CN101908890B - 分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法 - Google Patents

分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法 Download PDF

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Abstract

分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，它涉及压缩感知技术领域，它解决了目前块稀疏信号的重构方法需要分块大小以及块稀疏度作为先验知识的问题。该方法通过初始化块稀疏度和分块大小，对每一个分块大小，算法进行块稀疏度自适应迭代，找到每一个分块大小对应的重构信号。随着算法不断迭代，分块大小随之增加，直至算法得到的重构信号0-范数小于测量矩阵行数时算法结束，把此重构信号作为算法输出。若不满足此条件，则算法运行至：在分块大小小于等于信号长度一半时，分块大小和块稀疏度的乘积大于等于信号长度，迭代结束，得到一系列重构信号，最后利用0-范数稀疏度量准则筛选出最稀疏的信号作为算法最终输出。本发明可用于块稀疏信号的压缩感知技术领域。

Description

分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法
技术领域
本发明涉及压缩感知技术领域，具体涉及一种对块稀疏信号的重构方法。
背景技术
传统的信号采样理论是基于奈奎斯特采样定理，即：为保证不丢失源信号的信息，实现无失真恢复源信号，采样率至少需要两倍信号带宽。这对于宽带模拟信号的数字化往往需要很高的采样率，增加了物理器件的负担。且对于数据量很大的信号，存储容量和处理速度都受到进一步限制。
压缩感知（Compressed Sensing，CS）是2004年提出的一个全新的信号采样理论，其思想是对稀疏信号能以远低于奈奎斯特采样率的速度对信号进行全局观测，然后通过适当的重构算法从观测信号中重构出源信号。CS理论将传统的对信号的采样转化成了对信息的采样，把采样和压缩结合成一步对信号进行编码，极大地降低信号的采样频率及数据存储和传输代价，显著地降低信号处理时间和计算成本。由于其特殊的性质，CS理论在信源编码、数据挖掘、雷达信号处理、医学信号处理以及图像处理等领域有广泛的应用前景。
如图4所示，压缩感知处理信号的基本模型为                                               
Figure 864865DEST_PATH_IMAGE001
，其中，
Figure 510610DEST_PATH_IMAGE002
，
Figure 760326DEST_PATH_IMAGE003
表示信号的0-范数，即信号值不为0的个数。
Figure 309381DEST_PATH_IMAGE004
为测量矩阵，且m<<N。在拥有了观测向量y和测量矩阵
Figure 681457DEST_PATH_IMAGE005
的情况下，可以用0-范数意义下的优化问题来重构或逼近源信号x。
考虑另外一种类型的稀疏信号-块稀疏信号（Block-sparse Signal），其定义如下：
Figure 814498DEST_PATH_IMAGE006
，其中N=Md，x[l],（l=1,…,M）为一子块（Sub-block）。当d=1时，块稀疏退化成公式一所描述的一般意义下的稀疏。如果向量x称为块K稀疏信号，则x[l],（l=1,…,M）至多有K个不为0的欧几里德（Euclidean）范数，定义：
Figure 930221DEST_PATH_IMAGE007
，其中，
Figure 770001DEST_PATH_IMAGE008
，所以，向量x称为块K稀疏信号，则满足
Figure 873830DEST_PATH_IMAGE009
。
目前基于块稀疏信号的重构算法主要有混合l 2/l 1优化（Mixed l 2/l 1 Optimization Program, L-OPT）算法，块稀疏匹配追踪（Block-sparse Matching Pursuit, BMP）算法，块稀疏正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）算法。L-POT算法是基于范数的算法，利用凸优化求解，复杂度较高，BMP算法和BOMP算法属于贪婪算法，这两种算法一旦找到匹配原子后便不再改变，所以容易造成过匹配现象，且这些算法都需要分块大小d或者块稀疏度K等作为先验知识，这在实际中却很难得到。
发明内容
本发明的目的是解决目前块稀疏信号的重构方法需要分块大小以及块稀疏度大小作为先验知识的问题，提供了一种分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法。
分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，它的具体过程如下：
步骤一、获得块稀疏信号x的观测信号y，且y
Figure 228588DEST_PATH_IMAGE010
；令Φ表示测量矩阵，且；初始化块稀疏度k，初始化块大小d，初始化残差r 0=y，初始化恢复矩阵
Figure 842289DEST_PATH_IMAGE011
，初始化步长step=1，初始化信号支撑集大小S=k，初始化迭代次数l=1；
步骤二、根据分块大小d，将测量矩阵Φ分为M个子块，用
Figure 119949DEST_PATH_IMAGE012
表示第i个子块；
步骤三、令
Figure 227582DEST_PATH_IMAGE013
，i=1,2,…,M；
步骤四、根据由i l 对应的S个子块组成的矩阵
Figure 269398DEST_PATH_IMAGE014
，获得
Figure 880508DEST_PATH_IMAGE015
：
Figure 30867DEST_PATH_IMAGE016
；
步骤五、令
Figure 360217DEST_PATH_IMAGE017
，其中，
Figure 857319DEST_PATH_IMAGE018
中的j等于该公式中
Figure 526198DEST_PATH_IMAGE015
的各个分块标号，令恢复矩阵T l 为：
Figure 847458DEST_PATH_IMAGE019
；计算残差
Figure 398525DEST_PATH_IMAGE020
：
Figure 463433DEST_PATH_IMAGE021
；然后判断
Figure 547670DEST_PATH_IMAGE022
是否成立：若是，则令step= step+1，再令S= step×S，然后执行步骤六；否则，直接执行步骤六；
步骤六、判断l是否大于M：若是，则执行步骤八；否则，执行步骤七；
步骤七、判断残差r l 是否小于算法迭代误差err：若是，则执行步骤八；否则，令l=l+1，然后返回执行步骤三；
步骤八、根据
Figure 774252DEST_PATH_IMAGE023
获得重构向量
Figure 78195DEST_PATH_IMAGE024
，并将每次获得的重构向量保存在集合X中，然后令d=d+1，判断
Figure 681214DEST_PATH_IMAGE024
的0-范数是否小于m：若是，则执行步骤十；否则，执行步骤九；
步骤九、判断d×S≥N与d≤N/2是否同时成立：若是，则执行步骤十一；否则，返回执行步骤二；
步骤十、将此时的
Figure 622888DEST_PATH_IMAGE024
作为最终的重构向量输出，从而实现对块稀疏信号的盲重构；
步骤十一、在集合X中，筛选获得0-范数最小的向量，作为最终的重构向量输出，从而实现对块稀疏信号的盲重构。
本发明的积极效果：本发明通过初始化块稀疏度和分块大小，对每一个分块大小，算法进行块稀疏度自适应迭代，找到每一个分块大小对应的重构信号。随着算法不断迭代，分块大小随之增加，直至算法得到的重构信号0-范数小于测量矩阵行数时算法结束，并把此重构信号作为算法最后的输出。若不满足此条件，则算法运行至：在分块大小小于等于信号长度一半时，分块大小和块稀疏度的乘积大于等于信号长度，迭代结束，得到一系列重构信号，最后利用0-范数稀疏度量准则筛选出最稀疏的信号作为算法最终输出。本发明不需要源信号的块稀疏度以及分块大小作为先验知识，从迭代的结果中寻找最优解，实现对块稀疏信号的盲重构。
附图说明
图1为本发明的盲重构方法的流程图；图2为幅值为高斯分布的信号时，应用三种方法分别得到的重构概率随块稀疏度的变化曲线图；图3为采用0-1二值信号时，应用三种方法分别得到的重构概率随块稀疏度的变化曲线图；图4为压缩感知处理信号的基本模型图。
具体实施方式
具体实施方式一：本实施方式的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，它的具体过程如下：
步骤一、获得块稀疏信号x的观测信号y，且y
Figure 285950DEST_PATH_IMAGE010
；令Φ表示测量矩阵，且
Figure 811610DEST_PATH_IMAGE004
；初始化块稀疏度k，初始化块大小d，初始化残差r 0=y，初始化恢复矩阵
Figure 156003DEST_PATH_IMAGE011
，初始化步长step=1，初始化信号支撑集大小S=k，初始化迭代次数l=1；
步骤二、根据分块大小d，将测量矩阵Φ分为M个子块，用
Figure 716298DEST_PATH_IMAGE012
表示第i个子块；
步骤三、令
Figure 783217DEST_PATH_IMAGE013
，i=1,2,…,M；
该公式的意义即：先获得
Figure 61752DEST_PATH_IMAGE025
与的乘积，得到一个
Figure 421375DEST_PATH_IMAGE027
的向量，这个向量的N个元素按照分块向量的分块方式划分成M块，然后找到第i个（i=1,2,…,M）块对应的那些数，对那些数求绝对平均值，可得到M个绝对平均值，从M个绝对平均值中取最大的S个值，然后把对应的一系列子块序号i存入i l 。
举例说明步骤三的过程：
假设测量矩阵为：
Figure 98344DEST_PATH_IMAGE028
，则：
Figure 100060DEST_PATH_IMAGE029
；
假设残差为
Figure 848573DEST_PATH_IMAGE030
，并设
Figure 117881DEST_PATH_IMAGE031
，则
Figure 293647DEST_PATH_IMAGE032
即是把
Figure 218878DEST_PATH_IMAGE033
按照上面的方式分成M块，然后找到第i个块对应的那些数，对那些数求绝对平均值，得到M个绝对平均值，从M个绝对平均值中取最大的S个值，然后把这S个值对应的一系列子块序号i存入i l  。
步骤四、根据由i l 对应的S个子块组成的矩阵
Figure 4038DEST_PATH_IMAGE014
，获得：
Figure 802415DEST_PATH_IMAGE016
；
步骤五、令
Figure 513145DEST_PATH_IMAGE017
，其中，
Figure 603461DEST_PATH_IMAGE018
中的j等于该公式中的各个分块标号，矩阵
Figure 302612DEST_PATH_IMAGE034
为矩阵
Figure 264752DEST_PATH_IMAGE035
的伪逆矩阵，
Figure 391715DEST_PATH_IMAGE036
。令恢复矩阵T l 为：
Figure 427804DEST_PATH_IMAGE019
；计算残差
Figure 116274DEST_PATH_IMAGE020
：
Figure 300131DEST_PATH_IMAGE021
；然后判断
Figure 732249DEST_PATH_IMAGE022
是否成立：若是，则令step= step+1，再令S= step×S，然后执行步骤六；否则，直接执行步骤六；
步骤六、判断l是否大于M：若是，则执行步骤八；否则，执行步骤七；
步骤七、判断残差r l 是否小于算法迭代误差err：若是，则执行步骤八；否则，令l=l+1，然后返回执行步骤三；
步骤八、根据
Figure 888424DEST_PATH_IMAGE023
获得重构向量
Figure 249260DEST_PATH_IMAGE024
，并将每次获得的重构向量保存在集合X中，作为集合X的最后一个元素保存，然后令d=d+1，判断
Figure 920413DEST_PATH_IMAGE024
的0-范数是否小于m：若是，则执行步骤十；否则，执行步骤九；
步骤九、判断d×S≥N与d≤N/2是否同时成立：若是，则执行步骤十一；否则，返回执行步骤二；
步骤十、将此时的
Figure 890643DEST_PATH_IMAGE024
作为最终的重构向量输出，从而实现对块稀疏信号的盲重构；
步骤十一、在集合X中，筛选获得0-范数最小的向量，作为最终的重构向量输出，从而实现对块稀疏信号的盲重构。
本发明的主要思想是通过初始化块稀疏度和分块大小，对每一个分块大小，算法进行块稀疏度自适应迭代，找到每一个分块大小对应的重构信号。随着算法不断迭代，分块大小随之增加，直至算法得到的重构信号0-范数小于测量矩阵行数时算法结束，并把此重构信号作为算法最后的输出。若不满足此条件，则算法运行至：在分块大小小于等于信号长度一半时，分块大小和块稀疏度的乘积大于等于信号长度，迭代结束，得到一系列重构信号，最后利用0-范数稀疏度量准则筛选出最稀疏的信号作为算法最终输出。本发明不需要源信号的块稀疏度以及分块大小作为先验知识，因此对于实际中块稀疏信号的压缩感知问题具有很重要的实际意义。本发明的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，从迭代的结果中寻找最优解，实现对块稀疏信号的盲重构，并且能够有效解决BMP算法以及BOMP算法的过匹配问题，出错概率极低。
具体实施方式二：本实施方式是对实施方式一的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法的进一步说明，步骤一中所述的块稀疏度k初始化的范围为
Figure 901324DEST_PATH_IMAGE037
，其中K为源信号的真实块稀疏度。
具体实施方式三：本实施方式是对实施方式二的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法的进一步说明，块稀疏度k初始化为1。
具体实施方式四：本实施方式是对实施方式一、二或三的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法的进一步说明，步骤一中所述的块大小d初始化的范围为
Figure 931597DEST_PATH_IMAGE038
，其中D为源信号的真实分块大小。
具体实施方式五：本实施方式是对实施方式四的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法的进一步说明，块大小d初始化为1。
具体实施方式六：本实施方式是对实施方式一至五中的任意一种分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法的进一步说明，步骤一中所述的测量矩阵
Figure 588581DEST_PATH_IMAGE004
服从高斯分布，且测量矩阵的每一列均已经过幅度归一化处理，即：
，
    其中，为测量矩阵的列向量。
具体实施方式七：本实施方式是对实施方式一至六中的任意一种分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法的进一步说明，步骤二的具体过程为：     根据分块大小d，获得分块向量Group，即：
Figure 74609DEST_PATH_IMAGE041
；
然后根据分块向量Group，将测量矩阵Φ分为M个子块，其中第i个子块为
Figure 153686DEST_PATH_IMAGE012
，且当i=1,2,…, M-1时，
Figure 138960DEST_PATH_IMAGE012
Figure 511035DEST_PATH_IMAGE042
，当i=M时，
Figure 378497DEST_PATH_IMAGE012
Figure 494220DEST_PATH_IMAGE043
。
其中，分块向量Group中共包含N个元素，所述N个元素依次为d个1、d个2、…、d个M-1以及[N-(M-1)×d]个M。
具体实施方式八：本实施方式是对实施方式一至七中的任意一种分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法的进一步说明，步骤七中所述的算法迭代误差err为10-5。
将本发明方法和混合l 2/l 1优化（Mixed l 2/l 1 Optimization Program, L-OPT）算法、块稀疏匹配追踪（Block-sparse Matching Pursuit, BMP）算法、块稀疏正交匹配追踪法（Block-sparse Orthogonal Matching Pursuit, BOMP）分别应用于块稀疏信号的重构，并计算每一种方法的重构概率进行对比，具体如下：
(a)、随机产生一个高斯分布测量矩阵
Figure 894853DEST_PATH_IMAGE004
，给定分块大小D以及块稀疏度K，随机选定K个分块，分别在这K个块上赋值得到所需的仿真测试信号（幅度采用高斯分布或0-1信号）；
(b)、通过公式
Figure 375512DEST_PATH_IMAGE001
得到观测信号y，利用每种重构算法得到重构信号，若
Figure 649685DEST_PATH_IMAGE044
则重构成功；
(c)、对每种重构算法运行500次，并计算重构概率。
本实验过程中，分别采用幅值为高斯分布的信号和0-1的二值信号进行实验。测量矩阵行数m=80，列数N=160，分块大小D=8，源信号的块稀疏度K=1,2,…,12，计算每种算法在不同K值下的重构概率，并绘制重构概率随块稀疏度的变化曲线，实验结果如图2和图3所示，图2为幅值为高斯分布的信号实验结果，图3为0-1的二值信号实验结果，其中，图2和图3中，“
Figure 671868DEST_PATH_IMAGE045
”为应用本发明方法得到的曲线，“
Figure 323429DEST_PATH_IMAGE046
”为应用块稀疏匹配追踪算法（BMP）得到的曲线，“
Figure 666948DEST_PATH_IMAGE047
” 为应用块稀疏正交匹配追踪法（BOMP）得到的曲线，“
Figure 124474DEST_PATH_IMAGE048
”为应用混合l 2/l 1优化算法（L-OPT）得到的曲线。从图2和图3中可见，无论对于哪类块稀疏信号，本发明方法的重构概率比其他三种方法都有提高；因为本发明方法从迭代的结果中寻找最优解，且解决了过匹配问题，大大降低了出错的概率。

Claims (7)

1.分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，其特征在于它的具体过程如下：
步骤一、获得块稀疏信号x的观测信号y，且
Figure FDA00001949568200011
令Φ表示测量矩阵，且初始化块稀疏度k，初始化块大小d，初始化残差r0=y，初始化恢复矩阵
Figure FDA00001949568200013
初始化步长step=1，初始化信号支撑集大小S＝k，初始化迭代次数l＝1；
步骤二、根据分块大小d，将测量矩阵Φ分为M个子块，用Φ[i]表示第i个子块；
步骤三、令 i l = arg max S ( mean ( | &Phi; T [ i ] r l - 1 | ) ) , i = 1,2 , . . . , M ;
步骤四、根据由il对应的S个子块组成的矩阵
Figure FDA00001949568200015
获得
Figure FDA00001949568200016
T ~ l = T l - 1 &cup; &Phi; i l ;
步骤五、令 t l = arg max S ( mean ( | &Phi; T ~ l + [ j ] y | ) ) , 其中，
Figure FDA00001949568200019
中的j等于该公式中
Figure FDA000019495682000110
的各个分块标号，令恢复矩阵Tl为：
Figure FDA000019495682000111
计算残差rl：
Figure FDA000019495682000112
然后判断‖rl‖2≥‖rl-1‖2是否成立：若是，则令step=step+1，再令S＝step×S，然后执行步骤六；否则，直接执行步骤六；
步骤六、判断l是否大于M：若是，则执行步骤八；否则，执行步骤七；
步骤七、判断残差rl是否小于算法迭代误差err：若是，则执行步骤八；否则，令l=l+1，然后返回执行步骤三；
其中，算法迭代误差err为10-5；
步骤八、根据获得重构向量
Figure FDA000019495682000114
并将每次获得的重构向量保存在集合X中，然后令d＝d+1，判断
Figure FDA000019495682000115
的0-范数是否小于m：若是，则执行步骤十；否则，执行步骤九；
步骤九、判断d×S≥N与d≤N/2是否同时成立：若是，则执行步骤十一；否则，返回执行步骤二；
步骤十、将此时的
Figure FDA000019495682000116
作为最终的重构向量输出，从而实现对块稀疏信号的盲重构；
步骤十一、在集合X中，筛选获得0-范数最小的向量，作为最终的重构向量输出，从而实现对块稀疏信号的盲重构。
2.根据权利要求1所述的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，其特征在于步骤一中所述的块稀疏度k初始化的范围为1≤k≤K，其中K为源信号的真实块稀疏度。
3.根据权利要求2所述的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，其特征在于块稀疏度k初始化为1。
4.根据权利要求1所述的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，其特征在于步骤一中所述的块大小d初始化的范围为1≤d≤D，其中D为源信号的真实分块大小。
5.根据权利要求4所述的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，其特征在于块大小d初始化为1。
6.根据权利要求1所述的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，其特征在于步骤一中所述的测量矩阵服从高斯分布，且测量矩阵的每一列均已经过幅度归一化处理，即：
其中，
Figure FDA00001949568200023
为测量矩阵Φ的列向量。
7.根据权利要求1所述的分块大小未知的块稀疏信号的盲重构方法，其特征在于步骤二的具体过程为：
根据分块大小d，获得分块向量Group，即：
Figure FDA00001949568200024
然后根据分块向量Group，将测量矩阵Φ分为M个子块，其中第i个子块为Φ[i]，且当i＝1,2，...,M-1时，
Figure FDA00001949568200025
当i＝M时，
Figure FDA00001949568200026
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