JPH02113305A

JPH02113305A - スプライン補間方法

Info

Publication number: JPH02113305A
Application number: JP63267827A
Authority: JP
Inventors: Hideaki Kawamura; 川村　英昭; Takao Sasaki; 隆夫佐々木; Toshiaki Otsuki; 俊明大槻
Original assignee: Fanuc Corp
Current assignee: Fanuc Corp
Priority date: 1988-10-24
Filing date: 1988-10-24
Publication date: 1990-04-25
Also published as: US5140236A; EP0394474A1; EP0394474A4; WO1990004818A1

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】〔産業上の利用分野〕本発明はスプライン補間方式に関し、特に与えられた点
列の内の所定の点から近似的にスプライン曲線を補間す
るスプライン補間方式に関する。

〔従来の技術及び発明が解決しようとする課題〕与えら
れ点列を滑らかな曲線で補間する方法として、３次スプ
ライン曲線で補間する方法が広く採用されている。

従来のスプライン補間は次のような方法で行っていた。

（ｉ　ａ）指令された全点列を読み込む。

（ｉｉａ）全点列データを含む連立方程式を作成し、そ
れを解くことによって、各点における１次微分ベクトル
を求める。これは後述のマトリックス式の逆マトリック
スをもとめることによって行う。

（ｉｉｉ　ａ　）上記によって計算された始点における
１次微分ベクトルと第２点の１次微分ベクトルおよび与
えられた始点と第２点の位置を条件として始点と第２点
を結ぶ次のような３次式を求め、この弐のパラメータｔ
を０から１へ変化させながら計算を行い位置を求め補間
を行う。

Ｐ　　（ｔ）＝に、　　む’　　＋に＊　　ｔ”　　±
Ｋ　ｚ　　ｔ　＋　Ｋ　＋（ここで、ｐ　（Ｂは位置を
表すベトクルであり、Ｋ４、Ｋ、　、Ｋ、、Ｋ、は係数
ベクトルである。

（ｉｖａ）同様に第２点と第３点を結ぶ３次式を求め、
補間を行う。

また、別の方法として、（ｉ　ｂ）指令された全点列を読み込む。

（ｉｉｂ）全点列データを含む連立方程式を作成し、そ
れを解くことによって、始点における１次微分ベクトル
と第２点における１次微分ベクトルを求め、それらと始
点および第２点の位置から始点における２次微分ベクト
ルを求める。

（ｉｉｉ　ｂ　）上記によって計算された始点における
１次微分ベクトルと２次微分ベクトルを端点条件として
始点と第２点を結ぶ上記同様の３次式を求め、この式の
パラメータｔを０から１へ変化させながら計算を行い位
置を求め補間を行う。

（ｉｖｂ）上記によって作成された３次式の第２点にお
ける１次微分ベクトルと２次微分ベクトルを端点条件と
して第２点と第３点を結ぶ３次式を求め、同様にその式
のパラメータＬをＯから１へ変化させながら計算を行い
位置を求め補間を行う。

このような手法により、第３点と第４点、第４点と第５
点というように次々と繰り返すことにより、指令された
全ての点列に対して３次式の補間を行うことにより、全
点列に対するスプライン補間をおこなう。

ここで、上記の方法では、全ての指令点列を読み込み計
算をする必要があるため、次の問題があった。

（ａ）無制限に指令点数を増やすことができない。

（ｂ）指令点数が多いとマトリックス計算が膨大なもの
になり、多くのメモリ容量と計算時間を必要とする。

（Ｃ）マトリックス計算において精度の高い計算を行わ
ないと後の指令点において不必要にスプライン曲線が指
令点から離れてしまう。（発散、発振する。）（ｄ）上記のマトリックス計算をプログラマ側が行う場
合は、指令点が４点以上だと事実上人手では不可能であ
り、別の計算装置が必要である。

本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、与
えられた点列の内の所定の点から近似的にスプライン曲
線を補間するスプライン補間方式を提供することを目的
とする。

〔課題を解決するための手段〕

本発明では上記課題を解決するために、与えられた点を
、３次スプライン曲線で補間するスプライン補間方式に
おいて、始点を含む所定数の点から、一次微分ベクトルを求め、前記始点を含む所定の点の座標値、始点の端点条件及び
前記一次微分ベクトルから前記始点と次の点間の３次式
を求めて、前記始点と前記始点に続く点間のスプライン
曲線を求め、前記始点の変わりに新しい次の点を加えて、順次点間の
３次式を求めて、３次スプライン曲線を求めることを特徴とするスプライ
ン補間方式、が提供される。

〔作用〕

始点から最初の所定の点数によって、３次スプライン曲
線を求め、最初の点の変わりに新しい点を追加し、３次
スプライン曲線を求め、順次点間のスプライン曲線を求
めていくことにより、スプライン補間を行う。

これにより、全点列をあらかじめすべて読み込むことな
く前から順に読み込みながら実用上問題のないスプライ
ン曲線が可能になる。

〔実施例〕

以下、本発明の一実施例を図面に基づいて説明する。

ｒ本発明の特徴ｊ最初に、本発明の特徴を述べると、上記（ｉｉａ）の従
来のスプライン曲線の求め方における「全点列から各点
における１次微分ベクトルを求める」ところにおいて、
各点における１次微分ヘクトルには全点列の内その点に
より近い点がより大きな影響を与えることに着目し、全
点列の内のその点により近い点列から近似的にその点の
１次微分ベクトルを求め、３次式を作成してスプライン
補間を行うことである。

また、始点において与えられる条件としては例えば次の
ような方式によって、実際的なスプライン曲線補間がで
きる。

（ａ）任意の点列のみ与えられており、始点での２次微
分ベクトルは０とする。

（ｂ）任意の点列と始点での１次微分ベクトルが与えら
れている。

ｒ本発明の原理ｊ次に本発明の一般的な原理について述べる。

第１図にスプライン曲線すべき点列とスプライン曲線を
示す。点Ｐ、〜ＰＬは点列であり、点Ｐ１は始点、点Ｐ
ｔは終点、点ＰＬ＋Ｉ〜ｐＬ＋ｍ−＋は終点Ｐｔ、近傍
の補間を行うための補助点である。

ｐ　、　ｆ＋１　、、　ｐ　４Ｎ＋　　は各点の１次微
分ベクトル、ＳＣは求めるスプライン曲線である。

（１）１次微分ベクトル全点列Ｐ、〜Ｐ、（ｎ点）を通過する３次スプライン曲
線の各点での１次微分ベクトルは一般に次のようにして
計算する。

スプライン曲線を構成する３次式は一般に、Ｐ　（ｔ）
＝に４　　＋３＋に：ｌ　　ｔ”　＋Ｋｔ　　ｔ＋Ｋｌ
−・−−−一−・−・（１）である。ただし、Ｐ（ｔ）はパラメータしによって変化
する位置ベクトルであり、Ｋａ　、Ｋ３、Ｋ２、Ｋ、は
係数ベクトルである。つまり、ＸＹＺ座標ならばＰ　　（ｔ）　　−（ｘ　　（む　）、　　ｙ　　（Ｌ
）、　　ｚ　　（ｔ））であり、Ｋｉ＝（Ｋｉ、、Ｋｉ
、、Ｋｉ、）　　　（ここで、ｉ＝１．２，３．４）で
ある。また、パラメータ乞は０≦Ｌ≦１とする。

従うで、１次微分ベクトルＰ（１′は次のように表され
る。

Ｐ（１）（ｔ）＝３に、ｔ”　＋２に：＋ｔ＋に２この
時、各点での１次微分ベクトル（ｐ＋１１）は次の方程
式で表される。

（Ａ）ＣＰ”’　　］　＝　（Ｂ）　　　　−−〜−−
−−−−・−・・（３）ここで、１次微分ベクトルのマ
トリックス〔Ｐ（１）〕は、のｎ行×１列のマトリックスであり、ｐ％ｌｌ　〜ｐ　
、、＋１＋はＰ１〜Ｐ、、における１次微分ヘクトルで
ある。

この時、マトリックス（Ａ）及び（Ｂ）は端点条件によ
って次のようになることが一般に知られている。

（ｉ）端点条件１の場合（ａ）始点（ＰＩ　）での２次微分ベクトルが０である
。

（ｂ）終点（Ｐ、）での２次微分ベクトルがＯである。

この時、マトリックス（Ａ）は第４図に示すように、ｎ
行×ｎ列である。また、マトリックスＣＢ）は第５図に
示すように、ｎ行×１列である。

（ｉｉ）端点条件２の場合（ａ）始点（Ｐｌ）における１微分分ベクトルＰ（１）
が与えられている。

（ｂ）終点（Ｐｆｉ）での２微分分ベクトルがＯである
。

この時、マトリックス（Ａ）は第６図に示すようにｎ行
×ｎ列であり、マトリックス（Ｂ）は第７図に示すよう
にｎ行×１列である。

（３式）から、〔Ｐ（１））＝　（Ａ）−’　（Ｂｌとして、（ｐｆｌｌ）を求めることができる。マトリッ
クス（Ａ）−’　　は第８図に表すように、ｎ行×ｎ列
のマトリックスである。

このとき、第８図に示すマトリックス（Ａ）の要素の絶
対値は対角要素（ａ、、、　　ｋ＝１〜ｎ）が大きく、
それから離れるに従って小さくなる。また、この行列は
端点条件によって固定の行列である。

具体的には、端点条件１でｎが５０の場合、第９図の（
５）式に示すマトリックスとなる。また、端点条件２で
ｎが５０の場合第１０図の（６）式に示すマトリックス
となる。

ｒ１次微分ベクトルの近似Ｊ上記の所論から、１微分分ベクトルｐ　、　＋１１を、
Ｐ＋”’＝　　ａｉ＋ｉ−ｋ　＊ｂｔ−ｉ＋　　（ｔ　
　ｋ≧１）十　ａ　　Ｌ　ｉ−にＩｌ　　　＊　　ｂ　
ｉ−に＋＋＋　ａ　ｉ、五　　＊ｂ、　　（対角項）＋
ａ　ｉ＋　１ｏｋ−１”　ｂ　ｉｎｋ十ａｉ＋ｉ＋ｋ　
　＊ｂ、ｏｍ　　（ｌ　　ｋ≦ｎ）・−・−・−一−−
−−（７）と近似することができる。（ｋが大きければ近似の精度
はよくなる。）ここで、ｂ、はマトリックス〔Ｂ〕の第ｉ要素である。

このことから、ＣＢ）の全ての要素を使用することなく
、つまり、全ての点列を必要とすることなくＰ、（１）
を求めることができる。

１３次式の作成と補間」Ｐ、における１微分分ベクトルＰ８（１）が得られれば
、各点Ｐ、とＰ、（１）を（１）式と（２）式に適用す
ることにより次の条件式が得られる。

Ｐ、＝Ｐ、（０）＝Ｋｉ、　　　　　−−−−−−−−
−−（８）Ｐ、（１）＝Ｐ、（１）（０）　　””　Ｋ
　＝　２’−’−・−（９）Ｐｉ、、＝Ｐ、　（１）＝に＋ａ＋に＝ｓ　＋ＫｉＺ＋に＆ｌ−・−・−（１０
）Ｐ、。　（Ｉｌ−ｐｉ（＋１　　（１）＝　３　Ｋｉ
４＋　２　Ｋ、：ｌ＋　）（＝ｚ”−’　（１１）（こ
こで、Ｐｉ　（０）、Ｐｉ　　（１）は　（１）式のＰ
　（ｔ）をＰ、からＰ、。、に適用した場合のＰｉ（Ｌ
）において１＝０とｔ＝１の時の値であり、Ｋ、４、Ｋ
ｉ３、Ｋｉｌ、ＫｉｌはＰ＋（ｔ）における＋３　　　
ｔＺ　　　む５　　む０の係数。また、Ｐ、′１ゝ（０
）、Ｐ、”’　（１）はｐ、（ｔ）の１微分分ベクトル
の１＝０とｔ＝１の時の値。）これらの４式から４個の
係数Ｋｉ４、Ｋｉ３、Ｋ、２、Ｋ、、を求めることがで
きる。

このようにしてＰ、（ｔ）を次々と求めて接続していく
ことによりスプライン曲線を作成する。

この方式によって３次式を求めても、その３次式から得
られるｐ　、　＋１１　およびｐ％２）の理論値に対す
る誤差は累積しないので、（７）式〇ｋを適当にとるこ
とによって誤差を十分小さくできる。

そのため、本方式によるスプライン曲線によって、与え
られた点列から理論的に求められるスプライン曲線との
誤差が拡散することなく実用上問題のないスプライン曲
線を得ることができる。

「具体例」以下に、本方式の１つの具体例として、ある点Ｐ１まで
補間が前進するとその次の点における１微分分ベクトル
ｐ　、＋、　＋１１を求めることによってスプライン曲
線を作成していく場合を示す。

ｒ１番目の３次式の作成ｊ先ず１番目の３次式を作成し補間する。

（ｉ　）　Ｐ　＋　〜Ｐ　ｌｅａ　　（ｍ　＋　１個の
点、ｍは定数であり、ｍ＋１が読み込むバッファ数）を
読み込む。

（ｉｉ）Ｐ＋以降無限点あると考えて（７）式からｐ２
（１１を求める。

（ａ）始点において２次微分ベクトルｐ、（２１−〇の
場合、Ｐ、以降無限点あると考えた場合のマトリックス
も（５）式のマトリックスにほぼ等しいため、（５）式
のマトリックスの２行目を用い、次のようにｐ　２（１
１を計算する。

Ｐｚ”’　　＝０．３０９４０本１０°　＋３（ｐｇ　
−ＰＩ　）＋　　０．３０９４０本ｌＯ°　　＋３　　
（Ｐ、　　−ＰＩ　　）（対角項）０．８２９０４本１０−’＊３　　（Ｐａ　　　　Ｐ２
　）十０．２２２１４＊１０−’＊　３　（Ｐｓ　−Ｐ
３　）＋　　　ａｚ、＋ｓ　　　＋３　　（Ｐａ−＋　
　−Ｐ＋＋＋−１）（ｂ）始点において１次微分ベクト
ルｐ　、　＋１１が与えられている場合、Ｐ、以降無限
点あると考えた場合のマトリックスも（６）式のマトリ
ックスにほぼ等しいため、（６）式のマトリックスの２
行目を用い、次のようにｐ　、　（＋１　を計算する。

Ｐｔ”’　　＝　　　０．２６７９５本１００　　　＊
　　ｐ　、＋１１＋　　０．２６７９５傘１０’　　　
＋３　　（Ｐｆｆ　　−ＰＩ　　）（対角項）０．７１７９７＊１０−’　＊　３　（Ｐ　４　　Ｐ　
ｚ　）＋　　０．１９２３８本１０〜’＊３　　（Ｐｉ
　　　　Ｐ３　　）＋　　　ａｚ＋ｓ　　　＋３　　（
ＰＭ−Ｉ　　　ＰＨ１−１）（ｕ＋）Ｐ＋　　＝Ｐ　　
（０）＝に＋　　　　　−−−−−（１２）端点条件に
よって、次の（ａ）または（ｂ）の条件を使用する。

（ａ）始点において２次微分ベクトルｐ　、　＋２＋　
＝０の場合ｐ％Ｉ＋１＝Ｑつまり２に、＝０・−（１３
）−１（ｂ）始点において１次微分ベクトルＰ１　′１ゝが与
えられている場合ＰＩ”　　＝Ｐ”’　　（０）　　−に、−（１３）−
２Ｐｇ　　＝Ｐ　　（１）　　＝Ｋａ　　＋に３　　±
に、＋Ｋ。

・−（１４）ｐ２　（１１＝ｐＮ）　　（１）＝３に、＋２に！＋に２　　−　（１５）これら（１２
）、　　（１３）、　　（１４）、　　（１５）の４個
の条件式から係数に４、Ｋ、　、Ｋ、、Ｋ、を求め、３
次式を作成し補間する。

「２番目以降の３次式の作成Ｊ次に２番目以降（ｉ番目：　ｉ＞＝２）の３次式を作成
し補間する。

い）Ｐｉ。、を読み込む。（Ｐ、〜Ｐ、。、のｍ＋１点
を読み込んだ状態となる。）（ｉｉ）Ｐ＋以降無限点与えられているスプライン曲線
を考え、この曲線の第２魚目の近似接線ベクトルｐ　、
、、　ｆｌｌ　を（７）式から計算する。

つまり、具体的には（６）弐のマトリクスの２行目を用
いて次のようにＰ、。１（１）　を計算する。

Ｐ、。、Ｌ′ ＝−０，２６７９５＊ｌＯ°＊　ｐ、（＋１＋　０．２
６７９５傘１０°　＋３　　（Ｐ＝＋ｚ−ｐ、）（対角
項） −０，７１７９７本１０　−’　＊　３　　（Ｐ　ｒ−
ｘ　　　　Ｐ　＋。、　）＋　　０．１９２３８ネ１０
　−’＊　　３　　（Ｐｔ＋４−Ｐｉ、２　　）＋　　
　ａＺ＋＠　　　＊　３　　（Ｐｔ、ｍ　−Ｐｉ＋＠−
２）（ｉｉｉ）ＰＩ　＝Ｐ、　（０）＝に＋ｐ、　　＋
１１　　＝ｐ、　　（＋１　　（Ｑ）　＝１（２（Ｐｉ
（１）はＰ、までの３次式で求まっている。）ｐ、、＋　　＝Ｐｉ　　Ｎ）＝Ｋ　４　＋　Ｋ　ｚ　＋　Ｋ　ｚ　＋　ＫＰ　ｉ＋１
　　”’　　−Ｐ　ｉ。　＋１＞　　（１）＝３　Ｋ　
ａ　＋　２Ｋ　ｘ　＋　Ｋ　Ｚこれらの条件式から係数
に４、Ｋ３、Ｋ２、Ｋを求め、３次式を作成し補間する
。

（３）終点ＰＬに達した時は補助点ＰＬ、ＰＬ。１・・
・　、ＰＬ＋＋＊−１を作りながら（２）の手順を操り
返し、ＰＬ−〜ＰＬ間の３次式を順次作成する。

ただし、ＰＬ、ｌＰＬ　＝Ｐｔ＋ｚ　　Ｐｔ＊ｒ　＝・・・・・
・＝ＰＬ−惰−Ｉ　　　ＰＬ＋＊−４ ””　Ｐ　ｔ　　Ｐ　Ｌ−１とする。

ｒフローチャート」第３図に本発明の処理のフローチャートを示す。

図において、Ｓに続く数値はステップ番号を示す。

〔５１）ｉを１にセットする。

（３２）Ｐ、〜Ｐ、１の点を読み込む。読み込む点が終
点を越えているときは、補助点を作成してｍ＋１個の点
にする。

（Ｓ３）ｉ＝１すなわち始点ならＳ４へ、始点以外なら
Ｓ５へいく。

〔Ｓ４〕始点を含めた条件で３次式を作成する。

〔Ｓ５〕始点を含まない条件で３次式を作成する。

〔ＳＯ３作成された３次式の係数を求め、点間を３次式
で補間する。

（Ｓ７）ｉを＋１して、次の点間の３次式の補間に移る
。

（Ｓ８）Ｐｉが終点かしらぺ、終点でなければ、Ｓ２へ
戻り、補間を続行する。

ｒハードウェアの構成ｊ第３図に本発明を実施するための数値制御装置（ＣＮＣ
）のハードウェアの構成を示す。図において、１１は全
体を制御するプロセッサ、１２はスプライン曲線を計算
するコントロールプログラム等が記憶されているＲＯＭ
、１３はスプライン曲線の点の中間データ等が格納され
るＲＡＭ、１４は求められたスプライン曲線、加ニブロ
グラム、パラメータ等が記憶されている不揮発性メモリ
である。１４ａは加ニブログラムである。

１５はＰＭＣ（プログラマブル・マシン・コントローラ
）であり、Ｍ機能、Ｔ機能等の指令を受けて、これらを
工作機械を制御する信号に変換して出力する。Ｍ機能等
はシーケンスプログラム１５ａで処理された後に入出力
回路から機械側の制御回路へ出力される。１６は表示制
御回路であり、ディジタルな信号を表示信号に変換する
。１６ａは表示装置であり、ＣＲＴ、液晶表示装置等が
使用される。１７はキーボードであり、各種のデータを
入力するのに使用される。

１８はサーボモータを制御するための位置制御回路、１
９はサーボモータの速度制御を行うためのサーボアンプ
、２０はサーボモータ、２１は速度帰還のためのタコジ
ェネレータ、２２は位置検出器であり、バルスコーダ、
光学スケール等が使用される。これらの要素は軸数分だ
け必要であるが、ここでは１軸分のみ記載しである。

２３は外部とのディジタル信号の授受を行う入出力回路
であり、工具交換を制御する工具選択信号（Ｔ信号）等
もここから機械側制御回路へ出力される。２４は各軸を
ディジタルに移動させる手動パルス発生器である。

上記の構成ではプロセッサは１個で構成したが、全体を
制御するプロセッサとスプライン曲線を求めるための演
算用プロセッサを設けて、マルチプロセッサ構成するこ
ともできる。また、演算速度を上げるために、コ・プロ
センサ等を追加することもできる。

さらに、数値制御装置以外にも自動プログラム作成装置
を使用して本発明のスプライン補間方式を適用すること
もできる。

〔発明の効果〕

以上説明したように本発明では、与えられた点列の一定
数の点から順次、点間の３次スプライン曲線を求めるよ
うにしたので、補間すべき点が多くなっても、短時間で
実用的なスプライン曲線を得ることができる。

また、端点条件も２微分分ベクトルが０であるとするこ
とにより、端点の条件を与えなくてもスプライン曲線の
補間ができる。

さらに、終点の後に補助点を設けることにより、終点近
傍でも滑らかなスプライン曲線を得ることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図はスプライン曲線の例を示す図、第２図は本発明
のスプライン曲線を求めるための処理のフローチャート
、第３図は本発明を実施するための数値制御装置のブロッ
ク図、第４図はマトリックス（Ａ）の構成を示す図、第５図は
マトリックスＣＢ）の構成を示す図、第６図は他のマト
リックス（Ａ）の構成を示す図、第７図は他のマトリックスＣＢ）の構成を示す図、第８図はマトリックス（Ａ）−’の一般構成を示す図、第９図はマトリックス（Ａ）−’の具体例を示す図、第１０図は他のマトリックス（Ａ）−’の具体例を示す
図である。１　２−−一一−−−−−−・・・ＲＯＭ１３−・−−
−−−−−−一−−−−ＲＡＭｌ　４−−−−−−−−
−・−・−不揮発性メモリ１４　ａ−−−−−−−−−
一加エプログラム１５−・−・〜・−−−−−Ｐ　Ｍ　
Ｃ（プログラマブル・マシン・コントローラ）１５ａ・〜−−−−〜−−−・シーケンスプログラム１
６ａ−・・−・−・・・−・表示装置１７〜・・−−一
一−−−−−キーボードＰ　ｌ’−−−−−−一・−・
−・・−始点ＰＬ−・−・・・−・−・・−終点ＰＬ。１〜−ｍ−・−・補助点ＳＣ・−−−一−−−・−・−・・スプライン曲線特許
出願人　ファナック株式会社代理人　　　弁理士　　脹部毅巖１１−−−−−−−−−−プロセッサ第１図第２図第７図第８図第１０図 −−−（６）氏手続補正書（自発）全文訂正明細書平成１年９旧２狐

Claims

【特許請求の範囲】

（１）与えられた点を、３次スプライン曲線で補間する
スプライン補間方式において、始点を含む所定数の点から、一次微分ベクトルを求め、前記始点を含む所定の点の座標値、始点の端点条件及び
前記一次微分ベクトルから前記始点と次の点間の３次式
を求めて、前記始点と前記始点に続く点間のスプライン
曲線を求め、前記始点の代わりに新しい次の点を加えて、順次点間の
３次式を求めて、３次スプライン曲線を求めることを特徴とするスプライ
ン補間方式。
（２）前記端点条件は始点及び終点の２次微分ベクトル
が０としてスプライン曲線を補間することを特徴とする
特許請求の範囲第１項記載のスプライン補間方式。
（３）前記端点条件は始点での１次微分ベクトルを与え
、終点の１次微分ベクトルを０として、スプライン曲線
を補間することを特徴とする特許請求の範囲第１項記載
のスプライン補間方式。
（４）終点の後に補助点を設けて、終点近傍のスプライ
ン曲線を求めることを特徴とする特許請求の範囲第１項
記載のスプライン補間方式。