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Rechengerät zur Ermittlung der reellen Wurzeln von Gleichungen höheren Grades
Die bisher bekannten Geräte zur Ermittlung der Wurzeln von Gleichungen höheren Grades (USA. Patent Nr. 2210938, Garett, Gendale, Califund britisches Patent Nr. 417841, Welling- ton) erfordern zu ihrer Handhabung eingehendes
Studium, sind in ihrer Bauart besonders dadurch kompliziert, dass ihre Ablesevorrichtung nicht linear geteilt ist und sind überdies der vielen zusammenzubauenden Einzelteile wegen ausser- gewöhnlich teuer.
Gegenstand der vorliegenden Erfindung ist ein Rechengerät, welches in seiner Handhabung einfach und, da es aus lauter geraden Teilen besteht, auch billig herzustellen ist. Da in diesem
Gerät die Ablesevorrichtungen gleich und linear geteilt sind, wodurch die Ablesung mittels
Nonien möglich ist, kann auch bei gedrängter
Bauart eine Genauigkeit von drei Stellen erzielt werden.
In Fig. 1, 2 und 3 ist das Gerät dargestellt, in Fig. 4 Einzelteile desselben. Um besseren Einblick zu gewinnen, ist in Fig. 1 die Platte 1 a abgehoben und sind in Fig. 2 die Schlitzhebel 3 a-3 k weggelassen. In das Plattenpaar 1 a und 1 b sind Schlitze 8 eingefräst, welche durch die ganzen Platten gehen. Ausserdem ist in den rechten Teil dieser Platten genau in der Mitte zwischen den beiden Schlitzen 8 je ein weiterer Schlitz 81 eingefräst. Die Platten tragen überdies Zapfen Z, um welche drehbar Schlitzhebel angeordnet sind. Zwischen diesen beiden Platten ist eine dritte Platte 2 angeordnet, in welche die Schlitze S2 eingefräst sind und welche die Zapfen Zi trägt, um welche drehbar ebenfalls Schlitzhebel angeordnet sind.
Durch die Distanzstücke 5 sind einerseits die Platten 1 a und 1 b fest verbunden, anderseits wird die Platte 2 durch diese so geführt, dass sie senkrecht zur Richtung der Schlitze bewegt werden kann.
Im Zwischenraum, der zwischen der Platten 1 a und 2 bzw. zwischen den Platten 2 und 1 b gebildet wird, bewegen sich die Schlitzhebel 3 a, b, c, d, h, j bzw. 3 e, f, g und k. Die jeweilige Stellung der Platte 2 kann durch den auf Platte 1 b fix angebrachten Nonius N abgelesen werden.
Im Schlitz 8 von Platte 1 a geführt und mit dem Zapfen in den Schlitzhebel 3 a eingreifend, ist die Einstellstange 6 a angeordnet, welche in Richtung des Schlitzes S von Hand aus verstellbar und fixierbar ist und deren Stellung durch Nonius Ni abgelesen werden kann. Die Verbindungsstange 4 d, im Schlitz S2 der Platte geführt, greift mit ihren Zapfen einerseits in den Schlitzhebel 3 a, anderseits in den um Z1 drehbaren Schlitzhebel 3 b ein. In gleicher Weise verbindet 4 b, im Schlitz S von Platte 1 a geführt,
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4 c im Schlitz S2 von Platte 2 laufend mit 3 d verbunden und schliesslich wird 3 d durch 4 d mit dem langen Schlitzhebel 7 a verbunden.
Bezeichnet man die durch 6 a erfolgte Verschiebung aus der Nullage (Nullstellung von 3 a, wenn 3 a senkrecht zu S steht) mit a, den Abstand der Zapfenmitte Z von Schlitzmitte S mit m, den Abstand der Schlitzmitte S2 von Zapfen-
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brauchbare Wert von a (entsprechend einer Neigung des Schlitzhebels 3 a von 450 zu Schlitz S) wird gleichfalls mit 1 bezeichnet.
Die Platte 2 kann folgende Stellungen einnehmen : Die Schlitze S, decken sich mit den Schlitzen S der Platten 1 a und 1 b. Diese Lage ist die Stellung für x = 1. Schiebt man die Platte 2 nach oben, so entfernen sich die Schlitze voneinander und kommt schliesslich über Zapfenmitte Z zu liegen. Dies ist die Stellung x = O. Wird Platte 2 weiter nach oben geschoben, so erreicht man, wenn sich die Zapfen Z und Zt in einer geraden Linie befinden, die Stellung x =-.
Mit der eben beschriebenen Vorrichtung ist es möglich, alle Werte von a x4 für acul, x < 1 darzustellen. Da die angezeigte Potenz von x gleich ist der Anzahl der verwendeten Schlitzhebel, kann man durch Weglassung bzw. Hinzufügung von Schlitzhebeln auch niedrigere bzw. höhere ganzzahlige und positive Potenzen von a xn zur Darstellung bringen.
Um die Wurzeln der Gleichung
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durch das Hebelsystem 3 a, 3 b, 3 c und 3 d, eine zur gleichzeitigen Ermittlung von bx3 durch das Hebelsystem ? e,. ?/ und. ? eine
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solche für cx2 durch die Hebel 3 h und 3 und schliesslich eine für dx durch den Hebel 3 k dargestellt. Sind die Koeffizienten auf den Einstellstangen 6 a, 6 b, 6 c und 6 d eingestellt, so bewegen sich während der Verschiebung der Platte 2 die Teile 4 d, 8, 4 e und 41 gleichzeitig um die Werte ax, bx3, cx2 und dx. Durch die beiden Schlitzhebel 7 a und 7b und durch den in den Schlitzen 81 geführten Kreuzkopf 9 werden diese vier Bewegungen algebraisch addiert.
In den Schlitzhebel 7 a greift der zweite Zapfen von 4 d, der Kreuzkopfzapfen 9 und der zweite Zapfen von 4 e ein. In den Schlitzhebel 7 b greift der zweite Zapfen von 4f, ebenfalls der Kreuzkopfzapfen 9 und der Zapfen Z2 des Noniusträgers 10, welcher auf der Ablesestange 8 gleitet, welch letztere die Bewegung von bx3 mitmacht, ein. Der Nonius von 10 zeigt auf der Skala von 8 den jeweiligen Wert e an. Die Platte 2 ist so lange zu verschieben, bis auf 8 das verlangte e erscheint, was so oft geschieht, als die Gleichung reelle Wurzeln hat.
Da mit diesem Gerät nur Gleichungen, deren Unbekannte und Koeffizienten kleiner als 1 sind, gelöst werden können, muss eine Einrichtung mitbenutzt werden, welche es ermöglicht, auch
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wenn man sie durch 104n dividiert :
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Fig. 5 zeigt eine Glastafel n, auf welche ein Raster aufgedruckt ist, welcher Nullen mit dahinterstehendem Dezimalpunkt in der gezeigten Anordnung aufweist. Diese Glasplatte kann in den Schlitzen des Kästchens 12 verschoben werden. In einer Nut des Kästchens unmittelbar unter der Glasplatte läuft Schieber 13, welcher seitlich verschoben und ganz herausgezogen werden kann und eine Einteilung besitzt, welche dem Raster der Glasplatte entspricht. Am linken Ende der Zeilen der Glasplatte stehen von oben nach unten die aufeinanderfolgenden
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Auf dem Schieber 13 sind zum Einsetzen der Koeffizienten Dezimalpunkte angebracht, welche mit den auf der Zeile bei 1 der Glasplatte stehenden Dezimalpunkten übereinstimmen, d. h. mit denselben bei entsprechender Einstellung des Schiebers in Deckung gebracht werden können.
Setzt man auf dem herausgezogenen Schieber 13 die tatsächlichen Werte der Koeffizienten der Gleichung, also z. B. a=9-4 ; b=8-2 ; c=334 ; d=127 ; e=48. 310 ein (Fig. 5) und führt den Schieber wieder unter die Glasplatte, so können durch seitliches Verschieben des Schiebers 13 alle Koeffizienten mit IOn mu1tipliziert werden, wodurch die Gleichung nicht geändert wird, jedoch alle Koeffizienten kleiner als 1 gemacht werden können. Schiebt man jedoch die Glasplatte auf-oder abwärts und beobachtet den Stellenwert der Koeffizienten in bezug auf die der Glasplatte aufgedruckten Dezimalpunkte,
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Um mit dem beschriebenen Rechengerät operieren zu können, werden auf dem herausgezogenen Schieber 13 die Koeffizienten mit ihrem richtigen Wert angeschrieben. Dann wird der Schieber so weit unter die Glasplatte geschoben, bis die erste Stelle des Koeffizienten von x4 unmittelbar rechts von der entsprechenden Null der Glasplatte (also der ersten links) zu stehen kommt. Dann wird die Glasplatte 11 so lange auf-bzw. abwärts geschoben, bis alle Koeffizienten möglichst knapp rechts von den entsprechenden Nullen der Glasplatten zu stehen kommen. Die Koeffizienten werden nun mit den Werten, welche sie in bezug auf die Dezimalpunkte der Glasplatte haben (im Beispiel Fig. 5
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und 6 d eingestellt.
Wenn nun e kleiner ist als die Summe der nun erhaltenen Werte von a+b+c+d, so müssen in einem Durchgang der Schieberplatte J ? von- bis +1 zumindest alle reellen positiven Wurzeln gefunden werden können. Um auch alle negativen Wurzeln mit Sicherheit zu erhalten, ist zu untersuchen, ob e auch kleiner ist als a-b+c-d. War dies nicht der Fall, so muss die Glasplatte solange verstellt werden und die Wurzeln nach neuerlicher Einstellung der Einstelistangen gesucht werden, da sich alsdann die negativen Wurzeln in einem anderen Potenzbereich von 10 befinden als die positiven.
Obige Behauptung wird wie folgt begründet : Bei der Stellung Null der Schieberplatte 2 zeigt der Nonius von 10 auf Null, da ax4+bx3+cx2+ +dx=O, wenn x=O. e=a+b+c+d wenn x=l. Wenn also e < (a+b+c+d), so muss, wenn Platte 2 von 0 nach 1 gelangt ist, der Nonius von 10 den Wert e passiert haben. Dasselbe gilt für negative Wurzeln, wenn e < (a-b+c-d).
Die am Nonius N abgelesenen Wurzelwerte müssen sonach mit der am linken Zeilenende der Glasplatte stehenden, über dem Schieber befindlichen Zahl (im Beispiel Fig. 5 mit 10) multipliziert werden, um deren richtigen Wert zu finden.
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