JP4282186B2

JP4282186B2 - めっき解析方法

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Publication number: JP4282186B2
Application number: JP33015999A
Authority: JP
Inventors: 賢治天谷; 繁青木; 松甫宮坂
Original assignee: Ebara Corp
Current assignee: Ebara Corp
Priority date: 1999-11-19
Filing date: 1999-11-19
Publication date: 2009-06-17
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Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、電解めっきにおけるめっき膜の成長速度分布を予測し、均一なめっき厚さ分布を得るための、コンピュータを用いた解析方法に関するものであり、特に、半導体ウエハ上への配線を目的とした、金属のめっき速度分布の解析に好適な方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
めっき問題、あるいは腐食問題のように、アノードおよびカソードが電解質を介して電池を構成し、電解質内に電位場を形成するような系において、系内の電位および電流密度分布を予測するために、境界要素法、有限要素法または差分法などを適用し、コンピュータを用いて数値解析を行う試みがなされている。
この解析は、電解質内の電位がラプラス方程式に支配されること、アノードおよびカソード表面での電位および電流密度は、アノードおよびカソードがその電解質に浸漬したときの反応によって決まる分極曲線（電位と電流密度の関係を示す非線形の関数で、実験的に求められる）という電気化学的特性に支配されること、電流密度は、電位勾配と電解質の電気伝導度の積で表されること、などを利用して行われる。
【０００３】
電解めっきにおいては、解析されたカソード電流密度から、ファラデーの法則を用いて、カソード上へ付着する金属のめっき速度を計算することができる。従って、上記の数値解析によって、めっき槽の構造、めっき液の種類、アノードおよびカソードの材料の種類などの条件に応じて、事前にめっき速度分布を予測することができ、めっき槽の合理的な設計を行うことが可能となる。
近年、半導体集積回路の配線に電解めっきにより形成した銅を利用することが試みられている。この場合には、図１（ａ）に示すように、半導体ウエハＷ上のＳｉＯ_２などの層間絶縁膜１の表面に、エッチングによって配線用の微細な溝２が形成され、この溝２内に配線材料である銅が電解めっきによって埋め込まれる。そして、銅とＳｉＯ_２膜の間の相互拡散を防ぐため、ＳｉＯ_２膜表面にはあらかじめＴａＮなどのバリア層３がスパッタリングなどの方法で形成される。ＳｉＯ_２およびＴａＮは絶縁体あるいは高抵抗体であるため、電解めっきのための導体および電極のはたらきをする銅の薄膜（シード層と呼ぶ）４がＴａＮ上にスパッタリングなどの方法で形成される。
【０００４】
あらかじめ形成された銅のシード層４は数十ｎｍ程度のきわめて薄いものであるために、銅のシード層を電流が流れる際に、銅のシード層の抵抗によってシード層内で電位勾配が生じてしまう。従って、図１のような配置でめっきがなされた場合には、周辺ほど電流が流れ易いため、図中の実線５で示すように外周側で厚く、内周側で薄いめっき厚の不均一が生じてしまう。また、図１（ｂ）に示すように、微細孔または微細溝へ、めっきによって金属例えば銅を埋め込む場合には、銅のシード層の抵抗によってシード層内で電位勾配が生じ孔または溝の入口近くでめっき速度が大きくなり、孔または溝の内部に銅の空孔部等の欠陥が生じる結果となる。ちなみに、溝の入口近くでの優先的なめっきの成長速度を抑え、内部欠陥の発生を防ぐために、反応を抑制するための添加剤が利用される。
【０００５】
従来のめっき解析法の多くは、電位勾配が生じるのは電解質内のみを考えており、アノードおよびカソードの抵抗は極めて小さく無視できるとされてきた。しかしながら、半導体ウエハ上での電解めっきの電流密度分布及び電圧分布を解析する場合には、電極側の抵抗が無視できないため、それを考慮に入れることが必要になってくる。
電極側の抵抗を考慮にいれためっき解析方法としては、有限要素法で試みた例がある。この方法では、めっき液領域内部を要素分割し、これら要素にはめっき液の抵抗条件を入れ、また抵抗のある電極を堆積要素として要素分割し、これらの要素には電極の抵抗条件を入れ、さらに、電極（主にカソード）表面の、めっき液に接する位置に過電圧要素と呼ばれる要素を新たに作りだし、この要素には電極の分極抵抗の条件を入れ、全体を一つの領域として有限要素法で解析を行っている。堆積要素はめっき被膜に相当し、めっきスタート時の厚さはゼロで、その後は経過する時間毎に計算された電流密度から求められる膜厚を積算して、その数値を厚さとして取扱っている。
数値計算によって、あるいは経験則に基づいて、適切なめっき槽の構造および電極の配置が考案されている。めっき速度を均一化するためには、例えば、周辺部への電流の集中をさけるためにめっき液の中に遮蔽板を配置する方法が提案され、試みがなされているが、十分な効果が得られず、また遮蔽版の設計に関する合理的な手法も、現時点では見当たらないのが実情である。
【０００６】
めっきおよび腐食・防食問題のように、材料表面での電位および電流密度分布が重要な問題の解析には、内部の要素分割を必要としない境界要素法が有利であることは一般に指摘されている。そして、電極の抵抗を考慮する必要のないめっき問題の解析には境界要素法が適用され、既にその有効性が確認されている。しかしながら、電極の抵抗を考慮する必要のあるめっき問題に対して境界要素法が適用され得ることは知られていない。
上述したように、電極の抵抗を考慮する必要のあるめっき問題に対して有限要素法が適用されているが、有限要素法は、内部の要素分割まで行う必要があるため、要素数が膨大なものになり、要素分割と解析に長時間を要するという問題がある。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】
本発明は、上述した事情に鑑みて為されたもので、電極の抵抗を考慮する必要のあるめっき問題に対して、効率的に電流密度及び電位分布を得ることができるめっき解析方法を提供することを目的とする。また、カソードの外周部近くに集中しがちな電流を均一にして、めっき速度を均一化するためのめっき槽の構造を最適化するめっき解析方法を提供することを目的とする。
【０００８】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、アノード及び／又はカソードの抵抗が無視できない系での電解めっきにおいて、めっき液を含む領域に対しては３次元ラプラス方程式を支配方程式として与え、これを境界要素法で離散化し、アノード及び／又はカソード内部の領域に対しては、平面または曲面を扱う２次元又は３次元のポアソン方程式を支配方程式として与え、これらを境界要素法または有限要素法で離散化し、それらを連立させ、系内の電流密度および電位分布を算出することを特徴とするめっき解析方法である。
【０００９】
これにより、アノード、及び又はカソードの内部の領域に対して、その抵抗を考慮してポアソン方程式により与えるようにしたので、めっき液内部の３次元ラプラス方程式の領域との整合性が取れる。従って、アノード、及び又はカソードの抵抗分の影響を考慮しつつ、めっき液内部領域の要素分割を必要としないので、要素分割及び解析に要する時間を大幅に短縮することができる。それ故、本発明によれば、アノード、及び又はカソードの抵抗分の影響を踏まえためっき槽内部の電流密度及び電位分布を正確に且つ効率的にシミュレーションすることができる。
【００１０】
請求項２に記載の発明は、アノード、及び／又はカソード内部の領域に対しては、アノード、及び／又はカソードの電気伝導度または抵抗を時間の関数として与えることを特徴とするめっき解析方法である。これにより、例えばカソードであるめっき対象の半導体ウエハに時間の経過とともにめっき膜が被着して、この抵抗値分布が変化しても、その時の状態をシミュレーションすることが可能となる。
【００１１】
請求項３に記載の発明は、アノードを２つ以上に分割し、カソード表面の電流密度分布を均一にするような、それぞれのアノードに流す最適な電流値を算出し、めっき速度を均一化することを特徴とするめっき解析方法である。これにより、半導体ウエハの全面にわたって均一な厚さのめっき膜を被着させるめっき槽の構造及びアノード分割形状、電流の供給方法などをシミュレーションすることができる。
【００１２】
請求項４に記載の発明は、それぞれのアノードに流す最適な電流値を時間毎に計算して与え、めっき速度を均一化することを特徴とするめっき解析方法である。これにより、時間の経過と共にめっき膜が厚く被着しても、ウエハ全面に均一な電流密度分布が得られ、均一なめっき膜厚が得られるようにシミュレーションすることができる。
【００１５】
請求項５に記載の発明は、アノード、及び／又はカソードの抵抗が無視できない系での腐食および防食において、電解質を含む領域に対しては３次元ラプラス方程式を支配方程式として与え、これを境界要素法で離散化し、アノード、及び／又はカソード内部の領域に対しては、平面または曲面を扱う２次元又は３次元のポアソン方程式を支配方程式として与え、これらを境界要素法または有限要素法で離散化し、それらを連立させ、系内の電流密度および電位分布を算出することを特徴とする腐食及び防食の解析方法である。これにより、腐食及び防食の解析に本発明を同様に利用することができる。
【００１６】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態について、添付図面を参照しながら説明する。
【００１７】
以下、ウエハ上に銅配線を行うための銅めっきの例について述べる。ウエハ表面の絶縁膜の上にあらかじめ形成されたＴａＮなどのバリア層、およびＣｕシード層を、抵抗を持つカソードとして扱う。通常、アノードとして用いられるめっき源である銅板は十分な厚さを持つため、その抵抗を無視して扱う。カソードは細かい凹凸を有するが、ここではウエハ面上のマクロなめっき速度を求めることを前提として、まず、ウエハ表面を巨視的には凹凸がない面とみなす。また、カソード内の電流密度および電気伝導度はウエハ表面を平面と見なして各要素の平均値として与える。めっきが開始されると時間の経過とともにカソードの厚みは変化してくるが、めっき速度の不均一は初期（時間ゼロ）の電流密度の不均一によって支配されるため、この解析ではまず初期の電流密度分布を求める。
【００１８】
一般に、初期（時間ゼロ）におけるカソードの抵抗は均一である場合が多く、この場合には、カソードの支配方程式であるポアソン方程式の離散化は境界要素法によって行う。初期（時間ゼロ）におけるカソードの抵抗が不均一である場合には、ポアソン方程式の離散化は有限要素法によって行い、各要素に異なった抵抗値を境界条件として与える。カソードの抵抗が均一であっても、カソードが曲面である場合は、同じくポアソン方程式の離散化は有限要素法によって行う。以下の説明において、アノードを厚い銅板として電気抵抗を無視して扱うが、抵抗を無視できない場合には、カソードと同様の扱いをすることによって解析を行うことができる。
【００１９】
図２に示すように、めっき槽内の溶液の示す領域をΩとし、Ω内における電位をφとする。通常の電気化学の問題では、ある参照電極に対する電位Ｅを用いるが、本実施例においてはカソード内のある基準点に対する溶液内の任意の点の電位をφとして、また、この基準点に対するアノードおよびカソード内の任意の点の電位をそれぞれφ_ａおよびφ_ｃとして用いる。金属（アノードおよびカソード）表面のごく近傍を除けば、φはΩ内で次のLaplace方程式を満足する。
▽^２φ＝０（１）
金属表面のごく近傍の複雑な挙動は、金属表面における金属と溶液間の電位ギャップとして分極曲線の中に取り込み、境界条件として取り扱う。金属表面に電極配線用の狭い溝が多数存在していても、溝の幾何学的形状を考慮せずに、巨視的な（溝の影響を一括して含む）分極曲線を測定しておき、これを境界条件として用いる。
【００２０】
従って、上式の境界条件を次式で与える。
φ＝φ_０ Γ_ｄ上で（２）
ｉ（≡κ∂φ／∂ｎ）＝ｉ_０ Γ_ｎ上で（３）
−（φ−φ_ａ）＝ｆ_ａ（ｉ） Γ_ａ上で (４)
−（φ−φ_ｃ）＝ｆ_ｃ（ｉ） Γ_ｃ上で（５）
ここで、ΩはΓ_ｄ＋Γ_ｎ＋Γ_ａ＋Γ_ｃ（≡Γ）で囲まれているとし、Γ_ｄおよびΓ_ｎはそれぞれ電位φおよび電流密度ｉが指定された境界（φ_０およびｉ_０はそれぞれ指定された値）であり、Γ_ａおよびΓ_ｃはそれぞれアノードおよびカソード表面を表す。κは溶液の電導度である。∂／∂ｎは外向き法線方向であり、物体表面を通して溶液に流れ込む電流値を正としている。ｆ_ａ（ｉ）およびｆ_ｃ（ｉ）はそれぞれアノードおよびカソードの巨視的な分極曲線を表す一般に非線形の関数であり、実験により求める。
【００２１】
アノードは厚い銅板であるからその電気抵抗が無視できるので、アノード内の電位φ_ａは一定と仮定することができる。しかし、アノードに供給される電流量Ｉ_０が指定される場合にはφ_ａの値は未知であるので、式（４）に次式を補う必要がある。
【数１】

複数のアノードを用いる場合は各アノード毎にそれらの中の電位は一定と仮定し、各アノード毎に上式に相当する式を用いる。
【００２２】
実際の工程では、シリコンウェハ表面のＳｉＯ_２絶縁膜上に薄い窒化タンタル（ＴａＮ）等のバリヤ層およびＣｕシード層をスパッタリングなどの方法で作成し、この上に銅めっきを施す。この際のカソード内、即ち、バリヤ層およびシード層の電気抵抗が無視できないので、カソードの電位φ_ｃはカソード内の電流密度
ｉ_ｃ＝（ｉ_ｃｘ，ｉ_ｃｙ）
に依存する。ここで、シリコンウェハ上にｘ軸とｙ軸を持つ直角座標系０−ｘｙを用い、ｉ_ｃｘおよびｉ_ｃｙはそれぞれ電流密度ｉ_ｃのｘ方向成分およびｙ方向成分を表す。
【００２３】
シリコンウェハの表面は、狭い溝が多数存在しても、巨視的には平面と見做す。カソード内の電流密度および電気伝導度（又は膜厚）は巨視的な（表面を平面と見做した場合の等価的な）値として与える。従って、カソード内の電流密度ｉ_ｃ［Ａ／ｍ^２］を次のように定義する。
ｉ_ｃ＝−（ｔ_ｓκ_ｓ＋ｔ_ｐκ_ｐ）▽_２（φ_ｃ）（７）
ここで、ｔ_ｓおよびκ_ｓはそれぞれＴａＮバリヤ層の厚さ［ｍ］および電気伝導度［Ω^−１ｍ^−１］であり、ｔ_ｐおよびκ_ｐはそれぞれＣｕシード層の厚さ［ｍ］および電気伝導度［Ω^−１ｍ^−１］である。▽の下添字２は（ｘ−ｙ面内の）２次元の演算子であることを示す。尚、ＳｉＯ_２絶縁膜の電気抵抗は大きいので、その中の電流密度は無視できると仮定する。
【００２４】
溶液からカソードの表面へ電流（−ｉ）が流入しているとすると、カソード内の微小領域における電荷の保存則より、次式が得られる。
ｄｉｖ_２（ｉ_ｃ）＋ｉ＝０（８）
式（７）および（８）より、次式がカソード内の支配方程式となる。
（ｔ_ｓｋ_ｓ＋ｔ_ｐκ_ｐ）▽^２ _２（φ_ｃ）＝ｉ（９）
めっき速度はカソード表面上の電流（ｉ）に比例するので、式（１）-（５）と（６）および（９）を連立させてｉについて解けば、めっき速度の分布形状を知ることができる。
【００２５】
式（１）に対する境界条件積分方程式は次式となる。
【数２】

ここで、ｘおよびｙはそれぞれ観測点およびソース点の位置ベクトルであり、基本解φ^＊およびｉ^＊はそれぞれ次式で与えられる。
φ^＊（ｘ，ｙ）＝１／４πｒ（１１）
ｉ^＊（ｘ，ｙ）＝κ∂φ^＊（ｘ，ｙ）／∂ｎ（１２）
ただし、
ｒ＝｜ｒ｜＝｜ｘ−ｙ｜
であり、ｎは観測点ｘにおける境界外向き単位法線ベクトルを表す。
【００２６】
式（１０）に境界条件（２）および（３）を代入し、離散化すると次式が得られる。
［Ｈ］｛φ｝＝［Ｇ］｛ｉ｝（１３）
ここで、［Ｈ］および［Ｇ］はΓと要素の形状に依存する既知マトリックスであり、｛φ｝および｛ｉ｝はそれぞれ各節点におけるφおよびｉの値を成分とするベクトルである。この式は、境界条件（４）の中のφ_ａおよび式（５）の中のφ_ｃが未知であるので、このままでは解けない。そこで、まず、アノード面における境界条件を考える。式（４）と（６）を離散化すると次の二つの式が得られる。
｛φ｝_ａ＝｛φ_ａ｝_ａ＋｛−ｆ_ａ（ｉ）｝_ａ（１４）
｛Ａ｝^Ｔ _ａ｛ｉ｝_ａ＝Ｉ_０（１５）
ここで、｛｝_ａはアノード面（Γ_ａ）上の節点における値を成分とするベクトルである。Ａは要素面積であり、｛｝^Ｔは転置を表す。（簡単のために、一定要素の場合の式を示したが、一般の要素の場合でも容易に離散化できる。）
｛φ_ａ｝_ａの各成分は同じ一定の値φ_ａとなっていること、および｛ｉ｝_ａは式（１３）における｛ｉ｝の一部となっていることに注意を要する。
【００２７】
次に、カソード面における境界条件について考察する。式（９）に対する境界積分方程式は次式となる。
【数３】

ここで、γはカソード面Γ_ｃを囲む曲線であり、太字でないｉ_ｃはγから流入する電流密度（≡（ｔ_ｓκ_ｓ＋ｔ_ｐκ_ｐ）∂φ_ｃ／∂ｎ_２））である。∂／∂ｎ_２は２次元問題の外向き法線微分である。
【００２８】
二次元問題の基本解φ^＊ _２およびｉ^＊ _２はそれぞれ次式で与えられる。
【数４】

式（１５）を離散化すると次式が得られる。
［Ｈ_２］｛φ_ｃ｝＝［Ｇ_２］｛ｉ_ｃ｝＋［Ｂ_２］｛ｉ｝_ｃ（１９）
ここで、［Ｈ_２］［Ｇ_２］および［Ｂ_２］はγと要素の形状に依存する既知マトリックスであり、｛φ_ｃ｝_γおよび｛ｉ_ｃ｝はそれぞれγ上の各節点におけるφ_ｃおよびｉ_ｃの値を成分とするベクトルである。
【００２９】
｛｝はカソード面（Γ）上の節点における値を成分とするベクトルを表わし、境界γのある部分ではｉ_ｃが、その他の部分ではφ_ｃが与えられるので、カソード面上のｉが与えられると、式（１９）は解くことができ、内点の式を用いるとカソード面上の電位分布が以下のように求められる。
｛φ_ｃ｝_ｃ＝１／(ｔ_ｓκ_ｓ＋ｔ_ｐκ_ｐ)［Ｃ］｛ｉ｝_ｃ（２０）
ここで、［Ｃ］は内点の位置に依存するマトリックスである。この式と境界条件式（５）により次式が得られる。
｛φ｝_ｃ＝｛−ｆ_ｃ（ｉ）｝_ｃ＋１／(ｔ_ｓκ_ｓ＋ｔ_ｐκ_ｐ)［Ｃ］｛ｉ｝_ｃ（２１）
｛ｉ｝_ｃは式（１３）における｛ｉ｝の一部となっていることに注意する。式（１４）および（２１）をそれぞれアノード面およびカソード面上における境界条件として用い、ニュートン・ラフトン法などの繰り返し計算を行うことにより、式（１３）と（１５）の連立方程式を解くことができる。即ち、次に示す手順で計算を行う。
【００３０】
１．｛ｉ｝_ａ，φ_ａ，｛ｉ｝_ｃと式（１３）の未知量（Γ_ｄ上のｉおよびΓ_ｎ上のφに対するベクトル成分）を適当に仮定する。
２．仮定した｛ｉ｝_ａとφ_ａを式（１４）に代入して｛φ｝_ａを求め、｛ｉ｝_ｃを式（２１）に代入して｛φ｝_ｃを計算する。
３．上の二つのステップで得られた値を式（１３）および（１５）に代入し、両辺の値の差異を求める。
４．この差異が小さくなるように、ステップ１で仮定した｛ｉ｝_ａなどの値をニュートン・ラフソン法などに従って修正し、ステップ２に戻り差異が許容誤差以下になるまで繰り返す。
【００３１】
式（２０）を検証するために、半径Ｒの円形のカソード（シリコンウェハ）を想定し、カソードの外周でφ_ｃ＝０とする。溶液からの電流密度が均一（ｉ＝−ｉ_０）と仮定すると、中心からρだけ離れた位置のカソード内の電位φ_ｃの解析解は次のように求められる。
φ_ｃ＝ｉ_ｏ（Ｒ^２−ρ^２）／４（ｔ_ｓｋ_ｓ＋ｔ_ｐκ_ｐ）（２２）
一方、２次元境界要素解析を行い、式（２０）によりφ_ｃを求めた。解析領域は対称性を利用して、カソードを１６分割した領域とし、図３に示すように三角形および四角形一定要素によって要素分割を行い、図中に示す境界条件を用いた。解析には以下に示すような数値を用いた。
Ｒ＝１００［ｍｍ］，ｉ_０＝０．０５［ｍＡ／ｍｍ^２］，ｔ_ｓ＝０．０３［μｍ］ κ_ｓ＝４．０×１０^３［Ω^−１ｍｍ^−１］，ｔ_ｐ＝０．１［μｍ］，κ_ｐ＝５．０×１０^４［Ω^−１ｍｍ^−１］
図４にカソード内の電位φ_ｃの分布を示す。式（２０）による境界要素解（図中、白丸で示す）は式（２２）による解析解（図中、実線で示す）とよく一致していることがわかる。
【００３２】
上述の手法を用いて、図５のようなめっき槽を用いてシリコンウェハに銅めっきを施すシミュレーションを行った。このめっき浴槽は、銅板からなるアソード１１と、被めっきウエハからなるカソード１２と、これらの間に存在する電解質めっき液１３と、アノード・カソード間に通電する電源１４とから主に構成されている。この場合は、アノード及びカソードの直径が１９０ｍｍであり、間隔が１０ｍｍであり、カソードの銅スパッタ層１２ａの厚さが０．０３μｍであり、めっき層１２ｂの厚さが０．１μｍである。また、電気伝導度κは、電解質めっき液１３が０．０５６／Ω・ｍｍであり、めっき層１２ｂが５．０×１０^４／Ω・ｍｍであり、スパッタ層１２ａが４．０×１０^３／Ω・ｍｍである。通電電流は１．５Ａである。
【００３３】
ここで、カソード（シリコンウェハ）上では図６のように電流端子（−）を等間隔に８個所接続した。対称性を考慮して図７のようにめっき浴槽の解析領域を全体の１／１６とし、三角形または四角形一定要素によって要素分割を行った。シミュレーションに用いたアノードおよびカソードの分極曲線を図８に示す。めっき槽の側面は絶縁体とした。その他の計算条件は図５の説明に示した通りである。
【００３４】
図９にカソード上の電流密度分布（（−ｉ）がめっき速度に比例する）を示す。また、図１０にカソード内の電位分布を示す。カソード内の電気抵抗を無視した場合にはカソード内のいたるところで電位がゼロになるので、カソード内の電気抵抗を考慮することにより、電位分布がゼロから離れ不均一となる様子が計算結果によく現れている。なお、図９および図１０では、要素の中心点における値を連ねて表示している。
【００３５】
上述の実施例では、カソード（シリコンウェハ）周上の電流端子（−）の数が比較的少ない（８個）場合について解析したが、この数が大きくなると軸対称近似が可能となり、計算量の低減を図ることができる。従って、次に軸対称近似の方法について考察する。
軸対称場ではカソード内の電流密度ｉ_ｃは半径方向成分のみしか存在しない。その成分をｉ^ｃ［Ａ／ｍ^２］と記すこととする。カソード内の半径ρの位置にある微小環状領域では、電荷の保存則より次の関係が成立する。
ｉｄＳ+ｄ（Ｌｉ^ｃ）＝０（２３）
ここで、Ｓ＝πρ^２およびＬ＝２πρである。
【００３６】
上式を半径方向にｎ分割して差分をとると、内側からｊ番目の円環（以下では要素ｊと呼ぶ）において、次式が成り立つ。
Ｓ_ｊｉ_ｊ＝Ｌ_ｊｉ^ｃ _ｊ−Ｌ_ｊ＋１^ｉｃ _ｊ＋１（２４）
ここで、
Ｓ_ｊ＝π（ρ^２ _ｊ＋１−ρ^２ _ｊ）（２５）
Ｌ_ｊ＝２πρ_ｊ（２６）
式（２５）および（２６）を（２４）に代入し、ρ_ｊ＝０およびｉ^ｃ _１を考慮して整理すると次式が得られる。
【数５】

【００３７】
この関係を次式のようにマトリックス表示する。
｛ｉ^ｃ｝_ｃ＝［Ｅ］｛ｉ｝_ｃ（２８）
ここで、｛｝_ｃの意味については式（１５）に関連して述べた通りである。
軸対称場では電流は半径方向だけに流れるので、式（７）に対応する式は次式となる。
ｉ_ｃ＝−（ｔ_ｃκ_ｓ＋ｔ_ｐκ_ｐ）ｄφ_ｃ／ｄｒ（２９）
上式を離散化すると、次式が得られる。
【数６】

ここで、γ_ｎ＋１＝Ｒ（Ｒはカソードの半径）の電位を基準とした。即ち、
φ_{ｃ，ｎ＋１}＝０
とした。
【００３８】
めっき浴槽内の電位・電流密度を解析する際に一定要素を用いる場合には、カソード上の要素中央の電位を求める必要がある。そこで、要素ｊの中央におけるカソードの電位を
φ^０ _ｃ，ｊ＝（φ_ｃ，ｊ＋φ_{ｃ，ｊ＋１}）／２
とすると、式（３０）から次式が得られる。
｛φ^０ _ｃ｝_ｃ＝［Ｄ］｛ｉ^ｃ｝_ｃ（３１）
ここで、マトリックス［Ｄ］の各要素は式（３０）より容易に求められる。式（２８）と（３１）より
｛φ^０ _ｃ｝_ｃ＝［Ｄ］［Ｅ］｛ｉ｝_ｃ（３２）
この式は式（２１）に相当するので、軸対称要素を用いて要素分割し、上述した計算手順に従えば、軸対称問題を解くことができる。
【００３９】
式（３２）を検証するために、上述と同じ事例を設定し、差分法により式（３２）の｛φ^０ _ｃ｝を求め、解析解（式（２２））と比較した。結果（図中、黒丸で示す）を図４に示す。両者は良く一致していることを確かめることができる。なお、差分法ではカソードを半径方向に２０分割して計算を行っている。
【００４０】
カソードに均一なめっき膜を施すために、アノードを分割して、分割した各アノードに異なった最適な電流を与えることについて考察する。軸対称問題とし、アノードを同心円状（ドーナッツ状）にＮ分割するとする。また、簡単のために、こうして分割された各アノードにはそれぞれ一定の電流密度を与えるとする。（分割された各アノードの大きさがあまり大きくない場合にはこのように近似しても、大きな誤差は生じないと考えられる）。
【００４１】
そこで、本最適化問題の設計変数を分割された各アノードに与える電流密度をｉ_０，ｊ（ｉ＝１，...，Ｎ）とする。目的関数としては、次式に示すようにカソード上の各境界要素に流れ込む電流密度（めっき速度に比例する）の平均値ｉ’からの差分の二乗和とした。
【数７】

ここで、ｍはカソード面の要素数である。従って、本最適化問題は目的関数式（３４）を最小にするｉ_０，ｊ（ｉ＝１，...，Ｎ）を求めることに帰着する。なお、全電流量Ｉは一定（Ｉ_０）と指定するので、各設計変数の間には次のような関係がある。このため、独立な設計変数の数はＮ−１となる。
ｉ_０，１Ａ_１＋ｉ_０，２Ａ２＋...＋ｉ_０，ＮＡ_Ｎ＝Ｉ_０（３５）
ここで、Ａ_κは分割されたアノードκの面積である。
【００４２】
上述したと同様なカソードの全周を電流端子（−）とした軸対称問題を想定し、図１０のようにアノードを５分割した場合の電流密度分布の最適化を行った。図１１に最適化前後におけるアノード面とカソード面での電流密度分布を示す。最適化後は、最適化前に比べて、カソード面での電流密度分布が均一になっていることがわかる。なお、目的関数の最小化には、Simplex法を用いた。
【００４３】
以上、まず、被めっき部材表面およびアノードを平面と見なして、２次元ポアソン方程式を境界要素法で離散化する方法について説明した。被めっき部材表面及び／又はアノードが曲面である場合には、支配方程式であるポソン方程式を有限要素法によって離散化する必要がある。以下に解析方法を説明する。
【００４４】
図面上の抵抗体Ω（２Ｄ）の内部の電位の満足する方程式は次式となる。
ｄｉｖ_２（κｇｒａｄ_２φ）＋ｉ_ｓ＝０（３６）
但し、
κ：抵抗体の電気伝導度［Ω^−１］
ｉｓ：めっき液Ωに流入する電流密度［Ａ／ｍ^２］
ｄｉｖ_２，ｇｒａｄ_２：めっき液Ω内で定義された微分演算子
（３６）式のカラーキン方程式は、次式となる。
【数８】

ここで、Ψは試験関数である。
（３７）式を部分積分すると
【数９】

Ωを要素分割し、要素ｅ内のφを次のように内挿関数Ｎｅ^ｉで近似する。
【数１０】

【００４５】
そして、めっき液内は、下記のラプラスの方程式により支配される。
∇_３ ^２φ＝０（ｉ≡ｋ_ｓ∇φ） ▲１▼
ここで∇の下添字３は３次元を意味する。
カソード（シリコンウエハ）内は、下記のポアソンの方程式により支配される。
∇_２（Ｋ（Ｔ）∇φ_ω）＋ｉ_ω＝０ ▲２▼
界面は、
−（φ−φ_ω）＝ｆ_ω（−ｉ_ω） ▲３▼
ｉ_ω＋ｉ＝０ ▲４▼
であり、側面は、
ｉ＝０ ▲５▼
である。
▲１▼式を境界要素法で、及び▲２▼式を有限要素法でそれぞれ離散化して、境界条件と接続条件▲３▼▲４▼▲５▼を考慮して連立方程式を作りニュートン法などで解くと、解として電流密度分布ｉ_ω及び電位分布φ_ωが求まる。
【００４６】
この方法によると、被めっき部材表面、及び／又はアノードが曲面である場合や、孔または溝内面のめっきを行う場合において有効な解析方法を提供することができる。
【００４７】
次に、本発明の変形例について説明する。この発明は、電極及び／又は被めっき部材内部の領域に対しては、電極及び／又は被めっき部材の電気伝導度または抵抗を、時間の、または電極及び／又は被めっき部材の厚さの関数として、ポアソン方程式を支配方程式として与え、それを有限要素法で離散化し、それらを連立させ、めっき厚さの時間変化を求めることを特徴とするめっき解析方法である。
一例として、上述と同様、ウエハ上に銅配線を行うための銅めっきについて考える。めっきが開始されると時間の経過とともにカソードの厚みが変化するため、カソード領域内部の抵抗または電気伝導度の２次元的な分布が不均一になってくる。このため、カソード領域内各部の抵抗または電気伝導度を時間の関数として扱い、一定時間毎にくり返し計算を行えば、めっき厚さの時間変化を求めることができる。
尚、複雑な形状のめっき槽内部のめっき液の領域は、支配方程式を境界要素法で離散化しているので、要素分割および計算に要する時間を短縮し効率的な解析を行うことが可能である。
【００４８】
以下に、本発明の変形例の解析方法を簡単に説明する。
まず、めっき液内の電位分布は、上述の式▲１▼の３次元のラプラス方程式に支配される。また、電極及び／又は被めっき部材での支配方程式は、上述の▲２▼の２次元のポアソン方程式に支配される。
ここで、電極及び／又は被めっき部材と、めっき液との界面での境界条件は、電極及び／又は被めっき部材の分極曲線であり、一般的に上述の▲３▼式で示される。
また、めっき液からカソードの表面へ電流（−ｉ）が流入しているとすると、カソード内の微小領域における電荷の保存則より、上述の▲４▼式が得られる。そして、絶縁面では上述の▲５▼式となる。
【００４９】
▲１▼式を境界要素法で離散化し、▲２▼式を有限要素法で離散化し、境界条件と接続条件▲３▼▲４▼▲５▼を考慮して連立方程式を作り、ニュートン・ラフソン法などによって解くと電流密度及び電位分布が求められる。
ここで電気伝導度κはめっき厚Ｔの関数であり、めっき厚Ｔは時間ｔの関数であり、上式は常微分方程式を形成するので、オイラー式、ルンゲクッタ法などの方法で解くことができる。
即ち、時間ゼロにおけるウエハ上の電流密度分布を解き、一定時間後のめっき膜厚分布を計算し、この膜厚分布から再びウエハ上の電流密度分布を解き、次の一定時間後の膜厚分布を計算する。この計算をくり返すことによって所定の時間後のめっき膜厚分布を求めることができる。
【００５０】
ウエハのように、電極が平面である場合は、電極内部の支配方程式を２次元ポアソン方程式とするが、被めっき部材表面が３次元である場合には支配方程式を３次元ポアソン方程式とすることによって解析する。
【００５１】
次に、本発明の他の変形例について説明する。電極及び／又は被めっき部材の抵抗が無視できない系での電解めっきにおいて、アノードを２つ以上に分割し、めっき液を含む領域に対しては３次元ラプラス方程式を、電極及び／又は被めっき部材内部の領域に対しては平面または曲面を扱う２次元ポアソン方程式を、それぞれ別個に支配方程式として与え、それぞれを境界要素法で離散化し、それらを連立させ、カソード表面の電流密度分布を均一にするような、それぞれのアノードに流す最適な電流値を計算して与え、めっき速度を均一化することを特徴とするめっき解析方法である。
【００５２】
図１のようなめっき浴槽においては、カソード（被めっきウエハ）の有する抵抗によってウエハの内周側の電流密度が抑制され、外周側で厚く、内周側で薄いめっき厚の不均一が生じる。そこで、例えば、アノードを同心円状に分割し、内周側のアノードに高い電流密度を与えればカソード面上の電流密度が均一化することが可能である。めっき厚の均一化のための各分割アノードへ与える電流の最適値を求めるには、数値解析を採用することが必要である。数値解析は、上記各実施例の方法を基本とし、最適化手法を採用する。
【００５３】
本発明の更に他の変形例は、電極及び／又は被めっき部材の抵抗が無視できない系での電解めっきにおいて、アノードを２つ以上に分割し、めっき液を含む領域に対しては３次元ラプラス方程式を支配方程式として与え、それを境界要素法で離散化し、電極及び／又は被めっき部材内部の領域に対しては、電極及び／又は被めっき部材の電気伝導度または抵抗を、時間の、または電極及び／又は被めっき部材の厚さの関数として、平面または曲面を扱う２次元のポアソン方程式を支配方程式として与え、それを境界要素法または有限要素法で離散化し、それらを連立させ、カソード表面の電流密度分布を均一にするような、それぞれのアノードに流す最適な電流値を時間毎に計算して与え、めっき速度を均一化することを特徴とするめっき解析方法である。
【００５４】
上述の各発明においては、初期の（時間ゼロにおける）、均一なカソード抵抗を前提として解析を行うものである。ところが、一定の時間が経過した後は、めっき厚さが全体的に増大し、カソード抵抗が全体的に低下してくる。従って、時間ゼロにおける各分割アノードの最適電流配分と、一定時間後の各分割アノードの最適電流配分とは異なってくる筈である。そこで、めっき厚さの経時的な増大に応じてカソードの抵抗が経時的に変化して、その時間毎の最適な分割アノード電流配分を与えることが必要である。カソードの電流密度分布が常に均一になるように、分割アノードの最適電流配分を経時的に変化させて与える場合には、カソード面上での抵抗は均一であるので、カソードの支配方程式の離散化には境界要素法を与えてよい。一方、分割アノードの電流配分を、一定時間の間隔をおいて変化させる場合には、一定時間後にカソードのめっき厚の不均一が生じてしまう。このカソードのめっき厚の不均一を考慮に入れて分割アノードの最適電流配分の再計算を行う場合には、上述した方法と同様に、カソードの支配方程式の離散化には有限要素法を適用することが必要となる。
【００５５】
上述した各実施例によれば、アノード及びカソード（被めっきウエハ）の形状を与えることで、アノード及び又はカソードに抵抗成分がある場合にも、これを考慮した電流密度及び電位分布を求めることができる。従って、この解析法を利用して、ウエハにめっきを行うことで、均一性の良好なめっきを行うことができる。また、めっき槽の設計において、実験的な試行錯誤を繰返すことなく、最適なパラメータを得ることができる。
【００５６】
尚、以上の説明は、主として半導体ウエハに銅めっきを行う例について説明したが、下地が薄く抵抗成分を有し、且つ面内均一性の良好な精密なめっきに広く利用可能なことは勿論である。又、本発明の原理は、めっきのみならず、金属の腐食・防食の解析方法にも同様に適用可能である。即ち、水中又は土中に配設される埋設管や各種機器等において、アノード又はカソードとなる部材が抵抗成分を有する場合において、この抵抗成分を考慮して電流密度分布及び電位分布を効率的に解析することが可能になる。
【００５７】
【発明の効果】
これまで、アノード及び／又はカソードの抵抗が無視できない系の電解めっきに関し、めっき速度分布を数値解析する場合において、有限要素法で解析する方法しか実用化されておらず、領域を要素に分割する際、内部の領域まで分割が必要で要素分割および解析に膨大な時間を要していた。
境界要素法を用いた本発明による方法によれば、めっき液内部の要素分割を必要としないので、要素分割および解析に要する時間を大幅に短縮することができる。また、めっき槽の形状が軸対象でモデル化できる場合には、溶液の占める領域を軸対象要素を用いて要素分割できるので、よりいっそう効率的な解析が可能となる。
これまで、カソードの抵抗が無視できない系での電解めっきに関し、カソードの抵抗の存在によって生じるめっき速度の不均一性を是正する方法が求められていた。アノードを適当に分割して、それぞれの分割アノードに流す最適な電流値を計算する本発明の方法によれば、短時間の解析によってカソード周辺部に集中しがちな電流を均一化することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】（ａ）は解析対象のめっきのモデルを示す図であり、（ｂ）は（ａ）のＢ部分の拡大図である。
【図２】電位又は電流密度分布を求めるための境界条件を説明する図である。
【図３】境界要素分割例を示す図である。
【図４】境界要素解と解析解の比較を示す図である。
【図５】シミュレーションの対象のめっき浴槽を示す図である。
【図６】カソードの解析モデルを示す図である。
【図７】図４のめっき浴槽の境界要素分割例を示す図である。
【図８】分極曲線を示す図である。
【図９】カソード（ウェハ）上の電流密度分布を示す図である。
【図１０】カソード（ウェハ）内の電位分布を示す図である。
【図１１】アノードの分割例を示す図である。
【図１２】最適化前後のアノードおよびカソード上の電流密度分布を示す図である。
【符号の説明】
１絶縁膜（ＳｉＯ_２膜）
２溝
３バリア層（ＴａＮ膜）
４シード層（Ｃｕスパッタ膜）
５めっき膜
１１アノード
１２カソード
１３めっき液
１４直流電源
Ｗウエハ

Claims

アノード、及び／又はカソードの抵抗が無視できない系での電解めっきにおいて、めっき液を含む領域に対しては３次元ラプラス方程式を支配方程式として与え、これを境界要素法で離散化し、アノード、及び／又はカソード内部の領域に対しては、平面または曲面を扱う２次元又は３次元のポアソン方程式を支配方程式として与え、これらを境界要素法または有限要素法で離散化し、それらを連立させ、系内の電流密度および電位分布を算出することを特徴とするめっき解析方法。
請求項１に記載のめっき解析方法において、
アノード、及び／又はカソード内部の領域に対しては、アノード、及び／又はカソードの電気伝導度または抵抗を時間の関数として与えることを特徴とするめっき解析方法。
請求項１又は２に記載のめっき解析方法において、
アノードを２つ以上に分割し、カソード表面の電流密度分布を均一にするような、それぞれのアノードに流す最適な電流値を算出し、めっき速度を均一化することを特徴とするめっき解析方法。
請求項３に記載のめっき解析方法において、
それぞれのアノードに流す最適な電流値を時間毎に計算して与え、めっき速度を均一化することを特徴とするめっき解析方法。
アノード、及び／又はカソードの抵抗が無視できない系での腐食および防食において、電解質を含む領域に対しては３次元ラプラス方程式を支配方程式として与え、これを境界要素法で離散化し、アノード、及び／又はカソード内部の領域に対しては、平面または曲面を扱う２次元又は３次元のポアソン方程式を支配方程式として与え、これらを境界要素法または有限要素法で離散化し、それらを連立させ、系内の電流密度および電位分布を算出することを特徴とする腐食及び防食の解析方法。