WO2007066445A1 - 特異値分解装置、及び特異値分解方法 - Google Patents

特異値分解装置、及び特異値分解方法 Download PDF

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WO2007066445A1
WO2007066445A1 PCT/JP2006/318713 JP2006318713W WO2007066445A1 WO 2007066445 A1 WO2007066445 A1 WO 2007066445A1 JP 2006318713 W JP2006318713 W JP 2006318713W WO 2007066445 A1 WO2007066445 A1 WO 2007066445A1
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WO
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vector
columns
singular
matrix
column
Prior art date
Application number
PCT/JP2006/318713
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English (en)
French (fr)
Inventor
Yoshimasa Nakamura
Taro Konda
Masashi Iwasaki
Shinya Sakano
Masami Takata
Original Assignee
Kyoto University
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Publication date
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Priority to JP2007549031A priority patent/JP5011545B2/ja
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/16—Matrix or vector computation, e.g. matrix-matrix or matrix-vector multiplication, matrix factorization
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F18/00—Pattern recognition
    • G06F18/20—Analysing
    • G06F18/21—Design or setup of recognition systems or techniques; Extraction of features in feature space; Blind source separation
    • G06F18/213—Feature extraction, e.g. by transforming the feature space; Summarisation; Mappings, e.g. subspace methods
    • G06F18/2135—Feature extraction, e.g. by transforming the feature space; Summarisation; Mappings, e.g. subspace methods based on approximation criteria, e.g. principal component analysis

Definitions

  • a singularity a diagonal string memory in which 2 is stored, the above 2 is divided into two 2 columns, and the 2 columns are divided into 2 2 columns, The two columns of the partition are returned until they are below the predetermined size, and the singular solution is performed on the two columns below the predetermined size.
  • the singularity of which is stored, the two columns of, the matrix element and are read from the above part, and the above, the above two elements, the divided two columns, and the divided two column elements are calculated and accumulated in the above two columns.
  • the column memory stores two columns of the predetermined size and the two columns of the predetermined size are read from the column storage unit. , A singular solution for the two columns, a vector for the two columns, and a vector for the two columns, and a singularity for accumulating the matrix elements that are the elements of the left and right column parts of the vector You can.
  • the specific vector can be calculated within the required range, and the processing load can be reduced.
  • the specific vector may be calculated from the vector and the type vector.
  • the specific vector may be calculated from the vector and the type list.
  • the vector, the column storage unit 2 is read, the unit 2 is read, and the element 2 is subjected to back conversion, type conversion, and reverse back conversion.
  • the method may further include: a singular vector forming the column, a 2 vector storing the singular vector forming the other column using the 2 and the 2 and accumulating in the vector.
  • skis and the plurality of ski stages may be provided, and the above-mentioned ski stages may carry out the process of solving the above 2 in parallel.
  • the vector and the plurality of vector stages may be provided, and the number of vector stages may perform the calculation of the singular vector in parallel.
  • Two vector stages may be provided, and the two vector stages of the above number may perform the calculation of the singular vector in parallel.
  • the singular vector can be calculated in a short time.
  • the above-mentioned calculation and a plurality of calculation stages are provided, and the calculation stage of the above-mentioned number is You may perform the process of calculating prime and parallel in parallel.
  • stages There may be stages, and the number of stages may perform a singular solution for two columns in parallel.
  • the matrix storage further stores a matrix
  • a matrix is stored, the above is read from the column storage unit, the above 2 is calculated, the 2 is calculated, and the diagonal is stored in the column storage.
  • the singularity can be calculated arbitrarily. It is also possible to calculate the vector of the matrix by using the vector of 2.
  • the above-mentioned two rows may be divided into two approximately two rows.
  • FIG. 4 is a block diagram showing the formation of peculiarities according to this embodiment.
  • the singularities are matrix memory, diagonal 2, the diagonal string memory 3, the matrix 4, the singular 5, the singular 6, the singular calculation 7, the singular vector 9, the singular vector 9, and the singular vector 2.
  • any is stored. This is a real sequence whose primes are real numbers.
  • the fact that the matrix is stored means that the data indicating the matrix is stored.
  • the column memory is realized by a predetermined (eg, semiconductor memory, disk, disk, etc.). It may be a temporary memory in a column memory, etc., or it may be a long-term memory. Column storage The process by which a matrix is stored is unquestioned. For example, a matrix may be stored in a matrix memory via a recording medium, a matrix transmitted via a communication line may be stored in a matrix memory, or a matrix may be stored. Even if the human power is input through the chair, it will be stored in a matrix memory.
  • 002 242 reads the matrix from the matrix storage plate and calculates the resulting matrix, which is 2 2. Then, diagonal 2 accumulates the resulting 2 in diagonal row memory 3. For example, 2 returns the matrix as much as necessary by using the inverse method and the other two methods.
  • 2 can be two columns or two columns. In the implementation, the case where 2 has 2 columns is explained.
  • the column memory 3 is realized by a fixed method (eg, semiconductor memory, disk, disk, etc.). It may be a temporary memory in R, etc. in row memory 3, or a long-term memory.
  • 002264 reads the diagonal row memory 3 to 2, divides the 2 into two two rows, and stores them in the diagonal row memory 3.
  • the 002 5 reads the two columns of the predetermined size from the diagonal column memory 3, calculates the singular solution for the two columns, and the vector of the two columns and the vector of the two columns.
  • 5 may be a method that combines the inverse of the 2 method, 3, and the singular solution may be performed using Q s.
  • the singularity may be calculated by the ds method such as d ds or ds in the 3 methods.
  • the SQ provided by O may be used when performing the singular solution by the Q s method.
  • the SQ provided by O may be used when calculating the singularity by the ds method.
  • 5 accumulates the generated singular in singular 6.
  • the singular 5 also accumulates in the singular 6 the matrix element that is the element of the left and right column parts of the generated singular vector.
  • the left and right sides of the vectors are the sequences with the singular vector and the vector. The details of the element will be described later.
  • the singularity solved by the singularity and the element described above are stored.
  • the singular element generated by singularity calculation 7 is also stored.
  • 6 is realized by a certain (eg, semiconductor memory, disk, disk, etc.). It can be a temporary memory at 6, etc., or a long-term memory.
  • Calculation 7 reads the singular and matrix elements generated by singular 5 from singular 6 and calculates the matrix element and the matrix of divided 2 columns and the element of divided 2 columns and accumulates them in singular 6. To do. Calculation 7 recursively repeats the process of calculating the matrix elements of the two columns and until calculating 2. Then, the singularity calculation 7 is Accumulate to 8.
  • the value 2 is stored. 8 is realized by a predetermined (for example, semiconductor memory, disk, disk, etc.). It may be a temporary memory at 8, etc., or a long-term memory.
  • Vector 9 has Suki 2, Vector 22 and 2 Vector 23 that perform those tasks.
  • Vector 9 may calculate the singular vector from the type list, or it may calculate the singular vector from the type list. In the implementation, the former case will be explained.
  • 002 Scan 2 reads diagonal row memories 3 to 2 and
  • Suki 2 transforms 2 into 2 "2 by performing back conversion, type conversion, and inverse back conversion on the element of 2.
  • Vect 22 is a 2 from Ski 2 "
  • the singular vector that forms one of the columns is calculated using the dichotomes and the 2 and accumulated in the singular vector 2, and the 003 2 vector 23 reads the singular 8 and 2. Then, the 2 vector 23 calculates the singular vector composing one column generated by the vector 22, and the singular vector composing the other column by using 2 and 2 of 2 and accumulates it in the singular vector 2. Thus, according to vector 22 and vector 2 23, the left and right columns will be displayed respectively.
  • 2 vectors are stored.
  • Vector 2 is realized by a predetermined (for example, semiconductor device, disk, disk, etc.). It may be a temporary memory in Vector 2, etc., or a long-term memory.
  • the singular vector 2 above, 2 may be realized by the same field, or it may be realized by the field of.
  • the area of the matrix is the matrix memory
  • the area marked with etc. is the diagonal string memory 3.
  • Singular vector 2 may be composed of the above two units. Next, the unique action according to this embodiment will be explained using the chart of 2.
  • Step S 2 reads out the matrix stored in the matrix memory, calculates 2 by multiplying it, and stores it in the diagonal column memory 3.
  • step S 2 singularity 5
  • singularity calculation 7 yield 2 and accumulate in singularity 8. The details of this reason will be described later.
  • Vector 9 is diagonal row memory 3 to 2
  • the vector of is calculated and accumulated in the specific vector 2. The details of this reason will be described later.
  • step 2 of step 2 Since 2, the matrix is output. Also, as will be described later, the vector of the matrix can be easily calculated from the vector of 2 by applying a predetermined conversion. 004 Next, the explanation of step 2 of step 2 will be given using step 3 of the chart.
  • Step S2 reads the diagonal row memories 3 to 2, divides the two into two two rows, and stores them in the diagonal row memory 3. 4 returns the process of dividing the two columns into two two columns until the two columns of the division are under a predetermined size 004 (Step S2 2) 5 Perform the singular solution in the lower two columns of the predetermined size stored in 3.
  • step S23 The calculation 7 reads the matrix elements of the two columns from the matrix 6, calculates the matrix elements of the divided two columns, and the matrix elements of the divided two columns, and stores them in the singular 6. Calculation 7 returns the theory of calculating the matrix elements and of the two columns until the calculation of 2 and accumulates 2 of 2 in singularity. In this way, the process of calculating the singularity ends.
  • step 3 of step 2 will be made using the chart of step 4.
  • Step S3 Suki 2 is a diagonal string memory 3 to 2
  • Suki 2 is an inverse conversion, a type conversion, and an inverse of the element of 2.
  • Vect 22 calculates the peculiar vector that constitutes one of the columns using the 2 "2 element. In the embodiment, Vect 22 calculates the vector that constitutes the column. . 004 (Step S33) Vector 22 normalizes the generated unique vector. That is, Vector 22 calculates and accumulates the generated specific vector in To 2.
  • Step S34 The vector 23 calculates the characteristic vector of the one different from the specific vector generated by the vector 22 by using the specific vector generated by the vector 22, 2, 2, and 2. Since the result of the singular solution of 2 is the singular vector generated by vector 22, the singular vector generated by 2 vector 23, and the singular memory remembered by singular 8 are used. 23 can calculate the specific vector. 004 (Step S35) 2 Vector 23 normalizes the generated unique vector. That is, the 2 vector 23 calculates the accumulated specific vector and stores it in the vector 2. In this way, the singular solution of 2 ends.
  • the Shina processing unit reads the singular vector generated by the singular vector 2 to the singular vector 9, executes the process on the vector, and accumulates the resulting vector in the singular vector 2 (step S4).
  • Shina Gramto's department decides when necessary (step 42). It may be possible to judge by reading this record from a record etc. that requires a certain degree of granularity.
  • Shina Grammt's science department is
  • the matrix can be read from the matrix storage plate and 2 can be calculated as described above. It is stored as 2 and diagonal string storage 3 (step S)
  • the matrix 4 can divide the 2 stored in the diagonal string memory 3 into 2 2 and 2 elements as described above, and repeat the rational process.
  • You can 8 is a chart showing the reason for dividing the matrix by matrix 4 in step 2 of 3 chart.
  • 005 (step S5) 4 sets the counter 1 to.
  • Step S52 reads the two columns by dividing the first one from the diagonal column memory 3 and divides the two columns into two 2, 2 elements. Then, the matrix 4 stores the two divided 2 and 2 elements in the diagonal row memory 3.
  • step S53 4 judges whether the two columns that do not perform the first division are stored in the diagonal column storage 3. Then, if the two columns that do not perform the first division are stored in the diagonal column storage 3, the process returns to step S52, and if not, the process proceeds to step S54.
  • Step S54 4 is the size of the two columns Judge as if the size is not large enough. 4 is, for example, the size of the target matrix is read out from the recording medium without the size of the target matrix (for example, 256) and stored in the diagonal column memory 3. , You can determine whether the first two columns are below that size. Then, if the size of the two columns that make up the first division is less than the predetermined size, the division of the two columns ends, and if not, go to step S55. move on.
  • Step S55 4 increments the counter 1. Then return to step S52.
  • step 4 matrix 4 performs the comparison with the diagonal, but this is just an example. And do other things. For example, if the matrix 4 divides a column into two matrices, as described above, if we can know the original size of 2, then the order of the desired matrix becomes. You can know. Therefore, if is the desired matrix size of (is an upper integer), then in step 4, compare which is, otherwise proceed to step S55, and if You can even end the process.
  • 00629 is a diagram for explaining a matrix.
  • the matrix 4 divides 2 into 2 and 2 as a matrix (steps S5 and S5 2). Since 2 is absent, matrix 4 is divided to determine that there is no matrix (step S53). Also, 2 Assuming that etc. are not columns of a predetermined size (step S5 4), matrix 4 divides 2 into 2 and 2 as a second division (step S5 5 S5 2 ). In this case, the matrix 4 has 2 because there is a 2 in the second division.
  • the process of dividing the matrix is repeated until the two columns of the partition are reduced to the desired size by 2 2 2.
  • the two elements other than 2 are omitted.
  • the number of 2 columns is larger than the number of rows.
  • step S22 Read the column and perform the singular solution as above (step S22).
  • the solution method for example, a method that combines the method 2 and the inverse method 3, 3, and Q s can be used as described above.
  • Singular 5 will give a singular solution to 2 2 2 2 2 222 if two-column splitting is done, as shown in 9.
  • Singular 5 accumulates the singular solution and the matrix element, which is the element of the left and right columns of the singular solution, in singular 6.
  • the matrix element includes the elements in the left and right columns.
  • 2 2 is assumed to be singularized as follows. Here, it is assumed that 2 is a matrix in which the number of columns is larger than the number of rows in both.
  • Division 2 becomes as follows.
  • q is the first line of.
  • the ton is the first element.
  • b 2 etc. is of the matrix explained in the reason for dividing two columns.
  • f is each element in the first row of the column resulting from the singular solution of the matrix.
  • elements in the row after the column resulting from the singular solution of the matrix are the elements in the row after the column resulting from the singular solution of the matrix.
  • Each element in the first row and each element in the last row of this column is a matrix element.
  • the singularity calculation 7 reads the feature and the matrix element from the singularity 6 and the two elements (b) generated in the matrix from the diagonal column memory 3 as described above.
  • step S2 3 of is a chart showing the reason for calculating the singularity.
  • Step S6 the counter J is set to.
  • Step S62 The calculation 7 judges whether the last one of the J-th is the output. Here, the last occurrence of is to calculate 2 of. Then, if it is the last one, the process proceeds to step S 66, and if not, the process proceeds to step 63.
  • Step S63 Calculation 7 calculates the divided two columns. The details of this reason will be described later.
  • Step S64 The calculation 7 judges whether the two columns for the division have been calculated in the output of the Jth item. Then, in the case of the J-th item, if two columns are calculated for each of the divisions, the process proceeds to step 65, and if not, the process returns to step 63.
  • Step S65 Calculation 7 increments the counter J. Then, the process returns to step S62.
  • Step S6 The calculation 7 calculates the value of 2 and accumulates the generated singularity in the singularity 8. In this way, a series of calculation of 2 is completed.
  • Step S7 Calculation 7 is performed using 2 in the division column. Then, the singularity calculation 7 accumulates the generated singularity in the singularity 6.
  • Step S7 2 Calculation 7 uses the singularities generated in Step S7,
  • Step S73 In calculation 7, the singularity generated in step S7 and the z generated in step S72 are used to calculate 4 in 4. By calculating this, it follows that we have And the singularity calculation 7 was issued Accumulate in a singular 6.
  • Step S74 Calculation 7 uses Equations 6 to 9 to calculate matrix elements related to the columns of division. Then, the singularity calculation 7 accumulates the generated element of division in the singularity 6. In this way, step S63 ends.
  • 008 73 is a diagram for explaining the reason for calculating the singularity.
  • the singularity calculation 7 starts finding a singularity (steps S6 and S62).
  • the singularity is to calculate the matrix element of the row in the second row from the matrix element of the row in the lower row of 3.
  • the calculation 7 is the matrix and the matrix
  • the two elements that occurred in 2 are read from the diagonal row memory 3.
  • the singularity calculation 7 calculates those of the matrix using those values and stores them in the singularity 6 (step S7).
  • the singularity calculation 7 calculates the value of z by using the in the matrix (step S72).
  • the calculation 7 calculates by using and of z of the matrix and accumulates it in the singular 6 (step S73).
  • the singularity calculation 7 calculates the elements of the matrix and stores them in the singularity 6 (step S74).
  • the matrix element of the matrix is calculated (steps S6 2 S6 3). In this way, when the singularity is completed, the singularity calculation 7 is carried out.
  • step 64 When Calculus 7 finishes the singular 2nd step (step 64), it becomes the final reason for the following characteristic of 2 (steps S6 5 S6 2). Only the stored data are stored in ⁇ , and the generated differences are stored in singular 8 (step 66). This is the end of the singularity.
  • ⁇ Is equal to the best in ⁇ .
  • f ⁇ is the X ⁇ column.
  • the matrix is called ist. Also,
  • a skip solution can be performed.
  • a feature that cannot be seen in the d-type conversion is that it has an arbitrary lamella.
  • ⁇ A value of 6 ⁇ s can be set arbitrarily within the range that is satisfied.
  • auxiliary variable ( ⁇ ) When 8 is changed, the value of auxiliary variable ( ⁇ ) also changes, but it can be determined in advance if numerical stability due to it will occur. This may be implemented by the f statement. Calculate this 6 again after it is determined. In addition, "if it is backed up,” it is calculated independently, so the difference has a quality that does not propagate. Note that the back conversion may be called back conversion, the back conversion may be called reverse back conversion, s d conversion may be called s conversion, and d conversion may be called conversion.
  • Charts 5 to 2 are charts that show examples of the reasoning based on type isto.
  • 0107 5 is a diagram showing an example of the theory of the field of the skid solution.
  • Step S9 Ski 2 performs back conversion. The details of this reason will be described later.
  • Step S93 Suki 2 executes the P oced process described later.
  • Step S94 Suki 2 executes the P oced process described below.
  • 0109 (Step S9 5) Suki 2 judges whether e has already been calculated. Then, if it has already been calculated, the series of skip solutions ends, while if not, the procedure returns to step S9.
  • 0116 shows the details of step S93 in the chart of 5
  • Step S Ski 2 determines whether "e” has already been calculated. If it has already been calculated, the process ends, and if not, the process proceeds to step S 2.
  • Step S 2 Skip 2 operates on s d. The details of this reason will be described later.
  • 0111 7 shows the details of step S9 4 in the chart of 5
  • Step S Ski 2 determines whether e has already been calculated. If it has already been calculated, the process ends, and if not, the process proceeds to step S 2.
  • Step S 2 Suki 2 performs d. The details of this reason will be described later.
  • 0112 8 is a chart showing the details of the step Sg of the chart of 5.
  • Step S 2 Suki 2 determines the value of 6. This value can be arbitrarily determined as described above. When the singularity was issued ... 2
  • Suki 2 is set to a value of 6 rather than S (eg, etc.), then it is possible that steps S 2 3 etc. will occur, and there is a note 2 2
  • Step S 2 2 Suki 2 sets to 60. 0 3 (step S 2 3
  • step S23 is to judge the possibility of occurrence. If it is larger than the above, it is judged that there is a possibility of life.
  • Step 2 4 Suki 2 sets 2 to (6. Since 2 is as described above, 2 is set to.
  • Step S 2 5 Suki 2 is s (
  • Step S 26 Suki 2 sets the counter to.
  • Step S 27 Suki 2 sets e to e. No
  • Step S 28 Suki 2 sets 2 to.
  • Step S 2 9) Suki 2 is larger than 2
  • Step S 2 Suki 2 calculates X 2 and calculates 0 (0
  • Step S 2 Suki 2 sets 2 to 2.
  • step S 22 Suki 2 sets 2 to 2.
  • Step S 2 3 Skip 2 determines if is greater than. If so, proceed to Step S 24, and if not, return to Step 2 and set the value of The same reason as in step S23 in step S23 is used to judge the possibility of occurrence. In some cases, it will be judged that there is a possibility that there will be a difference.
  • Step S 25 Suki 2 increments the counter.
  • Step S 2 6 Skip 2 determines whether the counter is, and if so, ends the series of steps, and if not, returns to step S 27.
  • 0126 9 shows the details of step S 2 of the 6 chart. Is.
  • Step S 3 Suki 2 is 2
  • Step 3 4 Suki 2 sets to. 0129 (step S 35) Suki 2 judges whether is larger than. If so, proceed to step S36, and if not ,.
  • Step S94 Proceed to P oced e (Step S94) on the 5th chart. It should be noted that, similarly to the case of step S23, which is performed in step S35, it is a case of judging the possibility of occurrence of the following. If it is larger than the above, it will be judged that there is a possibility or note that life will occur.
  • Step S 37 Suki 2 calculates X 2.
  • Step S 3 Suki 2 sets 2 to 82. No yo ni
  • Step S 3 9 Suki 2 judges whether the value of 2 is greater than. If it is greater, the process proceeds to Step S 3, and if not, .
  • Step S94 Proceed to P oced e (Step S94) on the 5th chart. It should be noted that, similarly to the case of step S 23, which is performed in step S 39, it is a case of judging the possibility of occurrence of the following. If it is larger than 2, it will be judged that there is a possibility or note that life will occur.
  • Step S 3 Suki 2 calculates X 2.
  • Step S 3 Suki 2 changes to 2 2
  • Step S32 Suki 2 increments the counter.
  • Step S 3 3 The skip 2 is judged by the counter. If so, the process proceeds to step S 34, and if not, the process returns to step 34.
  • Step S 34 Suki 2 calculates 2X (6). This is equivalent to computing X 2 in step S 37 after updating in step 34. Therefore, Suki 2 is 2X (p (
  • 0138 2 is a chart showing the details of the step S 2 of the chart of 7.
  • Step S 4 2 Suki 2 sets the counter to.
  • Step S 43 Suki 2 sets. 0140
  • Step 44 Suki 2 judges whether is larger than. Then, if it is large, the process proceeds to step S 45, and if not, the process returns to the back of the chart of 5 (step Sg). It should be noted that, as in the case of step S23, which is performed in step 44, it is a theory of determining whether or not the following may occur. If it is larger than the above, it will be judged that there is a possibility of life.
  • Step S 45 Suki 2 moves 2 To
  • step 2 we issued in step 2
  • Step S 46 Suki 2 sets 2 to 2. No yo ni
  • step S 47 Suki 2 judges whether 2 is larger than. Then, if it is large, the process proceeds to step S 48, and if not, the process returns to the back of the chart of 5 (step Sg). It should be noted that, as in the case of step S23, which is performed in step 47, the reason is that there is a possibility of occurrence. If it is larger than 2, it will be judged as possible.
  • step S 48 Suki 2 calculates X 2.
  • step S 4 Suki 2 calculates X 2.
  • Ski 2 calculates X 2 and sets it to e.
  • Step S 4 Skip 2 counts the counter.
  • Step S 4 2 In ski 2, the counter judges whether it is O or not. If so, the process proceeds to step S 43, and if not, the process returns to step S 43.
  • Step S 43 Suki 2 is calculated. This is equivalent to computing X 2 in step S 4 8 after updating in step S 4 3. In this case, 2 is empty. Therefore, Suki 2 is
  • the number 0153 is calculated by calculating the number of signs and the number of signs. After the value becomes the difference due to the difference, the calculation becomes indeterminate because the row has a denominator and cannot be calculated. Even then, the calculation is not finished. Since the part to be calculated and calculated exists in the d-type ist and the type ist, it is necessary to pay close attention to the difference.
  • the matrix can be calculated as described above, and the e can be calculated by solving e. it can. here,
  • the matrix solution is also done as follows.
  • Vect 9 calculates Vect of 2 by using 2 stored in singular 8 and 2 stored in diagonal sequence memory 3.
  • Suki 2 reads diagonal sequence memories 3 and 2, and reads singularities 8 and 2.
  • Suki 2 performs conversion and skis as indicated by the 22 charts.
  • 0160 Suki 2 first obtains e from the element value of 2.
  • the ski i2 executes back conversion to sequentially add ( ⁇ ) etc. (step S8)
  • step S82 By executing, etc. are sequentially performed (step S82). Also love
  • Suki 2 sequentially performs "ura conversion” using the "d conversion obtained by sd conversion, thereby sequentially adding", e "and the like (step S84). , Ie 2 ", 2 then Suki 2 passes them on to vector i22. It is to be noted that Ski 2 has a skid solution for each.
  • the value is determined.
  • the vector collection unit 22 obtains e-ist using the value of and calculates e by solving e (step,
  • the vector 22 normalizes the generated /, finds the vector, and accumulates it in the singular vector 2 (step 33.
  • Vector 22 can calculate all vectors by using the principle of calculating • and the theory of normalizing.
  • Vector 23 reads 2 from diagonal sequence memory 3 and reads 2 from singular 8. And 2 vector 23 is the vector received from vector 22 By using ,, 2 and singularity, ⁇ ⁇ a ⁇ , or ⁇ ⁇ is calculated to calculate (step 4). Next, 2 vector 23 is vector
  • step 35 • Find and accumulate in singular vector 2 (step 35). In this way, the generation of singular vectors is completed.
  • 2 vect 23 can calculate all vects by calculating and the normalization of.
  • Matrix memory You can also calculate the vector of the stored matrix.
  • the source is as described above.
  • the singularities calculated by the singularity calculation 7 and the singular vectors generated by the singular vector 9 may be singularly output.
  • the output from the Shina output section may be, for example, an indication of a peculiar chair (for example, a C display), a signal line of a peculiar instrument, or printing by the peculiar printer.
  • the product of singular bodies may or may not include output (eg display display).
  • the part may be realized by a door, or may be realized by a driver such as a dry driving the chair.
  • Suki 2 may also perform the skis solution according to the type ist.
  • Suki 2 can use the d-type ist when the distribution is dense and the distribution is dense.
  • the singularity calculation 7 calculates all, but it is also possible to calculate only a part.
  • the singularity calculation 7 it is necessary to calculate all up to the matrix, but when calculating 2 from the matrix, the singularity may be calculated within the necessary range. Therefore, the singularity calculation 7 may be one in which 2 characteristics are calculated. In that case, it is possible to reduce the processing load by not performing unnecessary processing by calculating unnecessary singularities. Thus, when only a part is calculated, for example, the time taken to calculate 2 can be approximately () doubled. Where is the matrix size and is the number of singularities sought.
  • the singular vector 9 may be the one that calculates 2 of the 2 singular vectors. In this way, the singular vector 9 can calculate the singular vector within a necessary range, and can reduce the processing load because it is not necessary to perform the processing sufficient to calculate the unnecessary singular vector.
  • 5a 5b may perform the calculation of the matrix element and the matrix with 2 columns in parallel.
  • the singular 5a is the matrix
  • the calculation 7a 7b may perform the calculation of the matrix element and the two divided columns in parallel.
  • the singularity calculation 7a may perform the calculation of the matrix
  • the singularity calculation 7b may perform the calculation of 2 matrices 2 222 2.
  • a ski 2 has a plurality of skis 2 2 b, and the skis 2 a 2 b of the number may skim 2 in parallel.
  • ski 2 a may perform the solution in half
  • ski 2 b may perform the solution in the rest.
  • Vector 22 includes a plurality of vectors 22a 22b, and the number of vectors 22a 22b may perform the calculation of the singular vector in parallel. For example, Vect 22a liked
  • 0178 2 vector 23 has multiple 2 vector 23a 23b , And that number of two vectors 23a and 23b may perform the calculation of the singular vector in parallel.
  • 2 vector 23a performs the singular vector corresponding to the singular vector generated by vector 22a
  • 2 vector 23b calculates the singular vector corresponding to the singular vector generated by vector 22b. You can do it.
  • the calculation of the number 7 of the singularity calculation 7a 7b the calculation of the matrix element of the division from the matrix element of the two divided rows shown by may be performed in parallel. Below, I will explain this reason.
  • each of the singularity computations 7a and 7b first reads the two rows and the matrix element from the singularity 6, and reads the two elements generated in the two rows from the diagonal column memory 3. put out. Using the extracted matrix element and the two elements, z is
  • each calculation 7a 7b uses 2 to calculate the singularity that it is in charge of. This can be done in parallel.
  • the singularity calculation 7a is calculated by the part of the formula that can be calculated using the generated singularity.
  • the singularity calculation 7b is calculated by the equation that can be calculated using the singularity that has been generated.
  • singularity calculation 7a 7b can finally calculate the plate value by exchanging the calculated value and combining with the calculated value. In this way, the singularity calculation 7a 7b can also perform the calculation of in parallel.
  • the singularity calculation 7a 7b uses 4 to calculate the singular vector corresponding to each singularity.
  • the singularity calculation 7a 7b is
  • the singularity calculation 7a or the singularity calculation 7b calculates the element of the matrix using 6 to Equation 9, and thus the process of calculating the element of the partition and the element of the matrix ends. In this way, the singular calculation 7a 7b can be used to calculate the matrix and matrix elements of the partition from the two matrix elements of the divided rows.
  • the device and the device may have singularities 5a and 5b, respectively, and singular solution processing may be performed in parallel in the device.
  • the device and the device may have singularities 5a and 5b, respectively, and singular solution processing may be performed in parallel in the device.
  • the device and the device may have singularities 5a and 5b, respectively, and singular solution processing may be performed in parallel in the device.
  • the device and the device may have singularities 5a and 5b, respectively, and singular solution processing may be performed in parallel in the device.
  • the device may have singularities 5a and 5b, respectively, and singular solution processing may be performed in parallel in the device.
  • the device may have singularities 5a and 5b, respectively, and singular solution processing may be performed in parallel in the device.
  • the singular 5 is formed by 5 2. Therefore, the singularity constitutes a device and a stem consisting of the device. here, although it was explained in the reason of 5 above, it is also possible to perform the calculation by other special calculation 7 scan 2 etc. or by the device in 2 above. 0188 2 images and 3 original images
  • the three steps are performed from the two images of 0189, and the steps are as follows.
  • step S5 () of (2, ..., is an integer of 2 or higher) is extracted from the features of 2 (..., is an integer of 3 or higher).
  • the eye and the second vector of the camera row of the eye relative to the second object, (X z) " is the third mark of the eye point.
  • the body scale is the same as the eye image scale (s), and the object is Make it the same as the camera of the eye image of "(" () "” () ").
  • the rank is 3.
  • the matrix is given. Below, find the data S related to rotation.
  • Z is the singular values arranged diagonally in magnitude, and is the column for each.
  • the above-mentioned method can be used. That is, in the singular case, by setting the matrix stored in the matrix memory as, the solution of the matrix is obtained as described above. Note that, in the singular case, it is the vector 2 of the matrix that is accumulated in the singular vector 2, so it is necessary to convert the vector into the vector of the matrix as described above. .
  • step S52 the singular vector is calculated for the first three.
  • the three parts to use are:
  • S () L is a rank-3 column that minimizes.
  • step S53 the matrix is obtained.
  • step 4 C is obtained from There are more (9) in C than (6) in. Therefore, the condition ()
  • step S55 the rotation data S is determined from C S C S.
  • Vectde a document is expressed by a vector that has only this as an element because it extracts only the content related to the content of the document and calculates only it.
  • the documents to be searched are d d ⁇ d, and there are individual search lines ⁇ in these documents. At this time, the document
  • a document vector representing information about a column document is also a vector representing information about a column, and is called a vector.
  • a question can also be expressed by an element that has only as an element, just like a document.
  • the search vector can be expressed as follows, if it is included in the query sentence.
  • 020426 is a chart showing an example of a document method that uses peculiarities according to this embodiment.
  • step S62 select.
  • select the value of.
  • step S63 the matrix is solved.
  • the above-mentioned method can be used. That is, in the singular case, by setting the matrix stored in the matrix memory as, the solution of the matrix is obtained as described above. In the singular case, it is the vector 2 of the matrix that is accumulated in the singular vector 2, so it is necessary to convert the vector into the vector of the matrix as described above.
  • the vector of the calculated singularities is calculated for each feature from the eye to the eye in descending order. Is the value selected in step S62.
  • step 64 the class with the matrix question vector is calculated.
  • step S65 the search result is output based on the class calculated in step S64.
  • 0211 27 is a diagram showing the calculation period. It can be seen that the singular solution by is always faster than the other features. In particular, when comparing the division (C), the effect of the new vector is seen.
  • [0212 28] is a diagram showing between different matrix sizes.
  • 02 13 29 is a diagram showing the calculation degree. It is found that it has the same degree as that of the singularity due to. In 29, the random sequence was solved for and the accuracy was evaluated. The size is. [0214] As described above, in the singularity according to the present embodiment, only the singularity is calculated by using the partitioning, and thus the partitioning executed by the standard partitioning is required, which is always faster than the standard partitioning. Also, the calculation of the singular vector from the singular value can be processed at high speed. Furthermore, it is difficult for the Q method to arrange the steps for calculating the singularities, but the singularity according to the present embodiment is essential for both the steps for calculating the differences and the steps for calculating the singular vector from the values. Have a high Also, it is found that the peculiarity of this embodiment is almost the same as that of the divided QR.
  • the singularities may be performed outside the singularity.
  • the theory of dividing 2 by matrix 4 or the theory of singular solution by singular 5 may not be performed in singular.
  • the two columns with a smaller size, which is the result of the division of 2 are accepted via the chair communication line, recording and stored in the diagonal column memory 3.
  • each processing or by a single or a single system It may be realized by being centralized, or there are multiple Or it may be realized by being distributed by multiple systems.
  • it may be implemented by a dedicated door, or a component achievable by the software may be implemented by executing the program. Moyo.
  • an element can be realized by reading and executing a software program recorded in a device such as a Dodis conductor by a program line part such as P.
  • the software that realizes the unique device in the above-mentioned state is the following program.
  • this program divides 2 into 2 columns of 2 and then 2 columns into 2 2 columns, which is the size of the 2 columns of the partition. It is returned to the bottom and is the result of the singular solution for the lower two columns of the predetermined size. From the singular part where the matrix element and the element are stored, the two columns of the matrix element and are read out, and the elements of the two columns of the divided two columns and of the divided two columns are calculated and stored in the above. , The matrix element and the matrix of the two columns are returned until the characteristic of 2 is calculated, and the characteristic calculation step of uniquely accumulating the characteristic of 2 is stored in 2 above. 2 is read from the diagonal row storage section, 2 of the above section is read, and 2 and the corresponding 2 is read using the twist. Specific vectors step of storing the specific vector and calculate the number of Japanese vectors are those the realization of order.
  • the software that realizes the peculiarity in the above-mentioned state is the following program.
  • This program reads 2 from the diagonal string storage unit where 2 is stored in the
  • the vector step reads 2 from the column storage unit, reads 2 from the unit, and performs back conversion, type conversion, and reverse conversion on the 2 element.
  • This program may be executed by being downloaded from, etc., but the program recorded in a predetermined (for example, disk such as CO, semiconductor memory, etc.) is read out. It may be executed by being performed.
  • a predetermined for example, disk such as CO, semiconductor memory, etc.
  • the number of the programs that execute this program may be singular or plural. In other words, it may be centralized or distributed.
  • 02243 shows an example of the view of the pump that executes the above program and realizes the peculiarities according to the above-mentioned conditions. It is realized by computer programs and programs executed on them.
  • the computer system includes a computer including CO (Co ac s Read O eo) dry 5 (e be s) dry 6, a keyboard 2, a mouse 3, and a computer 4. .
  • 0263 is a diagram showing a computer system. In 3,
  • the interface may include a network that does not provide connectivity.
  • the program that performs the peculiar function according to the above-mentioned operation on the 0227 system is stored in C 2 or 22 and is stored in CO dry 5 or dry 6 and transferred to Dodis 4. Momoyo. Instead, the program will run through the Shina network.
  • the program is put into R 3 at run time.
  • the program may be loaded directly from C RO 2 or 22, or from the network.
  • Vect 2 may be realized by 3 Dodis 4.
  • the 0229 program does not necessarily have to include an operating system (S) or a sad program that performs a specific function according to the above-mentioned conditions.
  • the program has a controlled and
  • the singular solution can be processed at high speed, and it is useful in the apparatus that executes the image processing, the search processing, and the processing using other specific solutions.

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Abstract

【課題】高速・高精度であり、並列処理可能な特異値分解装置を提供する。 【解決手段】２重対角行列Ｂを２個の２重対角行列に分割する処理を繰り返し行う行列分割部１４と、分割後の２重対角行列を特異値分解する特異値分解部１５と、特異値分解部１５によって特異値分解された特異値と、特異ベクトルからなる左右直交行列の一部の要素である行列要素とから、分割元の２重対角行列の特異値と、分割元の２重対角行列の行列要素とを算出する処理を、２重対角行列Ｂの特異値を算出するまで繰り返す特異値算出部１７と、２重対角行列Ｂとその特異値とから、ツイスト分解法を用いて２重対角行列Ｂの特異ベクトルを算出する特異ベクトル算出部１９と、を備える。

Description

置 、
、 法
術分野
０００1 、特異 解を〒 に関する。 ０００2 (S S a a e eco os o )はデ タ 理の 心的 な行列 算として、画像 理やデ タ の の 野に応用されて る。
なお、特異 解の としては、例えば、下記の のものなどが知 られて る。
G a d S a e C se s a de a d C o e o o e da o a S S Jo a O a a s s a d ca o s o 6 O 79 92( 995) 明の
明が解決しよ とする課題
０００3 年、これらの 用分野におけるデ タ量の増大などに伴 て、高速・ 度な特 異 解が求められて る。また、特異 解を並列 理することができる特異 の 発が望まれて た。
、上記 況の下になされたものであり、並列 に優れた高速、高 度な 特異 解を実行 能な特異 提供することを目的とする。
題を解決するための
０００4 的を達成するため、 明に 特異 、2 が記 憶される対角 列記憶 、前記2 が2個の2 列に分割され、 その2 列が2個の2 列に分割される 理が、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り返され、 あら じめ めら れた大きさ 下の 2 列に対して特異 解が行われた結果である、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが記憶される特異 、前記2 の が記憶される特異 、 2 列の 、行列 素とを前記 部 ら読み出し、前記 、前記 素と ら 、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算出し て前記 に蓄積し、その 2 列の 、行列 素とを算出する 理を、 2 の な とも 個の特 を算出するまで り返し、前記2 の な とも 個の特 を前記 に蓄積 する特異 算出 、前記2 の ベクト が記憶される特異ベクト 、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、 2 とその と ら、 ベクト に蓄積する特異ベクト 、を備えたものである。
０００5 このよ 構成により、まず特異 を算出し、その に基 て イスト
を用 て特異ベクト を算出することによ て、高速で高 度な特異 解を実現 することができ 。また、並列 にも優れて る。
０００6 また、 明による特異 置では、前記 列記憶 には、前記あら じめ められた大きさ 下の 2 記憶され、前記あら じめ められた 大きさ 下の 2 列を前記 列記憶部 ら読み出し、前記 2 列に対して特異 解を 、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算出し、 、 ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とを前記 に蓄積する特異 をさらに備えてもよ 。
０００7 このよ 構成により、特異 を算出する際に、あら じめ められた大きさ 下の
2 列に対する特異 解を、特異 置にお て ことができる。 ０００8 また、 明による特異 、 2 が記憶される対角 列記 憶 、前記 列記憶部 ら前記2 を読み出し、 2
を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積し、その2 列を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積する 理を、分割 部と、前記あら じめ められた大きさ 下の 2 列を前記 列記憶 部 ら読み出し、前記 2 列に対して特異 解を行 、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算出する特異 、 前記 によ て特異 解された特異 、特異ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが記憶される特異 、前記2 の が記憶される特異 、 2 列の 、 行列 素とを前記 部 ら読み出し、前記 、前記 素と ら、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算 出して前記 に蓄積し、その 2 列の 、行 列 素とを算出する 理を、 2 の な とも 個の特 を算出するま で り返し、前記2 の な とも 個の特 を前記 に蓄 積する特異 算出 、前記2 の ベクト が記憶される特異ベクト 、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記
部 ら前記2 の を読み出し、 2 とその と ら ベクト に蓄積する特異ベクト 、を備えたものである。 ０００9 このよ 構成により、まず特異 を算出し、その に基 て イスト
を用 て特異ベクト を算出することによ て、高速で高 度な特異 解を実現 することができ 。また、並列 にも優れて る。さらに、全ての ベクト を算出する必要がな 場合には、必要な 囲で特異 ベクト を算出する ことができ、処理 荷を軽減することができる。
００1０ また、 明による特異 置では、前記 ベクト 、 型 イス ト により特異ベクト を算出してもよ 。
このよ 構成により、高速で高 度な特異 解を実現することができ 。また、 並列 にも優れて る。
００11 また、 明による特異 置では、前記 ベクト 、 型 イ スト により特異ベクト を算出してもよ 。
このよ 構成により、数値安定的に特異ベクト の 出を〒 ことができ 。 ００12 また、 明による特異 置では、前記 ベクト 、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、前記2 の 素に関して ウラ 換、 型変換、逆 ウラ 換を〒 ことによ て、前記2 を 2 " 2 スキ 解する スキ 、前記 2 " 2 素と、前記2 の と を用 て一方の 列を構成する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積する ベクト 、前記 ベクト 出し た一方の 列を構成する特異ベクト 、前記2 の 、 前記2 とを用 て他方の 列を構成する特異ベクト を算出 して前記 ベクト に蓄積する 2 ベクト 、をさらに備えても よ 。
このよ 構成により、 スキ 解の 理にお て、複数の 助変数を用 るこ とによ て、数値安定的に特異ベクト の 出を〒 ことができ 。
００13 また、 明による特異 置では、前記 スキ 、複数の ス キ 段を備え、前記 数の スキ 段が、前記2 を スキ 解する 理を並列 行してもよ 。
このよ 構成により、 スキ 解の 理を短時間で行 ことができ 。
００14 また、 明による特異 置では、前記 ベクト 、複数の ベクト 段を備え、前記 数の ベクト 段が、特異ベ クト を算出する 理を並列 行してもよ 。
このよ 構成により、特異ベクト を算出する 理を短時間で行 ことができ 。 ００15 また、 明による特異 置では、前記 2 ベクト 、複数の
2 ベクト 段を備え、前記 数の 2 ベクト 段が、特異ベ クト を算出する 理を並列 行してもよ 。
このよ 構成により、特異ベクト を算出する 理を短時間で行 ことができ 。 ００ 6 また、 明による特異 置では、前記 算出 、複数の 算 出 段を備え、前記 数の 算出 段が、分割 2 列の 、 素とを算出する 理を並列 行してもよ 。
このよ 構成により、特異 を算出する 理を短時間で行 ことができ 。
００17 また、 明による特異 置では、前記 、複数の
段を備え、前記 数の 段が、 2 列に対して特異 解 を行 理を並列 行してもよ 。
このよ 構成により、特異 解する 理を短時間で行 ことができ 。
００ 8 また、 明による特異 置では、行列 が記憶される行列記憶 、前記 を前記 列記憶部 ら読み出し、前記 を2 した前記2 を算出して前記 列記憶 に蓄積する対角 、をさらに備えてもよ このよ 構成により、任意の に て特異 を算出することができる。また、 2 の ベクト を用 ることにより、行列 の ベクト を算出する こともでき 。
００19 また、 明による特異 置では、前記 、 2 列を略 分の2個の2 列に分割してもよ 。
このよ 構成により、並列 理を適切に行 ことができ 。
明の
００2０ 明による特異 によれば、高速で高 度な特異 解を行 こと ができる。また、並列 にも優れて る。
明を実施するための 良の
００21 下、本 明による特異 置に て、実施の 態を用 て説明する。な お、以下の 施の 態にお て、同じ 号を付した構成 素及びステップは同一ま たは相当するものであり、再度の 明を することがある。
００22 ( 施の )
明の 施の による特異 置に て、図面を参照しながら 明 する。
は、本実施の 態による特異 の 成を示す ック図である。 にお て、本実施の 態による特異 は、行列記憶 、対角 2と、対角 列記憶 3と、行列 4と、特異 5と、特異 6と、特異 算出 7と、特異 8と、特異ベクト 9と、特異ベ クト 2 とを備える。
００23 列記憶 では、任意の が記憶される。この は、 素が実数で ある実行列である。なお、行列 が記憶されて るとは、行列 を示すデ タが記憶 されて る、 味である。 述する記憶 にお ても同様である。 列記憶 は、所定の ( えば、半導体メ りや デイスク、 デイスクなど)によ て実現され 。 列記憶 での 、 等における一時的な記憶でもよ 、ある は、長期的な記憶でもよ 。 列記憶 行列 が記憶される過程は問 わな 。 えば、記録 体を介して行列 が行列記憶 記憶されるよ にな てもよ 、通信回線 介して送信された行列 が行列記憶 記憶されるよ に な てもよ 、ある は、キ ボ ド ウス等の入 イスを介して人力された が行列記憶 記憶されるよ にな てもよ 。
００24 2は、行列 を行列記憶 皿 ら読み出し、その み出した行列 を2 した2 を算出する。そして、対角 2は、その 出した2 を対角 列記憶 3に蓄積する。 2は、例えば、 ウスホ ダ ( o se ode ) 換を必要なだけ り返し〒 法や、その他の2 法 を用 て、行列 を2 する。ここで、2 は、 2 列であ てもよ 、 2 列であ てもよ 。 実施の 態では、2 が 2 列である場合に て説明する。
００25 列記憶 3では、2 が記憶される。 列記憶 3は、所 定の ( えば、半導体メ りや デイスク、 デイスクなど)によ て実現さ れ 。 列記憶 3での 、R 等における一時的な記憶でもよ 、あ る は、長期的な記憶でもよ 。
００26 4は、対角 列記憶 3 ら2 を読み出し、その2 を2個の2 列に分割して対角 列記憶 3に蓄積する。
4は、そ 2 列を2個の2 列に分割して対角 列記憶 3 に蓄積する 理を、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下とな るまで再帰 に繰り返す。
００27 5は、あら じめ められた大きさ 下の 2 列を対角 列記憶 3 ら読み出し、その 2 列に対して特異 解を 、 2 列の 、その 2 列の ベクト を算出する。
5は、例えば、2 法と逆 を組み合わ た方法、 3 、Q s 用 て特異 解を行 てもよ 。ここで、 3法にお て、例えば、d dsや ds 等の ds法によ て特異 を算出してもよ 。また、Q s法による特異 解を行 合には、 O にお て提供されて る SQ を用 てもよ 。また、 ds法によ て特異 を算出する場合には、 O にお て提供されて る SQを用 てもよ 。
これらの 解の 法に ては、すでに であり、その 細な説明を する。 5は、 出した特異 を特異 6に蓄積する。ま た、特異 5は、 出した特異ベクト らなる左右 列の 部の 素 である行列 素も特異 6に蓄積する。 ベクト らなる左右 とは、特異ベクト を とする 、 ベクト を とする 列のことである。 素の 細に ては後述する。
００28 6では、特異 によ て特異 解された特異 、 前述の 素とが記憶される。また、特異 6では、特異 算出 7によ て 出された特異 素も記憶される。 6は、所 定の ( えば、半導体メ りや ディスク、 ディス など)によ て実現さ れ 。 6での 、 等における一時的な記憶でもよ 、 ある は、長期的な記憶でもよ 。
００29 算出 7は、特異 5によ て 出された特異 、行列 素とを 特異 6 ら読み出し、その と行列 素と ら、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算出して特異 6に蓄積する。 算出 7は、その 2 列の 、 行列 素とを算出する 理を、2 の を算出するまで再帰 に繰 り返す。そして、特異 算出 7は、 出した2 の を特異 8に蓄積する。
００3０ 8では、2 の が記憶される。 8 は、所定の ( えば、半導体メ りや ディスク、 ディス など)によ て 実現され 。 8での 、 等における一時的な記憶でもよ 、ある は、長期的な記憶でもよ 。
００31 ベクト 9は、対角 列記憶 3 ら2 を読み出し、特 異 8 ら2 の を読み出す。そして、特異ベクト
9は、2 とその と ら、ツイスト を用 て2 の ベクト を算出して特異ベクト 2 に蓄積する。 ベクト
9は、それらの 理を実行する、 スキ 2 と、 ベクト 22 と、 2 ベクト 23とを備える。 ベクト 9は、 型 イスト により特異ベクト を算出してもよ 、ある は、 型 イスト により特異 ベクト を算出してもよ 。 実施の 態では、前者の 合に て説明する。 ００32 スキ 2 は、対角 列記憶 3 ら2 を読み出し、特異
8 ら2 の を読み出す。そして、 スキ 2 は、2 の 素に関して ウラ 換、 型変換、逆 ウラ 換を行 ことによ て、2 を 2 " 2
スキ 解する。この 理の 細に ては後述する。
００33 ベクト 22は、 スキ 2 が 出した 2 "
2 素と、2 の とを用 て一方の 列を構成する特異ベクト を算出して特異ベクト 2 に蓄積する ００34 2 ベクト 23は、特異 8 ら2 の を読 み出す。そして、 2 ベクト 23は、 ベクト 22が 出し た一方の 列を構成する特異ベクト 、2 の 、2 とを用 て他方の 列を構成する特異ベクト を算出して特異 ベクト 2 に蓄積する。このよ に、 ベクト 22 、 2 ベ クト 23とによ て、左右 列のそれぞれが 出されることになる。 ００35 ベクト 2 では、2 の ベクト が記憶される。 ベ クト 2 は、所定の ( えば、半導体メ りや デイスク、 デイス クなど)によ て実現され 。 ベクト 2 での 、 等における 一時的な記憶でもよ 、ある は、長期的な記憶でもよ 。
００36 なお、行列記憶 、対角 列記憶 3、特異 6、特異
8、特異ベクト 2 の 意の2 上の記 、同一の 体によ て 実現されてもよ 、ある は、 の 体によ て実現されてもよ 。 者の 合 には、例えば、行列 の されて る 域が行列記憶 となり、2
等の記 されて る 域が対角 列記憶 3となる。
００37 また、行列記憶 、対角 列記憶 3、特異 6、特異
8、特異ベクト 2 の 、2 上の記 体 ら 成されてもよ ００38 次に、本実施の 態による特異 の 作に て、 2の チヤ トを用 て説明する。
(ステップS ) 2は、行列記憶 記憶されて る行列 を読み出 し、その を2 して2 を算出して対角 列記憶 3に蓄 積する。
００39 (ステップS 2) 4、特異 5、特異 算出 7によ て2 の 出され、特異 8に蓄積される。この 理の 細 に ては後述する。
００4０ (ステップS 3) ベクト 9は、対角 列記憶 3 ら2
を読み出し、特異 8 ら2 の を読み出し、2
の ベクト を算出して特異ベクト 2 に蓄積する。この 理の 細に ては後述する。
００41 このよ にして、 2 の 解が終了する。ここで、行列 の
2 の ため、行列 の 出されたことになる。 また、後述するよ に、所定の 換を〒 ことによ て、行列 の ベクト も2 の ベクト ら容易に算出することができる。 ００42 次に、 2の チヤ トのステップ 2の 理に て、 3の チヤ ト を用 て説明する。
(ステップS2 ) 4は、対角 列記憶 3 ら2 を読み 出し、その2 を2個の2 列に分割して対角 列記憶 3に蓄 積する。 4は、その2 列を2個の2 列に分割する 理 を、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り返す ００43 (ステップS2 2) 5は、対角 列記憶 3で記憶されて るあら じめ められた大きさ 下の 2 列に て、特異 解を行 。
5は、特異 解の 果である特異 、特異ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とを特異 6に蓄積する。
００44 (ステップS2 3) 算出 7は、2 列の 、行列 素とを特 異 6 ら読み出し、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算出して特異 6に蓄積する。 算出 7は、その 2 列の 、行列 素とを算出する 理を、 2 の を算出するまで り返し、2 の を特異 8に蓄積する。このよ にして、特異 を算出する 理が終了する。
００45 次に、 2の チヤ トのステップ 3の 理に て、 4の チヤ ト を用 て説明する。
(ステップS3 ) スキ 2 は、対角 列記憶 3 ら2
を読み出し、特異 8 ら2 の を読み出す。そして、 スキ 2 は、 2 の 素に関して ウラ 換、 型変換、逆
(
ウラ 換を行 ことによ て、 2 を 2 2
スキ 解する。
００46 (ステップS3 2) ベクト 22は、 2 " 2 素を用 て、一方の 列を構成する特異ベクト を算 出する。 実施 態では、 ベク 22は、 列を構成する ベクト を算出するものとする。 ００47 (ステップS3 3) ベクト 22は、 出した特異ベクト を正規 す る。すなわち、 ベクト 22は、 出した特異ベクト の を算出し ト 2 に蓄積する。
００48 (ステップS3 4) 2 ベクト 23は、 ベクト 22が 出 した特異ベクト 、2 の 、2 とを用 て、 ベクト 22が 出した特異ベクト 異なる方の特 ベクト を算出する。 2 を特異 解した結果が、 ベクト 22が 出した特 異ベクト らなる 、 2 ベクト 23が 出する特異ベクト らなる 、特異 8が記憶して る特異 であるため、その 質 を用 て、 2 ベクト 23は、特異ベクト を算出することができる。 ００49 (ステップS3 5) 2 ベクト 23は、 出した特異ベクト を正規 す る。すなわち、 2 ベクト 23は、 出した特異ベクト の を算出し ト 2 に蓄積する。このよ にして、2 を特異 解する 終了となる。
なお、この役に、行列記憶 記憶して る行列 の ベクト を算出する 理が行われてもよ が、ここでは省略して る。
００5０ また、特異ベクト 9が 出した特異ベクト の 度を上げるために、 5 で示されるよ に、特異ベクト に関する 理を実行してもよ 、ある は、実行しな てもよ 。すなわち、 しな 処理部は、特異ベクト 2 ら特 異ベクト 9が 出した特異ベクト を読み出し、その ベクト に対して の 理を実行し、その 果の ベクト を特異ベクト 2 に蓄積 する(ステップS4 )。次に、 しな グラム ット 理部は、 度が必要 ど 判断する(ステップ 4 2)。この 、あら じめ 度が必要 ど 定 されて る記録 等 ら、その 定を読み出すことによ て判断してもよ 。そして 、 しな グラム ット 理部は、 度が必要な場合には、特異ベクト
2 ら の 理の 行された特異ベクト を読み出し、その ベクト に対してグラム ット法の処理を実行し、その 果の ベクト を特異ベクト 2 に蓄積する(ステップ 4 3。なお、 、グラム ット法に ては、すでに であり、その 細な説明を する。
００51 次に、本実施の 態による特異 の 作に て、以下、より 細に説 明する。
の
は、例えば、 ウスホ ダ 用 て、以下に示されるよ に2 することができることが知られて る。ここでは、 2 する場合に て すが、 2 も同様にして ことができる。ここで、2 は、行の数 と列の数とが一致する正方行列である。
Figure imgf000014_0001
ただし、 は 行列、 は 〒 m m㎞ である。
" "
００52 したが て、対角 2は、上記のよ にして、行列記憶 皿 ら行列 を読み出 し、 2 を算出することができる。その 出された2 、対角 列記憶 3で記憶される(ステップS )
００53 2 の
2 を分割する 理に て説明する。まず、 6で示されるよ に、 2 列であ て、正方行列である の 端に、全ての 素が である列を加え たものを新たに 2 とする。なお、この たな2 の
、元の正方行列である2 の と同じである。したが て、今後、こ の たな X( ) 列の を求める 理に て説明する。
００54 7で示されるよ に、 X 2 が与えられた場合に、それら を2個の 2 、2個の要 ( 7では、b b)とに分けることができる。し たが て、 2 は、以下のよ に分割されることになる。
2 0
2k ek 2ke
0 ００55 ただし、 2 が X( ) 列であるため、 2 は、 (
)x 列であり、 2 は、 ( )X ) 列である。 は、 となる 数である。 e・は、適切な 元における 目の ベクト である。ここ で、並列 理を適切に実行するためには、 を、 2を超えな 最大の 数にとる 、ある は、 2を まわらな 最小の 数にとることが好適であるにの の値を用 て行列を2個の行列に分割する場合を、 列を略 分の2個の行列に分割する 呼ぶことにする)。
3
/2
実施の 態では、 を のよ にとるものとする。なお、 の値は、前述のよ に、 の 囲内で 意であることは までもな 。
００56 したが て、行列 4は、上述のよ にして、対角 列記憶 3が記憶して る 2 を2個の 2 、2個の要素に分割することができ、 その 割の 理を繰り返すことができる。 8は、 3の チヤ トのステップ 2 における行列 4による行列を分割する 理を示す チヤ トである。 ００57 (ステップS5 ) 4は、カウンタ1を に設定する。
(ステップS5 2) 4は、対角 列記憶 3 ら1 目の 割をして な 2 列を読み出し、その2 列を2個の2 、2個の要 素とに分割する。そして、行列 4は、分割した2個の2 、2個の 要素とを対角 列記憶 3に蓄積する。
００58 (ステップS5 3) 4は、1 目の 割を行 て な 2 列が、 対角 列記憶 3で記憶されて る ど 判断する。そして、1 目の 割を行 て な 2 列が、対角 列記憶 3で記憶されて る場合には、ステップ S5 2に戻り、 でな 場合には、ステップS5 4に進む。
００59 (ステップS5 4) 4は、1 目の 割を行 た2 列の きさが あら じめ められて る大きさ 下 ど 判断する。 4は、例えば、 目的とする行列の きさ( えば、25 6など)の されて る しな 記録 体 ら、その 的とする行列の きさを読み出し、対角 列記憶 3で記憶されて る、1 目の 2 列がその きさ 下である ど を判断してもよ 。そして、1 目の 割を行 た2 列の きさがあら じめ められて る 大きさ 下である場合には、2 列を分割する 終了となり、そ でな 場合には、ステップS5 5に進む。
(ステップS5 5) 4は、カウンタ1を インク メントする。そして、ス テップS5 2に戻る。
００6０ なお、この 8の チヤ トでは、上述のよ に、行列 4が 列を、 分の2個の行列に分割するため、1 目の の 2 列の きさがほと んど同じである場合に て説明したが、行列 4が 列を、 分の2個 の行列に分割しな 場合には、行列 4は、分割 の 列があら じめ められた大きさ 下となるよ に、分割を繰り返すものとする。
００61 また、 8の チヤ トでは、ステップ 4にお て、行列 4が、対角 さと比較する 理を実行する場合に て説明したが、これは一例であ て、行列 4は、ステップ 4にお て、それ以外の 理を行 てもよ 。 えば、上述 のよ に、行列 4が 列を、 分の2個の行列に分割する場合には、元 の2 の きさを知ることができれば、何番目の 目的とする行列の きさとなるの を知ることができる。したが て、 ( は 上の整 )の 目的とする行列の きさとなる場合には、ステップ 4にお て、 が である ど を 較し、 でなければステップS5 5に進み、 であれば一連の 理を終了す るよ にしてもよ 。
００62 9は、行列の 割に て説明するための図である。まず、行列 4は、 目の 割として、2 を、2 と、2 とに分割 する(ステップS5 S5 2)。 2 は、 し な ため、行列 4 は、 目の 割をして な 行列がな と判断する(ステップS5 3)。また、2 等はあら じめ められた大きさ 下の 列でな とすると(ステップS5 4 )、行列 4は、2 目の 割として、2 を、2 と、2 とに分割する(ステップS5 5 S5 2)。この 合には、2 目の 割 を行 て な 2 が存在するため、行列 4は、2
も、 2 と、2 とに分割する(ステップS5 3 S5 2)。こ
2 22 の にして、分割 の 2 列が目的とする大きさ 下になるまで、行列を分 割する 理が繰り返される。なお、 9では、2 外の2個の要素に ては省略して る。また、 9にお て、 2 列の数が行の数よりも だけ大き 行列である。
００63 された行列の
が X( ) 列であるとすると、行列 の 次のよ になる。 4 ， ００64 ここで、 は、 x の 列である。 ( O)は、行列 の 側に全ての 素が の列が ある行列である。 の の である。また、 は、行列 の 解における 列の 側の クト である。 は、行列 の 解における 列の をのぞ た行列である。 ( ) は、全体として( )X 列である。
００65 したが て、特異 5は、対角 列記憶 3 ら分割 の 2
列を読み出し、上記のよ にして、特異 解を行 ステップS2 2)。 解の 法として、例えば、2 法と逆 を組み合わ た方法、 3 、Q s 用 てもよ とは前述の りである。 9で示されるよ に 2 列の 割が行われた場合には、特異 5は、 2 2 2 2 2 222に対して特異 解を行 ことになる。なお、特異 5は、特異 解の られた 、特異 解の られた左右 列の 部の 素である行列 素とを特異 6に蓄積する。ここで、行列 素が 、左右 列のどの 素を含むの に ては後述する。
００66 の まず、 で示されるよ に、分割された2個の2 ら、分割
2 の 算出する 理に て説明する。 2 2は 次のよ に特異 解されて たとする。ここで、2 は、両者 共に列の数が行の数よりも だけ大き 行列であるとする。
5
，
屯
００67 この 合に、分割 2 は 次のよ になる。
6
０ ０ 1 2
1 ０ ０ ０ ０ ０
０ ０ ０ ０ ０
v ０ ０ ただし、 は の"後"行である。 は 後の 素である。
qは の最初の行である。 屯は 初の 素である。 ００68 また、 b 2 等は2 列の 割の 理にお て説明した行列の である。ここで、G e s 換を行 b にすると、次のよ になる。
2 2
7
Figure imgf000018_0001
００69 ただし、
8
０ ０ b
０ ０ A ０
0 0 ０ 。
C ０
０ 。
2 2
Ⅴ k 2 c ０ である。したが て、行列 は 9
によ て ( )に 換される。これらより、行列 の 解を〒 ために は、行列 の 解を行えばよ ことになる。ここで、 X の を次のよ にお 。
1０
Figure imgf000019_0001
記の にお て、z・、d・ 外の である。ただし、 2 、 2 3 である。この の 次の定理によ て行 ことができ る。
( )
11
解を㏄ とし、
Ⅳ E dag V v v と
" " " すると、
特異 ， は
０ 2 … Z
" " " 2
を満たす。 また、 特異 の 程式は
z
2 2
，
となる。 は
Figure imgf000019_0002
a
Ⅴ 4 となる。 ００71 ここで、計算機によ て めることができるのは、行列 の真の特 ではな 、 差を含む である。したが て
12
z。
(ただし、 は計算機による近似 ) 真の値であ
大き 異なる可能性があり 。すなわち、上記のよ に計算した場合には、特異ベ クト の 算が数値 安定となることがある。この 次の定理によ て克服でき る。
００72 ( 2)
14
dag 与えられ、
"
０ < …< を満た
" " す 合わ が与えられると、
特異 が ，である行列
z Z "
存在する。 ト は、 で与えられる。
"
n 2
， ， 。 5
，
ここで、 の符 任意である。 ００73 したが て、定理 を用 て行列 の を算出した後に、定理2を用 て 、その 値を真の特 とする行列 を再構成する。 ベクト は、上記 の 5を用 て 出した と、上記の 2を用 て 出した
16
とを上記の 3 4に代入することによ て数値安定的に求めることができる。このよ にして、次のよ に行列 の 解が求められたとする。
7 ただし、 U，・‥ dagO ・・・ K
" " ， ・・ と
" する。
はそれぞれ、 出 れた である。 ００74 すると、 の 以下のよ になる。
18
T
V
v
Figure imgf000021_0001
E 0 Ⅱ
E 0 ００75 このよ に、対象となる行列を2個の副 列に分割 、その した後の各 列 に て特異 解を行 理を再帰 に行 ことによ て特異 解を行
、分割 ( de a d Co e C) 呼ばれて る。
００76 では、特異ベクト まで 出することになり、その ベクト を算出す る 理にお て行列の 算をしなければならな ため、非常に負荷の き 理と なる。 にお て特異 解をする場合には、例えば、計算 間の95 度が特異ベクト を算出する クト 新の ( えば、上述のよ に、行列 の 列 ら、行列 の 列を算出するために行列を掛け合わ る )に やされることもあり 。
００77 方、特異 のみを算出する場合には、上記 理を簡略 することができる。次に 、その 法に て説明する。 記の より、次のよ になる。 f ０ v
E ０ vK vy 2 ０
Figure imgf000022_0001
００78 これより、
2０ c 6
Figure imgf000022_0002
0 7
8
V 9
ただし、 は 初の 初の 、 1は の 後 、
1はげの 後 後の 、 はげ 初の 、
叫 初の 素とする。
となる。ここで、f とは、行列 を特異 解した結果の 列の 初の行 の各 素である。また、 とは、行列 を特異 解した結果の 列の 後の行の各 素である。この 列の 初の行の各 素と、最後の行の各 素とが行列 素となる。
００79 記の 果 ら、 で示されるよ に、行列 ら
2 分割 の を構成 する場合に、行列 に て、
21
， V
をそれぞれ 出することができる。このよ 処理を繰り返すことにより、最終的に、行 列 を2 した2 の を算出することができる。
００8０ したが て、特異 算出 7は、上述のよ にして、特異 6 ら特 異 と行列 素とを読み出し、対角 列記憶 3 ら行列の に発生した2個 の要 (b )を読
2 み出し、それらを用 ることによ て、分割 2
2
の と行列 素とを算出する。そして、それらを算出する 理を繰り返すことによ て、最終的に2 の を算出する。 、 3の チヤ ト のステップS2 3における特異 算出 7が特異 を算出する 理を示す チ ヤ トである。
００81 (ステップS6 ) 算出 7は、カウンタJを に設定する。
(ステップS6 2) 算出 7は、J 目の の 最後の の 出である ど 判断する。ここで、最後の の 出とは、2 の を算出することである。そして、最後の の 出である場合には、ステップS 6 6に進み、そ でな 場合には、ステップ 6 3に進む。
００82 (ステップS6 3) 算出 7は、分割 2 列の 算出す る。この 理の 細に ては後述する。
(ステップS6 4) 算出 7は、J 目の の 出にお て、分割 の ての2 列の 算出した ど 判断する。そして、J 目の の 出にお て、分割 の ての2 列の 算出した場合には、 ステップ 6 5に進み、そ でな 場合には、ステップ 6 3に戻る。
００83 (ステップS6 5) 算出 7は、カウンタJを インク メントする。そして、 ステップS6 2に戻る。
(ステップS6 6) 算出 7は、2 の を算出し、その 出 した特異 を特異 8に蓄積する。このよ にして、2 の を算出する一連の 終了となる。
００84 2は、 チヤ トにおけるステップ 6 3の 細な処理を示す
チヤ トである。
(ステップS7 ) 算出 7は、分割 の 列の 2を用 て 出 する。そして、特異 算出 7は、 出した特異 を特異 6に蓄積 する。
００85 (ステップS7 2) 算出 7は、ステップS7 で 出した特異 を用 て、
5のzを算出する。
(ステップS7 3) 算出 7は、ステップS7 で 出した特異 、ステップ S7 2で 出したzとを用 て、 4の を算出する。この を算出するこ により、 を ベクト に有する を算出したことになる。そして、特異 算出 7は、 出した を特異 6に蓄積する。
００86 (ステップS7 4) 算出 7は、 6 ら式9を用 て、分割 の 列に関す る行列 素を算出する。そして、特異 算出 7は、 出した分割 の 素を 特異 6に蓄積する。このよ にしてステップS6 3の 終了となる
００87 3は、特異 を算出する 理に て説明するための図である。
6では、特異 5によ て行列 さ
2 ・ が
222 特異 解 れ 結果、すなわち、それらの 、行列 素とが記憶されて るものとする。まず 、特異 算出 7は、特異 目の 出を開始する(ステップS6 S6 2) 。ここで、特異 目の 出とは、 3の 下の行の行列の 、行 列 素と ら、下 ら2 目の行の行列の 、行列 素とを算出することであ る。 算出 7は、行列 と、行列 との 、 と
2 、行列 と
2 の 素を特異 6 ら読み出す。また、行列 を行列 と、行列 とに分解したと
2 きに発生した2個の要素を対角 列記憶 3 ら読み 。そして、特異 算出 7は、それらの値を用 て、行列 の を算出し て特異 6に蓄積する(ステップS7 )。次に、特異 算出 7は、 行列 の を用 てzの値を算出する(ステップS7 2)。 算出 7は、 行列 の 、zの とを用 て を算出して特異 6 に蓄積する(ステップS7 3)。 後に、特異 算出 7は、行列 の 素を 算出して特異 6に蓄積する(ステップS7 4)
００88 目の はまだ終わ て な ため(ステップ 6 4)、特異 算出
7は、上記 明と同様にして、行列 、行列 22の 、行列 に基
2
て、行列 の 、行列 素を算出する(ステップS6 2 S6 3)。このよ にし て、特異 目の 出が終了すると、特異 算出 7は、特異 2 目 の 出、すなわち、行列 、行列 の 、
2 行列 に基 て行列 の 、行列 素の 出を〒 (ステップS6 4 S6 5 S6 2 S6 3)。その 、特 異 算出 7は、同様にして、行列 、
2 行列 、 基
22の 行列 に 行列 の 、行列 素の 出を〒 (ステップS6 4 S6 3) ００89 算出 7が特異 2 目の 出を終了すると(ステップ 6 4)、次の 特 の 、 2 の を求める最後の 理となるため(ステッ プS6 5 S6 2)、特異 算出 7は、特異 の 出のみを〒 、その 出した特 異 を特異 8に蓄積する(ステップ 6 6)。このよ にして、特異 の 出 が終了する。
００9０ 値 らの ベクト の
まず、行列 "を考える。ここで、行列 は、前述の X の 2 列である。 この を次のよ に対角 したとする。
22
A V
ただし、 A dag ム 2 ０
x ・
は 万の固有値であ xは固有値㍉に対する である。 ００91 ここで、一般に次のことが成り立 。
( ) は対称な3 列である。
(2) の 有値は全て正であり、行列 の ( 。 …
2 。 )は 〒 "の 有値と次の関係を有する。
23 "
(3) である。ただし、 は行列 の 列である。したが て、行列 の ベクト
・は 〒 の ベクト に等し 。
００92 したが て 〒 の ベクト を求めると、行列 の 列が求まること になる。さらに、 〒 の 有値 解を
24
Figure imgf000025_0001
とする。すると、 が まり、特異 を対角 分に有する行列Zが まる こ によ て
25 VE ら、 まることになり、行列 が特異 解される。したが て 〒 の ベクト を求めることは、 クト と
sの ベ を求めるこ に置き換 えることができる。すなわち、次の方程式の ベクト
・を求めればよ ことになる。 26
㍗ ye 2
ただし、 f〒 は X 〒列である。
は 目 素が 他 要素が０ である。
(eは 単位行列 目 列である) 0093 来であれば、上記 の になるはずであるが、 の を算出する ときに、 ら の 差を含むため、特異ベクト
・が であれば、上記のよ に右 辺に残 存在する。
0094 ここで、以下のよ に スキ 解できたとする。
27
Figure imgf000026_0001
)
2
㈹ 0
2
０ )
。・・
０
０
2 2 2
㍗ 6 2
0 1 1
㍊ ００95 すると、 のよ に書ける。
28
Figure imgf000027_0001
ただし、 は以下 である。
Figure imgf000027_0002
1
1 ( )
。 k ０ 1
= C C ００96 そして、次のよ になる。
29
㍗ Ⅳ Ⅳ
Figure imgf000027_0003
００97 ここで、行列 を イスト 呼ぶ。また、
3０
e 。 Ⅳ。 e であるので、 ( 2) eは
31
Ⅳ X e となる。この 単な式を解 ことによ て特異ベクト を算出することができる。 体的 には、 32 p
p p p p 2
p 1 2
ただし、 x p 目の 素である。
のよ にわず な演算で特異ベクト を算出することができる。なお、ある に て、
Figure imgf000028_0001
０ o
と、行列 の( ) 分であるb を用 て、
33 p 2 p
p
P 2 p
Figure imgf000028_0002
特異ベクト を算出することができるにの に特異ベクト を算出する 理を例 外 理と呼ぶことにする)。 、 ラメ タv の値は
34
Figure imgf000028_0003
が最小となるよ に決定する。したが て、上述の スキ 解を求め、ツ イスト を求めることができれば、特異ベクト を求めることができることになる。 そこで、次に スキ 解に て説明する。
００98 4で ( (
示すよ に 1
・ を スキ 解することは、 に対応する 0 o
e ) ら、 対応する )
V e を求めることである。
００99 (ad型 イスト )
まず、従来 ら知られて る d型、
イスト で用 る 型変換に て説明 する( 4 )。
35 d 変換 e "
0 この 、さらにs a o a d S f s ds) 36 d
・ 12
Figure imgf000029_0001
2・・ m
(０ ０ ０ e e se e o ess e d S f (「 ds)
37 「 p d
Figure imgf000029_0002
c 12 ・
(０ を 12・ 1
(０ ０ ０ に分けられる。 が
・ 既知であれば な計算が不要なため、計算 を少 な 抑えることができるが、常に数値安定性と精度が高 方法ではな 。それは、s ds 換、 ds 共に減算による ちが発生する可能，注がある らである。
o (０ 2
えば、 s ds 換にお て、 e ～e "であれば、 " 求め 際に、 度計算でもの 効数字がわず 桁になることもある。その 合には、
( (
e 計算すると誤差が生じる。 まり、e が精度よ 算できな こ
( とになる。また、 求めるのにe 必要であり、e 求めるのに が必要であると たよ に 次的な計算が要求されるので、 所で発生した ちによる 差が波及し、さらなる 大の ，注も秘めて る。その 果、理論上 o o
は であるが、 により となり、 e 算にお オ が起こると た数値 安定な状況も 定される。 の b b 与えられる、すなわち e 与えられると 2
、 e 2 2
一意的に決まるので、この 避けることはできな 。 ds 換も同様の ， を持 ため、実用的な ベ にまで したとは がた 。 P C にお て O R チン S G として改良 が公開されて るものの 完全に 解決されては な 。
０1０1 ( 型 イスト ) 次に 型 イスト で用 る ウラ 換、 型変換、逆 ウラ 換に て説明する( 4 )。
38 ウラ
Figure imgf000030_0001
s d o
d "
ウラ 。 ０1０2 まず、 ウラ 換に て説明する。この 次のよ に示される。
39
(0
０
z 一一
R ０ 12 ０
(0 2‥ m
㌃ 2 2
０
M ０
ただし、 ０は任意である。
０1０3 次に、d 型変換に て説明する。この 、さらにs a o a dsc e e o a o e a a abe S e Sze(s d )
4０
_ 6
x
・ 2 2
6 Y
０ ０ ０ e e se ・ e d・sc e e o a o e a ・ a・abe s e s・ze( d )
41 o 6
X を 2 2m
6
( ０ M ０ に分けられる。ただし、 42 6
満たす 囲内で (
任意である。
０1０4 後に ウラ 換に て説明する。この 次のよ に示される。
43
6 "㌍ 6 " 2・・
12・
０ ０1０5 このよ にして、 型変換と同様に、 スキ 解を行 ことができる。 d型変換 では見られな o o e a型変換の きな特徴は、任意 ラメ タを持
( (
ことである。すなわち、 6
・ 満たす 囲で6㈲の値を任意 に設定できる。 8 を変動さ ると補助変数 ㈲の値も変 するが、 ちによる 数値 安定が発生する ど は事前に判定できる。この 、 f文によ て 実装されてもよ 。この 6 を 定後に再度計算すればよ 。また、 " まれば ウラ 換によ て " e 独立に計算されるので、 差が 伝播しな 質を持 。なお、 ウラ 換を ウラ 換、 ウラ 換を逆 ウラ 換と呼んでもよ 、 s d 換をs 換と呼んでもよ 、 d 換を 換と呼んでもよ 。
０1０6 ここで、 型 イスト による 理のより 細な処理の 例に て説明する 。 5～ 2 は、 型 イスト による 理の 例を示す チヤ トであ る。
０1０7 5は、 スキ 解の 体の 理の 例を示す図である。
(ステップS9 ) スキ 2 は ウラ 換を行 。この 理の 細に ては後述する。
( ( (
ステップS9 2) スキ 2 は O と
・ する。
０1０8 (ステップS9 3) スキ 2 は、後述するP oced の 理を実行する (ステップS9 4) スキ 2 は、後述するP oced の 理を実行する ０1０9 (ステップS9 5) スキ 2 は e がすでに算出されて る ど 判断する。そして、すでに算出されて る場合には、 スキ 解の 連の 終了となり、一方、 出されて な 場合には、ステップS9 に戻る。
０11０ 6は 5の チヤ トにおけるステップS9 3の 理の 細を示す
チヤ である。
(ステップS ) スキ 2 は " e "がすでに算出されて る ど 判断する。そして、すでに算出されて る場合には、終了となり、 出されて な 場合には、ステップS 2に進む。
(ステップS 2) スキ 2 は、 s d の 理を行 。この 理 の 細に ては後述する。
０111 7は 5の チヤ トにおけるステップS9 4の 理の 細を示す
チヤ トである。
(ステップS ) スキ 2 は e がすでに算出されて る ど 判断する。そして、すでに算出されて る場合には、終了となり、 出されて な 場合には、ステップS 2に進む。
(ステップS 2) スキ 2 は、 d の 理を行 。この 理 の 細に ては後述する。
０112 8は 5の チヤ トのステップSg の 理の 細を示す チヤ トである。
(
(ステップS 2 ) スキ 2 は 6 の値を決定する。この値は、前 述のよ に任意に決定することができ る。 出された特異位の さ に … 2
とする場合に 例えば、 スキ 2 は 6 の値を よりも 、さ ( えば、 など)に設定し、その 、ステップS 2 3等で ちの 生する可能 ，注がある 2 2
と判断された場合に 8 値を と の間( 2 ・‥)に設定 する、 よ に、 を ず き しながら 8㈲の値を設定して てもよ 。な お、 8㈲の値を決定する方法は、これに限定されな ことは言 までもな 。 (
(ステップS 2 2) スキ 2 は、 を 6 ０に設定する。 ０ 3 (ステップS 2 3 スキ 2 は、 の が よりも大き ど
判断する。そして、大き 場合には、ステップ 2 4に進み、そ でな 場合には、 ステップS 2 に戻 て、 8 値を決定する 理を再度 行する。なお、この 意に定めることができる。 えば、 Eとして ン・ を用 てもよ 。 値を大き すると精度が向上し、 値を小さ すると精度が低下する。なお、こ のステップS 2 3で行 て る 、 ちが発生する可能性に て判断する 理である。 の よりも大き な 場合には、 ちの 生する可能性 があると判断されることになる。
０ (０ (o
０114 (ステップ 2 4) スキ 2 は、 2を ( 6 に設定す る。なお、前述のよ に であるため、 2は に設定されたことになる。
０ (o
０ 5 ( ０
ステップS 2 5 スキ 2 は、 s (
6 )を に設定する。
(
ここで、 S 2 2 ０
は、ステップ にお て 6 ０に設定されて るが、前述 ( の ( (o
のよ に であるため、 は、 6 ) 6 し 、こ o れ ０
に ウラ 換を行 と となる らである。な ０
お、 ら( 2
(０ (o
6 である。
０116 (ステップS 2 6) スキ 2 は、カウンタ を に設定する。
(ステップS 2 7) スキ 2 は、 をe に設定する。 のよ
( ( に、 となる ら の
、e に ウラ 換
2 を行 と、 の は と等 2 し ことになる。
０117 ステップS 2 8) スキ 2 は、 2を に設定する。ステップS 2
(
わ 0
7の 明 ら るよ に、 2は 2 し こ になる。
０118 (ステップS 2 9) スキ 2 は、 2の が よりも大き ど
判断する。そして、大き 場合には、ステップS 2 に進み、そ でな 場合には、 ステップS 2 に戻 て、 8 値を決定する 理を再度 行する。なお、この ステップS 2 9で行 て る 、ステップS 2 3の 理と同様に、 ちが発 生する可能性に て判断する 理である。 2の よりも大き な 場合 には、 ちの 生する可能，注があると判断されることになる。 ０119 (ステップS 2 ) スキ 2 は X 2を算 ０ (０ 出して ０
2 2 o (0
に設定する。 のよ に、 は し 、 2
) ( ( であるため、 X 2に ウラ 換を実行すると、 ( )に 2 2 2 し なる らである。
(
０12０ (ステップS 2 ) スキ 2 は、 2を 2に設定する。
(v ( よ に、 2は 6 ( (のと等し ため、 2は、 ( ( )となり、
2 2
2における の値を インク メントしたことになる。
(
０121 (ステップS 2 2) スキ 2 は、 を 2 6 に設定する。
( ( ( ０ ( のよ に、 2は ( ) し ため、 は、 6
2
( (
6 となり、 ウラ 換を実行すると、 は、 となる。したが て、 2 2
における の値を インク メントしたことになる。
０ 22 (ステップS 2 3 スキ 2 は、 の が よりも大き ど 判断する。そして、大き 場合には、ステップS 2 4に進み、そ でな 場合には、 ステップ 2 に戻 て、 の値を決定する 理を再度 行する。なお、この ステップS 2 3で行 て る 、ステップS 2 3の 理と同様に、 ちが発 生する可能性に て判断する 理である。 の よりも大き な 場合 には、 ちの 生する可能，注があると判断されることになる。
( ０123 (ステップS 2 4) スキ 2 は、 2X を算出して (
2
o (
に設定する。 のよ ０
に、 2は し 、
2 は、
2 2 に等 し らである。
０124 (ステップS 2 5) スキ 2 は、カウンタ を インク メントする。
(ステップS 2 6 スキ 2 は、カウンタ が に し ど 判断す る。そして、 に等し 場合には、一連の 終了となり、そ でな 場合には、ス テップS 2 7に戻る。
０125 このよ (
にして、 ( ( )と (
、 ( ( )とが
2 出される 2 2 2
ことになる。これらの値は、 スキ 2 が有する しな 等にお て 時的に記憶されてもよ 。
０126 9は、 6の チヤ トのステップS 2の 理の 細を示す チ である。
(ステップS 3 ) スキ 2 は、 2 (
を 6 に設定する。なお 、前述のよ に であるため、 2は に設定されたことになる。
( ０127 (ステップS 3 2) スキ 2 は、 を ( ) (
( )に設定する。ここで、 の としては、ステップS 2 5 o で したものを用 る。なお、前述のよ に である。また、この の式にs 換を実行すると、 、 に設定されたことになる。
０128 (ステップS 3 3) スキ 2 は、カウンタ を に設定する。
(ステップ 3 4) スキ 2 は、 を に設定する。 ０129 (ステップS 3 5) スキ 2 は、 の が よりも大き ど 判断する。そして、大き 場合には、ステップS 3 6に進み、そ でな 場合には、 。
5の チヤ トのP oced e (ステッ S9 4)に進む。なお、このステップS 3 5で行 て る 、ステップS 2 3の 理と同様に、 ちが発生する可 能性に て判断する 理である。 の よりも大き な 場合には、 ちの 生する可能，注があると判断されることになる。
０13０ (ステップS 3 6) スキ 2 は、 2を に
Figure imgf000035_0001
０
定 ０ ( o
する。ここで、 ０ の としては、ステ
2 2 ップS 2 で 出した
( ( ものを用 る。また、この の式にs d 換を実行すると、 2は、
2 に設定されたことになる。
０131 (ステップS 3 7) スキ 2 は、 X 2を算出する。 のよ に、
( (
は 6 (
に等し 、 2は 6 ( (
に等 2 2
し ため、 X 2に ウラ 換を実行すると に し なる。したが て、
(
スキ 2 は、 X 2を算出して に設定する。
０132 (ステップS 3 8) スキ 2 は、 2を 82に設定する。 のよ に
(
、 2は8 し ため、 となる
2 2は 6 ( (
。したが て、 2 2に おける の値を インク メントしたことになる。
０ 33 (ステップS 3 9 スキ 2 は、 2の が よりも大き ど 判断する。そして、大き 場合には、ステップS 3 に進み、そ でな 場合には、 。
5の チヤ トのP oced e (ステッ S9 4)に進む。なお、このステップS 3 9で行 て る 、ステップS 2 3の 理と同様に、 ちが発生する可 能性に て判断する 理である。 2の よりも大き な 場合には、 ちの 生する可能，注があると判断されることになる。
０134 (ステップS 3 ) スキ 2 は、 X 2を算出する。 のよ に、
( ( (
は に等し 、 2は し ため、 X 2に ウラ 換 2 を
2
行すると、e に し なる。したが て、 スキ 2 は、 X 2を算 (
出してe に設定する。
(
０135 (ステップS 3 ) スキ 2 は、 を 2 2 に
( (
定する。ここで、 ( )
2 の としては、ステ
2 ップS 2 4で 出した ものを用 る。また、この の式にs d 換を実行すると、 は、 に
2 定されたことになる。したが て、 における の値を インク メントしたことに なる。
０136 (ステップS 3 2) スキ 2 は、カウンタ を インク メントする。
(ステップS 3 3) スキ 2 は、カウンタ が に し ど 判断す る。そして、 に等し 場合には、ステップS 3 4に進み、そ でな 場合には、ステ 、プ 3 4に戻る。
０137 (ステップS 3 4) スキ 2 は、 2X( 6 )を算出する。こ れは、ステップ 3 4で を更新した後に、ステップS 3 7で X 2を計算す ることと等し 。したが て、 スキ 2 は、 2X(p (
算出 (
して に設定する。このよ にして、 ウラ 換された結果にs d 換と、 ウ ラ 換とを実行して、 e を算出する 理が終了する。これらの値は、 ス 分解 2 が有する しな 等にお て一時的に記憶されてもよ 。 ０138 2 は、 7の チヤ トのステップS 2の 理の 細を示す チヤ トである。
( ( ( ステップS 4 ) スキ 2 は、 を ( ) (
2 2 2
(
6 に設定する。ここで ０
、 ０ の としては、ステ
2 2 2 2
、プS 2 4で 出したものを用 る。なお、前述のよ に である。また、
2 (
の の式に d 換を実行すると、 は、 設定されたことになる。
2
０139 (ステップS 4 2) スキ 2 は、カウンタ を に設定する。
(ステップS 4 3) スキ 2 は、 を 設定する。 ０14０ (ステップ 4 4) スキ 2 は、 の が よりも大き ど 判断する。そして、大き 場合には、ステップS 4 5に進み、そ でな 場合には、 5の チヤ トの ウラ (ステップSg )に戻る。なお、このステップ 4 4で行 て る 、ステップS 2 3の 理と同様に、 ちが発生する可能 に て判断する 理である。 の よりも大き な 場合には、 ち の 生する可能性があると判断されることになる。
０141 (ステップS 4 5) スキ 2 は、 2を
Figure imgf000037_0001
に
( (o o
定する。ここで、 ( 6
2 の としては、ステップ 2 で 出した
2
( ( ものを用 る。また、この8 の式に d 換を実行すると、 2は、
2 に設定されたことになる。
０142 (ステップS 4 6) スキ 2 は、 2を 2に設定する。 のよ に
(
、 2は6 し ため、 2は となる
2 2 。
０143 (ステップS 4 7) スキ 2 は、 2の が よりも大き ど 判断する。そして、大き 場合には、ステップS 4 8に進み、そ でな 場合には、 5の チヤ トの ウラ (ステップSg )に戻る。なお、このステップ 4 7で行 て る 、ステップS 2 3の 理と同様に、 ちが発生する可能性 に て判断する 理である。 2の よりも大き な 場合には、 ち の 生する可能性があると判断されることになる。
０144 (ステップS 4 8) スキ 2 は、 X 2を算出する。 のよ に、
( (
は 6 に等し 、
2 2は 2 ため、 X 2に ウラ 換を実行すると に等し なる。したが て、 スキ 2 は X 2を算出して に=設定する。
。 ‥ 、 ・ ０ (０
０ (０
設定する。ここで、 ０ の としては、ステップS 2 5 S
2 2
2
4で 出したものを用 る。また、この の式にS d 換を実行すると、 、 に設定されたことになる。したが て、 における の値を メン 2
したことになる。
０146 (ステップS 4 ) スキ 2 は、 X 2を算出する。 のよ に、
( (
は し 、 2は6 ため、 X 2に ウラ 換を 2 2
行すると、e に し なる。したが て、 スキ 2 は、 X 2を算 出してe に設定する。
０ 47 (ステップS 4 スキ 2 は、カウンタ を メントする。
(ステップS 4 2) スキ 2 は、カウンタ がOに ど 判断する 。そして、 に等し 場合には、ステップS 4 3に進み、そ でな 場合には、ステッ プS 4 3に戻る。
０148 (ステップS 4 3) スキ 2 は、 算出する。これは、ス テップS 4 3で を更新した後に、ステップS 4 8で X 2を計算することと 等し 。この 合、 2は だ らである。したが て、 スキ 2 は、
(
6 を算出して 設定する。このよ にして、 ウラ 換された結果に d
(
換と、 ウラ 換とを実行して、 を算出する 理が終了する。 れらの値は、 スキ 2 が有する しな 等にお て一時的に記 ， されてもよ 。
０149 なお、 5の チヤ トの 理によ て 出することができるのは 個の特 に対応する特異ベクト であるため、全ての に対応する特異ベクト を算出 する場合には、 スキ 2 は、 5の チヤ トの 理を特異位の だけ り返すことになる。
０15０ 消費を抑えるために、補助変数 ㈲のための 必ずしも 意する必要は v
な 。 方、 のための 域を確保し、 ウラ 換、 型変換、逆 ウラ 換のステップにまたが てこの値を利用することで、メ 消費を抑え、計算 を低減することができる。これにより、 差も低減される。
０151 ここで、 差に て説明する。 間が理想的な状況、すなわち、無限 の 算を らでもできるとすると、 型 イスト であ ても、 型 イスト であ ても問題な 。し しながら、 ンピ で計算を〒 場合は注意が必要である。 の 算し 行えな ンピ タ上では、数学的に正し 計算法を使 たとして も必ずしも 結果が得られる訳ではな 。それば り 、 までた ても計算 が終了しな 思わぬ数 な問題が発生する場合もある。
０152 ンピ タ 算による 差には、丸め 差及び ちによる 差などが知られて る。 独では、 の 後の桁が と比 て異なる程度で大き な誤差にはならな 。また、指数 が異なる2 の 数の 算、乗算、 算の な とも の 算を行えばやはり 差が生じるが、それ以上の誤 発生しな 。 さらに、このよ 差を発生するよ 作が繰り返されても、丸め ドが ea 捨五入)ならば、一方的に切り上げられたり、ある は切り捨てられたりして 差 が極端に蓄積することは少な 。よ て 多 の数 算法は加算、乗算、 算の な とも の 算によ て発生する 差を特別 意することは少な 、d s チンによる特異 算でも結果的に 一様に増大しな 。
０153 題となるのは、 号の 数の 算及び 符号の 数の 算により じる、 ちである。 ちによる 差で値が とな た後、その値による 算を行 が分 母に るよ 不定形となり 算不可能となる。 なると までた ても計算が終了 しな 。 算と計算する部分が d型 イスト 、 型 イスト の 方に存在するので、 差には十分に注意する必要がある。
０154 型、
イスト では、上述の ちによる 差を含んで る ど は減算に よ て得られた値が小さ ど で判断できる。 d型 イスト の 合、
差を含むことが分 たとしても、それを回避することはできな 。なぜならば、 の (
初期 として e が与えられると、 は一意的に決定 (
され、 e ) も一意的に導出されるためである。すなわち、任意 ラメ タを持たな 自由 のな 計算法であるためである。
０155 それに対して、 型、 イスト 、 自由に設定できる ラメ タ 0
6 を持 た め、補助変数 ㈲の値を様 に さ ることができる( 2 、 2 )。す なわち、 経路で e 計算することができる。よ て、 ちが する場合も回避できる。 8～ 2 の 件判定によ て ちの 響を 、減算によ て得られた値の絶 が小さな数 より大き 件が満たされ なければ、 ラメ タ 定に戻ると ものである。この 、条件が満たさ れるまで り返される。なお、精度よりも高速性を重視する場合は、数回 件が満た さなければ (
( ある は ならば)、例外 理を行 てもよ 。
０156 d型 イスト ある は 型 イスト によ て スキ 解をすること ができると、上述のよ に イストされた行列 を算出することができ、その の eを解 ことによ て、 を算出することができる。ここで、
44 ・
x ・を置き換えることにより、この ・を正規 する。このよ にして、 ベクト
・を 求めることができる。この ベクト を用 て、 ( … )とすること
2
により、 を算出することができる。
０157 また、前述のよ に、
45
v E
となるため、 が まれば、 2 、特異 を対角 分に有する行列Zは 既知であるため、 列を算出することができる。より具体的には、特異 ・が でな 場合には、
46
x，
y となる。 方、特異 ・が である場合には、
47
y ０ を解 ことにより、 ・を算出することができる。ここで、 ・の 合と同様に
48
Figure imgf000040_0001
と
・を置き換えるこ により、この ・を正規 する。このよ にして、 ベクト
・を 求めることができる。この ベクト を用 て、 ( … )とすること
2
により、 を算出することができる。このよ にして、2 の 解がなされる。なお、この 理の後に、 、グラム ット法の処理 を行 てもよ ことは前述の りである。また、ここでは を先に算出す る場合に て説明したが、 の ベクト 、すなわち を先に算 出してもよ 。
0 58 また、2 の 解を〒 ことができれば、次のよ に、行列 の 解も行われる。
49
Figure imgf000041_0001
T
T
０
Figure imgf000041_0002
０159 ベクト 9は、上述のよ にして、特異 8が記憶して る 2 の 、対角 列記憶 3が記憶して る 2 とを 用 て、 2 の ベクト を算出する。まず、 スキ 2 は 、対角 列記憶 3 ら 2 を読み出し、特異 8 ら 2 の を読み出す。そして、 スキ 2 は、 22の チ ヤ で示されるよ に 換を 、 スキ 解 理を行。ここでは、 型 イスト を用 る場合に て説明する。 ０16０ スキ 2 は、まず、 2 の 素の値 ら、 e を 求める。そして、 スキ i2 は ウラ 換を実行することにより、 ㈲ 等を順次 めて (ステップS8 )
０161 次に、 スキ 2 は ウラ 換で得られた を用 て、s d 換を
(
実行することにより、 等を順次 めて (ステップS8 2)。また、 スキ
o
2 は ウラ 換で得られた を用 て、 d 換を実行することにより、 等を順次 めて (ステ
2 ップS8 3)
０162 後に、 スキ 2 は、 s d 換で得られた " d 換で 得られた 用 て、 ウラ 換を実行することにより、 "、e "等を順次 めて (ステップS8 4)。 " e " まると、すなわち、 2 " 、 2 まると、 スキ 2 は、それらを ベクト i22に渡す。なお、 スキ 2 は、 に て、それ ぞれ スキ 解を行 ものとする。
０163 なお、ここでは、説明の 上、図22の チヤ トを用 て スキ 解の 理を説明したが、 5～ 2 の チヤ トで示されるよ に処理を行 てもよ ことは までもな 。
０164 ベクト 22は、特異 8 ら特異 を読み出し を用
( て の値を決定する。 ベクト 集部22は、その の値を用 て、 e イスト を求め eを解 ことによ て を算出する(ステ 、
ソプS3 2)
０165 次に ベクト 22は、 出した・を正規 して、 ベクト を 求めて特異ベクト 2 に蓄積する(ステップ 3 3。そして、 ベクト
22は、 出した ベクト
・を 2 ベクト 23に渡す。な お、 ベクト 22は、 に て、 ・を算出する 理と、正規 する 理とを ことによ て 全ての ベクト を算出することができる。
０166 2 ベクト 23は 2 を対角 列記憶 3 ら読み出 し、その 2 の を特異 8 ら読み出す。そして、 2 ベクト 23は ベクト 22 ら受け取 た ベクト と、 2 と、特異 とを用 て、 ・ ・ a・、ある は、 ㌧・ を解 ことによ て、 ・を算出する(ステップ 4)。次に、 2 ベクト 23は、 ベクト と
・の 合 同様に、 出した・を正規 して、 ベクト
・を求め て特異ベクト 2 に蓄積する(ステップ 3 5)。このよ にして、特異ベクト の 出が終了する。なお、 2 ベクト 23は、 に て、 ・を算 出する 理と、正規 する 理とを〒 ことによ て、全ての ベクト を算出す ることができる。
この 、行列記憶 記憶して る行列 の ベクト を算出してもよ 。そ の 出の 、前述の りである。
０167 また、特異 算出 7が 出した特異 、特異ベクト 9が 出した特異 ベクト を する しな 出力部を特異 が えてもよ 。ここで、 しな 出力部による出力は、例えば、特異 の イス( えば、C ディスプ イなど) の 示でもよ 、特異 の 定の 器 の 信回線を 介した でもよ 、特異 プ ンタによる印刷でもよ 、特異 の 体 の 積でもよ 。なお、その 部は、出力を〒 イス( えば、表示 イス プ ンタなど)を含んでもよ 、ある は含まな てもよ 。また、その 部は、 ド ウ アによ て実現されてもよ 、ある は、それらの イスを駆動するドライ 等の ソ トウ アによ て実現されてもよ 。
０168 なお、ここでは、 スキ 2 が 型 イスト によ て スキ
解を〒 場合に て説明したが、 スキ 2 は、 型 イスト によ て スキ 解を行 てもよ 。 えば、 スキ 2 は、 出された特 異 の 布を見て、分布が密でな 場合には、 d型 イスト を用 るよ にし てもよ 。
０169 また、上記 明では、 が 2 列である場合に て説明したが、行 列 は 2 列であ ても、その を 2 列に変換することによ て特異 解を同様に実行することができ る。 えば、 Cが 2 列 であるとすると、 2 C するこ ができる。その 2 を、 E 特異 解できたとすると、
C
Figure imgf000044_0001
となる。したが て、 2 列の 解にお て、特異 2
の と同じであり、特異ベクト は、左右が逆になることがわ る。 ０17０ 方、 2 Cに ても、行列 4等が 2 Cの 割 を行 、その された 2 列に て特異 が特異 解を 行 、その 解の 果を用 て特異 算出 7が 2 Cの を算出するよ にしてもよ 。また、特異ベクト 9にお て、 2 Cと、その とを用 て スキ 解を行 、その に対応する ベクト を算出するよ にしてもよ 。
０171 また、上記 明では、特異 算出 7が全ての を算出する場合に て 説明したが、一部の のみを算出するよ にしてもよ 。 えば、 にお て 、特異 算出 7は、行列 までは、全ての を算出する必要があるが、 行列 ら 2 の を算出する際に、必要な 囲で特異 を 算出してもよ 。したが て、特異 算出 7は、2 の な とも 個の 特 を算出するものであ てもよ 。その 合には、不必要な特異 を算出するこ とに 分な処理を実行しな てよ ため、処理 荷を軽減することができ 。こ のよ に、一部の のみを算出する場合には、例えば、 2 の を算出する 理に やす 間を約( ) 2倍にすることができ 。こ こで、 は行列サイズであり、 は求める特異 の 数である。
０172 また、上記 明では、特異ベクト 9が 出された特異 に対応する全て の ベクト を算出する場合に て説明したが、上記 明 ら明ら なよ に、 特異ベクト を算出する 、特異 ごとに ことができる。したが て、特異ベ クト 9は、2 の な とも 個の特 ベクト を算出するもので あ てもよ 。このよ に、特異ベクト 9は、必要な 囲で特異ベクト を算 出することができ、不必要な特異ベクト を算出することに 分な処理を実行しな てよ ため、処理 荷を軽減することができ 。
０173 次に、本実施の 態による特異 における 理に て説明する 実施の 態による特異 では、特異 の 算及び ベクト の 算にお て、並列 に処理を実行することができる。 えば、 23で示されるよ に、 特異 にお て、特異 5、特異 算出 7、 スキ
2 ベクト 22、 2 ベクト 23にお て、それぞれ 理を行 てもよ 。
０ 74 5は、複数の 5a 5bを備え、その 数の
5a 5bが、分割 2 列の 、行列 素とを算出す る 理を並列 行してもよ 。 えば、 3にお て、特異 5aが行列 、
2 2 2の 解を実行し 特異 5bが行列 2 2 2の 解を実行してもよ 。
2 22 22
０175 算出 7は、複数の 算出 7a 7bを備え、その 数の
算出 7a 7bが、分割 2 列の 、行列 素とを算出す る 理を並列 行してもよ 。 えば、 3にお て、特異 算出 7aが行列 の 算出する 理を実行し、特異 算出 7bが 2 行列 2 22 2の 算出する 理を実行してもよ 。
０176 スキ 2 は、複数の スキ 2 2 bを備え、その 数の スキ 2 a 2 bが、2 を スキ 解する 理を並列 行してもよ 。 えば、 スキ 2 aが半分の に て スキ 解する 理を実行し、 スキ 2 bが残りの 分の に て スキ 解する 理を実行してもよ 。
０177 ベクト 22は、複数の ベクト 22a 22bを備え 、その 数の ベクト 22a 22bが、特異ベクト を算出する 理 を並列 行してもよ 。 えば、 ベクト 22aが スキ
2 aによ て スキ 解された特異 に関して特異ベクト を算出する 理を 実行し ベクト 22bが スキ 2 bによ て スキ 解された特異 に関して特異ベクト を算出する 理を実行してもよ 。
０178 2 ベクト 23は、複数の 2 ベクト 23a 23bを備え 、その 数の 2 ベクト 23a 23bが、特異ベクト を算出する 理 を並列 行してもよ 。 えば、 2 ベクト 23aが ベクト 22aによ て 出された特異ベクト に対応する特異ベクト を算出する 理 を実行し、 2 ベクト 23bが ベクト 22bによ て 出された特異ベクト に対応する特異ベクト を算出する 理を実行してもよ 。 ０179 なお、特異 算出 7の 数の 算出 7a 7bは、 で示される 分割された2個の行 の と行列 素と ら、分割 の の 行列 素とを算出する 理を、並列 行してもよ 。 下、その 理に て説明 する。
０18０ まず、 2 ら、 を求める 理に ては、並列 能なことがわ る。
ここで、 5を次のよ に書き換えることにする。
5０ ㈹
０181 この式皿 ら、 5を計算するのに、一部の に対応する式 の 分を計算 しておき、他の特 に対応する式 の 分を後 ら掛け合わ ることによ て、最 終的に
51 を算出できることがわ る。したが て、特異 算出 7a 7bのそれぞれは、ま ず、 2個の行 の と行列 素とを特異 6 ら読み出し、 2個の行 の に発生した2個の要素を対角 列記憶 3 ら読み出 す。その み出された行列 素と、2個の要素とを用 て、z が
・の値を知ること できる 。その 、各 算出 7a 7bは、 2を用 て、それぞれが担当する特異 を算出する。この 、並列 行することができる。
０182 次に、特異 算出 7aは、 出した特異 を用 て計算することができる式 の部分に て計算する。また同様に、特異 算出 7bも、 出した特異 を 用 て計算することができる式 の 分に て計算する。そして、特異 算出 7a 7bは、その 算した値を交換し、あら じめ 算して た値と け合わ る ことによ て、最終的に 皿の値を計算することができる。このよ に、特異 算出 7a 7bは、 を計算する 理も並列 行することができる。
０183 次に、特異 算出 7a 7bは、 4を用 て、それぞれが 出した特異 に 対応する特異ベクト を計算する。このよ に、特異 算出 7a 7bは、
を計算する 理も並列 行することができる。
０184 その 、特異 算出 7a、ある は特異 算出 7bが、 6 ら式9を用 て行列 の 素を計算することによ て、分割 の の と行列 素とを算出する 理が終了する。このよ に、分割された2個の行 の と行列 素と ら、分割 の の と行列 素とを算出する 理を、特異 算出 7a 7bによ て 行することができる。
０185 記のよ 素における 理にお て、 段が特異 の 報を 納する りを用 る場合に、複数の 段が同一の 、すなわち メ りを使 用してもよ 、ある は、 段がそれぞれ別の りを使用してもよ 。
０186 なお、 23を用 て、特異 5 算出 7等が2個の手段によ て 理を実行する場合に て説明したが、特異 5 算出 7等が3 上の手段を備え、並列 理を実行してもよ 。また、特異 5 算出 7、 スキ 2 、 ベクト 22、 2 ベクト 23のそれぞれにお て 理が実行される場合に て説明したが、 ずれ の 意の 上の部にお て、並列 理が実行されな てもよ 。 えば、 特異 5にお て 理が行われな てもよ 。
０187 また、その 、 の 置にお て、 2 上の P 等を用 て実行されても よ 、2 上の装置にお て実行されてもよ 。 えば、 24で示されるよ に、装置 と、装置 とがそれぞれ特異 5a 5bを備え、 置にお て、特異 解の 理が並列 行されてもよ 。この 合には、装置 の
5aを備える特異 5 と、装置 の 5bを備える特異
5 2とによ て特異 5が 成されることになる。したが て、特異 は、装置 と、装置 と らなる ステムを構成することになる。ここでは、 5の 理に て説明したが、その他の特 算出 7 スキ 2 等に ても、2 上の装置による 理を行 てもよ 。 ０188 2 像 ら3 元 元する画像 理 の
次に、物体の2 像 ら3 元 元する画像 理に特異 解を応用する 場合に て説明する。
０189 数の2 像 ら3 元を行 、以下の ステップによ て行われ る。
( )2 像 ら特徴 を抽出するステップ。
(2) デ タより (元の物体の 3 デ タ) び回転(3 デ タ ら特徴 デ タ の )に関するデ タを計算するステップ。 (3) 状及び回転のデ タより可視 を ステップ。
０19０ 下、上記( 2)の ステップに て、 25の チヤ トを用 て説明す る。ここで、2 例えば、スキヤ デジタ スチ カメラ、デジタ ビデオ カメラ等の光学的 み取り機器によ て み取られた2 像であ てもよ 。 ０191 ステップS5 にお て、2 ・‥ 、 は3 上の整 ) ら特 徴 ( ・‥ 、 は2 上の整 )の ( )を抽出する。 り扱 2
、 心射影 像であることが好ま 。このとき、次の式が成り立 。
52
Figure imgf000048_0001
Z
０192 ここで、5・は物体のスケ に相対する 目の 像のスケ 、 ・ ・はそれぞ
2 物体 に相対する 目のカメラ の 列の 目と2 目の ベク ト 、 (X z)"は 目の点の3 標である。 体のスケ は 目の 像のスケ 同じにし(s )、物体の の 目の 像のカメラ と同じにする(「 ( )"「 ( )")。 ての 像における
2
ての点の座標を行列 の 素として ると、 のよ になる。
53 1
ただし、
Figure imgf000049_0001
s Ⅹ Ⅹ
Z Z Z
０193 とSの形 ら分 るよ に のランクは3である。ここで、ステッ 5 にお て、 行列 が与えられて る。 下、回転に関するデ タ Sを求める。
０194 そこで、行列 の を考える。ここで、 Zは特異値を大小 に対角線上に並 たもので、 はそれ ぞれ 、 列である。この 解として、前述の 法を用 ることができる。すなわち、特異 にお て、行列記憶 記憶して る行列 を、このたびの とすることにより、前述の 明のよ にして、行列 の 解がなされることになる。なお、特異 にお て、特異ベクト 2 に蓄積されるのは、行列 を変換した 2 の ベクト で あるので、その ベクト を、前述の 明のよ にして、行列 の ベクト に変 換する必要がある。
０195 ここで、画像のデジタ 差のため、ゼ でな 特異 3 上出て る。し し 、4 目以降の ノイズによるもので、最初の3 の と比 て 段に小 。そこで、ステップS5 2では、最初の3 の に対して特異ベクト を計 算する。 用する3個の クト をま める 、 なる。
Z S ただし、 ( ) 2
、S ( ) L 最小にするランク3 の 列である。
０196 次に ら Sを求めた が、その 合 は 一ではな 。なぜなら、任意 の 則行列Cが
( C)(C S )
を満たす らである。そこで、 におけるCを Cを満たすよ に決める。 記の式を満たす。
54
Figure imgf000050_0001
０197 Cとすると、 式 ら の6 の 素に関する2 個の線 程式が得ら れる。 3であるので、 の 素を一意に決めることができる。ステップS5 3にお て、行列 を求める。
０198 次に、ステップ 4にお て、 らCを求める。Cの (9)は の (6 )より多 。そこで、条件 ( )
・ " ( )
・ "を加えれば、Cを決めること 2
ができる。このとき2 の ( ec e Re e sa)が出る。
次に、ステップS5 5にお て、 C S C Sより、回転に関するデ タ Sが決まる。
０199 索 の
次に、文書 理に特異 解を応用する場合に て説明する。 書中 ら その 書の 容に関連する を抽出し、 の みを計算する 理の 、 ベクト デ では、この の みを要素とする クト で文書を表現する 。ここで、検索 象となる文書をd d ・‥ dとし、これら文書 体を通して 部で 個の索 ・‥ があるとする。このとき、文書 ・は 次のよ
2
で表現されることになる。これを文書ベクト 呼ぶ。 55
2
０2００ ここで、dは の dにおける重みである。また、文書 次の よ な X T によ て表現することができる。
56 ０
・‥
０2０1 を 呼ぶ。 列の 文書に関する情報を 表して る文書ベクト であるが、同様に、 列の に関す る情報を表して る クト であり、これを ベクト 呼ぶ。 問も、文書と 同様に、 の みを要素とする クト で表現することができる。 問文に 含まれる の みを とすると、検索 ベクト は次のよ に表されること になる。
5
q
０2０2 際の 索にお ては、与えられた検索 問文と 似した文書を見 け出す 必要があるが、検索 ベクト ベクト dの間の類 を計算することに より 。ベクト 間の類 の 義としてはさまざまなものが考えられるが、文書 索にお てよ られて るものは サイン (2 の クト のなす )また は である。
58 cos q ( サイ )
Figure imgf000052_0001
d ， ( ) ０2０3 なお、ベクト の さが に正規 ( サイン めされて る場合には、 サイン 度と内 とは一致する。
０2０4 26は、本実施の 態による特異 を利用した文書 法の 例 を示す チヤ トである。
ステッ 6 にお て、質問ベクト を受け取る。
０2０5 ここでは、 の を使 た検索を考える。ベクト デ では、検索 ベクト 中の各 ベクト d・の間の類 を計算するこ とにより検索を行 、ここでは の わりに を 。ベクト デ では、文 書ベクト の 元数は の 数と 。したが て、検索 象となる文書の数 が増えるに 、文書ベクト の 元数も増加する傾向にある。し し、次元数が増 加して ると、 ンピ の りによる制限や検索 間の 大などの 題が生じて るば りでな 、文書中に含まれる不必要な ノイズ な影響を及ぼし、検 索 度を低下さ てしま 起こ て る。 在的意味インデキ ング(a e Se a c de S )は、高次元の 間にある文書ベクト を低次元の と することにより、検索 度の 善を図る 術である。 次元の 間では に扱われて た 、低次元の 間では相互に関連を持 たものとして扱わ れる可能性もあるため、 の 念に基 検索を行 ことができる。 たとえば、通常の クト デ では ca a o ob e
はま た 別物であり、一方の による 問ではも 方の を含ん だ文書を検索することができな 。し し、低次元の 間ではこれらの に関連 した の 元に縮 することが期待できるため、 ca 問によ て ca を含む ば りでな a o ob eを含む 書をも検索することが可能 となる。 在的意味インデキ ングでは、特異 解により高次元ベクト の を行 、これは基本的に多 析における主成分分析 価である。
０2０6 ステップS6 2にお て、 を選択する。ここでは、 なる の値を選択する。
( )である。 の値は、 与えられて てもよ し、計算ごとに選択 能で あ てもよ 。
0207 次に、ステップS6 3では、行列 の 解を行 。この 解として、 前述の 法を用 ることができる。すなわち、特異 にお て、行列記憶 記憶して る行列 を、このたびの とすることにより、前述の 明のよ にして、行列 の 解がなされることになる。なお、特異 にお て、特異ベクト 2 に蓄積されるのは、行列 を変換した 2 の ベクト であるので、その ベクト を、前述の 明のよ にして、行列 の ベクト に変換する必要がある。また、この 解では、計算された特異位の 、大き 順に 目 ら 目までの 個の特 に対して の ベクト を算 出する。 は、ステップS6 2で選択された値である。
0208 すなわち、
Figure imgf000053_0001
なる を計算する。ここで、 は、最初の 個の左 ベクト のみ ら される X 列であり、 は、最初の 個の右 ベクト のみ ら 成される X 列であり、 Zは、最初の 個の特 のみ ら 成される 列である。 ０2０9 次に、ステッ 6 4にお て、行列 質問ベクト との類 を計算する。
ま、ベクト eを 元の ベクト とすると、 の 目の ベクト で すことができる。 ベクト e・ ベクト との間の類 計算は
59
。 q 。
oos
ke q
が
0 。 。
Figure imgf000053_0002
e q e q
6 。 q
㌔e q としてもよ が、別の定義を用 てもよ 。 では、 を Z ら再構成す 必要はな 解の 果 ら、直接、 を計算できることを示して る。 式の中に現われる e・は、
Figure imgf000054_0001
書き直すことができる。この式の右 、近似 における 目の ベクト の のもとでの ( 書の )を表して る。 様に、 式の中の は、検索 ベクト の のもとでの ( 問の )である。 ０21０ ステップS6 5にお て、ステップS6 4にお て計算された類 を基準に、 検索 果を出 する。
後に、数値 験による性能の 価に て説明する。ここでは、本実施の 態 による特異 の 法と、標準 な分割 、 ト Q とを 較した。 としては、 P C で提供されて る S Cを用 た。Q としては、 P C で提供されて る SQ を用 た。 験で用 る P C S( o a ca ed ea eb a Sof a e)で最適 した S( asc ea eb a S b o a s)を呼び出す。また、本実施 の 態による特異 の 5では、Q 法を用 て特異 解を行 た。 算機は、キヤ メ 4 64 24 を したO e o 8 用 た。
０211 27は、計算 間を示す図である。 による特異 解が、他の 特 よりも 常に高速であることがわ る。特に、分割 ( C) 比較すると、ベクト 新を した効果がわ る。
０212 28は、異なる行列サイズの 間の を示す図である。
による特異 、ほぼ ( 2) を持 ことがわ る。
なお、 27 28で示される計算 間の 定では、対角 分が2・ 対 角 分が2・ であり、近接 を持たな 行列に て計算を行 た。
０213 29は、計算 度を示す図である。 による特異 の 、分 割 と同 度の 度を有することがわ る。 29では、 個のランダム 列を解き、精度を評価した。 サイズは、 である。 ０214 上のよ に、本実施の 態による特異 では、分割 を用 て 特異 のみを算出するため、標準 な分割 で実行される クト 新が必要 な なり、標準 な分割 よりも 常に高速である。また、特異値 ら特異ベクト を算出する 理も、高速に処理することができる。さらに、Q 法では特異 を算出 する段階の 列化が困難であるが、本実施の 態による特異 では、特 異 を算出する段階、 値 ら特異ベクト を算出する段階のそれぞれにお て、本質的に高 を持 。また、本実施の 態による特異 の 、分割 QR とほぼ同等の 度が得られることがわ る。
０215 なお、本実施の 態による特異 は、スタンドア ンの 置であ てもよ 、 クライアント ステムにおける 置であ てもよ 、前述のよ に、複 数の 置 ら 成される ステムであ てもよ 。 が クライ アント ステムにおける 置である場合には、行列記憶 記憶される や、特異 8で記憶される特異 ベクト 2 で記憶され る特異ベクト 等は、インタ ネット イントラネット等の通信回線を介して送受信され てもよ 。
０216 また、特異 における一部の 理を、特異 外にお て 行 てもよ 。 えば、行列 4による2 を分割する 理、ある は、特異 5による特異 解の 理を、特異 にお て実行 しな てもよ 。その 合には、例えば、 2 が分割された結果である、あ ら じめ められた大きさ 下の 2 列が、 イス 通信回線、記 録 介して受け付けられ、対角 列記憶 3で記憶されて てもよ 。また 、例えば、そのあら じめ められた大きさ 下の 2 列に対して特異 解が行われた結果である、 2 列の 、 2 列の ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが、 イス 通信回 線、記録 介して受け付けられ、特異 5で記憶されて てもよ ０2 7 また、上記 施の 態にお て、各処理または 、単一の または単一 の ステムによ て集中 理されることによ て実現されてもよ 、ある は、複数の または複数の ステムによ て分散 理されることによ て実現されてもよ 。 ０218 また、上記 施の 態にお て、 専用の ドウ アにより 成され てもよ 、ある は、ソ トウ アにより実現可能な構成 素に ては、プ グラムを 実行することによ て実現されてもよ 。 えば、 ドディス 導体メ 等の 記 体に記録されたソ トウ ア・プ グラムを P 等のプ グラム 行部が読み 出して実行することによ て、 素が実現され得る。なお、上記 施の 態に おける特異 置を実現するソ トウ アは、以下のよ プ グラムである。 まり、このプ グラムは、 ンピ に、 2 が2個の2 列に分割 され、その2 列が2個の2 列に分割される 理が、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り返され、 あら じめ められた大きさ 下の 2 列に対して特異 解が行われた結果である、 前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが記憶される特異 部 ら、 2 列の 、行列 素とを読み出し、前記 、前記 素と ら、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算出 して前記 に蓄積し、その 2 列の 、行列 素とを算出する 理を、 2 の な とも 個の特 を算出するまで り返し、前記2 の な とも 個の特 を特異 に蓄積する 特異 算出ステップ 、前記2 が記憶される対角 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出 し、 2 とその と ら、ツイスト を用 て2 の な とも 個の特 ベクト を算出して特異ベクト に蓄積する特異ベクト ステップ 、を実現さ るためのものである。
０219 また、このプ グラムでは、 ンピ に、前記あら じめ められた大きさ 下の
2 記憶される前記 列記憶部 ら、前記あら じめ められた 大きさ 下の 2 列を読み出し、前記 2 列に対して特異 解 を 、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算 出し、 、 ベクト らなる左右 列の 部の 素である 素とを前記 に蓄積する特異 ステップをさらに実行さ てもよ 。
０22０ また、上記 施の 態における特異 置を実現するソ トウ アは、以下の よ プ グラムである。 まり、このプ グラムは、 ンピ に、2 が 記憶される対角 列記憶部 ら前記2 を読み出し、 2
を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積し、その2 列を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積する 理を、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り返す行列 ス テップ 、前記あら じめ められた大きさ 下の 2 列を前記 列記 憶部 ら読み出し、前記 2 列に対して特異 解を行 、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算出し、特異 解され た特異 、特異ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とを 特異 に蓄積する特異 ステップ 、 2 列の 、 行列 素とを前記 部 ら読み出し、前記 、前記 素と ら、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算 出して前記 に蓄積し、その 2 列の 、行 列 素とを算出する 理を、2 の な とも 個の特 を算出するま で り返し、前記2 の な とも 個の特 を特異 に蓄積す る特異 算出ステップ 、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、2 とその と ら、ツイスト を用 て2 の な とも 個の特 ベクト を算出して特異ベクト に蓄積する特異ベクト ステップ 、を実行さ るためのものである。
０221 また、このプ グラムでは、前記 ベクト ステップは、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、前記2 の 素に関して ウラ 換、 型変換、逆 クラ 換を行ことによ て、 2 を 2 " 2 スキ 解する スキ ステップ 、前記 2 " 2 素と、前記2 の とを用 て一方の 列を構成する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積する ベクト ステップ 、前記 ベクト ステップで 出した一方の 列を構成する特異ベクト 、前記2 の 、前記2 とを用 て他方の 列を構成する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積する 2 ベクト ステップ 、 をさらに備えてもよ 。
なお、上記プ グラムにお て、情報を蓄積する 理などでは、 ドウ アでし 行われな 少な とも含まれな 。
０222 また、このプ グラムは、 など らダウン ドされることによ て実行されても よ 、所定の ( えば、C O などの ディス ディスク、半導 体メ りなど)に記録されたプ グラムが読み出されることによ て実行されてもよ 。 ０223 また、このプ グラムを実行する ンピ は、単数であ てもよ 、複数であ て もよ 。すなわち、集中 理を行 てもよ 、ある は分散 理を行 てもよ 。
０224 3 は、上記プ グラムを実行して、上記 施の 態による特異 を実 現する ンピ の 観の 例を示す である。 施の 、 ンピ タ ドウ ア びその上で実行される ンピ プ グラムによ て実現され 。
０225 3 にお て、 ンピ タ ステム は、C O (Co ac s Rea d O e o )ドライ 5 ( e be s )ドライ 6を含む ンピ と、キ ボ ド 2と、 ウス 3と、 タ 4とを備える。
０226 3 は、 ンピ タ ステムを示す図である。 3 にお て、 ンピ は
O ドライ 5 ドライ 6に加えて CP (Ce a Pocess と、 トアッププ グラム等のプ グラムを記憶するための O ( ea d O e o ) 2と、CP に接続され、アプ ケ ョンプ グラムの 令を一時的に記憶すると共に、一時記憶 間を提供するR ( a do ccess e o ) 3と、アプ ケ ョンプ グラム、 ステムプ グラム、 デ タを 記憶する ドディス 4と、CP 2等を相互に接続する 5 。
とを備える。なお、 ン は、 の 続を提供する しな ネットワ クカ ドを含んでもよ 。
０227 ンピ タ ステム に、上記 施の 態による特異 の 能を実 行さ るプ グラムは、C 2 、または 22に記憶されて、C O ドライ 5、または ドライ 6に 入され、 ドディス 4に転送されても よ 。これに代えて、そのプ グラムは、 しな ネットワ クを介して ンピ
に送信され、 ドディス 4に記憶されてもよ 。プ グラムは実行の際にR 3に される。なお、プ グラムは、C RO 2 や 22、またはネット ワ ク ら直接、 ドされてもよ 。
０228 また、行列記憶 、対角 列記憶 3、特異 6、特異位記憶
8 ベクト 2 は、 3 ドディス 4によ て実現されて もよ 。
０229 プ グラムは、 ンピ に、上記 施の 態による特異 の 能を実行さ るオペ ティング ステム( S)、またはサ ド ティプ グラム等 を必ずしも含まな てもよ 。プ グラムは、制御された 様で 切な機能( ジ
)を呼び出し、所望の 果が得られるよ にする命令の 分のみを含んで てもよ 。 ンピ タ ステム がどのよ に動作するの に ては周知であり、詳細 な説明を する。
０23０ また、 、以上の実施の 態に限定されることな 、 の 更が可能であ り、それらも 明の 囲内に包含されるものであることは までもな 。
また、 明のほんの の 型的な実施 に て上で詳細に説明したが 、その 型的な実施 にお て、発明の 益と新規な技術 ら実質的にはずれるこ とな の 更が可能であることを当業者は容易に認識することができるであ 。 したが て、そのよ なす ての 、 明の 囲に含まれるものである。
上の ， ０231 上のよ に、 明による特異 によれば、特異 解を高速に処 理することができ、画像 理や検索 理、その他の特 解を用 る 理を実行 する装置 にお て有用である。 明の 施の による特異 置の 成を示す ック
2 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
3 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
4 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
5 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
6 実施の 態における 2 の 割に て説明するための 7 実施の 態における 2 の 割に て説明するための 8 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
9 実施の 態における 2 の 割に て説明するための 1０ 実施の 態における 2 の の 出に て説明する ための
11 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
12 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
13 実施の 態における 2 の の 出に て説明する ための
14 実施の 態における スキ 解に て説明するための
15 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
16 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
17 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
18 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
19 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
2０ 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
A 実施の 態における 型 イスト に て説明するための 2 B 実施の 態における 型 イスト に て説明するための 22 実施の 態による特異 置の 作を示す チヤ ト
23 実施の 態による特異 置の 成の他の 例を示す ック 24 実施の 態による特異 置の 成の他の 例を示す ック 25 実施の 態における画像 理の 例を示す チヤ ト
26 実施の 態における文書 理の 例を示す チヤ ト
27 実施の 態による特異 解と従来の 解との 較に て説明 するための
28 実施の 態による特異 解と従来の 解との 較に て説明 するための
29 実施の 態による特異 解と従来の 解との 較に て説明 するための
3０ 実施の 態における ンピ タ ステムの 例を示す
31 実施の 態における ンピ タ ステムの 成の 例を示す

Claims

求の
2 が記憶される対角 列記憶 、
前記2 が2個の2 列に分割され、その2 列が2個の2 列に分割される 理が、分割 の 2 列があら じめ められた 大きさ 下となるまで り返され、 あら じめ められた大きさ 下の 2 列に対して特異 解が行われた結果である、前記 2 列の 、 前記 2 列の ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが記憶される特異 、
前記2 の が記憶される特異 、
2 列の 、行列 素とを前記 部 ら読み出し、前 記 、前記 素と ら、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算出して前記 に蓄積し、その
2 列の 、行列 素とを算出する 理を、2 の な と も 個の特 を算出するまで り返し、前記2 の な とも 個の特 を前記 に蓄積する特異 算出 、
前記2 の ベクト が記憶される特異ベクト 、
前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、2 とその と ら、ツイスト
クト に蓄積する特異ベクト 、を備えた特異 。
2 列記憶 には、前記あら じめ められた大きさ 下の 2
記憶され、
前記あら じめ められた大きさ 下の 2 列を前記 列記憶部 ら 読み出し、前記 2 列に対して特異 解を行 、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算出し、 、 ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とを前記
に蓄積する特異 をさらに備えた 載の 。3 2 が記憶される対角 列記憶 、 列記憶部 ら前記2 を読み出し、 2 を2 個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積し、その2 列を2 個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積する 理を、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り返す行列 、 前記あら じめ められた大きさ 下の 2 列を前記 列記憶部 ら 読み出し、前記 2 列に対して特異 解を行 、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算出する特異 、 前記 によ て特異 解された特異 、特異ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが記憶される特異 、 前記2 の が記憶される特異 、
2 列の 、行列 素とを前記 部 ら読み出し、前 記 、前記 素と ら、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算出して前記 に蓄積し、その
2 列の 、行列 素とを算出する 理を、 2 の な と も 個の特 を算出するまで り返し、前記2 の な とも 個の特 を前記 に蓄積する特異 算出 、
前記2 の ベクト が記憶される特異ベクト 、
前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、 2 とその と ら、ツイスト
クト に蓄積する特異ベクト 、を備えた特異 。
4 ベクト 、 型 イスト により特異ベクト を算出する、請 求 3 載の 。
5 ベクト 、 型 イスト により特異ベクト を算出する、請 求 3 載の 。
6 ベクト 、
前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、前記2 の 素に関して ウラ 、 型変換、逆 ウラ 換を〒 ことによ て、前記2 を 2
2 スキ 解する スキ 、 前記 2 " 2 素と、前記2
の とを用 て一方の 列を構成する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積する ベクト 、
前記 ベクト 出した一方の 列を構成する特異ベクト 、前記2 の 、前記2 とを用 て他方の 列を構成する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積する 2 ベクト をさらに備えた、請求 5 載の 。
7 スキ 、複数の スキ 段を備え、
前記 数の スキ 段が、前記2 を スキ 解する 理 を並列 行する、請求 6 載の 。
8 ベクト 、複数の ベクト 段を備え、
前記 数の ベクト 段が、特異ベクト を算出する 理を並列 行 する、請求 6または請求 7 載の 。
9 2 ベクト 、複数の 2 ベクト 段を備え、
前記 数の 2 ベクト 段が、特異ベクト を算出する 理を並列 行 する、請求 6 ら 8の ずれ 載の 。
０ 算出 、複数の 算出 段を備え、
前記 数の 算出 段が、分割 2 列の 、行列 素とを 算出する 理を並列 行する、請求 3 ら 9の ずれ 載の 、複数の 段を備え、
前記 数の 段が、 2 列に対して特異 解を〒 理を並 列 行する、請求 3 ら の ずれ 載の 。
2 が記憶される行列記憶 、
前記 を前記 列記憶部 ら読み出し、前記 を2 した前記2 を算出して前記 列記憶 に蓄積する対角 部と、をさらに備えた 3 ら の ずれ 。
3 、2 列を略 分の2個の2 列に分割する、請求
3 ら 2の ずれ 載の 。
4 算出 、2 の ての を算出する、請求 3 ら
3の ずれ 載の 。
5 ベクト 、2 の ての ベクト を算出する、請求
4 E載の特 。
6 は、2 ㍉ 、 は3 上の整 ) ら抽出された特徴 ( ㍉ 、 は2 上の整 )の ( ) ら 成される行列である、請求 2 載の 。
7 は、 の みを要素とする クト であ て、検索 象となる文書を 示す クト であるd d ( は2 上の整 )を に有する行列である
列である、請求 2 載の 。
8 2 が記憶される対角 列記憶 、前記2 が2個の2 列に分割され、その2 列が2個の2 列に分割される 理が、 分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り返され、 あら じめ められた大きさ 下の 2 列に対して特異 解が行わ れた結果である、前記 2 列の 、前記 2 列の ベク ト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが記憶される特異
、前記2 の が記憶される特異 、特異 算出 、前記2 の ベクト が記憶される特異ベクト 、特異 ベクト とを備えた特異 置で用 られる特異 法であ て、 前記 算出 、 2 列の 、行列 素とを前記
部 ら読み出し、前記 、前記 素と ら、分割 2 列 の 、分割 2 列の 素とを算出して前記
に蓄積し、その 2 列の 、行列 素とを算出する 理を 、2 の な も 個の特 を算出するまで り返し、前記2
の な とも 個の特 を前記 に蓄積する特異 算出ステップ ベクト 、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、 前記 部 ら前記2 の を読み出し、 2 と その と ら、ツイスト を用 て2 の な とも 個の特 ベ クト を算出して前記 ベクト に蓄積する特異ベクト ステップ 、を 備えた特異 。
9 2 が記憶される対角 列記憶 、行列 、特異 、前 記 によ て特異 解された特異 、特異ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とが記憶される特異 、前記2 の が記憶される特異 、特異 算出 、前記2 の ベクト が記憶される特異ベクト 、特異ベクト 、を 備えた特異 置で用 られる特異 法であ て、
前記 、前記 列記憶部 ら前記2 を読み出し、 2 を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積し、そ の2 列を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積する 理を、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り 返す行列 ステップ 、
前記 、前記あら じめ められた大きさ 下の 2 列を前 記 列記憶部 ら読み出し、前記 2 列に対して特異 解を行 、 前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算出する 特異 ステップ 、
前記 算出 、 2 列の 、行列 素とを前記
部 ら読み出し、前記 、前記 素と ら、分割 2 列 の 、分割 2 列の 素とを算出して前記
に蓄積し、その 2 列の 、行列 素とを算出する 理を 、 2 の な とも 個の特 を算出するまで り返し、前記2
の な とも 個の特 を前記 に蓄積する特異 算出ステップ ベクト 、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、 前記 部 ら前記2 の を読み出し、2 と その と ら、ツイスト を用 て2 の な とも 個の特 ベ クト を算出して前記 ベクト に蓄積する特異ベクト ステップ 、を 備えた特異 。
2０ ベクト 、 スキ 、 ベクト 、 2 ベクト 、をさらに備えており、
前記 ベクト ステップは、
前記 スキ 、前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前 記 部 ら前記2 の を読み出し、前記2
の 素に関して ウラ 換、 型変換、逆 ウラ 換を〒 ことによ て、前記2
(
を 2 2 スキ 解す る スキ ステップ 、
(
前記 ベクト 、前記 2 2
素と、前記2 の とを用 て一方の 列を構成 する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積する ベクト ステップ 、
前記 2 ベクト 、前記 ベクト ステップで 出した一方 の 列を構成する特異ベクト 、前記2 の 、前記2 とを用 て他方の 列を構成する特異ベクト を算出して前 記 ベクト に蓄積する 2 ベクト ステップ 、をさらに備えた、 請求 9 載の 。
2 ンピ に、
2 が2個の2 列に分割され、その2 列が2個の2 列に分割される 理が、分割 の 2 列があら じめ められた大き さ 下となるまで り返され、 あら じめ められた大きさ 下の 2 列に対して特異 解が行われた結果である、前記 2 列の 、前 記 2 列の ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 とが記憶される特異 部 ら、 2 列の 、行列 素と を読み出し、前記 、前記 素と ら、分割 2 列の
、分割 2 列の 素とを算出して前記 に蓄積し 、その 2 列の 、行列 素とを算出する 理を、2
の な とも 個の特 を算出するまで り返し、前記2 の な とも 個の特 を特異 に蓄積する特異 算出ステップ 、
2 が記憶される対角 列記憶部 ら2 を読み出し、 前記 部 ら前記2 の を読み出し、2 と その と ら、ツイス を用 て2 の な とも 個の特 ベ クト を算出して特異ベクト に蓄積する特異ベクト ステップ 、を実現 さ るためのプ グラム。
22 ンピ に、
2 が記憶される対角 列記憶部 ら前記2 を読み出し、 2 を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積し 、その2 列を2個の2 列に分割して前記 列記憶 に蓄積す る 理を、分割 の 2 列があら じめ められた大きさ 下となるまで り返す行列 ステップ 、
前記あら じめ められた大きさ 下の 2 列を前記 列記憶部 ら 読み出し、前記 2 列に対して特異 解を行 、前記 2 列の 、前記 2 列の ベクト とを算出し、特異 解された特異 、特異ベクト らなる左右 列の 部の 素である行列 素とを特異
に蓄積する特異 ステップ 、
2 列の 、行列 素とを前記 部 ら読み出し、前 記 、前記 素と ら、分割 2 列の 、分割 2 列の 素とを算出して前記 に蓄積し、その
2 列の 、行列 素とを算出する 理を、2 の な と も 個 特 を算出するまで り返し、 2 の な とも 個の特 を特異 に蓄積する特異 算出ステップ 、 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、 2 とその と ら、ツイスト を用 て2 の な とも 個の特 ベクト を算出して特異ベクト に蓄積する特異ベクト ステップ 実行さ るためのプ グラム。23 ベクト ステップは、
前記 列記憶部 ら2 を読み出し、前記 部 ら前記2 の を読み出し、前記2 の 素に関して ウラ 換、 型変換、逆 ウラ 換を〒 ことによ て、前記2 を 2
2 スキ 解する スキ ステップ 前記 2 " 2 素と、前記2
の とを用 て一方の 列を構成する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積する ベクト ステップ 、
前記 ベクト ステップで 出した一方の 列を構成する特異 ベクト 、前記2 の 、前記2 とを用 て他方の 列を構成する特異ベクト を算出して前記 ベクト に蓄積す る 2 ベクト ステップ をさらに備えた、請求 22 載のプ グラム。
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