CN103684472B - 一种基于压缩感知的1‑Bit稀疏度自适应信号重构方法 - Google Patents

Abstract

一种基于压缩感知的1‑Bit稀疏度自适应信号重构方法，涉及1‑Bit稀疏度自适应信号重构方法。解决了现有1‑Bit稀疏度自适应信号重构方法所需要的信号稀疏度在实际测量中获得困难，导致信号重构过程复杂的问题。该信号重构方法利用信号本身的稀疏特性，自适应的估计出信号的稀疏度，克服了现有的1‑Bit信号重构方法对信号稀疏度的依赖问题，同时，在缺少信号稀疏度的前提下，使得在信号重构过程的复杂度降低了10%以上，但是重构效果没有影响，与需要已知的信号稀疏度的信号重构方法相比，具有更高的实用性。本发明适用于对1‑Bit稀疏度自适应信号进行重构。

Description

一种基于压缩感知的1-Bit稀疏度自适应信号重构方法

技术领域

本发明涉及1-Bit稀疏度自适应信号重构方法。

背景技术

传统的采样理论要求信号的采样速率为信号最高频率的两倍，即采样过程必须满足奈奎斯特采样定理，才能精确的恢复原信号。近几年有人提出压缩感知理论，该理论针对稀疏信号或某变换域内稀疏的信号，运用线性变换将信号投影到低维空间，然后通过非线性解码高概率的恢复原始信号。压缩感知理论充分利用信号的稀疏特性，来降低采样速率。在实际应用中，信号的压缩采集必然要进行量化处理，有限的量化精度会引入量化误差。1-Bit压缩感知是将压缩观测值进行极限量化处理，通过保留观测值的符号信息，缓解硬件压力，提高存储效率。目前，1-Bit压缩感知的信号重构方法主要有迭代信号重构方法、贪心信号重构方法和信赖域信号重构方法等。其中，迭代信号重构方法中的二进制迭代硬阈值信号重构方法(Binary Iterative Hard Thresholding BIHT)的重构原理简单，便于理解，计算复杂度低和重构效果较好。虽然BIHT信号重构方法具有出色的重构效果，但是该信号重构方法要求信号的稀疏度已知，而这在实际测量中是很难实现的。

信号的稀疏性是压缩感知理论应用的前提。假设实值离散时间信号是N×1维列向量。空间的任何信号都可以用N×1维的规范正交基向量的线性组合表示。则α在一组正交基下进行展开，即：

$\mathrm{\α}={\mathrm{\Σ}}_i^N{x}_i{\mathrm{\ψ}}_i$

向量可构成正交基矩阵则上式可以写为如下形式：

α＝Ψx

其中系数向量x＝[x₁,x₂,…,x_N]^T。信号α在正交基Ψ下的系数向量x中最多含有K个非零元素，则称向量x为信号α的稀疏表示，即x＝Ψ^Tα。

在传统压缩感知理论中，稀疏信号x经过观测矩阵Φ的压缩观测之后，可以仅由M＝O(Klog(N/K))＜＜N个观测值求解如下方程恢复出来。

$\hat{x}=\arg min\left|\right|x|{|}_{0}s.t.y=\mathrm{\Φ}x$

其中Φ为观测矩阵，为重构信号。在现实环境中，观测值y必须经过量化处理后，才能进行数字处理，进而恢复信号。量化处理会带来误差，用n表示量化误差，则有：

y＝Q(Φx)＝Φx+n

1-Bit压缩感知是对观测值进行量化处理的一种极限情况，即仅保留观测值的符号信息。量化处理是通过电压比较器实现的，通常比较电压为零。1-Bit压缩感知量化模型可写为

y＝sign(Φx)

由观测值向量y可构成M×M的对角矩阵Y＝diag(y)。根据符号一致性原理，可得YΦx≥0。1-Bit压缩感知仅保留观测值的符号，信号的幅度信息丢失，重构模型用l₁范数作为衡量信号稀疏性标准。为了确保得到非零解，并克服幅度不确定性问题，在单位l₂球面上重构信号。1-Bit压缩感知重构模型为：

$\hat{x}=\arg min\left|\right|x|{|}_{1}s.t.Y\mathrm{\Φ}x\≥0and|\left|x\right|{|}_2=1$

根据以上1-Bit模型恢复原信号x的信号重构方法中存在对信号稀疏度过度依赖的问题。信号稀疏度K作为信号精确重构的先验知识，但是在实际测量中，信号的稀疏度往往是未知的，因此，寻求一种信号重构方法，不需要信号的稀疏度作为先验信息，是实际测量中必须要解决的问题。

发明内容

本发明为了解决现有1-Bit稀疏度自适应信号重构方法所需要的信号稀疏度在实际测量中获得困难，导致信号重构过程复杂的问题，提出了一种基于压缩感知的1-Bit稀疏度自适应信号重构方法。

本发明提出的一种基于压缩感知的1-Bit稀疏度自适应信号重构方法包括以下步骤：

步骤一、设定各参数的初始状态值：初始稀疏信号x₀＝0，初始残差r₀＝y，y为观测值向量，初始迭代次数t＝1，最大迭代次数为iterNum，信号估计稀疏度L＝s，s为步长，1≤s≤10，

步骤二、根据公式x_t＝x_t-1+αΦ^Tr_t-1计算稀疏信号x_t，并保留前L个最大元素，其余元素设置为零，Φ为M×N维的观测矩阵，α＝1，

步骤三、根据公式r_t＝y-sign(Φx_t)计算残差r_t，

步骤四、计算两个相邻重建信号的能量差，若满足||x_t-x_t-1||₂≤ε，ε∈(4,5)，执行步骤七，若不满足||x_t-x_t-1||₂≤ε，执行步骤五，

步骤五、比较两个相邻重建信号的残差，若满足||r_t||₂≥||r_t-1||₂，则执行步骤六，若不满足||r_t||₂≥||r_t-1||₂，则执行步骤七，

步骤六、增加稀疏度L＝L+s，重置稀疏信号x_t＝x₀，执行步骤九，

步骤七、更新信号x_t-1＝x_t，

步骤八、更新残差r_t-1＝r_t，

步骤九、更新迭代次数t＝t+1，

步骤十、判断迭代次数t是否小于最大迭代次数iterNum或残差r_t是否为零，若满足迭代次数t小于最大迭代次数iterNum或残差r_t为零中的任意一个或两者同时满足，则执行步骤十一，若同时不满足迭代次数t小于最大迭代次数iterNum或残差r_t为零，则返回执行步骤二，

步骤十一、根据公式对稀疏信号xt进行归一化，得到重构信号

有益效果：本发明所述的信号重构方法利用信号本身的稀疏特性，自适应的估计出信号的稀疏度，克服了现有的1-Bit信号重构方法对信号稀疏度的依赖问题，同时，本发明所述的信号重构方法在缺少信号稀疏度的前提下，使得在信号重构过程的复杂度降低了10％以上，但是重构效果没有影响，与需要已知的信号稀疏度的信号重构方法相比，本发明所述的信号重构方法具有更高的实用性。

附图说明

图1为具体实施方式一所述的一种基于压缩感知的1-Bit稀疏度自适应信号重构方法的流程图；

图2为本发明所述的信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值随机分布、处于不同稀疏水平时的的稀疏信号的重构信噪比曲线图；

图3为本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布(0-1分布)的信号在不同稀疏水平下，观测值个数逐渐增加时的重构信噪比曲线图；

图4为本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布(0-1分布)的信号在观测值个数不同、稀疏度水平逐渐增加时，精确重构信号稀疏位置的概率曲线图；

图5为本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布的稀疏信号在观测值个数为300时的重构所需迭代次数曲线图；

图6为本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布的稀疏信号在观测值个数为500时的重构所需迭代次数曲线图。

具体实施方式

具体实施方式一、本具体实施方式所述的一种基于压缩感知的1-Bit稀疏度自适应信号重构方法包括以下步骤：

步骤一、设定各参数的初始状态值：初始稀疏信号x₀＝0，初始残差r₀＝y，y为观测值向量，初始迭代次数t＝1，最大迭代次数为iterNum，信号估计稀疏度L＝s，s为步长，1≤s≤10，

步骤二、根据公式x_t＝x_t-1+αΦ^Tr_t-1计算稀疏信号x_t，并保留前L个最大元素，其余元素设置为零，Φ为M×N维的观测矩阵，α＝1，

步骤三、根据公式r_t＝y-sign(Φx_t)计算残差r_t，

步骤四、计算两个相邻重建信号的能量差，若满足||x_t-x_t-1||₂≤ε，ε∈(4,5)，执行步骤七，若不满足||x_t-x_t-1||₂≤ε，执行步骤五，

步骤五、比较两个相邻重建信号的残差，若满足||r_t||₂≥||r_t-1||₂，则执行步骤六，若不满足||r_t||₂≥||r_t-1||₂，则执行步骤七，

步骤六、增加稀疏度L＝L+s，重置稀疏信号x_t＝x₀，执行步骤九，

步骤七、更新信号x_t-1＝x_t，

步骤八、更新残差r_t-1＝r_t，

步骤九、更新迭代次数t＝t+1，

步骤十、判断迭代次数t是否小于最大迭代次数iterNum或残差r_t是否为零，若满足迭代次数t小于最大迭代次数iterNum或残差r_t为零中的任意一个或两者同时满足，则执行步骤十一，若同时不满足迭代次数t小于最大迭代次数iterNum或残差r_t为零，则返回执行步骤二，

步骤十一、根据公式对稀疏信号x_t进行归一化，得到重构信号

为验证本发明所述信号重构方法的重构效果，将本发明所述的信号重构方法和二进制迭代硬阈值(Binary Iterative Hard Thresholding，BIHT)信号重构方法作对比试验：分别应用于1-Bit压缩感知信号重构中，分别比较重构信号与原信号之间的信噪比SNR、重构概率。实验过程中，分别采用由幅值随机均匀分布的N维稀疏信号和幅值伯努利分布的N维稀疏信号进行试验：给定稀疏信号向量长度N，稀疏度K，本发明所述信号重构过程中为盲重构(信号稀疏度未知)，而BIHT信号重构方法重构过程中信号稀疏度K已知。

对于幅值随机分布的稀疏信号和幅值伯努利分布的稀疏信号维数N＝256、稀疏度K依次为20，40，60，观测值个数M依次取50,100，…，600。试验中均假定实验信号不含噪声，将BIHT信号重构方法与本发明所述信号重构方法分别运行100次，计算每种信号重构方法的平均信噪比，重构概率和重构所需的迭代次数，SNR值越大重构效果越好，重构概率越大重构效果越好，迭代次数越小重构复杂度越低。重构概率是指稀疏信号与重构信号非零元素的位置精确一致的概率，通过计算总的重构概率与总实验次数的比值获得，用公式计算输入信号x与重构信号之间的SNR值，由于两种信号重构方法每次迭代的计算复杂度均为O(MN)，因此可以用迭代次数作为衡量信号重构方法复杂度的标准。

实验结果如图2至图5所示，其中图2是本发明所述的信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值随机分布、处于不同稀疏水平时的的稀疏信号的重构信噪比曲线图，图3是本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布(0-1分布)的信号在不同稀疏水平下，观测值个数逐渐增加时的重构信噪比曲线图；图4是本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布(0-1分布)的信号在观测值个数不同、稀疏度水平逐渐增加时，精确重构信号稀疏位置的概率曲线图，图5是本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布的稀疏信号在观测值个数为300时的重构所需迭代次数曲线图，图6是本发明所述信号重构方法与BIHT信号重构方法分别对仿真幅值伯努利分布的稀疏信号在观测值个数为500时的重构所需迭代次数曲线图。图2至图4中带标记的曲线为采用本发明所述信号重构方法在信号稀疏度K＝20时的重构结果曲线，带标记的曲线为采用本发明所述信号重构方法在信号稀疏度K＝40时的重构结果曲线，带标记的曲线为采用本发明所述信号重构方法在信号稀疏度K＝60时的重构结果曲线，带标记的曲线为采用BIHT信号重构方法在信号稀疏度K＝20时的重构结果曲线，带标记的曲线为采用BIHT信号重构方法在信号稀疏度K＝40时的重构结果曲线，带标记的曲线为采用BIHT信号重构方法在信号稀疏度K＝60时的重构结果曲线。图5和图6中A曲线为采用本发明所述信号重构方法的重构所需迭代次数曲线，B曲线为采用BIHT信号重构方法的重构所需迭代次数曲线。从实验结果分析，对于幅值随机分布的稀疏信号和幅值伯努利分布的稀疏信号，本发明所述信号重构方法的重构效果与BIHT信号重构方法的重构效果相当，但是本发明所述信号重构方法的优势在于不需要信号的稀疏度作为先验条件，在减少重构条件的情况下，保证了较好的重构效果，减小了重构过程中的复杂度，从而使本发明所述信号重构方法在实际应用中具有更高的实用性能。

Claims (1)

1.一种基于压缩感知的1-Bit稀疏度自适应信号重构方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤一、设定各参数的初始状态值：初始稀疏信号x₀＝0，初始残差r₀＝y，y为观测值向量，初始迭代次数t＝1，最大迭代次数为iterNum，信号估计稀疏度L＝s，s为步长，1≤s≤10，

步骤二、根据公式x_t＝x_t-1+αΦ^Tr_t-1计算稀疏信号x_t，并保留前L个最大元素，其余元素设置为零，Φ为M×N维的观测矩阵，α＝1，

步骤三、根据公式r_t＝y-sign(Φx_t)计算残差r_t，

步骤四、计算两个相邻重建信号的能量差，若满足||x_t-x_t-1||₂≤ε，ε∈(4,5)，执行步骤七，若不满足||x_t-x_t-1||₂≤ε，执行步骤五，

步骤五、比较两个相邻重建信号的残差，若满足||r_t||₂≥||r_t-1||₂，则执行步骤六，若不满足||r_t||₂≥||r_t-1||₂，则执行步骤七，

步骤六、增加稀疏度L＝L+s，重置稀疏信号x_t＝x₀，执行步骤九，

步骤七、更新信号x_t-1＝x_t，

步骤八、更新残差r_t-1＝r_t，

步骤九、更新迭代次数t＝t+1，

步骤十、判断迭代次数t是否小于最大迭代次数iterNum或残差r_t是否为零，若满足迭代次数t小于最大迭代次数iterNum或残差r_t为零中的任意一个或两者同时满足，则执行步骤十一，若同时不满足迭代次数t小于最大迭代次数iterNum或残差r_t为零，则返回执行步骤二，

步骤十一、根据公式对稀疏信号x_t进行归一化，得到重构信号