CN102611455B

CN102611455B - 一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法

Info

Publication number: CN102611455B
Application number: CN201210055231.3A
Authority: CN
Inventors: 张京超; 付宁; 刘旺; 乔立岩; 彭喜元
Original assignee: Harbin Institute of Technology
Current assignee: Harbin Institute of Technology
Priority date: 2012-03-05
Filing date: 2012-03-05
Publication date: 2014-11-26
Anticipated expiration: 2032-03-05
Also published as: CN102611455A

Abstract

一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法，涉及一种稀疏多带信号重构方法。它是为了解决现有方法在实际应用中由于无法获得当前有效频带数而导致无法进行稀疏多带信号重构的问题。与SOMP方法相同，每次迭代选择一个原子，并根据已选原子集对原信号进行估计并更新残差，然后根据得到残差通过Frobenius范数计算残差的数值微分，如果数值微分结果小于某个设置的阈值ε，则迭代结束，并输出最终原子支撑集，给出对原信号的估计。本发明方法适用于当前活动的频带数量随时间变化的应用场合，如无线电通信、认知无线电频谱感知等领域。

Description

一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法

技术领域

本发明涉及一种稀疏多带信号重构方法。

背景技术

压缩感知(Compressed Sensing，CS)是最近几年提出的一个全新的信号采样理论，它指出，对于一个稀疏的或者在某个变换域上稀疏的信号，可以用一个与变换基不相关的测量矩阵将源信号从高维空间投影到低维空间，然后通过解一个优化问题，能从远小于信号长度的投影数中以高概率重构出源信号。

对于一个长度为N的K稀疏信号：

x∈R^N×1，|supp(x)|≤K，k＜＜N (1)

其中supp(x)表示信号的0-范数，即信号值不为0的个数。可以找到它的m个线性测量：

y＝Φx (2)

其中：Φ∈R^m×N为测量矩阵，且m＜＜N。在拥有了观测向量y和测量矩阵Φ的情况下，可以用0-范数意义下的优化问题来重构或逼近源信号x。此种类型的问题也称为单观测向量(Single Measurement Vector，SMV)问题。

考虑另外一种类型的稀疏信号-多带稀疏信号(Sparse Multiband Signal)，其定义如下：

1)、原信号x(t)是带限的；

2)、信号的傅立叶变换X(f)的支撑包含N个无交连频带；

3)、每个频带的宽度不大于B；

其形式如图1所示。

对多带稀疏信号观测，其观测模型可用多观测向量(Multiple Measurement Vectors，MMV)问题来描述，定义如下：

Y＝ΦX (3)

其中Φ∈R^m×N为测量矩阵，且m＜＜N。X∈R^N×L为原信号矩阵，每个列向量表示一个原信号。Y∈R^m×L为观测值矩阵，每一列为一观测值向量。多观测向量问题的目的是通过定义合适的原信号间的结构来实现原信号的同时恢复。

目前针对多观测向量问题的信号重构方法主要是单观测向量方法的拓展类方法，如同步正交匹配追踪(Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP)方法、同步子空间方法(Simultaneous Subspace Pursuit，SSP)等，还有一类方法是将多观测向量问题转换为单观测向量问题来求解，如ReMBo(Reduction of MMV and Boosting)方法。但是，这些方法都要求频带的数量已知来进行信号重构，在有些实际的应用场合，通常当前活动的频带数量是随时间变化的，即在进行信号重构时无法获得当前有效频带数，现有的上述方法在这种情况下无法应用。

发明内容

本发明是为了解决现有方法在实际应用中由于无法获得当前有效频带数而导致无法进行稀疏多带信号重构的问题，从而提供一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法。

一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法，它由以下步骤实现：

步骤一、设定输入值：测量矩阵Φ∈R^m×N，式中：m为观测通道数，N为原信号维数，并且m＜＜N，观测矩阵Y，数值微分阈值ε＝0.05，并初始化残差值R₀＝Y，恢复矩阵支撑集重构信号

步骤二、对稀疏多带信号进行l次迭代操作，l∈{1，2，...，M}，M为正整数；在每次迭代操作过程中，通过公式：

i_{l} = \arg \max_{k} ({| | Φ^{T} [k] R_{l - 1} | |}_{2})

选择出与残差R_l-1最匹配的原子支撑集i_l；

其中Φ[k]表示测量矩阵的第k列，k为正整数；||·||₂表示求l₂的范数；

步骤三、将步骤二中选择的原子i_l根据公式：

I_l＝I_l∪i_l

更新到已选原子支撑集I_l中；

步骤四、将步骤三所述的原子支撑集i_l中对应的测量矩阵Φ的列向量组成的矩阵赋给T_l，即：

T_{l} = T_{l - 1} \cup Φ_{i_{l}}

步骤五、根据公式：

P_{l} = T_{l} {(T_{l}^{H} T_{l})}^{- 1} T_{l}^{H}

计算由原子支撑集合I_l张成的空间的正交投影算子，H表示共轭转置，然后根据公式：

X_l＝P_lY

获得对原信号的估计值：

步骤六、根据公式：

R_l＝Y-X_l＝(I-R_l)Y

计算残差R_l：

步骤七、根据步骤六获得的残差R_l，通过公式：

Δ_l＝|||R_l||_F-||R_l-1||_F|

计算残差的数值微分Δ_l；其中，||·||_F表示矩阵的Frobenius范数；

步骤八、对步骤七获得的残差的数值微分Δ_l与预设的阈值ε进行比较，当残差的数值微分Δ_l大于预设的数值微分阈值ε时，返回执行步骤二；当残差的数值微分Δ_l小于或者等于预设的数值微分阈值ε时，即：

\tilde{X} = P_{l} Y

则迭代结束，输出重构信号

{\tilde{X}}_{{1, . . ., N} - I} = 0

式中：I为信号的支撑集，完成稀疏多带信号的重构。

有益效果：本发明通过加入对残差的数值微分的计算，从而能够通过残差的变化规律来决定迭代的终止与否，从而使得该方法不再依赖于当前活动的频带数量，实现对稀疏多带信号的重构。同时，本发明所需要的迭代次数与真实的当前活动频带的数值相差不大，因而不会显著增加迭代次数，进而不会明显增加算法的计算复杂度，却能够在一定程度上提高算法的重构概率。

附图说明

图1是背景技术中的具有2个无交连频带的多带信号示意图；图2是本发明与传统的同步正交匹配追踪法相对于当前活动频带数的重构概率变化曲线对比图；图3是本发明与传统的同步正交匹配追踪法相对于当前活动频带数的迭代次数变化曲线对比图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1和图2说明本具体实施方式，一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法，

步骤一、设定算法输入：测量矩阵Φ∈R^m×N，观测矩阵Y，数值微分阈值ε，并初始化残差值R₀＝Y，恢复矩阵支撑集重构信号

步骤二、第l次迭代时，l∈{1，2，...，M}，选择与残差R_l-1最匹配的原子i_l，具体操作为：

i_{l} = \arg \max_{K} ({| | Φ^{T} [k] R_{l - 1} | |}_{2})

其中Φ[k]表示测量矩阵的第k列，||·||₂表示求l₂范数，对矩阵而言，是将矩阵沿列向量方向展开为一长向量，并对该展开向量计算l₂范数。上式表示对测量矩阵的每一列的转置与残差进行乘积操作后，取l₂范数，然后选择某个列位置，使得其与残差相乘得到矩阵的l₂范数取得最大值。并将该列向量的位置赋值给i_l；

步骤三、将i_l更新到已选原子支撑集I_l中：

I_l＝I_l∪i_l

步骤四、将i_l中对应的测量矩阵Φ的列向量组成的矩阵赋给T_l：

T_{l} = T_{l - 1} \cup Φ_{i_{l}}

步骤五、计算到由原子支撑集合I_l张成的空间的正交投影算子

P_{l} = T_{l} {(T_{l}^{H} T_{l})}^{- 1} T_{l}^{H}

从而得到对原信号的估计：

X_l＝P_lY

步骤六、计算残差R_l：

R_l＝Y-X_l＝(I-R_l)Y

步骤七、计算残差的数值微分Δ_l：

Δ_l＝|||R_l||_F-||R_l-1||_F|

其中，||·||F表示矩阵的Frobenius范数，

步骤八、阈值比较：当残差的数值微分Δ_l小于或者等于算法设定的阈值ε时，迭代结束。输出重构信号满足：

\tilde{X} = P_{l} Y

且满足：

{\tilde{X}}_{{1, . . ., N} - I} = 0 .

以下通过具体仿真实验将本发明方法和传统的同步正交匹配追踪法(SimultaneousOrthogonal Matching Pursuit，SOMP)进行比较，并计算每一种方法的重构概率进行对比。

仿真实验按以下步骤进行：

一、随机产生一个高斯分布测量矩阵Φ∈R^m×N，假设原信号满足

x (t) = Σ_{i = 1}^{K} E_{i} \sin c (B (t - τ_{i})) \cos ({2 πf}_{i} (t - τ_{i}))

并假设B＝50MHz，m＝40，ε＝0.05，f_NYQ＝10GHz，E_i、τ_i、f_i随机选取，并假设当前活动的频带数变化范围为2到22。

二、通过公式二得到观测信号Y＝ΦX，利用每种重构算法对信号的支撑集进行重构，若当前活动的频带位置全部找到则重构成功；

三、对每种重构算法运行500次，并计算重构概率。

绘制重构概率、迭代次数随当前活动频带数的变化曲线。实验结果如图2和图3所示，其中图2是相对于当前活动频带数的重构概率变化曲线；图3是相对于当前活动频带数的迭代次数变化曲线。

从图2和图3可见，本发明方法的重构概率比SOMP方法有大幅提高；并且算法的迭代次数相比较于SOMP方法并未有显著的提高，但是，本发明方法不再依赖于当前活动的频带数这个先验知识。本发明方法尤其适用于当前活动频带数随时间变化的场合，如无线电通信、认知无线电频谱感知等领域。

Claims

1.一种面向压缩感知的稀疏多带信号重构方法，其特征是：它由以下步骤实现：

步骤一、设定输入值：测量矩阵Φ∈R^m×N，式中：m为观测通道数，N为原信号维数，并且m<<N，观测矩阵Y，数值微分阈值ε＝0.05，并初始化残差值R₀＝Y，恢复矩阵支撑集重构信号

步骤二、对稀疏多带信号进行次迭代操作，M为正整数；在每次迭代操作过程中，通过公式：

i_{l} = \arg \max_{k} ({| | Φ^{T} [k] R_{l - 1} | |}_{2})

选择出与残差最匹配的原子支撑集

其中Φ[k]表示测量矩阵的第k列，k为正整数；||·||₂表示对向量求范数；

步骤三、将步骤二中选择的原子根据公式：

I_{l} = I_{l} \cup i_{l}

更新到已选原子支撑集中；

步骤四、将步骤三所述的原子支撑集中对应的测量矩阵Φ的列向量组成的矩阵赋给即：

T_{l} = T_{l - 1} \cup Φ_{i_{l}}

步骤五、根据公式：

P_{l} = T_{l} {({T_{l}}^{H} T_{l})}^{- 1} {T_{l}}^{H}

计算由原子支撑集张成的空间的正交投影算子，H表示共轭转置，然后根据公式：

X_{l} = P_{l} Y

获得对原信号的估计值；

步骤六、根据公式：

R_{l} = Y - X_{l} = (I^{,} - P_{l}) Y

计算残差I’为单位矩阵；

步骤七、根据步骤六获得的残差通过公式：

Δ_{l} = | {| | R_{l} | |}_{F} {- | | R_{l - 1} | |}_{F} |

计算残差的数值微分其中，||·||_F表示矩阵的Frobenius范数；

步骤八、对步骤七获得的残差的数值微分与预设的阈值ε进行比较，当残差的数值微分大于预设的数值微分阈值ε时，返回执行步骤二；当残差的数值微分小于或者等于预设的数值微分阈值ε时，即：

\tilde{X} = P_{l} Y

则迭代结束，输出重构信号满足：

{\tilde{X}}_{{1, . . ., N} - I} = 0

式中：I为信号的支撑集，完成稀疏多带信号的重构。