CN101895297B - 一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法 - Google Patents

Abstract

一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法，具体涉及一种块稀疏信号的重构算法，解决决现有采用块稀疏信号的重构算法中的混合l ₂/l ₁优化算法优化复杂度较高、块稀疏匹配追踪算法或是正交匹配追踪算法容易造成过匹配现象的问题。本发明所述的方法：通过第l次迭代对第l-1次迭代运算出的恢复矩阵

的列向量在测量矩阵中的标号进行修正，且对于一个块稀疏度为K的稀疏信号x，不超过K次迭代即可重构块稀疏信号x。本发明适用于块稀疏信号的重构，尤其适用于二值块稀疏信号的重构。

Description

一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法

技术领域

本发明属于压缩感知技术领域，具体涉及一种块稀疏信号的重构算法。

背景技术

传统的信号采样理论是基于奈奎斯特采样定理，即：在进行模拟信号向数字信号转换的过程中，为保证源信号的信息不丢失，无失真地恢复源信号，采样频率应大于该模拟信号中最高频率的2倍。这使得宽带模拟信号的数字化需要很高的采样频率，增加了物理器件的负担。而且，对于数据量大的信号，对处理器的存储容量和处理速度都将有更高的要求。

压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论是近几年提出的一个全新的信号采样理论，其思想是对稀疏信号能以远低于奈奎斯特采样频率的速度对源信号进行全局观测，通过适当的重构算法从观测信号中重构出源信号。CS理论将传统的对信号的采样转化成对信息的采样，把采样和压缩结合成一步对信号进行编码，极大地降低了信号的采样频率及数据存储和传输代价，显著地降低信号处理时间和计算成本。由于其特殊的性质，CS理论在信源编码、数据挖掘、雷达信号处理、医学信号处理以及图像处理等领域有广泛的应用前景。

目前基于块稀疏信号的重构算法主要分为三种：

一、混合l ₂/l ₁优化（Mixed l ₂/l ₁ Optimization Program, L-OPT）算法；

二、块稀疏匹配追踪（Block-sparse Matching Pursuit, BMP）算法；

三、块稀疏正交匹配追踪（Block-sparse Orthogonal Matching Pursuit, BOMP）算法。

采用混合l ₂/l ₁优化算法作为块稀疏信号的重构算法，存在优化复杂度较高，实际应用困难的问题；采用块稀疏匹配追踪算法或是块稀疏正交匹配追踪算法作为块稀疏信号的重构算法，匹配原子确定后便不再改变，容易造成过匹配现象。

发明内容

本发明为了解决现有采用块稀疏信号的重构算法中的混合l ₂/l ₁优化算法优化复杂度较高、块稀疏匹配追踪算法或是正交匹配追踪算法容易造成过匹配现象的问题，提出一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法。

本发明是通过下述方案予以实现的：一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法，所述方法的过程为：

步骤一、采集块稀疏信号x的观测信号为y，观测信号y是长度为m的实数向量，即                                                

，

设定块稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值：

其中，块稀疏信号x是长度为N、块稀疏度为K的实数向量，即， 

设定测量矩阵为是m行N列的实数矩阵，即

， 

预先设定迭代误差err，分块向量Group的形式为：

，

其中，N=M×d，M为分块向量Group的分组数，d为分块向量Group的子块长度，

设定残差的初始值r ₀ =y，恢复矩阵的初始值

，迭代次数l的初始值为1，块稀疏信号x的重构向量

；

步骤二、根据第l-1次迭代后的残差r _{l -1} ，计算第l次迭代后的与残差r _l-1最匹配的子空间i _l ：

其中，测量矩阵

的N个列向量根据子块长度d将测量矩阵

分成M块，

为

的第p块对应的列向量组成的矩阵，

， 

，i _l 的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1,2,…,M，

即

的转置与第l-1次迭代后的残差r _l-1进行相乘运算后，得到一个长度为d的向量，将所述的向量中的多个元素取绝对值，再对所述的多个绝对值求其平均值，从而获得M个绝对平均值，从所获得的M个绝对平均值中选择最大的K个值的标号赋值给所述与残差r _l-1最匹配的子空间i _l ；

步骤三、将步骤二中获得的子空间i _l 所对应的测量矩阵

中的列向量组成的矩阵

与第l-1次迭代的恢复矩阵

的并集赋值给第l次迭代的过渡矩阵

，即：

；

步骤四、根据观测信号y及步骤三获得的第l次迭代的过渡矩阵

，计算第l次迭代后的与观测信号y最匹配的子空间t _l ：

其中，j为过渡矩阵

的分块标号，矩阵

为矩阵

的伪逆矩阵，

，矩阵

为过渡矩阵

所对应的测量矩阵

的列向量组成的矩阵，t _l 的值对应分块向量Group中的分组号，

即矩阵的每一块分别与观测信号y进行乘积运算，将所述的多个乘积值分别取绝对值，再分别对所述的每一块块内多个绝对值求其平均值，从中选择最大的K个值的标号赋值给所述与观测信号y最匹配的子空间t _l ；

步骤五、将步骤四获得的子空间t _l 所对应的测量矩阵

中的列向量组成的矩阵

赋值给恢复矩阵

：

；

步骤六、根据步骤五中获得的恢复矩阵

，计算第l次迭代后的残差r _l ：

；

其中，

为

的伪逆矩阵，

；

步骤七、判断步骤六中所述的第l次迭代后的残差r _l 是否小于预先设定迭代误差err，判断结果为是，则执行步骤十，判断结果为否，则执行步骤八；

步骤八、判断步骤七中所述的迭代次数l的取值是否大于分组数M，判断结果为是，则执行步骤十，判断结果为否，则执行步骤九；

步骤九、将迭代次数l的值加1，返回步骤二；

步骤十、根据观测信号y及步骤六中获得的矩阵

，计算块稀疏信号x的重构向量

为：

，

完成块稀疏信号x的重构。

本发明通过第l次迭代对第l-1次迭代运算出的恢复矩阵

的列向量在测量矩阵中的标号进行修正，且对于一个块稀疏度为K的稀疏信号x，在测量数m足够大的情况下，不超过K次迭代即可重构块稀疏信号x。本发明所述的方法复杂度低、不会造成过匹配现象，能够同时满足重构概率和重构效率的要求，在信源编码、数据挖掘、雷达信号处理、医学信号处理以及图像处理等领域，本发明所述的方法在将采集到的压缩信号进行恢复的过程中，得到广泛的应用。

附图说明

图1是具体实施方式一所述的一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法的流程图；图2是具体实施方式一所述的压缩感知处理信号的基本模型框图；图3是本发明所述算法与L-OPT算法、BMP算法及BOMP算法分别在观测信号y幅度为高斯分布信号时的重构概率结果图；图4是本发明所述算法与L-OPT算法、BMP算法及BOMP算法分别在观测信号y为二值信号的重构概率对比图。

具体实施方式

具体实施方式一、下面结合图1及图2具体说明本实施方式。一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法，所述方法的过程为：

步骤一、采集块稀疏信号x的观测信号为y，观测信号y是长度为m的实数向量，即

，

设定块稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值：

其中，块稀疏信号x是长度为N、块稀疏度为K的实数向量，即

， 

设定测量矩阵为

是m行N列的实数矩阵，即

， 

预先设定迭代误差err，分块向量Group的形式为：

，

其中，N=M×d，M为分块向量Group的分组数，d为分块向量Group的子块长度，

设定残差的初始值r ₀ =y，恢复矩阵的初始值

，迭代次数l的初始值为1，块稀疏信号x的重构向量；

步骤二、根据第l-1次迭代后的残差r _l-1，计算第l次迭代后的与残差r _l-1最匹配的子空间i _l ：

其中，测量矩阵

的N个列向量根据子块长度d将测量矩阵

分成M块，

为

的第p块对应的列向量组成的矩阵，

， 

，i _l 的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1,2,…,M，

即

的转置与第l-1次迭代后的残差r _l-1进行相乘运算后，得到一个长度为d的向量，将所述的向量中的多个元素取绝对值，再对所述的多个绝对值求其平均值，从而获得M个绝对平均值，从所获得的M个绝对平均值中选择最大的K个值的标号赋值给所述与残差r _l-1最匹配的子空间i _l ；

步骤三、将步骤二中获得的子空间i _l 所对应的测量矩阵

中的列向量组成的矩阵

与第l-1次迭代的恢复矩阵

的并集赋值给第l次迭代的过渡矩阵

，即：

；

步骤四、根据观测信号y及步骤三获得的第l次迭代的过渡矩阵

，计算第l次迭代后的与观测信号y最匹配的子空间t _l ：

其中，j为过渡矩阵

的分块标号，矩阵为矩阵

的伪逆矩阵，

，矩阵

为过渡矩阵

所对应的测量矩阵

的列向量组成的矩阵，t _l 的值对应分块向量Group中的分组号，

即矩阵

的每一块分别与观测信号y进行乘积运算，将所述的多个乘积值分别取绝对值，再分别对所述的每一块块内的多个绝对值求其平均值，从中选择最大的K个值的标号赋值给所述与观测信号y最匹配的子空间t _l ；

步骤五、将步骤四获得的子空间t _l 所对应的测量矩阵

中的列向量组成的矩阵

赋值给恢复矩阵

：

；

步骤六、根据步骤五中获得的恢复矩阵

，计算第l次迭代后的残差r _l ：

；

其中，

为的伪逆矩阵，

；

步骤七、判断步骤六中所述的第l次迭代后的残差r _l 是否小于预先设定迭代误差err，判断结果为是，则执行步骤十，判断结果为否，则执行步骤八；

步骤八、判断步骤七中所述的迭代次数l的取值是否大于分组数M，判断结果为是，则执行步骤十，判断结果为否，则执行步骤九；

步骤九、将迭代次数l的值加1，返回步骤二；

步骤十、根据观测信号y及步骤六中获得的矩阵，计算块稀疏信号x的重构向量

为：

，

完成块稀疏信号x的重构。

本实施方式中，压缩感知处理信号的基本模型为：

其中：块稀疏信号

，

，表示稀疏信号x的0-范数，即信号值不为0的个数。测量矩阵

是m行N列的实数矩阵，即

，且m<<N。在已知观测向量y和测量矩阵

的情况下，可以用0-范数意义下的优化问题来重构或逼近块稀疏信号x。

如图2所示，块稀疏信号x经过压缩采样后得到观测向量y，观测向量y，经过存储传输及信号重构处理后得到重构向量

。

块稀疏信号x的形式可表示为：

其中N=M×d，x[l]为一子块。

当d=1时，块稀疏信号退化成一般意义下的稀疏信号。

块稀疏度为K的块稀疏信号x的一个子块x[l]中至多有K个不为0的欧几里德范数，定义：

其中，

所以，块稀疏信号x的块稀疏度为K，满足

。

本实施方式的步骤二中一次能够寻找到K个匹配的子块，提高了算法的运行效率。

本实施方式的步骤四中对第l-1次迭代后的与观测信号y最匹配的子空间t _l 进行修正，从而提高了寻找信号支撑集的准确率，能更加精确地重构块稀疏信号x。

本实施方式通过第l次迭代对第l-1次迭代运算出的恢复矩阵的列向量在测量矩阵中的标号进行修正，且对于一个块稀疏度为K的稀疏信号x，在测量数m足够大的情况下，不超过K次迭代即可重构块稀疏信号x。本发明所述的方法复杂度低、不会造成过匹配现象，能够同时满足重构概率和重构效率的要求，在信源编码、数据挖掘、雷达信号处理、医学信号处理以及图像处理等领域，本发明所述的方法在将采集到的压缩信号进行恢复的过程中，得到广泛的应用。

具体实施方式二、本实施方式是对具体实施方式一所述的一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法中的步骤一的进一步说明，步骤一中预先设定迭代误差err设定为10^-5。

具体实施方式三、本实施方式是对具体实施方式一或二所述的一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法的进一步说明，步骤一中所述的测量矩阵为

服从高斯分布。

具体实施方式四、本实施方式是对具体实施方式一、二或三所述的一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法的进一步补充，在步骤一中，还包括对测量矩阵

中的每一列列向量进行幅度归一化处理的步骤，其中，对测量矩阵中的第q列列向量进行幅度归一化处理的过程为：

将测量矩阵

的第q列列向量

除以

后的列向量作为测量矩阵

新的第q列列向量，其中，

，表示2-范数。

具体实施方式五、下面结合图3、图4具体说明本实施方式。本实施方式是将本发明所述的方法与混合l ₂/l ₁优化算法（L-OPT）、块稀疏匹配追踪算法（BMP）及块稀疏正交匹配追踪算法（BOMP）分别应用于块稀疏信号x的重构过程中，将每一种算法的重构概率进行对比。

本发明计算各算法的重构概率的过程为：

一、随机产生一个高斯分布测量矩阵

，给定分块向量Group的分组数M以及块稀疏度K，随机选定K个子块，分别在这K个子块上赋值得到所需的仿真测试信号，即块稀疏信号x，所述的块稀疏信号x的幅度采用高斯分布或0-1的二值信号；

二、通过观测信号，利用每种重构算法得到重构信号

，若则重构成功；

三、对每种重构算法运行500次，并计算重构概率。

在本实施方式的实验过程中，分别采用幅值为高斯分布的信号和0-1的二值信号进行实验。测量矩阵行数m=80，列数N=160，分组数M=20，当块稀疏信号x的块稀疏度K分别为1,2,…,12时，计算每种算法在不同K值下的重构概率，并绘制重构概率随块稀疏度的变化曲线。

实验结果如图3、图4所示，其中，图3为幅值为高斯分布的信号实验结果，图4为0-1的二值信号实验结果，图3及图4中带“

”标记的曲线为采用本实施方式所述方法的重构概率曲线，带“

”标记的曲线为采用BMP方法的重构概率曲线，带“

”标记的曲线为采用BOMP方法的重构概率曲线，带“”标记的曲线为采用L-OPT方法的重构概率曲线。从图中可见，无论对于哪类块稀疏信号，本实施方式所述方法的重构概率比L-OPT方法都有大幅提高；对于幅值为高斯分布的信号，本实施方式所述方法的重构概率略低于BMP及BOMP方法，而对于0-1的二值信号，本实施方式方法的重构概率有明显提高，所以本实施方式尤其适用于实际中的脉冲、黑白图像类等二值信号。

Claims (4)

1.一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法，其特征是：所述方法的过程为：

步骤一、采集块稀疏信号x的观测信号为y，观测信号y是长度为m的实数向量，即

设定块稀疏信号重构过程中各参数的初始状态值：

其中，块稀疏信号x是长度为N、块稀疏度为K的实数向量，即

设定测量矩阵为Φ是m行N列的实数矩阵，即

预先设定迭代误差err，分块向量Group的形式为：

其中，N＝M×d，M为分块向量Group的分组数，d为分块向量Group的子块长度，

设定残差的初始值r₀＝y，恢复矩阵的初始值

迭代次数l的初始值为1，块稀疏信号x的重构向量

步骤二、根据第l-1次迭代后的残差r_l-1，计算第l次迭代后的与残差r_l-1最匹配的子空间i_l：

$i_l=\arg \underset{K}{\max }\left(\mathrm{mean}\left(\right|{\mathrm{\&Phi;}}^T\left[p\right]r_{l-1}\left|\right)\right)$

其中，测量矩阵Φ的N个列向量根据子块长度d将测量矩阵Φ分成M块，Φ[p]为Φ的第p块对应的列向量组成的矩阵，p=1,2,...,M，l∈{1,2,...,M}，i_l的值对应分块向量Group中的分组号，所述分组号为1,2,…,M，

即Φ[p]的转置与第l-1次迭代后的残差r_l-1进行相乘运算后，得到一个长度为d的向量，将所述的向量中的多个元素取绝对值，再对所获得的多个绝对值求其平均值，从而获得M个绝对平均值，从所获得的M个绝对平均值中选择最大的K个值的标号赋值给所述与残差r_l-1最匹配的子空间i_l；

步骤三、将步骤二中获得的子空间i_l所对应的测量矩阵Φ中的列向量组成的矩阵

与第l-1次迭代的恢复矩阵T_l-1的并集赋值给第l次迭代的过渡矩阵

即：

${\tilde{T}}_l=T_{l-1}\&cup;{\mathrm{\&Phi;}}_{i_l};$

步骤四、根据观测信号y及步骤三获得的第l次迭代的过渡矩阵计算第l次迭代后的与观测信号y最匹配的子空间t_l：

$t_l=\arg \underset{K}{\max }\left(\mathrm{mean}\left(\right|{\mathrm{\&Phi;}}_{{\tilde{T}}_l}^{+}\left[j\right]y\left|\right)\right)$

其中，j为过渡矩阵

的分块标号，矩阵

为矩阵

的伪逆矩阵，矩阵

为过渡矩阵

所对应的测量矩阵Φ的列向量组成的矩阵，t_l的值对应分块向量Group中的分组号，

即矩阵

的每一块分别与观测信号y进行乘积运算，将所获得的多个乘积值分别取绝对值，再分别对所述的每一块块内的多个绝对值求其平均值，从中选择最大的K个值的标号赋值给所述与观测信号y最匹配的子空间t_l；

步骤五、将步骤四获得的子空间t_l所对应的测量矩阵Φ中的列向量组成的矩阵赋值给恢复矩阵T_l：

$T_l={\mathrm{\&Phi;}}_{t_l};$

步骤六、根据步骤五中获得的恢复矩阵T_l，计算第l次迭代后的残差r_l：

$r_l=y-{\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}\left({\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}^{+}y\right);$

其中，

为

的伪逆矩阵， ${\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}^{+}={\left({\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}^T{\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}\right)}^{-1}{\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}^T;$

步骤七、判断步骤六中所述的第l次迭代后的残差r_l是否小于预先设定迭代误差err，判断结果为是，则执行步骤十，判断结果为否，则执行步骤八；

步骤八、判断步骤七中所述的迭代次数l的取值是否大于分组数M，判断结果为是，则执行步骤十，判断结果为否，则执行步骤九；

步骤九、将迭代次数l的值加1，返回步骤二；

步骤十、根据观测信号y及步骤六中获得的矩阵

计算块稀疏信号x的重构向量

为：

$\tilde{x}={\mathrm{\&Phi;}}_{T_l}^{+}y,$

完成块稀疏信号x的重构。

2.根据权利要求1所述的一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法，其特征在于：步骤一中预先设定迭代误差err设定为10^-5。

3.根据权利要求1所述的一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法，其特征在于：步骤一中所述的测量矩阵为Φ服从高斯分布。

4.根据权利要求3所述的一种面向压缩感知的块稀疏信号重构方法，其特征在于：在步骤一中，还包括对测量矩阵Φ中的每一列列向量进行幅度归一化处理的步骤，其中，对测量矩阵Φ中的第q列列向量Φ[q]进行幅度归一化处理的过程为：

将测量矩阵Φ的第q列列向量Φ[q]除以‖Φ[q]‖₂后的列向量作为测量矩阵Φ新的第q列列向量，其中，q∈{1,2,...,N}‖·‖₂表示2-范数。

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