WO1990004818A1

WO1990004818A1 - Spline interpolation system

Info

Publication number: WO1990004818A1
Application number: PCT/JP1989/001001
Authority: WO
Inventors: Hideaki Kawamura; Takao Sasaki; Toshiaki Otsuki
Original assignee: Fanuc Ltd
Priority date: 1988-10-24
Filing date: 1989-09-29
Publication date: 1990-05-03
Also published as: EP0394474A4; US5140236A; EP0394474A1; JPH02113305A

Description

明加

スプライン補間方式技術分野

本発明はスプラィン補間方式に関し、特に与えられた点列の内の所定の点から近似的にスプラィン曲線を補間するスプラィン補間方式に闋する。背景技術

与えられた点列を滑らかな曲線で補間する方法として、 3 次スプライン曲線で補間する方法が広く採用されている。従来のスプラィン補間は次のような方法で行っていた。 ( i a ) 指令された全点列を'読み込む。

( ii a ) 全点列データを含む連立方程式を作成し、それを解くことによって、各点における 1次微分べクトルを求める。これは後述のマトリックス式の逆マトリックスを.求めることによって行う。

(iii a ) 上記によって計算された始点における 1次微分べクトルと第 2点の 1次微分べクトルおよび与えられた始点と第 2点の位置を条件として始点と第 2点を結ぶ次のような 3次式を求め、この式のパラメータ tを 0から 1へ変化させながら計算を行い位置を求め補間を行う。

P ( t ) =K₄ t ³ +K₃ t ² +K₂ t +K _I (ここで、 P ( t ) は位置を表すべトクルであり、 K ₄ 、 K ₃ 、 K ₂ 、 K , は係数べクトルである。）

( iv a ) 同様に第 2点と第 3点を結ぶ 3次式を求め、補間を行う。

また、別の方法として、

( i b ) 指令された全点列を読み込む。

( ii b ) 全点列データを含む連立方程式を作成し、それを解くことによって、始点における 1次微分べクトルと第 2点における 1次微分ぺクトルを求め、それらと始点および第 2点の位置から始点における 2次微分べクトルを求める。

( iii b ) 上記によって計算された始点における 1次微分べクトルと 2次微分べクトルを端点条件として始点と第 2点を結ぶ上記同様の 3次式を求め、この式のパラメータ tを 0から 1へ変化させながら計算を行い位置を求め補間を行う。

( iv b ) 上記によって'作成された 3次式の第 2点 ίこおける 1 次微分べクトルと 2次微分べクトルを端点条件として第 2点と第 3点を結ぶ 3次式を求め、同様にその式のパラメータ t を 0から 1へ変化させながら計算を行い位置を求め補間を行う。

このような手法により、 .第 3点と第 4点、第 4点と第 5点というように次々と繰り返すことにより、指令された全ての点列に対して 3次式の補間を行うことにより、全点列に対するスプラィン補間を行う。

ここで、上記の方法では、全ての指令点列を読み込み、計算をする必要があるため、次の問題があった。

( a ) 無制限に指令点数を増やすことができない。 ( b ) 指令点数が多いとマトリッタス計算が膨大なものになり、多くのメモリ容量と計算時間を必要とする。

( c ) マトリックス計算において精度の高い計算を行わないと後の指令点において不必要にスプラィン曲線が指令点から離れてしまう。（発散、発振する。）

( d ) 上記のマトリックス計算をプログラマ側が行う場合は、指令点が 4点以上だと事実上人手では不可能であり、別の計算装置が必要である。発明の開示

本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、与えられた点列の内の所定の点から近似的にスプラィン曲線を補間するスプライン補間方式を提供することを目的とする。

' 本発明では上記課題を解決するために、

与えられた点を、 3次スプライン曲線で補間するスプライン補間方式において、始点を舍む所定数の点から、一次微分べクトルを求め、前記始点を含む所定の点の座標値、始点の端点条件及び前記一次微分べクトルから前記始点と次の点間の 3次式を求めて、前記始点と前記始点に続く点間のスプライン曲線を求め、前記始点の変わりに新しい次の点を加えて、順次点間の 3次式を求めて、 3次スプライン曲線を求めることを特徵とするスプラィン補間方式が、

提供される。

始点から最初の所定の点数によつて、 3次スプライン曲線を求め、最初の点の変わりに新しい点を追加し、 3次スプラィン曲線を求め、順次点間のスプラィン曲線を求めていくことにより、スプライン補間を行う。

これにより、全点列をあらかじめすべて読み込むことなく前から順に読み込みながら実用上問題のないスプライン補間が可能になる。図面の簡単な説明第 1図はスプライン曲線の例を示す図、

第 2図は本発明のスプラィン曲線を求めるための処理のフ π —チヤ一卜、

第 3図は本発明を実施するための数値制御装置のプロック図、

第 4図はマトリックス〔A〕の構成を示す図、

第 5図はマリックス〔B〕の構成を示す図、

第 6図は他のマトリックス〔A〕の構成を示す図、第 7図は他のマトリックス〔 B〕の構成を示す図、第 8図はマトリックス〔A〕 — ¹の一般構成を示す図、第 9図はマトリックス〔·Α〕 — ¹の具体例を示す図、第 1 0図は他のマトリックス〔 Α〕 — 'の具体例を示す図である。発明を実施するための最良の形態以下、本発明の一実施例を図面に基づいて説明する。『本発明の特徵 J 最初に、本発明の特徴を述べると、上記（ ii a ) の従来のスプライン曲線の求め方における「全点列から各点における 1次微分べクトルを求める」ところにおいて、各点における 1次微分べクトルには全点列の内その点により近い点がより大きな影響を与えることに着目し、全点列の内のその点により近い点列から近似的にその点の 1次微分べクトルを求め、 3次式を作成してスプライン補間を行うことである。

また、始点において与えられる条件としては例えば次のような方式によつて、実際的なスプラィン曲線補間ができる。

( a ) 任意の点列のみ与えられており、始点での 2次微分べクトルは 0とする。

( ) 任意の点列と始点での 1次微分べクトルが与えられている。

「本発明の原理」

次に本発明の一般的な原理について述べる。

第 1図にスプライン補間すべき点列とスプラィン曲線を示す。点〜P_L は点列であり、点 P , は始点、点 P _L は終点、点 P _{L+ 1} + は終点 P L 近傍の補間を行うための補助点である。 P , ( 〜P ₄ ^(I) は各点の 1次微分べクトル、 S Cは求めるスプライン曲線である。

( 1 ) 1次微分べクトル

全点列 P , 〜 P _n ( n点）を通過する 3次スプラィン曲線の各点での 1次微分べクトルは一般に次のようにして計算する o スプライン曲線を構成する 3次式は一般

P ( t ) =K + Κ + Κ + Κ

( 1 ) である。ただし、 Ρ ( t ) はパラメータ tによって変化する位置べクトルであり、 K₄ 、 K₃ 、 K₂ 、 κ , は係数べクトルである。つまり、 ΧΥΖ座標ならば、 P ( t ) = ( X ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) であり、 Ki = (Kin, K ， K _{i z}) (ここで、 i = 1， 2， 3 , 4 ) である。また、ノ、。ラメータ tは 0≤ t≤ lとする。

従って、 1次微分べクトル P ⁽¹⁾は次のように表される。

P ^C1) ( t ) = 3 K₄ t ² + 2 K₃ t +K₂

( 2 ) この時、各点での 1次微分べクトル〔P ^u) 〕は次の方程式で表される。 ' ' '

〔A〕 CP ^Cl) = CB] ( 3 ) ここで、 1次微分べクトルのマトリックス〔P ^m 〕は、

CP C I ) 〕

の n行 x 1列のマトリックスであり、 P , い）〜p_n [') は P , 〜 P _n における 1次微分べクトルである。

この時、マトリックス〔 A〕及び〔B〕は端点条件によつて次のようになることが一般に知られている。

( i ) 端点条件 1の場合

( a ) 始点（ P , ) での 2次微分べクトルが 0である。

( b ) 終点（P _n ) での 2次微分べクトルが 0である。この時、マトリックス〔 A〕は第 4図に示すように、 n行 X n列である。また、マトリックス〔 B〕は第 5図に示すように、 n行 X 1列である。

( ϋ ) 端点条件 2の場合

( a ) 始点 ( P , ) における 1次微分ベクトル P ' ^} が与えられている。

( b ) 終点（P _n ) での 2次微分べクトルが 0である。この時、マトリックス〔A〕は第 6図に示すように n行 X n列であり、マトリックス〔B〕は第 7図に示すように n行 X 1列である。

( 3式）力、ら、

〔 P ( 'リ = 〔 A〕 - ¹ 〔B〕

として、〔P ^{( 1 )} 〕を求めることができる。マトリックス〔 A〕 ¹ は第 8図に表すように、 n行 X n列のマトリックスぁ O ₀

このとき、第 8図に示すマトリックス〔 A〕 —'の要素の絶対値は対角要素（ a _k ， _k k = 1〜！ 1 ) が大きく、それから離れるに従って小さくなる。また、この行列は端点条件によって固定の行列である。具体的には、端点条件 1で nが 5 0の場合、第 9図の（ 5 ) 式に示すマトリックスとなる。また、端点条件 2で nが 5 0の場合第 1 0図の（ 6 ) 式に示すマトリックスとなる。

Γ 1次微分べクトルの近似 J

上記の所論から、 1次微分ベクトル P i ^C1) を

P i ^t,} = a i, i-_k * b i__k ( i - k≥ 1 )

+ a - k + I * b k + 1

+ a i, i * b (対角項）

+ a i, i + k - I 水 b i + k - I

+ a i_{T i + k} * b _{i + k} ( i + k≤ n )

( 7 ) と近似することができる。（kが大きければ近似の精度はよくなる。）

ここで、 b i はマトリックス〔B〕の第 i要素である。このことから、〔B〕の全ての要素を使用することなく、つまり、全ての点列を必要とすることなく P i ⁾ を求めることができる。

Γ 3次式の作成と捕間 J

P i における 1次微分べクトル P i ^(|) が得られれば、各点 P i と P i ") を（ 1 ) 式と（ 2 ) 式に適用することにより次の条件式が得られる。 P i = P i . ( 0 ) = K i, ( 8 )

P i ^(I) = P i ^(I) ( 0 ) = K _{i 2} ( 9 ) P _{i +1} = P i ( 1 )

= K _{i 4}+ K i3+ K i₂+ K _{i l} ( 1 0 ) P _{i + 1} ^c') = P i ( 1 )

= 3 K i 4 + 2 K _i3+ K _i2 ( 1 1 ) (ここで、 P i ( 0 ) , P i ( 1 ) は（ 1 ) 式の P ( t ) を P i から P _{i + 1} に適用した場合の P i ( t ) において t = 0 と t = 1の時の値であり、 K _{I 4}、 K _{I 3}、 K _{I 2}、 K Hは P i ( t ) における t ³ 、 t ² 、 t ¹ 、 t ° の係数。また、 P i ^c, ( 0 ) 、 P i ^(,) ( 1 ) は P i ( t ) の 1次微分べクトルの t = 0 と t = 1の時の値。）

これらの 4式から 4個の係数 K _{I 4}、 K _{I 3}、 K _{I 2}、 Κ を求めることができる。

このようにして P i ( t ) を次々と求めて接続していくことによりスプライン曲線を作成する。

この方式によって 3次式を求めても、その 3次式から得られる P i ⁽¹⁾ および P i ⁽²⁾ の理論値に対する誤差は累積しないので、（ 7 ) 式の kを適当にとることによって誤差を十分小さくできる。そのため、本方式によるスプライン曲線によって、与えられた点列から理論的に求められるスプライン曲線との誤差が拡散することなく実用上問題のないスプラィン曲線を得ることができる。

『具体例 J 以下に、本方式の 1つの具体例として、ある点 P i まで補間が前進するとその次の点における 1次微分べクトル P _{i + 1}

^C1) を求めることによってスプライン曲線を作成していく場合を示す。

Γ 1蕃目の 3次式の作成 J

先ず 1審目の 3次式を作成し補間する。

( i P i P m (m+ 1個の点、 mは定数であり、 m + 1が読み込むバッファ数）を読み込む。

(ii) P t 以降無限点あると考えて（7) 式から P₂ ^c,) を求める。

( a ) 始点において 2次微分ベクトル P , ^C2) = 0の場合- P . 以降無点あると考えた場合のマトリックスも（ 5 ) 式のマトリックスにほぼ等しいため、（ 5 ) 式のマトリックスの 2行目を用い、次のように P ₂ ⁽¹⁾ を計算する。

Ρ₂ ^(Π =- 0.30940*10° * 3 (Ρ ₂ — Ρ , )

+ 0.30940*10° * 3 (Ρ 3 - P i )

(対角項）

一 0.82904*10 -¹* 3 (P ₄ - P ₂ )

+ 0.22214*10 -¹* 3 (P ₅ - P ₃ )

+ a ₂, _m * 3 ( P _m+1 - P )

( b ) 始点において 1次微分べクトル P _t ⁽¹) が与えられている場合、 P , 以降無限点あると考えた場合のマトリックスも（ 6 ) 式のマトリックスにほぼ等しいため、（ 6 ) 式のマトリックスの 2行目を用い、次のように P ₂ (') を計算すな ο

P ₂ (') =— 0.26795*10° * P , ⁽¹⁾

+ 0.26795*10° * 3 ( P ₃ - P . )

(対角項）

- 0.71797*10 3 ( P ₄ — P ₂ )

+ 0.19238*10 -' * 3 ( P ₅ - P ₃ )

+ a 2, _m * 3 ( P _m+i - P _m -. )

( iii ) P . = P ( 0 ) = K . ( 1 2 ) 端点条件によって、次の（ a ) または（ b ) の条件を使用する。

( a ) 始点において 2次微分べクトル P , (²⁾ = 0の場合 P , (²) = 0つまり 2 K ₃ = 0 ( 1 3 ) - 1 ( b ) 始点において 1次微分ベクトル P , ⁽¹⁾ が与えられている場合

P , (') = p (リ ( 0 ) = K ₂ ( 1 3 ) - 2

Ρ 2 = Ρ ( 1 ) = Κ 4 + Κ 3 + Κ 2 + Κ , ( 1 4 ) Ρ ₂ (') = Ρ い） ( 1 )

= 3 Κ ₄ + 2 Κ ₃ + Κ ₂ ( 1 5 ) これら（ 1 2 ) ，（ 1 3 ) , ( 1 4 ) , ( 1 5 ) の 4個の条件式から係数 Κ ₄ 、 Κ ₃ 、 Κ ₂ 、 Κ , を求め、 3次式を作成し補間する。「 2審目以降の 3次式の作成 J 次に 2蕃目以降（ ί審目： i >= 2 ) の 3次式を作成し補間する。

( i ) P _{i + m} を読み込む。（P i 〜 P _{i + m} の m+ 1点を読み込んだ状態となる。）

( ii ) P i 以降無限点与えられているスプラィン曲線を考え. この曲線の第 2点目の近似接線ベクトル P _{i + l} ⁽ⁿ を（7 ) 式から計算する。 P ί 以降無限点あると考えた場合のマトリックスも（ 6 ) 式のマトリックスにほぼ等しいため、具体的には（ 6 ) 式のマトリックスの 2行目を用いて次のように Ρ i₊i ^Cl) を計算する。

P _{i +1} ⁽¹⁾ =— 0.26795*10°* P i ⁽¹⁾

+ 0.26795*10° * 3 (P _{i + 2} -P i )

(対角項）一 0.71797*10 -¹ * 3 ( P _{i + 3} — P _{i + 1} ) + 0.19238*10 -¹* 3 (P _{i + 4} — P _{i + 2} )

+ a ₂, _m 氺 3 ( P _{i + m} — P i + m - 2 ノ ( iii ) P i = P i ( 0 ) =K ,

P i ^c,) = P i ^C1) (0 ) =K₂

(P i ^C1) は P i までのスプライン曲線で求まつている。）

P _{i + 1} =P i ( 1 )

=Κ₄ +Κ₃ +Κ₂ + Κ ,

Ρ _{i +} =Ρ _i+, ^C1) ( 1 )

= 3 Κ 4 + 2 Κ 3 + Κ₂ これらの条件式から係数 κ₄ 、 Κ₃ 、 Κ₂ 、 Κ , を求め、

3次式を作成し補間する。

( 3 ) 終点に達した時は補助点、 P _{L+ 1} 、 · · · 、 P _{L + m} -, を作りながら（ 2 ) の手順を繰り返し、 P _L— _m 〜 P L 間の 3次式を順次作成する。

ただし、

P L₊. - P L = P L _{+ 2} - P L ₊ . =

- P _{L + m} -, - P m - 2

= P L - P L - ,

とする。

「フローチャート」

第 2図に本発明の処理のフローチャートを示す。図において、 Sに続く数値はステップ番号を示す。

〔 S 1〕 i を 1 にセットする。

〔 S 2〕 P i 〜 P _{i +m} の点を読み込む。読み込む点が終点を越えているときは、補助点を作成して m+ 1個の点にする。〔 S 3〕 i = 1すなわち始点なら S 4へ、始点以外なら S 5 へいく。

[ S 4 ] 始点を含めた条件で 3次式を作成する。

〔 S 5〕始点を含まない条件で 3次式を作成する。

〔 S 6〕作成された 3次式の係数を求め、点間を 3次式で補間する。

〔 S 7〕 i を + 1 して、次の点間の 3次式の補間に移る。

〔 S 8〕 P i が終点かしらべ、終点でなければ、 S 2へ戻り - 補間を続行する。

Γハードゥエァの構成 J

第 3図に本発明を実施するための数値制御装置（C N C ) のハードウヱァの構成を示す。図において、 1 1 は全体を制御するプロセッサ、 1 2はスプライン曲線を計算するコント πールプログラム等が記憶されている R O M、 1 3 はスプラィン曲線の点の中間データ等が格納される R A M、 1 4は求められたスプライン曲線、加工プログラム、パラメータ等が記憶されている不揮発性メモリである。 1 4 aは加工プログフムある o

1 5 は P M C (プログラマブル · マシン - コントローラ）であり、 M機能、 T機能等の指令を受けて、これらを工作機械を制御する信号に変換して出力する。 M機能等はシーゲンスプログラム 1 5 aで処理された後に入出力回路から機械側の制御回路へ出力される。 1 6 は表示制御回路であり、ディジタルな信号を表示信号に変換する。 1 6 aは表示装置であ. り、 C R T、液晶表示装置等が使用される。 1 7 はキーボードであり、各種のデータを入力するのに使用される。

1 8はサーボモータを制御するための位置制御回路、 1 9 はサーボモータの速度制御を行うためのサーボアンプ、 2 0 はサーボモータ、 2 1 は速度帰還のためのタコジェネレータ、 2 は位置検出器であり、パルスコーダ、光学スケール等が使用される。これらの要素は軸数分だけ必要であるが、ここでは 1軸分のみ記載してある。 2 3は外部とのディジタル信号の授受を行う入出力回路であり、工具交換を制御する工具選択信号（T信号）等もここから機械側制御回路へ出力される。 2 4 は各軸をディジタルに移動させる手動パルス発生器である。

上記の構成ではプロセッサは 1個で構成したが、全体を制御するプロセッサとスプライン曲線を求めるための溃算用プ口セッサを設けて、マルチプロセッサを構成することもできる。また、演算速度を上げるために、コ · プロセッサ等を追加することもできる。

さらに、数値制御装置以外にも自動プログラム作成装置を使用して本発明のスプライン補間方式を適用することもでき o

以上説明したように本発明では、与えられた点列の一定.数の点から順次、点間の 3次スプライン曲線をめるようにしたので、補間すべき点が多くなつても、短時間で実用的なスプライン曲線を得ることができる。

また、端点条件も 2次微分べクトルが 0であるとすることにより、端点つまり始点の 1次微分べクトルの条件を与えなくてもスプライン曲線の補間ができる。

さらに、終点の後に補助点を設けることにより、終点近傍でも滑らかなスプライン曲線を得ることができる。

Claims

請求の範囲

1 . 与えられた点を、 3次スプライン曲線で補間するスプラィン補間方式において、

始点を含む所定数の点から、一次微分べクトルを求め、前記始点を含む所定の点の座標値、始点の端点条件及び前記一次微分べクトルから前記始点と次の点間の 3次式を求めて、前記始点と前記始点に続く点間のスプラィン曲線を求め、前記始点の代わりに新しい次の点を加えて、順次点間の 3 次式を求めて、

3次スプライン曲線を求めることを特徴とするスプラィン補間方式。

2 . 前記端点条件は始点及び点の 2次微分べクトルが 0 としてスプライン曲線を補間することを特徵とする特許請求の範囲第 1項記載のスプラィン補間方式。

3 . 前記端点条件は始点での 1次微分ベクトルを与え、終点の 2次微分べクトルを 0 として、スプライン曲線を補間することを特徵とする特許請求の範囲第 1項記載のスプラィン補間方式。

4 . 終点の後に補助点を設けて、終点近傍のスプライン曲線を求めることを特徵とする特許請求の範囲第 1項記載のスプライン補間方式。