CN110865332B - 一种统一框架l2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，本发明正交加速改进方法在每次不动点迭代后，通过预先设置的阈值筛选出符合预期的目标向量，并将一些干扰向量强制置零，在此基础上形成目标支撑基。同时利用目标支撑基和向量余差进行正交化匹配，以保证此时的余差与支撑基各向量均正交，从而在后面的迭代中无需再考虑当前支撑基，提高了稀疏信息恢复模型的收敛速度。同时可以运用在多目标的TOA问题的稀疏恢复中。

Description

一种统一框架l2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法

技术领域

本发明涉及一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，具体涉及一种利用统一框架l_2,p模型算法正交加速改进方法实现到达时间(Time of Arrival，TOA)定位的方法，属于无源定位领域。

背景技术

稀疏恢复技术是目前研究的热点方向之一，它的特点在于通过充分挖掘问题本身的稀疏特性，利用低维数据恢复高维数据。稀疏恢复方法在合成孔径雷达(SyntheticAperture Radar，SAR)和逆合成孔径雷达(Inverse Synthetic Aperture Radar，SAR)成像等实际问题中已经得到了广泛地应用，而本质上多目标的TOA定位与其具有相似之处，因此，也可以通过稀疏恢复的方法求解TOA问题。

目前，稀疏恢复问题的求解一般采取直接求解0范数的方法，常见的是正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)。利用稀疏点表示理论，多目标的TOA问题，可以通过实现划分网格的形式，转化成网格点配准问题，当网格数远远多于目标数时，该问题可以转化为求解一个0范数最小化模型的问题。有学者证明在一定的条件下，l_p最小化模型的解就是l₀最小化模型的解。不同于原问题中的整数优化函数，l_p最小化模型的目标函数是一个连续函数，因此，为了更好地求解元有问题，多目标的TOA定位问题可以转化为求解l_p最小化问题。在此基础上，有学者提出了一种统一框架l_2,p模型来求解l_p最小化模型问题，其核心思想证明了若x是l_p最小化模型的局部解，则x必定满足以下等式：

表示其伪逆矩阵，可以根据这个性质采用不动点迭代进而完成目标问题的稀疏恢复。但是，这种方法存在一个缺陷，就是在稀疏恢复的过程中收敛速度较慢。

发明内容

针对统一框架l_2,p模型方法，收敛速度较慢的问题，本发明提出一种统一框架l_2,p模型正交加速的方法。

发明概述：

本发明在原有的不动点迭代方法后加入了正交加速的步骤，包括：第一步，在每次不动点迭代后，通过预先设置的阈值筛选出符合预期的目标向量，并将一些干扰向量强制置零，在此基础上形成目标支撑基；第二步，利用目标支撑基和向量余差进行正交化匹配，以保证此时的余差与支撑基各向量均正交，从而在后面的迭代中无需再考虑当前支撑基以实现算法收敛的加速。

本发明的技术方案为：

一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，本方法中使用的随机分布的天线、基站和接收站均用于接收目标发射的信号，包括步骤如下：

S101：根据实际需求将目标区域进行网格划分，确定基站位置，确定基底函数与扩充倍数，生成测量矩阵A；

目标区域是指定位目标所在的区域，包含其所有可能出现的地点；在理想状态下，如果将目标区域划分的很细，可以保证目标与网格节点距离较近，近似地可以视为在网格节点上，或者，在定位误差允许的条件下，将网格边长加大，减少网格数目。对于任意目标，如果能定位出距离其较近的网格节点即可。

S102：根据收集来源信号到基站的时间，生成测量向量b；

S103：初始化解向量

x是l_2,p模型的变量，||x||₁是指向量x的1范数，即所有元素的绝对值之和，Ax是指l_2,p模型的线性约束；初始化迭代步数k＝1，设置误差阈值为0.001；

将解向量的解的分量作为目标来源的初始判断；解向量的维度与网格点的数目一致，每一个位置的元素对应一个网格点，在理想情况下，解向量的元素应当由1和0组成，如果某一个位置的元素为1，则表明在该网格点上有一个目标，如果为0则表示没有。在实际应用中，可以设置判断区间，接近1时可以判断对应的网格点存在目标。

S104：根据第k步的迭代结果x^k更新k+1步的迭代结果x^k+1，如式(1)所示：

式(1)中，对于任意n维向量x，D(x)＝diag(|x₁|^2-p/p,|x₂|^2-p/p,.....,|x_n|^2-p/p)；对于n维向量x，x₁、x₂……x_n表示其分量，下标代表位置，p是算法输入的参数，0<p<1；

S105：根据阈值判断当前解的支撑基，当前解的支撑基是指当前解向量即第k+1步的迭代结果x^k+1中非零元素的下标所组成的集合，阈值设定为a，即：当分量即当前解的支撑基中的元素大于阈值时，则初步判断在该分量处有目标

是指第k+1步迭代结果x^k+1的第i个分量，S是指第k+1步迭代结果中所有绝对值大于a的元素下标组成的集合；解向量的维度与网格节点的数量是一致的，按照事先规定的方式，这两者是一一对应的，解向量的某一个分量为1则代表在该点处存在目标，为0代表没有目标。

S106：根据当前解的支撑基，再次更新k+1步的迭代结果x^k+1为arg

S107：更新误差向量r^k+1＝b-Ax^k+1，如果误差向量范数小于误差阈值或达到迭代最大步数，则输出定位结果，定位结果即网格节点i的坐标g_i，i∈{j|x_j＝1}(x_j是指x中分量为1的全体元素)。否则k增加1，继续执行步骤S104。

根据本发明优选的，所述步骤S101中，根据实际需求将目标区域进行网格划分，是指：将目标区域划分成t×n个网格，并对生成的网格节点依次进行标号为1至tn。

在本发明中，目标区域的划分步受制于区域的几何形状，从理论上讲，目标区域可以是任意形状，甚至是三维区域。只需要对该区域内按照实现规定的方式进行取点划分即可。但是无论何种划分方式，技术性原理是相同的。

本发明在目标区域内随机布置基站；

根据本发明优选的，所述步骤S101中，基底函数为幂函数；

如果目标区域中的目标数量大于5，则扩充倍数为5，否则，扩充倍数与目标数量相同。

关于基底函数，只需要函数组之间无关即可，本发明采用幂函数形式。因为基底函数是幂函数，所以可以扩充的倍数最大为目标数。从原理上讲，倍数越大，模型求解难度越低，但是过大的倍数会导致矩阵条件数恶化，降低模型的鲁棒性。因此，在本发明中，如果目标大于5，倍数采取5。如果小于5，则扩充倍数与目标数一致。

根据本发明优选的，所述步骤S101中，生成测量矩阵A，包括步骤如下：

假设一共有m个天线及k个目标，测量得到每个天线到每个目标到达时间差值，以矩阵的形式表示如式(2)所示：

式(2)中，l_i ^j表示第i个天线测量到的第j个目标到达时间差值；

定义函数h_u(x)＝x^u，u＝1,2,....U，U≤K；h_u(x)＝x^u，u＝1,2,....U是一组函数，U是提前确定的扩充倍数，x是用来定义函数的变量，生成测量矩阵A如式(3)所示：

A＝[(A¹)^T (A²)^T ...(A^u)^T... (A^U)^T]^T∈R^U(m-1)×n (3)

式(3)中，A^u∈R^(m-1)×n；m表示基站个数，n表示网格节点数，R^U(m-1)×n表示维度为U(m-1)×n的矩阵空间；(A^u)_i,j＝h_u(||w_j-T_i+1||₂-||w_j-T₁||₂)，w_j表示第j个网格节点的坐标，T_i+1表示第i+1个基站的坐标，T₁表示第1个基站的位置坐标。

根据本发明优选的，所述步骤S102中，生成测量向量b，如式(4)所示：

b＝[(b¹)^T (b²)^T ...(b^u)^T... (b^U)^T]^T∈R^Um (4)

式(4)中，b^u∈R^m；R^m表示维度为m的向量空间，R^Um表示维度为Um的向量空间；根据之前定义的基底函数，

k是求连加和的指示标记。

本发明的有益效果为：

本发明在统一框架l_2,p模型求解l_p最小化模型方法的基础上对匹配环节进行了改进。不同于原本的方法，正交加速改进方法在每次不动点迭代后，通过预先设置的阈值筛选出符合预期的目标向量，并将一些干扰向量强制置零，在此基础上形成目标支撑基。同时利用目标支撑基和向量余差进行正交化匹配，以保证此时的余差与支撑基各向量均正交，从而在后面的迭代中无需再考虑当前支撑基，提高了稀疏信息恢复模型的收敛速度。

附图说明

图1为统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法流程图；

图2为统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复求解TOA问题流程图；

图3A为实施例3和对比例1收敛时仿真结果示意图；

图3B为实施例4和对比例1未收敛时仿真结果示意图；

图4为实施例3得到的点位结果示意图；

图5为实施例4得到的点位结果示意图；

具体实施方式

下面结合说明书附图和实施例对本发明作进一步限定，但不限于此。

实施例1

一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，如图1、图2所示，本方法中使用的随机分布的天线、基站和接收站均用于接收目标发射的信号，本发明提出的统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复的方法，包括步骤如下：

S101：根据实际需求将目标区域进行网格划分，确定基站位置，确定基底函数与扩充倍数，生成测量矩阵A；

目标区域是指定位目标所在的区域，包含其所有可能出现的地点；在理想状态下，如果将目标区域划分的很细，可以保证目标与网格节点距离较近，近似地可以视为在网格节点上，或者，在定位误差允许的条件下，将网格边长加大，减少网格数目。对于任意目标，如果能定位出距离其较近的网格节点即可。

S102：根据收集来源信号到基站的时间，生成测量向量b；

S103：初始化解向量

x是l_2,p模型的变量，||x||₁是指向量的1范数，即所有元素的绝对值之和，Ax＝b是指l_2,p模型的线性约束；初始化迭代步数k＝1，设置误差阈值为0.001；

将解向量的解的分量作为目标来源的初始判断；解向量的维度与网格点的数目一致，每一个位置的元素对应一个网格点，在理想情况下，解向量的元素应当由1和0组成，如果某一个位置的元素为1，则表明在该网格点上有一个目标，如果为0则表示没有。在实际应用中，可以设置判断区间，接近1时可以判断对应的网格点存在目标。

S104：根据第k步的迭代结果x^k更新k+1步的迭代结果x^k+1，如式(1)所示：

式(1)中，对于任意n维向量x，D(x)＝diag(|x₁|^2-p/p,|x₂|^2-p/p,.....,|x_n|^2-p/p)；对于n维向量x，x₁、x₂、x_n表示其分量，下标代表位置，p是算法输入的参数，0<p<1；

S105：根据阈值判断当前解的支撑基，当前解的支撑基是指当前解向量即第k+1步的迭代结果x^k+1中非零元素的下标所组成的集合，阈值设定为a，即：当分量即当前解的支撑基中的元素大于阈值时，则初步判断在该分量处有目标

是指第k+1步迭代结果x^k+1的第i个分量，S是指第k+1步迭代结果中所有绝对值大于a的元素下标组成的集合；解向量的维度与网格节点的数量是一致的，按照事先规定的方式，这两者是一一对应的，解向量的某一个分量为1则代表在该点处存在目标，为0代表没有目标。

S106：根据当前解的支撑基，再次更新k+1步的迭代结果x^k+1为arg

S107：更新误差向量r^k+1＝b-Ax^k+1，如果误差向量范数小于误差阈值或达到迭代最大步数，则输出定位结果，定位结果即网格节点i的坐标g_i，i∈{k|x_k＝1}(x_k是指x中分量为1的全体元素)。否则k增加1，继续执行步骤S104。

实施例2

根据实施例1所述的一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，其区别在于：

步骤S101中，根据实际需求将目标区域进行网格划分，是指：将目标区域划分成t×n个网格，并对生成的网格节点依次进行标号为1至tn。

在本发明中，目标区域的划分步受制于区域的几何形状，从理论上讲，目标区域可以是任意形状，甚至是三维区域。只需要对该区域内按照实现规定的方式进行取点划分即可。但是无论何种划分方式，技术性原理是相同的。

本发明在目标区域内随机布置基站；

步骤S101中，基底函数为幂函数；

如果目标区域中的目标数量大于5，则扩充倍数为5，否则，扩充倍数与目标数量相同。

关于基底函数，只需要函数组之间无关即可，本发明采用幂函数形式。因为基底函数是幂函数，所以可以扩充的倍数最大为目标数。从原理上讲，倍数越大，模型求解难度越低，但是过大的倍数会导致矩阵条件数恶化，降低模型的鲁棒性。因此，在本发明中，如果目标大于5，倍数采取5。如果小于5，则扩充倍数与目标数一致。

步骤S101中，生成测量矩阵A，包括步骤如下：

假设一共有m个天线及K个目标，测量得到每个天线到每个目标到达时间差值，以矩阵的形式表示如式(2)所示：

式(2)中，l_i ^j表示第i个天线测量到的第j个目标到达时间差值；

定义函数h_u(x)＝x^u，u＝1,2,....U，U≤K；h_u(x)＝x^u，u＝1,2,....U是一组函数，U是提前确定的扩充倍数，x是用来定义函数的变量，生成测量矩阵A如式(3)所示：

A＝[(A¹)^T (A²)^T ...(A^u)^T... (A^U)^T]^T∈R^U(m-1)×n (3)

式(3)中，A^u∈R^(m-1)×n；m表示基站个数，n表示网格节点数，R^U(m-1)×n表示维度为U(m-1)×n的矩阵空间；(A^u)_i,j＝h_u(||w_j-T_i+1||₂-||w_j-T₁||₂)，w_j表示第j个网格节点的坐标，T_i+1表示第i+1个基站的坐标，T₁表示第1个基站的位置坐标。

步骤S102中，生成测量向量b，如式(4)所示：

b＝[(b¹)^T (b²)^T ...(b^u)^T... (b^U)^T]^T∈R^Um (4)

式(4)中，b^u∈R^m；R^m表示维度为m的向量空间，R^Um表示维度为Um的向量空间；根据之前定义的基底函数，

k是求连加和的指示标记。

实施例3

根据实施例2所述的一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，其区别在于：

目标区域为[-5000,5000]×[-5000,5000]，平均地划分21×21网格，在目标区域内设置10个位置随机的接收站，用于对目标区域的辐射源位置开展稀疏恢复。只考虑在网格节点上的目标，测量误差取100纳秒，矩阵扩充5倍，考虑同时对10个目标同时开展定位，测试统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法的收敛情况。

通过本实施例可以得到如图4的定位结果，横纵轴表示长度，目前区域是一个10000米乘10000米的区域，以该正方形的中心为坐标原点。可以发现，采用统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，可以在10个接收站的情况下对15个网格节点目标同时进行稀疏恢复定位。

实施例4

根据实施例2所述的一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，其区别在于：

目标区域为[-5000,5000]×[-5000,5000]，平均地划分21×21网格，在目标区域内设置10个位置随机的接收站，用于对目标区域的辐射源位置开展稀疏恢复。考虑在非网格节点上的目标，测量误差取100纳秒，矩阵扩充5倍，同时对10个目标同时开展定位，测试统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法对非网格节点TODA问题的稀疏恢复效果。

通过本实施例可以得到如图5的定位结果，横纵轴表示长度，目前区域是一个10000米乘10000米的区域，以该正方形的中心为坐标原点。可以发现，采用统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，在10个接收站的情况下对10个非网格节点目标同时进行稀疏恢复定位，基本上可以恢复在最近的网格节点上。通过实施例，可以发现本发明提高了统一框架l_2,p模型稀疏恢复方法的迭代速度，而且本发明可以运用在多目标的TOA问题的稀疏恢复问题中。

对比例1

一种统一框架l_2,p模型稀疏恢复方法，目标区域为[-5000,5000]×[-5000,5000]，平均地划分21×21网格，只考虑在网格节点上的目标，测量误差取100纳秒，矩阵扩充5倍，考虑同时对10个目标同时开展定位，包括步骤如下：

S201：将目标区域设置为[-5000,5000]×[-5000,5000]，平均地划分21×21网格，在目标区域内设置10个位置随机的接收站，选择统一框架l_2,p模型，同时将矩阵扩充5数，生成测量矩阵A；

S202：根据收集来源信号到基站的时间生成测量向量b；

S203：初始化解向量

将其解的分量作为目标来源的初始判断；

S204：根据当前结果，更新下一步结果

S205：更新误差向量r^k+1＝b-Ax^k+1，如果误差向量范数小于事先设置阈值则停止或者迭代步骤数达到要求，否则重复S204。

图3A为实施例3(改进后)和对比例1(改进前)收敛时仿真结果对比示意图；图3B为实施例4(改进后)和对比例1(改进前)未收敛时仿真结果对比示意图；由附图3A和3B的收敛结果，可以发现，在附图3A的情况下正交改进算法只用3步就实现了方法的收敛，而原始方法需要8步才能实现收敛；在附图3B的情况下，正交改进算法用了3步完成了收敛，而原始方法并没有收敛。

Claims (5)

1.一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，该方法中使用的随机分布的天线、基站和接收站均用于接收目标发射的信号，其特征在于，包括步骤如下：

S101：根据实际需求将目标区域进行网格划分，确定基站位置，确定基底函数与扩充倍数，生成测量矩阵A；

S102：根据收集来源信号到基站的时间，生成测量向量b；

S103：初始化解向量

x是l_2,p模型的变量，||x||₁是指解向量x的1范数，即所有元素的绝对值之和，Ax是指l_2,p模型的线性约束；初始化迭代步数k＝1，设置误差阈值为0.001，将解向量的解的分量作为目标来源的初始判断；

S104：根据第k步的迭代结果x^k更新k+1步的迭代结果x^k+1，如式(1)所示：

式(1)中，对于任意n维解向量x，D(x)＝diag(|x₁|^2-p/p,|x₂|^2-p/p,.....,|x_n|^2-p/p)；对于n维解向量x，x₁、x₂、x_n表示其分量，下标代表位置，p是算法输入的参数，0<p<1；

S105：根据阈值判断当前解的支撑基，当前解的支撑基是指当前解向量即第k+1步的迭代结果x^k+1中非零元素的下标所组成的集合，阈值设定为a，即：当分量即当前解的支撑基中的元素大于阈值时，则初步判断在该分量处有目标

是指第k+1步迭代结果x^k+1的第i个分量，S是指第k+1步迭代结果中所有绝对值大于a的元素下标组成的集合；

S106：根据当前解的支撑基，再次更新k+1步的迭代结果x^k+1为arg

S107：更新误差向量r^k+1＝b-Ax^k+1，如果误差向量范数小于误差阈值或达到迭代最大步数，则输出定位结果，定位结果即网格节点i的坐标g_i，i∈{k|x_k＝1}，x_k是指x中分量为1的全体元素，否则，k增加1，继续执行步骤S104。

2.根据权利要求1所述的一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，其特征在于所述步骤S101中，生成测量矩阵A，包括步骤如下：

假设一共有m个天线及K个目标，测量得到每个天线到每个目标到达时间差值，以矩阵的形式表示如式(2)所示：

式(2)中，l_i ^j表示第i个天线测量到的第j个目标到达时间差值；

定义函数h_u(x)＝x^u，u＝1,2,....U，U≤K；h_u(x)＝x^u，u＝1,2,....U是一组函数，U是提前确定的扩充倍数，x是用来定义函数的变量，生成测量矩阵A如式(3)所示：

A＝[(A¹)^T (A²)^T ... (A^u)^T ... (A^U)^T]^T∈R^U(m-1)×n (3)

式(3)中，A^u∈R^(m-1)×n；m表示基站个数，n表示网格节点数，R^U(m-1)×n表示维度为U(m-1)×n的矩阵空间；(A^u)_i,j＝h_u(||w_j-T_i+1||₂-||w_j-T₁||₂)，w_j表示第j个网格节点的坐标，T_i+1表示第i+1个基站的坐标，T₁表示第1个基站的位置坐标。

3.根据权利要求2所述的一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，其特征在于，所述步骤S102中，生成测量向量b，如式(4)所示：

b＝[(b¹)^T (b²)^T ... (b^u)^T ... (b^U)^T]^T∈R^Um (4)

式(4)中，b^u∈R^m；R^m表示维度为m的向量空间，R^Um表示维度为Um的向量空间；

j是求连加和的指示标记。

4.根据权利要求1所述的一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，其特征在于，所述步骤S101中，根据实际需求将目标区域进行网格划分，是指：将目标区域划分成t×n个网格，并对生成的网格节点依次进行标号为1至tn。

5.根据权利要求1-4任一所述的一种统一框架l_2,p模型正交加速改进稀疏恢复方法，其特征在于，所述步骤S101中，基底函数为幂函数；如果目标区域中的目标数量大于5，则扩充倍数为5，否则，扩充倍数与目标数量相同。

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