KR20070020131A

KR20070020131A - 신호 처리를 위한 행렬-값 방법 및 장치

Info

Publication number: KR20070020131A
Application number: KR1020077000565A
Authority: KR
Inventors: 하산 세히토글루
Original assignee: 하산 세히토글루
Priority date: 2004-06-10
Filing date: 2005-06-06
Publication date: 2007-02-16
Also published as: BRPI0511849A; WO2005122717A2; JP2008503186A; WO2005122717A3; US7296045B2; AU2005253948A1; US20060085497A1; CN101061474A; CA2561001A1; RU2007100349A; EP1787218A2; AU2005253948A2

Abstract

본 발명은 디지털 신호들을 처리하기 위한 신규한 행렬-값 변환 프레임 워크에 관한 것이다. 본 발명의 일 양상에 따라, 행렬-값 방법 및 장치는 시간 영역으로부터의 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 주파수 영역으로 변환하는 것으로 개시된다. 또다른 양상에서, 행렬-값 방법 및 장치는 주파수 영역으로부터의 벡터-값 데이터 시퀀스를 시간 영역으로 변환하는 것으로 개시된다. 또한, 본 발명에 개시된 새로운 프레임 워크는 행렬-값 통신 시스템의 기본적인 신호 처리 기능 및 동작들을 위한 다수의 방법 및 장치들을 제공한다. 상기 기능 및 동작들은 행렬-값 고속 푸리에 변환, 행렬-값 선형 및 순환 컨벌루션, 행렬-값 상관, 행렬-값 멀티플렉싱 및 디멀티플렉싱, 및 행렬-값 데이터 코딩 및 디코딩을 포함하지만 이에 제한되지 않는다.

Description

신호 처리를 위한 행렬-값 방법 및 장치{MATRIX-VALUED METHODS AND APPARATUS FOR SIGNAL PROCESSING}

본 발명은 일반적으로 신호 처리를 위한 행렬-값(matrix-valued) 방법 및 장치에 관한 것이다. 특히, 본 발명은 행렬-값 고속 푸리에 변환(FFT) 및 행렬-값 역 고속 푸리에 변환(IFFT) 방법 및 프로세서에 관한 것이다.

본 발명은 스칼라-값 함수, 변수, 양, 알고리즘 및 시스템에 반대되는 행렬-값 함수, 변수, 양, 알고리즘 및 시스템을 다룬다. 이러한 함수, 변수, 양, 알고리즘 및 시스템을 설명하기 위해서, 다음 개념이 본 명세서에서 사용된다.

- 스칼라 함수 및 변수들은 소문자(예를 들어, x,y,a)로 표시된다.

- 문자 k, n, m, r, p, q, K, N, m 은 정수 변수들을 표시하는데 사용된다.

- 스칼라 양의 벡터는 굵은 소문자(예를 들면, x, a)로 표시된다.

- 스칼라 행렬은 굵은 대문자, 타임 로만(Times Roman) 폰트(예를 들면, X, A)로 표시된다.

- 행렬들의 행렬은 굵은 대문자, 유클리드(Euclid) 폰트(예를 들면, W, H)로 표시된다.

- 주어진 사이즈의 단위 행렬은 I 로 표시된다. 즉,

이다.

- 다음과 같은 엘리먼트들

을 갖는 대각 행렬은 대각

로 표시된다.

- 올-제로 행렬 또는 벡터는 0 으로 표시된다.

- 심벌

는 행렬 또는 벡터의 복소 공액 전치(complex conjugate transpose)를 표시하기 위해서 사용된다.

- 심벌 j 는 허수

를 표시하는데 사용된다.

-

는 벡터 x의 놈(norm)을 나타낸다.

- (p-m) mod M 은 (p-m)을 M으로 나누고, 그 나머지만을 취하는 것을 나타낸다.

본 발명을 이해하기 위해서, 스칼라 변수들을 포함하는 알고리즘의 행렬 폼과 행렬 변수들을 포함하는 행렬-값 알고리즘 사이의 차이를 이해하는 것이 중요하 다. 예를 들어, 2개의 알려진 스칼라들{y₁, y₂}와 2개의 알려지지 않은 스칼라 {x₁, x₂} 사이의 다음 관계식을 고려해보자.

상기 스칼라-값 등식의 행렬 폼은 다음과 같이 표현될 수 있다.

또는,

모든 행렬들 및 벡터들은 스칼라-값을 갖는다. 대조적으로, 2개의 알려진 행렬

및 2개의 알려지지 않은 행렬

사이의 유사한 관계식을 고려해보자.

이러한 행렬-값 등식은 다음과 같이 압축된 형태로 표현될 수 있다.

또는,

등식 6의 모든 행렬들 및 벡터들은 행렬-값 객체들임을 주의하여야 한다. 비록 등식 3의 A 및 B가 스칼라 행렬이지만, 등식 6의 A 및 B는 행렬들의 행렬이다. 즉, 등식 3의 기본 수학 유닛(unit)은 스칼라 엔티티이지만, 등식 6의 기본 수학 유닛은 행렬 엔티티이다. 행렬들의 벡터(이하 "하이퍼 행렬"로 칭함) 및 행렬들의 행렬(이하 "하이퍼-행렬"로 칭함)은 스칼라들의 행렬로 취급될 수 있다. 그러나, 이러한 벡터들 및 행렬들의 차원(dimension)들이 수천 개로 증가하면, 스칼라 프레임워크를 사용하는 과거의 계산적 방법 및 알고리즘들은 수렴하지 못하고, 결과적으로 수용될 수 없는 해법들을 제공한다.

다른 한편으로, 행렬-값 프레임워크는 수천 개의 행렬-값 입력들 및 출력들을 갖는 고차 시스템들을 표현하는데 편리하다. 이는 정확한 수치적 해법들을 발견하는데 매우 효율적이다. 또한, 행렬-값 프레임워크는 오리지널 개념들을 도입하고 새로운 분석 및 설계 기술들을 개발하는데 고유한 플랫폼이다. 행렬-값 방법들 및 알고리즘들은 스칼라 기반 프레임워크에 비해 보다 일반적이다. 비록 행렬-값 방법들 및 알고리즘들이 그들의 스칼라-값 대응부(counterpart)로 감소될 수 있지만, 그 역은 그렇지 아니하다. 즉, 스칼라 프레임워크의 솔루션 방법 및 알고리즘은 행렬-값 문제들의 영역으로 직접 또는 즉시 연장되지 않는다. 예를 들어, 나눗셈 개념은 스칼라 영역에서 잘 확립된다. 그러나, 2개의 벡터 또는 2개의 행렬 들의 나눗셈은 벡터 또는 행렬 영역에서 정의되지 않는다. 대신, 행렬 인버젼 개념이 사용되어야 한다. 스칼라 관점에서 비롯되는 이러한 종류의 문제점들은 본 명세서에서 제시되는 신규한 개념들 및 솔루션 방법들이 왜 지금까지 발견되기 어려웠는지에 대한 이유를 설명한다.

종래 기술에서, 일련의 정보는 스칼라 값 신호들의 형태로 처리된다. 이러한 시스템에서, (연속 또는 이산적인) 시간의 하나의 변수 함수는 소정 시간 주기에서 데이터 스트림의 특정 특성들이 어떻게 변경되는지를 기술하는데 충분하다. 신호 처리 문제들을 분석 및 해결하는 가장 일반적인 방법은 스칼라-값 푸리에 변환 특성들을 이용하는 것이다. 푸리에 변환은 주파수 영역에서 신호들을 표현하는 주요한 툴이다. 스칼라-값 푸리에 변환의 의미를 설명하기 위해서, 그리고 종래 기술의 하나의 변수 속성을 강조하기 위해서, 이산 시간 신호의 N개의 샘플들 세트

를 고려해보자. 이제, x(n)에 대한 기존의 이산 푸리에 변환(DFT)은 다음과 같이 정의된다.

여기서, 심벌 j는 허수

를 나타낸다. (시간 영역에서) N개의 실제 데이터 값들은 (주파수 영역에서) N개의 복소 DFT 값들로 변환된다. 이와 같이, N개의 이산 주파수 샘플들 세트

가 주어지면, 기존의 역 이산 푸리에 변환(IDFT)는 다음과 같이 주어진다.

공통 항이 존재하기 때문에, 상기 정의들은 다음 심벌

을 도입함으로써 간략화된다.

w는 스칼라-값이고, 실제로 트위들 인자(twiddle factor)로 지칭된다. 등식(7) 및 (8)은 트위들 인자의 관점에서 다음과 같이 기록된다.

등식 7에 정의된 DFT 샘플들은 행렬-벡터 폼으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

또는

여기서, x는 N 입력 샘플들의 벡터이고, f는 DFT 변환 샘플들의 벡터이고, F는 N x N 푸리에 행렬이다. 유사한 형태로, IDFT 관계식은 행렬-벡터 폼으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서,

은 푸리에 행렬의 역(inverse)이다. DFT가 디지털 신호 처리 알고리즘의 분석, 합성 및 실행에서 행하는 중요한 역할은 당업자에게 잘 알려져 있다. 예를 들어 다음 문서들을 참조하라.

차원(dimension)의 개념이 공간을 포함하도록 연장되면, 1 차원에서 DFT의 많은 개념들 및 특성들이 다중 차원 신호들로 연장될 수 있다. 예를 들어, 이미지의 주파수 컨텐츠를 측정하기 위해서, 2차원 DFT 분석이 다음 등식을 사용하여 이뤄진다.

이러한 등식을 2개의 1차원 DFT 시퀀스로 변환하는 것은 기수항이 2개의 항으로 인수분해(factor)될 수 있음을 이해함으로써 달성된다. 그러나, 2차원 데이터가 처리되더라도, 등식 15의 변환 관계식이 여전히 그 입력 x(n₁, n₂) 및 출력 f(k₁,k₂) 샘플들의 관점에서 스칼라-값 알고리즘임을 강조하는 것이 중요하다. 이러한 스칼라-값 공식은 3차원 비디오 처리와 같은 고차원에서 적용된다.

또 다른 일반적인 DFT 개념은 비-균일 이산 푸리에 변환(NDFT) 방법이다. NDFT는 비-균일 분포 주파수 포인트들에서 샘플링함으로써 달성된다. 그러나, 많은 데이터 샘플들에 있어서, NDFT는 불량 조건 계산들을 초래한다. NDFT의 상세 내용은 다음 문서를 참조하라.

종래 기술에서, DFT 계산을 위해서 많은 수의 곱셈들 및 덧셈들이 요구된다. 예를 들어, N=1024인 경우, 대략 백만개의 복소 곱셈들 및 백만개의 복소 덧셈들이 필요하다. 실제로, DFT는 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘을 사용하여 평가되고, 이러한 고속 푸리에 변환 알고리즘은

개의 곱셈들을 필요로 한다. 이는 N²개의 곱셈들에 비해 상당한 감소이다. FFT 알고리즘의 상이한 버젼들이 존재한다. 종래의 FFT 기술의 보다 상세한 내용은 다음 문서들에 제시되어 있다.

종래의 스칼라-값 DFT 및 IDFT 방법 및 관련된 FFT 기술과 관련된 특허들은 다음 문서들에 제시되어 있다.

그리고 상기 특허들은 본 명세서에서 참조된다.

도1은 입력 칼럼(10)에서 4개의 데이터 값들 x[0]-x[3] 및 출력 칼럼(15)에서 4개의 데이터 값들 f[0]-f[3]을 갖는 종래 기술의 FFT 방법에 대한 그래픽 표현이다. 이러한 특정 방법은 시간 데시메이션(decimation-in-time) FFT 방법으로 공지되어 있다. 도2는 나비형 시스템으로 지칭되는 시간 데시메이션 동작들의 반복(recurring) 그룹을 보여주는 도이다. 전형적인 기존의 FFT 방법은 일련의 스칼라-값 나비형 시스템으로 구성된다. 도2에 제시된 예에서, 나비형 시스템은 입력 칼럼(20)에서 2개의 스칼라 값들 x[0] 및 x[1]과 출력 칼럼(25)에서 2개의 스칼라 값들 f[0] 및 f[1]을 갖는다. 따라서, 이러한 시스템은 기수(radix)-2 FFT 알고리즘으로 지칭된다.

스칼라-값 DFT 표현(도7 참조)은 시간 영역 입력 샘플들이 주파수 영역 정보와 어떻게 관련되는지를 정의한다. 길이 N을 갖는 유한-듀레이션 신호의 N-포인트 스칼라-값 DFT는 주파수

에서 신호의 푸리에 변환과 동일하다.

명확하게, 스칼라-값 DFT는 단지 가용한 샘플 포인트들만큼의 주파수 스펙트럼의 포인트들을 계산할 수 있다. 즉, 이산 시간 신호의 N-포인트 스칼라-값 DFT는 N개의 등거리 주파수 영역 포인트들에서 푸리에 변환의 일정한 샘플링에 대응한다. 이러한 사실로 인해, 스칼라-값 DFT는 주파수 스페이싱에 관한 한 엄격한 구조를 갖는다. 필요한 것은 주파수 영역 파라미터를 규정하는데 있어서 유연성을 갖는 새로운 DFT/FFT 방법이다.

예외없이, 종래의 DFT 및 관련 FFT 기술은 스칼라-값 신호들 및 변수들에서 동작하는 스칼라-값 변환 알고리즘에 기반한다. 그러나, 대부분의 실제적인 다이나믹 시스템들(예를 들면, 통신 및 제어 시스템들)은 다수의 입력들 및 다수의 출력들(MIMO)을 포함한다. 예를 들어, 무선 MIMO 통신 시스템에서 다수의 송신 및 수신 안테나 엘리먼트들을 고려해보자. 이러한 시스템들은 수천개의 차원들을 갖 는 벡터 및 행렬 변수들을 통해 모델링된다. MIMO 시스템들을 분석 및 합성하기 위해서, 벡터 및 행렬-값 신호들, 함수들 및 변수들에서 동작하는 행렬-값 DFT/FFT 알고리즘이 필요하다.

본 발명은 전술한 스칼라-값 DFT/FFT 기술의 난점 및 한계를 극복하고, 행렬-값 프레임워크를 제공함으로써 원론적이고 포괄적인 솔루션을 제공한다. 이러한 새로운 플랫폼은 행렬-값 시간 대 주파수 영역 변환 방법 및 알고리즘을 제공하여 새로운 행렬 값 장치들 클래스를 제공한다. 본 발명의 추가적인 목적 및 장점들은 도면을 참조하여 상세히 설명된다.

본 발명은 다이나믹 시스템에서 신호들을 처리하기 위한 신규한 행렬-값 변환 프레임 워크를 제시한다. 수개의 가능한 애플리케이션 영역을 언급하기 위해서, 예를 들어 무선 및 유선 통신 시스템들에서의 신호 처리, 비디오 시스템에서의 이미지 처리, 레이더 및 음파 처리, 엔지니어링 과학 분야에서의 통계적 데이터 분석 및 합성, 및 경제 시스템을 고려한다. 여기서 제시되는 행렬 값 플랫폼은 행렬 값 신호 처리 장치의 기본적인 기능 및 동작에 대한 복수의 방법 및 알고리즘들을 제공한다. 이러한 기능들 및 동작들은 행렬-값 푸리에 변환, 행렬-값 선형 및 순환 컨벌루션, 행렬-값 상관, 행렬-값 변조 및 복조, 행렬-값 멀티플렉싱 및 디멀티플렉싱, 행렬-값 포맷팅, 행렬-값 에러 코딩 및 디코딩, 행렬-값 스펙트럼 확산, 행렬-값 잡음 신호 필터링, 및 행렬 값 검출을 포함하지만, 본 발명이 이들로 한정되는 것은 아니다.

본 발명은 뒤이은 처리를 위한 정보를 추출하기 위해서 벡터-값 데이터 샘플들의 신호 처리, 특히 디지털 신호 처리에 관한 것이다. 본 발명의 일 양상에 따르면, 행렬-값 방법은 시간 영역으로부터 주파수 영역으로 벡터-값 이산 데이터 시퀀스를 변환하기 위해서 기술된다. 또 다른 양상에서, 행렬-값 방법은 주파수 영역에서 시간 영역으로 벡터-값 이산 데이터 시퀀스를 변환하기 위해서 기술된다. 정보를 추출하기 위해서, 길이 M의 벡터-값 샘플 시퀀스는 길이 N의 이산 시간 입력 데이터 시퀀스로부터 구축된다. 각각의 벡터-값 샘플 시퀀스 엘리먼트는 다중 차원 공간에서 벡터 포인트를 나타내는 차원 d x 1 벡터이다. 여기서, 심벌 M, N, 및 d는 미리 결정된 정수이다. 이산 시간 입력 시퀀스는 N개의 인스턴스들에서 수집된 하나의 소스에서, 또는 M개의 인스턴스들에서 수집된 복수의 소스들에서 비롯된다. 따라서, 벡터들의 입력은 어셈블링될 수 있다. 이러한 벡터들의 벡터는 벡터-값 입력 시퀀스로 지칭된다. 이는 각각의 엔트리가 행렬-값 기수 함수인 행렬들의 행렬와 곱해진다. 기수 함수의 인수(argument)는 d x d 차원 양의 정부호 대칭 실수 행렬이다. 행렬들의 행렬 및 벡터들의 벡터의 행렬-벡터 곱셈을 수행한 후에, 벡터-값 출력 시퀀스가 획득된다. 이러한 연산 시퀀스는 행렬-값 푸리에 변환으로 지칭되고, 이러한 연산의 역 시퀀스는 행렬-값 역 푸리에 변환으로 지칭된다.

일 양상에서, 본 발명은 벡터-값 출력 시퀀스를 신속하게 그리고 효율적으로 계산하는 복수의 방법 및 장치들에 관한 것이다. 효율성을 달성하기 위해서, 벡터-값 입력 시퀀스는 보다 짧은 길이를 갖는 보다 작은 벡터들의 출력 벡터를 계산함으로써 연속하여 작아지는 서브-시퀀스로 분해된다. 이를 통해, 순환적인 구조가 획득되고, 여기서 예를 들어 벡터들의 2개의 출력 벡터가 벡터들의 4개의 보다 짧은 출력 벡터로 분해되고, 이들은 추가로 벡터들의 8개의 보다 짧은 출력 벡터로 분해된다. 이러한 분해는 출력 벡터들의 길이들이 2가 되는 단계까지 계속된다. 따라서, 하나의 영역에서 다른 영역으로 벡터-값 데이터를 변환하는데 있어서 실질적인 시간 절약이 달성될 수 있다. 이러한 분해 시퀀스는 소위 행렬-값 고속 푸리에 변환 프로세서 장치에 의해 수행된다. 이러한 연산들의 역 시퀀스는 소위 행렬-값 역 고속 푸리에 변환 프로세서 장치에 의해 수행된다.

또 다른 양상에서, 본 발명은 대안적인 커널(kernel) 함수들을 사용함으로써 추가적인 행렬-값 방법들을 설명하고, 이를 통해 이산 코사인 변환, 이산 사인 변환, 이산 힐버트(Hilbert) 변환, 이산 하트레이(Hartley) 변환, 이산 가버(Gabor) 변환 및 이산 라돈(Radon) 변환과 같은 다른 행렬-값 신호 처리 변환들을 생성하는 방법을 보여준다.

또 다른 양상에서, 본 발명은 이산 시간 행렬-값 시퀀스를 사용함으로써 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 다른 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스로 변환하는 복수의 방법 및 알고리즘과 관련되며, 이산 시간 행렬-값 시퀀스에서, 이산 시간 행렬 값 시퀀스의 엘리먼트들은 시간에서 순환적으로 반전되고(reverse) 모듈러 M 연산을 사용하여 우측으로 쉬프트된다. 이산 시간 행렬-값 시퀀스는 행렬들의 블록 순환 행렬로 어셈블링된다. 행렬들의 순환 행렬 및 벡터들의 벡터의 행렬-벡터 곱셈을 수행한 후에, 벡터들의 출력 벡터가 획득된다. 또한, 본 발명은 MIMO 시스템의 행렬-값 순환 컨벌루션이 행렬-값 푸리에 변환과 관련된 고속 방법들 및 알고리즘들을 사용하여 어떻게 달성될 수 있는지를 설명한다.

또 다른 양상에서, 본 발명은 MIMO 다이나믹 시스템들의 선형 컨벌루션과 관련된다. 특히, 본 발명은 신호 처리를 위해 행렬-값 선형 컨벌루션 및 상관을 계산하기 위해서 MIMO 다이나믹 시스템들의 행렬-값 순환 컨벌루션이 어떻게 사용될 수 있는지를 설명한다.

추가적인 양상에서, 본 발명은 행렬-값 고속 푸리에 변환 및 행렬-값 역 고속 푸리에 변환 알고리즘을 수행하기 위한 하드웨어 및 소프트웨어 수단으로 구성되는 행렬-값 장치에 관한 것이다.

또 다른 양상에서, 본 발명은 행렬-값 IFFT 프로세서에 의해 생성된 벡터-값 및 직교 주파수 분할 멀티플렉싱 신호들을 갖는 통신 시스템과 관련된다. 이러한 시스템은 다음 구성요소들을 포함한다.

(a) 미리 결정된 변조 기술에 의해 입력되는 직렬 데이터를 코딩 및 변조하는 코더 및 변조기 장치;

(b) 다수의 직렬 데이터 스트림을 병렬 벡터-값 데이터 스트림으로 분할하는 직렬-병렬 벡터 컨버터 모듈;

(c) 행렬-값 변환 동작을 수행하는 행렬-IFFT 프로세서;

(d) 벡터 시퀀스가 전송되기 시작할 때 심벌 시퀀스에 대한 미리 결정된 벡터 샘플들의 카피를 반복하는 순환적으로 연장되는 보호 대역 가산기;

(e) 원하지 않는 잡음 및 주파수 왜곡들을 필터링하기 위한 행렬-전송 필터 모듈;

(f) 다수의 직렬 데이터 스트림들을 생성하기 위한 병렬-직렬 벡터 컨버터 모듈;

(g) 디지털 데이터 스트림들을 아날로그 영역으로 변환하고, 아날로그 신호들을 적절한 RF 캐리어 주파수로 상향 변환하고, 복수의 전송 안테나들로부터 결과적인 신호들을 전송하는 송신기;

(h) 복수의 수신 안테나들에서 송신된 RF 신호들을 수집하고, RF 신호들을 베이스밴드 파형으로 하향 변환하고, 아날로그로부터 디지털 영역으로 신호들을 변환하는 수신기;

(k) 상기 디지털 신호들을 판독하고 그들의 값들을 병렬 벡터 라인들에서 유지하고, 이를 통해 수신된 직렬 데이터 다중 스트림들을 병렬 벡터-값 데이터 스트림들로 분리시키는 직렬-병렬 벡터 컨버터 모듈;

(m) 보호 대역에서의 벡터 샘플들을 제거하는 벡터 순환 전치 제거기;

(n) 원하지 않는 신호 및 간섭 잡음을 필터링하는 행렬-값 수신 필터 모듈;

(p) 행렬-값 변환 연산을 수행하는 행렬-FFT 프로세서;

(q) 전송 채널의 추정된 베이스밴드 등가 임펄스 응답 행렬을 결정하고, 전송 채널의 영향을 제거하는 행렬 등화기 모듈;

(r) 병렬 벡터-값 데이터 스트림들을 다시 직렬 데이터 다중 스트림들로 변환하는 병렬-직렬 컨버터 모듈; 및

(s) 복조, 검출, 및 디코딩하여, 상기 직렬 데이터 비트들을 원래 형태로 복원하는 검출기 및 디코더.

또 다른 양상에서, 본 발명은 이미지, 비디오, 및 음악 데이터 코딩 및 디코딩(CODEC) 시스템과 관련되고, 이러한 시스템은 다음과 같은 구성요소들을 포함한다.

(a) 소스 데이터의 다중 스트림들을 병렬 벡터-값 데이터 스트림들로 분할하는 직렬-병렬 벡터 컨버터 모듈;

(b) 행렬-값 이산 코사인 변환 동작을 수행하는 프로세서;

(c) 상기 이미지의 시각 표현에 중요하지 않은 상기 변환된 데이터의 상기 성분들을 제거하기 위한 양자화 모듈;

(d) 행렬-값 역 이산 코사인 변환 연산을 수행하기 위한 프로세서; 및

(e) 병렬 벡터-값 데이터 스트림들을 다시 다수의 직렬 데이터 스트림들로 변환하기 위한 병렬-직렬 벡터 컨버터 모듈.

본 발명의 바람직한 실시예들은 다음의 도면들과 관련하여 예시적으로 설명되며, 이에 제한되지 않는다.

도 1은 종래 기술의 4-포인트 시간-데시메이션 스칼라-값 FFT 프로세서에 대한 기능적 신호 흐름도를 나타낸다.

도 2는 종래 기술의 2-포인트 스칼라-값 FFT 프로세서에 대한 나비형 다이어그램을 나타낸다.

도 3은 2-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대한 나비형 다 이어그램을 나타낸다.

도 4는 4-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대한 기능적 신호 흐름도를 나타낸다.

도 5는 8-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대한 기능적 신호 흐름도를 나타낸다.

도 6은 8-벡터 포인트 주파수-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대한 기능적 신호 흐름도를 나타낸다.

도 7은 종래 기술의 예시적인 스칼라-값 OFDM 통신 시스템을 나타낸다.

도 8은 유한 임펄스 응답을 가지는 MIMO 통신 채널의 행렬-값 모델에 대한 기능적 신호 흐름도를 나타낸다.

도 9는 행렬-값 OFDM 통신 시스템의 송신기 측에 대한 기능적 신호 흐름도를 나타낸다.

도 10은 행렬-값 OFDM 통신 시스템의 수신기 측에 대한 기능적 신호 흐름도를 나타낸다.

설명하기 위한 목적으로, 다음의 설명에서는, 본 발명을 용이하게 이해하도록 하기 위하여 구체적인 세부사항들이 기술된다. 그러나, 본 발명은 이러한 구체적인 세부사항들 없이도 실시될 수 있다는 것을 이해하도록 한다. 몇몇 예들에서, 알고리즘들과 장치들은 본 발명을 불필요하게 불명확하게 하는 것을 피하기 위해 기능 블록 다이어그램 형태로 설명된다.

1-행렬-값(1-Matrix-Valued) 이산 푸리에 변환 방법

본 발명에 대한 설명은 행렬-값 이산 푸리에 변환 방법(이하 행렬-DFT로 지칭됨)에 대한 설명으로 시작된다. 먼저, 이산 시간 신호의 N개의 샘플들의 세트 {x(n), n=0,1,2,. . . ,N-1}을 고려하도록 하며, 여기서 N은 미리 결정된 정수이다. 이러한 샘플 세트는 입력 데이터의 벡터 x로서 표현될 수 있다.

각각 두 개의 엘리먼트들을 가지는 다음의 서브-벡터들을 정의한다.

이제, 원래의 데이터 시퀀스는 아래에 보여지는 바와 같이 서브-벡터들의 M개의 샘플들과 관련하여 표현될 수 있다.

여기서, M=N/2이다. N이 정수 d에 의해 나누어질 수 있다면, 또한 길이 d의 서브-벡터들의 세트를 이용할 수 있다. 예를 들어, d=3이면, 서브-벡터들은 다음과 같이 표현될 것이다.

전체 데이터 벡터가 서브-벡터들의 벡터로서 표현되면, 데이터 벡터는 실제적인 환경들을 표현하기 위한 두가지의 가능한 방식들 중 하나로 해석될 수 있다:

1. 입력 데이터 벡터 x는 N개의 인스턴스들에서 수집된 하나의 소스/센서로부터의 샘플들에 대응한다.

2. 입력 데이터 벡터 x는 M개의 인스턴스들에서 수집된 다수의 소스들/센서들로부터의 샘플들에 대응한다.

그리하여, 입력 데이터 벡터의 서브-벡터들 {x _m , m=0,1,2,. . . ,M-1}은 행렬-DFT 방식의 벡터-값(vector-valued) 샘플들 또는 벡터 포인트들로 지칭될 것이다. 또한, 길이 M의 벡터-값 이산 시퀀스는 M-벡터 포인트 시퀀스로 지칭될 것이다.

다음으로, 다르게 서술되지 않는다면, 벡터-값 입력 데이터 시퀀스의 길이 M은 2의 거듭제곱, 즉 M=2^α이며, α는 정수이다. 그 다음에, 이러한 경우가 아니라면, 제로-패딩(zero-padding) 프로세스를 이용함으로써, 데이터 포인트들의 전체수를 증가시키도록 제로 값 샘플들을 더하여 M이 2의 거듭제곱이 되도록 할 수 있다. 명확하게, 수학적 귀납법에 의해, 본 발명에서 제시되는 알고리즘들은 데이터 시퀀스에 있는 벡터 포인트들의 개수가 임의의 주어진 정수 r의 거듭제곱; 즉, M=r^α이 되는 경우로 용이하게 일반화될 수 있다. 그리하여, 정수 r은 행렬-DFT 방식의 기수(radix)로 지칭될 것이다.

이제, 벡터 포인트들의 개수 M이 r의 거듭제곱이고 M=N/d이며 d는 각각의 벡터 포인트의 길이인 입력 벡터 x를 고려하도록 한다. 그 다음에, 벡터-값 샘플들 {x _m, m=0,1,2,. . . ,M-1}의 행렬-값 이산 푸리에 변환(이하, 행렬-DFT로 지칭됨)은 다음과 같이 표현된다.

여기서, 실수 행렬

은 d×d 차원의 포지티브-유한 대칭 행렬이다. 수식 21은 (시간 도메인에 있는) M개의 실수 또는 복소수 벡터 포인트들을 (주파수 도메인에 있는) M개의 복소수 벡터-값 샘플들을 변환한다는 것을 유의하도록 한다.

유사하게, M개의 주파수 도메인 벡터-값 샘플들의 세트 {f _p, p=0,1,2,. . . ,M-1}을 고려하도록 한다. 그 다음에 행렬-값 이산 푸리에 역변환(이하, 행렬-IDFT로 지칭됨)은 다음과 같이 표현된다.

상기 표현은 주파수 도메인 벡터-값 샘플들의 주어진 세트로부터 시간 도메인 벡터-값 시퀀스를 결정한다. 수식 21의 순방향 변환이 벡터 포인트들 {x _m, m=0,1,2,. . . ,M-1}로부터 스펙트럼 정보를 추출하기 때문에 수식 21의 순방향 변환은 분석 수식으로 알려져 있는 반면에, 수식 22의 역변환은 자신의 스펙트럼 정 보로부터 시간-도메인 신호를 재-구성하기 때문에 수식 22의 역변환은 합성 수식으로 알려져 있다.

행렬-DFT 및 행렬-IDFT 알고리즘들은 다음과 같은 행렬 기수 함수를 이용함으로써 단순화될 수 있다.

여기서, 행렬 W는 d×d 차원의 복소 제곱 행렬이다. 이하, 행렬 W는 회전 인자 행렬(twiddle factor matrix)로 칭하도록 한다. 수식 21 및 22는 회전 인자 행렬과 관련하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

벡터-값 시퀀스 {f _p, p=0,1,2,. . . ,M-1}는 단위원 주위에 균일하게 배치된 포인트들에서의 {x _m, m=0,1,2,. . . ,M-1}의 행렬-값 z-변환의 추정치로 볼 수 있다는 것을 유의하도록 한다. 결국 행렬-DFT 및 행렬-IDFT 쌍과 함께 빈번하게 사용되어야 하는 축약 표현은 다음과 같다.

f _p = mDFT(x _m)

x _m = mIDFT(f _p)

수식 24의 행렬-DFT 샘플들은 다음과 같은 행렬-벡터 형태로 표현될 수 있다.

여기서, 심볼 I는 d×d 차원의 단위 행렬이다. 상기 수식의 간결한 표현은 다음과 같다.

f = Wx

여기서, W는 행렬-DFT 알고리즘의 dM×dM 푸리에 변환 행렬이다. 여기서, W는 하이퍼(hyper)-행렬, 즉 행렬들의 행렬임을 유의하도록 한다. 유사한 방식으로, 행렬-IDFT 관계는 x = W ^-1 f와 같은 행렬-벡터 형태로 표현될 수 있다.

W에 대한 몇몇 사실들은 용이하게 알 수 있다. 첫번째 자명한 결과는 하이퍼-행렬 W가 대칭적이라는 사실이다. 두번째는, W가 직교 행렬-값 열들을 가지다는 것이다. 그러므로, W의 역행렬은 아래에서 보여지는 바와 같이 자신의 복소 켤레 전치로부터 직접 얻어질 수 있다.

여기서, 심볼 ┴는 복소 켤레 전치 연산을 표시하기 위해 사용된다. 그 결과, W의 역행렬을 결정하기 위해 시간-소모적인 행렬 역변환 알고리즘들을 사용할 필요가 없다.

행렬-DFT의 유효성(validity): 이제 행렬 이산 푸리에 변환이 유효하다는 것이 확인될 것이다; 즉, 주어진 {x _m, m=0,1,2,. . . ,M-1}의 M개의 이산 벡터 포인트들에서, 순방향 변환은 {f _p, p=0,1,2,. . . ,M-1}의 M개의 이산 벡터 포인트들을 출력하게 된다. 이러한 M개의 벡터들이 역변환에서 치환되면, 원래의 M개의 벡터들이 획득된다. 행렬-DFT의 유효성을 보여주기 위해, 다음과 같이 먼저 상기 분석 수식을 상기 합성 수식에 대입하도록 한다.

분석 수식의 합산 변수 m은 합성 수식의 m과의 혼동을 피하기 위해 k로 변경되었음을 유의하도록 한다. 다음으로, 합산의 순서는 다음과 같이 바뀌게 된다:

회전 인자 행렬은 포지티브-유한 행렬-값 인수를 가지는 기수 함수임을 상기하도록 한다. 이제, 복수 기수 함수들의 직교 성질의 이산 버전을 적용함으로써, 다음과 같이 수식이 표현될 수 있다.

그 결과, 수식 32는 다음과 같이 표현되고,

행렬-DFT의 유효성이 증명된다.

행렬-DFT의 대각 행태: 회전 인자 행렬에 있는 기수 함수의 행렬-값 인수 Φ는 행렬-DFT 알고리즘에서 가장 중요한 엘리먼트이다. Φ가 실수 포지티브-한정 대칭 행렬이기 때문에, Φ의 고유값들은 모두 실수이고 포지티브하며, Φ의 고유벡터들은 선형적으로 독립적이다. 그 결과, Φ는 자신의 반복된 고유값들을 가지는 경우에도 유사성에 의해 대각 행렬로 축약될 수 있다. 정리하면, Φ는 Φ=TΛ _Φ T ^-1 로 표현될 수 있으며, 여기서 Λ _Φ 는 Φ의 고유값들의 대각 행렬이다.

유사 변환 행렬 T는 Φ의 고유벡터들을 사용함으로써 구성된다. 이러한 Φ의 스펙트럼 분해에 따라, 행렬-DFT 표현은 다음과 같이 표현될 수 있다.

다음과 같이 두 개의 벡터 변수들을 도입한 후에,

및

행렬-DFT는 다음과 같이 자신의 대각 형태를 취한다.

Φ의 고유값들의 선택과 데이터 포인트들의 총 개수는 정확한 행렬-DFT 결과들을 얻기 위해 조정되어야 한다는 것을 유의하는 것이 중요하다. 컴퓨터 시뮬레이션은 고유값들과 데이터 포인트들의 총 개수의 몇몇 조합들은 정확한 행렬-DFT 결과들을 산출하지 않을 수 있다는 것을 보여준다. 추가적인 통찰력을 얻기 위해, 2×2 차원의 경우를 고려해보도록 한다.

0≤p≤M-1이고 0≤m≤M-1이기 때문에, 첫번째 고유값은 0,1,2. . . 부터 M-1의 횟수만큼 반복하는 주파수 성분들과 관련된다. 반면에, 두번째 고유값은 첫번째 고유값과 관련하여 3의 인자로 주파수 단위를 증가시킨다. 따라서, 두번째 고유값은 0,3,6. . . 부터 3(M-1)의 횟수만큼 반복하는 주파수 성분들을 제어한다. Φ의 고유값들은 상대적인 가중치가 얼마나 많이 벡터 샘플들의 각각의 엘리먼트에 적용되는지를 나타낸다. 이러한 이유로, 행렬 Φ는 행렬-DFT 알고리즘의 주파수-가중 행렬로 지칭된다.

회전 인자 행렬 W 또는 W의 주파수-가중 행렬 Φ의 차원들은 물리적 공간 차원이 아님을 인지하는 것이 중요하다. '차원'이라는 용어는 여기서 추상적인 수학적 개념으로서 사용된다. 행렬-DFT의 영역에서 공간 차원의 표시는 다음에 논의된 다.

공간 차원 및 행렬-DFT: 기본적인 행렬-DFT 방식은 2-차원 공간 변환 및 더 고차원의 공간 변환들로 확장될 수 있다. 2-차원 벡터-값 공간 데이터 시퀀스

를 고려하도록 하며, 여기서 M₁은 수평 주기이고 M₂는 수직 주기이다. 이러한 경우에, 공간 행렬-DFT는 다음과 같이 주어진다.

여기서, Φ ₁ 및 Φ ₂ 는 수평 및 수직 주파수-가중 행렬들이다. Φ ₁ 및 Φ ₂ 가 두 개의 교환 가능한 행렬들이면, 행렬 합의 기수가 행렬 기수들의 곱이라는 성질을 이용함으로써 2-차원 공간 행렬-DFT를 추가적으로 단순화시킬 수 있다. 이러한 특수한 경우에, 2-차원 공간 행렬-DFT는 1-차원 행렬-DFT들의 시퀀스로서 다음과 같이 표현될 수 있다.

명확하게, 위의 결과들은 더 고차원의 벡터-값 공간 데이터 시퀀스들을 포함하는 다중-차원 행렬-DFT들로 용이하게 확장될 수 있다.

행렬-DFT의 선형성: 선형성은 두 개의 벡터-값 신호들의 합에 대한 행렬-DFT의 출력이 두 개의 개별적인 입력 신호들의 행렬-DFT 출력들을 합산한 것과 정확하게 동일하다는 것을 의미한다. 이러한 성질은 아래와 같이 증명된다.

행렬-DFT의 주기성: 이제, 행렬-DFT가 주기가 M인 주기성을 가짐이 보여진다. 이러한 중요한 성질은 행렬-DFT의 p번째 벡터 포인트가 (p+M)번째 벡터 포인트와 비교되는 경우에 설정될 수 있다. 그리하여, 다음과 같이 시작하고,

여기서,

이기 때문에, 수식 43은 다음과 같이 표현된다.

f _p _+M=f _p 라는 사실은 행렬-DFT가 주기 M의 주기성을 가진다는 것을 보여준다.

행렬-DFT의 전력 계산: 벡터-값 시퀀스 {x _m, m=0,1,2,. . . ,M-1}와 관련된 전력은 벡터-값 시퀀스가 행렬-DFT에 의해 주파수 성분들로 변환되는 경우에 용이하게 계산될 수 있다. 먼저, 다음과 같이 주파수-도메인 벡터 f와 자신의 켤레 전치를 곱하는 것을 고려하도록 한다.

또는

그리하여, 상기 수식은 M에 의해 나누어진 행렬-DFT 벡터 포인트들의 크기들의 합이 벡터-값 이산 신호의 전력과 동일하다는 것을 증명한다.

2-행렬-값 고속 푸리에 변환 방법들 및 프로세서들

많은 수의 벡터-값 곱셈들 및 덧셈들이 행렬-DFT의 계산을 위해 필요하다는 것은 쉽게 알 수 있다. 4-벡터 포인트 행렬-DFT에 대하여, 분석 수식은 다음과 같이 주어진다.

여기서,

이기 때문에, 상기 수식은 다음과 같이 확장된다.

상기 수식은 우측에 4개의 항들을 포함한다. 각각의 항은 항상 복소수인 행렬 기수항과 실수 또는 복소수인 다른 벡터항의 곱셈으로 구성되어 있다. 곱해진 항들 각각은 함께 더해진다. 그 결과, 계산할 네 개의 복소 행렬-벡터 곱셈들과 세 개의 복소 벡터 덧셈들이 존재하게 된다. 일반적으로, M-벡터 포인트 행렬-DFT는 M개의 복소 행렬-벡터 곱셈들과 M-1개의 복소 벡터 덧셈들을 포함할 것이다. 또한, 0≤p≤3인 조화 성분들이 존재하게 된다. 그리하여, 4-벡터 포인트 행렬- DFT는 4² =16개의 복소 행렬-벡터 곱셈들과 4×3=12개의 복소 벡터 덧셈들을 필요로 한다. 일반적으로, M-벡터 포인트 행렬-DFT에 대하여, 이들 전체는 각각 M²과 M(M-1)이 된다. 행렬 및 벡터-값 계산의 양과 이들의 계산 시간은 대략적으로 M²에 비례하기 때문에, 브루트 포스(brute force) 방법에 의해 행렬-DFT를 결정하기 위해 요구되는 산술 연산들의 수는 큰 값들의 M에 대하여 매우 커지게 됨이 자명하다. 이러한 이유로, 행렬-벡터 곱셈들 및 덧셈들의 수를 줄이는 계산 알고리즘들이 실제적으로 매우 중요하다. 계산 로드의 양은 행렬-DFT 알고리즘에 의해 요구되는 바와 같이 행렬-벡터 대수와 관련하여 고려된다. 그러나, 행렬-DFT에 있는 각각의 데이터 포인트는 길이 d의 벡터임을 상기하도록 한다. 그리하여, 각각의 벡터 포인트의 길이는 행렬-DFT에 대한 실제적인 로드의 양이 평가될 때 고려되어야 한다.

행렬-DFT의 효율성은 실질적으로 회전 인자 행렬이 다음과 같은 특별한 성질들을 가지기 때문에 향상될 수 있다.

1-대칭 성질:

2-주기성 성질:

또한, 정수곱 pm의 특정한 값에 대하여, 행렬 사인 및 코사인 함수들이 행렬 값들 I 또는 0에 대하여 취한다는 사실을 이용하여 곱셈들을 해야할 필요성이 없어지도록 하는 것도 가능하다. 그러나, 이와 같은 특수한 연산들은 여전히 대략적으로 M²에 비례하는 행렬 및 벡터-값 계산들의 양을 줄이지는 않는다. 다행히도, 회 전 인자 행렬의 특수한 성질들은 아래에서 설명될 바와 같이 계산 로드의 상당한 절감을 달성하는 것이 가능하다.

시간-데시메이션(decimation-in-time) 행렬-FFT 프로세서에 대한 설명: 본 섹션은 행렬-값 시간-데시메이션 고속 푸리에 변환 프로세서(이하 행렬-FFT로 칭함)가 되도록 하는 기본적인 나눗셈-및-획득(divide-and-conquer) 알고리즘을 설명한다. 이러한 알고리즘은 먼저 M의 2의 거듭제곱인 경우에 대하여 설명된다. 이러한 알고리즘들은 기수-2 행렬 알고리즘들로 지칭될 것이다. 또한, 유사한 알고리즘이 M이 3의 거듭제곱인 경우에 획득된다(즉, 기수-3 행렬 알고리즘들). 수학적 귀납법에 의해, 개시된 알고리즘은 M이 임의의 정수의 거듭제곱인 경우에 프로세서들에 대하여 일반화될 수 있다. 다음과 같은 행렬-DFT 분석 수식을 가지고 시작하도록 한다.

먼저, 합산은 벡터-값 입력 데이터 시퀀스 {x _m, m=0,1,2,. . . ,M-1}의 두 개의 세트들로 분리될 수 있다: (1) 짝수-표시된 포인트들에 대한 제 1 합 및 (2) 홀수-표시된 포인트들에 대한 제 2 합. 이것은 다음과 같이 표현된다.

또는

이 시점에서, 두 개의 간단한 대수 조작들이 적용되며, 그 결과 행렬-DFT 합계의 순환적 특징이 명백해진다.

1-수식 52의 두 개의 합들을 고려하고 기수들(2q)에 있는 2의 인자와

의 분모에 있는 M을 관련시키도록 한다.

2-제 2 합에 있는 기수를 두 개의 기수들의 곱으로 분리한다. 이러한 연산은 인덱스 q에 의존하지 않는 기수를 뽑아내기 위한 것이다.

이러한 대수 조작을 수행한 후에, 수식 52는 다음과 같이 표현될 수 있다.

상기 합계들 각각은 길이 M/2의 행렬-DFT임을 인식하도록 한다. 그리하여, 간략한 표현으로, 행렬-DFT는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

상기 수식은 2개의 (그러나 더 짧은 길이의) 행렬-DFT들로부터 f _p를 재구성한다. 행렬-DFT 계산들에 포함된 순환적 알고리즘은 다음과 같이 요약될 수 있다: 두 개의 더 작은 행렬-DFT들을 모아서 계산하고, 그 다음에 홀수-표시된 벡터 포인 트들의 행렬-DFT 결과들을 기수 행렬

과 곱한다. 이러한 순환적 구조가 채택되면, 두 개의 M/2-벡터 포인트 행렬-DFT들은 네 개의 M/4-벡터 포인트 행렬-DFT들로 분해되고, 네 개의 M/4-벡터 포인트 행렬-DFT들은 또한 8개의 M/8-벡터 포인트 행렬-DFT들로 분해된다. M은 2의 거듭제곱으로 가정되기 때문에, 이러한 분해는 행렬-DFT 길이들이 최종적으로 2와 동일한 스테이지에 도달할 때까지 계속된다. 요컨대, 행렬-값 계산의 η개의 스테이지들이 존재할 것이며, 여기서 η=log₂M이다. 행렬-DFT 길이가 2(즉, 2-벡터 포인트 행렬-DFT)이면, 계산 로드는 다음의 알고리즘과 같이 간단하게 줄어들게 된다.

(55)

행렬-DFT 알고리즘이 입력 벡터 시퀀스를 연속적으로 더 작은 서브 시퀀스로 분해하는 것을 기초로 하는 장치는 시간-데시메이션(decimation-in-time) 행렬-FFT 프로세서라 한다.

행렬-FFT 알고리즘은 행렬-DFT의 접근이 아니라는 사실을 명심하는 것이 중요하다. 이에 반하여, 모든 행렬-FFT 알고리즘은 행렬-DFT와 수학적으로 등가이다. 즉, 정확도를 희생하여 계산상의 절약이 이루어지지 않는다.

행렬-FFT 알고리즘은 완전히 소프트웨어나 하드웨어로 구현될 수도 있고, 소프트웨어 및 하드웨어 모두로 구현될 수 있다. 행렬-FFT 및 행렬-IFFT 알고리즘의 통상적인 소프트웨어 구현은 모두 본 명세서 끝에 부록으로 제시된 컴퓨터 소스 코 드 파일 형태로 표현된다. 컴퓨터 프로그램 기재 부록에 기술된 바와 같이, 행렬-FFT 및 행렬-IFFT 알고리즘의 상술한 소프트웨어 구현은 본원에 참조로 통합되며, 다음의 파일을 포함한다:

파일명 크기 생성일

Test_Mat_FFT2 526 bytes 2004년 10월 6일

M_FFT2 370 bytes 2004년 10월 6일

M_IFFT2 355 bytes 2004년 10월 6일

Matrix_Np_FFT2 1.35 Kbytes 2004년 10월 6일

Matrix_Np_IFFT2 1.45 Kbytes 2004년 10월 6일

표 1

상기 파일들은 MATLAB 프로그래밍 언어를 사용하여 행렬-FFT 및 행렬-IFFT 시간-데시메이션 알고리즘을 구현한다. 당업자들은 상기 구현이 MATLAB 프로그래밍 언어를 사용하여 기술되었지만, 구현의 기능에 영향을 주지 않고 다른 프로그래밍 언어가 사용될 수도 있는 것으로 인식할 것이다. 이들 파일의 목적은 행렬-FFT 및 행렬-IFFT 알고리즘이 어떻게 작동하는지를 증명하는 것이다. 이들 파일은 속도 및 프로그래밍 구조에 관하여 최적화되지 않았다.

다음 실시예의 목적은 본 발명이 발생할 수 있는 잠재적인 형태를 설명하는 것이다.

예시적인 제 1 실시예: 이 실시예는 벡터-값 샘플 수가 2의 제곱인 경우에 효율적인 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서가 어떻게 구현될 수 있는지를 설명한다. 증명을 위해, 하기에 나타낸 바와 같이 주파수 가중 변환 행렬이 대각선 행렬로 선택된다:

(56)

2-벡터 포인트 행렬-DFT 애플리케이션, 즉 M = 2로 간주한다. 다음 벡터 포인트가 입력 데이터 시퀀스를 정의한다고 가정한다.

(57)

이 경우, 회전 인자 행렬은

이다. 따라서 2-벡터 포인트 행렬-DFT 알고리즘은 다음과 같이 된다.

(58)

2-벡터 포인트 행렬-FFT 프로세서는 2개의 벡터 합을 필요로 한다는 점에 주목한다. 그러나 벡터 곱은 수반되지 않는다. 도 3의 신호 흐름도는 2-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT를 계산하는 프로세스를 설명한다. 흐름도의 형상 때문에, 이 프로세스는 행렬-나비형 연산이라 한다. 도 3에 나타낸 예에서, 행렬 나비형 프로세서는 입력 열(30)에 2개의 벡터 포인트 [x ₀] 및 [x ₁], 출력 열(35)에 2개의 벡터 포인트 [f ₀] 및 [f ₁]을 갖고 있다.

예시적인 제 2 실시예: 이제 4-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로 세서를 설명한다. 입력 데이터 벡터는 다음과 같다고 가정한다:

(59)

명확하게, 4-벡터 포인트 행렬-DFT는 2개의 2-벡터 포인트 행렬-FFT를 이용하여 계산될 수 있다. 행렬 나비형 프로세서를 참조하면, 제 1 스테이지는 다음 행렬-FFT 결과를 산출한다:

(60)

(61)

이 경우, 제 2 스테이지의 회전 인자 행렬은 다음과 같다:

(62)

따라서 통상적인 4-벡터 포인트 행렬-FFT는 다음이 된다:

(63)

또 한번, 알고리즘은 2개의 벡터 합을 필요로 하고 벡터 곱은 필요하지 않다. 도 4에서 4-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대한 신호 흐름도를 알 수 있다. 도 4에 나타낸 예에서, 행렬-FFT 프로세서는 입력 열(40)에 4개의 벡터 포인트 [x ₀], [x ₁], [x ₂], [x ₃]을 갖고 있다. 중간 열(45)은 [g ₀], [g ₁], [g ₂], [g ₃]을 갖고 있으며, 이들은 중간 벡터 결과를 나타낸다. 출력 열(50)에는 4개의 벡터 포인트 [f ₀], [f ₁], [f ₂], [f ₃]이 있다.

예시적인 제 3 실시예: 이제 다음의 입력 데이터 벡터를 사용하여 8-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서를 설명한다:

(64)

8-벡터 포인트 행렬-FFT는 2개의 8-벡터 포인트 행렬-FFT의 분해에 의해 구할 수 있다. 통상적인 4-벡터 포인트 행렬-FFT의 결과를 참조하면, 제 2 스테이지 출력은 {a ₀, a ₁, a ₂, a ₃} 및 {b ₀, b ₁, b ₂, b ₃}으로 가정한다. 그러면, 8-벡터 포인트 행렬-FFT의 제 3 스테이지는 다음을 산출한다:

(65)

여기서 회전 인자 행렬은 다음과 같이 주어진다:

(66)

도 5는 8-벡터 포인트 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대한 신호 흐름도를 나타낸다. 도 5에 나타낸 예에서, 행렬-FFT 프로세서는 입력 열(60)에 8의 벡터 포인트 [x ₀]-[x ₇]을 갖고 있다. 열(65)은 제 1 스테이지를 나타내며, 이들은 4개의 개별 2-벡터 포인트 행렬-FFT 프로세서를 사용한다. 더욱이, 열(70)은 제 2 스테이지를 나타내며, 이들은 2개의 개별 4-벡터 포인트 행렬-FFT 프로세서를 사용한다. 마지막으로, 제 3 스테이지(75)는 출력 열(80)에 8개의 벡터 포인트 [f ₀]-[f ₇]이 된다. 스테이지마다 M/2개의 행렬 나비형 및

스테이지가 있기 때문에, 일반적으로 행렬-값 곱의 총 개수는

로 주어진다.

예시적인 제 4 실시예: 일 실시예에서는 다른 주파수 가중 행렬이 사용된다. 이때, 선택된 주파수 행렬은 개별 고유값을 갖는다:

(67)

예시적인 제 1 실시예의 알고리즘 결과는 여전히 여기 적용될 수 있다는 점에 주목한다. 그러나 회전 인자 행렬의 정의는 변경된다. 2-벡터 포인트 행렬-FFT에 대한 회전 인자 행렬은

이다. 마찬가지로, 4-포인트 행렬-FFT의 제 2 스테이지의 회전 인자 행렬은 다음과 같다:

(68)

8-벡터 포인트 행렬-FFT 프로세서의 경우, 회전 인자 행렬은 다음과 같이 주어진다:

(69)

기수-3 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서의 설명: 이 섹션은 M이 3의 제곱 인 경우(기수-3 행렬 알고리즘)의 시간-데시메이션 행렬-FFT를 설명한다. 또, 표준 행렬-DFT 표현, 즉 다음을 고려한다:

(70)

이 경우, 합은 4개의 집합: (1) {0, 2, 6, 9, 12, …}로 인덱싱된 포인트들의 집합에 대한 제 1 합, (2) {1, 4, 7, 10, 13, …}으로 인덱싱된 포인트들의 집합에 대한 제 2 합, (3) {2, 5, 8, 11, 14, …}로 인덱싱된 포인트들의 집합에 대한 제 3 합으로 분해될 수 있다는 점에 주목한다. 이 연산 결과는 다음과 같다:

(71)

합 형식에서, 행렬-DFT는 다음이 된다:

(72)

다음에, 대수적 처리법이 수행되어 행렬-DFT 합의 순환 특성을 추출한다. 이러한 처리법 뒤에, 식(72)은 다음과 같이 기재될 수 있다:

(73)

각각의 합은 M/3 길이의 행렬-DFT라는 점에 유의한다. 따라서 단축 표현으로 행렬-DFT 합은 다음과 같다:

(74)

상기 공식은 3개의 (그러나 길이가 더 짧은) 행렬-DFT로부터 주파수-영역 정보(f _p )가 구해질 수 있음을 나타낸다. 이 순환 구조가 채택될 때, 3개의 M/3-벡터 포인트 행렬-DFT는 9개의 M/9-벡터 포인트 행렬-DFT로 분해되고, 이들은 또 27개의 M/27-벡터 포인트 행렬-DFT로 분해된다. M은 3의 제곱이기 때문에, 이러한 분해는 결국 행렬-DFT 길이가 3과 같아지는 스테이지에 이를 때까지 계속될 것이다. 그 결과, 행렬-값 계산의

개의 스테이지가 필요하고,

=log₃M이다. 3-벡터 포인트 행렬-FFT 프로세서는 다음 알고리즘을 구현한다:

(75)

상기 식들의 집합은 3-벡터 포인트 행렬 나비형 연산을 나타낸다.

주파수-데시메이션 행렬-FFT 프로세서의 설명: 주파수-데시메이션 행렬-FFT 프로세서가 되는 알고리즘은 상술한 시간-데시메이션 행렬-FFT 프로세서의 알고리즘과 비슷하다. 이들 프로세서 모두 동일한 수의 복소 행렬 처리가 계산될 것을 요구한다. 주파수-데시메이션 행렬-FFT 프로세서의 설명으로 진행하기 위해, 표준 행렬-DFT 식을 상기한다:

(76)

M을 2의 제곱이라 하고, 이 경우 M/2는 정수이다. 따라서 데이터 시퀀스에서 M/2로 나눈 벡터 샘플은 그룹화되어 합을 절반으로 나눌 수 있다.

(77)

또는

(78)

은 0≤p≤M-1과 같은 특정 행렬-값을 취하기 때문에 상기 식은 간소화될 수 있다. 이는 다음으로부터 알 수 있다:

(79)

예를 들어, 주파수 가중 행렬이 다음과 같이 주어진다면:

(80)

(81)

우선, p의 짝수값을 고려하고 다음과 같이 설정한다:

p = 2q q = 0, 1, 2, …, (M/2-1) (82)

(83)

이제, 짝수 행렬-DFT 계수에 대한 합은 다음과 같아진다:

(84)

상기 식의 우변은 M/2-벡터 포인트 행렬-DFT인데,

(85)

이고, 새로운 입력 데이터 시퀀스는

이기 때문이라는 점에 주목한다. 요컨대, 입력 시퀀스가 y _m 으로 정의된다면, 짝수값의 p에 대한 2의 인수만큼 행렬-DFT 입력을 감소시킬 수 있다. 따라서 M/2-벡터 포인트 행렬-DFT가 적용되어 y _m 으로 정의된 입력 시퀀스를 변환할 수 있다는 결론에 이른다.

다음에, 홀수 행렬-DFT 계수에 대한 합이 고려된다.

p = 2q + 1 q = 0, 1, 2, …, (M/2-1) (86)

이라 하고, 다음을 삽입한다:

(87)

다음에, 행렬-DFT 합은 다음과 같이 기재될 수 있으며:

(88)

z _m = W ^m v _m 이다. 이전 식의 우변은 새로운 입력 데이터 시퀀스

에 대한 M/2-벡터 포인트 행렬-DFT이다.

예시적인 제 5 실시예: 이 실시예는 M=8일 때 주파수-데시메이션 행렬-FFT 프로세서의 구현을 증명한다. 주파수 가중 행렬은 다음과 같이 한다:

(89)

우선, 입력 샘플 벡터로 시작한다:

(90)

다음에, 도 6에 나타낸 것처럼 입력 열(90)의 다음 쌍 (x ₀, x ₄), (x ₁, x ₅), (x ₂, x ₆)을 부가하고, 마지막으로 (x ₃, x ₇)을 부가한다. 이 연산은 항 수를 2의 인수만큼 감소시켜 4-벡터 포인트 행렬-FFT 프로세서(93)가 적용될 수 있다. 비슷한 방식으로, 이들 입력 쌍을 빼고 회전 인자 행렬 W ⁰, W ¹, W ², W ³을 곱한다. 따라서 제 2 4-벡터 포인트 행렬-FFT 프로세서(95)가 채용된다. 이 점에서, 4-벡터 포인트 행렬-FFT에 대해 파라미터 W ²가 결정되어야 한다. M = 8일 때, 식(85)는 다음과 같아진다:

(91)

8-벡터 포인트 주파수-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대한 프로시저가 4-벡터 포인트 주파수-데시메이션 행렬-FFT 프로세서에 대해 쉽게 반복될 수 있다. 결과적인 프로세서의 신호 흐름도는 도 6으로 알 수 있다.

본원에 개시된 행렬-FFT 알고리즘은 본원의 본질적인 특성의 의의를 벗어나지 않으며 다른 수단 및 방법으로 구해질 수도 있다는 점이 당업자들에게 명백할 것이다. 예를 들어, 혼합 또는 분할 기수를 가진 행렬-FFT 알고리즘에 이르기 위한 다양한 행렬 인수분해 및 크로네커 또는 텐서 곱 전계를 채용할 수 있다.

3-행렬-값 이산 코사인 변환법

이산 코사인 변환은 그 우수한 에너지 압축 능력 때문에 음악, 이미지 및 비디오 코딩 및 디코딩(CODEC) 애플리케이션에 종종 사용된다. 이 섹션은 행렬-DFT의 사용에 의한 행렬-값 이산 코사인 변환법(이하 행렬-DCT라 표기함)을 개시한다. 길이-M 벡터 시퀀스 {x _m, m=0, 1, 2, …, M-1}를 고려한다. 우선, 입력 데이터 시퀀스는 제로값 벡터 패딩에 의해 2M 길이로 확장된다:

(92)

다음에, 식(92)으로부터 길이-2M의 새로운 시퀀스가 다음 식에 따라 형성되고:

(93)

다음과 같이 2M-포인트 행렬-DFT가 계산된다:

(94)

그 다음, 다음에 의해 {x _m, m=0, 1, 2, …, M-1}의 M-포인트 행렬-DCT가 주어진다:

(95)

복소 행렬 기수 함수는 행렬 코사인 및 사인 성분을 갖는다는 점을 상기한다. 이에 따라, 행렬-DCT 계수는 다음과 같이 간소화된 형태로 표현될 수 있다:

(96)

실수 벡터 시퀀스의 행렬-DCT 계수는 실수라는 점에 유의한다. 한편, 실수 벡터 시퀀스의 행렬-DFT 계수는 항상 복소수이다.

M-포인트 계수 시퀀스 {c _p , p=0, 1, 2, …, M-1}의 행렬-값 역 DCT를 유도하기 위해, 우선 다음 식에 따라 2M-포인트 행렬-DFT가 형성되고:

(97)

2M-포인트 행렬-IDFT가 다음과 같이 계산된다:

(98)

그 다음, 다음에 의해 M-포인트 행렬-IDCT가 주어진다:

(99)

복소 기수 함수의 행렬 코사인 성분을 이용하면, 행렬-IDCT 관계가 다음과 같이 보다 명백한 형태로 기재될 수 있다:

(100)

여기서 행렬 계수 A _k 는 다음과 같이 주어진다:

(101)

상기 개시를 고려하면, 행렬-값 이산 사인 변환(행렬-DST)은 비슷한 방식으로 기술될 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있다. 또한, 행렬-DCT는 모든 실수 행렬 계수의 이점을 갖는 행렬-DFT 타입이기 때문에, 고속 행렬-DCT 프로세서를 이용하여 계산상의 복잡도 및 로드를 상당히 줄일 수 있다는 점에 주목한다.

4-추가 행렬-값 변환법

행렬-값 변환 방법은 다른 공지된 변환을 포함하도록 더 확장될 수 있다. 예를 들어, 다음의 이산 하트레이(Hartley) 변환의 행렬-값 형태를 고려한다:

(102)

행렬-값 역 이산 하트레이 변환은 다음과 같이 주어진다:

명확하게, 다양한 다른 행렬-값(matrix-valued) 변환은 적절한 커넬(kernel) 함수를 이용하여 고안될 수 있다. 결론적으로, 기술 분야의 당업자는 행렬-값 라플라스 변환, 행렬-값 z변환, 행렬-값 힐버트 변환, 행렬-값 라돈 변환, 행렬-값 가버 변환, 행렬-값 카르넨-로에베(Karhunen-Loeve) 변환, 및 행렬-값 월시-아마다르(Walsh-Hadamard) 변환과 같은 다른 행렬-값 신호 프로세싱 변환을 용이하게 설명할 수 있다.

고속 행렬 DFT 및 고속 행렬 IDFT 의 5-추가 실시예

본 섹션의 목적은 고속 행렬 DFT 및 고속 행렬 IDFT 기술을 통합하는 소정의 전형적인 애플리케이션을 설명하는 것이다. 이러한 추가의 실시예 및 파생 효과는 설명을 위한 것이며 한정을 위한 것이 아니다.

순환 행렬 컨벌루션:행렬 DFT의 방법은 이산 시간 MIMO 시스템과 관련된 순 환 컨벌루션을 계산하기 위해 사용될 수 있다. 각각의 샘플(x_m)이 크기(d×1)의 벡터 포인트이며, {x_m, m=0, 1, 2, ..., M-1}로 표현되는 유한 길이 이산 시퀀스를 고려해 보자. 이제, 동일한 길이의 다른 이산 시퀀스인 {y_p, p=0, 1, 2, ..., M-1}이 이하의 식에 따라 생성된다.

각각의 출력 벡터 샘플(y_p)은 행렬 시퀀스{C_p, p=0, 1, 2, ..., M-1}의 시간 반전 및 우측으로의 순환 쉬프트에 의해 생성된다. 최종 연산은 순환 행렬 컨벌루션으로 불릴 것이다. 합 모듈로 M 내의 각각의 샘플 적의 지표의 합은 순환 행렬 컨벌루션에 의해 계산된 출력의 기수와 동일하다는 것을 이해해야 한다. M-벡터 포인트 순환 행렬 컨벌루션은 또한 이하와 같은 행렬 형태로 설명될 수 있다.

행렬 시퀀스{C_p, p=0, 1, 2, ..., M-1}의 성분이 특정한 구조적 배열을 갖는 것을 관찰하는 것은 의미있다. 특히, 각각의 행렬 행은 제1 위치로 이동될 과잉 성분을 갖는 이전의 행을 우측으로 순환적으로 쉬프팅하여 얻어진다. 식(105)의 간략한 형태는 y= Cx (106)이며, 여기서, C는 크기 dM×dM의 블록 순환 행렬이다. 식(106)의 순환 행렬 C는 하이퍼 행렬이며, x 및 y는 하이퍼 벡터이다. 순환 행렬은 중요한 특성을 갖는다. 순환 행렬의 특성의 포괄적인 처리를 위해, 본 명세서에 참조로 통합된,

[6] "Circulant Matrices", P.H.Davis, John Wiley and Sons, New York, 1979, ISBN 0-471-05771-1을 참조하라.

디지털 신호 프로세싱의 상관 관계로부터, 블록 순환 행렬의 가장 현저한 특성은

으로 주어진 바와 같이 스펙트럼 분해를 가능하게 한다는 것이며, 여기서, W는 행렬-DFT 알고리즘(식29참조)의 푸리에 변환 행렬이다. 행렬 A _c 는 순환 행렬 컨벌루션을 특징짓는 행렬 시퀀스{C_p, p=0, 1, 2, ..., M-1}의 행렬-DFT 결과를 포함하는 블록 대각 행렬이다. 이러한 행렬-DFT 결과를

으로 표시하자. 그러면, 하이퍼-행렬

는

으로 주어진다.

C의 스펙트럼 대각화는 효율적으로 순환 행렬 컨벌루션을 계산하는 통상의 역할을 갖는다. 대각화 이후, 행렬 컨벌루션 식은,

으로 표시될 수 있으며, 여기서, z= Wx는 x의 행렬 DFT이다. 신호는 대각 행렬과 z를 곱함으로써 추가로 프로세싱된다.

이는,

을 유도한다.

따라서, 이는 y로 표시된 출력 신호는 용이하게 행렬-IDFT를 통해 결정될 수 있음 보여준다. 만일 행렬-DFT 및 행렬-IDFT 연산이 본 발명의 고속 행렬-값 알고리즘 중 하나를 이용하여 계산되면, 결과는 효율적인 순환 행렬 컨벌루션 알고리즘이다. 전술한 전개는 다음과 같이 요약될 수 있다.

요약하면, 행렬 및 벡터-값 시퀀스의 순환 행렬 컨벌루션의 행렬-DFT는 개별 행렬-DFT의 대각 행렬 및 벡터곱과 동일하다. 이러한 새로운 알고리즘은 종래 기술에서 알고 있던 것과는 현저히 상이하다. 우선, 종래 기술의 순환 컨벌루션이 두 스칼라 시퀀스와 배타적으로 취급하는 것을 상기하자. 종래 기술은 두 스칼라 시퀀스의 순환 컨벌루션의 컨벌루션 DFT가 개별 DFT의 적(product)인 것을 언급한다. 예를 들어, 본 명세서에서 참조된 이하의 문헌을 참조하라.

[7] "A Course in Digital Signal Processing" by B.Poraz, John Wiley and Sons, New York, 1997, ISBN 0-471-14961-6.

선형 행렬 컨벌루션 및 상관관계: M 포인트 행렬의 순환 행렬 컨벌루션 및 벡터 시퀀스값 다른 M 포인트 벡터 시퀀스를 산출하는 것을 관찰하라. 반면에, M₂ 포인트 벡터 시퀀스를 갖는 M₁ 포인트 행렬 시퀀스의 선형 행렬 컨벌루션은 (M₁+M₂-1) 포인트 벡터 시퀀스를 생성할 것이다. 그러나 각각 M₁ 및 M₂의 길이를 갖는, 행렬의 순환 행렬 컨벌루션 및 벡터-값 시퀀스는 두 시퀀스들이 (M₁+M₂-1) 벡터 포인트들로 구성되도록 두 시퀀스들을 제로 패딩함으로써 두 시퀀스의 선형 행렬 컨벌루션과 동일하게 될 수 있다. 선행 행렬 컨벌루션 계산을 위해 사용된 것과 같은 선형 행렬 상관의 계산에서 순환 행렬 컨벌루션을 이용하는 것이 또한 가능하다.

행렬 및 벡터-값 시퀀스의 행렬-DFT가 선형 행렬 컨벌루션 및 상관을 계산하는데 사용될 수 있다는 설명은 MIMO 시스템을 포함하여 신호를 프로세싱하기 위한 중요한 새로운 알고리즘이라는 것이다.

행렬-OFDM 및 행렬-DMT: 본 섹션은 무선 및 유선 통신 시스템에 대한 본 발명의 바람직한 실시예를 설명한다. 무선 통신 시스템의 설계는, 이동국 부근의 다양한 목적에 의한 다중 분산의 결과인, 극심한 다중 경로 전파로 인해 매우 도전적인 작업이다. 이러한 분산은 이동 유닛이 다중 필드로 이동함에 따라, 수신된 신호에서 신속한 랜덤 진폭 및 위상 변화를 생성한다. 결과 신호 엔벨로프의 단기간 통계는 레일리 분포에 의해 계산될 수 있다.

단일 캐리어를 이용하는 통상의 직렬 데이터 시스템에서, 심볼은 순차적으로 전송되며, 각각의 데이터 심볼의 주파수 스펙트럼은 전체 이용가능한 대역폭을 점 령하기 위해 허용된다. 그러나 레일리 채널의 폭발 특성으로 인해, 몇몇 인접한 심볼은 페이딩 동안 완전히 소실될 수도 있다.

병렬 시스템은 직렬 시스템과 관련된 많은 문제들을 극복할 수 있다. 병렬 시스템에서, 광대역 채널은, 소정의 예에서, 많은 데이터 엘리먼트가 동시에 전달되도록 서브 채널의 세트로 변환된다. 그 결과, 개별 데이터 엘리먼트의 스펙트럼은 통상적으로 이용가능한 대역폭의 작은 부분만을 차지한다.

종래 기술에서, 병렬 무선 통신은 직교 주파수 분할 멀티플렉싱(OFDM)를 실행함으로써 달성된다. 유선 통신 시스템은 유사한 병렬 접근법을 사용하는데, 이는 종래 기술에서 디지털 다중 톤(DMT)으로 불린다. 여기서, 종래 기술은 OFDM 기반 시스템과 관련하여 설명된다. 그러나 유사한 논의가 또한 DMT 기반 시스템에 적용될 수 있음을 이해해야 한다.

OFDM과 같은 병렬 시스템의 주요한 단점은 직렬 시스템과 비교하여 증가된 복잡성이다. OFDM 시스템의 복잡성은 직교 파형을 생성하기 위해 고속 푸리에 변환을 이용함으로써 실질적으로 감소될 수 있다. 이러한 방식은 이하의 문서에서 앞서 설명되었다.

[8] "Data Transmission by Frequency Division Multiplexing Using the Discrete Fourier Transform" by S.B. Weinstein and P.M. Elbert, IEEE Transactions on Communication Technology, 1971, Vol. COM-19, No.5,pp.628-638, 이는 본 명세서에 참조되었음.

공지된 OFDM의 통상의 구현에서, 사용자 데이터는 직렬로부터 병렬 형태로 우선 변환되며, 이어 스칼라값 IFFT 장치에 의한 송신기 및 스칼라값 FFT 장치에 의한 수신기에서 프로세싱된다. 종래의 OFDM 및 DMT 기술과 관련한 특허와 관련하여, 본 명세서에 참조된 이하의 특허를 참조하라.

도7은 예로서 공지된 OFDM 통신 시스템의 성분을 도시한다. 예외없이, 종래 기술의 특허는 모든 공지의 OFDM 통신 시스템이 송신기에서 스칼라값 IFFT 장치(154) 및 수신기에서 스칼라값 FFT 장치(164)를 이용하는 것을 개시한다.

반면에, 본 발명의 행렬 FFT 기술을 포함함으로써 행렬-값 직교 주파수 분할 멀티플렉싱(이하 OFDM으로 불려짐)를 이용하는 통신 시스템을 구축하는 것이 가능하다. 종래 기술의 스칼라값 OFDM 시스템과는 상반되게, 행렬 OFDM 통신 시스템은 송신기에서 행렬-값 IFFT 장치 및 수신기에서 행렬-값 FFT 장치를 이용한다. 행렬 OFDM은 또한 병렬 방식인 것을 이해하라.

행렬-OFDM을 혁신적이게 하는 것은 본 발명의 고속 행렬-DFT 및 행렬-IDFT 알고리즘이 MIMO 통신 시스템과 관련한 이산 시간 선형 행렬 컨벌루션을 계산하기 위해 사용될 수 있다는 것이다. 실질적인 상황에서, 주파수 선택 페이딩 MIMO 통신 채널이 특히, 유한 간격 [0, T_h]에 제한된 임펄스 응답 행렬을 갖는데, 여기서,

를 의미한다. 이때, H(t)가 송신 필터, 송신 채널, 및 수신 필터의 결합된 효과에 대응한다고 가정한다. 주파수 선택 페이딩 MIMO 채널의 행렬-값 FIR 모델은 도8에 도시된다. 이제, 1/T_s의 속도로 샘플링된 채널의 베이스밴드 등가 임펄스 응답 행렬을 행렬 시퀀스 {H _k , k=0, 1, 2, ..., K}(210)로 표시하자. 샘플링 속도는 공지된 샘플링 법칙에 따라 관심있는 가장 높은 주파수 성분의 두 배 이상으로 선택된다. 더욱이, {s _m, m=0, 1, 2, ..., M-1}은 송신된 심볼 벡터s(t)(200)의 이산 시간 시퀀스를 나타낸다고 가정한다. 또한 {n _m, m=0, 1, 2, ..., M-1}으로 추가의 채널 잡음 벡터 n(t)(220)의 이산 시간 시퀀스를 나타낸다. 수신기로 전파하면서, 길의 M의 송신된 신호 벡터 시퀀스는 MIMO 통신 채널의 존재로 인해 선형 행렬 컨벌루션에 민감하다. 이러한 컨벌루션의 결과는 길이 M+K의 벡터 심볼 시퀀스이다. 끝으로, {r _p, p=0, 1, 2, ..., M+K-1}으로 수신된 심볼 벡터 r(t)(230)의 이산 시간 시퀀스를 나타낸다. 채널 입력 시퀀스와 비교하여 K 샘플에 의한 채널 출력 시퀀스의 확장이 채널에 의해 생성된 심볼간 간섭(ISI)에 기인함을 알아야 한다.

ISI의 효과를 극복하기 위해, 주기적으로 확장된 벡터-값 보호 대역이 부가된다. 즉, 각각의 심볼 벡터 시퀀스는 시퀀스 그 자체의 주기적 확장에 의해 진행된다. 다시 말해, 심볼 시퀀스의 최종 K 벡터 샘플의 사본이 전송될 벡터 시퀀스의 초기에 반복된다. 상징적으로, 이는

으로 표현된다. 이러한 삽입은 벡터-값 순환 전치로 불려진다. 벡터-값 순환 전치의 관점에서, 통신 시스템의 행렬-값 설명은 이하의 형태를 취한다.

등가적으로, 전술한 표현의 간략한 형태는 다음과 같다.

r= Hs +n (115)

명백하게, 채널 하이퍼-행렬 H는 블록 순환 행렬로 취급된다. 따라서, 벡터-값 순환 전치는 ISI에 대한 보호 공간으로서 뿐만 아니라 채널 시간 응답을 갖는 선형 행렬 컨벌루션을 순환 행렬 컨벌루션으로 변환하는 도구로서 작용한다. 따라서, 채널 행렬은

로 주어진 형태로 대각화될 수 있다. 현재의 채널 행렬의 이러한 관찰로, 새로운 하이퍼-행렬이 유도된다.

a는 송신된 심볼의 주파수 영역 표현임에 주의하라. a의 각각의 성분은 다중 크기 QAM 신호 배열에서 복소값 벡터 포인트로서 관찰될 수 있다. 수신단에서, 수신된 베이스밴드 파형은 매치 1/T_S의 속도로 필터링 및 샘플링된다. 채널 출력 벡터(r) 및 잡음 벡터(n)가 주어지면, 이들의 대응하는 주파수 영역 표현은 각각 b=Wr 및 c= Wn이 된다. 따라서, 식 115는 다음과 같다.

보호 대역에서 벡터-값 샘플들을 제거한 후, 채널 입력 출력 관계는 다음과 같이 기술될 수 있다.

추가의 잡음을 갖는 주파수 선택 페이딩 MIMO 채널의 경우, 전술한 표현은 행렬-OFDM 수신기가 병렬로 동작하는 독립 행렬 프로세서의 세트로 구성됨을 나타낸다. 만일 채널 임펄스 응답이 완전히 알려지면, 행렬-OFDM 수신기는,

로 주 어진 최대 가능성(ML) 통계치에 기초하여 결정한다.

실질적으로, 진정한 채널 임펄스 응답은 알려지지 않는다. 따라서, 행렬-OFDM 수신기는 파일럿 심볼을 통해 채널 상태의 추정을 이용함으로써 구현되어야 한다.

이제, 예로든 행렬-OFDM 통신 시스템의 송신측에 대한 구조가 설명된다. 도9를 참조하면, 다수의 소스로부터의 입력 데이터는 비트로 코딩되며, QPSK, 8PSK, 16QAM, 또는 64QAM과 같은 예정된 변조 기술에 의해 변조된다. 이러한 연산은 코더 및 변조기 장치(300)하에서 요약된다. 다음으로, 직렬-병렬 벡터 변환기(310)가 변조된 심볼로 판독하고 병렬 벡터 라인에서 이들의 값들을 유지하며, 그로 인해 직렬 데이터의 다중 스트림을 병렬 벡터-값 데이터 스트림으로 분할한다. 이어 병렬 벡터-값 샘플의 블록은 행렬 IFFT 프로세서(320)로 입력된다. 다음, 벡터 순환 전치 가산기(330)는 벡터-값 보호 대역을 행렬-FFT 프로세서의 출력으로 나오는 결과로 삽입하는데 사용된다. 이어 행렬-값 송신 필터(340)는 원치 않는 주파수 왜곡을 필터링하기 위해 사용된다. 필터의 출력은 병렬 벡터-직렬 변환기(350)를 이용함으로써 직렬 데이터의 다중 스트림으로 재변경된다. 직렬 데이터의 최종 다중 스트림이 우선 아날로그 영역으로 변환되며, 이어 적절한 RF 반송 주파수로 상향 변환되며, 끝으로 다수의 안테나를 갖는 송신 장치(360)를 이용함으로써 채널로 래칭된다.

이제, 일례의 행렬-OFDM 통신 시스템의 수신측에 대한 구조가 설명된다. 도10을 참조하면, 인입 RF 신호가 우선 베이스밴드 파형으로 하향 변환되고, 이어 다 수의 안테나를 이용하는 수신기 장치(400)에서 아날로그에서 디지털 영역으로 변환된다. 다음으로, 직렬-병렬 벡터 변환기(410)는 이러한 디지털 신호에서 판독하며, 병렬 벡터 라인에서 이들의 값을 유지함으로써, 직렬 데이터의 수신된 다중 스트림을 병렬값 데이터 스트림으로 분할한다. 이어 벡터 순환 전치 제거 장치(420)는 벡터-값 보호 대역을 제거하는데 사용된다. 최종 벡터-값 병렬 샘플은 원치 않는 신호 및 간섭 잡음을 필터링하기 위해 행렬-값 수신 필터(430)로 입력된다. 병렬 벡터-값 샘플의 블록은 행렬-FFT 프로세서(440)로 입력된다. 다음으로, 행렬-값 등화기(450)가 송신 채널의 영향을 제거하기 위해 사용된다. 등화기의 출력은 병렬 벡터-직렬 변환기(460)를 이용함으로써 직렬 데이터의 다중 스트림으로 역변환된다. 끝으로, 데이터 비트가 검출기 및 디코더 장치(470)에서 복조, 검출, 및 디코딩 프로세스를 통해 원래 형태로 재저장된다. 이러한 예의 행렬-OFDM 시스템은 다수의 송신 및 수신 안테나의 형태로 설명됨을 주목하라. 따라서, 단일 송신 및 수신 안테나 시스템은 설명된 발명의 사상 내에서 고려될 것이다.

행렬-OFDM 시스템은 많은 벡터 심볼을 통해 페이딩을 확산시키는 장점을 갖는다. 이는 효율적으로 레일리 페이딩에 의해 유발된 버스트 에러를 랜덤화함으로써, 완전히 파괴될 몇몇 인접한 심볼 대신, 많은 심볼이 단지 조금 파괴되게 한다. 이는 왜곡된 심볼의 대부분의 정밀한 재구성을 허용한다. 행렬-OFDM 시스템은 전체 신호 간격을 확산시키는 추가의 장점을 가지며, 그로 인해 확산을 지연시키는 시스템의 민감도를 감소시킨다.

앞서 논의한 바와 같이, 종래 기술의 OFDM은 송신 채널을 병렬 서브 채널로 변환시키기 위해 스칼라값 DFT/IDFT 쌍을 통해 구현된다. N 포인트 스칼라값 DFT가

로 주어진 이산 주파수에서 신호의 푸리에 변환과 동일하다는 것을 상기하라. 따라서, N 포인트 스칼라값 DFT는 N 주파수 영역 포인트에 대응한다. 예를 들어, 64 포인트 스칼라값 DFT를 이용하여, 종래 기술의 통신 시스템이 OFDM을 실현할 때, 반송파 주파수를 중심으로 64개의 개별 주파수 포인트의 대역폭을 차지할 수밖에 없다. 이러한 사실로 인해, 종래 기술의 OFDM은 주파수 공간 및 그 범위로 근접할 때 견고한 구성을 갖는다.

반면, 행렬-OFDM 시스템은 행렬-FFT 및 IFFT 프로세서를 이용하며, 따라서, 주파수 영역 파라미터를 설명하는데 있어서 융통성을 갖는다. 고정 길이의 입력 데이터 시퀀스가 주어지면, 행렬-OFDM 시스템은 행렬-DFT 알고리즘의 주파수 가중 행렬(

)의 고유값을 통해 주파수 포인트의 공간을 제어할 수 있다. 예를 들어, 2×2 크기 주파수 가중 행렬을 고려하자. 일반적인 손실이 없을 경우,

의 대각 형태는 행렬-OFDM의 내부 작용을 노출시키기 위해 가정된다.

이라고 하자.

만일 64 데이터 포인트가 있다면, 벡터 포인트의 수는, M=N/2이므로, 간단히 M=32이다. 행렬-DFT가 변화하므로(

), 제1 및 제2 고유값은 32개의 개별 주파수 영역 포인트를 생성한다. 결론적으로, 주파수 스 펙트럼의 영역은 스칼라값 DFT에 의해 계산된 것보다 50% 짧게 만들어진다. 다시 말해, 주파수 재사용으로 인해, 행렬-OFDM은 시간 영역 정보를 더 높은 스펙트럼 효율을 초래하는 더 작은 대역으로 압축한다.

행렬-OFDM의 다른 장점은 행렬-DFT 알고리즘의 주파수 가중 행렬(

)의 고유값으로부터 기원한다. 고유값의 신호 프로세싱 함수는 모든 주파수 톤에서 각각 전송된 심볼을 인코딩하기 위한 것이다. 이는 각각의 서브 캐리어가 모든 송신된 심볼의 알려진 조합을 포함한다는 것을 의미한다. 각각의 데이터 비트의 거듭제곱이 모든 서브 캐리어에 분포하기 때문에, 행렬-OFDM 시스템은 협대역 간섭 및 채널 손상에 탄력을 갖는다. 대조적으로, 단지 하나의 시스템은 종래 기술의 OFDM 시스템에서 각각의 서브 캐리어에 할당된다.

행렬-OFDM은 병렬 통신 시스템의 특정한 형태 중 하나이다. 밀접하게 관련된 다른 형태가 행렬-값 이산 다중 톤 시스템(또는 행렬-DMT)이다. 행렬-OFDM이 무선 방송 채널 및 무선 통신 채널을 통해 데이터 송신을 위해 사용되는 반면, 행렬-DMT 시스템은 트위스트 쌍을 이용하여 대칭 디지털 가입자 회선(ADSL)과 같은 양방향 유선 채널을 통해 데이터의 송신에 사용된다. 단방향 통신과 상이하게, ADSL 시스템의 송신기가 채널 특성을 아는 것이 가능하다. 따라서, 행렬-DMT 시스템의 실제 구현은 비트 할당을 위한 최적의 로딩 알고리즘을 포함할 수 있다.

전술한 실시예는 단지 본 발명의 설명을 위한 것이며, 본 발명의 사상, 개념 및 필수적인 특징에서 벗어나지 않고 당업자가 많은 변경을 고안할 수 있음을 이해해야 한다. 예를 들어, 행렬-값 방법 및 알고리즘이 무선 통신의 경우 행렬-OFDM 및 유선 통신의 경우 행렬-DMT에 대해 설명되었다. 유사하게, 행렬-값 실시예는 조밀 파장 분할 멀티플렉싱(DWDM) 기술을 포함하는 광통신 시스템에 대해 용이하게 설명될 수 있다. 따라서, 상기한 변경은 청구항 및 그 등가물의 사상 내에 포함된다.

실시예에 사용된 하드웨어의 예: 설명의 명확화를 위해, 본 발명의 실시예는 행렬 및 벡터-값 알고리즘을 실행하는 프로세서에 대해 설명되었다. 기술 분야에서 공지되었듯이, 이러한 알고리즘이 나타내는 연산은 소프트웨어를 실행할 수 있는 하드웨어를 포함하는 공유 또는 전용 하드웨어의 사용을 통해 제공될 수 있지만, 이에 한정되지는 않는다. 실질적인 실시예는 설명된 연산을 실행하는 디지털 신호 처리기(DSP) 하드웨어 및 소프트웨어를 포함한다. 필드 프로그램 가능한 게이트 어레이(FPGA) 및 주문형 집적 회로(ASIC), 그리고 하이브리드 DSP/VLSI와 같은 본 발명의 대규모 집적 하드웨어(VLSI) 실시예가 사용될 수 있다.

Claims

시간 영역으로부터 길이 N의 이산 시간 스칼라 데이터 시퀀스를 주파수 영역으로 변환하는 행렬-값 방법으로서, 상기 N은 미리 결정된 정수이고, 상기 방법은,

(a) 상기 스칼라 시퀀스로부터 각 벡터가 d의 길이를 가지는 길이 M - 상기 M 및 d는 미리 결정된 정수들임 - 의 벡터-값 시퀀스를 형성하는 단계;

(b) 벡터 포인트들{x _m , m=0,1,2,…,M-1}로 표시된 벡터-값의 이산 시간 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 필요한 경우에 벡터들에 0 값의 엘리먼트들을 추가하여 상기 벡터-값의 시퀀스의 길이가 벡터들의 정수 배와 동일하도록 보장하는 단계;

(d) 상기 벡터-값 시퀀스의 각각의 벡터 포인트 x _m 에 -j(
Φ)pm - 상기 Φ는 r×r 차원의 양의 유한 대칭 행렬이며, 상기 p 및 m은 0≤p, m≤M-1의 범위를 가지는 정수 기수 값들을 표시하며, 상기 j는 허수
를 표시함 - 으로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하는 단계;

(e) 상기 단계 (d)의 결과값들을 0≤m≤M-1로 규정된 범위에서 합산하여 벡터-값 주파수 샘플을 획득하는 단계; 및

(f) 상기 단계 (d) 및 상기 단계 (e)를 0≤p≤M-1로 규정된 범위에서 반복하여 상기 주파수 영역에서 벡터-값 시퀀스를 획득하는 단계를 포함하는 행렬-값 방 법.
주파수 영역으로부터 길이 N의 이산 주파수 스칼라 데이터 시퀀스를 시간 영역으로 변환하는 행렬-값 방법으로서, 상기 N은 미리 결정된 정수이고, 상기 방법은,

(a) 상기 스칼라 데이터 시퀀스로부터 각 벡터가 d의 크기를 가지는 길이 M - 상기 M 및 d는 미리 결정된 정수들임 - 의 벡터-값 시퀀스를 형성하는 단계;

(b) 벡터 포인트들{f _m , m=0,1,2,…,M-1}로 표시된 벡터-값의 이산 주파수 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 필요한 경우에 벡터들에 0 값의 엘리먼트들을 추가하여 상기 벡터-값의 시퀀스의 길이가 벡터들의 정수 배와 동일하도록 보장하는 단계;

(d) 상기 벡터-값 시퀀스의 각각의 벡터 포인트 f _m 에 -j(
Φ)pm - 상기 Φ는 r×r 차원의 양의 유한 대칭 행렬이며, 상기 p 및 m은 0≤p, m≤M-1의 범위를 가지는 정수 기수 값들을 표시하며, 상기 j는 허수
를 표시함 - 으로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하는 단계;

(e) 상기 단계 (d)의 결과값들을 0≤m≤M-1로 규정된 범위에서 합산하여 벡터-값 시간 샘플을 획득하는 단계; 및

(f) 상기 단계 (d) 및 상기 단계 (e)를 0≤p≤M-1로 규정된 범위에서 반복하 여 상기 시간 영역에서 벡터-값 시퀀스를 획득하는 단계를 포함하는 행렬-값 방법.
시간 영역으로부터의 벡터-값 입력 데이터 시퀀스 {x _m , m=0,1,2,…,M-1}를 상기 입력 시퀀스를 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해하여 주파수 영역으로 변환하는 행렬-값 및 기수-2 시간-데시메이션 FFT 방법으로서,

(a) 상기 입력 시퀀스를 재정렬하고, 길이(
)의 2개의 동일한 벡터-값 시퀀스들로 구분하는 단계;

(b) 짝수 표시된 벡터 포인트들을 가지는 제 1 시퀀스 및 홀수 표시된 벡터 포인트들을 가지는 제 2 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 상기 단계 (b)의 상기 벡터-값 시퀀스들을 사용하고, 제1항의 방법에 따라 2개의 더 작은 행렬-DFT 벡터 시퀀스들을 계산하는 단계;

(d) 상기 제 2 시퀀스의 행렬-DFT 결과값들에 -j(
Φ)p - 상기 0≤p≤M-1 - 로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하는 단계;

(e) 2개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들이 4개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들로 분해되고, 추가로 8개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들로 분해되는 순환 구조를 획득하는 단계;

(f) 상기 단계 (e)의 상기 분해를 각각의 행렬-DFT 시퀀스의 길이가 2와 동 일한 단계에 도달할 때까지 계속하는 단계; 및

(g) 최종 벡터들에 2-벡터 포인트 행렬 나비형 계산을 수행하는 단계를 포함하는 방법.
시간 영역으로부터의 벡터-값 입력 데이터 시퀀스 {x _m , m=0,1,2,…,M-1}를 상기 입력 시퀀스를 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해하여 주파수 영역으로 변환하는 행렬-값 및 기수-3 시간-데시메이션 FFT 방법으로서,

(a) 상기 입력 시퀀스를 재정렬하고, 길이(
)의 3개의 동일한 벡터-값 시퀀스들로 구분하는 단계;

(b) 0≤q≤(
-1)로 표시된 벡터 포인트들을 가지는 제 1 시퀀스, 0≤3q+1≤(
-1)로 표시된 벡터 포인트들을 가지는 제 2 시퀀스 및 0≤3q+2≤(
-1)로 표시된 벡터 포인트들을 가지는 제 3 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 상기 단계 (b)의 상기 벡터-값 시퀀스들을 사용하고, 제1항의 방법에 따라 3개의 더 작은 행렬-DFT 벡터 시퀀스들을 계산하는 단계;

(d) 상기 제 2 시퀀스의 행렬-DFT 결과값들에 -j(
Φ)p - 상기 0≤p≤M-1 - 로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하는 단계;

(e) 상기 제 3 시퀀스의 행렬-DFT 결과값들에 -j(
Φ)2p - 상기 0≤p≤M-1 - 로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하는 단계;

(f) 3개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들이 9개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들로 분해되고, 추가로 27개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들로 분해되는 순환 구조를 획득하는 단계;

(g) 상기 단계 (f)의 상기 분해를 각각의 행렬-DFT 시퀀스의 길이가 3와 동일한 단계에 도달할 때까지 계속하는 단계; 및

(g) 최종 벡터들에 3-벡터 포인트 행렬 나비형 계산을 수행하는 단계를 포함하는 방법.
제 3항에 있어서, 상기 벡터-값 입력 시퀀스는 r을 기수로 사용하여 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해되고, 상기 r는 2 이상의 짝수 정수를 표시하는 것을 특징으로 하는 방법.
제 4항에 있어서, 상기 벡터-값 입력 시퀀스는 r을 기수로 사용하여 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해되고, 상기 r는 3 이상의 홀수 정수를 표시하는 것을 특징으로 하는 방법.
시간 영역으로부터의 벡터-값 입력 데이터 시퀀스 {x _m , m=0,1,2,…,M-1}를 상기 입력 시퀀스를 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해하여 주파수 영역으로 변환하는 행렬-값 및 기수-2 주파수-데시메이션 FFT 방법으로서,

(a) 상기 벡터-값 입력 시퀀스를 재정렬하고, 길이(
)의 2개의 동일한 시퀀스들로 구분하는 단계;

(b) 짝수 표시된 벡터 포인트들을 가지는 제 1 시퀀스 및 홀수 표시된 벡터 포인트들을 가지는 제 2 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 상기 짝수 표시된 시퀀스의 엘리먼트들에
- 상기 정수 기수들 q 및 m은 0≤q, m≤(
-1)로 규정됨 - 로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하는 단계;

(d) 상기 홀수 표시된 시퀀스의 엘리먼트들에 -j(
Φ)m 로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하고, 상기 결과 벡터 시퀀스에
로 제공되는 독립 변수를 가지는 행렬-값 기수 함수를 곱하는 단계;

(e) 2개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들이 4개의 (
)-벡터 포 인트 행렬-DFT 시퀀스들로 분해되고, 추가로 8개의 (
)-벡터 포인트 행렬-DFT 시퀀스들로 분해되는 순환 구조를 획득하는 단계;

(f) 상기 단계 (e)의 상기 분해를 각각의 행렬-DFT 시퀀스의 길이가 2와 동일한 단계에 도달할 때까지 계속하는 단계; alc

(g) 최종 벡터들에 2-벡터 포인트 행렬 나비형 계산을 수행하는 단계를 포함하는 방법.
제 7항에 있어서, 상기 벡터-값 입력 시퀀스는 r을 기수로 사용하여 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해되고, 상기 r는 2 이상의 정수를 표시하는 것을 특징으로 하는 방법.
제 3항의 단계들에 따라 주파수 영역으로부터의 벡터-값 입력 데이터 시퀀스 {f _m , m=0,1,2,…,M-1}를 상기 입력 시퀀스를 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해하여 시간 영역으로 변환하는 행렬-값 및 기수-2 시간-데시메이션 FFT 방법.
제 9항에 있어서, 상기 벡터-값 입력 시퀀스는 r을 기수로 사용하여 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해되고, 상기 r는 2 이상의 정수를 표시하는 것을 특징으로 하는 방법.
제 7항의 단계들에 따라 주파수 영역으로부터의 벡터-값 입력 데이터 시퀀스 {f _m , m=0,1,2,…,M-1}를 상기 입력 시퀀스를 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해하여 시간 영역으로 변환하는 행렬-값 및 기수-2 주파수-데시메이션 FFT 방법.
제 11항에 있어서, 상기 벡터-값 입력 시퀀스는 r을 기수로 사용하여 연속하여 작아지는 시퀀스들로 분해되고, 상기 r는 2 이상의 정수를 표시하는 것을 특징으로 하는 방법.
시간-데시메이션 또는 주파수-데시메이션 행렬-DFT 방법과 그 사상, 범위 및 필수 특징 면에서 유사한 순환 구조를 통합하는 행렬-값 FFT 방법.
시간-데시메이션 또는 주파수-데시메이션 행렬-IDFT 방법과 그 사상, 범위 및 필수 특징 면에서 유사한 순환 구조를 통합하는 행렬-값 역 FFT 방법.
이산 시간 스칼라 데이터 시퀀스의 행렬 값 및 기수-r FFT를계산하기 위한 장치로서, 상기 r는 2 이상의 정수를 표시하고, 상기 장치는,

(a) 상기 이산 시간 스칼라 데이터 시퀀스를 벡터-값 입력 시퀀스로 어셈블하는(assembling) 단계;

(b) 상기 단계 (a)의 상기 벡터-값 입력 시퀀스를 r을 기수로 사용하는 동일 한 길이의 벡터 시퀀스들로 어셈블하는 단계;

(c) 벡터-값 행렬 DFT 시퀀스들이 연속하는 더 작은 벡터-값 시퀀스들로 분해되는 순환 구조에서, 상기 분해가 상기 각각의 벡터-값 행렬-DFT 시퀀스의 길이가 기수 정수 r과 동일하게 되는 단계에 도달할 때까지 상기 순환 구조를 실행하는 단계; 및

(d) 기수-r 행렬-DFT 및 행렬 나비형 계산들에 의해 요구되는 바에 따라 행렬-벡터 곱셈들을 수행하는 단계를 실행시키기 위한 하드웨어 및/또는 소프트웨어 수단들을 포함하는 장치.
이산 주파수 스칼라 데이터 시퀀스의 행렬 값 및 기수-r 역 FFT를 계산하기 위한 장치로서, 상기 r는 2 이상의 정수를 표시하고, 상기 장치는,

(a) 상기 이산 주파수 스칼라 데이터 시퀀스를 벡터-값 입력 시퀀스로 어셈블하는(assembling) 단계;

(b) 상기 단계 (a)의 상기 벡터-값 입력 시퀀스를 r을 기수로 사용하는 동일한 길이의 벡터 시퀀스들로 어셈블하는 단계;

(c) 벡터-값 행렬 DFT 시퀀스들이 연속하여 감소하는 벡터-값 시퀀스들로 분해되는 순환 구조에서, 상기 분해가 상기 각각의 벡터-값 행렬-DFT 시퀀스의 길이가 기수 정수 r과 동일하게 되는 단계에 도달할 때까지 상기 순환 구조를 실행하는 단계; 및

(d) 기수-r 행렬-DFT 및 행렬 나비형 계산들에 의해 요구되는 바에 따라 행 렬-벡터 곱셈들을 수행하는 단계를 실행시키기 위한 하드웨어 및/또는 소프트웨어 수단들을 포함하는 장치.
벡터 포인트들 {x _m , m=0,1,2,…,M-1}로 표시되는 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스 및 {C _p , p=0,1,2,…,M-1}로 표시되는 길이 M의 행렬-값 데이터 시퀀스의 순환 컨벌루션을 계산하기 위한 행렬-값 방법으로서,

(a) 필요한 경우에 행렬들 또는 벡터들에 제로값 엘리먼트들을 부가하여 상기 시퀀스 각각의 길이 M이 정수 배수와 동일하도록 보장하는 단계;

(b) 상기 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스 및 상기 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스의 엘리먼트들에 항 단위의 곱셈을 수행하는 단계;

(c) 상기 단계 (b)의 결과값들을 0≤m≤M-1로 규정되는 범위에서 합산하여 시간 영역에서 순환 컨벌루션되는 벡터-값 샘플들을 획득하는 단계;

(d) 상기 이산 시간 행렬-값 시퀀스 {C _p , p=0,1,2,…,M-1}의 엘리먼트들을 순환 역변환하고, 모듈로 M 연산을 사용하여 우측 쉬프트하는 단계; 및

(e) 상기 단계 (b) 및 (c)를 0≤p≤M-1로 규정되는 범위에서 반복하여 상기 시간 영역에서 벡터-값 시퀀스를 획득하는 단계를 포함하는 행렬-값 방법.
{x _m , m=0,1,2,…,M-1}로 표시되는 길이 M의 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀 스 및 {C _p , p=0,1,2,…,M-1}로 표시되는 길이 M의 행렬-값 데이터 시퀀스의 순환 컨벌루션을 계산하기 위한 신속하고 효율적인 행렬-값 방법으로서,

(a) 필요한 경우에 행렬들 또는 벡터들에 제로값 엘리먼트들을 부가하여 상기 시퀀스 각각의 길이 M이 정수 배수와 동일하도록 보장하는 단계;

(b) 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(c) 새로운 행렬-값 이산 주파수 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(d) 상기 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 벡터-값 시퀀스 {x _m , m=0,1,2,…,M-1}의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(e) 상기 단계 (c)의 상기 행렬-값 이산 주파수 데이터 시퀀스 및 상기 단계 (d)의 상기 벡터-값 이산 주파수 시퀀스의 엘리먼트들에 항단위 곱셈을 수행하는 단계;

(f) 새로운 주파수 영역 벡터-값 시퀀스를 획득하는 단계; 및

(g) 행렬-값 IFFT 방법을 사용하여 상기 단계 (f)의 상기 벡터-값 시퀀스의 시간 영역 변환을 계산하는 단계를 포함하는 행렬-값 방법.
제 18항의 방법에 따라 길이 M₁의 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스 및 길이 M₂의 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스의 선형 컨벌루션을 계산하기 위한 행렬-값 방법으로서,

(a) 벡터들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 벡터-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(b) {x _m , m=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 새로운 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 행렬들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 행렬-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(d) {C _p , p=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 새로운 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 획득하는 단계; 및

(e) 제 18항의 방법에 따라 상기 단계 (b)의 상기 벡터-값 샘플들 및 상기 단계 (d)의 행렬-값 샘플들의 순환 행렬 컨벌루션을 계산하는 단계를 포함하는 행렬-값 방법.
길이 M₁의 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스 및 길이 M₂의 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스의 선형 컨벌루션을 계산하기 위한 행렬-값 방법으로서,

(a) 벡터들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 벡터-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(b) {x _m , m=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 제 1 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 행렬들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 행렬-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(d) {C _p , p=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 제 1 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(e) 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 단계 (d)의 상기 행렬-값 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(f) 행렬-값 이산 주파수 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(g) 상기 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 단계 (a)의 상기 벡터-값 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(h) 제 1 벡터-값 이산 주파수 데이터 시퀀스를 획득하는 단계;

(k) 상기 단계 (f)의 상기 행렬-값 시퀀스 및 상기 단계 (h)의 상기 벡터-값 시퀀스의 복소 공액 엘리먼트들에 항 단위 곱셈을 수행하여 제 2 벡터-값 이산 주파수 시퀀스를 획득하는 단계; 및

(m) 행렬-값 IFFT 방법을 사용하여 상기 단계 (k)의 제 2 벡터-값 이산 주파수 시퀀스의 시간 영역 변환을 계산하는 단계를 포함하는 행렬-값 방법.
길이 M의 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스 및 길이 M의 행렬-값 데이터 시퀀스의 선형 행렬 컨벌루션을 계산하기 위한 장치로서,

(a) 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 행렬-값 이산 시간 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(b) 상기 단계 (a)의 상기 행렬-값 이산 주파수 결과들을 저장하는 단계;

(c) 상기 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 이산 시간 벡터-값 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(d) 상기 단계 (b)의 상기 행렬-값 이산 주파수 데이터 시퀀스 및 상기 단계 (c)의 상기 벡터-값 이산 주파수 데이터 시퀀스의 엘리먼트들에 항 단위 곱셈을 수행하는 단계;

(e) 상기 단계 (d)의 상기 벡터-값 이산 주파수 결과들을 저장하는 단계; 및

(f) 행렬-값 IFFT 방법을 사용하여 상기 단계 (e)의 상기 벡터-값 이산 주파수 시퀀스의 시간 영역 변환을 계산하는 단계를 실행시키기 위한 하드웨어 및/또는 소프트웨어 수단을 포함하는 장치.
길이 M₁의 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스 및 길이 M₂의 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스의 선형 행렬 컨벌루션을 계산하기 위한 장치로서,

(a) 벡터들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 벡터-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(b) {x _m , m=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 상기 단계 (a)의 상기 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 저장하는 단계;

(c) 행렬들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 행렬-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(d) {C _p , p=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 상기 단계 (c)의 상기 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 저장하는 단계;

(e) 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 단계 (d)의 상기 행렬-값 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(f) 상기 단계 (e)의 상기 행렬-값 이산 주파수 결과들을 저장하는 단계;

(g) 상기 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 단계 (b)의 상기 벡터-값 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(h) 상기 단계 (g)의 상기 벡터-값 이산 주파수 결과들을 저장하는 단계;

(k) 상기 단계 (e)의 상기 행렬-값 시퀀스 및 상기 단계 (h)의 상기 벡터-값 시퀀스의 엘리먼트들에 항 단위 곱셈을 수행하여 벡터-값 주파수 영역 시퀀스를 획득하는 단계;

(m) 상기 단계 (k)의 상기 주파수 영역 벡터-값 결과들을 저장하는 단계; 및

(n) 행렬-값 IFFT 방법을 사용하여 상기 단계 (m)의 벡터-값 이산 주파수 시퀀스의 시간 영역 변환을 계산하는 단계를 실행시키기 위한 하드웨어 및/또는 소프트웨어 수단을 포함하는 장치.
길이 M₁의 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스 및 길이 M₂의 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스의 선형 행렬 상관을 계산하기 위한 장치로서,

(a) 벡터들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 벡터-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(b) {x _m , m=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 상기 단계 (a)의 상기 벡터-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 저장하는 단계;

(c) 행렬들에 제로값의 성분들을 부가하여 상기 행렬-값 이산 시간 시퀀스의 유한 길이를 (M₁+M₂-1)로 연장하는 단계;

(d) {C _p , p=0,1,2,…,M₁+M₂-1}로 표시되는 상기 단계 (c)의 상기 행렬-값 이산 시간 데이터 시퀀스를 저장하는 단계;

(e) 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 단계 (d)의 상기 행렬-값 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(f) 상기 단계 (e)의 상기 행렬-값 이산 주파수 결과들을 저장하는 단계;

(g) 상기 행렬-값 FFT 방법을 사용하여 상기 단계 (b)의 상기 벡터-값 시퀀스의 주파수 영역 변환을 계산하는 단계;

(h) 상기 단계 (g)의 상기 벡터-값 이산 주파수 결과들을 저장하는 단계;

(k) 상기 단계 (e)의 상기 행렬-값 시퀀스 및 상기 단계 (h)의 상기 벡터-값 시퀀스의 복소 공액 엘리먼트들에 항 단위 곱셈을 수행하여 벡터-값 주파수 영역 시퀀스를 획득하는 단계;

(m) 상기 단계 (k)의 상기 주파수 영역 벡터-값 결과들을 저장하는 단계; 및

(n) 행렬-값 IFFT 방법을 사용하여 상기 단계 (m)의 벡터-값 이산 주파수 시 퀀스의 시간 영역 변환을 계산하는 단계를 실행시키기 위한 하드웨어 및/또는 소프트웨어 수단을 포함하는 장치.
{s _m , m=0,1,2,…,M-1}로 표시되는 벡터-값 심볼 시퀀스들 및 행렬-값 IFFT 연산에 의해 발생된 벡터-값 직교 주파수 분할 멀티플렉싱된 신호들을 처리하기 위한 행렬-값 방법으로서,

(a) 벡터-값 시퀀스 {s _m , m=0,1,2,…,M-1}에 행렬-값 IFFT 변환 계산을 수행하여 제 1 벡터-값 및 직교 주파수 분할 멀티플렉싱된 시퀀스 {a _m , m=0,1,2,…,M-1}를 획득하는 단계;

(b) 각각의 심볼 벡터 시퀀스가 상기 시퀀스 자신을 주기적으로 연장하는데 전제되는 주기적으로 연장되는 보호 대역을 부가하여 제 2 벡터-값 시퀀스를 획득하는 단계;

(c) 하나 또는 그 이상의 송신 안테나들로부터, 무선 주파수(RF) 캐리어를 통해 상기 단계 (b)의 상기 제 2 벡터-값 시퀀스를 전송하는 단계;

(d) 하나 또는 그 이상의 수신 안테나들에서, 상기 단계 (c)의 상기 하나 또는 그 이상의 송신 안테나들로부터의 무선 주파수(RF) 신호들을 수신하는 단계;

(e) 보호 대역들에서 그 샘플들을 제거하고, 상기 단계 (d)의 수신된 신호들을 복조하여 {b _m , m=0,1,2,…,M-1}로 표시되는 제 3 벡터-값 베이스밴드 시퀀스를 획득하는 단계;

(f) {H _k , k=0,1,2,…,M-1}로 표시되는 제 1 베이스밴드 등가 채널 임펄스 응답 행렬 시퀀스를 추정하는 단계;

(g) 상기 단계 (f)의 상기 제 1 행렬 시퀀스 {H _k , k=0,1,2,…,M-1}에 행렬-값 FFT 계산을 수행하여 제 2 행렬-값 시퀀스 {Λ _p , p=0,1,2,…,M-1}를 획득하는 단계;

(h)
로 표시되는 행렬-벡터 등식들의 세트를 계산하여 제 2 벡터-값 시퀀스
를 획득하는 단계;

(i) 상기 단계 (h)의 상기 제 4 벡터-값 심볼 시퀀스
에 행렬-값 FFT 계산을 수행하여 제 5 벡터-값 시퀀스
를 획득하는 단계; 및

(h) 상기 단계 (i)의 상기 제 5 벡터-값 시퀀스
를 결정 프로세스에 제공하여 원래의 벡터-값 입력 심볼 시퀀스의 추정된 시퀀스
를 복원하는 단계를 포함하는 행렬-값 방법.
벡터-값 및 직교 주파수 분할 멀티플렉싱된 신호들이 행렬-값 IFFT 장치에 의해 발생되는 통신 시스템으로서,

(a) 미리결정된 변조 기술에 의해 입력되는 직렬 데이터를 코딩 및 변조하기 위한 코더 및 변조기 장치;

(b) 상기 직렬 데이터의 다수의 스트림들을 병렬 벡터-값 데이터 스트림들로 분할하기 위한 직렬-병렬 벡터 컨버터 모듈;

(c) 상기 단계 (b)의 상기 벡터-값 데이터 스트림들에 행렬-값 IFFT 연산을 수행하기 위한 행렬-IFFT 프로세서;

(d) 상기 벡터 시퀀스가 전송되기 시작할 때 심볼 시퀀스의 미리 결정된 수의 벡터 샘플들의 복사를 반복하기 위한 순환하여 연장되는 보호 대역 가산기;

(e) 원하지 않는 잡음 및 주파수 왜곡들을 필터링하기 위한 행렬-전송 필터;

(f) 직렬 데이터의 다수의 스트림들을 발생하기 위한 병렬-직렬 벡터 컨버터 모듈;

(g) 디지털 데이터 스트림들을 아날로그 영역으로 변환하고, 아날로그 신호들을 적절한 RF 캐리어 주파수로 상향 변환하며, 다수의 송신 안테나들로부터 결과 신호들을 출력하기 위한 송신기;

(h) 다수의 수신 안테나들에서 전송된 RF 신호들을 수집하고, 상기 RF 신호들을 베이스밴드 파형으로 하향 변환하며, 상기 신호들을 아날로그 영역에서 디지털 영역으로 변환하기 위한 수신기;

(k) 상기 디지털 신호들을 판독하고, 그 값들을 병렬 벡터 라인들에 고정하며, 따라서 상기 수신된 직렬 데이터의 다수의 스트림들을 병렬 벡터-값 데이터 스트림들로 분할하기 위한 직렬-병렬 벡터 컨버터;

(m) 보호 대역들에서 벡터 샘플들을 제거하기 위한 벡터 순환-전치 제거기 모듈;

(n) 원하지 않는 신호 및 간섭 잡음을 필터링하기 위한 행렬-값 수신 필터 모듈;

(p) 행렬-값 변환 연산을 수행하기 위한 행렬-FFT 프로세서;

(q) 송신 채널의 베이스밴드 등가 행렬-값 임펄스 응답을 추정하고, 상기 송신 채널에 대한 영향들을 제거하기 위한 행렬 등화기 모듈;

(r) 병렬 벡터-값 데이터 스트림들을 다시 직렬 데이터의 다수의 스트림들로 변환하기 위한 병렬-직렬 벡터 컨버터 모듈; 및

(s) 상기 직렬 데이터 비트들을 원래의 형태들로 복조, 검출, 디코딩하여 재저장하기 위한 검출기 및 디코더 장치를 포함하는 통신 시스템.
제 1항에 있어서, 상기 커널 함수들은 이산 코사인 변환, 이산 사인 변환, z-변환, 이산 힐버트(Hilbert) 변환, 이산 하트레이(Hartley) 변환, 이산 가버(Gabor) 변환 및 이산 라돈(Radon) 변환과 같은 신호 처리 변환들의 행렬-값 역버전들을 발생하기 위해 선택되는 것을 특징으로 하는 방법.
제 1항에 있어서, 상기 커널 함수들은 이산 코사인 변환, 이산 사인 변환, z-변환, 이산 힐버트(Hilbert) 변환, 이산 하트레이(Hartley) 변환, 이산 가버(Gabor) 변환 및 이산 라돈(Radon) 변환과 같은 신호 처리 변환들의 행렬-값 역버전들을 발생하기 위해 선택되는 것을 특징으로 하는 방법.
벡터-값 데이터 시퀀스가 행렬-값 이산 코사인 변환 방법에 의해 발생되는 디지털 이미지, 비디오 및 음악 코딩 및 디코딩(CODEC) 시스템으로서,

(a) 소스 데이터의 다수의 스트림들을 병렬 벡터-값 데이터 스트림들로 분할하기 위한 직렬-병렬 벡터 컨버터 모듈;

(b) 행렬-값 이산 코사인 변환 연산을 수행하기 위한 프로세서;

(c) 최종 결과에 영향을 미치지 않도록 변환된 데이터의 성분들을 제거하기 위한 양자화기 모듈;

(d) 행렬-값 역 이산 코사인 변환 연산을 수행하기 위한 프로세서; 및

(e) 병렬 벡터-값 데이터 스트림들을 다시 직렬 데이터의 다수의 스트림들로 변환하기 위한 병렬-직렬 벡터 컨버터 모듈을 포함하는 시스템.