JPH03206557A - 演算処理方法と演算処理装置 - Google Patents
演算処理方法と演算処理装置Info
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- JPH03206557A JPH03206557A JP2273534A JP27353490A JPH03206557A JP H03206557 A JPH03206557 A JP H03206557A JP 2273534 A JP2273534 A JP 2273534A JP 27353490 A JP27353490 A JP 27353490A JP H03206557 A JPH03206557 A JP H03206557A
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- FFBHFFJDDLITSX-UHFFFAOYSA-N benzyl N-[2-hydroxy-4-(3-oxomorpholin-4-yl)phenyl]carbamate Chemical compound OC1=C(NC(=O)OCC2=CC=CC=C2)C=CC(=C1)N1CCOCC1=O FFBHFFJDDLITSX-UHFFFAOYSA-N 0.000 description 1
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Abstract
(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。
め要約のデータは記録されません。
Description
【発明の詳細な説明】
産業上の利用分野
本発明ＬＬ． 算術演算処理方式に係り、特に近似演
算によって求めた演算結果から真値を丸めることによっ
て得られる値と同じ結果を得るための方法と、この方法
を高速に実現する演算処理装置に関するものである。
算によって求めた演算結果から真値を丸めることによっ
て得られる値と同じ結果を得るための方法と、この方法
を高速に実現する演算処理装置に関するものである。
従来の技術
演算処理装置において、関数の解を高速に求める方法と
して、収束型演算がある。例えば 除算や平方根演算な
ど（よ ニュートンラフソン法により、加算と乗算を繰
り返すことにより行なうことができる。この方法によれ
？１ ２＝Ｘ／Ｙの除算（上 最初の１／Ｙの近似値
ＲＯをテーブルを引いて求数 Ｒ＋＝Ｒ１−＋（２−Ｒ＋−＋Ｙ） （１）の
漸化式をｎ回繰り返し用いて１／Ｙの近似解Ｒ。を求め
ることができ、その後、Ｒ，とＸを乗算し１〇一 てＸ／Ｙの近似値を得ることができる。
して、収束型演算がある。例えば 除算や平方根演算な
ど（よ ニュートンラフソン法により、加算と乗算を繰
り返すことにより行なうことができる。この方法によれ
？１ ２＝Ｘ／Ｙの除算（上 最初の１／Ｙの近似値
ＲＯをテーブルを引いて求数 Ｒ＋＝Ｒ１−＋（２−Ｒ＋−＋Ｙ） （１）の
漸化式をｎ回繰り返し用いて１／Ｙの近似解Ｒ。を求め
ることができ、その後、Ｒ，とＸを乗算し１〇一 てＸ／Ｙの近似値を得ることができる。
また 平方根演算Ｙ＝Ｘ””につし）でＬ 最初の１／
Ｘ１″の近似値ＲＯをテーブルを引０て求吹（１）式の
変わりに次の漸化式 Ｒ＋＝（１／２）Ｒ＋−＋（３−Ｒ＋−＋ＱＸ） （
２）をｎ回繰り返し用いて１／ｘ１′２の近似根Ｒ，を
求めることができ、その後、Ｒ０とＸを乗算してｘ１′
２の近似値を得ることができる。
Ｘ１″の近似値ＲＯをテーブルを引０て求吹（１）式の
変わりに次の漸化式 Ｒ＋＝（１／２）Ｒ＋−＋（３−Ｒ＋−＋ＱＸ） （
２）をｎ回繰り返し用いて１／ｘ１′２の近似根Ｒ，を
求めることができ、その後、Ｒ０とＸを乗算してｘ１′
２の近似値を得ることができる。
従来は 演算結果として、前述のよう番こして必要とさ
れる精度の近似値を求ム その近イ以値を直柩 指定さ
れた丸めモードで決められた有効桁数に丸めて最終結果
としていた 発明が解決しようとする課題 以上説明したような演算方式でζよ 近似演算番こよっ
て得られた近似値を直接丸めること番こより結果を得て
いた 丸めの方法として、幾つ力）の方法があん 例え
＋ｉ ＩＥＥＥ７５４の浮動小数点規格で４１４つの
丸めモードが定められている。すなわ板最近接丸め（ｒ
ｏｕｎｄ ｔｏ ｎｅａｒｅｓｔ）、正方向丸め（ｒｏ
ｕｎｄ ｔｏｗａｒｄ ＋ｉｎｆｉｎｉｔｙ）、負方向
丸め（ ｒｏｕｎｄ−１１ ｔｏｗａｒｄ−ｉｎｆｉｎｉｔｙ）、零方向丸め（ｒｏ
ｕｎｄ ｔｏｗａｒｄｚｅｒｏ）である。これらの丸め
を正確に行なうために（よ 最小有効桁の１桁下位まで
の正確な値と最小有効桁の２桁下位以下の値が零である
かどうかの情報が必要となる。しかしながら、前述のよ
うな関数の近似解を求めるような演算において＜１その
演算アルゴリズムと用いるハードウエアから最大誤差は
予測できるが得られた結果が真値に対してどれだけの誤
差を持つかは分からない。したがって、得られた近似解
から得られる最小有効桁の１桁下位までの値と最小有効
桁の２桁下位以下の値が零であるかどうかの情報（よ
真値に対するそれらの情報と異なっている可能性があり
、近似解を直接丸めることにより得られる結果ζよ 真
値を丸めることにより得られる結果と異る場合がある。
れる精度の近似値を求ム その近イ以値を直柩 指定さ
れた丸めモードで決められた有効桁数に丸めて最終結果
としていた 発明が解決しようとする課題 以上説明したような演算方式でζよ 近似演算番こよっ
て得られた近似値を直接丸めること番こより結果を得て
いた 丸めの方法として、幾つ力）の方法があん 例え
＋ｉ ＩＥＥＥ７５４の浮動小数点規格で４１４つの
丸めモードが定められている。すなわ板最近接丸め（ｒ
ｏｕｎｄ ｔｏ ｎｅａｒｅｓｔ）、正方向丸め（ｒｏ
ｕｎｄ ｔｏｗａｒｄ ＋ｉｎｆｉｎｉｔｙ）、負方向
丸め（ ｒｏｕｎｄ−１１ ｔｏｗａｒｄ−ｉｎｆｉｎｉｔｙ）、零方向丸め（ｒｏ
ｕｎｄ ｔｏｗａｒｄｚｅｒｏ）である。これらの丸め
を正確に行なうために（よ 最小有効桁の１桁下位まで
の正確な値と最小有効桁の２桁下位以下の値が零である
かどうかの情報が必要となる。しかしながら、前述のよ
うな関数の近似解を求めるような演算において＜１その
演算アルゴリズムと用いるハードウエアから最大誤差は
予測できるが得られた結果が真値に対してどれだけの誤
差を持つかは分からない。したがって、得られた近似解
から得られる最小有効桁の１桁下位までの値と最小有効
桁の２桁下位以下の値が零であるかどうかの情報（よ
真値に対するそれらの情報と異なっている可能性があり
、近似解を直接丸めることにより得られる結果ζよ 真
値を丸めることにより得られる結果と異る場合がある。
近似値を丸めた結果が、 真値を丸めた結果と異なる割
合Ｃヨ 近似値の精度に依存し 精度を高くすればす
るほどその割合は下がる。しかし 演算精度を上げるに
（戴 演算時間が長くかかったり、あるい（上 用いる
ハードウェアの演算の桁数を犬１２一 きくしなければならないという問題点を有していた 本発明（よ 係る点に鑑みてなされたもので、得られた
関数の近似値から真値を丸めた場合と同じ結果を得る演
算処理方法と、この方法を高速に実現する演算処理装置
を提供することを目的とする。
合Ｃヨ 近似値の精度に依存し 精度を高くすればす
るほどその割合は下がる。しかし 演算精度を上げるに
（戴 演算時間が長くかかったり、あるい（上 用いる
ハードウェアの演算の桁数を犬１２一 きくしなければならないという問題点を有していた 本発明（よ 係る点に鑑みてなされたもので、得られた
関数の近似値から真値を丸めた場合と同じ結果を得る演
算処理方法と、この方法を高速に実現する演算処理装置
を提供することを目的とする。
課題を解決するための手段
本発明（１）は上記目的を達戊するた取 与えられた値
Ｘに対して、関数ＦによりＹ ＝ Ｆ （Ｘ ”）を求
める演算において、真値との誤差が最終解に必要な最小
有効桁の２桁下位の桁の大きさより小さい精度で近似解
Ｙａを求めるステップと、最終解の最小有効桁より１桁
以上下位弘 且つ近似解Ｙａの最大誤差より大きい最小
重みの桁のｌ桁以上上位の桁の範囲のうちいずれかが最
下位桁となる精度で、前記近似解Ｙａを丸めて近似解Ｙ
ａに最も近い暫定解Ｙｒを求めるステップと、前記暫定
解Ｙｒから関数Ｆの逆関数Ｆ−’によりＸ ｒ＝ Ｆ
−’（Ｙ ｒ）を求めるステップと、ＸとＸｒが等しい
とき添付桁Ｓを０とし、ＸとＸｒが異なる場合にはＸと
Ｘｒの大小１３− 関係から真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を判断し真値Ｙ
が暫定解Ｙｒより小さいと判断される場合に添付桁Ｓを
−１とし それ以外のとき添付桁Ｓをｌとするステップ
と、前記暫定解Ｙｒの最下位桁の１桁下位に前記添付桁
Ｓを加え、 所定の丸めを行なって最終解を求めるステ
ップとを有する演算処理方法であり、またこれらのステ
ップを実現する手段を有する演算処理装置である。
Ｘに対して、関数ＦによりＹ ＝ Ｆ （Ｘ ”）を求
める演算において、真値との誤差が最終解に必要な最小
有効桁の２桁下位の桁の大きさより小さい精度で近似解
Ｙａを求めるステップと、最終解の最小有効桁より１桁
以上下位弘 且つ近似解Ｙａの最大誤差より大きい最小
重みの桁のｌ桁以上上位の桁の範囲のうちいずれかが最
下位桁となる精度で、前記近似解Ｙａを丸めて近似解Ｙ
ａに最も近い暫定解Ｙｒを求めるステップと、前記暫定
解Ｙｒから関数Ｆの逆関数Ｆ−’によりＸ ｒ＝ Ｆ
−’（Ｙ ｒ）を求めるステップと、ＸとＸｒが等しい
とき添付桁Ｓを０とし、ＸとＸｒが異なる場合にはＸと
Ｘｒの大小１３− 関係から真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を判断し真値Ｙ
が暫定解Ｙｒより小さいと判断される場合に添付桁Ｓを
−１とし それ以外のとき添付桁Ｓをｌとするステップ
と、前記暫定解Ｙｒの最下位桁の１桁下位に前記添付桁
Ｓを加え、 所定の丸めを行なって最終解を求めるステ
ップとを有する演算処理方法であり、またこれらのステ
ップを実現する手段を有する演算処理装置である。
本発明（２）は 前述の本発明（１）におけａ真値Ｙと
暫定解Ｙｒの大小関係の判断を、近似解Ｙａと暫定解Ｙ
ｒを、逆関数Ｘｒと与えられた値Ｘとの差の絶対値の最
大値が、 与えられたＸの最小有効桁の１桁下位の桁の
重みよりも小さくなるように求△ 前記Ｘの最小有効桁
の重みを持つ逆関数Ｘｒの桁の１桁以上下位の桁の値を
検査して、逆関数ＸｒとＸとの大小関係を判断すること
により行なうものである。
暫定解Ｙｒの大小関係の判断を、近似解Ｙａと暫定解Ｙ
ｒを、逆関数Ｘｒと与えられた値Ｘとの差の絶対値の最
大値が、 与えられたＸの最小有効桁の１桁下位の桁の
重みよりも小さくなるように求△ 前記Ｘの最小有効桁
の重みを持つ逆関数Ｘｒの桁の１桁以上下位の桁の値を
検査して、逆関数ＸｒとＸとの大小関係を判断すること
により行なうものである。
本発明（３）は 本発明は上記目的を達或するた取 被
乗数と乗数と減数とを人力し 前記被乗数と前記乗数と
から複数の部分積を生成する部分１４一 積生成手段と、前記減数の符号反転値を部分積と同一の
表現形式で生成する減数変換手段と、前記部分積生成手
段により生成された部分積と前記減数変換手段により生
成された減数の符号反転値を加算して結果を出力する加
算手段とを有する演算処理装置を提供する。
乗数と乗数と減数とを人力し 前記被乗数と前記乗数と
から複数の部分積を生成する部分１４一 積生成手段と、前記減数の符号反転値を部分積と同一の
表現形式で生成する減数変換手段と、前記部分積生成手
段により生成された部分積と前記減数変換手段により生
成された減数の符号反転値を加算して結果を出力する加
算手段とを有する演算処理装置を提供する。
作用
本発明は上記した構或により、Ｙ＝Ｆ（Ｘ）の近似解Ｙ
ａを求める手段により、真値との誤差が最終解に必要な
最小有効桁の２桁下位の太きさより小さい精度で近似解
が求められる。この近似解Ｙａｌｌ演算アルゴリズムと
用いるハードウェアによって決まる精度を有し 一般に
有効桁数に比較して十分大きな桁数を持っている。この
Ｙａから有効桁数より１桁多い桁数で表現できる最も近
い暫定解Ｙｒを求めれば 最小有効桁のｌ桁下位の桁ま
で正確に求められたことになる。この暫定解Ｙｒより逆
関数Ｘ ｒ＝ Ｆ ”（Ｙｒ）を求め、 与えられた値
Ｘと比較することにより、暫定解と真値との大小関係を
判断して、添付桁Ｓを求めることにより、最小有効１５
ー 桁の２桁下位以下の値が判断される。最終的に暫定解Ｙ
ｒの１桁下位に添付桁Ｓを加えて丸めを行なうことによ
り、真値を丸めた場合と同じ結果を得ることができる。
ａを求める手段により、真値との誤差が最終解に必要な
最小有効桁の２桁下位の太きさより小さい精度で近似解
が求められる。この近似解Ｙａｌｌ演算アルゴリズムと
用いるハードウェアによって決まる精度を有し 一般に
有効桁数に比較して十分大きな桁数を持っている。この
Ｙａから有効桁数より１桁多い桁数で表現できる最も近
い暫定解Ｙｒを求めれば 最小有効桁のｌ桁下位の桁ま
で正確に求められたことになる。この暫定解Ｙｒより逆
関数Ｘ ｒ＝ Ｆ ”（Ｙｒ）を求め、 与えられた値
Ｘと比較することにより、暫定解と真値との大小関係を
判断して、添付桁Ｓを求めることにより、最小有効１５
ー 桁の２桁下位以下の値が判断される。最終的に暫定解Ｙ
ｒの１桁下位に添付桁Ｓを加えて丸めを行なうことによ
り、真値を丸めた場合と同じ結果を得ることができる。
また 本発明は上記した構或により、暫定解Ｙｒから求
められた逆関数Ｘｒと与えられた値Ｘとの差の絶対値の
最大値が、 与えられたＸの最小有効桁の１桁下位の桁
の重みよりも小さくなるように求められているので、逆
関数Ｘｒと与えられた値Ｘとの減算を行なうことなく、
逆関数ＸｒのＸの最小有効桁のｌ桁以上下位の桁の値を
検査することにより、真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を
判断することができる。
められた逆関数Ｘｒと与えられた値Ｘとの差の絶対値の
最大値が、 与えられたＸの最小有効桁の１桁下位の桁
の重みよりも小さくなるように求められているので、逆
関数Ｘｒと与えられた値Ｘとの減算を行なうことなく、
逆関数ＸｒのＸの最小有効桁のｌ桁以上下位の桁の値を
検査することにより、真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を
判断することができる。
さらに 本発明は上記した構戒により、被乗数と乗数と
の積と、減数の符号反転値を加算した結果を加算手段か
ら得ることができ、この結果はすなわ板 被乗数と乗数
との積から減数を減算したものである。
の積と、減数の符号反転値を加算した結果を加算手段か
ら得ることができ、この結果はすなわ板 被乗数と乗数
との積から減数を減算したものである。
実施例
本発明の実施例を図を参照して説明する。第１１６−
図は 本発明の演算処理方式の処理の流れを示す流れ図
である。第１図において、 １０１は与えられた関数Ｆ
の近似演算処３１， １０２、 １０９は丸め処凰
１０３は与えられた関数Ｆの逆関数演算処胤 １０４、
１０５は比較判断処凰 １０６、１０７および１０８
は値の代入処理である。次に処理の流れを詳細に説明す
る。
である。第１図において、 １０１は与えられた関数Ｆ
の近似演算処３１， １０２、 １０９は丸め処凰
１０３は与えられた関数Ｆの逆関数演算処胤 １０４、
１０５は比較判断処凰 １０６、１０７および１０８
は値の代入処理である。次に処理の流れを詳細に説明す
る。
ま載 近似演算処理１ ０ １ １Ｌ 与えられた値
Ｘに対して、関数Ｆ（Ｘ）の近似演算を行ない近似解を
求める。この近似解（よ 例えばニュートンラフソン法
等によって求めることができ、その場合に１ｉ 乗算
器と加算器を用いることにより演算される。この演算に
おいて（よ 真値との誤差が最終解に必要な最小有効桁
の２桁下位の桁の大きさより小さい精度で近似解を求め
る。例えばＩＥＥＥ７５４規格の倍精度を例にとれば
仮数部の有効桁数が５３板 最上位桁が２０の重みの桁
となり、最下位桁が２４２の重みの桁となり、求められ
た近似解の仮数部Ｙａｔ；ｔ．． 真値の仮数部をＹ
とすればＩＹ−Ｙａｌ＜２−Ｓ４ （３） １７一 が或り立１ 第２図（よ 本発明を説明するための数直
線図である。第２図において、 ３桁の数字？１それぞ
れ上位から最小有効桁、下位１桁目および２桁目のイ龜
すなわち２−５２、２−ｓ２ ２−ｓ４桁の目盛を示
す。したがって、第２図の１目盛りは２″５４の間隔を
有する。例えば 真値Ｙが第２図の数直線上で、 ２０
１で示す点にあると仮定する。真値Ｙは無限の精度と桁
数を持っているた吹 無限小の目盛上に存在する。一方
、近似解Ｙａは演算アルゴリズムと用いるハードウェア
によって決まる桁数を持っており、通常、最大誤差すな
わち２−６′の桁よりさらに下位桁までの桁数を持１
この場合にｉＬ（３）式から近似解Ｙ ａｌ；ｔ，
第２図において点２０２から点２０３で示される２点間
の２ −６８の領域２００に存在することになる。
Ｘに対して、関数Ｆ（Ｘ）の近似演算を行ない近似解を
求める。この近似解（よ 例えばニュートンラフソン法
等によって求めることができ、その場合に１ｉ 乗算
器と加算器を用いることにより演算される。この演算に
おいて（よ 真値との誤差が最終解に必要な最小有効桁
の２桁下位の桁の大きさより小さい精度で近似解を求め
る。例えばＩＥＥＥ７５４規格の倍精度を例にとれば
仮数部の有効桁数が５３板 最上位桁が２０の重みの桁
となり、最下位桁が２４２の重みの桁となり、求められ
た近似解の仮数部Ｙａｔ；ｔ．． 真値の仮数部をＹ
とすればＩＹ−Ｙａｌ＜２−Ｓ４ （３） １７一 が或り立１ 第２図（よ 本発明を説明するための数直
線図である。第２図において、 ３桁の数字？１それぞ
れ上位から最小有効桁、下位１桁目および２桁目のイ龜
すなわち２−５２、２−ｓ２ ２−ｓ４桁の目盛を示
す。したがって、第２図の１目盛りは２″５４の間隔を
有する。例えば 真値Ｙが第２図の数直線上で、 ２０
１で示す点にあると仮定する。真値Ｙは無限の精度と桁
数を持っているた吹 無限小の目盛上に存在する。一方
、近似解Ｙａは演算アルゴリズムと用いるハードウェア
によって決まる桁数を持っており、通常、最大誤差すな
わち２−６′の桁よりさらに下位桁までの桁数を持１
この場合にｉＬ（３）式から近似解Ｙ ａｌ；ｔ，
第２図において点２０２から点２０３で示される２点間
の２ −６８の領域２００に存在することになる。
次に １０２の丸め処理により、近似演算処理１０１で
求められた近似解Ｙａを丸める。この場合に 最終解の
最小有効桁より１桁以上下位で、且つ近似解Ｙａの最大
誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位の桁の範囲
のうちいずれかが最下位１８− 桁となる精度で、近似解Ｙａを丸めて近似解Ｙａに最も
近い暫定解Ｙｒを求める。例え番渋 有効桁数より１
桁だけ多い５４桁の暫定解Ｙｒを求めれば 第２図の数
直線上で（よ 暫定解Ｙｒは点２０４あるいは点２０５
の２点のいずれかである。すなわ板近似解Ｙａが点２０
２と点２０６との間に存在するように求められた場合に
（よ 点２０４が暫定解Ｙｒとなり、近似解Ｙａが点２
０３と点２０６との間に存在するように求められた場合
には 点２０５が暫定ｇＹｒとなる。したがって、 Ｙ−Ｙｒｌ ＜ ２−” （４）が戒り立つ。す
なわ板 このＹｒの値は最小有効桁のｌ桁下位の桁まで
求められたことになる。
求められた近似解Ｙａを丸める。この場合に 最終解の
最小有効桁より１桁以上下位で、且つ近似解Ｙａの最大
誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位の桁の範囲
のうちいずれかが最下位１８− 桁となる精度で、近似解Ｙａを丸めて近似解Ｙａに最も
近い暫定解Ｙｒを求める。例え番渋 有効桁数より１
桁だけ多い５４桁の暫定解Ｙｒを求めれば 第２図の数
直線上で（よ 暫定解Ｙｒは点２０４あるいは点２０５
の２点のいずれかである。すなわ板近似解Ｙａが点２０
２と点２０６との間に存在するように求められた場合に
（よ 点２０４が暫定解Ｙｒとなり、近似解Ｙａが点２
０３と点２０６との間に存在するように求められた場合
には 点２０５が暫定ｇＹｒとなる。したがって、 Ｙ−Ｙｒｌ ＜ ２−” （４）が戒り立つ。す
なわ板 このＹｒの値は最小有効桁のｌ桁下位の桁まで
求められたことになる。
次に １０３の逆関数演算処理により、この暫定解Ｙｒ
より逆関数Ｘｒ＝ｔ”（Ｙｒ）を求める。
より逆関数Ｘｒ＝ｔ”（Ｙｒ）を求める。
次に １０４の比較判断処理により、逆関数Ｘｒと与え
られた値Ｘとを比較する。この判断において、ＸｒとＸ
が等しい場合に｛よ 暫定解として求めたＹｒが真値Ｙ
と等しいことを示している。このような場合には １０
６の処理により添付桁Ｓを０１９一 とする。また 与えられた値ＸがＸｒと比較して異なる
場合に（よ 暫定解Ｙｒが真値Ｙとの間に誤差を持って
いることを示している。この゛ような場合に１；Ｌ．
ｌ０５の比較判断処理において、暫定解Ｙｒが真値Ｙ
に対してどちら側に誤差を持っているかを判断する。す
なわ板 与えられた値ＸとＸｒとの大小関係と関数Ｆの
性質から、真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を判断する。
られた値Ｘとを比較する。この判断において、ＸｒとＸ
が等しい場合に｛よ 暫定解として求めたＹｒが真値Ｙ
と等しいことを示している。このような場合には １０
６の処理により添付桁Ｓを０１９一 とする。また 与えられた値ＸがＸｒと比較して異なる
場合に（よ 暫定解Ｙｒが真値Ｙとの間に誤差を持って
いることを示している。この゛ような場合に１；Ｌ．
ｌ０５の比較判断処理において、暫定解Ｙｒが真値Ｙ
に対してどちら側に誤差を持っているかを判断する。す
なわ板 与えられた値ＸとＸｒとの大小関係と関数Ｆの
性質から、真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を判断する。
この大小関係の判断ζよ 与えられた関数Ｆが単調増加
関数あるいは単調減少関数である場合にＩヨｘとＸｒの
大小関係から容易に判断できる。たとえば 関数Ｆが単
調増加関数の場合に ｘがＸｒより大きい場合に４１
真値Ｙは暫定解Ｙｒより大きく、Ｘ ＩＪ＜Ｘ ｒよ
り小さい場合に（よ 真値Ｙは暫定解Ｙｒより小さ（１
以上のような判断から、真値Ｙが暫定解Ｙｒより小さ
い場合には１０７の処理により、添付桁Ｓを−１とし
真値Ｙが暫定解Ｙｒより大きい場合には１０８の処理に
より、添付桁Ｓを１とする。第２図の例で（瓜 暫定解
Ｙｒが点２０４である場合にはＳは１になり、暫定解Ｙ
ｒが点２０５である場合にはＳは−１とな−加一 最後に １０９の丸め処理により、暫定解Ｙｒの最下位
桁の１桁下位に添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数にな
るように指定された丸めモードで丸めを行ない演算結果
Ｙｅが求められる。暫定解Ｙｒの最下位桁の１桁下位に
添付桁Ｓを加えたデータの桁数ζ上 有効桁数より２桁
多いものとなり、第２図では点２０６で表される。第２
図から分かるように 点２０６および真値２０１が、
最小有効桁が１だけ異なる２つの点２０４と点２０７と
の間にあり、さらに点２０４と点２０７の中間点２０５
の同じ側にあるの玄 有効桁数に丸めを行なった場合に
（よ 同じ結果を得ることができる。
関数あるいは単調減少関数である場合にＩヨｘとＸｒの
大小関係から容易に判断できる。たとえば 関数Ｆが単
調増加関数の場合に ｘがＸｒより大きい場合に４１
真値Ｙは暫定解Ｙｒより大きく、Ｘ ＩＪ＜Ｘ ｒよ
り小さい場合に（よ 真値Ｙは暫定解Ｙｒより小さ（１
以上のような判断から、真値Ｙが暫定解Ｙｒより小さ
い場合には１０７の処理により、添付桁Ｓを−１とし
真値Ｙが暫定解Ｙｒより大きい場合には１０８の処理に
より、添付桁Ｓを１とする。第２図の例で（瓜 暫定解
Ｙｒが点２０４である場合にはＳは１になり、暫定解Ｙ
ｒが点２０５である場合にはＳは−１とな−加一 最後に １０９の丸め処理により、暫定解Ｙｒの最下位
桁の１桁下位に添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数にな
るように指定された丸めモードで丸めを行ない演算結果
Ｙｅが求められる。暫定解Ｙｒの最下位桁の１桁下位に
添付桁Ｓを加えたデータの桁数ζ上 有効桁数より２桁
多いものとなり、第２図では点２０６で表される。第２
図から分かるように 点２０６および真値２０１が、
最小有効桁が１だけ異なる２つの点２０４と点２０７と
の間にあり、さらに点２０４と点２０７の中間点２０５
の同じ側にあるの玄 有効桁数に丸めを行なった場合に
（よ 同じ結果を得ることができる。
第５図（よ 第ｌ図に示した本発明の演算処理を実現す
る演算処理装置の実施例を示すブロック図である。この
演算装置は関数Ｆ（Ｘ）を求める装置であり、第５図に
おいて、 ５０１・５０３・５０４は選択回蕗 ５０２
は関数演算装置であり、関数Ｙ＝Ｆ（Ｘ）（７）近似値
とソノ逆関数Ｘ＝Ｆ−’（Ｙ）を求める機能を持板 ま
た５０５は加減算丸め処−２１＝ 理回廠 ５０６はレジス久 ５０７は添付桁生成回路で
ある。
る演算処理装置の実施例を示すブロック図である。この
演算装置は関数Ｆ（Ｘ）を求める装置であり、第５図に
おいて、 ５０１・５０３・５０４は選択回蕗 ５０２
は関数演算装置であり、関数Ｙ＝Ｆ（Ｘ）（７）近似値
とソノ逆関数Ｘ＝Ｆ−’（Ｙ）を求める機能を持板 ま
た５０５は加減算丸め処−２１＝ 理回廠 ５０６はレジス久 ５０７は添付桁生成回路で
ある。
次に 第５図のブロック図の動作を、第１図の流れ図を
用いて説明する。まず、第１図の近似演算１０１で（よ
Ｘが第５図の選択回路５０１により選択されて関数演
算装置５０２に入力される。
用いて説明する。まず、第１図の近似演算１０１で（よ
Ｘが第５図の選択回路５０１により選択されて関数演
算装置５０２に入力される。
次に 関数演算装置５ ０ ２ １；Ａ 人力された
値Ｘに対して、関数Ｆ（Ｘ）の近似演算を行ない近似解
Ｙａを求める。この演算において（よ 真値Ｙとの誤差
が最終解に必要な最小有効桁の２桁下位の桁の大きさよ
り小さい精度で求める。
値Ｘに対して、関数Ｆ（Ｘ）の近似演算を行ない近似解
Ｙａを求める。この演算において（よ 真値Ｙとの誤差
が最終解に必要な最小有効桁の２桁下位の桁の大きさよ
り小さい精度で求める。
次に 第ｌ図の中間丸め処理１ ０ ２ １；Ｌ 第
５図の加減算丸め処理回路５０５で行なわれる。この場
合に 選択回路５０３が関数演算装置５０２の出力を選
択し 選択回路５０４が０を選択するように制御される
。加減算丸め処理回路５ ０ ５ １１最終解の最小有
効桁より１桁以上下位で、且つ近似解Ｙａの最大誤差よ
り大きい最小重みの桁の１桁以上上位の桁の範囲のうち
いずれかが最下位桁となる精度で、近似解Ｙａを丸めて
近似解Ｙａに最も−麓一 近い暫定解Ｙｒを求めて出力し 同時に暫定解Ｙｒをレ
ジスタ５０６に格納する。
５図の加減算丸め処理回路５０５で行なわれる。この場
合に 選択回路５０３が関数演算装置５０２の出力を選
択し 選択回路５０４が０を選択するように制御される
。加減算丸め処理回路５ ０ ５ １１最終解の最小有
効桁より１桁以上下位で、且つ近似解Ｙａの最大誤差よ
り大きい最小重みの桁の１桁以上上位の桁の範囲のうち
いずれかが最下位桁となる精度で、近似解Ｙａを丸めて
近似解Ｙａに最も−麓一 近い暫定解Ｙｒを求めて出力し 同時に暫定解Ｙｒをレ
ジスタ５０６に格納する。
次に 第ｌ図の逆関数演算処理１ ０ ３ ｉ１ 第
５図の関数演算装置５０２で行なわれる。すなわち、選
択回路５０１は加減算丸め処理回路５０５の結果すなわ
ち暫定解Ｙｒを選択するように制御され関数演算装置５
０ ２ ｉ１ 入力された暫定解Ｙｒに対する逆関
数値Ｘｒ＝Ｆ−１（Ｙｒ）を求める。この演算（上 誤
差なく正確に行なわれて出力される。
５図の関数演算装置５０２で行なわれる。すなわち、選
択回路５０１は加減算丸め処理回路５０５の結果すなわ
ち暫定解Ｙｒを選択するように制御され関数演算装置５
０ ２ ｉ１ 入力された暫定解Ｙｒに対する逆関
数値Ｘｒ＝Ｆ−１（Ｙｒ）を求める。この演算（上 誤
差なく正確に行なわれて出力される。
次に 第ｌ図の比較判断処理１０４および１０５と、値
の代入処理１０６・１０７および１０８ｌヨ 加減算
丸め処理回路５０５および添付桁生成回路５０７で行な
われる。まず、選択回路５０３が関数演算装置５０２の
出力すなわち逆関数値Ｘｒを選択し 選択回路５０４が
与えられた値Ｘを選択するように制御される。さらに
加減算丸め処理回路５０５が入力された逆関数値Ｘｒか
板 与えられた値Ｘを減算してＸｒ−Ｘを出力する。こ
の減算により、逆関数Ｘｒと与えられた値Ｘとが比較さ
れる。添付桁生成回路５０７で（よ この減算によ一幼
一 って得られた結果Ｘｒ−Ｘを入力ＬＸｒ−Ｘが０の場合
には添付桁Ｓを０として出力すも またＸｒ−ＸがＯで
ない場合に（よ 第ｌ図の流れ図の説明で述べたように
与えられた値ＸとＸｒとの大小関係すなわちＸｒ−Ｘ
が正であるか負であるかの情報と関数Ｆの性質から、真
値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を判断し 真値Ｙが暫定解
Ｙｒより小さい場合には添付桁Ｓを−１とし 真値Ｙが
暫定解Ｙｒより大きい場合には添付桁Ｓを１として出力
する。
の代入処理１０６・１０７および１０８ｌヨ 加減算
丸め処理回路５０５および添付桁生成回路５０７で行な
われる。まず、選択回路５０３が関数演算装置５０２の
出力すなわち逆関数値Ｘｒを選択し 選択回路５０４が
与えられた値Ｘを選択するように制御される。さらに
加減算丸め処理回路５０５が入力された逆関数値Ｘｒか
板 与えられた値Ｘを減算してＸｒ−Ｘを出力する。こ
の減算により、逆関数Ｘｒと与えられた値Ｘとが比較さ
れる。添付桁生成回路５０７で（よ この減算によ一幼
一 って得られた結果Ｘｒ−Ｘを入力ＬＸｒ−Ｘが０の場合
には添付桁Ｓを０として出力すも またＸｒ−ＸがＯで
ない場合に（よ 第ｌ図の流れ図の説明で述べたように
与えられた値ＸとＸｒとの大小関係すなわちＸｒ−Ｘ
が正であるか負であるかの情報と関数Ｆの性質から、真
値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を判断し 真値Ｙが暫定解
Ｙｒより小さい場合には添付桁Ｓを−１とし 真値Ｙが
暫定解Ｙｒより大きい場合には添付桁Ｓを１として出力
する。
最後に 第１図の最終丸め処理１ ０ ９ ｊ＆ 第
５図の加減算丸め処理回路で行なわれる。
５図の加減算丸め処理回路で行なわれる。
すなわ板 選択回路５０３がレジスタ５０６の出力すな
わち暫定解Ｙｒを選択し 選択回路５０４が０を選択す
るように制御される。加減算丸め処理回路５ ０ ５
＋＆ 人力された暫定解Ｙｒの最下位桁の１桁下位に
添付桁生成回路５０７から入力される添付桁Ｓを加え
て、結果が有効桁数になるように指定された丸めモード
で丸めを行ない演算結果Ｙｅが求められる。
わち暫定解Ｙｒを選択し 選択回路５０４が０を選択す
るように制御される。加減算丸め処理回路５ ０ ５
＋＆ 人力された暫定解Ｙｒの最下位桁の１桁下位に
添付桁生成回路５０７から入力される添付桁Ｓを加え
て、結果が有効桁数になるように指定された丸めモード
で丸めを行ない演算結果Ｙｅが求められる。
以上のようにして、関数Ｙ＝Ｆ（Ｘ）の真値を丸一茨一
めた値と同一の演算結果Ｙｅが演算される。
第３図＆友 本発明を除算に適用した場合の演算処理の
流れを示す流れ図であも 第３図の処理は第ｌ図におけ
る関数Ｆを除算に置き換えたものであり、すなわちＺ＝
Ｆ（Ｙ）＝Ｘ／Ｙを求めるものである。簡単のたべ 以
下の説明ではＩＥＥＥ７５４規格の倍精度を例とし さ
らに正規化された仮数部の演算について説明する。すな
わム 仮数部の有効桁数が５３板 最上位桁が２１の重
みの桁、最下位桁が２−８２の重みの桁である。さらに
被除数Ｘおよび除数Ｙを共に正数とすれ《渋 １≦Ｘ．
Ｙ＜２の関係にある。
流れを示す流れ図であも 第３図の処理は第ｌ図におけ
る関数Ｆを除算に置き換えたものであり、すなわちＺ＝
Ｆ（Ｙ）＝Ｘ／Ｙを求めるものである。簡単のたべ 以
下の説明ではＩＥＥＥ７５４規格の倍精度を例とし さ
らに正規化された仮数部の演算について説明する。すな
わム 仮数部の有効桁数が５３板 最上位桁が２１の重
みの桁、最下位桁が２−８２の重みの桁である。さらに
被除数Ｘおよび除数Ｙを共に正数とすれ《渋 １≦Ｘ．
Ｙ＜２の関係にある。
第３図において、３０１は第１図における関数Ｆの近似
演算処理１０１に対応するものであり、与えられた正の
値Ｘ， Ｙの除算Ｘ／Ｙの近似商Ｚａを求める近似除
算処理である。３０２、 ３０８は丸め処理であり、第
１図における１０２およびｌ０９と同様の丸め処理を行
なう。３０３は第１図における逆関数演算処理に対応す
るものであり、Ｚ＝Ｘ／Ｙの逆関数すなわち積ＺｒＸＹ
を求める乗一る− 算処理である。３０４は比較判断処理であり、第１図に
おける１０４と１０５に対応している。また ３０５、
３０６および３０７（よ 値の代入処理であり、第１図
における１０６、 １０７および１０８にそれぞれ対応
している。
演算処理１０１に対応するものであり、与えられた正の
値Ｘ， Ｙの除算Ｘ／Ｙの近似商Ｚａを求める近似除
算処理である。３０２、 ３０８は丸め処理であり、第
１図における１０２およびｌ０９と同様の丸め処理を行
なう。３０３は第１図における逆関数演算処理に対応す
るものであり、Ｚ＝Ｘ／Ｙの逆関数すなわち積ＺｒＸＹ
を求める乗一る− 算処理である。３０４は比較判断処理であり、第１図に
おける１０４と１０５に対応している。また ３０５、
３０６および３０７（よ 値の代入処理であり、第１図
における１０６、 １０７および１０８にそれぞれ対応
している。
除算の処理の流れを第３図を用いて説明する。
ここでは まず被除数Ｘが除数Ｙより小さくない場合を
考えれば 商Ｚ＝Ｘ／Ｙはｌ≦Ｚ＜２となる。まず、
３０１の近似除算処理において近似商Ｚａを求めも こ
の近似商Ｚａの精度ζ上 真値２＝Ｘ／Ｙとの誤差が最
終解に必要な最小有効桁の２桁下位の桁の大きさより小
さい精度である。したがって、倍精度フォーマットにお
ける最小有効桁の重みが２−６２なので求められた近似
商Ｚａｌ上Ｉ Ｚ−Ｚａｌ ＜２−” （５）が
戒り立１ 次に 丸め処理３０２において、近似商Ｚａを丸めも
この場合に 最終の商の最小有効桁より１桁以上下位玄
且つ近似商Ｚａの最大誤差より大きい最小重みの桁の
１桁以上上位の桁の範囲のうち一あ− いずれかが最下位桁となる精度で、近似商Ｚａを丸めて
近似商Ｚａに最も近い暫定商Ｚｒを求める。例えば 有
効桁数よりｌ桁だけ多い５４桁の暫定商Ｚｒを求めれば Ｚ−Ｚｒｌ ＜ ２−” （６）となる。
考えれば 商Ｚ＝Ｘ／Ｙはｌ≦Ｚ＜２となる。まず、
３０１の近似除算処理において近似商Ｚａを求めも こ
の近似商Ｚａの精度ζ上 真値２＝Ｘ／Ｙとの誤差が最
終解に必要な最小有効桁の２桁下位の桁の大きさより小
さい精度である。したがって、倍精度フォーマットにお
ける最小有効桁の重みが２−６２なので求められた近似
商Ｚａｌ上Ｉ Ｚ−Ｚａｌ ＜２−” （５）が
戒り立１ 次に 丸め処理３０２において、近似商Ｚａを丸めも
この場合に 最終の商の最小有効桁より１桁以上下位玄
且つ近似商Ｚａの最大誤差より大きい最小重みの桁の
１桁以上上位の桁の範囲のうち一あ− いずれかが最下位桁となる精度で、近似商Ｚａを丸めて
近似商Ｚａに最も近い暫定商Ｚｒを求める。例えば 有
効桁数よりｌ桁だけ多い５４桁の暫定商Ｚｒを求めれば Ｚ−Ｚｒｌ ＜ ２−” （６）となる。
次阪 ３０３の乗算処理により、この暫定商ＺｒよりＺ
＝Ｘ／Ｙの逆関数すなわち積Ｘｒ＝ＺｒＸＹを求める。
＝Ｘ／Ｙの逆関数すなわち積Ｘｒ＝ＺｒＸＹを求める。
次に ３０４の比較判断処理により、積Ｘｒと与えられ
た値Ｘとを比較することにより、暫定商Ｚｒが真値Ｚに
対してどちら側に誤差を持っているかを判断する。この
場合にＣヨ 与えられた値ＸとＹが正とすれば除算Ｘ
／Ｙにおいてｌｅｔ， ｘに対してＺが単調増加関数
であるため＋’＝ ＸとＸｒの比較のみで添付桁Ｓを
求めることができる。すなわち、ＸがＸｒより小さい場
合にＬｔ， 真値Ｚは暫定商Ｚｒより小さいので３０
５の処理により添付桁Ｓを１とし、，ＸとＸｒが等しい
場合に（よ 真値Ｚは暫定商Ｚｒと等しいので３０６の
処理により添付桁Ｓを−ガ− ０とし、 ＸＩＪ＜Ｘｒより大きい場合に（よ 真値
Ｚは暫定商Ｚｒより大きいので３０７の処理により添付
桁Ｓを１とする。
た値Ｘとを比較することにより、暫定商Ｚｒが真値Ｚに
対してどちら側に誤差を持っているかを判断する。この
場合にＣヨ 与えられた値ＸとＹが正とすれば除算Ｘ
／Ｙにおいてｌｅｔ， ｘに対してＺが単調増加関数
であるため＋’＝ ＸとＸｒの比較のみで添付桁Ｓを
求めることができる。すなわち、ＸがＸｒより小さい場
合にＬｔ， 真値Ｚは暫定商Ｚｒより小さいので３０
５の処理により添付桁Ｓを１とし、，ＸとＸｒが等しい
場合に（よ 真値Ｚは暫定商Ｚｒと等しいので３０６の
処理により添付桁Ｓを−ガ− ０とし、 ＸＩＪ＜Ｘｒより大きい場合に（よ 真値
Ｚは暫定商Ｚｒより大きいので３０７の処理により添付
桁Ｓを１とする。
最後に ３０８の丸め処理により、暫定商Ｚｒの最下位
桁の１桁下位に添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数にな
るように指定された丸めモードで丸めを行なうことによ
り、真値を丸めた場合と同じ除算結果Ｚｅが求められる
。
桁の１桁下位に添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数にな
るように指定された丸めモードで丸めを行なうことによ
り、真値を丸めた場合と同じ除算結果Ｚｅが求められる
。
次に 被除数Ｘが除数Ｙより小さい場合には商Ｚ＝Ｘ／
Ｙはｌ／２＜Ｚ＜１となる。コノ場合に（よ 商Ｚの２
９の桁の値は０になるた取 最終商の最小有効桁は 被
除数Ｘが除数Ｙより大きい場合に比較して１桁小さい２
−５３の桁になるので、近イ以商Ｚａは Ｚ − Ｚａｌ ＜ ２−” （
７）が戒り立１ また 暫定商Ｚｒは少なくとも２−６
４の桁まで、すなわち２ｇの桁を含めて５５桁以上必要
である。近似商Ｚａが（７）式で表される場合に（よ
暫定商Ｚｒを Ｚ−Ｚｒｌ ＜ ２−” （８）一沼一 が戒り立つように求め、 さらに ３０８の丸め処理に
おいて２−ｓ３の桁までに丸めるようにして、被除数Ｘ
が除数Ｙより大きい場合と同様に処理すればよ賎 以上の説明で（よ 被除数Ｘが除数Ｙより大きい場合と
そうでない場合について分けて述べたが、被除数Ｘが除
数Ｙより大きい場合に転 暫定商Ｚｒを（８）式が戒り
立つように１桁だけ精度よく求めておくことにより、最
終の丸め処理３０８での丸める桁がｌ桁異なることを除
いて、被除数Ｘが除数Ｙより大きくない場合と同様に除
算処理を行なうことができ、演算の制御を簡単にするこ
とができる。
Ｙはｌ／２＜Ｚ＜１となる。コノ場合に（よ 商Ｚの２
９の桁の値は０になるた取 最終商の最小有効桁は 被
除数Ｘが除数Ｙより大きい場合に比較して１桁小さい２
−５３の桁になるので、近イ以商Ｚａは Ｚ − Ｚａｌ ＜ ２−” （
７）が戒り立１ また 暫定商Ｚｒは少なくとも２−６
４の桁まで、すなわち２ｇの桁を含めて５５桁以上必要
である。近似商Ｚａが（７）式で表される場合に（よ
暫定商Ｚｒを Ｚ−Ｚｒｌ ＜ ２−” （８）一沼一 が戒り立つように求め、 さらに ３０８の丸め処理に
おいて２−ｓ３の桁までに丸めるようにして、被除数Ｘ
が除数Ｙより大きい場合と同様に処理すればよ賎 以上の説明で（よ 被除数Ｘが除数Ｙより大きい場合と
そうでない場合について分けて述べたが、被除数Ｘが除
数Ｙより大きい場合に転 暫定商Ｚｒを（８）式が戒り
立つように１桁だけ精度よく求めておくことにより、最
終の丸め処理３０８での丸める桁がｌ桁異なることを除
いて、被除数Ｘが除数Ｙより大きくない場合と同様に除
算処理を行なうことができ、演算の制御を簡単にするこ
とができる。
第６図（よ 第３図に示した本発明の除算などの収束型
演算を実現する演算処理装置の実施例を示すブロック図
である。第６図において、 ６０１・６０２・６１１は
それぞれＸレジス久 ＹレジスタおよびＴレジス久 ６
０３は逆数の初期値などを格納している定数ＲＯＭ，
６０４・６０５・６０８・６０９は選択回廠 ６０６
は乗算回廠 ６一四一 ０７は定数生成回廠 ６１０は加減算丸め処理回鍬 ６
１２は添付桁生成回廠 ６１３・６１４はそれぞれデー
タパスＡおよびデータバスＢである。
演算を実現する演算処理装置の実施例を示すブロック図
である。第６図において、 ６０１・６０２・６１１は
それぞれＸレジス久 ＹレジスタおよびＴレジス久 ６
０３は逆数の初期値などを格納している定数ＲＯＭ，
６０４・６０５・６０８・６０９は選択回廠 ６０６
は乗算回廠 ６一四一 ０７は定数生成回廠 ６１０は加減算丸め処理回鍬 ６
１２は添付桁生成回廠 ６１３・６１４はそれぞれデー
タパスＡおよびデータバスＢである。
次に 第６図のブロック図の動作を説明する。
以下の説明で（よ 簡単のため正規化された仮数部の演
算についてのみ述べる。
算についてのみ述べる。
除算を行なう場合について、第３図の流れ図を用いて説
明する。
明する。
まず、被除数Ｘおよび除数ＹがそれぞれデータパスＡお
よびデータバスＢを介して、ＸレジスタおよびＹレジス
タに入力され格納され 第３図の近似除算３０１が開始
される。この近似除算で（よ乗算と加減算の繰り返しに
より近似商Ｚａが求められる。例えば ニュートンラフ
ソン法によればＺ＝Ｘ／Ｙの除算（よ 最初の１／Ｙの
近似値ＲＯをテーブルを引いて求め、 （１）式の漸化
式をｎ回繰り返し用いて１／Ｙの近似値Ｒｎを求めるこ
とができ、その後、ＲｎとＸを乗算してＸ／Ｙの近似値
を得ることができる。ニュートンラフソン法を用いた
第６図の演算装置の構或による近似一加− 商Ｚａの求め方を説明すれば 以下のようになる。
よびデータバスＢを介して、ＸレジスタおよびＹレジス
タに入力され格納され 第３図の近似除算３０１が開始
される。この近似除算で（よ乗算と加減算の繰り返しに
より近似商Ｚａが求められる。例えば ニュートンラフ
ソン法によればＺ＝Ｘ／Ｙの除算（よ 最初の１／Ｙの
近似値ＲＯをテーブルを引いて求め、 （１）式の漸化
式をｎ回繰り返し用いて１／Ｙの近似値Ｒｎを求めるこ
とができ、その後、ＲｎとＸを乗算してＸ／Ｙの近似値
を得ることができる。ニュートンラフソン法を用いた
第６図の演算装置の構或による近似一加− 商Ｚａの求め方を説明すれば 以下のようになる。
１）Ｙレジスタ６０２から除数ＹをデータバスＢ６１４
を介して定数ＲＯＭに入力ＬＹの逆数１／Ｙの近似値Ｒ
Ｏを求め出力する。
を介して定数ＲＯＭに入力ＬＹの逆数１／Ｙの近似値Ｒ
Ｏを求め出力する。
２〉選択回路６０４が定数ＲＯＭの出力すなわちＲｌを
選択Ｌ．Ｙレジスタ６０２の除数ＹがデータバスＢ６１
４および選択回路６０５を介して乗算器６０６に入力さ
れるように制御Ｌ，，Ｒｅと除数Ｙの積Ｒ＠・Ｙを求め
る。
選択Ｌ．Ｙレジスタ６０２の除数ＹがデータバスＢ６１
４および選択回路６０５を介して乗算器６０６に入力さ
れるように制御Ｌ，，Ｒｅと除数Ｙの積Ｒ＠・Ｙを求め
る。
３）選択回路６０８が、 定数生成回路６０７により生
成した値２を選択し 選択回路６０９が乗算器６０６の
出力すなわちＲ９・Ｙを選択するように制御し 加減算
丸め処理回路６１０により減算を行なし＼ さらに乗算
器６０６に人力できる桁数になるように丸めを行なって
２−Ｒｓ−Ｙを求める。
成した値２を選択し 選択回路６０９が乗算器６０６の
出力すなわちＲ９・Ｙを選択するように制御し 加減算
丸め処理回路６１０により減算を行なし＼ さらに乗算
器６０６に人力できる桁数になるように丸めを行なって
２−Ｒｓ−Ｙを求める。
４）乗算器６０６に データバスＡ６１３および選択回
路６０４を介して加減算丸め処理回路６１０の演算結果
２−Ｒ＠・Ｙが入力され さらに選択回路６０５を介し
て定数ＲＯＭの出力ＲＯ入力されるように制御ＬＲＩと
２−Ｒ＠・Ｙの積すな一３１ わちＲｓ・ （ ２ − Ｒ ＠・Ｙ）を求める。
路６０４を介して加減算丸め処理回路６１０の演算結果
２−Ｒ＠・Ｙが入力され さらに選択回路６０５を介し
て定数ＲＯＭの出力ＲＯ入力されるように制御ＬＲＩと
２−Ｒ＠・Ｙの積すな一３１ わちＲｓ・ （ ２ − Ｒ ＠・Ｙ）を求める。
５）選択回路６０８が、 乗算器６０６の出力すなわち
Ｒ＠・ （ ２ − Ｒ ＠・Ｙ）を選択し 選択回路
６０９が０を選択するように制御し 乗算器６０６に入
力できる桁数になるようにＲｉ・ （ ２ − Ｒ ｓ
・Ｙ）を丸めてＲ１を求める。さらに この結果Ｒ１を
Ｔレジスタ６１１に格納する。
Ｒ＠・ （ ２ − Ｒ ＠・Ｙ）を選択し 選択回路
６０９が０を選択するように制御し 乗算器６０６に入
力できる桁数になるようにＲｉ・ （ ２ − Ｒ ｓ
・Ｙ）を丸めてＲ１を求める。さらに この結果Ｒ１を
Ｔレジスタ６１１に格納する。
６）上記２）３）４）５）の処理における定数ＲＯＭの
出力Ｒ●の代わりに Ｔレジスタ６１１に格納されたＲ
ｌを用いてＲ２求数 十分な精度が得られるまでこれら
の処理を繰り返し行なってＲｎを求める。
出力Ｒ●の代わりに Ｔレジスタ６１１に格納されたＲ
ｌを用いてＲ２求数 十分な精度が得られるまでこれら
の処理を繰り返し行なってＲｎを求める。
７）乗算器６０６に データパスＡおよび選択回路６０
４を介して、繰り返し演算によって得られた結果Ｒｎが
入力され データバスＢ６１４および選択回路６０５を
介してＸレジスタ６０１に格納された被除数Ｘが人力さ
れるように制御しＲｎと被除数Ｘの積すなわち商Ｘ／Ｙ
の近似値２ａ−Ｒｎ−Ｘを求める。
４を介して、繰り返し演算によって得られた結果Ｒｎが
入力され データバスＢ６１４および選択回路６０５を
介してＸレジスタ６０１に格納された被除数Ｘが人力さ
れるように制御しＲｎと被除数Ｘの積すなわち商Ｘ／Ｙ
の近似値２ａ−Ｒｎ−Ｘを求める。
以上のようにして、近似除算を行ない近似商Ｚ一舘一
ａを求める。この場合に この近似商Ｚａの精度は真値
Ｚ＝Ｘ／Ｙとの誤差が最終解に必要な最小有効桁の２桁
下位の桁の大きさより小さい精度で求められているもの
とする。
Ｚ＝Ｘ／Ｙとの誤差が最終解に必要な最小有効桁の２桁
下位の桁の大きさより小さい精度で求められているもの
とする。
次番ヘ 第３図の中間丸め処理３ ０ ２ ｉ；ｔｈ
第６図の加減算丸め処理回路６１０で行なわれる。
第６図の加減算丸め処理回路６１０で行なわれる。
この場合に 選択回路６０８が乗算器６０６の出力すな
わち近似商Ｚａを選択し 選択回路６０９が０を選択す
るように制御される。加減算丸め処理回路６１０ζよ
最柊の商の最小有効桁より１桁以上下位玄 且つ近似商
Ｚａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位
の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精度で、近
似商Ｚａを丸めて近似商Ｚａに最も近い暫定商Ｚｒを求
めて出力し 同時に暫定商ＺｒをＴレジスタ６１１に格
納する。
わち近似商Ｚａを選択し 選択回路６０９が０を選択す
るように制御される。加減算丸め処理回路６１０ζよ
最柊の商の最小有効桁より１桁以上下位玄 且つ近似商
Ｚａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位
の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精度で、近
似商Ｚａを丸めて近似商Ｚａに最も近い暫定商Ｚｒを求
めて出力し 同時に暫定商ＺｒをＴレジスタ６１１に格
納する。
次番ヘ 第３図の乗算処理３ ０ ３ ＋１ 第６
図の乗算器６０６で行なわれる。すなわ叡 選択回路６
０４は加減算丸め処理回路６１０の結果すなわち暫定商
Ｚｒを選択し データバスＢおよび選択回路６０５を介
してＹレジスタ６０２の除数ＹＭ 乗一羽一 算器６０６に入力されるように制御し 入力された暫定
商Ｚｒに対する逆関数すなわち暫定商Ｚｒと除数Ｙの積
）（ｒ＝Ｚｒ−Ｙを求める。
図の乗算器６０６で行なわれる。すなわ叡 選択回路６
０４は加減算丸め処理回路６１０の結果すなわち暫定商
Ｚｒを選択し データバスＢおよび選択回路６０５を介
してＹレジスタ６０２の除数ＹＭ 乗一羽一 算器６０６に入力されるように制御し 入力された暫定
商Ｚｒに対する逆関数すなわち暫定商Ｚｒと除数Ｙの積
）（ｒ＝Ｚｒ−Ｙを求める。
次に 第３図の比較判断処理３０４と、値の代入処理３
０５・３０６および３０’Ｎよ 加減算丸め処理回路６
１０および添付桁生成回路６１２で行なわれる。まず
選択回路６０８が乗算器６０６の出力すなわちＸｒを選
択し データバスＢおよび選択回路６０９を介してＸレ
ジスタ６０１の被除数Ｘカ匁 加減算丸め処理回路６１
０に入力されるように制御される。さらに 加減算丸め
処理回路６１０が入力されたＸｒから、与えられた被除
数Ｘを減算してＸｒ−Ｘを出力する。この減算により、
Ｘｒと被除数Ｘとが比較される。添付桁生成回路６ｌ２
で（よ この減算によって得られた結果Ｘｒ−Ｘを入力
ＬＸｒ−Ｘが０の場合には添付桁Ｓを０とし、Ｘｒ−Ｘ
が負となった場合には添付桁Ｓを１とし、Ｘｒ−Ｘが正
となった場合には添付桁Ｓを−１として出力する。
０５・３０６および３０’Ｎよ 加減算丸め処理回路６
１０および添付桁生成回路６１２で行なわれる。まず
選択回路６０８が乗算器６０６の出力すなわちＸｒを選
択し データバスＢおよび選択回路６０９を介してＸレ
ジスタ６０１の被除数Ｘカ匁 加減算丸め処理回路６１
０に入力されるように制御される。さらに 加減算丸め
処理回路６１０が入力されたＸｒから、与えられた被除
数Ｘを減算してＸｒ−Ｘを出力する。この減算により、
Ｘｒと被除数Ｘとが比較される。添付桁生成回路６ｌ２
で（よ この減算によって得られた結果Ｘｒ−Ｘを入力
ＬＸｒ−Ｘが０の場合には添付桁Ｓを０とし、Ｘｒ−Ｘ
が負となった場合には添付桁Ｓを１とし、Ｘｒ−Ｘが正
となった場合には添付桁Ｓを−１として出力する。
最後に 第３図の最終丸め処理３ｏ８（よ 第６一Ｍ
図の加減算丸め処理回路で行なわれる。
すなわ板 選択回路６０８がＴレジスタ６１１の出力す
なわち暫定商Ｚｒを選択し 選択回路６０９が０を選択
するように制御される。加減算丸め処理回路６ １ ０
ｉ１ 人力された暫定商Ｚｒの最下位桁のｌ桁下位
に 添付桁生成回路６１２から入力される添付桁Ｓを加
えて、結果が有効桁数になるように指定された丸めモー
ドで丸めを行ない除算結果Ｚｅが求められる。
なわち暫定商Ｚｒを選択し 選択回路６０９が０を選択
するように制御される。加減算丸め処理回路６ １ ０
ｉ１ 人力された暫定商Ｚｒの最下位桁のｌ桁下位
に 添付桁生成回路６１２から入力される添付桁Ｓを加
えて、結果が有効桁数になるように指定された丸めモー
ドで丸めを行ない除算結果Ｚｅが求められる。
以上のようにして、商Ｚ＝Ｘ／Ｙの真値を丸めた値と同
一の除算結果Ｚｅが演算される。以上の説明で（よ 被
除数と除数が共に正したがって商が正の場合について述
べたが、 その他の場合についても同様にして演算でき
る。この場合に 添付桁の生成方法のみが変わる。すな
わ板 正あるいは負の被除数Ｘと除数Ｙに対する商Ｚ＝
Ｘ／Ｙの演算において、被除数Ｘの符号と商Ｚの符号が
同じ場合に（よ 暫定商Ｚｒに対する積Ｘｒ＝Ｚ＋”Ｙ
と被除数Ｘとが等しい場合に添付桁Ｓを０とし 積Ｘｒ
が被除数Ｘより大きい場合に添付桁Ｓを−１とレ一あ一 積Ｘｒが被除数Ｘより小さい場合に添付桁Ｓをｌとする
。一方、被除数Ｘの符号と商Ｚの符号が異なる場合にお
いては 積Ｘｒと被除数Ｘとが等しい場合に添付桁Ｓを
０とし 積Ｘｒが被除数Ｘより大きい場合に添付桁Ｓを
１とし 積Ｘｒが被除数Ｘより小さい場合に添付桁Ｓを
−１とすればよ賎第４図Ｃヨ 本発明を平方根演算に
適用した場合の演算処理の流れを示す流れ図である。第
４図の処理は 第ｌ図における関数Ｆを平方根演算に置
き換えたものでありすなわちＹ＝Ｆ（Ｘ）＝ＸＩ”を求
めるものである。
一の除算結果Ｚｅが演算される。以上の説明で（よ 被
除数と除数が共に正したがって商が正の場合について述
べたが、 その他の場合についても同様にして演算でき
る。この場合に 添付桁の生成方法のみが変わる。すな
わ板 正あるいは負の被除数Ｘと除数Ｙに対する商Ｚ＝
Ｘ／Ｙの演算において、被除数Ｘの符号と商Ｚの符号が
同じ場合に（よ 暫定商Ｚｒに対する積Ｘｒ＝Ｚ＋”Ｙ
と被除数Ｘとが等しい場合に添付桁Ｓを０とし 積Ｘｒ
が被除数Ｘより大きい場合に添付桁Ｓを−１とレ一あ一 積Ｘｒが被除数Ｘより小さい場合に添付桁Ｓをｌとする
。一方、被除数Ｘの符号と商Ｚの符号が異なる場合にお
いては 積Ｘｒと被除数Ｘとが等しい場合に添付桁Ｓを
０とし 積Ｘｒが被除数Ｘより大きい場合に添付桁Ｓを
１とし 積Ｘｒが被除数Ｘより小さい場合に添付桁Ｓを
−１とすればよ賎第４図Ｃヨ 本発明を平方根演算に
適用した場合の演算処理の流れを示す流れ図である。第
４図の処理は 第ｌ図における関数Ｆを平方根演算に置
き換えたものでありすなわちＹ＝Ｆ（Ｘ）＝ＸＩ”を求
めるものである。
第４図において、 ４０１は第１図における関数Ｆの近
似演算処理Ｌｏｔに対応するものであり、与えられた正
の値Ｘの平方根Ｘ１″の近似平方根処理である。４０２
、 ４０８は丸め処理であり、第１図における１０２お
よび１０９と同様の丸め処理を行なう。４０３は第１図
における逆関数演算処理に対応するものであり、Ｙ＝Ｘ
Ｉ′ｅの逆関数すなわち積ＹｒＱを求める乗算処理であ
る。４０４は比較判断処理であり、第１図における１０
４と１一あ一 ０５に対応している。この場合にＬ 除算と同様に Ｘ
に対してＹが単調増加関数であるためにＸとＸｒの比較
のみで添付桁Ｓを求めることができる。また ４０５、
４０６および４０７は第ｌ図における１０６、 １０
７および１０８にそれぞれ対応している。
似演算処理Ｌｏｔに対応するものであり、与えられた正
の値Ｘの平方根Ｘ１″の近似平方根処理である。４０２
、 ４０８は丸め処理であり、第１図における１０２お
よび１０９と同様の丸め処理を行なう。４０３は第１図
における逆関数演算処理に対応するものであり、Ｙ＝Ｘ
Ｉ′ｅの逆関数すなわち積ＹｒＱを求める乗算処理であ
る。４０４は比較判断処理であり、第１図における１０
４と１一あ一 ０５に対応している。この場合にＬ 除算と同様に Ｘ
に対してＹが単調増加関数であるためにＸとＸｒの比較
のみで添付桁Ｓを求めることができる。また ４０５、
４０６および４０７は第ｌ図における１０６、 １０
７および１０８にそれぞれ対応している。
以下の説明でｌ；Ａ ＩＥＥＥ７５４規格の倍精度を
例とし さらに正規化された仮数部の演算について説明
する。すなわ板 仮数部の有効桁数が５３桁、最上位桁
が２１の重みの桁、最下位桁が２−６Ｑの重みの桁であ
る。浮動小数点データの平方根を考える場合に（飄 与
えられるＸとして（よ １≦Ｘ＜４を考える必要がある
。すなわ坂 浮動小数点データの指数の値が偶数である
場合にはＸとして１≦Ｘ＜２の値域を考慮すればよｔ．
ｓ， Ｌかし 指数の値が奇数である場合にＣヨ
仮数部を左に１桁シフトし そのシフトされた仮数部の
平方根を求めなければならないので、Ｘとして２≦Ｘ＜
４の値域を考慮しなければならなし したがって、浮動
小数点データの指数の値が偶数である場合と奇数で一訂 ある場合について同様な処理を考慮すれば 与えられる
Ｘとして｛よ １≦Ｘ＜４を考えればよい。
例とし さらに正規化された仮数部の演算について説明
する。すなわ板 仮数部の有効桁数が５３桁、最上位桁
が２１の重みの桁、最下位桁が２−６Ｑの重みの桁であ
る。浮動小数点データの平方根を考える場合に（飄 与
えられるＸとして（よ １≦Ｘ＜４を考える必要がある
。すなわ坂 浮動小数点データの指数の値が偶数である
場合にはＸとして１≦Ｘ＜２の値域を考慮すればよｔ．
ｓ， Ｌかし 指数の値が奇数である場合にＣヨ
仮数部を左に１桁シフトし そのシフトされた仮数部の
平方根を求めなければならないので、Ｘとして２≦Ｘ＜
４の値域を考慮しなければならなし したがって、浮動
小数点データの指数の値が偶数である場合と奇数で一訂 ある場合について同様な処理を考慮すれば 与えられる
Ｘとして｛よ １≦Ｘ＜４を考えればよい。
したがって、平方根Ｙ＝＝ Ｘ ｌ ′Ｉ１の値域はｌ
≦Ｙ＜２となる。
≦Ｙ＜２となる。
次に 平方根演算の処理の流れを第４図を用いて説明す
る。まず、 ４０１の近似平方根処理において近似平方
根Ｙａを求める。この近似平方根Ｙａの精度（上 真値
Ｙ＝Ｘ””との誤差が最終解に必要な最小有効桁の２桁
下位の桁の大きさより小さい精度である。したがって、
倍精度フォーマットにおける最小有効桁の重みが２−６
Ｑなので求められた近似平方根Ｙａｌよ Ｙ−Ｙａｌ＜２−％・ （９） が戒り立も 次に 丸め処理４０２において近似平方根Ｙａを丸める
。この場合に 最終の平方根の最小有効桁よりｌ桁以上
下位玄 且つ近似平方根Ｙａの最大誤差より大きい最小
重みの桁の１桁以上上位の桁の範囲のうちいずれかが最
下位桁となる精度で、近似平方根Ｙａを丸めて近似平方
根Ｙａに最も近い暫一田一 定平方根Ｙｒを求める。例えば 有効桁数より１桁だけ
多い５４桁の暫定平方根Ｙｒを求めればＹ−Ｙｒｌ ＜
２−” （１ ０）となる。
る。まず、 ４０１の近似平方根処理において近似平方
根Ｙａを求める。この近似平方根Ｙａの精度（上 真値
Ｙ＝Ｘ””との誤差が最終解に必要な最小有効桁の２桁
下位の桁の大きさより小さい精度である。したがって、
倍精度フォーマットにおける最小有効桁の重みが２−６
Ｑなので求められた近似平方根Ｙａｌよ Ｙ−Ｙａｌ＜２−％・ （９） が戒り立も 次に 丸め処理４０２において近似平方根Ｙａを丸める
。この場合に 最終の平方根の最小有効桁よりｌ桁以上
下位玄 且つ近似平方根Ｙａの最大誤差より大きい最小
重みの桁の１桁以上上位の桁の範囲のうちいずれかが最
下位桁となる精度で、近似平方根Ｙａを丸めて近似平方
根Ｙａに最も近い暫一田一 定平方根Ｙｒを求める。例えば 有効桁数より１桁だけ
多い５４桁の暫定平方根Ｙｒを求めればＹ−Ｙｒｌ ＜
２−” （１ ０）となる。
次に４０３の乗算処理により、この暫定平方根Ｙｒより
Ｙ ＝ Ｘ Ｉ ′Ｑの逆関数すなわち積Ｘｒ＝Ｙｒ２
を求める。
Ｙ ＝ Ｘ Ｉ ′Ｑの逆関数すなわち積Ｘｒ＝Ｙｒ２
を求める。
次に ４０４の比較判断処理により、積Ｘｒと与えられ
た値Ｘとを比較することにより、暫定平方根Ｙｒが真値
Ｙに対してどちら側に誤差を持っているかを判断する。
た値Ｘとを比較することにより、暫定平方根Ｙｒが真値
Ｙに対してどちら側に誤差を持っているかを判断する。
この場合には平方根Ｙ＝Ｘ””においてＣヨＸに対して
Ｙが単調増加関数であるために ＸとＸｒの比較のみで
添付桁Ｓを求めることができる。すなわ板 ＸがＸｒよ
り小さい場合に？，Ｌ真値Ｙは暫定平方根Ｙｒより小さ
いので４０５の処理により添付桁Ｓを−ｌとし、ＸとＸ
ｒが等しい場合にζよ 真値Ｙは暫定平方根Ｙｒと等し
いので４０６の処理により添付桁Ｓを０とし、ＸがＸｒ
より大きい場合にζよ 真値Ｙは暫定平方根Ｙｒより大
きいので４０７の処理により添付桁Ｓを１とする。
Ｙが単調増加関数であるために ＸとＸｒの比較のみで
添付桁Ｓを求めることができる。すなわ板 ＸがＸｒよ
り小さい場合に？，Ｌ真値Ｙは暫定平方根Ｙｒより小さ
いので４０５の処理により添付桁Ｓを−ｌとし、ＸとＸ
ｒが等しい場合にζよ 真値Ｙは暫定平方根Ｙｒと等し
いので４０６の処理により添付桁Ｓを０とし、ＸがＸｒ
より大きい場合にζよ 真値Ｙは暫定平方根Ｙｒより大
きいので４０７の処理により添付桁Ｓを１とする。
？■■■一
最後に ４０８の丸め処理により、暫定平方根Ｙｒの最
下位桁の１桁下位に添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数
になるように指定された丸めモードで丸めを行なうこと
により、真値を丸めた場合と同じ平方根の結果Ｙｅが求
められる。
下位桁の１桁下位に添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数
になるように指定された丸めモードで丸めを行なうこと
により、真値を丸めた場合と同じ平方根の結果Ｙｅが求
められる。
次に 第６図の収束型演算を実現する演算処理装置用い
て平方根演算を行なう場合について、第４図の流れ図を
用いて説明する。
て平方根演算を行なう場合について、第４図の流れ図を
用いて説明する。
まず、被演算数ＸがそれぞれデータパスＡを介して、Ｘ
レジスタに人力され格納され 第４図の近似平方根演算
４０１が開始される。この近似平方根演算で（よ 除算
の場合と同様に乗算と加減算の繰り返しにより近似平方
根Ｙａが求められる。例えばニュートンラフソン法によ
れＥ Ｙ＝Ｘ”’の平方根演算は 最初の１／Ｘ”’
の近似値Ｒｓをテーブルを引いて求碌 （２）式の漸化
式をｎ回繰り返し用いて１／＝Ｘ１／２の近似値Ｒｎを
求めることができ、そのａＲｎとＸを乗算してＸ１″の
近似値Ｙａを得ることができる。ニュートンラフソン法
を用いた 第６図の演算装置の構或による近似平−和一 方根Ｙａの演算（よ 除算について述べたようにして容
易に行なえる。したがって、ここでは近似平方根Ｙａが
乗算器６０６の出力から得られた後の処理について述べ
る。この場合に この近似平方根Ｙａの精度↓よ 真値
Ｙ ＝ Ｘ Ｉ′Ｑとの誤差が最終解に必要な最小有効
桁の２桁下位の桁の大きさより小さい精度で求められて
いるものとする。
レジスタに人力され格納され 第４図の近似平方根演算
４０１が開始される。この近似平方根演算で（よ 除算
の場合と同様に乗算と加減算の繰り返しにより近似平方
根Ｙａが求められる。例えばニュートンラフソン法によ
れＥ Ｙ＝Ｘ”’の平方根演算は 最初の１／Ｘ”’
の近似値Ｒｓをテーブルを引いて求碌 （２）式の漸化
式をｎ回繰り返し用いて１／＝Ｘ１／２の近似値Ｒｎを
求めることができ、そのａＲｎとＸを乗算してＸ１″の
近似値Ｙａを得ることができる。ニュートンラフソン法
を用いた 第６図の演算装置の構或による近似平−和一 方根Ｙａの演算（よ 除算について述べたようにして容
易に行なえる。したがって、ここでは近似平方根Ｙａが
乗算器６０６の出力から得られた後の処理について述べ
る。この場合に この近似平方根Ｙａの精度↓よ 真値
Ｙ ＝ Ｘ Ｉ′Ｑとの誤差が最終解に必要な最小有効
桁の２桁下位の桁の大きさより小さい精度で求められて
いるものとする。
次に 第４図の中間丸め処理４ ０ ２ Ｌｔ， 第
６図の加減算丸め処理回路６１０で行なわれる。この場
合に 選択回路６０８が乗算器６０６の出力すなわち近
似平方根Ｙａを選択し 選択回路６０９が０を選択する
ように制御される。加減算丸め処理回路６ １ ０ ｔ
−＆ 最柊の平方根の最小有効桁より１桁以上下位玄
且つ近似平方根Ｙａの最大誤差より大きい最小重みの
桁の１桁以上上位の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁
となる精度致 近似平方根Ｙａを丸めて近似平方根Ｙａ
に最も近い暫定平方根Ｙｒを求めて出力し 同時に暫定
平方根ＹｒをＴレジスタ６１１に格納する。
６図の加減算丸め処理回路６１０で行なわれる。この場
合に 選択回路６０８が乗算器６０６の出力すなわち近
似平方根Ｙａを選択し 選択回路６０９が０を選択する
ように制御される。加減算丸め処理回路６ １ ０ ｔ
−＆ 最柊の平方根の最小有効桁より１桁以上下位玄
且つ近似平方根Ｙａの最大誤差より大きい最小重みの
桁の１桁以上上位の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁
となる精度致 近似平方根Ｙａを丸めて近似平方根Ｙａ
に最も近い暫定平方根Ｙｒを求めて出力し 同時に暫定
平方根ＹｒをＴレジスタ６１１に格納する。
次に 第４図の平方演算処理４ ０ ３ ＋１ 第６
図ー４１ー の乗算器６０６で行なわれる。すなゎ枚 選択回路６０
４および選択回路６０５が共に加減算丸め処理回路６１
０の結果すなわち暫定平方根Ｙｒを選択されるように制
御し 入力された暫定平方根Ｙｒに対する逆関数すなわ
ち暫定平方根Ｙｒの平方Ｘｒ＝Ｙｒ”を求める。
図ー４１ー の乗算器６０６で行なわれる。すなゎ枚 選択回路６０
４および選択回路６０５が共に加減算丸め処理回路６１
０の結果すなわち暫定平方根Ｙｒを選択されるように制
御し 入力された暫定平方根Ｙｒに対する逆関数すなわ
ち暫定平方根Ｙｒの平方Ｘｒ＝Ｙｒ”を求める。
次に 第４図の比較判断処理４０４と、値の代入処理４
０５・４０６および４０７４よ 加減算丸め処理回路６
１０および添付桁生成回路６１２で行なわれる。まず、
選択回路６０８が乗算器６ｏ６の出力すなわちＸｒを選
択し データバスＢおよび選択回路６０９を介してＸレ
ジスタ６０１の被演算数Ｘ７！Ａ 加減算丸め処理回
路６１０に入カされるように制御される。さらに 加減
算丸め処理回路６１０が入力されたＸｒから、与えられ
た被演算数Ｘを減算してＸｒ−Ｘを出カする。この減算
により、Ｘｒと被演算数Ｘとが比較され′る。添付桁生
成回路６１２でＣヨ この減算によって得られた結果
Ｘ ｒ − Ｘを入力ＬＸｒ−Ｘが０の場合には添付桁
Ｓを０とし、Ｘｒ−Ｘが負となった場合には添付−４２
ー 桁Ｓをｌとし、Ｘｒ−Ｘが正となった場合には添付桁Ｓ
をーｌとして出力する。
０５・４０６および４０７４よ 加減算丸め処理回路６
１０および添付桁生成回路６１２で行なわれる。まず、
選択回路６０８が乗算器６ｏ６の出力すなわちＸｒを選
択し データバスＢおよび選択回路６０９を介してＸレ
ジスタ６０１の被演算数Ｘ７！Ａ 加減算丸め処理回
路６１０に入カされるように制御される。さらに 加減
算丸め処理回路６１０が入力されたＸｒから、与えられ
た被演算数Ｘを減算してＸｒ−Ｘを出カする。この減算
により、Ｘｒと被演算数Ｘとが比較され′る。添付桁生
成回路６１２でＣヨ この減算によって得られた結果
Ｘ ｒ − Ｘを入力ＬＸｒ−Ｘが０の場合には添付桁
Ｓを０とし、Ｘｒ−Ｘが負となった場合には添付−４２
ー 桁Ｓをｌとし、Ｘｒ−Ｘが正となった場合には添付桁Ｓ
をーｌとして出力する。
最後に 第４図の最終丸め処理４０８は 第６図の加減
算丸め処理回路で行なわれる。すなわぢ選択回路６０８
がＴレジスタ６１１の出力すなわち暫定平方根Ｙｒを選
択し 選択回路６０９がＯを選択するように制御される
。加減算丸め処理回路６１０ζよ 人力された暫定平方
根Ｙｒの最下位桁の１桁下位に 添付桁生戊回路６１２
から入力される添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数にな
るように指定された丸めモードで丸めを行ない平方根演
算結果Ｙｅが求められる。
算丸め処理回路で行なわれる。すなわぢ選択回路６０８
がＴレジスタ６１１の出力すなわち暫定平方根Ｙｒを選
択し 選択回路６０９がＯを選択するように制御される
。加減算丸め処理回路６１０ζよ 人力された暫定平方
根Ｙｒの最下位桁の１桁下位に 添付桁生戊回路６１２
から入力される添付桁Ｓを加えて、結果が有効桁数にな
るように指定された丸めモードで丸めを行ない平方根演
算結果Ｙｅが求められる。
以上のようにして、平方根Ｙ ＝ Ｘ Ｉ ′Ｑの真値
を丸めた値と同一の平方根演算結果Ｙｅが演算される。
を丸めた値と同一の平方根演算結果Ｙｅが演算される。
な抵 以上の説明で（よ 除算と平方根演算を行なう場
合について述べた爪 その他の乗算と加減算を繰り返し
行なって近似値を求めるような収束型演算についてＬ
同様にして演算することができる。また 第６図に示し
たブロック図の構戒以外の他の構或を用いても同様な効
果が得られる。
合について述べた爪 その他の乗算と加減算を繰り返し
行なって近似値を求めるような収束型演算についてＬ
同様にして演算することができる。また 第６図に示し
たブロック図の構戒以外の他の構或を用いても同様な効
果が得られる。
−招一
以上説明したように 近似演算の結果から関数の真値を
丸めた結果と同一の演算結果を得られる。
丸めた結果と同一の演算結果を得られる。
以上の説明で（よ 具体的な関数として除算と平方根演
算について述べた力ｔ 同様にして他の関数についてＬ
関数の真値を丸めた場合の結果と同一の結果を得るこ
とができる。
算について述べた力ｔ 同様にして他の関数についてＬ
関数の真値を丸めた場合の結果と同一の結果を得るこ
とができる。
本発明の第２の発明を除算を例として説明する。
以下の説明で＋ｉ ＩＥＥＥ７５４規格の倍精度を例
としさらに正規化された仮数部の演算について説明する
。すなわ板 仮数部の有効桁数が５３桁、最上位桁が２
＠の重みの桁、最下位桁が２−６Ｑの重みの桁である。
としさらに正規化された仮数部の演算について説明する
。すなわ板 仮数部の有効桁数が５３桁、最上位桁が２
＠の重みの桁、最下位桁が２−６Ｑの重みの桁である。
さらに被除数Ｘおよび除数Ｙを共に正数とし 正規化さ
れているものとすれば １≦Ｘ１Ｙ＜２の関係にある。
れているものとすれば １≦Ｘ１Ｙ＜２の関係にある。
第３図を用いて説明したようにして、近似除算により近
似商Ｚａを求べ さらに近似商Ｚａを丸めることにより
暫定商Ｚｒを求める。この時の暫定商Ｚｒの真値Ｚとの
誤差をδで表せば δ一 Ｚｒ −Ｚ （１ １）である。
似商Ｚａを求べ さらに近似商Ｚａを丸めることにより
暫定商Ｚｒを求める。この時の暫定商Ｚｒの真値Ｚとの
誤差をδで表せば δ一 Ｚｒ −Ｚ （１ １）である。
この暫定商ＺｒよりＺ＝Ｘ／Ｙの逆関数す一必一
なわち積Ｘｒ＝ＺｒｘＹを求めれば
Ｘｒ＝ＺｒｘＹ
（Ｚ＋δ）ＸＹ
＝Ｘ十δ・Ｙ
Ｘ＋Δ （ｌ２）
となる。したがって、 ＸとＸｒを比較すると、 δ・
ＹだけＸｒが太き（１ 暫定商Ｚｒの誤差δの絶対値を
２−６４未満とすれば △＝δ・Ｙの絶対値の最大値：
上 Δ ｍａｘ＝ δ・Ｙ ｍａｘ ＜２−６４・２ ＜２−” （１３） となる。 （１３）式（淑 △の絶対値を２進数で表す
と、 ２−５２の重みの桁以上の桁が常に０であること
を示している。一方、被除数Ｘｃヨ 正規化された仮
数部を仮定しているので、 ２−５３の重みの桁以下の
桁が常に０である。
ＹだけＸｒが太き（１ 暫定商Ｚｒの誤差δの絶対値を
２−６４未満とすれば △＝δ・Ｙの絶対値の最大値：
上 Δ ｍａｘ＝ δ・Ｙ ｍａｘ ＜２−６４・２ ＜２−” （１３） となる。 （１３）式（淑 △の絶対値を２進数で表す
と、 ２−５２の重みの桁以上の桁が常に０であること
を示している。一方、被除数Ｘｃヨ 正規化された仮
数部を仮定しているので、 ２−５３の重みの桁以下の
桁が常に０である。
したがって、Δが正である場合のＸｒの各桁（よ２ｌの
桁から２−６２の桁まで被除数Ｘの各桁の値と同じにな
り、 ２−ｒｈｓの重みの桁が０であり、さらに一朽一 下位の桁はΔの各桁の値と同じになる。また△が０であ
る場合のＸｒの各桁ＩＬ．２”の桁から２ −ＩＱの桁
まで被除数Ｘの各桁の値と同じになり、さらに下位の桁
は０なる。さらにまた △が負である場合のＸｒの各桁
（よ 被除数Ｘから△の絶対値を減算したものとなり、
２１１の桁から２−５２の桁までは被除数Ｘから２−
ＳＱだけ小さい数の各桁の値と同じになり、 ２−Ｓ２
の重みの桁がｌであり、さらに下位の桁はΔの２の補数
の各桁の値と同じになる。以上のことかｋＸｒの２−ｓ
２の重みの桁以下の桁の値を検査することにより、Δの
値が正 負あるいは０であるかの判断をするごとができ
る。したがって（１ １） （１ ２）式の関係か板
暫定商Ｚｒと真値Ｚの大小関係の判断が可能となり、
この判断から添付桁Ｓを求めることができる。すなわち
、Ｘｒの２−６３の重みの桁が０玄 且つ２−６４の重
みの桁以下に０でない桁がある場合に（よ Δが正とな
り、暫定商Ｚｒが真値Ｚより大きいので、添付桁Ｓを−
１とすればよ鶏 まｆ， ２−６２の重みの桁以下の
全ての桁が０である場合に？１ △が０となり、一柘
一 暫定商Ｚｒと真値Ｚが等しいので、添付桁ＳをＯとすれ
ばよ賎 さらにまＬ Ｘｒの２−６３の重みの桁が１
である場合にＣＬ Δが負となり、暫定商Ｚｒが真値
Ｚより小さいので、添付桁Ｓを１とすればよ八 この関
係を第１表に示す。
桁から２−６２の桁まで被除数Ｘの各桁の値と同じにな
り、 ２−ｒｈｓの重みの桁が０であり、さらに一朽一 下位の桁はΔの各桁の値と同じになる。また△が０であ
る場合のＸｒの各桁ＩＬ．２”の桁から２ −ＩＱの桁
まで被除数Ｘの各桁の値と同じになり、さらに下位の桁
は０なる。さらにまた △が負である場合のＸｒの各桁
（よ 被除数Ｘから△の絶対値を減算したものとなり、
２１１の桁から２−５２の桁までは被除数Ｘから２−
ＳＱだけ小さい数の各桁の値と同じになり、 ２−Ｓ２
の重みの桁がｌであり、さらに下位の桁はΔの２の補数
の各桁の値と同じになる。以上のことかｋＸｒの２−ｓ
２の重みの桁以下の桁の値を検査することにより、Δの
値が正 負あるいは０であるかの判断をするごとができ
る。したがって（１ １） （１ ２）式の関係か板
暫定商Ｚｒと真値Ｚの大小関係の判断が可能となり、
この判断から添付桁Ｓを求めることができる。すなわち
、Ｘｒの２−６３の重みの桁が０玄 且つ２−６４の重
みの桁以下に０でない桁がある場合に（よ Δが正とな
り、暫定商Ｚｒが真値Ｚより大きいので、添付桁Ｓを−
１とすればよ鶏 まｆ， ２−６２の重みの桁以下の
全ての桁が０である場合に？１ △が０となり、一柘
一 暫定商Ｚｒと真値Ｚが等しいので、添付桁ＳをＯとすれ
ばよ賎 さらにまＬ Ｘｒの２−６３の重みの桁が１
である場合にＣＬ Δが負となり、暫定商Ｚｒが真値
Ｚより小さいので、添付桁Ｓを１とすればよ八 この関
係を第１表に示す。
第１表
Ｘｒ−ａｓ（７）桁 Ｘｆ−％４以下の桁 Δ Ｚｒ：
Ｚ Ｓ０ ０でない桁がある 正 Ｚｒ＞Ｚ
−１０ 全てＯ ＯＺｒ＝ＺＯ１
負 Ｚｒ＞Ｚ １
以上のように 暫定商Ｚｒと真値Ｚの大小関係の判断を
、ＸｒとＸとの減算を行なうことなく、乗算によって得
られたＸｒの２４３の重みの桁以下の桁の値を検査する
ことにより容易に行なうことができ、この判断から添付
桁Ｓを求めることができる。
Ｚ Ｓ０ ０でない桁がある 正 Ｚｒ＞Ｚ
−１０ 全てＯ ＯＺｒ＝ＺＯ１
負 Ｚｒ＞Ｚ １
以上のように 暫定商Ｚｒと真値Ｚの大小関係の判断を
、ＸｒとＸとの減算を行なうことなく、乗算によって得
られたＸｒの２４３の重みの桁以下の桁の値を検査する
ことにより容易に行なうことができ、この判断から添付
桁Ｓを求めることができる。
以上の説明で番ヨ 除算を行なう場合について述べた
が、 この簡単な添付桁Ｓの決定方法ζよ 除算−４７
− 以外の演算についても同様に用いることができる。
が、 この簡単な添付桁Ｓの決定方法ζよ 除算−４７
− 以外の演算についても同様に用いることができる。
この場合に近似演算により求める関数Ｙ＝Ｆ（Ｘ）の近
似解Ｙａと、この近似解Ｙａを丸めて求める暫定解Ｙｒ
を、暫定解Ｙｒから求めた関数Ｆの逆関数Ｘｒ＝Ｆ−１
（Ｙｒ）と与えられたＸとの差の絶対値の最大値力曳
与えられたＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも
小さくなるように求めることにより可能となる。
似解Ｙａと、この近似解Ｙａを丸めて求める暫定解Ｙｒ
を、暫定解Ｙｒから求めた関数Ｆの逆関数Ｘｒ＝Ｆ−１
（Ｙｒ）と与えられたＸとの差の絶対値の最大値力曳
与えられたＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも
小さくなるように求めることにより可能となる。
次に 用いるアルゴリズムやハードウェアの制限から、
暫定解Ｙｒから求めた関数Ｆの逆関数Ｘ『一Ｆ−１（Ｙ
ｒ）と与えられたＸとの差の絶対値の最大値八 与えら
れたＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも大きく
なる場合を考える。
暫定解Ｙｒから求めた関数Ｆの逆関数Ｘ『一Ｆ−１（Ｙ
ｒ）と与えられたＸとの差の絶対値の最大値八 与えら
れたＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも大きく
なる場合を考える。
例として、平方根演算を考える。第４図を用いて説明し
たようにして、近似平方根演算により近似平方根Ｙａを
求吹 さらに近似平方根Ｙａを丸めることにより暫定平
方根Ｙｒを求める。この時の暫定平方根Ｙｒの真値Ｙと
の誤差をδで表せばδ＝Ｙｒ −Ｙ （１ ４
） である。この暫定平方根ＹｒよりＹ＝Ｘ””の逆関−４
８＝ 数すなわち積Ｘ ｒ＝ Ｙ ｒＱを求めればＸ ｒ＝
Ｙ ｒｌｌ ＝（Ｙ＋δ）２ Ｘ＋２６・Ｙ＋６２ ＝Ｘ＋△ （１５） となる。 したがって、ＸとＸｒを比較すると、 ２δ
・Ｙ＋δ２だけＸｒが太きＬ＼ 暫定平方根Ｙｒの誤差
δの絶対値を２−ｓｓ未満とすれば △＝２６・Ｙ＋６
２の絶対値の最大値（よ △ ｍａｘ＝ ２δ・Ｙ＋６２ｍａｘ＜ ２ −２−
”−２ ＋ ２ −”’＜２−”＋２−”’
（１ ６）となる。 （１６）式ｃｉ Δの絶対値を
２進数で表現すると、 ２−Ｂｍの重みの桁以上の桁が
常に０であることを示している。−ＸＸは正規化された
仮数部を仮定しているの−ｃ， ２−８３の重みの桁
以下の桁が常に０である。したがって、与えられた値Ｘ
とΔの各桁の０でない桁ｉ戴２−”と２−″の重みの桁
で重なりがあり、したがって、ＸとＸｒの大小関係を判
断するにＬＸｒの２−６３の重みの桁以ー４９− 下の桁を検査するだけでなく、さらに上位の桁について
も検査しなければならなｔｌ〜 ＸとＸｒの大小関係の
判断ＣＬ 例えば ＸｒからＸを減算することにより
Δを求めた場合にＵ（１６）式からわかるように その
絶対値は２−Ｂｓ未満となるの致減算結果Δの２一〇の
重みの桁以下の桁を検査することにより、ＸとＸｒの大
小関係を判断できる。
たようにして、近似平方根演算により近似平方根Ｙａを
求吹 さらに近似平方根Ｙａを丸めることにより暫定平
方根Ｙｒを求める。この時の暫定平方根Ｙｒの真値Ｙと
の誤差をδで表せばδ＝Ｙｒ −Ｙ （１ ４
） である。この暫定平方根ＹｒよりＹ＝Ｘ””の逆関−４
８＝ 数すなわち積Ｘ ｒ＝ Ｙ ｒＱを求めればＸ ｒ＝
Ｙ ｒｌｌ ＝（Ｙ＋δ）２ Ｘ＋２６・Ｙ＋６２ ＝Ｘ＋△ （１５） となる。 したがって、ＸとＸｒを比較すると、 ２δ
・Ｙ＋δ２だけＸｒが太きＬ＼ 暫定平方根Ｙｒの誤差
δの絶対値を２−ｓｓ未満とすれば △＝２６・Ｙ＋６
２の絶対値の最大値（よ △ ｍａｘ＝ ２δ・Ｙ＋６２ｍａｘ＜ ２ −２−
”−２ ＋ ２ −”’＜２−”＋２−”’
（１ ６）となる。 （１６）式ｃｉ Δの絶対値を
２進数で表現すると、 ２−Ｂｍの重みの桁以上の桁が
常に０であることを示している。−ＸＸは正規化された
仮数部を仮定しているの−ｃ， ２−８３の重みの桁
以下の桁が常に０である。したがって、与えられた値Ｘ
とΔの各桁の０でない桁ｉ戴２−”と２−″の重みの桁
で重なりがあり、したがって、ＸとＸｒの大小関係を判
断するにＬＸｒの２−６３の重みの桁以ー４９− 下の桁を検査するだけでなく、さらに上位の桁について
も検査しなければならなｔｌ〜 ＸとＸｒの大小関係の
判断ＣＬ 例えば ＸｒからＸを減算することにより
Δを求めた場合にＵ（１６）式からわかるように その
絶対値は２−Ｂｓ未満となるの致減算結果Δの２一〇の
重みの桁以下の桁を検査することにより、ＸとＸｒの大
小関係を判断できる。
したがって、この判断から暫定平方根Ｙｒと真値Ｙとの
大小関係を判断して、添付桁Ｓを求めればよ鶏 この場
合の減算結果Δから添付桁Ｓを求めるのＣヨ 除算に
ついて述べたことと同様にして行なうことができ、この
関係を第２表に示も第２表 Δ−６●の桁 Δ−６１以下の桁 Δ Ｙｒ；Ｙ
Ｓ０ ０ １ ０でない桁がある 正 Ｙｒ＞Ｙ −１全てＯ
ＯＹｒ＝ＹＯ 一一一 負Ｙｒ＞Ｙ １ −加一 以上述べたように 暫定解Ｙｒから求めた関数Ｆの逆関
数Ｘ ｒ＝ Ｆ−’（Ｙ ｒ）と与えられたＸとの差の
絶対値の最大値が、 与えられたＸの最小有効桁のｌ桁
下位の桁の重みよりも大きくなる場合に（よＸｒの２−
６３の重みの桁以下の桁を検査するだけでなく、Ｘｒか
らＸを減算し その減算結果△から添付桁Ｓを求めなけ
ればならない。しかし この減算は ＸｒからＸの全て
の桁で行なう必要はな賎 すなわ坂 大小関係を判断す
るのに必要な桁、したがって、 ２−０の重みの桁以下
についてのみ行なえば十分である。
大小関係を判断して、添付桁Ｓを求めればよ鶏 この場
合の減算結果Δから添付桁Ｓを求めるのＣヨ 除算に
ついて述べたことと同様にして行なうことができ、この
関係を第２表に示も第２表 Δ−６●の桁 Δ−６１以下の桁 Δ Ｙｒ；Ｙ
Ｓ０ ０ １ ０でない桁がある 正 Ｙｒ＞Ｙ −１全てＯ
ＯＹｒ＝ＹＯ 一一一 負Ｙｒ＞Ｙ １ −加一 以上述べたように 暫定解Ｙｒから求めた関数Ｆの逆関
数Ｘ ｒ＝ Ｆ−’（Ｙ ｒ）と与えられたＸとの差の
絶対値の最大値が、 与えられたＸの最小有効桁のｌ桁
下位の桁の重みよりも大きくなる場合に（よＸｒの２−
６３の重みの桁以下の桁を検査するだけでなく、Ｘｒか
らＸを減算し その減算結果△から添付桁Ｓを求めなけ
ればならない。しかし この減算は ＸｒからＸの全て
の桁で行なう必要はな賎 すなわ坂 大小関係を判断す
るのに必要な桁、したがって、 ２−０の重みの桁以下
についてのみ行なえば十分である。
もちろん この平方根演算をさらに精度よく行なうこと
により、Ｘｒの２−６３の重みの桁以下の桁を検査する
だけで、ＸｒとＸの大小関係を判断することができる。
により、Ｘｒの２−６３の重みの桁以下の桁を検査する
だけで、ＸｒとＸの大小関係を判断することができる。
すなわ＆ （１６）式において暫定平方根Ｙｒの誤差
δの絶対値を２−６８未満とすれば △ｌ ｍａｘ＝ ｌ ２δ・Ｙ＋δＱＩｍａＸく２・
２−Ｉ＋６・２＋２−１ｊＲ ＜２−”＋２−”’ （１ ７）−５１− となり、△の絶対値を２進数で表すと、 ２ −ｓｓの
重みの桁以上の桁が常に０であることを示している。
δの絶対値を２−６８未満とすれば △ｌ ｍａｘ＝ ｌ ２δ・Ｙ＋δＱＩｍａＸく２・
２−Ｉ＋６・２＋２−１ｊＲ ＜２−”＋２−”’ （１ ７）−５１− となり、△の絶対値を２進数で表すと、 ２ −ｓｓの
重みの桁以上の桁が常に０であることを示している。
このような場合に（よ 除算について述べたようにして
、容易に添付桁Ｓを求めることができる。
、容易に添付桁Ｓを求めることができる。
第７図【上 木発明の実施例の乗算器の構戒を示すブロ
ック図である。第７図において、 ７０１は被乗数入力
ラッチ、 ７０２は乗数入カラッチ、 ７０３は減数人
カラッチ、 ７０４は乗数リコード回１９， ７０５
は部分積生成回区 ７０６は減数変換回区 ７０７は部
分積加算回区 ７０８は乗算結果出力ラッチである。
ック図である。第７図において、 ７０１は被乗数入力
ラッチ、 ７０２は乗数入カラッチ、 ７０３は減数人
カラッチ、 ７０４は乗数リコード回１９， ７０５
は部分積生成回区 ７０６は減数変換回区 ７０７は部
分積加算回区 ７０８は乗算結果出力ラッチである。
次に 第７図のブロック図の動作を説明する。
まず、被乗数、乗数および減数が、 それぞれ被乗数ラ
ッチ７０１、乗数ラッチ７０２および減数入力ラッチ７
０３に取り込まれる。乗数ラッチ７０２に取り込まれた
乗数は 乗数リコード回路７０４に入力される。この乗
数リコード回路７ ０ ４ ｊ：Ｌ部分積の数を減らせ
るためのものであり、例えば２ビットのブースの方法に
より部分積の数を入力された乗数の桁数の約半分にする
ことができる。
ッチ７０１、乗数ラッチ７０２および減数入力ラッチ７
０３に取り込まれる。乗数ラッチ７０２に取り込まれた
乗数は 乗数リコード回路７０４に入力される。この乗
数リコード回路７ ０ ４ ｊ：Ｌ部分積の数を減らせ
るためのものであり、例えば２ビットのブースの方法に
より部分積の数を入力された乗数の桁数の約半分にする
ことができる。
−５２−
この２ビットのブースの方法によれば 入力された２進
数を２ビットごとに２、 １、 ０、− １，２のうち
のいずれかの値に変換する。次に この乗数リコード回
路７０４によってリコードされた乗数と、被乗数ラッチ
７０１に保持された被乗数とから、 部分積生成回路７
０５により複数の部分積が生成される。また 減数変換
回路７０６により、被乗数と乗数とから生成される部分
積と同一の表現形式で、減数ラッチ７０３に保持された
減数の符号反転値が生成される。この表現形弐Ｉｔ，内
部演算に２進数を用いた乗算器では減数の２の補数表現
となり、冗長２進数を用いた乗算器においては冗長２進
数となる。次に このようにして生成された部分積と減
数の符号反転値を、部分積加算回路７０７により、順次
あるいはツリー状に加算して、その結果を乗算結果出力
ラッチ７０８に出力する。したがって、第７図の構或の
乗算器を用いることにより、被乗数と乗数との積から減
数を減算した結果を得ることができる。このような構或
の乗算器を用いれば 前述の平方根演算で一詔一 説明したよう類 暫定平方根Ｙｒから求めたＸｒＹｒ
２と与えられたＸとの差の絶対値の最大値が、与えられ
たＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも大きくな
る場合にＬ 容易６こ）（ｒとＸとの大小関係を判断で
き、添付桁Ｓを求めることができる。すなわ板 第７図
において、被乗数および乗数として共に暫定平方根Ｙｒ
を入力し 減数として与えられたＸを入力する。これに
より、第７図の乗算器のブロック図の出力として、 （
１５）式における△が求められる。すなわ板 Δ ＝Ｙｒ２−Ｘ ＝Ｘｒ−Ｘ （１８） である。このようにして求めたΔにより、第２表を用い
て添付桁Ｓを求めればよ賎 前述したように 添付桁Ｓ
を求めるためにば Δに対して全ての桁が必要なわけで
はなく、第２表からもわかるように２−５０の重みの桁
以下についてのみ正しく計算すれば十分である。また
逆関数の演算は添付桁の生成のみに用いられる。したが
って、第７図における減数ラッチ７０３と減数変換回路
７一ヌー ０６（よ 与えられた値Ｘの全ての桁に対応する桁数を
必要とせず、Δの絶対値とＸとのデータの重なりのある
桁とさらに１桁上位の桁、すなわちこの例では２−６＠
、２−６１および２−ｌｉｐの桁に対応する３桁分のみ
接続すればよ賎 以上説明したように第７図に示したよ
うな構或の乗算器を用いることにより、通常の乗算器で
逆関数Ｙｒ２を求吹 さらに減算器を用いてＸを減算す
る必要がないので、簡単且つ高速に添付桁Ｓの決定が可
能となる。
数を２ビットごとに２、 １、 ０、− １，２のうち
のいずれかの値に変換する。次に この乗数リコード回
路７０４によってリコードされた乗数と、被乗数ラッチ
７０１に保持された被乗数とから、 部分積生成回路７
０５により複数の部分積が生成される。また 減数変換
回路７０６により、被乗数と乗数とから生成される部分
積と同一の表現形式で、減数ラッチ７０３に保持された
減数の符号反転値が生成される。この表現形弐Ｉｔ，内
部演算に２進数を用いた乗算器では減数の２の補数表現
となり、冗長２進数を用いた乗算器においては冗長２進
数となる。次に このようにして生成された部分積と減
数の符号反転値を、部分積加算回路７０７により、順次
あるいはツリー状に加算して、その結果を乗算結果出力
ラッチ７０８に出力する。したがって、第７図の構或の
乗算器を用いることにより、被乗数と乗数との積から減
数を減算した結果を得ることができる。このような構或
の乗算器を用いれば 前述の平方根演算で一詔一 説明したよう類 暫定平方根Ｙｒから求めたＸｒＹｒ
２と与えられたＸとの差の絶対値の最大値が、与えられ
たＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも大きくな
る場合にＬ 容易６こ）（ｒとＸとの大小関係を判断で
き、添付桁Ｓを求めることができる。すなわ板 第７図
において、被乗数および乗数として共に暫定平方根Ｙｒ
を入力し 減数として与えられたＸを入力する。これに
より、第７図の乗算器のブロック図の出力として、 （
１５）式における△が求められる。すなわ板 Δ ＝Ｙｒ２−Ｘ ＝Ｘｒ−Ｘ （１８） である。このようにして求めたΔにより、第２表を用い
て添付桁Ｓを求めればよ賎 前述したように 添付桁Ｓ
を求めるためにば Δに対して全ての桁が必要なわけで
はなく、第２表からもわかるように２−５０の重みの桁
以下についてのみ正しく計算すれば十分である。また
逆関数の演算は添付桁の生成のみに用いられる。したが
って、第７図における減数ラッチ７０３と減数変換回路
７一ヌー ０６（よ 与えられた値Ｘの全ての桁に対応する桁数を
必要とせず、Δの絶対値とＸとのデータの重なりのある
桁とさらに１桁上位の桁、すなわちこの例では２−６＠
、２−６１および２−ｌｉｐの桁に対応する３桁分のみ
接続すればよ賎 以上説明したように第７図に示したよ
うな構或の乗算器を用いることにより、通常の乗算器で
逆関数Ｙｒ２を求吹 さらに減算器を用いてＸを減算す
る必要がないので、簡単且つ高速に添付桁Ｓの決定が可
能となる。
以上の説明で（よ 平方根演算について述べたが、他の
演算についても本発明を用いることにより同様の効果を
得ることができる。また 以上の説明で（よ プースの
りコード方法を用いた乗算器について述べたバ 乗数の
りコードをしなくてもよ賎第８図ＣＬ 第６図に示し
た本発明の演算処理装置をさらに改善した実施例を示す
ブロック図であも 第８図において、８０６は第７図の
説明で述べた乗算器であり、 ８１２は添付桁生成回路
であり、その他の構或要素は第６図の同一番号で示した
ものと同じものであム 第８図の乗算器８０６−５５＝ ４１ 減数としてＸレジスタ６０１に格納されたデー
タを入力することができるように構威されている。また
添付桁生成回路（戴 第６図においては加減算丸め処
理回路６１０の出力を入力するように構或されていたバ
第８図において（数 乗算器８０６の出力を入力する
ように構威されている。
演算についても本発明を用いることにより同様の効果を
得ることができる。また 以上の説明で（よ プースの
りコード方法を用いた乗算器について述べたバ 乗数の
りコードをしなくてもよ賎第８図ＣＬ 第６図に示し
た本発明の演算処理装置をさらに改善した実施例を示す
ブロック図であも 第８図において、８０６は第７図の
説明で述べた乗算器であり、 ８１２は添付桁生成回路
であり、その他の構或要素は第６図の同一番号で示した
ものと同じものであム 第８図の乗算器８０６−５５＝ ４１ 減数としてＸレジスタ６０１に格納されたデー
タを入力することができるように構威されている。また
添付桁生成回路（戴 第６図においては加減算丸め処
理回路６１０の出力を入力するように構或されていたバ
第８図において（数 乗算器８０６の出力を入力する
ように構威されている。
第８図の構或により、第６図の説明で述べた除算の実行
時に 暫定商Ｚｒと除数Ｙの積すなわちＸｒ＝Ｚｒ−Ｙ
と被除数Ｘの大小関係の比較を、加減算丸め処理回路６
１０により減算を行なうことなく、乗算器８０６の結果
Ｘｒの値に対して第１表を用いて判断され 添付桁の生
成ができる。したがって、加減算丸め処理回路６１０で
のＸｒとＸの減算処理を省くことができるので高速に演
算が可能になる。
時に 暫定商Ｚｒと除数Ｙの積すなわちＸｒ＝Ｚｒ−Ｙ
と被除数Ｘの大小関係の比較を、加減算丸め処理回路６
１０により減算を行なうことなく、乗算器８０６の結果
Ｘｒの値に対して第１表を用いて判断され 添付桁の生
成ができる。したがって、加減算丸め処理回路６１０で
のＸｒとＸの減算処理を省くことができるので高速に演
算が可能になる。
まｔ− 第６図の説明で述べた平方根演算の実行時にほ
暫定平方根Ｙｒの平方すなわちＸｒ＝Ｙｒ２と被演算
数Ｘの大小関係の比較判断を、乗算器８０６の被乗数お
よび乗数として共にＹｒを入力しさらに減数としてＸレ
ジスタ６０１に格納されて−郭一 いる被演算数Ｘを入力して演算し その結果に対して表
２を用いて判断することができ、添付桁の生成ができる
。したがって、加減算丸め処理回路６１０でのＸｒとＸ
の減算処理を省くことができるので高速な演算が可能に
なる。
暫定平方根Ｙｒの平方すなわちＸｒ＝Ｙｒ２と被演算
数Ｘの大小関係の比較判断を、乗算器８０６の被乗数お
よび乗数として共にＹｒを入力しさらに減数としてＸレ
ジスタ６０１に格納されて−郭一 いる被演算数Ｘを入力して演算し その結果に対して表
２を用いて判断することができ、添付桁の生成ができる
。したがって、加減算丸め処理回路６１０でのＸｒとＸ
の減算処理を省くことができるので高速な演算が可能に
なる。
発明の効果
以上説明したように 本発明によれば 近似演算によっ
て求めた関数の近似解を丸めた暫定解と真値との大小関
係を容易に判断することができ、これにより、関数の真
値を丸めた場合と同一の結果を簡単且つ高速に求めるこ
とができるという効果を有し 実用的にきわめて有用で
ある。
て求めた関数の近似解を丸めた暫定解と真値との大小関
係を容易に判断することができ、これにより、関数の真
値を丸めた場合と同一の結果を簡単且つ高速に求めるこ
とができるという効果を有し 実用的にきわめて有用で
ある。
第１図は本発明の実施例の処理の流れ阻 第２図は本発
明を説明する数直線は 第３図は本発明を除算に適用し
た処理の流れ＠ 第４図は本発明を平方根演算に適用し
た処理の流れ阻 第５図は本発明の実施例の演算処理装
置を示すブロックは第６図は本発明の他の実施例の演算
処理装置を示すブロック＠ 第７図は本発明の実施例の
乗算器−５７− の構戒を示すブロックは 第８図は本発明の他の実施例
の演算処理装置を示すブロック図である。 １０１，３０１，４０１・・・近似演算処凰 １０２，
１ ０ ９，３ ０ ２，３ ０ ８，４ ０ ２．４
０ ８・・・丸め処凰 １ ０ ３，３ ０ ３，４
０ ３・・・逆関数演算処凰 １０４，１０５，３０
４，４０４・・・比較判断処班 ２００・・・近似解の
取り得る領壊 ２０１・・・真仇５０２・・・関数演算
装ｉＬ６０６．８０６・・・乗算徴５ ０ ５．６ １
０・・・加減算丸め処理装置 ５０７，６１ ２．８
１ ２・・・添付桁生成回廠 ７０５・・・部分積生
成回取 ７０６・・・減数変換回ｌｍ ７０７・・・
部分積加算同胞
明を説明する数直線は 第３図は本発明を除算に適用し
た処理の流れ＠ 第４図は本発明を平方根演算に適用し
た処理の流れ阻 第５図は本発明の実施例の演算処理装
置を示すブロックは第６図は本発明の他の実施例の演算
処理装置を示すブロック＠ 第７図は本発明の実施例の
乗算器−５７− の構戒を示すブロックは 第８図は本発明の他の実施例
の演算処理装置を示すブロック図である。 １０１，３０１，４０１・・・近似演算処凰 １０２，
１ ０ ９，３ ０ ２，３ ０ ８，４ ０ ２．４
０ ８・・・丸め処凰 １ ０ ３，３ ０ ３，４
０ ３・・・逆関数演算処凰 １０４，１０５，３０
４，４０４・・・比較判断処班 ２００・・・近似解の
取り得る領壊 ２０１・・・真仇５０２・・・関数演算
装ｉＬ６０６．８０６・・・乗算徴５ ０ ５．６ １
０・・・加減算丸め処理装置 ５０７，６１ ２．８
１ ２・・・添付桁生成回廠 ７０５・・・部分積生
成回取 ７０６・・・減数変換回ｌｍ ７０７・・・
部分積加算同胞
Claims (13)
- （１）与えられた値Ｘに対して、関数ＦによりＹ＝Ｆ（
Ｘ）を求める演算において、 真値との誤差が最終解に必要な最小有効桁の２桁下位の
桁の大きさより小さい精度で近似解Ｙａを求めるステッ
プと、 最終解の最小有効桁より１桁以上下位で 且つ近似解Ｙ
ａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位の
桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精度で、前記
近似解Ｙａを丸めて近似解Ｙａに最も近い暫定解Ｙｒを
求めるステップと、前記暫定解Ｙｒから関数Ｆの逆関数
Ｆ＾−＾１によりＸｒ＝Ｆ＾−＾１（Ｙｒ）を求めるス
テップと、ＸとＸｒが等しいとき添付桁Ｓを０とし、Ｘ
とＸｒが異なる場合にはＸとＸｒの大小関係から真値Ｙ
と暫定解Ｙｒの大小関係を判断し、真値Ｙが暫定解Ｙｒ
より小さいと判断される場合に添付桁Ｓを−１とし、そ
れ以外のとき添付桁Ｓを１とするステップと、 前記暫定解Ｙｒの最下位桁の１桁下位に前記添付桁Ｓを
加え、所定の丸めを行なって最終解を求めるステップと
を有することを特徴とする演算処理方法。 - （２）与えられた値Ｘに対して、関数ＦによりＹ＝Ｆ（
Ｘ）を求める演算において、 真値との誤差が最終解に必要な最小有効桁の２桁下位の
桁の大きさより小さい精度で近似解Ｙａを求める手段と
、 最終解の最小有効桁より１桁以上下位で、且つ近似解Ｙ
ａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位の
桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精度で、前記
近似解Ｙａを丸めて近似解Ｙａに最も近い暫定解Ｙｒを
求める手段と、 前記暫定解Ｙｒから関数Ｆの逆関数Ｆ＾−＾１によりＸ
ｒ＝Ｆ＾−＾１（Ｙｒ）を求める手段と、 ＸとＸｒが等しいとき添付桁Ｓを０とし、ＸとＸｒが異
なる場合にはＸとＸｒの大小関係から真値Ｙと暫定解Ｙ
ｒの大小関係を判断し、真値Ｙが暫定解Ｙｒより小さい
と判断される場合に添付桁Ｓを−１とし、それ以外のと
き添付桁Ｓを１とする手段と、前記暫定解Ｙｒの最下位
桁の１桁下位に前記添付桁Ｓを加え、所定の丸めを行な
って最終解を求める手段とを有することを特徴とする演
算処理装置。 - （３）近似解Ｙａと暫定解Ｙｒを、逆関数Ｘｒと与えら
れた値Ｘとの差の絶対値の最大値が、与えられたＸの最
小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも小さくなるように
求め、前記Ｘの最小有効桁の重みを持つ逆関数Ｘｒの桁
の１桁以上下位の桁の値を検査して、逆関数ＸｒとＸと
の大小関係を判断し、真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を
判断することを特徴とする特許請求の範囲第１項記載の
演算処理方法。 - （４）近似解Ｙａと暫定解Ｙｒを、逆関数Ｘｒと与えら
れた値Ｘとの差の絶対値の最大値が、与えられたＸの最
小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも小さくなるように
求め、前記Ｘの最小有効桁の重みを持つ逆関数Ｘｒの桁
の１桁以上下位の桁の値を検査して、逆関数ＸｒとＸと
の大小関係を判断し、真値Ｙと暫定解Ｙｒの大小関係を
判断することを特徴とする特許請求の範囲第２項記載の
演算処理装置。 - （５）与えられた値ＸとＹに対して商Ｚ＝Ｘ／Ｙを求め
る除算において、 真値との誤差が最終の商に必要な最小有効桁の２桁下位
の桁の大きさより小さい精度で近似商Ｚａを求めるステ
ップと、 最終の商の最小有効桁より１桁以上下位で、且つ近似商
Ｚａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位
の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精度で、前
記近似商Ｚａを丸めて近似商Ｚａに最も近い暫定商Ｚｒ
を求めるステップと、前記暫定商ＺｒからＹとＺｒの積
Ｘｒ＝Ｙ×Ｚｒを求めるステップと、 ＸとＸｒとの大小関係と、与えられた値ＸとＹの符号と
から 添付桁Ｓを１、０、−１から選択するステップと
、 前記暫定商Ｚｒの最下位桁の１桁下位に前記添付桁Ｓを
加え、所定の丸めを行なって最終商を求めるステップと
を有することを特徴とする演算処理方法。 - （６）与えられた値ＸとＹに対して商Ｚ＝Ｘ／Ｙを求め
る除算において、 真値との誤差が最終の商に必要な最小有効桁の２桁下位
の桁の大きさより小さい精度で近似商Ｚａを求める手段
と、 最終の商の最小有効桁より１桁以上下位で、且つ近似商
Ｚａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁以上上位
の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精度で、前
記近似商Ｚａを丸めて近似商Ｚａに最も近い暫定商Ｚｒ
を求める手段と、 前記暫定商ＺｒからＹとＺｒの積Ｘｒ＝Ｙ×Ｚｒを求め
る手段と、 ＸとＸｒとの大小関係と、与えられた値ＸとＹの符号と
から、添付桁Ｓを１、０、−１から選択する手段と、 前記暫定商Ｚｒの最下位桁の１桁下位に前記添付桁Ｓを
加え、所定の丸めを行なって最終商を求める手段とを有
することを特徴とする演算処理装置。 - （７）近似商Ｚａと暫定商Ｙｒを、積Ｘｒと与えられた
値Ｘとの差の絶対値の最大値が、与えられたＸの最小有
効桁の１桁下位の桁の重みよりも小さくなるように求め
、前記Ｘの最小有効桁の重みを持つ積Ｘｒの桁の１桁以
上下位の桁の値を検査して、積ＸｒとＸとの大小関係を
判断して、添付桁Ｓを生成することを特徴とする特許請
求の範囲第５項記載の演算処理方法。 - （８）近似商Ｚａと暫定商Ｙｒを、積Ｘｒと与えられた
値Ｘとの差の絶対値の最大値が、与えられたＸの最小有
効桁の１桁下位の桁の重みよりも小さくなるように求め
、前記Ｘの最小有効桁の重みを持つ積Ｘｒの桁の１桁以
上下位の桁の値を検査して、積ＸｒとＸとの大小関係を
判断して、添付桁Ｓを生成することを特徴とする特許請
求の範囲第６項記載の演算処理装置。 - （９）与えられた正の値Ｘに対して平方根Ｙ＝Ｘ＾１＾
／＾２を求める平方根演算において、真値との誤差が最
終の平方根に必要な最小有効桁の２桁下位の桁の大きさ
より小さい精度で近似平方根Ｙａを求めるステップと、 最終の平方根の最小有効桁より１桁以上下位で且つ近似
平方根Ｙａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁以
上上位の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精度
で、前記近似平方根Ｙａを丸めて近似平方根Ｙａに最も
近い暫定平方根Ｙｒを求めるステップと、 前記暫定平方根Ｙｒの平方Ｘｒ＝Ｙｒ＾２を求めるステ
ップと、 ＸとＸｒとが等しい場合に添付桁Ｓを０とし、ＸがＸｒ
より小さい場合に添付桁Ｓを−１とし、それ以外のとき
添付桁Ｓを１とするステップと、前記暫定平方根Ｙｒの
最下位桁の１桁下位に前記添付桁Ｓを加え、所定の丸め
を行なって最終平方根を求めるステップとを有すること
を特徴とする演算処理方法。 - （１０）与えられた正の値Ｘに対して平方根Ｙ＝Ｘ＾１
＾／＾２を求める平方根演算において、真値との誤差が
最終の平方根に必要な最小有効桁の２桁下位の桁の大き
さより小さい精度で近似平方根Ｙａを求める手段と、 最終の平方根の最小有効桁より１桁以上下位で、且つ近
似平方根Ｙａの最大誤差より大きい最小重みの桁の１桁
以上上位の桁の範囲のうちいずれかが最下位桁となる精
度で、前記近似平方根Ｙａを丸めて近似平方根Ｙａに最
も近い暫定平方根Ｙｒを求める手段と、 前記暫定平方根Ｙｒの平方Ｘｒ＝Ｙｒ＾２を求める手段
と、 ＸとＸｒとが等しい場合に添付桁Ｓを０とし、ＸがＸｒ
より小さい場合に添付桁Ｓを−１とし、それ以外のとき
添付桁Ｓを１とする手段と、 前記暫定平方根Ｙｒの最下位桁の１桁下位に前記添付桁
Ｓを加え、所定の丸めを行なって最終平方根を求める手
段とを有することを特徴とする演算処理装置。 - （１１）近似平方根Ｙａと暫定平方根Ｙｒを、平方Ｘｒ
と与えられた値Ｘとの差の絶対値の最大値が、与えられ
たＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも小さくな
るように求め、前記Ｘの最小有効桁の重みを持つ平方Ｘ
ｒの桁の１桁以上下位の桁の値を検査して、平方Ｘｒと
Ｘとの大小関係を判断して、添付桁Ｓを生成することを
特徴とする特許請求の範囲第１０項記載の演算処理方法
。 - （１２）近似平方根Ｙａと暫定平方根Ｙｒを、平方Ｘｒ
と与えられた値Ｘとの差の絶対値の最大値が、与えられ
たＸの最小有効桁の１桁下位の桁の重みよりも小さくな
るように求め、前記Ｘの最小有効桁の重みを持つ平方Ｘ
ｒの桁の１桁以上下位の桁の値を検査して、平方Ｘｒと
ｘとの大小関係を判断して、添付桁Ｓを生成することを
特徴とする特許請求の範囲第１１項記載の演算処理装置
。 - （１３）被乗数と乗数と減数とを入力し、前記被乗数と
前記乗数とから複数の部分積を生成する部分積生成手段
と、前記減数から符号反転値を前記部分積と同様の表現
形式で生成して桁合わせする減数変換手段と、前記部分
積生成手段により生成された部分積と前記減数変換手段
により生成された減数の符号反転値を加算して結果を出
力する加算手段とを有することを特徴とする演算処理装
置。
Applications Claiming Priority (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP1-268447 | 1989-10-16 | ||
| JP26844789 | 1989-10-16 |
Publications (2)
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|---|---|
| JPH03206557A true JPH03206557A (ja) | 1991-09-09 |
| JP2938547B2 JP2938547B2 (ja) | 1999-08-23 |
Family
ID=17458636
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|---|---|---|---|
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| EP (2) | EP0723218A3 (ja) |
| JP (1) | JP2938547B2 (ja) |
| KR (1) | KR940010806B1 (ja) |
| DE (1) | DE69030707T2 (ja) |
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| JPH05120320A (ja) * | 1991-10-25 | 1993-05-18 | Oki Electric Ind Co Ltd | 直交変換器 |
| JP2011175433A (ja) * | 2010-02-24 | 2011-09-08 | Ntt Electornics Corp | 演算回路及び方法 |
Also Published As
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|---|---|
| US5313415A (en) | 1994-05-17 |
| JP2938547B2 (ja) | 1999-08-23 |
| KR910008561A (ko) | 1991-05-31 |
| EP0424086B1 (en) | 1997-05-14 |
| EP0723218A3 (en) | 1996-07-31 |
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| EP0424086A3 (en) | 1992-09-09 |
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| DE69030707D1 (de) | 1997-06-19 |
| KR940010806B1 (ko) | 1994-11-16 |
| EP0424086A2 (en) | 1991-04-24 |
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