪逆矩阵，即矩阵

的每一块与观测信号y进行乘积操作后，对每一块的d个数据分别取绝对值后，再将获得的d个绝对值求平均值，最后从获得的多个平均值中选择最大的S个值的标号赋值给所述最匹配的子空间t_l，t_l的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1，2，...，M；

步骤五、将步骤四获得的最匹配的子空间t_l中多个分组号所对应的测量矩阵Φ中的列向量组成的矩阵赋值给恢复矩阵T_l：

$T_l={\mathrm{\&Phi;}}_{t_l};$

步骤六、计算本次迭代的残差r_l：

$r_l=y-{\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}\left({\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}^{+}y\right);$

其中

为

的伪逆矩阵；

步骤七、判断||r_l||₂≥||r_l-1||₂成立与否，其中||·||₂表示2-范数；

如果成立，则令step＝step+1，S＝step×S，然后执行步骤八；如果不成立，则直接执行步骤八；

步骤八、令l＝l+1，返回执行步骤二，直到迭代次数l大于分组数M，或者残差小于算法迭代误差err时，迭代结束，执行步骤九；

步骤九、输出源信号x的重构向量

重构向量

为：

$\tilde{x}={\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}^{+}y,$

完成对源信号x的压缩感知重构。

2.根据权利要求1所述的一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法，其特征在于步骤一中初始化块稀疏度k＝1，迭代误差err＝10^-5，测量矩阵

服从高斯分布。

3.根据权利要求2所述的一种块稀疏度未知的稀疏信号压缩感知重构方法，其特征在于测量矩阵

其中

j∈{1，2，...，N}为测量矩阵Φ的归一化列向量，

φj为原始测量矩阵的列向量。

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