DE70131C - Logarithmische Rechenmaschine - Google Patents

Description

Taiserliches

PATENTAMTXf

KLASSE 42: Instrumente.

(Prov. Hannover).

Logarithmische Rechenmaschine.

Die auf den Zeichnungen dargestellte Rechenmaschine führt alle höheren Rechnungsoperationen aus. Sie giebt die fünfte Stelle des Resultates noch mit Genauigkeit an.

Die Maschine zerfällt in zwei gesonderte Apparate. Der erstere derselben, Apparat A, führt jede höhere Rechnungsoperation bis zur dritten Stelle aus, der zweite Apparat B giebt nur die vierte und fünfte Stelle des Resultates an.

Apparat A besteht aus einer kreisrunden Metallplatte C und einer darüber liegenden Glasplatte D; im Mittelpunkt der Metallplatte befindet sich ein Zapfen ^, um welchen die Glasplatte D in einem Futter f drehbar ist. Auf der Glasplatte D, Fig. 5, sind zehn concentrische Kreise α k angeordnet, die durch übersichtliche .Theilstriche in 10, 100, 200, 500 und 1000 Theile zerlegt werden. Die Logarithmen sind nur als Winkel gedacht, und zwar so, dafs z. B. die Mantisse 0,5000 . . . den Winkel π bedeutet, also die Mantisse 10 000 . .. den Winkel 2 π, die Mantisse 999 . . . den Winkel 10· 2 π; jetzt bedeutet z. B.:

die Mantisse 0,4139 des log 110 einen Winkel von 0,4139 · 2 π,

des log 105 (== 0,21189) einen Winkel von

0,21189 · 2 7Γ,

des log 101 (=0,043214) einen Winkel von 0,043214 · 2 π und

des log 102 (= 0,08600) einen Winkel von

O,o86oo · 2 7Γ.

Die Winkelgröfsen für die Logarithmen der Zahlen 1000..., 101 ..., 102... etc. bis 999 . . . werden sowohl auf der Glasplatte, wie auf der Metallplatte durch Theilstriche ausgedrückt und die Zahlen an. die zugehörigen Theilstriche geschrieben, welche die Gröfse ihrer Logarithmen in Winkeln angeben, und zwar so, dafs die Winkel, welche kleiner sind als 2 ic, zu beiden Seiten der dem Mittelpunkt zunächst gelegenen regelmäfsigen Theilung (Kreis a) abgetragen gedacht werden können, die Winkel, welche zwischen 2 η und 2 · 2 -π liegen, zu beiden Seiten der zweiten regelmäfsigen Theilung (Kreis V), die Winkel zwischen 2 · 2 π und 3 · 2 π zu beiden Seiten der dritten regelmäfsigen Theilung (Kreis c) etc. So steht z. B. die Zahl 102, deren Logarithmus gleich 0,08600 ist, bei dem Theilstrich 0,0860 . 2 π.

Auf diese Weise entstehen sowohl auf der Glas- wie auf der Metallplatte 10 logarithmische Scalen; da das Glas über der logarithmischen Scala der Metallplatte freibleibt, so ist diese Scala deutlich sichtbar.

Man sieht jetzt, dafs man zu beliebigen Zahlen die zugehörigen Logarithmen und zu gegebenen Logarithmen die Numeri sofort von der Glasplatte ablesen kann. Sie allein würde daher schon genügen, um das Resultat eines Excempels bis zur dritten Stelle genau zu erhalten. Um z. B. Zahlen zu dividiren, hätte man den Numerus für die Differenz der Logarithmen von Divisor und Dividendus aufzusuchen. Die Addition und Subtraction der Logarithmen wird aber in Wirklichkeit von der Maschine selbst bewirkt. Sollen z. B. zwei Zahlen ^ und ^₁ multiplicirt werden, so mufs zunächst der Theilstrich o. der regelmäfsigen Theilung auf den Theilstrich ^ der Metallplatte durch eine Drehung der Glasplatte eingestellt

werden; dem log \ möge ein Winkel von (a -j- b) η π entsprechen, wo α eine ganze Zahl und b einen echten Bruch bedeutet. Jetzt wird der zweite Factor ^, auf der Glasplatte gesucht, dessen Logarithmus einem Winkel von (αχ.-\-bj 2 π entspricht. Die Addition der Decimalbrüche b + b_x bewirkt, wie man sieht, die Maschine. Man hat auf der regelmäfsigen Theilung den Winkel b\ abzulesen, und unter der Linie, welche , den Winkel b_l begrenzt, mufs auch das Product der Zahlen liegen und auf einer der auf der Metallplatte befindlichen Scalen abgelesen werden. Es fragt sich nur noch, auf welcher von den zehn Scalen. Dies erfährt man leicht. Die Addition der Zahlen α und a_x , welche die ganzen Umdrehungen bezeichnen, kann leicht im Kopfe geschehen; ob b + b_x gröfser war als 2 π, läfst sich sofort an der Stellung der Glasplatte ersehen. Ist b + ^₁ wirklich gröfser als 2 π, so ist zu α -f S₁ noch Eins zu addiren. Auf diese Weise erfährt man die Zahl der ganzen Umdrehungen, welche dem Logarithmus des Productes der Zahlen entspricht. Ist z. B. die Summe a + ^₁ = 6, so hat man auf der siebenten Scala der Metallplatte, vom Mittelpunkt aus gerechnet, unter dem Theilstrich der regelmäfsigen Scala abzulesen, welcher den Winkel b_x auf der Glasplatte anzeigt. Ist z. B. a + Ct₁ = ι 3 , so hat man in der vierten Scala abzulesen (ebenso wie man in einer Logarithmentafel die Mantisse 9999 . . . + b unter b suchen würde). Hat man verschiedene andere Zahlen ^₂ ^₃ u. s. w. immer nur mit ^. zu multipliciren, so sieht man, dafs es nicht nöthig ist, die Glasplatte zu verstellen; man braucht jetzt nur noch Ablesungen zu machen.

In ganz entsprechender Weise vollzieht sich die Division. Gesetzt, es sollte die Zahl (\ X^J durch £ dividirt werden, wo ^ dieselbe Zahl bedeutet wie vorhin, so braucht man wiederum die Glasplatte nicht zu verstellen und hätte nur die Zahl (\ X %J auf der Metallplatte zu suchen. Der Nullpunkt der Glasplatte steht, wie im vorigen Beispiel, auf \ ein. Dann ist klar, dafs die Differenz der Logarithmen von den Zahlen (\ X \_x) und ^ auf der Glasplatte zu suchen ist, und zwar unter dem Theilstrich der regelmäfsigen Theilung, welcher die Summe der Logarithmen für \ und ^₁ begrenzt. Es fragt sich jedoch wiederum, auf welcher Scala der Glasplatte wir abzulesen haben. Dies erfährt man in ähnlicher Weise wie bei der Multiplication. Dem Logarithmus der Zahl (% X %J entspricht eine Drehung von (a. + ß) 2 7Γ, wo α eine ganze Zahl kleiner als 10 bedeutet und β wieder einen echten Bruch. Dem Logarithmus £ entspricht eine Drehung von (a + b) 2 π. Man hätte nun von (α -f- ß) 2 π zu subtrahiren (a + b) 2 π. Wenn β gröfser ist als b und α gröfser als a, so hat man auf der Scala (α — α -\- 1) abzulesen. Es kann aber auch sein, dafs β kleiner ist wie b, dann hätte man auf der (α — a) ■ Scala abzulesen. Ist der Dividendus kleiner als der Divisor, so ist der Logarithmus des Quotienten negativ; aber dennoch ist der Numerus unter dem positiven Theil des Logarithmus zu suchen. Den Numerus für 0,30103 — 1 hätte man z. B. unter 30 103 zu suchen. Man kann auch hier ganz entsprechend verfahren und zu dem kleineren Winkel zehn ganze Drehungen addiren, so dafs man jetzt die Winkel (α + ι ο + ß) 2 π und (a + b) 2 π zur^ Bestimmung der ganzen Umdrehungen hat und gerade wie vorhin bestimmt, in welcher Scala abzulesen ist.

Es läfst sich leicht übersehen , wie das Potenciren und Radiciren vor sich gehen mufs. Man stellt auf den Exponenten ein, liest den Logarithmus der zu potencirenden oder zu radicirenden Zahl von der »Rechenscheibe« ab und sucht das Product oder den Quotienten aus dem Logarithmus und dem Exponenten. Dieses Product oder der Quotient ist der Logarithmus des Resultats, welches man findet, indem man den Numerus zu diesem Logarithmus gleichfalls auf der »Rechenscheibe« aufsucht. Man sieht, dafs es nicht nöthig ist, den Apparat zu verstellen, wenn man verschiedene Zahlen zu derselben Potenz erheben oder dieselbe Wurzel aus verschiedenen Zahlen ziehen mufs.

Aus dem Gesagten erhellt, dafs das Resultat eines Exempels rasch gefunden werden kann. Eine grofse Genauigkeit läfst sich jedoch nicht mit diesem Apparat erzielen, wenn nicht einer gegebenen Mantisse ein viel gröfserer Winkel entspricht.

Im zweiten Apparat B besitzt jedoch eine gegebene Mantisse eine solche Winkelgröfse, welche zur Berechnung der vierten und fünften Stelle erforderlich ist. Der Mantisse 99 999 . .. entspricht nämlich ein Winkel von 200 ganzen Umdrehungen; also hat die Mantisse des log ιοί, nämlich 0043214, eine Winkelgröfse 0,0043214 ■ 200 · 2 π oder 0,86428 · 2 λ,

die Differenz log 102 — log 101=0 086 002

— 0043 214 eine Gröfse von 0,0042788 · 200 · 2 π oder 0,85576 ■ 2 π,

die Differenz log 103 —log 102 = ο 128 372

— ο ο86 002 eine Gröfse von 0,0042370 · 200 ■ 2 π oder 0,8474 ■ 2 π,

die Differenz log 999 — log 998 = 9 995 655

— 9 991 305 eine Gröfse von 0,0042370 · 200 ■ 2 π oder 0,08700 · 2 π,

die Differenz log 99 999 ... — log 999 = 999 ... —·; -g 995 655 eine öröfse von 0,0004345 · 200 · 2 π oder 0,0869 · 2 π.

Der Apparat B (s. Fig. 1, 2, 6 und 7) besteht aus einer Metallplatte C₁ und Glas-

platte D₁, welche beide unabhängig von einander um den festen Zapfen %^l drehbar sind. Auf der Metallplatte C₁ . ist ein System von Curven aufgezeichnet. Um diese Curven zu bestimmen, denkt man sich (wie in den Fig. 3 bis 6 ersichtlich) von demselben Mittelpunkt M aus eine Zahl von 900 Kreisen gezogen mit den Radien T₁, T₁ +Λ^rn ^ri +Δ^Γι + A¹^i · · ·; wo /\ r, > Δ*^Γι > Δ^2?*ι ^u- ^s· ^w· Die ^m den Zeichnungen gewählten Gröfsen r,, /\ T₁ und das Verhältnifs Δ ^ri ^: Δ^{1 r}i ^: Δ^{2 r}] ^sind mit Rücksicht auf die Gröfse der Zeichnung und die davon abhängende Handlichkeit des Apparates bestimmt. Nun halbirt man die Winkel für log 101, log 102 — log 101, log 103 — log 102 u.'s. w., zieht von M aus einen Strahl, der die Kreise in P₁ P₂ ... P₉₀₀ schneidet. Von diesen Schnittpunkten aus werden nun die halben Winkel nach links und rechts abgetragen,

von P₁ aus die halben Winkel für log 101,

von P₂ aus die halben Winkel für (log 102 — log 101),

von P₃ aus die halben Winkel für (log 103 —- log 102) etc.

von P₉₀₀ aus die halben Winkel für (log 99 999 ... — 999 000 .. .).

Auf diese Weise erhält man die Punkte Q₁,

Q Q Q

^Ti, Q₂₅ Ά,
d i

···) Qooo> ^Γ9

Ferner

denke man sich die Punkte Q₁, Q₂, Q₃ u. s. w., T₁, T₂, T₃ u. s. w. durch eine Curve verbunden. Der Radius, mit welchem der gröfste Kreis gezogen wurde, nämlich R, möge eine solche Länge haben, dafs das Stück, welches der zu diesem gröfsten Kreise gehörige Winkel aus ihm ausschneidet, dieselbe Länge besitzt wie der Kreisausschnitt Q₁ P₁ T₁. Dann mufs 2T₁ π-0,86428 = 2 · 22 -π· 0,86428 = 2 ■ R-π. 0,86428 sein. An die Punkte

Q₁ und T₁ wird die Zahl 1 o,

QT -II

10 " -* 10 ." ' " ^{l l}i

^■20 ^20 - ' ²J

Q30 - T₃₀ - - - 13 u.s. w. gesetzt.

Dieselben Zahlen werden an die Kreise für die Punkte Q₁ und T₁, Q₁₀ und T₁₀ etc. gesetzt, da wo die hinreichend über K hinaus verlängerte Linie % k ■ diese Kreise schneidet. Für die praktische Verwendung des Apparates genügt es, nur die den Punkten Q₁ und T₁, Q₁₀ und T₁₀ . . . entsprechenden Kreise zu ziehen. Der Kreisausschnitt Q₁ P₁ T₁ wird in 100 solche Theile zerlegt, dafs der erste einen Winkel ausschneidet, welcher dem log ι ο ooi entspricht, also einen Winkel von 200 · 2π. 0,0000434 oder 2 7Γ · 0,00868.

Der zweite Theilstrich schneidet, von Q₁ aus gerechnet, den Winkel für 10002 aus, der dritte Theilstrich den Winkel für 10003, ^^er vierte Theilstrich den Winkel für ι ο 004, der zehnte Theilstrich den Winkel für 10 010, der 99. Theilstrich den Winkel für 10099. Dementsprechend theilt man den zweiten Kreisausschnitt in 100 Theile, von denen

der erste, von Q₂ aus gerechnet, einem Winkel für die Differenz log ι ο 101 —— log ι ο 100 entspricht,

der zweite, von Q₂ aus gerechnet, einem Winkel für die Differenz log 10 102 — log 10 100,

der -dritte, von Q₂ aus gerechnet, einem Winkel für die Differenz log ι ο 103 — log ι ο 100 u. s. w.,

der neunundneunzigste, von Q₂ aus gerechnet , einem Winkel für die Differenz log 10199 — log 10 100.

In ganz entsprechender Weise theilt man jeden anderen Kreisausschnitt in 100 Theile und verbindet nun alle ersten Theilpunkte der Kreisausschnitte mit einander durch eine Curve. Dieselbe wird nahe bei der zuerst gezogenen Curve Q₁ Q_n ■ ■ ■ Q900 li^eg^en- Ebenso verbindet man alle zweiten Theilpunkte mit einander, dann die dritten, vierten . . . neunundneunzigsten.

Befindet sich nun die Glasplatte (Fig. 7) in ihrer Anfangsstellung, so steht die Spitze eines in das Glas geätzten und durch Farbe deutlich sichtbar gemachten Pfeiles über dem Punkt Q₁. Dieser erste Pfeil ist mit ο bezeichnet. Dreht man jetzt die Glasplatte in der Richtung des Pfeiles auf der Zeichnung, so entspricht die Gröfse der Drehung fortwährend den Winkeln für die Logarithmen der Zahlen zwischen ι ο 000 und 10099, über denen die Pfeilspitze hinstreicht. Die Null, welche an diesem Pfeil geschrieben ist, bezeichnet die dritte Stelle aller dieser Zahlen. Wenn die Spitze des Pfeiles über dem Punkt T₁ angebracht ist, so befindet sich eine andere Pfeilspitze gerade über dem Punkt Q₂. Dreht man die Platte in derselben Richtung weiter, so entspricht die Gröfse der ganzen bisher gemachten Drehung fortwährend den Winkeln für die Logarithmen der Zahlen zwischen ι ο ι 000... und ι ο 1 999 ..., auf welche der Pfeil zeigt; an diesen Pfeil, schreibt man die Zahl 1, welche wiederum die dritte Stelle aller dieser Zahlen bezeichnet. Ist der Pfeil 1 bei T₂ angelangt, so steht ein anderer Pfeil, an welchen die Zahl 2 geschrieben ist, über Q₃ u. s. w. Ertheilt man der Glasplatte immer neue Drehungen derselben Richtung, so tritt stets ein neuer Pfeil bei Q₁, ein, wenn sich der zuletzt beobachtete über . T_n_j befindet. Da nun 900 Kreisausschnitte Q_n ... T_n vorhanden sind, so mufs es auch 900 Pfeile auf der Glasplatte geben, und zwar gehört derjenige Pfeil zu einem Kreisausschnitt, dessen Spitze sich genau über der Kreislinie bewegt, von welcher der Aus-, schnitt ein Stück ist. An jedem Pfeil ist eine Ziffer geschrieben, welche die dritte Stelle der Zahlen angiebt, die zu einem Kreisausschnitt gehören. Ist nun der letzte Pfeil in i?₉₀₀ an-

gelangt, so hat ein Pfeil nach dem anderen den ganzen Winkel für den log 9 999 . . . durchwandert. Da aber dieser Winkel gleich 200 · 27Γ ist, so haben wir 200 Umdrehungen in demselben Augenblick vollführt, wo der Pfeil aus X₈₀₀ austritt, und jetzt tritt also der erste Pfeil mit der Zahl ο wieder bei Q₁ ein. Wie wir gesehen haben, zeigte bei dieser Drehung um 200 · 2 π die Spitze eines jeden Pfeiles auf diejenige Zahl, deren Logarithmus einem Winkel entsprach, um welchen wir gedreht hatten. Man kann hieraus schliefsen, dafs, wenn man die Glasplatte in ihre Anfangslage zurückbringt und jetzt eine Drehung um einen. Winkel d ■ 2 π ausführt, wo S ein echter Bruch ist, dafs dann jeder beliebige Pfeil auf eine Zahl zeigt, dessen Logarithmus einem Winkel (y + 6) 2 π entspricht, wo γ eine ganze Zahl von Umdrehungen bedeutet. Ist # = ο, so zeigt jeder Pfeil auf eine Zahl, deren Logarithmus einem Winkel (γ +ο) 2 π entspricht, also einer ganzen Anzahl von ganzen Drehungen. Da nun aber 200 solcher Zahlen vorhanden sind, welche ganzen Umdrehungen entsprechen,, und auf jede dieser Zahlen ein Pfeil zeigen mufs, weil es möglich ist, auf jede Zahl, welche einer Summe von ganzen Umdrehungen entspricht, einzustellen, so müssen in diesem Augenblick 200 Ziffern auf der Glasplatte vorhanden sein, welche sich über dem Curvensystem befinden. Würde von dem Mittelpunkt M ein Strahlensystem ausgehen, welches jeden um M als Mittelpunkt gezogenen Kreis in eine Zahl gleicher Winkel theilt, so würde man bei dieser Stellung der Glasplatte die Gröfse von Logarithmen beliebiger Zahlen finden können, weil aus den an die Pfeile geschriebenen Zahlen zu sehen ist, wie viele Kreisausschnitte sich zwischen zwei Pfeilspitzen befinden. Da man ebenso auf jede Zahl einstellen kann, welche einem Winkel (y -(- ε) 2 π entspricht, wo γ jede ganze Zahl von ο bis 200 bedeuten kann und ε ein echter Bruch ist, so sieht man, dafs sich in jedem Augenblick 200 Zahlen über dem Curvensystem befinden müssen, mag man die Platte drehen, wie man will. Es ist nun nothwendig, auf der Glasplatte sofort sehen zu können, von welcher Zahl eine auf ihr stehende Ziffer die dritte Stelle ist. Nun hat der kleinste von M als Mittelpunkt gezogene Kreis einen Radius T₁ = 22 mm und der gröfste einen Radius R = 218,82 mm. Da auf der Glasplatte 900 Ziffern vorhanden sind, so werden je zehn derselben, die zu solchen Zahlen die dritte Stelle bilden, in welchen die beiden ersten unverändert bleiben, über einen Ring vertheilt werden, dessen äufserer und innerer Kreis durchschnittlich einen Abstand

218,82 — 22

haben von mm = 2,18 mm. Da

nun die Punkte Q₁₀ und JR₁₀ und ebenso die Punkte Q₂₀ und jR₂₀ etc. auf einer Kreislinie liegen, so wird man hier an der Läge einer Pfeilspitze erkennen können, zu welcher zweistelligen Zahl die- auf die Glasplatte gesetzte Ziffer gehört als ihre dritte Stelle. Liegt eine Pfeilspitze mit der Ziffer 7 z. B. zwischen den Kreisen Q₁₀ . . . jR₁₀ und Q₂₀ .'. . -R₂O? ^so werden . die drei ersten Ziffern der fünfstelligen Zahl, auf welche der Pfeil zeigt, 117 heifsen;. weist er auf die 89. Curve, so heifst die ganze Zahl, auf welche der Pfeil eingestellt ist, 11789. Jetzt mag auch gesagt werden, wie in dem vorliegenden Fall die Gröfsen /\ r gefunden wurden. Die Spitzen der auf die Glasplatte zu setzenden Pfeile mögen auf einer Linksspirale liegen (s. Fig. 4), deren Windungen gleich weit von einander entfernt sind, und welche in M ihren Mittelpunkt hat, in Q ihren Anfangspunkt und im Punkt .R₉₀₀ ihren Endpunkt. Die Spirallinie ist in ihren ersten und letzten Windungen in der Zeichnung ausgeführt, sie soll jedoch auf der Glasplatte in Wirklichkeit nicht sichtbar gemacht werden. Es ist klar, dafs auf einer Strecke Q_n+1 bis T_n dieser Spirale sich immer nur eine Pfeilspitze befindet, denn in demselben Augenblick, in welchem eine Pfeilspitze bei T_n austritt, wenn man die Glasplatte in der Richtung des Pfeiles dreht, tritt eine andere Pfeilspitze bei Q„+] über das Curvensystem. Um zu berechnen, wie viele Windungen die Spirale besitzt, denkt man sich die Glasplatte aus der Lage, welche sie in der Zeichnung einnimmt, nur um einen sehr kleinen Winkel dw in der Richtung des Pfeiles gedreht. Wie früher bemerkt wurde, befinden' sich in jedem Augenblick 200 Pfeilspitzen über dem Curvensystem. In diesem Falle zeigen sie auf Zahlen, welche den Winkeln ο · 2 π + dn>, 1 · 2 π + dw, 2 · 2 π + dw, ... 199 · 27Γ -j- dw entsprechen. Vom Punkt S₁ aus gerechnet, in welchem Punkt die erste Spiralenwindung die Verbindungslinie zwischen M und T₉₀₀ schneidet, möge die Spirale bis zum Punkt T₉₀₀ 199 ganze Windungen vollführt haben, so dafs sie beim Punkt T₈₀₀ das Curvensystem 199 mal passirt hat. Da auf jedem Stück Q._n+i T_n der Spirale, welches sich über dem Curvensystem befindet, eine Pfeilspitze liegt, so befinden sich auch die Spitzen der Pfeile für die Drehungen ι · 2 7Γ + dw, 2 · 2 π -\- dw, ... ι 99 · 27Γ + dw auf der Spirale von Q₁ bis T₉₀₀ (die Pfeilspitze für den Winkel ο · 2ττ -j- dw liegt auf dem Anfangspunkt Q₁ der Spirale). Im Ganzen besitzt die Spirale also eine Winkelgröfse von 199· 2 Tr zwischen T₀₀₀ und S₁ und aufserde'm einen Winkel für die Strecke S₁ T₁ Q₁₇ welchen man leicht berechnen kann. Derselbe ist gleich (2 π — A- P₉₀₀ M T₉₀₀ — Q₁ MP₉₀₀), oder

27Γ-

[log 99 999 . . . — log 99 900] ■ 200 · 2 π

. [log IOl] ■ 200 · 27Γ

oder 0,52441 · 27Γ, so

dafs der ganze Winkel der Spirale gleich 199,52441 · 27Γ. ist. Um die Entfernung der einzelnen Windungen von einander kennen zu lernen, mufs man den Abstand ^i? — r) durch die Anzahl der ganzen Windungen dividiren. Dieselbe ist in diesem Falle gleich 199,52441, also die Entfernung der einzelnen Windungen von'" einander

___ R — T₁ 196,80

199,52441

0,98637 mm.

199)52441

Um die Entfernungen der einzelnen Pfeilspitzen vom Mittelpunkt M oder, was dasselbe ist, den Radius der ihnen zugehörigen Kreisausschnitte zu berechnen, mufs man wissen, wie weit- man auf der Spirale vom ersten Pfeil aus, für die Zahl ioo, also vom Anfangspunkt Q₁ der Spirale, fortschreiten mufs, um nach einander zu den einzelnen Pfeilspitzen für die Zahlen ιοί, 102, 103 ... 999 zu gelangen. Bezeichnet man den Winkel für den log 1.01 mit a₁ , den Winkel für die Differenz log 102 — log ιοί mit a₂, den Winkel für die Differenz log 103 —log 102 mit a_a u. s. w., den W^Tinkel für die Differenz log 999 ... — log 99 900 . . . mit (J₉₀₀ und denkt man sich jetzt die Glasplatte in der Stellung, in welcher die Spitze des ersten Pfeiles für die Zahl 100 sich gerade über dem Punkt T₁ und die Spitze des Pfeiles für die Zahl 101 sich über Q₂ befindet,, so ist der Winkel

Q₂ MP₉₀₀ = -^- und der Winkel T₁ MP₉₀₀ ==■——· Man mufs also auf der Spirale um

einen Winkel -

——. vom Anfangspunkt Q₁

aus fortschreiten, um zu der Pfeilspitze für die Zahl 101 zu gelangen. Um zu berechnen, wo die dritte Pfeilspitze auf der Spirale liegt, denkt man sich die Glasplatte in einer anderen Stellung, und zwar in derjenigen, in welcher sich die Pfeilspitze für die Zahl 101 über T₂ und die Pfeilspitze für 102 über Q₃ befindet.

Dann ist der Winkel Q₃ M P₉₀₀ = ——

und der Winkel T₂ MP₉₀₀ = —— · Um von

der zweiten zur dritten Pfeilspitze zu gelangen, mufs man also auf der Spirale um einen

Winkel

fortschreiten. Denkt man

sich die Glasplatte wiederum weiter gedreht, so dafs die Pfeilspitze für 102 sich über T₈ und die Pfeilspitze für 103 sich über Q₄ befindet, so wird man finden, dafs man auf der Spirale von der dritten Pfeilspitze aus einen Winkel— — zurücklegen mufs, um zur

vierten Pfeilspitze zu gelangen. Auf ganz entsprechende Weise findet man die Winkel auf der Spirale zwischen der

4. und 5. Pfeilspitze = — 5_ , .

5·

6.

900.

"900

und es entspricht der Weg, welchen man auf der Spirale zurücklegen mufs, um von der

i. Pfeilspitze zur 2. zu gelangen, einem Winkel ,

ι. Pfeilspitze zur 3. zu gelangen, einem Winkel

^ai + a₂ 1 ^a2 + a₃

"T" _ J

ι. Pfeilspitze zur 4. zu gelangen, einem Winkel

+ + u. s. w., 2:2 2

und um von der 1. Pfeilspitze zur 900. zu gelangen, einem Winkel * ' —— -| ²-^——

2 2

2 2

Ist man auf der Spirale um eine ganze Drehung fortgeschritten, so ist ihr Radius vector um die Gröfse ε = 0,98637 mm gewachsen. Schreitet man um einen Winkel (λ + μ) ■ 2 π fort, wo λ eine ganze Zahl und μ einen echten Bruch bedeutet, so ist der Radius vector- um ε · (λ + μ) gewachsen. Setzt man die Winkel

2 2

= (λ + μ\ ■ 2 7t,

2 ' 2.2

= (λ + |U)₃ · 2 7Γ U. S. W.,

f- a₂ (J₂-T-Og a_% 4-

1 —' 1 —

^fl899 ~T ^a900 Λ

so sieht man, wie die Gröfse der einzelnen Leitstrahlen zu berechnen ist: Der i. ist = 22 mm = r_1?

2. - ='22 + (X + fi)₁-E = r_s,

3. - = 22 + (λ+ /x)₂ ·ε = Γ₃

U. S. W.
- ₉OO. - = 22 + (λ +-f4s99 ^{- £} = ^Γ900· .

Die Differenz der Leitstrahlen r sind die Gröfsen Δ r₁ , von welchen vorhin die Rede war, so dafs r₂ — T₁ = Δ »Ί, r_s — r₂ = Δ^Γ ₂, r_i — r₃ = Δ ^rs ^^{st u}· ^s· ^w· j ^un<i ^man sieht jetzt, dafs man im Stande ist, das Curvensystem zu zeichnen. Ebenso sieht man, dafs es möglich sein mufs, den Ort für die auf die Glasplatte zu setzenden Pfeilspitzen zu bestimmen. .

Die i. Pfeilspitze liegt auf dem Endpunkt des Radius vector r₁ ,

die 2. Pfeilspitze liegt auf dem Endpunkt des Radius vector r₂ u. s. w.,

die 900. Pfeilspitze liegt auf dem Endpunkt des Radius vector r,

900-

Damit der Radius vector

= r₂ wird, ist eine Drehung

um einen

ziA

= r₃ wird, ist eine Drehung um einen a₁

«2

A.±

2 · 2 ■'

= r₄ wird, ist eine Drehung um einen Q-y . ^o ~T #q , CIn -4- (X.

2 2.-2

— ^r9oo wird, ist eine Drehung um einen

a_y + a₂ .1 ^a2 + ^a3 j ^fl899 + ^a000

.2 ■ 2 2

in der dem Pfeile entgegengesetzten Richtung zu vollführen. Da man also sowohl die Länge des Radius vector, auf dessen Endpunkt eine Pfeilspitze liegt, als auch den Winkel berechnen kann, welchen derselbe mit der Linie Q₁ M bildet, so wird man den Ort für jede Pfeilspitze bestimmen können.

. Es mag nun gezeigt werden, wie die Multiplication zweier Zahlen vor sich geht. Man stellt zuerst die Glasplatte in ihre Anfangslage und dann auf den einen Factor ein, wobei man eine Drehung von einem Winkel S ■ 2 7Γ ausführt, wo ä<i ist. Dann entspricht der Logarithmus der Zahl, auf welche eingestellt wurde, einer Drehung (y -j- S) 2 π, wo y eine ganze Zahl von Drehungen bedeutet. Gesetzt, dem log des zweiten Factors entspräche eine Drehung S₁ ■ 2 π und S₁ sei ein so kleiner Winkel, dafs derselbe Pfeil, welcher vorhin auf die Zahl für die Drehung (y -\- S) 2 π zeigte, sich noch über dem Curvensystem befände, dann würde er jetzt auf eine Zahl zeigen, welcher eine Drehung (y -f- S -\- S₁) 2π entspräche, also auf. das Product der Factoren. Wäre der Winkel S₁ gröfser, so würde der folgende Pfeil, an dem eine um Eins höhere Zahl steht, auf das Product der Factoren zeigen. Man kann sich nun denken, dafs S₁ immer gröfser und gröfser würde, dann wird es immer einen Pfeil geben, welcher auf das Product der Factoren zeigt; dies ist natürlich auch der Fall, wenn der zweite Factor einem Winkel (^₁ -j- S₁) 2π entspricht, wo y_L eine ganze Zahl ist. Ist die Summe (y -\- S) ι-π + (7i + ^i)^27r gröfser als 200 ganze Umdrehungen, so giebt es auch jetzt einen Pfeil, der auf das Product der Factoren zeigt, weil, wie schon früher bemerkt wurde, in demselben Augenblick, wo sich der letzte Pfeil aus dem Curvensystem herausbewegt, auch der erste Pfeil wieder in dasselbe eintritt. An dem Pfeil, welcher das Product der Zahlen anzeigt, steht die dritte Stelle des Productes geschrieben, und zwar befindet sich dieser Pfeil über demjenigen Kreisausschnitt, welcher den drei ersten Stellen des Productes entspricht. Die drei ersten Stellen berechnet man mit Hülfe des ersten Apparates, die vierte und fünfte Stelle des Productes kann man bei dem Pfeil ablesen, welcher zu dieser dreistelligen Zahl gehört. Um zu erfahren, wie grofs der Winkel (/ι + ^ι)^2!Γ ist, welcher dem zweiten Factor entspricht, bewegt man, nach geschehener Drehung um den Winkel (y -{- S) 2π, ohne die Glasplatte zu berühren, die Metallplatte um genau denselben Winkel, und zwar in derselben Richtung vorwärts, so dafs jetzt die erste Pfeilspitze sich wieder über dem Punkt Q₁ befindet. Nun stellt man die Glasplatte auf den zweiten Factor ein, wodurch eine Drehung ausgeführt wird, welche ihm entsprechend ist, und bewegt schliefslich die Metallplatte in die Ruhelage zurück, welche sie besafs, während wir auf den ersten Factor einstellten. Im Ganzen wird eine Drehung ausgeführt, welche dem Product entspricht. Hätte . man drei Factoren mit einander zu multipliciren, so bewegt man, nachdem auf den zweiten Factor eingestellt wurde, die Metallplatte wieder um denselben Winkel vorwärts und stellt auf den dritten Factor ein, worauf die Metallplatte wieder in die Ruhelage zu bringen ist, welche sie während der Einstellung auf den ersten Factor einnahm. Jetzt hat man wieder um einen Winkel gedreht, welcher dem Product der drei Factoren entsprach u. s. w.

Will man eine Division ausführen, so mufs auf die Differenz der Winkel für Dividendus und Divisor eingestellt werden. Es ist klar, dafs man, um auf eine Zahl einzustellen, statt die Glasplatte um einen dieser Zahl entsprechenden Winkel von ihrer ■ Anfangslage aus, in welcher sich der Pfeil ο für die Zahl 100 über dem Punkt Q₁ des Curvensystems befindet, in der Richtung des Pfeiles (s. Fig. 3) zu drehen, auch die Metallplatte um denselben Winkel rückwärts bewegen kann. In dieser Weise stellt man die Metallplatte durch Rückwärtsdrehen, ohne die Glasplatte zu berühren, von der Anfangslage aus auf den Divisor ein. Nun stellt man die Glasplatte auf den Dividendus ein und bringt dann die

Metallplatte wieder in ihre Anfangslage zurück; dann mufs ein Pfeil auf der Glasplatte vorhanden sein, welcher auf den Quotienten weist, weil die' Glasplatte im Ganzen von der Ruhelage aus um einen Winkel gedreht wurde, welcher gleich der Differenz der Winkel für Divisor und Dividendus ist. Die drei ersten Ziffern des Quotienten findet man auf dem ersten Apparat, die vierte und fünfte Stelle liest man bei dem Pfeil ab, dessen Spitze sich über dem Kreisausschnitt für diese dreistellige Zahl befindet.

Es ist nun am Umfang der Metallplatte eine regelmäfsige Scala angebracht, welche den Kreis in 500 gleiche Theile theilt. Befindet sich die Glasplatte in ihrer Anfangsstellung, so zeigt eine auf der Glasplatte angebrachte Marke auf den Nullpunkt der Scala. Stellt man auf eine beliebige Zahl ein, so kann man aus der Lage der Marke die Gröfse des Winkels δ ■ 2 π erfahren, welcher die Eigenschaft hat, dafs (γ -j- δ) 2 π dem Logarithmus der Zahl entspricht, . auf welche wir eingestellt haben (y bedeutet wieder eine ganze Zahl). Um den Winkel direct ablesen zu können, müfste jedoch die regelmäfsige Scala am Umfang der Metallplatte 1000 Scalentheile besitzen. Dann würde man unter der Marke die Zahl % ablesen, und es wäre

1000

Da der Kreis

jedoch in 500 Theile getheilt ist, so liest man

unter der Marke die Zahl —1— = ε ab, so dafs

2 ε
iooo

ist. Will man die Gröfse des

Winkels (γ -\- S) 2 π in Doppeldrehungen angeben, so hätte man statt dessen zu schreiben

(γ -X- $ \
2-27T.0der (ζ +η) · 2 · 27Γ, WO ζ

V. ² /

eine ganze Zahl und η einen echten Bruch bedeuten soll. Dann würde der Mantisse 9999 . . . eine Winkelgröfse von 100 Doppeldrehungen entsprechen. In diesem Falle wäre ζ = ioo und η — ο; hiefse die Mantisse z. B.

50415, so hätte man 50 4~ Doppeldrehungen. Man könnte also hierfür schreiben

50 +

415

IOOO

2 · 27Γ, und ist jetzt ersichtlich , dafs die drei letzten Stellen der Mantisse 50415 direct abgelesen werden können, nachdem auf den zugehörigen Numerus eingestellt war. Ergab der erste Apparat die Zahlen 504 der Mantisse, so konnte man auf diese Weise den Logarithmus der Zahl, auf welche eingestellt wurde, finden. . Hiefse die Mantisse 506000, so würde die Marke auf den Theil-

strich 100 zeigen, denn Doppeldrehungen

1000

1000

• j 1 · u / 1 ²⁰⁰ \ j / , ^I0°
sind gleich 1 -| ^:— | oder | 1 -| ■ | ein-

500

fachen Drehungen.

Man schreibt daher an den Theilstrich 100 auch die Zahl 600,

ebenso

an den Theilstrich 200 auch die Zahl 700,

- ■ - - 300 - .- - 800,

- - 400 - 900, - ' 500 - - - 1000.

Hierdurch ist eine Doppeldrehung in 1000 Theile getheilt und können die Hundertstel und Tausendstel derselben abgelesen werden, die Zehntausendstel aber noch abgeschätzt werden. Hiefse die Mantisse jetzt 506154 und hätte man die drei Ziffern 506 auf dem ersten Apparat abgelesen, so ergiebt der zweite-Apparat nach Einstellung auf den Numerus die Ziffern (6) 15, und die letzte Stelle der Mantisse, nämlich 4, wäre noch zu schätzen. Man kann auch den Numerus mit Hülfe der beiden Apparate finden, wenn der Logarithmus gegeben ist. Der Logarithmus 506154 sei gegeben. Hat man die Marke auf die Zahlen 615 (4) eingestellt, so zeigt ein Pfeil auf den Numerus. Die drei Anfangsziffern des Numerus findet man wieder mit Hülfe des ersten Apparates, die letzten Ziffern mit dem zweiten Apparat. Auf diese Weise wird man die Logarithmen und Numeri rasch finden und den Apparat auch dann mit Vortheil verwenden können, wenn es sich darum handelt, Wurzeln und Potenzen mit Bruchexponenten zu berechnen. Um dieses auszuführen, mtifste man zuerst die Logarithmen der zu poteneirenden oder zu radicirenden Zahl bestimmen, welchen man mit dem Exponenten multiplicirt bezw. dividirt; dann wäre noch ein Numerus aufzusuchen.

Zum Schlufs mag noch bemerkt werden, dafs man statt der Curve Q₁ ... Q₂ ... Q_n ■ ■ · Qgoo unendlich viele andere wählen kann,, denn es kommt nur. darauf an, dafs sich eine Pfeilspitze genau über dem Kreisausschnitt bewegt, zu welchem der Pfeil gehört.

Aus der obigen Darstellung der logarithmischen Rechenmaschine ergiebt sich, dafs statt des Apparates A auch ein gewöhnlicher Rechenschieber oder besser die Rechenscheibe von Sonne (mit Kennzifferzählwerk) benutzt werden kann. Bekanntlich erhält man mit einem Rechenschieber oder mit der Sbnne'schen Rechenscheibe die Resultate mit kleinen Anfangsziffern noch bis zur dritten Stelle genau; hat das Resultat gröfse Anfangsziffern, so ist es möglich, die dritte Stelle noch zu schätzen. Gesetzt, das Product zweier Factoren sei durch einen der genannten Apparate bestimmt und die dritte Stelle des Resultates sei ungenau als eine 7 geschätzt, in Wirklichkeit möge das

Claims (1)

1. Resultat aber 78632 heifsen, so dafs die dritte Stelle eine 6 und nicht eine 7 ist. Ist dieselbe Multiplication mit dem grofsen Apparat ausgeführt, so mufs die dritte Stelle, nämlich die 6, die vierte Stelle und die fünfte anzeigen. Auf der Metallplatte sind nun zwei Kreisbögen gezogen, zwischen denen der Ort für die Zahl 787 zu suchen ist, nämlich die mit 78 und 79 bezeichneten. An dieser Stelle findet man jedoch nur einen Pfeil, an welchem eine 6 geschrieben steht, wodurch man erfährt, dafs die dritte Stelle in Wirklichkeit eine 6 war. Am leichtesten würde bei der Aufsuchung des Pfeiles für die Zahl 787 eine Verwechselung des richtigen mit denjenigen beiden stattfinden können, welche auf den zunächst gelegenen Schneckenwindungen liegen, da dieselben, wie vorher bemerkt, wurde, nur 0,98637 mm von einander entfernt sind. Aber ■die Ziffern, welche an die Pfeile der beiden nächsten Schneckenwindungen geschrieben sind, unterscheiden sich von der richtigen Ziffer schon um einige Einheiten, und zwar um so mehr, wenn das Resultat eine hohe Anfangsziffer besitzt, und weniger bei niederer Anfangsziffer. Daher ist eine Verwechselung der Pfeile nicht zu befürchten. Werden die Kreisausschnitte kleiner als

   2 π 10

   so ist wiederum

   ein Irrthum nicht mehr möglich, weil die in Frage kommenden Pfeile zu Zahlen gehören, welche auch in ihrer zweiten Stelle von einander verschieden sind.

   Es ist oben nachgewiesen, dafs der Apparat B als eine fünfstellige Logarithmentafel benutzt werden kann, und ist es auch möglich, eine ganz ähnliche Anordnung zu verwenden, um eine sechsstellige Logarithmentafel bezw.Rechenmaschine herzustellen.

   Patenτ-Anspruch:

   Eine logarithmische Rechenmaschine zur Ausführung aller höheren Rechnungsoperationen, bestehend aus:

   a) einem Apparat A, für Rechnungsoperationen bis zur dritten Stelle des Resultates, in welchem die Mantissen der Logarithmen aller dreistelligen Zahlen als Winkel auf einer Metallplatte C sowohl, wie auf einer über derselben centrisch drehbar angeordneten Glastafel D zu beiden Seiten einer Anzahl von zehn concentrischen, durch ' übersichtliche Theilstriche in 500 bezw. 1000 Theile zerlegten Kreisen aufgetragen und die Theilstriche sowohl wie die Logarithmen durch beigeschriebene Zahlen kenntlich gemacht sind, so dafs durch'Drehung der Glasplatte die Addition und Subtraction der Mantissen von den Logarithmen beliebiger Zahlen bewirkt werden kann, wie auch zu beliebigen Logarithmen die entsprechenden Numeri aufgefunden werden können;

   b) einem Apparat B, zur Bestimmung der vierten und fünften Stelle des durch Apparate bis zur dritten Stelle angegebenen Resultates . einer Rechenoperation, bestehend aus einer um ihren Mittelpunkt M drehbaren Metallplatte C₁, auf welcher ein System von 91 concentrischen Kreisen und ein durch Abtragung der halben Winkel für die Differenzen der Logarithmen aller auf einander folgenden dreistelligen Zahlen von den Schnittpunkten P₁P₂ P₃ ... P₉₀₀ einer Mittellinie MP₉₀₀ mit den Kreisen nach links und rechts auf diesen Kreisen und durch Hunderttheilung der zwischen den Punkten Q₁ Q₂ ... und T₁T₂ ... liegenden Kreisausschnitte entstandenes Curvensystem aufgezeichnet ist, sowie einer um denselben Mittelpunkt M unabhängig von der Metallplatte C₁ drehbaren Glasplatte -D₁, auf welcher auf einer geeigneten Spirallinie die mit Pfeilspitzen versehenen Zahlen ο bis 9 in solcher Anordnung wiederholt eingezeichnet sind, dafs die in der Anfangsstellung des Apparates über dem Nullpunkt (Q₁) des Curvensystems befindliche erste Pfeilspitze, bei Drehung der Glasplatte , auf dem kleinsten Kreise fortschreitend, den Punkt T₁ in dem Augenblick erreicht, wo die zweite Pfeilspitze bei Q₂ eintritt u. s. w., so dafs nach Be-■stimmung der drei ersten Stellen eines Rechnungsresultates und nach Einstellung des zweiten Apparates für dieselbe Operation die die dritte Stelle des Resultates anzeigende Pfeilspitze innerhalb der beiden Kreise, zwischen welchen der Kreisausschnitt für die drei ersten Stellen liegt, auf die vierte und fünfte Stelle hinweist.

   Hierzu 4 Blatt Zeichnungen.